คำจำกัดความ 1
เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ซึ่งกำหนดบนเซกเมนต์หนึ่งๆ เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดด้วยสัญลักษณ์ $\int f(x)dx $
ความคิดเห็น
คำจำกัดความที่ 2 สามารถเขียนได้ดังนี้:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันอตรรกยะทุกฟังก์ชันจะสามารถแสดงเป็นอินทิกรัลผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้ อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลเหล่านี้ส่วนใหญ่สามารถลดลงได้โดยใช้การแทนที่อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ขวาน+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ขวาน+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $
ฉัน
เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:
ด้วยการทดแทนนี้ แต่ละกำลังเศษส่วนของตัวแปร $x$ จะแสดงผ่านกำลังจำนวนเต็มของตัวแปร $t$ เป็นผลให้ฟังก์ชันปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$
ตัวอย่างที่ 1
ดำเนินการบูรณาการ:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
สารละลาย:
$k=4$ เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(อาร์เรย์)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
ครั้งที่สอง
เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:
โดยที่ $k$ เป็นตัวหารร่วมของเศษส่วน $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $
ผลจากการแทนที่นี้ ทำให้ปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$
ตัวอย่างที่ 2
ดำเนินการบูรณาการ:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
สารละลาย:
มาทำการทดแทนต่อไปนี้:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]
หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]
ที่สาม
เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ จะเรียกว่าการแทนที่ออยเลอร์ (หนึ่งในสามการแทนที่ที่เป็นไปได้คือ ใช้แล้ว).
การเปลี่ยนตัวครั้งแรกของออยเลอร์
สำหรับกรณี $a>
เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(a) $ เราก็จะได้
ตัวอย่างที่ 3
ดำเนินการบูรณาการ:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
สารละลาย:
มาทำการทดแทนต่อไปนี้ (กรณี $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
การเปลี่ยนตัวคนที่สองของออยเลอร์
สำหรับกรณี $c>0$ จำเป็นต้องทำการทดแทนดังต่อไปนี้:
เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(c) $ เราก็จะได้
ตัวอย่างที่ 4
ดำเนินการบูรณาการ:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
สารละลาย:
มาทำการทดแทนต่อไปนี้:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ เมื่อกลับด้านแล้ว การทดแทนเราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( อาร์เรย์)\]
การเปลี่ยนตัวคนที่สามของออยเลอร์
คำตอบสำเร็จรูปเกี่ยวกับฟังก์ชันอินทิเกรตนำมาจากแบบทดสอบสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 และ 2 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้แน่ใจว่าสูตรในปัญหาและคำตอบไม่ซ้ำเงื่อนไขของงาน เราจะไม่เขียนเงื่อนไขออกมา คุณรู้อยู่แล้วว่าในปัญหาคุณต้อง "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้น หากคุณต้องการคำตอบเกี่ยวกับการบูรณาการ ให้เริ่มศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้
บูรณาการของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว
ตัวอย่างที่ 18 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรภายใต้อินทิกรัล เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราไม่เพียงแต่เลือกรากเท่านั้น แต่ยังเลือกตัวส่วนทั้งหมดสำหรับตัวแปรใหม่อีกด้วย หลังจากการแทนที่ อินทิกรัลจะถูกแปลงเป็นผลรวมของอินทิกรัลแบบตารางสองตัว ซึ่งไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น
