ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น

เมทริกซ์แนวทแยงมีโครงสร้างที่ง่ายที่สุด คำถามเกิดขึ้นว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะค้นหาพื้นฐานที่เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะมีรูปแบบแนวทแยง มีพื้นฐานดังกล่าวอยู่
ให้เราได้รับปริภูมิเชิงเส้น R n และตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่ทำหน้าที่ในนั้น ในกรณีนี้ ตัวดำเนินการ A จะรับ R n เข้าไปในตัวมันเอง นั่นคือ A:R n → R n

คำนิยาม. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A ถ้าตัวดำเนินการ A โยงกับเวกเตอร์แนวเส้นตรงของมัน กล่าวคือ ตัวเลข γ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A ซึ่งสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
ให้เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
1. อะไรก็ได้ การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ตัวดำเนินการ A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน λ คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน
2. ไอเกนเวกเตอร์ ตัวดำเนินการ A ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่ แล 1 , แล 2 , …, แลม m มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
3. หากค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ดา 1 = แลมบ์ดา 2 = แลม = แลม ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ จะสอดคล้องกับค่าไอเกนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นไม่เกิน m

ดังนั้น ถ้ามีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น n ตัว ซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n จากนั้นพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้นตรง ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นพื้นฐานของปริภูมิ R n ได้ ให้เราค้นหารูปแบบของเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมัน ซึ่งเราจะกระทำกับตัวดำเนินการ A บนเวกเตอร์พื้นฐาน: แล้ว .
ดังนั้นเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงมีรูปแบบเส้นทแยงมุมและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A อยู่ในแนวทแยง
มีพื้นฐานอื่นที่เมทริกซ์มีรูปแบบแนวทแยงหรือไม่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ในฐาน (i = 1..n) มีรูปแบบเส้นทแยงมุม ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งหมดของฐานเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A

กฎสำหรับการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ให้เวกเตอร์ถูกกำหนดไว้

โดยที่ x 1, x 2, …, xn คือพิกัดของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับฐาน

และเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ดา นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์

. (*)

สมการ (*) ถือได้ว่าเป็นสมการในการค้นหา และ นั่นคือ เราสนใจวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เป็นที่ทราบกันดีว่าการแก้ปัญหาที่ไม่ซับซ้อนของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นมีอยู่ก็ต่อเมื่อ det(A - แลมบ์ดา) = 0 ดังนั้น การที่ แล จะเป็นค่าลักษณะเฉพาะของโอเปอเรเตอร์ A จึงจำเป็นและเพียงพอที่ det(A - แลมบ์ E) = 0
หากเขียนสมการ (*) โดยละเอียดในรูปแบบพิกัด เราจะได้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

(1)
ที่ไหน - เมทริกซ์ตัวดำเนินการเชิงเส้น

ระบบ (1) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของมันคือ D เท่ากับศูนย์

เราได้รับสมการในการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ
สมการนี้เรียกว่าสมการคุณลักษณะและสมการของมัน ด้านซ้าย- พหุนามคุณลักษณะของเมทริกซ์ (ตัวดำเนินการ) A. หากพหุนามลักษณะเฉพาะไม่มีรากที่แท้จริง เมทริกซ์ A จะไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและไม่สามารถลดให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยงได้
ให้ แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ เป็นรากที่แท้จริงของสมการลักษณะเฉพาะ และในจำนวนนั้นอาจมีทวีคูณก็ได้ แทนที่ค่าเหล่านี้ในระบบ (1) เราจะพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 12 ตัวดำเนินการเชิงเส้น A ทำหน้าที่ใน R 3 ตามกฎหมาย โดยที่ x 1, x 2, .., xn คือพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐาน , , - ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการนี้
สารละลาย. เราสร้างเมทริกซ์ของตัวดำเนินการนี้:
.
เราสร้างระบบสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

เราเขียนสมการลักษณะเฉพาะและแก้มัน:

