วิธีคูณลากรองจ์(ในวรรณคดีอังกฤษ“ วิธีการของ LaGrange ของตัวคูณที่ไม่ได้กำหนดไว้”) สเปนเป็นวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ช่วยให้คุณกำหนดส่วนปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ "ตามเงื่อนไข" (ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด)

เมื่อมีข้อจำกัดที่ระบุในตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน (เช่น พื้นที่ ค่าที่ยอมรับได้)

สเปน นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (พารามิเตอร์ที่ควบคุมได้) บนโดเมนจริงซึ่งค่าฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะสุดขีด การใช้ชื่อ "เงื่อนไข" สุดขั้วนั้นเกิดจากการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้ เงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งจำกัดช่วงของค่าที่ยอมรับได้เมื่อค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน

วิธีตัวคูณลากรองจ์ช่วยให้เกิดปัญหาในการค้นหาส่วนปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดของค่าที่ยอมรับได้เพื่อแปลงเป็นปัญหาของการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันแบบไม่มีเงื่อนไข

ในกรณีที่มีฟังก์ชั่น และ มีความต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อย จากนั้นจะมีตัวแปรดังกล่าว แล ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน โดยเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ดังนั้น ตามวิธีตัวคูณลากรองจ์ เพื่อค้นหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนเซตของค่าที่ยอมรับได้ ฉันจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ L(x, แลมบ์ดา) ซึ่งได้รับการปรับให้เหมาะสมเพิ่มเติม:

โดยที่ θ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเพิ่มเติมที่เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

ดังนั้น ปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) จึงลดลงเหลือเพียงปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์)

และ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชันลากรองจ์นั้นกำหนดโดยระบบสมการ (ระบบประกอบด้วยสมการ "n + m"):

การแก้ระบบสมการนี้ช่วยให้เราสามารถระบุอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (X) โดยที่ค่าของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์ดา) รวมถึงค่าของฟังก์ชันเป้าหมาย f(x) สอดคล้องกับค่าสุดขีด

ขนาดของตัวคูณลากรองจ์ (แล) มีประโยชน์ในทางปฏิบัติหากมีการนำเสนอข้อจำกัดในรูปแบบที่มีเงื่อนไขอิสระในสมการ (ค่าคงที่) ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาค่าเพิ่มเติม (เพิ่ม/ลด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ในระบบสมการ ดังนั้นตัวคูณลากรองจ์จึงแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อค่าคงที่จำกัดเปลี่ยนแปลง

มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของส่วนปลายของฟังก์ชันผลลัพธ์:

วิธีแรก: กำหนดให้เป็นพิกัดของจุดสุดขั้ว และเป็นค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จุดที่ใกล้กับจุดนั้นจะถูกนำมาคำนวณและคำนวณค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์:

ถ้า แล้วจะมีจุดสูงสุดที่จุดนั้น

ถ้า แล้วมีขั้นต่ำที่จุด

วิธีที่สอง: เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งสามารถกำหนดลักษณะของปลายสุดได้คือสัญญาณของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

ถ้าเข้า. จุดที่กำหนดให้ ขั้นต่ำ, ถ้า , ที่ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ f(x) มีเงื่อนไข สูงสุด.

วิธีที่สาม: นอกจากนี้ ลักษณะของปลายสุดของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้โดยพิจารณาจาก Hessian ของฟังก์ชันลากรองจ์ เมทริกซ์ Hessian เป็นแบบสมมาตร เมทริกซ์จตุรัสอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดที่องค์ประกอบของเมทริกซ์มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก

หากต้องการกำหนดประเภทของค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน) คุณสามารถใช้กฎของซิลเวสเตอร์ได้:

1. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายบวก จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะต้องเป็นบวก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าขั้นต่ำ

2. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายลบ จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะสลับกัน และองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ต้องเป็นค่าลบv ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าสูงสุด

โดยเชิงมุมไมเนอร์ เราหมายถึงไมเนอร์ที่อยู่ใน k แถวแรกและ k คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ดั้งเดิม

พื้นฐาน ความสำคัญในทางปฏิบัติวิธีการลากรองจ์คือช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีเงื่อนไขไปสู่การปรับให้เหมาะสมแบบไม่มีเงื่อนไข และขยายคลังแสงตามไปด้วย วิธีการที่มีอยู่การแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม ปัญหาของการแก้ระบบสมการซึ่งวิธีการนี้ลดลงนั้น ในกรณีทั่วไปนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายไปกว่านี้แล้ว ปัญหาเดิมกำลังมองหาสุดขั้ว วิธีการดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม การใช้งานอธิบายได้จากความจำเป็นในการได้รับการแก้ไขปัญหาที่รุนแรงในรูปแบบการวิเคราะห์ (ตัวอย่างเช่น สำหรับการคำนวณทางทฤษฎีบางอย่าง) เมื่อแก้เฉพาะเจาะจง ปัญหาในทางปฏิบัติโดยปกติแล้วจะใช้วิธีการโดยตรงโดยขึ้นอยู่กับกระบวนการคำนวณซ้ำและเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม

วิธีการคำนวณ

1 ขั้นตอน: เรากำหนดฟังก์ชันลากรองจ์จากฟังก์ชันวัตถุประสงค์และระบบข้อจำกัดที่กำหนด:

ซึ่งไปข้างหน้า

เพื่อที่จะเพิ่มความคิดเห็นของคุณในบทความ กรุณาลงทะเบียนบนเว็บไซต์

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(ที)

ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ck ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

ซีเอ็นเอ็น(t)

สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

ไปยังฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งมีอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งช่วยให้มั่นใจถึงความสามารถในการละลายที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของฟังก์ชัน

ถ้า เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ พิจารณาที่ค่าคงที่ของค่าคงที่การรวมเข้าด้วยกัน จากนั้นฟังก์ชัน

เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ดั้งเดิม การอินทิเกรตของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันต่อหน้าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปกับสมการเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกันจึงลดลงเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ)

วิธีการหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเอกพันธ์โดยไม่ต้องหาคำตอบเฉพาะ

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก ต่อเนื่อง เป็นจริง: 1) มี n เชิงเส้นตรง สมการเฉลยอิสระ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าใด ๆ ของค่าคงที่ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ การแก้สมการ 3) สำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เพื่อให้วิธีแก้ปัญหา y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0, (y*)"( x0) สำหรับ x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

เซตของคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้สมการ

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0 นั่นคือ ตัวเลข l คือรากของสมการคุณลักษณะ ln + a1ln-1 + . .. + an-1l + an = 0 ทางด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an ดังนั้นปัญหาของการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะลดลงในการแก้สมการพีชคณิต

หากสมการคุณลักษณะมี n รากจริงที่แตกต่างกัน l1№ l2 № ... ln ln ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีรากจริงอย่างง่าย

หากรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะใด ๆ ซ้ำ r ครั้ง (r-หลายราก) ดังนั้นในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะมี r ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับมัน ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 ดังนั้นระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการก็จะรวมฟังก์ชัน r ไว้ด้วย: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 ประสบการณ์(lnx)

ตัวอย่างที่ 2 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีที่มีรากจริงหลายอัน

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน แล้วคู่รากเชิงซ้อนอย่างง่าย (ที่มีหลายหลาก 1) แต่ละคู่ lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับคู่ของฟังก์ชัน yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)บาป(bkx)

ตัวอย่างที่ 4 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากจินตภาพ

หากคู่รากที่ซับซ้อนมีหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )บาป(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)บาป(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)บาป(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)บาป(bkx)

ตัวอย่างที่ 5 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายรายการ

ดังนั้น หากต้องการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการคุณลักษณะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; เขียนระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับคำตอบทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy คุณต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น c1 y1( x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) =y0 ,1, ........ , c1 y1 (n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x)

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) จะเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) จึงเป็นคำตอบของ สมการไม่เอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเนื้อเดียวกัน และ ych(x) เป็นคำตอบตามอำเภอใจของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใดๆ ​​x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n ซึ่งจะทำให้คำตอบ y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) เป็นไปตามที่ x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0, (y* )"(x0)=y0,1 , . ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่ n

วิธีค้นหาคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ทางด้านขวามือของรูปแบบ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x) ), Qm(x ) เป็นพหุนามของดีกรี k และ m ตามลำดับ มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างโซลูชันเฉพาะ เรียกว่าวิธีการเลือก

วิธีการเลือกหรือวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียดมีดังต่อไปนี้ วิธีแก้สมการที่ต้องการจะเขียนอยู่ในรูปแบบ: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x ) เป็นพหุนามที่มีระดับ r = สูงสุด(k, m) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 ตัวประกอบ xs เรียกว่า ตัวประกอบเรโซแนนซ์ เสียงสะท้อนเกิดขึ้นในกรณีที่ในบรรดารากของสมการลักษณะเฉพาะนั้นมีราก l =a ± ib ของการคูณ s เหล่านั้น. ถ้าในบรรดารากของสมการลักษณะเฉพาะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันนั้นมีสิ่งหนึ่งที่เป็นเช่นนั้น ส่วนที่แท้จริงเกิดขึ้นพร้อมกับสัมประสิทธิ์ในรูปเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง และจินตภาพเกิดขึ้นพร้อมกับสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ด้านขวาของสมการ และค่าหลายหลากของรูทนี้คือ s ดังนั้นคำตอบบางส่วนที่ต้องการจะมีตัวประกอบพ้องเสียง xs หากไม่มีเหตุบังเอิญ (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยสะท้อน