หลังจากการรวมเข้าด้วยกัน เราจะทดแทนการทดแทนตัวแปร
ตัวอย่างที่ 19 เราใช้เวลาและพื้นที่ไปมากในการรวมฟังก์ชันเศษส่วนไม่ลงตัวนี้ และเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าคุณจะคิดจากแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ได้หรือไม่ เพื่อกำจัดความไม่ลงตัว และที่นี่เรากำลังจัดการกับรากที่สาม เราเลือกฟังก์ชันรูทเป็นกำลังสามสำหรับตัวแปรใหม่ ต่อไปเราจะค้นหาส่วนต่างและแทนที่ฟังก์ชันก่อนหน้าด้วยอินทิกรัล
ส่วนที่ใช้เวลานานที่สุดคือการจัดตารางเวลาฟังก์ชันใหม่สำหรับความสัมพันธ์เชิงกำลังและเศษส่วน
หลังจากการแปลง เราจะพบอินทิกรัลบางส่วนทันที และเราเขียนอันสุดท้ายออกเป็นสอง ซึ่งเราจะแปลงตามสูตรการรวมแบบตาราง
หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้วอย่าลืมกลับไปใช้การเปลี่ยนที่ดำเนินการตั้งแต่เริ่มต้น
การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ตัวอย่างที่ 20 เราต้องหาอินทิกรัลของไซน์กำลัง 7 ตามกฎแล้ว ไซน์หนึ่งตัวจะต้องถูกผลักเข้าไปในดิฟเฟอเรนเชียล (เราได้ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโคไซน์) และไซน์กำลัง 6 จะต้องเขียนผ่านโคไซน์ ดังนั้นเราจึงมาถึงการอินทิเกรตจากฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ t = cos (x)
ในกรณีนี้ คุณจะต้องนำความแตกต่างมาสู่คิวบ์ จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน
เป็นผลให้เราได้พหุนามอันดับ 7 ในโคไซน์
ตัวอย่างที่ 21 ในอินทิกรัลนี้ จำเป็นต้องเขียนโคไซน์ของระดับที่ 4 ในสูตรตรีโกณมิติผ่านการพึ่งพาโคไซน์ของระดับที่ 1 ต่อไป เราใช้สูตรตารางสำหรับการรวมโคไซน์
ตัวอย่างที่ 22 ภายใต้อินทิกรัล เรามีผลคูณของไซน์และโคไซน์ ตามสูตรตรีโกณมิติ เราเขียนผลคูณผ่านผลต่างของไซน์ วิธีหาธนูนี้สามารถเข้าใจได้จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ของ "x" ต่อไปเราจะรวมไซน์เข้าด้วยกัน
ตัวอย่างที่ 23 ตรงนี้เรามีทั้งฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในตัวส่วน นอกจากนี้สูตรตรีโกณมิติจะไม่ช่วยให้การพึ่งพาง่ายขึ้น ในการค้นหาอินทิกรัล เราใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล t=tan(x/2)
ในตอนท้ายของการคำนวณ เราจะแทนที่ค่าแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่งแทนตัวแปร
ตัวอย่างที่ 24 ในการอินทิเกรตฟังก์ชัน เราจะนำกำลังสองของโคไซน์ออกจากวงเล็บ และในวงเล็บเราจะลบและเพิ่มหนึ่งค่าเพื่อให้ได้โคแทนเจนต์
ต่อไป เราเลือกโคแทนเจนต์ u = ctg (x) สำหรับตัวแปรใหม่ ส่วนต่างของมันจะให้ปัจจัยที่เราต้องการในการทำให้ง่ายขึ้น หลังจากการทดแทนเรามาถึงฟังก์ชันซึ่งเมื่อรวมเข้าแล้วจะให้ค่าอาร์กแทนเจนต์
อย่าลืมเปลี่ยนคุณเป็นโคแทนเจนต์
ตัวอย่างที่ 25 ในงานสุดท้ายของการทดสอบ คุณต้องรวมโคแทนเจนต์ของมุมสองเท่าเข้ากับระดับที่ 4
ณ จุดนี้ การทดสอบบูรณาการได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีครูเพียงคนเดียวที่จะจับผิดกับคำตอบและเหตุผลสำหรับการเปลี่ยนแปลง
หากคุณเรียนรู้วิธีบูรณาการเช่นนี้ การทดสอบหรือส่วนต่างๆ ในหัวข้อปริพันธ์ก็ไม่น่ากลัวสำหรับคุณ คนอื่นๆ มีโอกาสที่จะเรียนรู้หรือสั่งซื้อโซลูชันอินทิกรัลจากเรา (หรือคู่แข่งของเรา :)))
คลาสของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นกว้างมาก ดังนั้นจึงไม่มีวิธีสากลในการรวมฟังก์ชันเหล่านี้เข้าด้วยกัน ในบทความนี้ เราจะพยายามระบุประเภทลักษณะเฉพาะที่สุดของฟังก์ชันปริพันธ์ไร้เหตุผล และเชื่อมโยงวิธีการอินทิเกรตเข้ากับฟังก์ชันเหล่านั้น
มีหลายกรณีที่เหมาะสมที่จะใช้วิธีการสมัครรับเครื่องหมายส่วนต่าง ตัวอย่างเช่นเมื่อค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของแบบฟอร์มโดยที่ พี– เศษส่วนตรรกยะ
ตัวอย่าง.
