อินทิกรัลเชิงซ้อน

บทความนี้จะสรุปหัวข้ออินทิกรัลไม่จำกัด และรวมอินทิกรัลที่ฉันพบว่าค่อนข้างซับซ้อน บทเรียนนี้จัดทำขึ้นตามคำขอของผู้เยี่ยมชมซ้ำแล้วซ้ำเล่าซึ่งแสดงความปรารถนาที่จะวิเคราะห์ตัวอย่างที่ยากกว่านี้บนเว็บไซต์

สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีความพร้อมและรู้วิธีใช้เทคนิคบูรณาการขั้นพื้นฐาน คนโง่และผู้ที่ไม่มั่นใจในเรื่องอินทิกรัลควรดูบทเรียนแรกสุด - อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งคุณสามารถเชี่ยวชาญหัวข้อได้ตั้งแต่เริ่มต้น นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นจะคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการที่ยังไม่เคยพบเห็นในบทความของฉัน

อินทิกรัลใดที่จะได้รับการพิจารณา?

ขั้นแรก เราจะพิจารณาอินทิกรัลที่มีราก สำหรับคำตอบที่เราใช้อย่างต่อเนื่อง การแทนที่ตัวแปรและ บูรณาการโดยส่วนต่างๆ- นั่นคือในตัวอย่างหนึ่ง ทั้งสองเทคนิคถูกรวมเข้าด้วยกันในคราวเดียว และมากยิ่งขึ้น

จากนั้นเราจะมาทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง- อินทิกรัลบางส่วนได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้

ประเด็นที่สามของโปรแกรมจะเป็นอินทิกรัลจากเศษส่วนเชิงซ้อนซึ่งผ่านโต๊ะเงินสดในบทความก่อนหน้านี้

ประการที่สี่ จะมีการวิเคราะห์อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวิธีการหลีกเลี่ยงการทดแทนตรีโกณมิติสากลที่ใช้เวลานาน

(2) ในฟังก์ชันจำนวนเต็ม เราหารตัวเศษด้วยเทอมของส่วนตามเทอม

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้ายทันที วางฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล.

(4) เราหาอินทิกรัลที่เหลือ โปรดทราบว่าในลอการิทึม คุณสามารถใช้วงเล็บแทนโมดูลัสได้ เนื่องจาก

(5) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ โดยแสดง "te" จากการแทนที่โดยตรง:

นักเรียนมาโซคิสต์สามารถแยกแยะคำตอบและรับปริพันธ์ดั้งเดิมได้เหมือนที่ฉันเคยทำ ไม่ ไม่ ฉันตรวจสอบถูกแล้ว =)

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างการแก้ปัญหา เราต้องใช้วิธีแก้ไขปัญหามากกว่าสองวิธี ดังนั้นเพื่อจัดการกับอินทิกรัลดังกล่าว คุณต้องมีทักษะการบูรณาการที่มั่นใจและประสบการณ์ไม่น้อย

แน่นอนว่าในทางปฏิบัติมันเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า รากที่สองต่อไปนี้เป็นสามตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างเหล่านี้เป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้นคำตอบทั้งหมดที่อยู่ท้ายบทความจึงมีไว้สำหรับตัวอย่างที่ 2 เท่านั้น ตัวอย่างที่ 3-4 มีคำตอบเหมือนกัน ฉันคิดว่าสิ่งทดแทนที่จะใช้ตอนเริ่มต้นการตัดสินใจนั้นชัดเจน เหตุใดฉันจึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของตน บ่อยขึ้นบางทีอาจเป็นเพียงบางอย่างเช่น .

แต่ไม่เสมอไป เมื่อภายใต้ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง และฟังก์ชันอื่นๆ มีรากของฟังก์ชันเชิงเส้น คุณต้องใช้หลายวิธีพร้อมกัน ในหลายกรณี มีความเป็นไปได้ที่จะ "ถอดออกง่าย" นั่นคือทันทีหลังจากการเปลี่ยน จะได้รับอินทิกรัลอย่างง่ายซึ่งสามารถนำไปได้อย่างง่ายดาย งานที่ง่ายที่สุดที่เสนอข้างต้นคือตัวอย่างที่ 4 ซึ่งหลังจากเปลี่ยนแล้ว จะได้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย

โดยการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง

มีไหวพริบและ วิธีการที่ดี- มาดูคลาสสิกของประเภท:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใต้รากจะมีทวินามกำลังสอง และการพยายามรวมตัวอย่างนี้อาจทำให้กาน้ำชาปวดหัวเป็นเวลาหลายชั่วโมง อินทิกรัลดังกล่าวถูกแยกส่วนและลดลงเหลือตัวมันเอง โดยหลักการแล้วมันไม่ใช่เรื่องยาก ถ้าคุณรู้วิธี