.
แล 1,2 = -1, แล 3 = 3
เมื่อแทน แล = -1 ลงในระบบ เราก็จะได้:
หรือ
เพราะ จากนั้นจะมีตัวแปรตามสองตัวและตัวแปรอิสระหนึ่งตัว
ให้ x 1 เป็นค่าที่ไม่รู้จักฟรี เราแก้ระบบนี้ในทางใดทางหนึ่งและค้นหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบนี้: ระบบการแก้ปัญหาพื้นฐานประกอบด้วยโซลูชันเดียว เนื่องจาก n - r = 3 - 2 = 1
เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -1 มีรูปแบบ: โดยที่ x 1 คือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์ ลองเลือกเวกเตอร์หนึ่งตัวจากชุดนี้ เช่น ใส่ x 1 = 1: .
การให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แล = 3: .
ในปริภูมิ R 3 ฐานประกอบด้วยเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามตัว แต่เราได้รับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงเส้นตรงเพียงสองตัวเท่านั้น ซึ่งไม่สามารถประกอบพื้นฐานใน R 3 ได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถลดเมทริกซ์ A ของตัวดำเนินการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบแนวทแยงได้

ตัวอย่างที่ 13 กำหนดให้มีเมทริกซ์ .
1. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A จงหาค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้
2. ค้นหาพื้นฐานที่เมทริกซ์ A มีรูปแบบแนวทแยง
สารละลาย.
1. ถ้า แล้ว เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

.
เวกเตอร์ (1, 8, -1) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ แล = -1
เมทริกซ์มีรูปแบบเส้นทแยงมุมบนพื้นฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หนึ่งในนั้นมีชื่อเสียง เรามาค้นหาส่วนที่เหลือกันเถอะ
เราค้นหา eigenvector จากระบบ:

สมการลักษณะ: ;
(3 + แลม)[-2(2-แลม)(2+แลม)+3] = 0; (3+แล)(แลม 2 - 1) = 0
แล 1 = -3, แล 2 = 1, แล 3 = -1
มาหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แล = -3:

อันดับของเมทริกซ์ของระบบนี้คือ 2 และเท่ากับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ ดังนั้นระบบนี้จึงมีคำตอบเป็นศูนย์เท่านั้น x 1 = x 3 = 0 x 2 ในที่นี้สามารถเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น x 2 = 1. ดังนั้น เวกเตอร์ (0 ,1,0) จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ แล = -3 มาตรวจสอบกัน:
.
ถ้า แล = 1 เราจะได้ระบบ
อันดับของเมทริกซ์คือสอง เราขีดฆ่าสมการสุดท้าย
ให้ x 3 เป็นสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี จากนั้น x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3
สมมติว่า x 3 = 1 เรามี (-3,-9,1) - เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แล = 1 ตรวจสอบ:

.
เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นจริงและชัดเจน เวกเตอร์ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นพื้นฐานใน R 3 . ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้ว , , เมทริกซ์ A มีรูปแบบ:
.
ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A:R n → R n จะสามารถลดลงเป็นรูปแบบแนวทแยงได้ เนื่องจากสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัวอาจมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเชิงเส้นอิสระน้อยกว่า n ตัว อย่างไรก็ตามหากเมทริกซ์มีความสมมาตรรากของสมการคุณลักษณะของการคูณ m จะสอดคล้องกับ m เวกเตอร์อิสระเชิงเส้นทุกประการ

คำนิยาม. เมทริกซ์สมมาตรคือเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลักเท่ากันนั่นคือในนั้น .
หมายเหตุ 1. ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรนั้นเป็นค่าจริง
2. เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่นั้นตั้งฉากกัน
เนื่องจากเป็นหนึ่งในการใช้งานเครื่องมือที่ศึกษาจำนวนมาก เราจะพิจารณาปัญหาในการกำหนดประเภทของเส้นโค้งลำดับที่สอง

เรียกเวกเตอร์ X ≠ 0 eigenvectorตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์ A ถ้ามีตัวเลข เช่นนั้น AX =  X

