คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาด ม× nเรียกว่าชุด นาทีตัวเลขเรียงกันเป็นตารางสี่เหลี่ยม มเส้นและ nคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ตัวเดียวได้ เช่น กหรือ ใน.

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ขนาด ม× nเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์- สะดวกในการจัดเตรียมองค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีสองดัชนี ไอจ: อันแรกระบุหมายเลขแถว และอันที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากเมทริกซ์มีจำนวนแถวเท่ากันกับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียก สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ตามลำดับเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ตัวที่สองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - ลำดับคือ 3 และเมทริกซ์ตัวที่สี่คือลำดับ 1

เมทริกซ์ที่เรียกว่าจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ สี่เหลี่ยม- ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวแรกและเมทริกซ์ตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียวด้วย

เรียกเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียง 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัสเราเรียกว่าเส้นทแยงมุมที่เริ่มจากซ้ายบนไปมุมขวาล่าง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ สามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นหรือ.

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การดำเนินการกับเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์- เมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเท่ากันหากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและมีองค์ประกอบที่ตรงกันเท่ากัน ไอจ = บีจ- แล้วถ้า และ , ที่ ก=ข, ถ้า ก 11 = ข 11, 12 = ข 12, 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

ย้าย- พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ nคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ได้ บีจาก nเส้นและ มคอลัมน์ ซึ่งแต่ละแถวเป็นคอลัมน์เมทริกซ์ กด้วยจำนวนเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) แล้วถ้า , ที่ .

เมทริกซ์นี้ บีเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนผ่านจาก กถึง การขนย้ายบี.

ดังนั้นการขนย้ายจึงเป็นการกลับรายการบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ กมักจะแสดงแทน ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและทรานสโพสของมันสามารถเขียนได้ในรูป

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ปล่อยให้เมทริกซ์ กและ บีประกอบด้วยจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน กล่าวคือ มี ขนาดเดียวกัน- แล้วเพื่อที่จะบวกเมทริกซ์ กและ บีจำเป็นสำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ บียืนอยู่ในที่เดียวกัน ดังนั้นผลรวมของเมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ เช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสับเปลี่ยน ก+บี=บี+เอและการเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขเพื่อคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคจำเป็นต้องมีทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนี้ ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ บีมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของเมทริกซ์ตัวประกอบจะต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณได้เฉพาะเมทริกซ์ที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (นั่นคือ ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) การทำงานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ บีเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ ค=เอบีซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 จาก 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในเมทริกซ์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและเพิ่มผลคูณที่ได้ และองค์ประกอบอื่นๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้มาจากผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกและคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไปหากเราคูณเมทริกซ์ A = (อาจ)ขนาด ม× nถึงเมทริกซ์ B = (บีจ)ขนาด n× พีแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× พีซึ่งมีองค์ประกอบคำนวณดังนี้: องค์ประกอบ ซีจได้มาจากผลคูณของธาตุ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บีและการเพิ่มเติมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณจะสามารถนำเมทริกซ์จตุรัสสองตัวที่มีลำดับเดียวกันมาคูณกันได้ตลอดเวลา และผลที่ได้คือเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์จตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น กำลังสองมัน

อีกกรณีที่สำคัญคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์แรกจะต้องเท่ากับความสูงของเมทริกซ์ที่สอง ส่งผลให้ได้เมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง (เช่น หนึ่งองค์ประกอบ) จริงหรือ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้น ตัวอย่างง่ายๆ เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ·บี ≠ บี∙เอ - ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการแจกแจง เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=เอซี+บีซี.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบเมื่อคูณเมทริกซ์จตุรัส กไปจนถึงเมทริกซ์ประจำตัว อีในลำดับเดียวกันเราจะได้เมทริกซ์อีกครั้ง ก, และ AE=อีเอ=ก.

สามารถสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสนใจดังต่อไปนี้ ดังที่คุณทราบ ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น กล่าวคือ ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจกลายเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , ที่

แนวคิดของปัจจัยกำหนด

ให้เมทริกซ์ลำดับที่สองได้รับ - เมทริกซ์จัตุรัสประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ที่กำหนดคือตัวเลขที่ได้รับดังนี้: 11 ถึง 22 – 12 ถึง 21.

ดีเทอร์มิแนนต์จะระบุด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น เพื่อที่จะหาดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบในเส้นทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สามที่กำหนด คือตัวเลขที่แสดงและได้รับดังนี้

.

ดังนั้น สูตรนี้จึงให้ส่วนขยายของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11 , 12 , 13และลดการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดที่สี่ ห้า ฯลฯ ได้ คำสั่ง ลดลำดับลงโดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของแถวที่ 1 โดยมีเครื่องหมาย “+” และ “–” ของคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้น ไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางตัวเลข ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

เมทริกซ์ มิติข้อมูลคือตารางตัวเลขที่มีแถวและคอลัมน์ ตัวเลขเรียกว่าองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ โดยที่หมายเลขแถวคือหมายเลขคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบนี้ เมทริกซ์ที่มีแถวและคอลัมน์มีรูปแบบดังนี้ .