ให้เราแสดงอินทิกรัลที่กำลังพิจารณา อักษรละตินและเริ่มแก้ไขกัน:

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

(1) เตรียมฟังก์ชันปริพันธ์สำหรับการหารแบบเทอมต่อเทอม

(2) เราหารเทอมฟังก์ชันปริพันธ์ตามเทอม อาจไม่ชัดเจนสำหรับทุกคน แต่ฉันจะอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม:

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(4) หาลอการิทึมอินทิกรัลตัวสุดท้าย ("ยาว")

ตอนนี้เรามาดูที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา:

และในตอนท้าย:

เกิดอะไรขึ้น อันเป็นผลมาจากการยักย้ายของเรา อินทิกรัลจึงลดลงเหลือเพียงตัวมันเอง!

มาเปรียบเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ย้ายไปที่ ด้านซ้ายด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราก็พาผีสางไป ด้านขวา- เป็นผลให้:

ควรเพิ่มค่าคงที่และพูดอย่างเคร่งครัดไว้ก่อนหน้านี้ แต่ฉันเพิ่มไว้ตอนท้าย ฉันขอแนะนำให้อ่านความเข้มงวดที่นี่:

บันทึก: อย่างเคร่งครัดยิ่งขึ้น ขั้นตอนสุดท้ายวิธีแก้ปัญหามีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น:

ค่าคงที่สามารถกำหนดใหม่ได้โดย เหตุใดจึงสามารถกำหนดใหม่ได้ เพราะเขายังยอมรับมันอยู่ ใดๆค่าและในแง่นี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าคงที่และ
เป็นผลให้:

เคล็ดลับที่คล้ายกันที่มีการอธิบายซ้ำอย่างต่อเนื่องนั้นใช้กันอย่างแพร่หลาย สมการเชิงอนุพันธ์- และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่ฉันอนุญาตให้มีอิสระเช่นนี้เท่านั้นเพื่อไม่ให้คุณสับสนกับสิ่งที่ไม่จำเป็นและมุ่งความสนใจไปที่วิธีการบูรณาการอย่างแม่นยำ

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลทั่วไปอีกอันสำหรับโซลูชันอิสระ โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน จะมีความแตกต่างกับคำตอบในตัวอย่างก่อนหน้า!

ถ้าใต้รากที่สองมีตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม วิธีแก้ปัญหาก็จะเหลือตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้ว 2 ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัล - สิ่งที่คุณต้องทำคือก่อน เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:
.
ถัดไปจะดำเนินการแทนที่เชิงเส้นซึ่ง "ไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
ส่งผลให้อินทิกรัล บางสิ่งคุ้นเคยใช่ไหม?

หรือตัวอย่างนี้ มีทวินามกำลังสอง:
เลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้น เราจะได้อินทิกรัลซึ่งแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมที่กล่าวถึงไปแล้ว

ลองดูตัวอย่างทั่วไปอีกสองตัวอย่างในการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง:
– อินทิกรัลของการเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์
– อินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยโคไซน์

ในอินทิกรัลที่แสดงตามส่วนต่างๆ คุณจะต้องรวมสองครั้ง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

จำนวนเต็มคือค่าเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์

เรารวมทีละส่วนสองครั้งและลดอินทิกรัลลงในตัวมันเอง:

ผลจากการอินทิกรัลสองเท่าทีละส่วน อินทิกรัลจึงลดลงเหลือตัวมันเอง เราเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา:

เราย้ายไปทางด้านซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายและแสดงอินทิกรัลของเรา:

พร้อม. ในเวลาเดียวกันขอแนะนำให้หวีด้านขวาเช่น นำเลขชี้กำลังออกจากวงเล็บ แล้ววางไซน์และโคไซน์ในวงเล็บตามลำดับที่ "สวยงาม"

ตอนนี้เรากลับมาที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่างหรือถ้าให้เจาะจงกว่านี้ คือการบูรณาการตามส่วนต่างๆ:

เรากำหนดเลขชี้กำลังเป็น คำถามเกิดขึ้น: เป็นเลขชี้กำลังที่ควรเขียนแทนด้วย เสมอหรือไม่? ไม่จำเป็น. ในความเป็นจริงในอินทิกรัลที่พิจารณาแล้ว โดยพื้นฐานแล้ว ไม่สำคัญ, เราหมายถึงอะไร, เราอาจไปทางอื่น:

ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปได้? เนื่องจากเลขชี้กำลังกลายเป็นตัวมันเอง (ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน) ไซน์และโคไซน์จึงกลายเป็นกันและกัน (อีกครั้ง ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน)

นั่นคือเราสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ด้วย แต่ในตัวอย่างที่พิจารณา นี่เป็นเหตุผลน้อยกว่า เนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการ คุณสามารถลองแก้ตัวอย่างนี้โดยใช้วิธีที่สอง คำตอบจะต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ก่อนที่คุณจะตัดสินใจ ลองคิดว่าอะไรจะทำกำไรได้มากกว่าในกรณีนี้เพื่อแสดงด้วย ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ? เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

และแน่นอนว่าอย่าลืมคำตอบส่วนใหญ่ด้วย บทเรียนนี้ง่ายพอที่จะตรวจสอบด้วยการสร้างความแตกต่าง!