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด .
สารละลาย.
สังเกตได้ไม่ยากว่า ดังนั้นเราจึงวางไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์และใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ:
คำตอบ:
.
13. การทดแทนเชิงเส้นแบบเศษส่วน
อินทิกรัลชนิดที่ a, b, c, d เป็นจำนวนจริง, a, b,..., d, g เป็นจำนวนธรรมชาติ จะถูกรีดิวซ์เป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการแทนที่ โดยที่ K คือตัวคูณร่วมน้อยของ ตัวส่วนของเศษส่วน
อันที่จริงจากการทดแทนเป็นไปตามนั้น
นั่นคือ x และ dx แสดงผ่านฟังก์ชันตรรกยะของ t ยิ่งไปกว่านั้น ระดับของเศษส่วนแต่ละระดับจะแสดงผ่านฟังก์ชันตรรกยะของ t
ตัวอย่างที่ 33.4- ค้นหาอินทิกรัล
วิธีแก้: ตัวหารร่วมน้อยที่สุดของเศษส่วน 2/3 และ 1/2 คือ 6
ดังนั้นเราจึงใส่ x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt ดังนั้น
ตัวอย่างที่ 33.5ระบุการทดแทนเพื่อค้นหาอินทิกรัล:
วิธีแก้ปัญหา: สำหรับการแทนที่ I 1 x=t 2 สำหรับการแทนที่ I 2
14. การทดแทนตรีโกณมิติ
อินทิกรัลประเภทจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างมีเหตุผลโดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติต่อไปนี้: x = sint สำหรับอินทิกรัลตัวแรก; x=a tgt สำหรับอินทิกรัลตัวที่สอง; สำหรับอินทิกรัลตัวที่สาม
ตัวอย่างที่ 33.6ค้นหาอินทิกรัล
วิธีแก้ปัญหา: ลองใส่ x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2 แล้ว
ตรงนี้ปริพันธ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะเทียบกับ x และ โดยการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ภายใต้รากและทำการทดแทน อินทิกรัลของประเภทที่ระบุจะลดลงเหลืออินทิกรัลของประเภทที่พิจารณาแล้ว เช่น ถึงอินทิกรัลของประเภท อินทิกรัลเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้การทดแทนตรีโกณมิติที่เหมาะสม
ตัวอย่างที่ 33.7ค้นหาอินทิกรัล
วิธีแก้: เนื่องจาก x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5 แล้ว x+1=t, x=t-1, dx=dt นั่นเป็นเหตุผล เอาล่ะใส่
หมายเหตุ: ประเภทอินทิกรัล เป็นการสมควรที่จะค้นหาโดยใช้การแทนที่ x=1/t
15. อินทิกรัลจำกัดจำนวน
ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซ็กเมนต์และมีแอนติเดริเวทีฟอยู่ด้วย ที่เรียกว่าความแตกต่าง อินทิกรัลที่แน่นอน ฟังก์ชั่นตามส่วนและแสดงถึง ดังนั้น,
ส่วนต่างก็เขียนอยู่ในรูปแล้ว - ตัวเลขถูกเรียก ขีดจำกัดของการบูรณาการ .