แทนที่นิพจน์สำหรับโซลูชันเฉพาะลงใน ด้านซ้ายสมการ เราได้พหุนามทั่วไปที่มีรูปแบบเดียวกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

พหุนามทั่วไปสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบที่อยู่ในรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลัง t เท่ากัน เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราจะได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) สำหรับผู้ที่ไม่ทราบค่า 2(r+1) แสดงให้เห็นว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

• วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน จากนั้นเราหาคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม

พิจารณาสมการ:
(1)

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

เรากำลังมองหาคำตอบของสมการเอกพันธ์:

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน

เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:

แล้ว

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:

ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน

ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(2)
การหาอนุพันธ์

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

.
แทนลงในสมการเดิม (1) :
(1) ;

.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2) :
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

แก้สมการ

สารละลาย

เราแก้สมการเอกพันธ์:

เราแยกตัวแปร:

คูณด้วย:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง:

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:

จากที่นี่:

ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)

ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.

วิธีการลากรองจ์

วิธีการลดรูปกำลังสองให้เป็นผลรวมของกำลังสอง ซึ่งระบุในปี 1759 โดย J. Lagrange ให้มันได้รับ

จากตัวแปร x 0 , x 1 ,...,xน. ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากสนาม เคลักษณะ จำเป็นต้องนำแบบฟอร์มนี้ไปสู่รูปแบบบัญญัติ จิตใจ

โดยใช้ไม่เสื่อม การแปลงเชิงเส้นตัวแปร L.m. ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ (1) ไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ดังนั้นจึงเป็นไปได้สองกรณี 1) สำหรับบางคนกรัม

เส้นทแยงมุมแล้ว โดยที่รูปแบบ f 1 (x) ไม่มีตัวแปรเอ็กซ์ ก. 2) ถ้าทุกอย่าง แต่

ที่ โดยที่รูปแบบ f 2 (x) ไม่มีตัวแปรสองตัวและ เอ็กซ์ ก x ชม. แบบฟอร์มใต้เครื่องหมายสี่เหลี่ยมใน (4) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง โดยการใช้การแปลงรูปแบบ (3) และ (4) รูปแบบ (1) หลังจากขั้นตอนจำนวนจำกัดจะลดลงเป็นผลรวมของกำลังสองของความเป็นอิสระเชิงเส้นรูปแบบเชิงเส้น

- การใช้อนุพันธ์ย่อยสามารถเขียนสูตร (3) และ (4) ได้ในรูปแบบสว่าง : G a n t m a k h e r F.ร. ทฤษฎีเมทริกซ์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ม. 2509; K u r o sh A. G., หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง, 11th ed., M. , 1975; Alexandrov P.S. การบรรยายเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์..., M. , 1968

I. V. Proskuryakovสารานุกรมทางคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต

- ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟ

พ.ศ. 2520-2528.ดูว่า "วิธี LAGRANGE" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร: วิธีลากรองจ์

พ.ศ. 2520-2528.- วิธีลากรองจ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์หลายคลาสโดยการค้นหาจุดอาน (x*, แล*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการเท่ากับศูนย์อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้เทียบกับ ... ... (พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์, - วิธีการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์หลายคลาสโดยการค้นหาจุดอาน (x*, ?*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการเทียบอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้เทียบกับ xi และ?i ถึงศูนย์ . ดู ลากรองจ์.) = x ย ค 2 (x, y) = ค 2 บนเครื่องบิน เอ็กซ์โอย.

สิ่งนี้นำไปสู่วิธีการค้นหารากของระบบ สมการไม่เชิงเส้น:

กำหนด (อย่างน้อยโดยประมาณ) ช่วงเวลาของการมีอยู่ของระบบสมการ (10) หรือสมการ (11) ที่นี่มีความจำเป็นต้องคำนึงถึงประเภทของสมการที่รวมอยู่ในระบบขอบเขตของคำจำกัดความของสมการแต่ละสมการ ฯลฯ บางครั้งจะใช้การเลือกการประมาณเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

ตารางการแก้สมการ (11) สำหรับตัวแปร x และ y ในช่วงเวลาที่เลือก หรือสร้างกราฟของฟังก์ชัน ค 1 (พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์, - วิธีการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์หลายคลาสโดยการค้นหาจุดอาน (x*, ?*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการเทียบอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้เทียบกับ xi และ?i ถึงศูนย์ . ดู ลากรองจ์.) = ซีและ ค 2 (x,y) = ค 2 (ระบบ(10))

ค้นหารากของระบบสมการ - ค้นหาหลาย ๆ อัน ค่าต่ำสุดจากตาราง ให้จัดทำตารางรากของสมการ (11) หรือกำหนดจุดตัดของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบ (10)

4. ค้นหารากของระบบสมการ (10) โดยใช้ Add-in การหาทางแก้ไข