ประเภทของเมทริกซ์:

1) ที่ – สี่เหลี่ยม และพวกเขาก็โทรมา ลำดับเมทริกซ์ ;

2) เมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

– เส้นทแยงมุม ;

3) เมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากัน

หน่วย - เดี่ยว และเขียนแทนด้วย ;

4) ที่ – สี่เหลี่ยม ;

5) เมื่อ – เมทริกซ์แถว (เวกเตอร์แถว);

6) เมื่อ – เมทริกซ์-คอลัมน์ (เวกเตอร์-คอลัมน์);

7) สำหรับทุกคน – เมทริกซ์ศูนย์

โปรดทราบว่าลักษณะตัวเลขหลักของเมทริกซ์จตุรัสคือปัจจัยกำหนด ดีเทอร์มิแนนต์ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของลำดับที่ 3 ก็มีลำดับที่ th เช่นกัน

ตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับที่ 1 หมายเลขที่เรียก

ตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับที่ 2 หมายเลขที่เรียก . (1.1)

ตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับที่ 3 หมายเลขที่เรียก . (1.2)

ให้เรานำเสนอคำจำกัดความที่จำเป็นสำหรับการนำเสนอต่อไป

ไมเนอร์ เอ็ม ฉัน องค์ประกอบ ก ฉัน เมทริกซ์ ไม่มีลำดับ A เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ( n-1)-ลำดับที่ได้รับจากเมทริกซ์ A โดยการลบ ฉัน-บรรทัดที่ และ เจคอลัมน์ที่

ส่วนเสริมพีชคณิต A ฉัน องค์ประกอบ ก ฉัน เมทริกซ์ n- ลำดับ A เป็นส่วนรองขององค์ประกอบนี้ มีเครื่องหมาย

ให้เรากำหนดคุณสมบัติพื้นฐานของดีเทอร์มิแนนต์ที่มีอยู่ในดีเทอร์มิแนนต์ของคำสั่งทั้งหมดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

1. เมื่อเมทริกซ์ถูกย้าย ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

2. เมื่อจัดเรียงเมทริกซ์สองแถว (คอลัมน์) ใหม่ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

3. ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีแถว (คอลัมน์) สองแถวตามสัดส่วน (เท่ากัน) จะเท่ากับศูนย์

4. ปัจจัยทั่วไปขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ได้

5. หากองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใดๆ ของดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลรวมของสองเทอม ดีเทอร์มิแนนต์นั้นสามารถแยกย่อยเป็นผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์สองตัวที่สอดคล้องกัน

6. ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวอื่น ๆ (คอลัมน์) ซึ่งก่อนหน้านี้คูณด้วยตัวเลขใด ๆ เข้ากับองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใด ๆ

7. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใด ๆ โดยการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเหล่านี้

ให้เราอธิบายคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างของตัวกำหนดลำดับที่ 3 ในกรณีนี้ คุณสมบัติ 7 หมายความว่า – การสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบของแถวที่ 1 โปรดทราบว่าสำหรับการสลายตัว ให้เลือกแถว (คอลัมน์) ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ เนื่องจากเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องในการสลายตัวจะเปลี่ยนเป็นศูนย์

คุณสมบัติ 7 เป็นทฤษฎีบทการสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ที่คิดค้นโดยลาปลาซ

8. ผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใด ๆ ของดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกแถว (คอลัมน์) มีค่าเท่ากับศูนย์

คุณสมบัติสุดท้ายมักเรียกว่าการสลายตัวแบบหลอกของดีเทอร์มิแนนต์

คำถามทดสอบตัวเอง

1. เมทริกซ์เรียกว่าอะไร?

2. เมทริกซ์ใดเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส? คำสั่งของมันหมายถึงอะไร?

3. เมทริกซ์ใดที่เรียกว่าเส้นทแยงมุมเอกลักษณ์?

4. เมทริกซ์ใดเรียกว่าเมทริกซ์แถวและเมทริกซ์คอลัมน์?

5. คุณลักษณะเชิงตัวเลขหลักของเมทริกซ์จตุรัสคืออะไร?

6. จำนวนใดที่เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่ 1, 2 และ 3?

7. ส่วนเสริมรองและพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์เรียกว่าอะไร?

8. คุณสมบัติหลักของดีเทอร์มิแนนต์มีอะไรบ้าง?

9. การใช้คุณสมบัติใดที่สามารถคำนวณปัจจัยกำหนดของลำดับใดๆ ได้?