ตัวอย่างเช่น หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน นั่นเป็นเหตุผล
16 . ถ้า c เป็นจำนวนคงที่และฟังก์ชัน ƒ(x) สามารถปริพันธ์บน ได้แล้ว
นั่นคือ ตัวประกอบคงที่ c สามารถดึงออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้
▼ลองเขียนผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันด้วย ƒ(x) กัน เรามี:
จากนั้นจึงเป็นไปตามว่าฟังก์ชัน c ƒ(x) สามารถอินทิเกรตบน [a; b] และสูตร (38.1) ใช้ได้▲
2. ถ้าฟังก์ชัน ƒ 1 (x) และ ƒ 2 (x) สามารถอินทิเกรตบน [a;b] ได้ ดังนั้นอินทิเกรตบน [a; b] ผลรวมของคุณ
นั่นคือ อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล
▼
▲
คุณสมบัติ 2 ใช้กับผลรวมของจำนวนเทอมที่มีจำกัด
3.
คุณสมบัตินี้สามารถยอมรับได้ตามคำจำกัดความ คุณสมบัตินี้ยังได้รับการยืนยันโดยสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ
4. ถ้าฟังก์ชัน ƒ(x) สามารถอินทิเกรตบน [a; ข] และก< с < b, то
นั่นคือ อินทิกรัลส่วนส่วนทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลส่วนส่วนต่างๆ ของส่วนนี้ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการบวกของอินทิกรัลจำกัดเขต (หรือคุณสมบัติการบวก)
เมื่อแบ่งส่วน [a;b] ออกเป็นส่วนๆ เราจะรวมจุด c ไว้ในจำนวนจุดหาร (ซึ่งสามารถทำได้เนื่องจากความเป็นอิสระของขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลจากวิธีการแบ่งส่วน [a;b] เป็นส่วนๆ) ถ้า c = x m ผลรวมอินทิกรัลสามารถแบ่งออกเป็นสองผลรวม:
ผลรวมที่เป็นลายลักษณ์อักษรแต่ละรายการเป็นอินทิกรัลตามลำดับสำหรับส่วน [a; ข], [ก; ส] และ [s; ข] เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น n → ∞ (แล → 0) เราจะได้ความเท่าเทียมกัน (38.3)
คุณสมบัติ 4 ใช้ได้กับตำแหน่งใดๆ ของจุด a, b, c (เราถือว่าฟังก์ชัน ƒ (x) สามารถอินทิเกรตกับส่วนที่ใหญ่กว่าของส่วนที่เป็นผลลัพธ์ได้)
ตัวอย่างเช่น ถ้า ก< b < с, то
(ใช้คุณสมบัติ 4 และ 3)
5. “ทฤษฎีบทว่าด้วยค่าเฉลี่ย” ถ้าฟังก์ชัน ƒ(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [a; b] แล้วก็มี tonka ที่มี є [a; ข] เช่นนั้น
▼ตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซที่เรามี
โดยที่ F"(x) = ƒ(x) เราใช้ทฤษฎีบทลากรองจ์ (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นอันจำกัดของฟังก์ชัน) กับค่าความแตกต่าง F(b)-F(a) ที่เราได้รับ
F(b)-F(a) = F"(c) (ba) = ƒ(c) (b-a).▲
คุณสมบัติ 5 (“ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย”) สำหรับ ƒ (x) ≥ 0 มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย: ค่าของอินทิกรัลจำกัดจำนวนเท่ากันสำหรับ c บางส่วน (a; b) ถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ด้วยความสูง ƒ (c) และฐาน b-a ( ดูรูปที่ 170) ตัวเลข
เรียกว่าค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ƒ(x) ในช่วงเวลา [a; ข]
6. ถ้าฟังก์ชัน ƒ (x) คงเครื่องหมายไว้บนส่วน [a; ข] โดยที่< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то
▼ตาม “ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย” (คุณสมบัติ 5)
โดยที่ c є [a; ข] และเนื่องจาก ƒ(x) ≥ 0 สำหรับ x О ทั้งหมด [a; ข] จากนั้น
ƒ(с)≥0, b-และ>0.
