กับสาระสำคัญของวิธีลากรองจ์คือการลดปัญหาสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขให้เป็นการแก้ปัญหาสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไข ลองพิจารณารุ่นไม่ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น:

(5.2)

ที่ไหน
– ฟังก์ชั่นที่รู้จัก

ก
– ให้สัมประสิทธิ์

โปรดทราบว่าในการกำหนดปัญหานี้ ข้อจำกัดจะถูกระบุด้วยความเท่าเทียมกัน และไม่มีเงื่อนไขสำหรับตัวแปรที่จะไม่เป็นค่าลบ นอกจากนี้เราเชื่อว่าการทำงาน
ต่อเนื่องกันด้วยอนุพันธ์ย่อยตัวแรก

ให้เราเปลี่ยนเงื่อนไข (5.2) เพื่อให้มีความเท่าเทียมกันทางด้านซ้ายหรือขวา ศูนย์:

(5.3)

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า ประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (5.1) และด้านขวามือของข้อจำกัด (5.3) ซึ่งใช้ตามลำดับพร้อมค่าสัมประสิทธิ์
- จะมีค่าสัมประสิทธิ์ลากรองจ์มากเท่ากับที่มีข้อจำกัดในปัญหา

จุดปลายสุดของฟังก์ชัน (5.4) คือจุดปลายสุด ปัญหาเดิมและในทางกลับกัน: แผนการที่เหมาะสมที่สุดปัญหา (5.1)-(5.2) เป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชันลากรองจ์

แน่จริงก็หาทางแก้สิ
ปัญหา (5.1)-(5.2) จากนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไข (5.3) มาทดแทนแผนกันเถอะ
เข้าสู่ฟังก์ชัน (5.4) และตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (5.5)

ดังนั้น เพื่อที่จะหาแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาเดิม จำเป็นต้องตรวจสอบฟังก์ชันลากรองจ์เพื่อหาส่วนปลายสุด ฟังก์ชันนี้มีค่าสุดขีด ณ จุดที่อนุพันธ์ย่อยของมันเท่ากัน ศูนย์- จุดดังกล่าวเรียกว่า นิ่ง

ให้เรานิยามอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน (5.4)

,

.

หลังจากปรับสมดุลแล้ว ศูนย์อนุพันธ์ที่เราได้รับจากระบบ ม+นสมการด้วย ม+นไม่ทราบ

,(5.6)

ในกรณีทั่วไป ระบบ (5.6)-(5.7) จะมีวิธีแก้ปัญหาหลายอย่าง ซึ่งจะรวมค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันลากรองจ์ทั้งหมด เพื่อเน้นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยรวม ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกคำนวณที่จุดที่พบทั้งหมด ค่าที่ใหญ่ที่สุดของค่าเหล่านี้จะเป็นค่าสูงสุดทั่วโลก และค่าที่น้อยที่สุดจะเป็นค่าต่ำสุดทั่วโลก ในบางกรณีก็สามารถใช้งานได้ มีเงื่อนไขเพียงพอสำหรับภาวะสุดโต่งที่เข้มงวดฟังก์ชั่นต่อเนื่อง (ดูปัญหา 5.2 ด้านล่าง):

ปล่อยให้ทำงาน
ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้สองเท่าในบางพื้นที่ของจุดที่อยู่นิ่ง (เหล่านั้น.
- แล้ว:

ก ) ถ้า
, (5.8)

ที่ – จุดสูงสุดของฟังก์ชันที่เข้มงวด
;

ข) ถ้า
, (5.9)

ที่ – จุดต่ำสุดที่เข้มงวดของฟังก์ชัน
;

ช ) ถ้า
,

แล้วคำถามของการมีอยู่ของสุดขั้วยังคงเปิดอยู่

นอกจากนี้ วิธีแก้ปัญหาบางอย่างของระบบ (5.6)-(5.7) อาจเป็นค่าลบ ซึ่งไม่สอดคล้องกับความหมายทางเศรษฐกิจของตัวแปรต่างๆ ในกรณีนี้ คุณควรพิจารณาแทนที่ค่าลบด้วยค่าศูนย์

ความหมายทางเศรษฐกิจของตัวคูณลากรองจ์ค่าตัวคูณที่เหมาะสมที่สุด
แสดงว่าค่าเกณฑ์จะเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใด ซี เมื่อทรัพยากรเพิ่มขึ้นหรือลดลง เจหนึ่งหน่วย เนื่องจาก

วิธีลากรองจ์ยังสามารถใช้ได้ในกรณีที่ข้อจำกัดคือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นการหาค่าปลายสุดของฟังก์ชัน
ภายใต้เงื่อนไข

,

ดำเนินการในหลายขั้นตอน:

1. กำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ซึ่งจุดเหล่านั้นจะแก้ระบบสมการ

.

2. จากจุดที่อยู่นิ่ง ให้เลือกจุดที่มีพิกัดตรงตามเงื่อนไข

3. ใช้วิธี Lagrange แก้ปัญหาด้วยข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกัน (5.1)-(5.2)

4. ตรวจสอบคะแนนที่พบในขั้นตอนที่สองและสามเพื่อหาค่าสูงสุดโดยรวม: เปรียบเทียบค่าต่างๆ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ณ จุดเหล่านี้ - มูลค่าสูงสุดสอดคล้องกับแผนที่เหมาะสมที่สุด

ปัญหา 5.1ให้เราแก้ปัญหา 1.3 พิจารณาในส่วนแรกโดยใช้วิธีลากรองจ์ การกระจายที่เหมาะสมที่สุดแหล่งน้ำอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

.

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า

ลองหาค่าสูงสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันนี้กัน ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์บางส่วนและจัดให้เป็นศูนย์

,

ดังนั้นเราจึงได้ระบบสมการเชิงเส้นของรูปแบบ

การแก้ระบบสมการแสดงถึงแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกระจายทรัพยากรน้ำในพื้นที่ชลประทาน

, .

ปริมาณ
วัดเป็นแสนลูกบาศก์เมตร
- จำนวนรายได้สุทธิต่อน้ำชลประทานหนึ่งแสนลูกบาศก์เมตร ดังนั้นราคาส่วนเพิ่มของน้ำชลประทาน 1 m 3 จึงเท่ากับ
ถ้ำ หน่วย

รายได้สุทธิเพิ่มเติมสูงสุดจากการชลประทานจะเป็น

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (หน่วยนับ)

ปัญหา 5.2แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น

เรามาแสดงข้อจำกัดดังนี้:

.

ลองเขียนฟังก์ชันลากรองจ์แล้วหาอนุพันธ์ย่อยของมันกัน

.

ในการกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์ ควรตั้งค่าอนุพันธ์ย่อยบางส่วนให้เท่ากับศูนย์ เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการ

.