การดำเนินการกับเมทริกซ์(โครงการที่ 2)

การดำเนินการจำนวนหนึ่งถูกกำหนดไว้บนชุดของเมทริกซ์ โดยการดำเนินการหลักมีดังต่อไปนี้:

1) การขนย้าย – แทนที่แถวเมทริกซ์ด้วยคอลัมน์ และแทนที่คอลัมน์ด้วยแถว

2) การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขทำได้ทีละองค์ประกอบนั่นคือ , ที่ไหน , ;

3) การบวกเมทริกซ์ กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันเท่านั้น

4) การคูณเมทริกซ์สองตัว ซึ่งกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์ที่ตรงกันเท่านั้น

ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์สองตัว เมทริกซ์ผลลัพธ์ดังกล่าวเรียกว่าแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคำสั่งเมทริกซ์

เมทริกซ์ทั้งสองเรียกว่า ตกลงกัน ถ้าจำนวนคอลัมน์ของคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนแถวของคอลัมน์อื่น ผลคูณของเมทริกซ์ที่ตรงกันสองตัว และเรียกเมทริกซ์ผลลัพธ์ดังกล่าว , อะไร , (1.4)

ที่ไหน , - ตามมาว่าองค์ประกอบของแถวที่ th และคอลัมน์ที่ th ของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์คู่ขององค์ประกอบของแถวที่ th ของเมทริกซ์และองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ th ของเมทริกซ์

ผลคูณของเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน นั่นคือ A . บีบี . A. ข้อยกเว้นคือ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของเมทริกซ์จัตุรัสและหน่วย A . อี = อี . ก.

ตัวอย่างที่ 1.1คูณเมทริกซ์ A และ B ถ้า:

.

สารละลาย.เนื่องจากเมทริกซ์มีความสอดคล้องกัน (จำนวนคอลัมน์เมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวเมทริกซ์) เราจะใช้สูตร (1.4):

คำถามทดสอบตัวเอง

1. มีการดำเนินการอะไรบ้างกับเมทริกซ์?

2. ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์สองตัวเรียกว่าอะไร?

3. ผลคูณของเมทริกซ์สองตัวเรียกว่าอะไร?

วิธีแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้น(โครงการที่ 3)

ให้เราให้คำจำกัดความที่จำเป็นจำนวนหนึ่ง

เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น ต่างกัน หากเงื่อนไขอิสระอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขแตกต่างจากศูนย์ และ เป็นเนื้อเดียวกัน หากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

การแก้ระบบสมการ คือชุดตัวเลขเรียงลำดับซึ่งเมื่อแทนที่ตัวแปรในระบบแล้ว จะทำให้สมการแต่ละตัวมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

เรียกว่าระบบสมการ ข้อต่อ ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี และ ไม่ใช่ข้อต่อ หากเธอไม่มีทางแก้ไข

เรียกว่าระบบสมการพร้อมกัน แน่ใจ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และ ไม่แน่นอน ถ้ามีมากกว่าหนึ่งวิธี

ให้เราพิจารณาระบบกำลังสองที่ไม่เหมือนกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

. (1.5) เมทริกซ์หลักของระบบ สมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่ไม่ทราบ: .

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบเรียกว่า ปัจจัยหลัก และถูกกำหนดไว้

ดีเทอร์มิแนนต์เสริมได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์หลักโดยการแทนที่คอลัมน์ที่ th ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ

ทฤษฎีบท 1.1 (ทฤษฎีบทของแครเมอร์)ถ้าปัจจัยหลักของระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้นไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าระบบจะมีคำตอบเฉพาะซึ่งคำนวณโดยสูตร:

หากปัจจัยกำหนดหลักคือ ระบบจะมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ (สำหรับปัจจัยกำหนดเสริมที่เป็นศูนย์ทั้งหมด) หรือไม่มีคำตอบเลย (หากปัจจัยกำหนดเสริมอย่างน้อยหนึ่งตัวแตกต่างจากศูนย์)

ตามคำจำกัดความข้างต้น ทฤษฎีบทของแครเมอร์สามารถกำหนดสูตรได้แตกต่างออกไป: หากปัจจัยที่กำหนดหลักของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นไม่เป็นศูนย์ ระบบจะถูกกำหนดร่วมกันและในเวลาเดียวกัน ; ถ้าปัจจัยหลักเป็นศูนย์ ดังนั้นระบบจะเป็นแบบไม่มีกำหนดร่วมกัน (สำหรับทั้งหมด ) หรือไม่สอดคล้องกัน (หากอย่างน้อยหนึ่งตัวในนั้นแตกต่างจากศูนย์)

หลังจากนี้ควรตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่ได้

ตัวอย่างที่ 1.2แก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

สารละลาย.เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบ

แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ มาคำนวณปัจจัยเสริมกันดีกว่า

ลองใช้สูตรของแครเมอร์ (1.6): , ,

คำถามทดสอบตัวเอง

1. การแก้ระบบสมการเรียกว่าอะไร?