ในกรณีนี้ จะมีการเรียกหมายเลข ` ค่าลักษณะเฉพาะตัวดำเนินการ (เมทริกซ์ A) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ x

กล่าวอีกนัยหนึ่ง eigenvector คือเวกเตอร์ที่ภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้น แปลงสภาพเป็นเวกเตอร์คอลลิเนียร์ กล่าวคือ แค่คูณด้วยจำนวนหนึ่ง ในทางตรงกันข้าม เวกเตอร์ที่ไม่เหมาะสมจะแปลงได้ยากกว่า

ลองเขียนคำจำกัดความของ eigenvector ในรูปแบบของระบบสมการ:

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

ระบบหลังสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้

(A - ïE)X = O

ระบบผลลัพธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ X = O ระบบดังกล่าวซึ่งมีเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับศูนย์จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน- ถ้าเมทริกซ์ของระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อใช้สูตรของแครมเมอร์ เราจะได้คำตอบเฉพาะเสมอ นั่นคือศูนย์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้เท่ากับศูนย์เท่านั้น เช่น

|ก - E| - = 0

สมการนี้เรียกว่าสมการที่ไม่ทราบค่า สมการลักษณะเฉพาะ(พหุนามลักษณะเฉพาะ) เมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น)

สามารถพิสูจน์ได้ว่าพหุนามคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐาน

เช่น เรามาค้นหากัน ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ระบุโดยเมทริกซ์ A =

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างสมการคุณลักษณะ |A - E| กัน - = (1 - ) 2 – 36 = 1 – 2  + 2 2 - 36 = 2 – 2 35; ง = 4 + 140 = 144; ค่าลักษณะเฉพาะ 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7

ในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราจะแก้สมการสองระบบ

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

ประการแรกเมทริกซ์แบบขยายจะอยู่ในรูปแบบ

โดยที่ x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s เช่น X (1) = (-(2/3)s; s)

ประการที่สองเมทริกซ์ที่ขยายจะอยู่ในรูปแบบ

จากที่ไหน x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1 เช่น X (2) = ((2/3)s 1; s 1)

ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นนี้คือเวกเตอร์ทั้งหมดของรูปแบบ (-(2/3)с; с) ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ (-5) และเวกเตอร์ทั้งหมดของรูปแบบ ((2/3)с 1 ; с 1) ด้วย ค่าลักษณะเฉพาะ 7

สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ของตัวดำเนินการ A บนพื้นฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นเป็นเส้นทแยงมุมและมีรูปแบบ:

โดยที่ ` i คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

สิ่งที่กลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเมทริกซ์ A ในบางฐานเป็นเส้นทแยงมุม แล้วเวกเตอร์ทั้งหมดของฐานนี้จะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าหากตัวดำเนินการเชิงเส้นมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเป็นคู่ ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันจะเป็นอิสระเชิงเส้น และเมทริกซ์ของตัวดำเนินการนี้บนพื้นฐานที่สอดคล้องกันจะมีรูปแบบแนวทแยง

คำจำกัดความ 5.3 เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ x ในปริภูมิเชิงเส้นแอลเรียกว่า eigenvector ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A: L → L ถ้าสำหรับจำนวนจริง A ความสัมพันธ์ Ax = แลมx ยังคงอยู่ ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลข lam ค่าลักษณะเฉพาะ (ค่าลักษณะเฉพาะ) ของตัวดำเนินการเชิงเส้น ก.

ตัวอย่างที่ 5.3สเปซเชิงเส้น K n [x] ของพหุนามที่มีดีกรีมากที่สุด n มีพหุนามที่มีดีกรีเป็นศูนย์ เช่น ฟังก์ชั่นถาวร เนื่องจาก dc/dx = 0 = 0 c พหุนามของดีกรีศูนย์ p(x) = c ≠ 0 คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการหาอนุพันธ์เชิงเส้น และจำนวน แล = 0 คือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการนี้ -

ชุดของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของตัวดำเนินการเชิงเส้นเรียกว่า สเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้น - เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแต่ละตัวมีความเกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะของตัวเอง อันที่จริง หากเวกเตอร์ x เป็นไปตามความเท่าเทียมกันสองค่าพร้อมกัน Ax = แลมบ์ และ Ax = μx ดังนั้น แลมบ์ = μx โดยที่ (แล - μ)x = 0 ถ้า แล - μ ≠ 0 ให้คูณความเท่าเทียมกันด้วยตัวเลข (แล - μ ) -1 และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ x = 0 แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นไม่เป็นศูนย์เสมอไป

ค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่ามีค่าลักษณะเฉพาะของตัวเอง และมีค่าลักษณะเฉพาะมากมายไม่สิ้นสุด อันที่จริง ถ้า x เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่มีค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ดา นั่นคือ Ах = lahx ดังนั้นสำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ α เรามี αx ≠ 0 และ А(αх) = α(Ах) = αγx = lad(αx) ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ αx ก็เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นเช่นกัน

หมายเหตุ 5.1.พวกเขามักจะพูดถึง ค่าลักษณะเฉพาะ (ตัวเลข) สเปกตรัม และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จตุรัส - นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้ เมทริกซ์ A ของลำดับ n คือ เมทริกซ์บาง ตัวดำเนินการเชิงเส้นในคงที่ พื้นฐาน, ปฏิบัติการใน สเปซเชิงเส้น n มิติ- เช่น ถ้าเราหยุดที่ พื้นฐานมาตรฐานในปริภูมิเลขคณิตเชิงเส้น R n จากนั้นเมทริกซ์ A จะกำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้น A โดยจับคู่เวกเตอร์ x ∈ R n ด้วยคอลัมน์พิกัด x กับเวกเตอร์ที่มีคอลัมน์พิกัด Ax เมทริกซ์ A ก็คือเมทริกซ์ A นั่นเอง เป็นเรื่องปกติที่จะระบุตัวดำเนินการด้วยเมทริกซ์ในลักษณะเดียวกับเวกเตอร์เลขคณิตที่ระบุด้วยคอลัมน์ของพิกัด การระบุนี้ซึ่งมักใช้และไม่ได้ระบุไว้เสมอไป ทำให้สามารถถ่ายโอนเงื่อนไข "ตัวดำเนินการ" ไปยังเมทริกซ์ได้

สเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับมัน สมการลักษณะเฉพาะ.

ทฤษฎีบท 5.3เพื่อให้จำนวนจริง แล กลายเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นรากของสมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการนี้

◄ ความจำเป็น ปล่อยให้ตัวเลข γ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A: L → L ซึ่งหมายความว่ามีเวกเตอร์ x ≠ 0 ซึ่ง

ขวาน = แลมบ์ (5.2)

โปรดทราบว่าใน L มี ตัวดำเนินการระบุตัวตน I: Ix = x สำหรับเวกเตอร์ x ใดๆ เมื่อใช้โอเปอเรเตอร์นี้ เราจะแปลงค่าความเท่าเทียมกัน (5.2): Ах = λIx หรือ

(A - แลมบ์ดา)x = 0 (5.3)

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (5.3) ในบางพื้นฐาน b เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A - แลมบ์จะเป็นเมทริกซ์ A - แลมบ์ โดยที่ A คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ในฐาน b และ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และให้ x เป็นคอลัมน์ของพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x . จากนั้น x ≠ 0 และความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (5.3) เทียบเท่ากับเมทริกซ์

(A - แลมอี)x = 0, (5.4)

ซึ่งเป็นรูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์ (SLAE) ด้วย เมทริกซ์จตุรัส A - แลมบ์ของคำสั่ง n ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งก็คือคอลัมน์พิกัด x ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x ดังนั้นเมทริกซ์ A - แลมบ์ของระบบ (5.4) จึงมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ เช่น det(A - แลมบ์อี) = 0 ซึ่งหมายความว่า แล คือรากของสมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A