ดังนั้น ƒ(с) (b-а) ≥ 0 คือ ▲
7. ความไม่เท่าเทียมกันระหว่างฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา [a; ข], (ก
▼ตั้งแต่ ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0 แล้วเมื่อ a< b, согласно свойству 6, имеем
หรือตามทรัพย์สินที่ 2
โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกแยะความไม่เท่าเทียมกัน
8. การประมาณค่าอินทิกรัล ถ้า m และ M เป็นค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = ƒ (x) ตามลำดับ [a; ข], (ก< b), то
▼เนื่องจาก x є [a;b] ใดๆ เรามี m≤ƒ(x)≤M ดังนั้นตามคุณสมบัติที่ 7 เราได้
เราได้นำคุณสมบัติ 5 ไปใช้กับอินทิกรัลสุดขั้วแล้ว
▲
ถ้า ƒ(x)≥0 แสดงว่าคุณสมบัติ 8 จะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งนั้นอยู่ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็น และซึ่งมีความสูงเป็น m และ M (ดูรูปที่ 171)
9. โมดูลัสของอินทิกรัลจำกัดจำนวนไม่เกินอินทิกรัลของโมดูลัสของปริพันธ์:
▼การนำคุณสมบัติ 7 ไปใช้กับอสมการชัดเจน -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)| เราจะได้
มันเป็นไปตามนั้น
▲
10. อนุพันธ์ของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตเทียบกับขีดจำกัดบนของตัวแปรจะเท่ากับปริพันธ์ที่ตัวแปรอินทิกรัลถูกแทนที่ด้วยขีดจำกัดนี้ กล่าวคือ
การคำนวณพื้นที่ของรูปเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในทฤษฎีพื้นที่ ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน เราได้เรียนรู้การหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น วงกลม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นต้น อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว เราต้องใช้แคลคูลัสอินทิกรัล
ในบทความนี้เราจะพิจารณาปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและเราจะเข้าใกล้มันในแง่เรขาคณิต สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถค้นหาความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างอินทิกรัลที่แน่นอนกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้
ไม่มีวิธีสากลในการแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากระดับของสมการต่างกันในปริมาณ บทความนี้จะเน้นย้ำถึงลักษณะเฉพาะของสมการที่มีการทดแทนโดยใช้วิธีการอินทิเกรต
ในการใช้วิธีการอินทิเกรตโดยตรง จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดประเภท ∫ k x + b p d x โดยที่ p คือเศษส่วนตรรกยะ k และ b เป็นสัมประสิทธิ์จริง
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาและคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 1 3 x - 1 3 .
สารละลาย
ตามกฎการรวมจำเป็นต้องใช้สูตร ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C และตารางแอนติเดริเวทีฟบ่งชี้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาสำเร็จรูปสำหรับฟังก์ชันนี้ . เราเข้าใจแล้ว
∫ ง x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 ง x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + ค
คำตอบ:∫ ดี x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + ค .