2. ระบบสมการใดเรียกว่าเข้ากันได้หรือเข้ากันไม่ได้?

3. ระบบสมการใดเรียกว่าแน่นอนหรือไม่มีกำหนด?

4. เมทริกซ์ของระบบสมการใดเรียกว่าเมทริกซ์หลัก?

5. จะคำนวณปัจจัยเสริมของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นได้อย่างไร?

6. อะไรคือสาระสำคัญของวิธีการของแครมเมอร์ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น?

7. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะเป็นอย่างไรหากตัวกำหนดหลักเป็นศูนย์?

การแก้ระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน(โครงการที่ 4)

เรียกเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ไม่เสื่อม - มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ – เสื่อมโทรม .

เมทริกซ์เรียกว่าอินเวอร์ส สำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่กำหนดหากเมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยการผกผันทั้งทางขวาและทางซ้ายจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์นั่นคือ (1.7)

โปรดทราบว่าในกรณีนี้เป็นผลคูณของเมทริกซ์ และเป็นแบบสับเปลี่ยน

ทฤษฎีบท 1.2เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์จตุรัสที่กำหนดคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนดนั้นแตกต่างจากศูนย์

หากเมทริกซ์หลักของระบบกลายเป็นเอกพจน์ในระหว่างการทดสอบ จะไม่มีการผกผันกับเมทริกซ์ดังกล่าว และไม่สามารถใช้วิธีการที่พิจารณาได้

หากเมทริกซ์หลักไม่ใช่เอกพจน์นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์คือ 0 ดังนั้นจึงสามารถค้นหาเมทริกซ์ผกผันได้โดยใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้

1. คำนวณการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมด

2. เขียนการบวกพีชคณิตที่พบลงในเมทริกซ์ที่ทรานสโพส

3. สร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร: (1.8)

4. ตรวจสอบความถูกต้องของเมทริกซ์ A-1 ที่พบตามสูตร (1.7) โปรดทราบว่าการตรวจสอบนี้สามารถรวมไว้ในการตรวจสอบโซลูชันระบบขั้นสุดท้ายได้

ระบบ (1.5) ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงเป็นสมการเมทริกซ์ โดยที่ คือเมทริกซ์หลักของระบบ คือคอลัมน์ของค่าที่ไม่ทราบ และเป็นคอลัมน์ของพจน์อิสระ ลองคูณสมการนี้ทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผัน เราจะได้:

เนื่องจากตามคำจำกัดความของเมทริกซ์ผกผัน สมการจึงอยู่ในรูปแบบ หรือ . (1.9)

ดังนั้น ในการแก้ระบบกำลังสองของสมการพีชคณิตเชิงเส้น คุณต้องคูณคอลัมน์ของพจน์อิสระทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบ หลังจากนี้คุณควรตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 1.3แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.ให้เราคำนวณปัจจัยกำหนดหลักของระบบ

- ดังนั้นเมทริกซ์จึงไม่ใช่เอกพจน์และมีเมทริกซ์ผกผันอยู่

เรามาค้นหาการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์หลักกัน:

ให้เราเขียนการบวกพีชคณิตที่ย้ายเข้าไปในเมทริกซ์

- ให้เราใช้สูตร (1.8) และ (1.9) เพื่อค้นหาวิธีแก้ไขระบบ

คำถามทดสอบตัวเอง

1. เมทริกซ์ใดเรียกว่าเอกพจน์ไม่เสื่อม?

2. เมทริกซ์ใดที่เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่กำหนด? สภาพของการดำรงอยู่ของมันคืออะไร?

3. อัลกอริธึมในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดคืออะไร?

4. สมการเมทริกซ์ใดที่เทียบเท่ากับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น?

5. จะแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์หลักของระบบได้อย่างไร?

การศึกษาระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น(โครงการที่ 5)

การศึกษาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ เริ่มต้นด้วยการแปลงเมทริกซ์ขยายด้วยวิธีเกาส์เซียน ให้มิติของเมทริกซ์หลักของระบบเท่ากับ

เมทริกซ์ เรียกว่าขยาย เมทริกซ์ของระบบ , ถ้า พร้อมด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก มันมีคอลัมน์คำศัพท์อิสระ ดังนั้น มิติจึงเป็น

วิธีเกาส์เซียนมีพื้นฐานมาจาก การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ซึ่งรวมถึง:

– การจัดเรียงแถวเมทริกซ์ใหม่

– การคูณแถวของเมทริกซ์ด้วยตัวเลขที่แตกต่างจากพวงมาลัย

– การเพิ่มแถวเมทริกซ์ตามองค์ประกอบ

– การลบเส้นศูนย์;