ความเพียงพอ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการใช้เหตุผลข้างต้นสามารถดำเนินการในลำดับย้อนกลับได้ ถ้า γ เป็นรากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นบนพื้นฐานที่กำหนด b ความเท่าเทียมกัน det (A - แลมบ์) = 0 จะคงอยู่ ดังนั้น เมทริกซ์ของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน (5.4) ซึ่งเขียนในรูปแบบเมทริกซ์จะเสื่อมลง และ ระบบมีสารละลายไม่เป็นศูนย์ x ผลเฉลยที่ไม่เป็นศูนย์นี้คือชุดของพิกัดบนฐาน b ของเวกเตอร์ x ที่ไม่เป็นศูนย์บางตัว ซึ่งความเสมอภาคของเวกเตอร์ (5.3) หรือความเท่าเทียมกันที่เทียบเท่า (5.2) ยังคงอยู่ เราได้ข้อสรุปว่าตัวเลข แล คือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A

ค่าลักษณะเฉพาะ แล แต่ละตัวของเมทริกซ์ (ตัวดำเนินการเชิงเส้น) สัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะของมัน ความหลากหลายโดยทำให้มันเท่ากับจำนวนหลายหลากของราก แล ของสมการคุณลักษณะของเมทริกซ์นี้ (ของตัวดำเนินการเชิงเส้นนี้)

เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดของตัวดำเนินการเชิงเส้นนั้นไม่ใช่ สเปซย่อยเชิงเส้นเนื่องจากชุดนี้ไม่มี เวกเตอร์เป็นศูนย์ซึ่งตามคำนิยามแล้วไม่เหมาะสม แต่สิ่งกีดขวางที่เป็นทางการและถอดออกได้ง่ายนี้เป็นเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น ให้เราแสดงด้วย £(A, แลมบ์ดา) เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ในปริภูมิเชิงเส้น L ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แลมบ์ดา โดยเพิ่มเวกเตอร์ศูนย์เข้าไปในเซตนี้

ทฤษฎีบท 5.4เซต £(A,λ) เป็นสับสเปซเชิงเส้นในหน่วย L

◄ ลองเลือกสองตามใจชอบกัน เวกเตอร์ x,y∈ £(A, λ) และพิสูจน์ว่าสำหรับ α และ β จริงใด ๆ เวกเตอร์ αx + βу ก็เป็นของ £(A, λ) ด้วย ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณภาพของเวกเตอร์นี้ภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้น A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = แลม(αx) + แล(βу) = γ(αx + βу)

ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์ z = αх + βу ความสัมพันธ์ Az = λz ยังคงอยู่ ถ้า z เป็นเวกเตอร์ศูนย์ มันจะอยู่ใน £(A,แล) หากไม่เป็นศูนย์ ตามความสัมพันธ์ที่พิสูจน์แล้ว มันเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะ λ และอีกครั้งเป็นของชุด £(A, แลม)

บางครั้งเรียกว่าสเปซย่อยเชิงเส้น £(A,λ) eigensubspace ของตัวดำเนินการเชิงเส้น - ถือเป็นกรณีพิเศษ สเปซที่ไม่แปรเปลี่ยน ตัวดำเนินการเชิงเส้น A - สเปซย่อยเชิงเส้นซึ่งสำหรับเวกเตอร์ x ∈ H ใดๆ เวกเตอร์ Ax ก็เป็นของ H เช่นกัน

สเปซย่อยที่ไม่แปรเปลี่ยนของตัวดำเนินการเชิงเส้นยังเป็นช่วงเชิงเส้นของระบบใดๆ ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมันด้วย สเปซย่อยที่ไม่แปรเปลี่ยนของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมันคือ รูปภาพตัวดำเนินการ.