มีหลายกรณีที่เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการรวมเครื่องหมายส่วนต่างเข้าด้วยกัน สิ่งนี้แก้ไขได้โดยหลักการในการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ f " (x) · (f (x)) p d x เมื่อค่าของ p ถือเป็นเศษส่วนตรรกยะ
ตัวอย่างที่ 2
จงหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx
สารละลาย
โปรดทราบว่า d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x จากนั้นจึงจำเป็นต้องรวมเครื่องหมายอนุพันธ์โดยใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ เราได้รับสิ่งนั้น
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
คำตอบ:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
การแก้อินทิกรัลไม่จำกัดต้องใช้สูตรในรูปแบบ ∫ d x x 2 + p x + q โดยที่ p และ q เป็นสัมประสิทธิ์จริง จากนั้นคุณจะต้องเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากใต้รูท เราเข้าใจแล้ว
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
เมื่อใช้สูตรที่อยู่ในตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราได้รับ:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
จากนั้นคำนวณอินทิกรัล:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1
สารละลาย
ในการคำนวณ คุณต้องนำเลข 2 ออกมาแล้ววางไว้หน้าราก:
∫ ง x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ ง x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ ง x x 2 + 3 2 x - 1 2
เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในนิพจน์ราก เราเข้าใจแล้ว
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบ 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ซี
คำตอบ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ใช้ได้กับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = 1 - x 2 + p x + q
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ d x - x 2 + 4 x + 5
สารละลาย
ขั้นแรก คุณต้องหากำลังสองของตัวส่วนของนิพจน์จากใต้ราก
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
อินทิกรัลของตารางมีรูปแบบ ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C จากนั้นเราจะได้ ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a rc sin x - 2 3 +ซี
คำตอบ:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C
กระบวนการค้นหาฟังก์ชันไร้เหตุผลเชิงต้านอนุพันธ์ในรูปแบบ y = M x + N x 2 + p x + q โดยที่ M, N, p, q ที่มีอยู่เป็นสัมประสิทธิ์จริงและคล้ายกับการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่สาม . การเปลี่ยนแปลงนี้มีหลายขั้นตอน:
รวมส่วนต่างใต้ราก โดยแยกกำลังสองทั้งหมดของนิพจน์ใต้รากโดยใช้สูตรตาราง
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x + 2 x 2 - 3 x + 1
สารละลาย
จากเงื่อนไขที่เรามีคือ d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x และ x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 จากนั้น (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 ง x = 1 2 ง (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ง x .
ลองคำนวณอินทิกรัลกัน: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + ซี
คำตอบ:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
การค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน ∫ x m (a + b x n) p d x ดำเนินการโดยใช้วิธีการทดแทน
เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่:
- เมื่อ p เป็นจำนวนเต็ม ก็จะพิจารณา x = z N และ N เป็นตัวส่วนร่วมของ m, n
- เมื่อ m + 1 n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a + b x n = z N และ N เป็นตัวส่วนของ p
- เมื่อ m + 1 n + p เป็นจำนวนเต็ม ตัวแปร a x - n + b = z N จำเป็น และ N เป็นตัวส่วนของตัวเลข p
ค้นหาอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ 1 x 2 x - 9 dx
สารละลาย
เราได้สิ่งนั้นมา ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x ตามมาว่า m = - 1, n = 1, p = - 1 2 จากนั้น m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 เป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ของแบบฟอร์ม - 9 + 2 x = z 2 จำเป็นต้องเขียน x ในรูปของ z เมื่อผลลัพธ์เราได้รับสิ่งนั้น
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z
จำเป็นต้องทำการทดแทนอินทิกรัลที่กำหนด เรามีสิ่งนั้น
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
คำตอบ:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
เพื่อให้การแก้สมการไร้เหตุผลง่ายขึ้น จึงใช้วิธีการอินทิเกรตพื้นฐาน
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ฟังก์ชันอตรรกยะของตัวแปรคือฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและค่าคงที่ตามอำเภอใจโดยใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ (การยกกำลังจำนวนเต็ม) การหาร และการหยั่งราก ฟังก์ชันอตรรกยะแตกต่างจากฟังก์ชันตรรกยะตรงที่ฟังก์ชันอตรรกยะประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับการแยกราก
ฟังก์ชันอตรรกยะมีสามประเภทหลักๆ ซึ่งอินทิกรัลไม่ จำกัด จะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ที่มีรากของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (รากอาจมีกำลังต่างกัน แต่มาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นเดียวกัน) อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินามและอินทิกรัลกับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง
หมายเหตุสำคัญ รากมีหลายความหมาย!
เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่มีรูต มักจะพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอินทิเกรตคือที่ไหน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่านั่นคือที่ t >< 0 , |t| = ต- ที่ที 0 0 , |t| = - ที .< 0 ดังนั้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากรณีต่างๆ t > แยกต่างหาก 0 และที< 0 - ซึ่งสามารถทำได้โดยการเขียนป้ายหรือที่ใดก็ตามที่จำเป็น สมมติว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงกรณี t >
แนวทางที่สองก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยที่อินทิแกรนด์และผลลัพธ์ของอินทิเกรตถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรที่ซับซ้อน ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่ต้องใส่ใจกับสัญญาณในสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง วิธีการนี้ใช้ได้หากปริพันธ์เป็นเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ทั้งอินทิกรัลและอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ดังนั้น หลังจากการบูรณาการ เมื่อแทนที่ค่าตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสาขาที่มีค่าเดียว (พื้นผิว Riemann) ของปริพันธ์ และเลือกสาขาที่สอดคล้องกันของผลการรวม
ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน
สิ่งเหล่านี้คืออินทิกรัลที่มีรากจากฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนเดียวกัน:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ คือจำนวนตรรกยะ m 1, n 1, ..., m s, n s คือจำนวนเต็ม α, β, γ, δ เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน:
โดยที่ n คือตัวส่วนร่วมของตัวเลข r 1, ..., r s
รากอาจไม่จำเป็นต้องมาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น แต่ยังมาจากฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย (γ = 0 , δ = 1) หรือบนตัวแปรอินทิเกรต x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
,
.
อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม
อินทิกรัลจากดิฟเฟอเรนเชียลทวินามมีรูปแบบ:
,
โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี
1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
ในกรณีอื่นๆ อินทิกรัลดังกล่าวจะไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน
บางครั้งอินทิกรัลดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้สูตรการลด:
;
.
ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง
อินทิกรัลดังกล่าวมีรูปแบบ:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ สำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวนั้นมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา
1)
การใช้การแปลงทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น
2)
ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติหรือไฮเปอร์โบลิก
3)
ใช้การทดแทนออยเลอร์
ลองดูวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด
1) การแปลงฟังก์ชันปริพันธ์
การใช้สูตรและดำเนินการแปลงพีชคณิตเราจะลดฟังก์ชันปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบ:
,
โดยที่ φ(x), ω(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ
ประเภทที่ 1
ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n
อินทิกรัลดังกล่าวพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยใช้เอกลักษณ์:
.
การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i
ประเภทที่สอง
ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m
การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม
ประเภทที่สาม
ที่นี่เราทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ t ในตัวส่วนกลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
,
,
ซึ่งรวมเข้าด้วยกันโดยการทดแทน:
คุณ 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1
โวลต์ 2 = ก 1 + ค 1 เสื้อ -2 .
2) การทดแทนตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก
สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม , a > 0
,
เรามีตัวสำรองหลักๆ อยู่ 3 ตัว:
;
;
;
สำหรับปริพันธ์ ก > 0
,
เรามีการทดแทนดังต่อไปนี้:
;
;
;
และสุดท้าย สำหรับอินทิกรัล, a > 0
,
การทดแทนมีดังนี้:
;
;
;
3) การเปลี่ยนตัวออยเลอร์
นอกจากนี้ อินทิกรัลยังสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0;
, สำหรับค > 0 ;
โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0
ถ้าสมการนี้มีรากจริง
อินทิกรัลรูปไข่
,
โดยสรุป ให้พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
โดยที่ R เป็นฟังก์ชันตรรกยะ
.
อินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าวงรี โดยทั่วไป พวกมันจะไม่แสดงออกผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีหลายกรณีที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ A, B, C, D, E ซึ่งอินทิกรัลดังกล่าวแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับพหุนามแบบสะท้อนกลับ การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าวดำเนินการโดยใช้การทดแทน:
.
ตัวอย่าง
คำนวณอินทิกรัล:
.
สารละลาย 0
มาทำการทดแทนกันเถอะ 0
ที่นี่ที่ x >< 0
(คุณ>< 0
) ใช้เครื่องหมายบน ′+ ′ ที่เอ็กซ์
.
(คุณ
) - ต่ำกว่า '- '.
คำตอบ