จากสมการแรกดังต่อไปนี้

. (5.10)

การแสดงออก แทนลงในสมการที่สอง

,

ซึ่งหมายถึงสองวิธีแก้ปัญหาสำหรับ :

และ
. (5.11)

เราได้แทนคำตอบเหล่านี้ลงในสมการที่สาม

,
.

ค่าของตัวคูณ Lagrange และค่าที่ไม่รู้จัก ลองคำนวณโดยใช้นิพจน์ (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

ดังนั้นเราจึงได้คะแนนสูงสุดสองคะแนน:

;
.

เพื่อดูว่าจุดเหล่านี้เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด เราใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วที่เข้มงวด (5.8)-(5.9) การแสดงออกล่วงหน้าสำหรับ ที่ได้จากข้อจำกัดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะแทนที่มันลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์

,

. (5.12)

ในการตรวจสอบเงื่อนไขของค่าสุดขั้วที่เข้มงวด เราควรกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน (5.11) ที่จุดสุดขั้วที่เราพบ
และ
.

,
;

.

ดังนั้น, (·)
คือจุดต่ำสุดของปัญหาเดิม (
), ก (·)
– จุดสูงสุด

แผนที่เหมาะสมที่สุด:

,
,
,

.

การจำแนกปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์

การเขียนโปรแกรม

วิธีการแก้ไขปัญหาไม่เชิงเส้น

คำถามเพื่อความปลอดภัยไปที่ส่วนที่ 4

แผนภาพการแก้ปัญหา ปัญหาการขนส่ง

ให้เราระบุขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาการขนส่ง

1. ตรวจสอบสภาพปิด หากงานเปิดอยู่ ตารางการขนส่งจะเสริมด้วยคอลัมน์ของจุดปริมาณการใช้สมมติหรือแถวของซัพพลายเออร์สมมติ

2. พวกเขากำลังสร้าง แผนอ้างอิง.

3. ตรวจสอบแผนสนับสนุนการไม่เสื่อมถอย หากมีเซลล์ที่ถูกครอบครองไม่เพียงพอที่จะตอบสนองสภาวะที่ไม่เสื่อม เซลล์หนึ่งของตารางการขนส่งจะเต็มไปด้วยอุปทาน เท่ากับศูนย์- หากจำเป็น อนุญาตให้บันทึกการส่งมอบเป็นศูนย์ในหลายเซลล์ได้

4. แผนได้รับการตรวจสอบเพื่อความเหมาะสมที่สุด

5. หากไม่ตรงตามเงื่อนไขการปรับให้เหมาะสมที่สุด ให้ดำเนินการไปยังแผนถัดไปโดยการกระจายวัสดุสิ้นเปลือง กระบวนการคอมพิวเตอร์ทำซ้ำจนกว่าจะได้แผนที่เหมาะสมที่สุด

1. ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการขนส่งมีความหมายว่าอย่างไร?

2.ข้อจำกัดในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการขนส่งมีความหมายว่าอย่างไร

3. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้วิธีการที่เป็นไปได้ในการแก้ปัญหาการขนส่งแบบเปิด (แบบปิด)

4.ต้องทำการเปลี่ยนแปลงอะไรบ้างในตารางการขนส่งดั้งเดิม เพื่อให้ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่เป็นไปได้

5.สาระสำคัญของวิธีการคืออะไร องค์ประกอบขั้นต่ำ- การแก้ปัญหาการขนส่งในขั้นตอนใดจะแล้วเสร็จอันเป็นผลมาจากการใช้วิธีนี้?

6. คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าแผนการขนส่งเหมาะสมที่สุด?

7. ในกรณีใดและจำเป็นต้องแจกจ่ายสิ่งของในด้านการขนส่งในกรณีใดและอย่างไร?

8. สมมุติว่าแผนการขนส่งที่สร้างขึ้นนั้นเสื่อมโทรม เป็นไปได้ไหมที่จะดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไปโดยใช้วิธีการที่เป็นไปได้และต้องทำอย่างไรเพื่อสิ่งนี้

ปัญหาทั่วไปของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์มีกำหนดไว้ในหัวข้อ 1.1 ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันที่รวมอยู่ในโมเดล (1.1)-(1.3) ปัญหาถูกจัดประเภทเป็นการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ประเภทใดประเภทหนึ่ง มีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นแบบเชิงเส้น) จำนวนเต็ม (วิธีแก้ปัญหาแสดงด้วยจำนวนเต็ม) สมการกำลังสอง (ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นรูปแบบกำลังสอง) ไม่เชิงเส้น (อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันของปัญหาไม่เชิงเส้น) และการเขียนโปรแกรมสุ่ม ( รวมพารามิเตอร์ที่มีลักษณะความน่าจะเป็นไว้ด้วย)

คลาสของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นนั้นกว้างกว่าคลาส โมเดลเชิงเส้น- ตัวอย่างเช่น ต้นทุนการผลิตในกรณีส่วนใหญ่จะไม่เป็นสัดส่วนกับปริมาณผลผลิต แต่ขึ้นอยู่กับความไม่เป็นเชิงเส้น รายได้จากการขายผลิตภัณฑ์การผลิตกลายเป็นฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของราคา เป็นต้น เกณฑ์ในปัญหาการวางแผนที่เหมาะสมมักได้แก่กำไรสูงสุด ต้นทุนขั้นต่ำ และต้นทุนเงินทุนขั้นต่ำ เช่น ตัวแปรปริมาณการส่งออกคือ ประเภทต่างๆสินค้า. ข้อจำกัดดังกล่าวรวมถึงฟังก์ชันการผลิตที่แสดงลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างผลผลิตของผลิตภัณฑ์กับต้นทุนแรงงานและทรัพยากรวัสดุ ซึ่งมีปริมาณจำกัด

ต่างจากการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งใช้ วิธีการสากลวิธีแก้ปัญหา (วิธีซิมเพล็กซ์) สำหรับการแก้ปัญหาแบบไม่เชิงเส้นนั้นมีวิธีการมากมายขึ้นอยู่กับรูปแบบของฟังก์ชันที่รวมอยู่ในแบบจำลอง จากความหลากหลายของวิธีการ เราจะพิจารณาเพียงสองวิธี: วิธี Lagrange และวิธีการโปรแกรมแบบไดนามิก

กับสาระสำคัญของวิธีลากรองจ์คือการลดปัญหาสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขให้เป็นการแก้ปัญหาสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไข พิจารณารูปแบบการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น:

(5.2)

ที่ไหน – ฟังก์ชั่นที่รู้จัก

ก – ให้ค่าสัมประสิทธิ์

โปรดทราบว่าในการกำหนดปัญหานี้ ข้อจำกัดจะถูกระบุด้วยความเท่าเทียมกัน และไม่มีเงื่อนไขสำหรับตัวแปรที่จะไม่เป็นค่าลบ นอกจากนี้เราเชื่อว่าการทำงาน ต่อเนื่องกันด้วยอนุพันธ์ย่อยตัวแรก