– การขนย้ายเมทริกซ์ (ในกรณีนี้ การแปลงจะดำเนินการโดยคอลัมน์)

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะนำระบบดั้งเดิมไปสู่ระบบที่เทียบเท่ากับระบบนั้น ระบบ เรียกว่าเทียบเท่า หากพวกเขามีวิธีแก้ปัญหาชุดเดียวกัน

อันดับเมทริกซ์ เรียกว่าลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนอันดับของเมทริกซ์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ตอบคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของคำตอบสำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ทฤษฎีบท 1.3 (ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์หลักเท่านั้น กล่าวคือ

ให้เราแสดงจำนวนแถวที่เหลืออยู่ในเมทริกซ์หลังวิธีเกาส์เซียนโดย (ตามจำนวนสมการที่เหลืออยู่ในระบบ) เหล่านี้ เส้น เรียกว่าเมทริกซ์ ขั้นพื้นฐาน .

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (กำหนดร่วมกัน) เมทริกซ์ของมันจะลดลงเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมโดยการแปลงเบื้องต้น ระบบดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธี Cramer โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน หรือวิธี Universal Gauss

ถ้า (จำนวนตัวแปรในระบบมากกว่าสมการ) เมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบทีละขั้นตอนโดยการแปลงเบื้องต้น ระบบดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหามากมายและยังไม่แน่นอนร่วมกัน ในกรณีนี้ เพื่อค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ จำเป็นต้องดำเนินการหลายอย่าง

1. ปล่อยให้ระบบไม่ทราบข้อมูลอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ( ตัวแปรพื้นฐาน ) สิ่งแปลกปลอมที่เหลือจะถูกย้ายไปทางด้านขวา ( ตัวแปรอิสระ - หลังจากแบ่งตัวแปรออกเป็นพื้นฐานและอิสระ ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

. (1.10)

2. จากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรพื้นฐานให้ประกอบเป็นรอง ( ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ) ซึ่งจะต้องไม่เป็นศูนย์

3. ถ้าค่ารองพื้นฐานของระบบ (1.10) เท่ากับศูนย์ ให้แทนที่ตัวแปรพื้นฐานตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวแปรอิสระ ตรวจสอบผลลัพธ์พื้นฐานรองว่าไม่เป็นศูนย์

4. การใช้สูตร (1.6) ของวิธีแครมเมอร์ โดยพิจารณาทางด้านขวามือของสมการว่าเป็นเงื่อนไขอิสระ ให้ค้นหานิพจน์สำหรับตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระในรูปแบบทั่วไป ชุดตัวแปรระบบที่เรียงลำดับผลลัพธ์จะเป็นของมัน การตัดสินใจทั่วไป .

5. ให้ตัวแปรอิสระในค่าที่กำหนดเอง (1.10) คำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรพื้นฐาน ชุดค่าลำดับผลลัพธ์ของตัวแปรทั้งหมดเรียกว่า โซลูชันส่วนตัว ระบบที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนดของตัวแปรอิสระ ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจำนวนไม่สิ้นสุด

6. รับ วิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน ระบบ – โซลูชันเฉพาะที่ได้รับสำหรับค่าศูนย์ของตัวแปรอิสระ

โปรดทราบว่าจำนวนชุดพื้นฐานของตัวแปรของระบบ (1.10) เท่ากับจำนวนการรวมกันขององค์ประกอบตามองค์ประกอบ เนื่องจากชุดตัวแปรพื้นฐานแต่ละชุดมีโซลูชันพื้นฐานของตัวเอง ดังนั้น ระบบจึงมีโซลูชันพื้นฐานด้วย

ระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่ง – ศูนย์ (ไม่สำคัญ) เพื่อให้ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์หลักจะต้องเท่ากับศูนย์จึงจำเป็นและเพียงพอ ซึ่งหมายความว่าอันดับของเมทริกซ์หลักนั้นน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก ในกรณีนี้ การศึกษาระบบสมการเอกพันธ์สำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปและเฉลยเฉพาะจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับการศึกษาระบบที่ไม่เอกพันธ์ คำตอบของระบบสมการเนื้อเดียวกันมีคุณสมบัติที่สำคัญ: หากทราบคำตอบที่แตกต่างกันสองข้อสำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน ผลรวมเชิงเส้นของทั้งสองก็ถือเป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1.4ผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการที่ไม่เหมือนกันคือผลรวมของคำตอบทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันกับคำตอบเฉพาะของระบบสมการที่ไม่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 1.4

สำรวจระบบที่กำหนดและค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ:

สารละลาย.ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้นกับมัน:

- เนื่องจาก และ จากนั้นตามทฤษฎีบท 1.3 (โครเนกเกอร์-คาเปลลี) ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่กำหนดจึงมีความสอดคล้องกัน จำนวนตัวแปร กล่าวคือ หมายความว่าระบบมีความไม่แน่นอน จำนวนชุดพื้นฐานของตัวแปรระบบมีค่าเท่ากับ