สำหรับเมทริกซ์ A หากมีตัวเลข l ดังนั้น AX = lX

ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลข l ค่าลักษณะเฉพาะตัวดำเนินการ (เมทริกซ์ A) ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ X

ลองเขียนคำจำกัดความของ eigenvector ในรูปแบบของระบบสมการ:

ย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

ระบบหลังสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้

(A - lE)X = O

ระบบผลลัพธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ X = O ระบบดังกล่าวซึ่งมีเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับศูนย์จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน- หากเมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมื่อใช้สูตรของแครมเมอร์ เราจะได้คำตอบเฉพาะเสมอ - ศูนย์ สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้เท่ากับศูนย์เท่านั้น เช่น

|เอ - เลอี| - = 0

สมการนี้ที่ไม่ทราบค่า l เรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะ (พหุนามลักษณะเฉพาะ) เมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น)

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์ A =

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างสมการคุณลักษณะ |A - lE| กัน - = (1 - ลิตร) 2 - 36 = 1 - 2ล. + ลิตร 2 - 36 = ลิตร 2 - 2ล. - 35 = 0; ง = 4 + 140 = 144; ค่าลักษณะเฉพาะ l 1 = (2 - 12)/2 = -5; ลิตร 2 = (2 + 12)/2 = 7

ในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราจะแก้สมการสองระบบ

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

ประการแรกเมทริกซ์แบบขยายจะอยู่ในรูปแบบ

โดยที่ x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s เช่น X (1) = (-(2/3)s; s)

ประการที่สองเมทริกซ์ที่ขยายจะอยู่ในรูปแบบ

จากที่ไหน x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1 เช่น X (2) = ((2/3)s 1; s 1)

โดยที่ ฉัน คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้

เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างก่อนหน้านี้ ลองใช้ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์โดยพลการ c และ c 1 แต่เพื่อให้เวกเตอร์ X (1) และ X (2) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นเช่น จะเป็นการสร้างพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ให้ c = c 1 = 3 จากนั้น X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3)

มาตรวจสอบให้แน่ใจกัน ความเป็นอิสระเชิงเส้นเวกเตอร์เหล่านี้:

12 ≠ 0 ในพื้นฐานใหม่นี้ เมทริกซ์ A จะอยู่ในรูปแบบ A * =

เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ให้ใช้สูตร A * = C -1 AC ก่อนอื่น มาหา C -1 กันก่อน

ค -1 = ;

รูปร่างกำลังสอง

รูปร่างกำลังสอง f(x 1, x 2, x n) ของตัวแปร n ตัวเรียกว่าผลรวม ซึ่งแต่ละเทอมจะเป็นกำลังสองของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง หรือผลคูณของตัวแปรสองตัวที่ต่างกัน ซึ่งใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน: f(x 1 , x 2, x n) = (อาจ = อาจิ)

เมทริกซ์ A ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่า เมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง ก็เสมอกัน สมมาตรเมทริกซ์ (เช่น เมทริกซ์สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก a ij = a ji)

ในรูปแบบเมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองคือ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

เช่น ลองเขียนเข้าไป รูปแบบเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสอง องค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรกำลังสอง และองค์ประกอบที่เหลือจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของรูปแบบกำลังสอง นั่นเป็นเหตุผล

ปล่อยให้เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร X ได้รับจากการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของเมทริกซ์คอลัมน์ Y เช่น X = CY โดยที่ C คือเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ในลำดับที่ n จากนั้นรูปแบบกำลังสอง f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y

ดังนั้น ด้วยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง C เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองจึงมีรูปแบบ: A * = C T AC

ตัวอย่างเช่น ลองหารูปแบบกำลังสอง f(y 1, y 2) ซึ่งได้จากรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 โดยการแปลงเชิงเส้น

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ตามบัญญัติ(มี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด a ij = 0 สำหรับ i ≠ j เช่น
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =

เมทริกซ์ของมันคือเส้นทแยงมุม

ทฤษฎีบท(ไม่ได้ให้หลักฐานไว้ที่นี่) รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถลดขนาดลงได้ รูปแบบบัญญัติโดยใช้การแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อม

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ขั้นแรกให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 1:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