ให้เราเปลี่ยนเงื่อนไข (5.2) เพื่อให้มีความเท่าเทียมกันทางด้านซ้ายหรือขวา ศูนย์:

(5.3)

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า ประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (5.1) และด้านขวามือของข้อจำกัด (5.3) ซึ่งใช้ตามลำดับพร้อมค่าสัมประสิทธิ์ - จะมีค่าสัมประสิทธิ์ลากรองจ์มากเท่ากับที่มีข้อจำกัดในปัญหา

จุดปลายสุดของฟังก์ชัน (5.4) คือจุดปลายสุดของปัญหาเดิม และในทางกลับกัน แผนงานที่เหมาะสมที่สุดของปัญหา (5.1)-(5.2) คือจุดปลายสุดของฟังก์ชันลากรองจ์

แน่จริงก็หาทางแก้สิ ปัญหา (5.1)-(5.2) จากนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไข (5.3) มาทดแทนแผนกันเถอะ เข้าสู่ฟังก์ชัน (5.4) และตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (5.5)

ดังนั้น เพื่อที่จะหาแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาเดิม จำเป็นต้องตรวจสอบฟังก์ชันลากรองจ์เพื่อหาส่วนปลายสุด ฟังก์ชันนี้มีค่าสุดขีด ณ จุดที่อนุพันธ์ย่อยของมันเท่ากัน ศูนย์- จุดดังกล่าวเรียกว่า นิ่ง

ให้เรานิยามอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน (5.4)

,

.

หลังจากปรับสมดุลแล้ว ศูนย์อนุพันธ์ที่เราได้รับจากระบบ ม+นสมการด้วย ม+นไม่ทราบ

, (5.6)

ในกรณีทั่วไป ระบบ (5.6)-(5.7) จะมีวิธีแก้ปัญหาหลายอย่าง ซึ่งจะรวมค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันลากรองจ์ทั้งหมด เพื่อเน้นค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยรวม ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกคำนวณที่จุดที่พบทั้งหมด ค่าที่ใหญ่ที่สุดเหล่านี้จะเป็นค่าสูงสุดทั่วโลก และค่าที่น้อยที่สุดจะเป็นค่าต่ำสุดทั่วโลก ในบางกรณีปรากฎว่า การใช้งานที่เป็นไปได้ มีเงื่อนไขเพียงพอสำหรับภาวะสุดโต่งที่เข้มงวดฟังก์ชั่นต่อเนื่อง (ดูปัญหา 5.2 ด้านล่าง):

ปล่อยให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้สองเท่าในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดที่อยู่นิ่ง (เช่น )) แล้ว:

ก) ถ้า ,(5.8)

จากนั้นคือจุดสูงสุดที่เข้มงวดของฟังก์ชัน

ข)ถ้า ,(5.9)

จากนั้นคือจุดต่ำสุดที่เข้มงวดของฟังก์ชัน

ช ) ถ้า ,

แล้วคำถามของการมีอยู่ของสุดขั้วยังคงเปิดอยู่

นอกจากนี้ วิธีแก้ปัญหาบางอย่างของระบบ (5.6)-(5.7) อาจเป็นค่าลบ ซึ่งไม่สอดคล้องกับความหมายทางเศรษฐกิจของตัวแปรต่างๆ ในกรณีนี้ คุณควรพิจารณาแทนที่ค่าลบด้วยค่าศูนย์

ความรู้สึกทางเศรษฐกิจตัวคูณลากรองจ์ค่าตัวคูณที่เหมาะสมที่สุด แสดงว่าค่าเกณฑ์จะเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใด ซีเมื่อทรัพยากรเพิ่มขึ้นหรือลดลง เจหนึ่งหน่วย เนื่องจาก

วิธีลากรองจ์ยังสามารถใช้ได้ในกรณีที่ข้อจำกัดคือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นการหาค่าปลายสุดของฟังก์ชัน ภายใต้เงื่อนไข

,

ดำเนินการในหลายขั้นตอน:

1. กำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ซึ่งจุดเหล่านั้นจะแก้ระบบสมการ

.

2. จากจุดที่อยู่นิ่ง ให้เลือกจุดที่มีพิกัดตรงตามเงื่อนไข

3. ใช้วิธีลากรองจ์ แก้ปัญหาด้วยข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกัน (5.1)-(5.2)

4. จุดที่พบในขั้นตอนที่สองและสามจะถูกตรวจสอบเพื่อหาค่าสูงสุดทั่วโลก: มีการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่จุดเหล่านี้ - ค่าที่ใหญ่ที่สุดสอดคล้องกับแผนการที่เหมาะสมที่สุด

ปัญหา 5.1ให้เราแก้ปัญหา 1.3 พิจารณาในส่วนแรกโดยใช้วิธีลากรองจ์ การกระจายทรัพยากรน้ำที่เหมาะสมที่สุดอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

.

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า

ลองหาค่าสูงสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันนี้กัน ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์บางส่วนและจัดให้เป็นศูนย์

,

ดังนั้นเราจึงได้ระบบ สมการเชิงเส้นใจดี

การแก้ระบบสมการแสดงถึงแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการกระจายทรัพยากรน้ำในพื้นที่ชลประทาน

ค่าต่างๆ วัดกันเป็นแสนลูกบาศก์เมตร - จำนวนรายได้สุทธิต่อน้ำชลประทานหนึ่งแสนลูกบาศก์เมตร ดังนั้นราคาส่วนเพิ่มของน้ำชลประทาน 1 m 3 จึงเท่ากับ ถ้ำ หน่วย

รายได้สุทธิเพิ่มเติมสูงสุดจากการชลประทานจะเป็น

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (จำนวนหน่วย)

ปัญหา 5.2แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น

เรามาแสดงข้อจำกัดในรูปแบบ:

.

ลองเขียนฟังก์ชันลากรองจ์แล้วหาอนุพันธ์ย่อยของมันกัน

.

ในการกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์ ควรตั้งค่าอนุพันธ์ย่อยบางส่วนให้เท่ากับศูนย์ เป็นผลให้เราได้ระบบสมการ

• บทช่วยสอน

ทุกคน สวัสดีตอนบ่าย- ในบทความนี้ฉันต้องการจะแสดงอย่างใดอย่างหนึ่ง วิธีการกราฟิกการก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบไดนามิกซึ่งเรียกว่า กราฟพันธบัตร(“ พันธบัตร” - การเชื่อมต่อ, “กราฟ” - กราฟ) ในวรรณคดีรัสเซียฉันพบคำอธิบายของวิธีนี้เฉพาะในตำราเรียนของ Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 ยังแสดงวิธีการแบบคลาสสิกผ่านสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 ด้วย

วิธีลากรองจ์

ฉันจะไม่อธิบายทฤษฎี ฉันจะแสดงขั้นตอนการคำนวณพร้อมความคิดเห็นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันเรียนรู้จากตัวอย่างได้ง่ายกว่าอ่านทฤษฎี 10 รอบ สำหรับฉันดูเหมือนว่าในวรรณคดีรัสเซียคำอธิบายของวิธีนี้และคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์โดยทั่วไปนั้นอุดมไปด้วยมาก สูตรที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ในขณะที่ศึกษาวิธีลากรองจ์ (ฉันเรียนที่มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งตูริน ประเทศอิตาลี) ฉันศึกษาวรรณคดีรัสเซียเพื่อเปรียบเทียบวิธีการคำนวณ และเป็นการยากสำหรับฉันที่จะติดตามความคืบหน้าในการแก้ไขวิธีนี้ แม้จะจำหลักสูตรการสร้างแบบจำลองที่ Kharkov Aviation Institute ได้ แต่การได้มาของวิธีการดังกล่าวก็ยุ่งยากมากและไม่มีใครใส่ใจในการพยายามทำความเข้าใจปัญหานี้ นี่คือสิ่งที่ฉันตัดสินใจเขียนซึ่งเป็นคู่มือสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามลากรองจ์เนื่องจากปรากฎว่ามันไม่ยากเลย แต่ก็เพียงพอที่จะรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์ย่อย สำหรับโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น จะมีการเพิ่มเมทริกซ์การหมุนด้วย แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในนั้นเช่นกัน

คุณสมบัติของวิธีการสร้างแบบจำลอง:

• นิวตัน-ออยเลอร์: สมการเวกเตอร์ตามสมดุลไดนามิก บังคับและ ช่วงเวลา
• ลากรองจ์: สมการสเกลาร์ตามฟังก์ชันสถานะที่เกี่ยวข้องกับจลน์ศาสตร์และศักย์ไฟฟ้า พลังงาน
• จำนวนพันธบัตร: วิธีการตามการไหล พลังระหว่างองค์ประกอบระบบ

เริ่มต้นด้วย ตัวอย่างง่ายๆ- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์ เราละเลยแรงโน้มถ่วง

รูปที่ 1- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

ก่อนอื่นเรากำหนด:

• ระบบเริ่มต้นพิกัด(NSK) หรือ SK คงที่ R0(i0,j0,k0)- ที่ไหน? คุณสามารถชี้นิ้วของคุณขึ้นไปบนฟ้าได้ แต่ด้วยการกระตุกส่วนปลายของเซลล์ประสาทในสมอง ความคิดนี้ก็ส่งผ่านไปยังการวาง NSC บนแนวการเคลื่อนไหวของร่างกาย M1
• ระบบพิกัดของร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวล(เรามี M1 R1(i1,j1,k1)) การวางแนวอาจเป็นไปตามอำเภอใจ แต่เหตุใดชีวิตของคุณจึงซับซ้อนโดยตั้งค่าให้มีความแตกต่างน้อยที่สุดจาก NSC
• พิกัดทั่วไป คิว_ฉัน(จำนวนตัวแปรขั้นต่ำที่สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวได้) ใน ในตัวอย่างนี้พิกัดทั่วไปหนึ่งพิกัด เคลื่อนที่ตามแกน j เท่านั้น

รูปที่ 2- เราวางระบบพิกัดและพิกัดทั่วไป

รูปที่ 3- ตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย M1

จากนั้นเราจะค้นหาพลังงานจลน์ (C) และพลังงานศักย์ (P) และฟังก์ชันการกระจาย (D) สำหรับแดมเปอร์โดยใช้สูตร:

รูปที่ 4. ครบสูตรพลังงานจลน์

ในตัวอย่างของเรา ไม่มีการหมุน องค์ประกอบที่สองคือ 0

รูปที่ 5- การคำนวณจลน์ พลังงานศักย์ และฟังก์ชันการกระจาย

สมการลากรองจ์มีรูปแบบดังนี้

รูปที่ 6- สมการลากรองจ์และลากรองจ์

เดลต้า W_iนี้ งานเสมือนจริงสมบูรณ์แบบด้วยแรงและช่วงเวลาที่ใช้ มาหาเธอกันเถอะ:

รูปที่ 7- การคำนวณงานเสมือนจริง

ที่ไหน เดลต้า q_1การเคลื่อนไหวเสมือนจริง

เราแทนทุกอย่างลงในสมการลากรองจ์:

รูปที่ 8- ผลลัพธ์ที่ได้คือแบบจำลองมวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

นี่คือจุดที่วิธีการของลากรองจ์สิ้นสุดลง อย่างที่คุณเห็น มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น แต่ก็ยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งส่วนใหญ่แล้ววิธีของนิวตัน-ออยเลอร์จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ สำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีวัตถุหลายชิ้นหมุนสัมพันธ์กันในมุมที่ต่างกัน วิธีลากรองจ์จะง่ายกว่า

วิธีกราฟพันธบัตร

ฉันจะแสดงให้คุณดูทันทีว่าแบบจำลองนี้มีลักษณะอย่างไรในกราฟบอนด์สำหรับตัวอย่างที่มีมวล สปริง และแดมเปอร์:

รูปที่ 9- มวลกราฟบอนด์พร้อมสปริงและแดมเปอร์

ที่นี่คุณจะต้องบอกทฤษฎีเล็กน้อยซึ่งเพียงพอที่จะสร้างได้ โมเดลที่เรียบง่าย- หากใครสนใจสามารถอ่านหนังสือได้ ( วิธีการกราฟพันธบัตร) หรือ ( โวโรนิน เอ.วี. การสร้างแบบจำลองระบบเมคคาทรอนิกส์: คู่มือการฝึกอบรม- – ตอมสค์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคทอมสค์, 2551).

ให้เราพิจารณาก่อนว่า ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยหลายโดเมน ตัวอย่างเช่น มอเตอร์ไฟฟ้าประกอบด้วยชิ้นส่วนหรือโดเมนทางไฟฟ้าและเครื่องกล

กราฟพันธบัตรโดยอาศัยการแลกเปลี่ยนอำนาจระหว่างโดเมนระบบย่อยเหล่านี้ โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ว่าจะในรูปแบบใดก็ตาม จะถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัวเสมอ ( พลังงานที่แปรผัน) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถศึกษาปฏิสัมพันธ์ของระบบย่อยต่าง ๆ ภายในระบบไดนามิก (ดูตาราง)

ดังที่เห็นจากตาราง การแสดงออกของอำนาจแทบจะเหมือนกันทุกที่ โดยสรุป พลัง- งานนี้” ไหล - ฉ" ถึง " ความพยายาม - อี».