- ดังนั้นตัวแปรทั้ง 6 ชุดจึงสามารถเป็นตัวแปรพื้นฐานได้: ลองพิจารณาหนึ่งในนั้น จากนั้นระบบที่ได้รับจากวิธีเกาส์สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

- ปัจจัยหลัก - โดยใช้วิธีการของ Cramer เรามองหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบ รอบคัดเลือกเสริม

ตามสูตร (1.6) ที่เรามี

- การแสดงออกของตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระนี้แสดงถึงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ:

สำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรอิสระ เราจะได้โซลูชันเฉพาะของระบบจากโซลูชันทั่วไป ตัวอย่างเช่น โซลูชันส่วนตัว สอดคล้องกับค่าของตัวแปรอิสระ - ที่เราได้รับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบ

คำถามทดสอบตัวเอง

1. ระบบสมการใดเรียกว่าเอกพันธ์หรือเอกพันธ์?

2. เมทริกซ์ใดเรียกว่าส่วนขยาย?

3. ทำรายการการแปลงเบื้องต้นเบื้องต้นของเมทริกซ์ วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ใช้การแปลงเหล่านี้เป็นอย่างไร

4. เมทริกซ์มีอันดับเท่าใด? คุณจะคำนวณมันได้อย่างไร?

5. ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีบอกว่าอย่างไร

6. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถลดลงได้ในรูปแบบใดอันเป็นผลมาจากการแก้ด้วยวิธีเกาส์ สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?

7. แถวใดของเมทริกซ์เรียกว่า พื้นฐาน?

8. ตัวแปรระบบใดเรียกว่าพื้นฐานและตัวแปรใดว่าง

9. วิธีแก้ปัญหาของระบบที่ไม่เหมือนกันแบบใดที่เรียกว่าส่วนตัว?

10.ข้อใดเรียกว่าพื้นฐาน? ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันมีคำตอบพื้นฐานกี่ข้อ?

11. วิธีแก้ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันข้อใดเรียกว่าทั่วไป กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับคำตอบทั่วไปของระบบสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

12. คุณสมบัติหลักของการแก้ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นคืออะไร?

ให้มีเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n

เรียกเมทริกซ์ A -1 เมทริกซ์ผกผันสัมพันธ์กับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์จตุรัสดังกล่าวซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดตามเส้นทแยงมุมหลักที่ผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างเป็นองค์ประกอบและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เช่น:

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่จริง สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์ตรงกัน

ทฤษฎีบทสำหรับเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นและเพียงพอแล้วที่จะต้องไม่เป็นเอกพจน์

เรียกเมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) ไม่เสื่อมถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้เมทริกซ์ผกผันมีอยู่จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับมิติของมันนั่นคือ ร = เอ็น

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ลงในตารางสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์เซียน และกำหนดเมทริกซ์ E ไว้ทางด้านขวา (แทนที่ทางด้านขวามือของสมการ)
2. ใช้การแปลงแบบจอร์แดน ลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์หน่วย ในกรณีนี้จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E ไปพร้อม ๆ กัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ภายใต้เมทริกซ์ A ของตารางต้นฉบับ คุณจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่างที่ 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และกำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ไปทางขวา โดยใช้การแปลงแบบ Jordan เราลดเมทริกซ์ A ให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณแสดงไว้ในตารางที่ 31.1

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผกผัน A -1

จากการคูณเมทริกซ์ จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ขึ้นมา ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

คำตอบ:

การแก้สมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

AX = B, HA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C คือเมทริกซ์ที่ระบุ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

สมการเมทริกซ์แก้ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

เช่น หากต้องการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางด้านซ้าย

ดังนั้น หากต้องการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ ก็แก้ได้เช่นเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ AX = B ถ้า

สารละลาย: เนื่องจากเมทริกซ์ผกผันมีค่าเท่ากับ (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

นอกจากสิ่งอื่นแล้วยังใช้อีกด้วย วิธีเมทริกซ์- วิธีการเหล่านี้ใช้พีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ ส่วนใหญ่แล้ววิธีการเหล่านี้จะใช้เมื่อจำเป็นในการประเมินเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกกำลังสร้างระบบตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจและบนพื้นฐานของข้อมูลเมทริกซ์เริ่มต้นจะถูกรวบรวมซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละแถว (ผม = 1,2,....,n)และในคอลัมน์แนวตั้ง - จำนวนตัวบ่งชี้ (เจ = 1,2,....,ม.).