จากนั้นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 และ y 3 = x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน f(y 1, y 2 , ปี 3) = 2ปี 1 2 - 5ปี 2 2 + (1/20)ปี 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ในรูปแบบที่แตกต่างกัน- อย่างไรก็ตามได้รับ ในรูปแบบต่างๆรูปแบบบัญญัติมีจำนวนของ คุณสมบัติทั่วไป- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการลดรูปแบบให้อยู่ในรูปแบบนี้ (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ลบสองค่าและค่าบวกหนึ่งค่าเสมอ) คุณสมบัตินี้เรียกว่ากฎความเฉื่อยของรูปแบบกำลังสอง

ขอให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยนำรูปแบบกำลังสองเดียวกันมาสู่รูปแบบมาตรฐานในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (ปี 1 , ปี 2 , ปี 3) = -3ปี 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 และ y 3 = x 1 . ที่นี่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ -3 ที่ y 1 และค่าสัมประสิทธิ์บวกสองตัว 3 และ 2 ที่ y 2 และ y 3 (และเมื่อใช้วิธีอื่นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ลบ (-5) ที่ y 2 และค่าบวกสองตัว: 2 ที่ y 1 และ 1/20 ที่ปีที่ 3)

ควรสังเกตด้วยว่าอันดับของเมทริกซ์รูปแบบกำลังสองเรียกว่า อันดับของรูปแบบกำลังสองเท่ากับจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบบัญญัติและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในเชิงบวก (เชิงลบ) แน่ใจถ้าสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวกนั่นคือ f(X) > 0 (ลบ เช่น
ฉ(เอ็กซ์)< 0).

ตัวอย่างเช่น รูปกำลังสอง f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก เนื่องจาก คือผลรวมของกำลังสอง และรูปแบบกำลังสอง f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นลบ เนื่องจาก แสดงว่าสามารถแสดงเป็น f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2

ในสถานการณ์จริงส่วนใหญ่ การสร้างเครื่องหมายที่แน่นอนของรูปกำลังสองจะยากกว่า ดังนั้นในกรณีนี้เราใช้ทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งต่อไปนี้ (เราจะกำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์)

ทฤษฎีบท- รูปแบบกำลังสองเป็นบวก (ลบ) แน่นอนหากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นบวก (ลบ)

ทฤษฎีบท(เกณฑ์ซิลเวสเตอร์) รูปแบบกำลังสองมีค่าเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่ารองนำหน้าทั้งหมดของเมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นบวกเท่านั้น

หลัก (มุม) ผู้เยาว์เมทริกซ์ลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A ของลำดับที่ n เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

โปรดทราบว่าสำหรับรูปกำลังสองแน่นอนที่เป็นลบ เครื่องหมายของตัวรองหลักจะสลับกัน และตัวรองอันดับแรกต้องเป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 เพื่อดูความแน่นอนของเครื่องหมาย

= (2 - ลิตร)*
*(3 - ลิตร) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; ง = 25 - 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก

วิธีที่ 2 Principal minor ของลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0 Principal minor ของลำดับที่สอง D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Sylvester รูปกำลังสองคือ บวกแน่นอน

เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสองอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อหาค่าแน่นอนของเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ง = 25 - 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ

วิธีที่ 2 หลักของเมทริกซ์ลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. ดังนั้น ตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ รูปแบบกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ (สัญญาณของผู้เยาว์หลักสลับกัน โดยเริ่มจากเครื่องหมายลบ)

และอีกตัวอย่างหนึ่ง เราจะตรวจสอบรูปแบบกำลังสองที่กำหนดเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; ง = 1 + 40 = 41;
.

หนึ่งในจำนวนเหล่านี้เป็นลบและอีกจำนวนหนึ่งเป็นค่าบวก สัญญาณของค่าลักษณะเฉพาะนั้นแตกต่างกัน ดังนั้น รูปกำลังสองจึงไม่สามารถกำหนดนิยามทั้งทางลบและทางบวกได้ กล่าวคือ รูปแบบกำลังสองนี้ไม่มีเครื่องหมายที่แน่นอน (สามารถรับค่าของเครื่องหมายใดก็ได้)

วิธีที่ 2. Principal minor ของลำดับที่ 1 ของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0. Principal minor ของลำดับที่ 2 D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).