ความพยายาม(ภาษาอังกฤษ) ความพยายาม) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือแรงดันไฟฟ้า (e) ในโดเมนทางกลคือแรง (F) หรือแรงบิด (T) ในระบบไฮดรอลิกคือความดัน (p)

ไหล(ภาษาอังกฤษ) ไหล) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือกระแส (i) ในโดเมนทางกลคือความเร็ว (v) หรือความเร็วเชิงมุม (โอเมก้า) ในระบบไฮดรอลิกคือการไหลหรืออัตราการไหลของของไหล (Q)

จากสัญลักษณ์เหล่านี้ เราได้สำนวนแสดงพลัง:

รูปที่ 10- สูตรกำลังผ่านตัวแปรกำลัง

ในภาษากราฟบอนด์ การเชื่อมต่อระหว่างสองระบบย่อยที่แลกเปลี่ยนพลังงานจะแสดงด้วยพันธะ พันธบัตร- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่า วิธีนี้ กราฟพันธบัตรหรือก การเชื่อมต่อ raf, กราฟที่เชื่อมต่อ- ลองพิจารณาดู แผนภาพบล็อกการเชื่อมต่อในรุ่นที่มีมอเตอร์ไฟฟ้า (ยังไม่ใช่กราฟบอนด์):

รูปที่ 11- บล็อกไดอะแกรมการไหลของพลังงานระหว่างโดเมน

หากเรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าก็จะสร้างแรงดันไฟฟ้าและถ่ายโอนไปยังมอเตอร์เพื่อม้วน (นี่คือสาเหตุที่ลูกศรชี้ไปที่มอเตอร์) ขึ้นอยู่กับความต้านทานของขดลวดกระแสจะปรากฏขึ้นตามกฎของโอห์ม (กำกับ จากมอเตอร์ไปยังแหล่งกำเนิด) ดังนั้น ตัวแปรหนึ่งจะเป็นอินพุตไปยังระบบย่อย และตัวแปรตัวที่สองจะต้องเป็น ออกจากระบบย่อย นี่คือแรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) – อินพุต, กระแส ( ไหล) - ออก

หากคุณใช้แหล่งที่มาปัจจุบัน แผนภาพจะเปลี่ยนไปอย่างไร ขวา. กระแสไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังมอเตอร์และแรงดันไฟฟ้าไปยังแหล่งกำเนิด แล้วปัจจุบัน ( ไหล) – อินพุต, แรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) - ออก

ลองดูตัวอย่างในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อมวล

รูปที่ 12- แรงที่กระทำต่อมวล

แผนภาพบล็อกจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 13- บล็อกไดอะแกรม

ในตัวอย่างนี้ ความแรง ( ความพยายาม) – ตัวแปรอินพุตสำหรับมวล (แรงที่กระทำต่อมวล)
ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

มวลตอบสนองด้วยความเร็ว:

ในตัวอย่างนี้ ถ้ามีตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ( ความแข็งแกร่ง - ความพยายาม) เป็น ทางเข้าเข้าสู่โดเมนทางกล จากนั้นก็มีตัวแปรกำลังอีกตัวหนึ่ง ( ความเร็ว - ไหล) – กลายเป็นโดยอัตโนมัติ ออก.

เพื่อแยกแยะว่าอินพุตอยู่ที่ไหนและเอาต์พุตอยู่ที่ไหน จะใช้ข้อมูลนั้น เส้นแนวตั้งที่ปลายลูกศร (การเชื่อมต่อ) ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าบรรทัดนี้ สัญญาณของสาเหตุ หรือ สาเหตุ (สาเหตุ- ปรากฎว่าแรงที่ใช้เป็นสาเหตุ และความเร็วเป็นผล เครื่องหมายนี้มีความสำคัญมากสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบที่ถูกต้อง เนื่องจากความเป็นเหตุเป็นผลเป็นผลมาจากพฤติกรรมทางกายภาพและการแลกเปลี่ยนพลังของระบบย่อยทั้งสอง ดังนั้นการเลือกตำแหน่งของเครื่องหมายเชิงสาเหตุจึงไม่สามารถกำหนดเองได้

รูปที่ 14- การกำหนดสาเหตุ

เส้นแนวตั้งนี้แสดงว่าระบบย่อยใดที่ได้รับแรง ( ความพยายาม) และเป็นผลให้เกิดกระแส ( ไหล- ในตัวอย่างที่มีมวลมันจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 14- ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุสำหรับแรงที่กระทำต่อมวล

จากลูกศรจะชัดเจนว่าอินพุตสำหรับมวลคือ - ความแข็งแกร่งและผลลัพธ์ก็คือ ความเร็ว- ทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้แผนภาพมีลูกศรยุ่งเหยิงและจัดระบบการก่อสร้างแบบจำลอง

ต่อไป จุดสำคัญ. แรงกระตุ้นทั่วไป(ปริมาณการเคลื่อนไหว) และ การย้าย(ตัวแปรพลังงาน).

ตารางตัวแปรกำลังและพลังงานในโดเมนต่างๆ

ตารางด้านบนแนะนำปริมาณทางกายภาพเพิ่มเติมอีกสองปริมาณที่ใช้ วิธีกราฟพันธบัตร- พวกเขาถูกเรียกว่า แรงกระตุ้นทั่วไป (ร) และ การเคลื่อนไหวทั่วไป (ถาม) หรือตัวแปรพลังงาน และสามารถได้รับโดยการรวมตัวแปรกำลังในช่วงเวลาหนึ่ง:

รูปที่ 15- ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกำลังและพลังงาน

ในด้านไฟฟ้า :

ตามกฎของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ปลายตัวนำจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านตัวนำนี้

ก ความแข็งแกร่งในปัจจุบัน - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของปริมาณประจุ Q ที่ผ่านหน้าตัดของตัวนำในช่วงเวลาหนึ่ง t ต่อค่าของช่วงเวลานี้

โดเมนเครื่องกล:

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จะได้ ความแข็งแกร่ง– อนุพันธ์ของเวลาของแรงกระตุ้น

และด้วยเหตุนี้ ความเร็ว- อนุพันธ์ตามเวลาของการกระจัด:

มาสรุปกัน:

องค์ประกอบพื้นฐาน

องค์ประกอบทั้งหมดในระบบไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบแบบสองขั้วและสี่ขั้ว
ลองพิจารณาดู ส่วนประกอบสองขั้ว:

แหล่งที่มา
มีทั้งที่มาของความพยายามและความลื่นไหล การเปรียบเทียบในโดเมนทางไฟฟ้า: แหล่งที่มาของความพยายาม – แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า, แหล่งสตรีม – แหล่งที่มาปัจจุบัน- สัญญาณสาเหตุแหล่งที่มาควรเป็นเช่นนี้เท่านั้น

รูปที่ 16- การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุและการกำหนดแหล่งที่มา

ส่วนประกอบอาร์ – องค์ประกอบกระจาย

องค์ประกอบที่ 1 – องค์ประกอบเฉื่อย

องค์ประกอบ C – องค์ประกอบตัวเก็บประจุ

ดังจะเห็นได้จากรูป องค์ประกอบที่แตกต่างกันหนึ่ง พิมพ์ R,C,Iอธิบายด้วยสมการเดียวกัน ความจุไฟฟ้ามีความแตกต่างกันเท่านั้น คุณเพียงแค่ต้องจำไว้!