ในระยะที่สองสำหรับแต่ละคอลัมน์แนวตั้ง ค่าตัวบ่งชี้ที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่จะถูกระบุ ซึ่งถือเป็นค่าเดียว

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่สะท้อนในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วยค่าที่ใหญ่ที่สุดและเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์มาตรฐานจะถูกสร้างขึ้น

ในระยะที่สามส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์มีกำลังสอง หากมีความสำคัญต่างกัน ตัวบ่งชี้เมทริกซ์แต่ละตัวจะถูกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักที่แน่นอน เค- คุณค่าของสิ่งหลังถูกกำหนดโดยความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญ

ในตอนสุดท้าย ขั้นตอนที่สี่พบค่าเรตติ้ง รจจะถูกจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ควรใช้วิธีการเมทริกซ์ที่ระบุไว้ในการวิเคราะห์เปรียบเทียบของโครงการลงทุนต่างๆ รวมถึงในการประเมินตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจอื่น ๆ ของกิจกรรมขององค์กร

ชั้นปีที่ 1 สูงขึ้น คณิตศาสตร์ กำลังศึกษาอยู่ เมทริกซ์และการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับพวกเขา ที่นี่เราจัดระบบการดำเนินการพื้นฐานที่สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์ จะเริ่มทำความคุ้นเคยกับเมทริกซ์ได้ที่ไหน? แน่นอนว่าจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คำจำกัดความ แนวคิดพื้นฐาน และการดำเนินการที่เรียบง่าย เรารับรองกับคุณว่าทุกคนที่อุทิศเวลาให้พวกเขาอย่างน้อยจะเข้าใจเมทริกซ์!

คำจำกัดความของเมทริกซ์

เมทริกซ์เป็นตารางธาตุรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พูดง่ายๆ ก็คือ ตารางตัวเลข

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ก , เมทริกซ์ บี และอื่น ๆ เมทริกซ์อาจมีขนาดแตกต่างกัน เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัส และยังมีเมทริกซ์แบบแถวและคอลัมน์ที่เรียกว่าเวกเตอร์อีกด้วย ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนเมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ม บน n , ที่ไหน ม – จำนวนบรรทัด และ n – จำนวนคอลัมน์

รายการไหน ฉัน=เจ (a11, a22, .. ) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และเรียกว่าเส้นทแยงมุม

คุณสามารถทำอะไรกับเมทริกซ์? เพิ่ม/ลบ, คูณด้วยตัวเลข, ทวีคูณกันเอง, ย้าย- ทีนี้เกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับเมทริกซ์ตามลำดับ

การดำเนินการบวกและการลบเมทริกซ์

ให้เราเตือนคุณทันทีว่าคุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน การบวก (หรือการลบ) เมทริกซ์นั้นง่ายมาก - คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง - ลองยกตัวอย่าง ลองบวกเมทริกซ์ A และ B ขนาด 2 คูณ 2 กัน

การลบทำได้โดยการเปรียบเทียบ เฉพาะเครื่องหมายที่ตรงกันข้ามเท่านั้น

เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยจำนวนใดก็ได้ การทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น ลองคูณเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรกด้วยเลข 5:

การดำเนินการคูณเมทริกซ์

ไม่สามารถคูณเมทริกซ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันได้ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์สองตัว - A และ B ซึ่งสามารถคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่อยู่ในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องในแถวที่ i ของปัจจัยแรกและคอลัมน์ที่ j ของ ที่สอง- เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมนี้ ลองเขียนวิธีคูณเมทริกซ์กำลังสอง:

และตัวอย่างที่มีจำนวนจริง ลองคูณเมทริกซ์:

การดำเนินการย้ายเมทริกซ์

การขนย้ายเมทริกซ์คือการดำเนินการที่มีการสลับแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ลองย้ายเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรก:

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

ปัจจัยกำหนดหรือปัจจัยกำหนดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้น กาลครั้งหนึ่ง ผู้คนเกิดสมการเชิงเส้นขึ้นมา และหลังจากนั้นพวกเขาก็ต้องเกิดดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา ท้ายที่สุดแล้ว มันก็ขึ้นอยู่กับคุณแล้วว่าจะจัดการกับเรื่องทั้งหมดนี้ ดังนั้นการผลักดันครั้งสุดท้าย!

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของเมทริกซ์จตุรัส ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสที่ง่ายที่สุด คุณต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับแรกซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่งมีค่าเท่ากับองค์ประกอบนี้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เป็นสามคูณสาม? นี่เป็นเรื่องยากกว่า แต่คุณสามารถรับมือได้

สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนรูปสามเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งผลคูณของ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมที่มีหน้าของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิขนานกันจะถูกลบออก

โชคดีที่ในทางปฏิบัติ การคำนวณปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่นั้นแทบจะไม่จำเป็นเลย