ส่วนประกอบสี่เท่า:

ลองดูองค์ประกอบสองอย่าง: หม้อแปลงไฟฟ้าและไจเรเตอร์

ล่าสุด ส่วนประกอบที่สำคัญในวิธีกราฟบอนด์ จะใช้การเชื่อมต่อ โหนดมีสองประเภท:

นั่นก็คือส่วนประกอบนั่นเอง

ขั้นตอนหลักในการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากสร้างกราฟบอนด์:

1. ให้การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุกับทุกคน แหล่งที่มา
2. ตรวจดูโหนดทั้งหมดและวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจุดที่ 1
3. สำหรับ ส่วนประกอบ Iกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุอินพุต (ความพยายามรวมอยู่ในองค์ประกอบนี้) สำหรับ ส่วนประกอบ Cกำหนดสาเหตุของผลลัพธ์ (ความพยายามออกมาจากองค์ประกอบนี้)
4. ทำซ้ำจุดที่ 2
5. แทรกการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุสำหรับ ส่วนประกอบอาร์

นี่เป็นการสรุปหลักสูตรย่อยเกี่ยวกับทฤษฎี ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่จำเป็นในการสร้างโมเดลแล้ว
ลองแก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง เริ่มต้นด้วย วงจรไฟฟ้าเป็นการดีกว่าที่จะเข้าใจการเปรียบเทียบการสร้างกราฟพันธบัตร

ตัวอย่างที่ 1

มาเริ่มสร้างกราฟบอนด์ที่มีแหล่งจ่ายแรงดันกันดีกว่า แค่เขียน Se แล้วใส่ลูกศร

ดูสิทุกอย่างเรียบง่าย! ลองดูเพิ่มเติมว่า R และ L เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมซึ่งหมายความว่ากระแสเดียวกันจะไหลในนั้นถ้าเราพูดในตัวแปรกำลัง - การไหลเดียวกัน โหนดใดมีโฟลว์เหมือนกัน คำตอบที่ถูกต้องคือ 1 โหนด เราเชื่อมต่อแหล่งกำเนิดความต้านทาน (ส่วนประกอบ - R) และการเหนี่ยวนำ (ส่วนประกอบ - I) กับ 1 โหนด

ต่อไป เรามีความจุและความต้านทานแบบขนาน ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีแรงดันไฟฟ้าหรือแรงเท่ากัน 0-node มีความเหมาะสมไม่เหมือนใคร เราเชื่อมต่อความจุ (ส่วนประกอบ C) และความต้านทาน (ส่วนประกอบ R) กับ 0-node

เรายังเชื่อมต่อโหนด 1 และ 0 เข้าด้วยกัน ทิศทางของลูกศรถูกเลือกโดยพลการ ทิศทางของการเชื่อมต่อจะมีผลกับเครื่องหมายในสมการเท่านั้น

คุณจะได้กราฟการเชื่อมต่อดังนี้:

ตอนนี้เราจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ทำตามคำแนะนำสำหรับลำดับตำแหน่ง เรามาเริ่มกันที่แหล่งที่มากันก่อน

1. เรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้า (ความพยายาม) แหล่งกำเนิดดังกล่าวมีตัวเลือกเชิงสาเหตุเพียงตัวเลือกเดียว - เอาต์พุต มาใส่กันเถอะ
2. ต่อไปเป็นส่วนประกอบ I มาดูสิ่งที่พวกเขาแนะนำกันดีกว่า เราใส่
3. เราวางมันลงสำหรับ 1 โหนด กิน
4. โหนด 0 ต้องมีหนึ่งอินพุตและการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุเอาต์พุตทั้งหมด ตอนนี้เรามีวันหยุดหนึ่งวัน เรากำลังมองหาส่วนประกอบ C หรือ I เราพบแล้ว เราใส่
5. มาแสดงรายการสิ่งที่เหลืออยู่

แค่นั้นแหละ. มีการสร้างกราฟพันธบัตร ไชโยสหาย!

สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนสมการที่อธิบายระบบของเรา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างตารางที่มี 3 คอลัมน์ อันแรกจะประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งหมดของระบบ ส่วนอันที่สองจะมีตัวแปรอินพุตสำหรับแต่ละองค์ประกอบ และอันที่สามจะมีตัวแปรเอาต์พุตสำหรับส่วนประกอบเดียวกัน เราได้กำหนดอินพุตและเอาต์พุตตามความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว ดังนั้นจึงไม่น่าจะมีปัญหาใดๆ

เรามากำหนดหมายเลขการเชื่อมต่อแต่ละครั้งเพื่อความสะดวกในการบันทึกระดับ เราใช้สมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบจากรายการส่วนประกอบ C, R, I

โดยการรวบรวมตารางเราจะกำหนด ตัวแปรสถานะในตัวอย่างนี้ มี 2 ตัว ได้แก่ p3 และ q5 ต่อไปคุณต้องเขียนสมการสถานะ:

เพียงเท่านี้โมเดลก็พร้อมแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ฉันอยากจะขอโทษทันทีสำหรับคุณภาพของภาพถ่าย สิ่งสำคัญคือคุณสามารถอ่านได้

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับ ระบบเครื่องกลแบบเดียวกับที่เราแก้ไขโดยใช้วิธีลากรองจ์ ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยไม่มีความคิดเห็น เรามาตรวจสอบว่าวิธีใดต่อไปนี้ง่ายกว่าและง่ายกว่า

ใน Matbala มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองที่มีพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้มาจากวิธี Lagrange และกราฟบอนด์ ผลลัพธ์อยู่ด้านล่าง: เพิ่มแท็ก

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

• วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน แล้วเราก็มองหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการดั้งเดิม

พิจารณาสมการ:
(1)

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

เรากำลังมองหาคำตอบของสมการเอกพันธ์:

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน

เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:

แล้ว

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:

ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน

ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(2)
การหาอนุพันธ์

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

.
แทนลงในสมการเดิม (1) :
(1) ;

.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2) :
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

แก้สมการ

สารละลาย

เราแก้สมการเอกพันธ์:

เราแยกตัวแปร:

คูณด้วย:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง:

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:

จากที่นี่:

ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)

ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.

อันดับแรก พิจารณากรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวก่อน ปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่จุด $M_0(x_0;y_0)$ คือปลายสุดของฟังก์ชันนี้ ซึ่งทำได้ภายใต้เงื่อนไขว่าตัวแปร $x$ และ $y$ ใน บริเวณใกล้เคียงจุดนี้เป็นไปตามสมการการเชื่อมต่อ $\ varphi (x,y)=0$

ชื่อ "เงื่อนไข" สุดโต่งนั้นเกิดจากการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้ เงื่อนไขเพิ่มเติม$\วาร์ฟี(x,y)=0$. ถ้าตัวแปรตัวหนึ่งสามารถแสดงจากสมการการเชื่อมต่อผ่านอีกสมการหนึ่งได้ ปัญหาในการกำหนดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขก็จะลดลงเหลือเพียงปัญหาในการกำหนดปลายสุดตามปกติของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากสมการการเชื่อมต่อหมายถึง $y=\psi(x)$ จากนั้นแทนที่ $y=\psi(x)$ ลงใน $z=f(x,y)$ เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปร $z หนึ่งตัว =f\ซ้าย (x,\psi(x)\right)$. อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไป วิธีการนี้มีประโยชน์น้อย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการแนะนำอัลกอริธึมใหม่

วิธีตัวคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

วิธีตัวคูณลากรองจ์ประกอบด้วยการสร้างฟังก์ชันลากรองจ์เพื่อค้นหาปลายสุดที่มีเงื่อนไข: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (พารามิเตอร์ $\lambda$ เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์) ข้อกำหนดเบื้องต้นสุดขั้วได้มาจากระบบสมการซึ่งกำหนดจุดคงที่:

$$ \left \( \begin(ชิด) & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=0;\\ & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(ชิด) \right.

เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งสามารถกำหนดลักษณะของจุดปลายสุดได้คือเครื่องหมาย $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. ถ้า ณ จุดคงที่ $d^2F > 0$ ดังนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะมีค่าต่ำสุดแบบมีเงื่อนไข ณ จุดนี้ แต่ถ้า $d^2F< 0$, то условный максимум.

มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลักษณะของภาวะสุดขั้ว จากสมการคู่ควบที่เราได้รับ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ดังนั้น ณ จุดที่หยุดนิ่งใดๆ เราก็จะได้:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

ปัจจัยที่สอง (อยู่ในวงเล็บ) สามารถแสดงในรูปแบบนี้:

องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์ $\left| จะถูกเน้นด้วยสีแดง \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$ ซึ่งเป็น Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange ถ้า $H > 0$ แล้ว $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$ เช่น เรามีฟังก์ชันขั้นต่ำแบบมีเงื่อนไข $z=f(x,y)$

หมายเหตุเกี่ยวกับสัญกรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ แสดง\ซ่อน

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \right| -

ในสถานการณ์นี้ กฎที่กำหนดไว้ข้างต้นจะเปลี่ยนแปลงดังนี้: ถ้า $H > 0$ ฟังก์ชันจะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ และถ้า $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวสำหรับสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข

1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์ $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. แก้โจทย์ระบบ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(ชิด) \right.$
3. กำหนดลักษณะของจุดสุดขั้วในแต่ละจุดที่อยู่นิ่งที่พบในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
   • เขียนดีเทอร์มิแนนต์ของ $H$ แล้วหาเครื่องหมายของมัน
   • โดยคำนึงถึงสมการการควบคู่ ให้คำนวณเครื่องหมายของ $d^2F$

วิธีตัวคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว

สมมติว่าเรามีฟังก์ชันของตัวแปร $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ และสมการคู่ควบ $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; - \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

แทนตัวคูณลากรองจ์เป็น $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ เราจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขนั้นกำหนดโดยระบบสมการซึ่งพบพิกัดของจุดที่นิ่งและค่าของตัวคูณลากรองจ์:

$$\left\(\begin(ชิด) & \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(ชิด) \right.$$

คุณสามารถค้นหาได้ว่าฟังก์ชันมีเงื่อนไขต่ำสุดหรือสูงสุดแบบมีเงื่อนไขที่จุดที่พบเหมือนเมื่อก่อน โดยใช้เครื่องหมาย $d^2F$ หาก ณ จุดที่พบ $d^2F > 0$ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีเงื่อนไขขั้นต่ำ แต่ถ้า $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

ตัวกำหนดของเมทริกซ์ $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\บางส่วน x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(1)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(1)\บางส่วน x_(n)) \\ \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_1) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)^(2)) & \frac(\บางส่วน^2F )(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(2)\บางส่วน x_(n))\\ \frac(\บางส่วน^2F )(\บางส่วน x_(3) \บางส่วน x_(1)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)\บางส่วน x_(2)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(3)\บางส่วน x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(1)) & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(2)) & \ frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)\บางส่วน x_(3)) &\ldots & \frac(\บางส่วน^2F)(\บางส่วน x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ ซึ่งเน้นด้วยสีแดงในเมทริกซ์ $L$ คือ Hessian ของฟังก์ชันลากรองจ์ เราใช้กฎต่อไปนี้:

• หากสัญญาณของผู้เยาว์เชิงมุม $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ เมทริกซ์ $L$ ตรงกับเครื่องหมาย $(-1)^m$ ดังนั้นจุดที่คงที่ภายใต้การศึกษาคือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• หากสัญญาณของผู้เยาว์เชิงมุม $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ สลับกัน และเครื่องหมายของ $H_(2m+1)$ รองเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของตัวเลข $(-1)^(m+1 )$ จากนั้นจุดคงที่คือจุดสูงสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาปลายสุดมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ภายใต้เงื่อนไข $x^2+y^2=10$

การตีความทางเรขาคณิตของปัญหานี้มีดังนี้: คุณต้องค้นหาที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดใช้ระนาบ $z=x+3y$ สำหรับจุดตัดกับทรงกระบอก $x^2+y^2=10$

ค่อนข้างยากที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งผ่านอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการคัปปลิ้งและแทนที่มันลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ดังนั้นเราจะใช้วิธีลากรองจ์

แทน $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=1+2\แลมบ์ดา x; \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน y)=3+2\lambda y -

ให้เราเขียนระบบสมการเพื่อหาจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ \left \( \begin(ชิด) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (จัดแนว)\right.$$

หากเราสมมติ $\lambda=0$ สมการแรกจะกลายเป็น: $1=0$ ผลความขัดแย้งบ่งชี้ว่า $\lambda\neq 0$ ภายใต้เงื่อนไข $\lambda\neq 0$ จากสมการแรกและสมการที่สองที่เรามี: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสมการที่สามเราจะได้:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\แลมบ์ดา^2)+\frac(9)(4\แลมบ์ดา^2)=10; \แลมบ์ดา^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2) \end(ชิด) \right.\\ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2); - x_1=-\frac(1)(2\แลมบ์ดา_1)=1; - y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); - x_2=-\frac(1)(2\แลมบ์ดา_2)=-1; - y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(ชิด) $$

ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ และ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ให้เราค้นหาลักษณะของจุดสุดขั้วที่จุดคงที่แต่ละจุด: $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ $H$ ในแต่ละจุด

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\แลมบ์ดา;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| -

ณ จุดที่ $M_1(1;3)$ เราได้รับ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$ ดังนั้นที่ ชี้ ฟังก์ชัน $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ มีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=z(1;3)=10$

ในทำนองเดียวกัน ณ จุด $M_2(-1,-3)$ เราพบว่า: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. ตั้งแต่ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