ที่นี่เราดูการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์ แน่นอนว่าในชีวิตจริงคุณอาจไม่เคยพบเห็นระบบสมการเมทริกซ์เลยแม้แต่น้อย หรือในทางกลับกัน คุณอาจพบกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้มากเมื่อคุณต้องระดมสมองจริงๆ ในกรณีเช่นนี้มีบริการนักศึกษาระดับมืออาชีพ ขอความช่วยเหลือ รับโซลูชันคุณภาพสูงและละเอียด เพลิดเพลินไปกับความสำเร็จทางวิชาการและเวลาว่าง

เมทริกซ์ การดำเนินการกับเมทริกซ์ คุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ (และตามส่วนทางคณิตศาสตร์ - พีชคณิตเมทริกซ์)มีความสำคัญในคณิตศาสตร์ประยุกต์ เนื่องจากอนุญาตให้เขียนส่วนสำคัญของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและกระบวนการในรูปแบบที่ค่อนข้างง่าย คำว่า "เมทริกซ์" ปรากฏในปี ค.ศ. 1850 เมทริกซ์ถูกกล่าวถึงครั้งแรกในจีนโบราณ และต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับ

เมทริกซ์ A=A นาทีคำสั่ง m*n ถูกเรียก ตารางตัวเลขสี่เหลี่ยมที่มี m - แถวและ n - คอลัมน์.

องค์ประกอบเมทริกซ์ ไอจ,โดยที่ i=j เรียกว่า เส้นทแยงมุม และ รูปแบบ เส้นทแยงมุมหลัก.

สำหรับเมทริกซ์จตุรัส (m=n) เส้นทแยงมุมหลักจะถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ a 11, a 22,..., a nn

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์

ก=ขถ้าเมทริกซ์สั่ง กและ บีเหมือนกันและ a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1. การเพิ่มเมทริกซ์ - การดำเนินการตามองค์ประกอบ

2. การลบเมทริกซ์ - การดำเนินการตามองค์ประกอบ

3. ผลคูณของเมทริกซ์และตัวเลขเป็นการดำเนินการแบบองค์ประกอบ

4. การคูณ เอ*บีเมทริกซ์ตามกฎ แถวต่อคอลัมน์(จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A จะต้องเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B)

A mk *B kn =C mnและแต่ละองค์ประกอบ กับไอจเมทริกซ์ ซมเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวที่ i ของเมทริกซ์ A โดยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์ B เช่น

ให้เราสาธิตการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์โดยใช้ตัวอย่าง

5. การยกกำลัง

m>1 เป็นจำนวนเต็มบวก A คือเมทริกซ์จตุรัส (m=n) เช่น เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น

6. เมทริกซ์การย้าย A. เมทริกซ์การย้ายถูกเขียนแทนด้วย A T หรือ A"

แถวและคอลัมน์สลับกัน

ตัวอย่าง

คุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์

(A+B)+C=A+(B+C)

แล(A+B)=แลม+แลบ

A(B+C)=AB+เอซี

(A+B)C=เอซี+บีซี

แลมบ์(AB)=(แลมบ์ดา)B=A(แลมบ์)

ก(BC)=(AB)ค

(แลมบ์ดา)"=แลม(อ)"

(A+B)"=A"+B"

(เอบี)"=บี"เอ"

ประเภทของเมทริกซ์

1. สี่เหลี่ยม: มและ n- จำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ

2. สี่เหลี่ยมจัตุรัส: ม.=น

3. แถวเมทริกซ์: ม.=1- ตัวอย่างเช่น (1 3 5 7) - ในปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่างเมทริกซ์นี้เรียกว่าเวกเตอร์

4. คอลัมน์เมทริกซ์: n=1- ตัวอย่างเช่น

5. เมทริกซ์แนวทแยง: ม.=นและ ไอจ =0, ถ้า ฉัน≠j- ตัวอย่างเช่น

6. เมทริกซ์เอกลักษณ์: ม.=นและ

7. เมทริกซ์ศูนย์: a ij =0, i=1,2,...,m

เจ=1,2,...,น

8. เมทริกซ์สามเหลี่ยม: องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักคือ 0

9. เมทริกซ์สมมาตร: ม.=นและ อาจ = อาจิ(เช่น องค์ประกอบที่เท่ากันจะอยู่ในตำแหน่งที่สมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลัก) ดังนั้น ก"=ก

ตัวอย่างเช่น,

10. เมทริกซ์สมมาตรเอียง: ม.=นและ อาจ =-อาจิ(เช่น องค์ประกอบที่ตรงกันข้ามจะอยู่ในตำแหน่งที่สมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลัก) ดังนั้นจึงมีศูนย์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก (ตั้งแต่เมื่อใด ฉัน=เจเรามี ก ii =-ก ii)

ชัดเจน, ก"=-ก

11. เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน: ม.=นและ ก ii =-ã ii (เอะ จิ- ซับซ้อน - เชื่อมต่อกับ จิ, เช่น. ถ้า ก=3+2iแล้วคอนจูเกตเชิงซ้อน Ã=3-2i)