ฉันสังเกตว่าแทนที่จะคำนวณค่าของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ในแต่ละจุด จะสะดวกกว่ามากที่จะขยายเข้าไป มุมมองทั่วไป- เพื่อไม่ให้ข้อความมีรายละเอียดยุ่งเหยิง ฉันจะซ่อนวิธีนี้ไว้ใต้บันทึกย่อ

การเขียนดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ในรูปแบบทั่วไป แสดง\ซ่อน

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right) -

โดยหลักการแล้ว เห็นได้ชัดว่า $H$ มีสัญญาณอะไร เนื่องจากไม่มีจุด $M_1$ หรือ $M_2$ ตรงกับจุดกำเนิด ดังนั้น $y^2+x^2>0$ ดังนั้น เครื่องหมายของ $H$ จึงอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ $\lambda$ คุณสามารถทำการคำนวณให้เสร็จสิ้นได้:

$$ \begin(ชิด) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40 \end(ชิด) $$

คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของจุดปลายสุดที่จุดคงที่ $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ลองหาสัญลักษณ์ของ $d^2F$ ในแต่ละจุดที่อยู่นิ่ง:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\แลมบ์ดา \left( dx^2+dy^2\right) $$

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ $dx^2$ หมายถึง $dx$ ยกกำลังสองอย่างแน่นอน กล่าวคือ $\ซ้าย(dx \right)^2$. ดังนั้นเราจึงได้: $dx^2+dy^2>0$ ดังนั้น เมื่อ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ เราจะได้ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

คำตอบ: ณ จุด $(-1;-3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=-10$ ณ จุดที่ $(1;3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=10$

ตัวอย่างหมายเลข 2

ค้นหาปลายสุดมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ภายใต้เงื่อนไข $x+y=0$

วิธีแรก (วิธีตัวคูณ Lagrange)

แทน $\varphi(x,y)=x+y$ เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\แลมบ์ดา(x+y)$

$$ \frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน x)=8x-y+\lambda; - \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(ชิด) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ แลมบ์ดา=0; \\ & x+y=0 \end(ชิด) \right

หลังจากแก้ไขระบบแล้ว เราได้: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ และ $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\แลมบ์ดา_2=-10$. เรามีจุดคงที่สองจุด: $M_1(0;0)$ และ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$ ให้เราค้นหาธรรมชาติของจุดสุดขั้วที่จุดคงที่แต่ละจุดโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$

$$H=\ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \ซ้าย| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

ณ จุด $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243)$

เราตรวจสอบธรรมชาติของภาวะสุดขั้วในแต่ละจุดโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน โดยยึดตามเครื่องหมายของ $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(ปปป)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

จากสมการการเชื่อมต่อ $x+y=0$ เราได้: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

เนื่องจาก $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ดังนั้น $M_1(0;0)$ คือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ในทำนองเดียวกัน $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

วิธีที่สอง

จากสมการการเชื่อมต่อ $x+y=0$ เราจะได้: $y=-x$ เมื่อแทน $y=-x$ ลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ เราจะได้ฟังก์ชันหนึ่งของตัวแปร $x$ ลองแสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็น $u(x)$:

$$ ยู(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2 -

ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการค้นหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวให้เหลือเพียงปัญหาในการกำหนดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); \;

เราได้รับคะแนน $M_1(0;0)$ และ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ การวิจัยเพิ่มเติมจากหลักสูตรนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว โดยการตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$ ที่จุดคงที่แต่ละจุดหรือตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมาย $u_(x)^(")$ ที่จุดที่พบ เราจะได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับเมื่อ แก้วิธีแรก ตัวอย่างเช่น เราจะตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

เนื่องจาก $u_(xx)^("")(M_1)>0$ ดังนั้น $M_1$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $u(x)$ และ $u_(\min)=u(0)=0 $ . ตั้งแต่ $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

ค่าของฟังก์ชัน $u(x)$ สำหรับเงื่อนไขการเชื่อมต่อที่กำหนดตรงกับค่าของฟังก์ชัน $z(x,y)$ เช่น สุดขั้วที่พบของฟังก์ชัน $u(x)$ คือสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขที่ต้องการของฟังก์ชัน $z(x,y)$

คำตอบ: ณ จุด $(0;0)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=0$ ณ จุดที่ $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุดแบบมีเงื่อนไข $z_(\max)=\frac(500)(243 )$

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งที่เราจะอธิบายลักษณะของจุดสุดโต่งโดยการกำหนดเครื่องหมายของ $d^2F$

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน $z=5xy-4$ หากตัวแปร $x$ และ $y$ เป็นบวกและเป็นไปตามสมการการเชื่อมต่อ $\frac(x^2)(8)+\frac( ย^2)(2) -1=0$.

ลองเขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$ มาหาจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(ชิด) & 5y+\frac(\แลมบ์ดา x)(4)=0;\\ & 5x+\แลมบ์ดา y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;

การแปลงเพิ่มเติมทั้งหมดจะดำเนินการโดยคำนึงถึง $x > 0; - y > 0$ (ระบุไว้ในคำสั่งปัญหา) จากสมการที่สอง เราแสดง $\lambda=-\frac(5x)(y)$ และแทนค่าที่พบลงในสมการแรก: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$ เมื่อแทน $x=2y$ ลงในสมการที่สาม เราจะได้: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

เนื่องจาก $y=1$ จากนั้น $x=2$, $\lambda=-10$ เรากำหนดลักษณะของจุดปลายสุดที่จุด $(2;1)$ ตามเครื่องหมายของ $d^2F$

$$ F_(xx)^("")=\frac(\แลมบ์ดา)(4); - F_(xy)^("")=5; - F_(yy)^("")=\แลมบ์ดา. -

เนื่องจาก $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ดังนั้น:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; - d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; - \frac(x)(4)dx+ydy=0; - dy=-\frac(xdx)(4y) -

โดยหลักการแล้ว ที่นี่คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดที่นิ่ง $x=2$, $y=1$ และพารามิเตอร์ $\lambda=-10$ ได้ทันที จะได้:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); - F_(xy)^("")=-10; - dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2 -

อย่างไรก็ตาม ในปัญหาอื่น ๆ เกี่ยวกับภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข อาจมีจุดที่หยุดนิ่งอยู่หลายจุด ในกรณีเช่นนี้ เป็นการดีกว่าถ้าแสดง $d^2F$ ในรูปแบบทั่วไป แล้วแทนที่พิกัดของจุดคงที่แต่ละจุดที่พบลงในนิพจน์ผลลัพธ์:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\แลมบ์ดา) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\แลมบ์ดา)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\แลมบ์ดา \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

เมื่อแทน $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ เราจะได้:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. -

เนื่องจาก $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

คำตอบ: ณ จุด $(2;1)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=6$

ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาการประยุกต์ใช้เมธอด Lagrange สำหรับฟังก์ชันต่างๆ มากกว่าตัวแปร