ตัวอย่างที่พิจารณาไม่ซับซ้อนที่สุด ในทางปฏิบัติ อินทิกรัลจะพบได้บ่อยกว่าโดยที่ค่าคงที่มีทั้งในเลขชี้กำลังและในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น หลายๆ คนจะสับสนกับอินทิกรัลเช่นนั้น และฉันก็มักจะสับสนตัวเองด้วย ความจริงก็คือมีความเป็นไปได้สูงที่เศษส่วนจะปรากฎในสารละลาย และเป็นเรื่องง่ายมากที่จะสูญเสียบางสิ่งไปด้วยความประมาท นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในเครื่องหมาย โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังมีเครื่องหมายลบ และสิ่งนี้ทำให้เกิดความยากเพิ่มเติม

ในขั้นตอนสุดท้าย ผลลัพธ์มักจะเป็นดังนี้:

แม้แต่ในตอนท้ายของวิธีแก้ปัญหา คุณก็ควรระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งและเข้าใจเศษส่วนให้ถูกต้อง:

การบูรณาการเศษส่วนเชิงซ้อน

เรากำลังเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนอย่างช้าๆ และเริ่มพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วน ขอย้ำอีกครั้ง ไม่ใช่ว่าทั้งหมดจะซับซ้อนมากนัก เพียงด้วยเหตุผลใดก็ตามตัวอย่างจึง "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่น ๆ

สานต่อธีมของราก

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ในตัวส่วนใต้รากจะมีตรีนามกำลังสองบวกด้วย "ส่วนต่อ" ในรูปของ "X" ด้านนอกราก อินทิกรัลประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทนมาตรฐาน

เราตัดสินใจ:

การเปลี่ยนที่นี่ทำได้ง่าย:

มาดูชีวิตหลังการเปลี่ยน:

(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดพจน์ที่อยู่ใต้รากให้เหลือตัวส่วนร่วม
(2) เราเอามันออกมาจากใต้ราก
(3) ตัวเศษและส่วนลดลงด้วย ในเวลาเดียวกัน ฉันได้จัดเรียงเงื่อนไขใหม่ตามรากเหง้า สั่งซื้อสะดวก- ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา
(4) อินทิกรัลผลลัพธ์ตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน, กำลังถูกตัดสินใจ วิธีการสกัดกำลังสองแบบสมบูรณ์- เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์
(5) โดยการอินทิเกรต เราได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา
(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ หากเริ่มแรก ให้ย้อนกลับ: .
(7) การดำเนินการขั้นสุดท้ายมีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้ผลลัพธ์ตรง: ภายใต้รากเราจะนำเงื่อนไขมาสู่ตัวส่วนร่วมอีกครั้งและนำพวกมันออกจากใต้ราก

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่มีการเพิ่มค่าคงที่ให้กับ "X" เดี่ยวและการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

สิ่งเดียวที่คุณต้องทำเพิ่มเติมคือแสดง "x" จากการเปลี่ยนที่กำลังดำเนินการ:

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

บางครั้งในอินทิกรัลเช่นนั้นอาจมีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

คำตอบและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 นั้นถูกต้องทุกประการ อินทิกรัลทวินามวิธีการแก้ปัญหาที่ได้อภิปรายกันในชั้นเรียน อินทิกรัลของฟังก์ชันอตรรกยะ.

อินทิกรัลของพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่ 2 ยกกำลัง

(พหุนามในตัวส่วน)

หายากมากขึ้น แต่ก็ยังพบใน ตัวอย่างการปฏิบัติประเภทของอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

แต่กลับมาที่ตัวอย่างด้วย หมายเลขนำโชค 13 (บอกตามตรงฉันเดาไม่ถูก) อินทิกรัลนี้ยังเป็นหนึ่งในสิ่งที่อาจทำให้หงุดหงิดหากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์:

ฉันคิดว่าทุกคนคงเข้าใจวิธีหารตัวเศษด้วยตัวส่วนแล้ว

อินทิกรัลผลลัพธ์จะถูกนำมาเป็นส่วนต่างๆ:

สำหรับอินทิกรัลของรูปแบบ ( – จำนวนธรรมชาติ) ที่เราได้รับ กำเริบสูตรลด:
, ที่ไหน – อินทิกรัลของระดับที่ต่ำกว่า

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับอินทิกรัลที่แก้แล้ว
ในกรณีนี้: , เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบก็เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สารละลายตัวอย่างใช้สูตรข้างต้นสองครั้งติดต่อกัน

หากอยู่ในระดับปริญญาตรี แบ่งแยกไม่ได้ตรีโกณมิติกำลังสอง จากนั้นผลเฉลยจะลดลงเหลือทวินามโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ออก เช่น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และฟังก์ชันจำนวนเต็มจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน แต่ในทางปฏิบัติของฉันมีตัวอย่างเช่นนี้ ไม่เคยเจอดังนั้นฉันจึงพลาดไป กรณีนี้ในบทความ อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะฉันจะข้ามมันตอนนี้ หากคุณยังพบอินทิกรัลอยู่ให้ดูที่ตำราเรียน - ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ฉันไม่คิดว่ามันแนะนำให้รวมเนื้อหา (แม้แต่ของธรรมดา ๆ ) ความน่าจะเป็นของการเผชิญหน้าซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

คำคุณศัพท์ "complex" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่ถือเป็นเงื่อนไขส่วนใหญ่อีกครั้ง เริ่มจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กันก่อน ระดับสูง- จากมุมมองของวิธีการแก้ที่ใช้ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แทบจะเป็นสิ่งเดียวกัน ดังนั้นฉันจะพูดถึงแทนเจนต์ให้มากขึ้น ซึ่งหมายความว่าวิธีที่สาธิตในการแก้อินทิกรัลนั้นใช้ได้กับโคแทนเจนต์ด้วย

ในบทเรียนข้างต้นเราดู การทดแทนตรีโกณมิติสากลที่จะแก้ปัญหา บางประเภทอินทิกรัลของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ข้อเสียของการทดแทนตรีโกณมิติสากลคือการใช้มักจะส่งผลให้เกิดอินทิกรัลยุ่งยากและการคำนวณยาก และในบางกรณี สามารถหลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้!

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งตามรูปแบบบัญญัติ อินทิกรัลของค่าหนึ่งหารด้วยไซน์:

ตัวอย่างที่ 17

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ที่นี่คุณสามารถใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลและรับคำตอบได้ แต่ก็มีวิธีที่มีเหตุผลมากกว่า ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาแบบสมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:

(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับไซน์ของมุมคู่
(2) เราทำการแปลงแบบประดิษฐ์: หารด้วยตัวส่วนแล้วคูณด้วย .
(3) การใช้สูตรที่รู้จักกันดีในตัวส่วน เราจะแปลงเศษส่วนให้เป็นแทนเจนต์
(4) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(5) หาอินทิกรัล

คู่ ตัวอย่างง่ายๆสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 18

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกควรใช้สูตรการลดขนาด และดำเนินการอย่างระมัดระวังคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า

ตัวอย่างที่ 19

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ตอบคำถามและคำตอบให้ครบถ้วนในตอนท้ายของบทเรียน

ฉันคิดว่าตอนนี้จะไม่มีใครมีปัญหากับอินทิกรัล:
ฯลฯ

แนวคิดของวิธีการคืออะไร? แนวคิดก็คือการใช้การแปลงและสูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบเฉพาะแทนเจนต์และอนุพันธ์แทนเจนต์ให้เป็นปริพันธ์ นั่นคือ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการเปลี่ยน: - ในตัวอย่างที่ 17-19 เราใช้จริง การทดแทนนี้แต่อินทิกรัลนั้นง่ายมากจนสสารถูกจัดการด้วยการกระทำที่เทียบเท่ากัน โดยรวมฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล

การให้เหตุผลที่คล้ายกันดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วสามารถดำเนินการกับโคแทนเจนต์ได้

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้การทดแทนข้างต้น:

ผลรวมของกำลังของโคไซน์และไซน์คือเลขคู่จำนวนเต็มลบ, ตัวอย่างเช่น:

สำหรับอินทิกรัล – เลขคู่จำนวนเต็มลบ

- บันทึก : หากปริพันธ์มีเฉพาะไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น อินทิกรัลก็จะถือเป็นระดับคี่ติดลบด้วย (กรณีที่ง่ายที่สุดอยู่ในตัวอย่างที่ 17, 18)

ลองดูงานที่มีความหมายอีกสองสามงานตามกฎนี้:

ตัวอย่างที่ 20

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ผลรวมของกำลังของไซน์และโคไซน์: 2 – 6 = –4 เป็นเลขจำนวนเต็มลบที่เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงเป็นแทนเจนต์และอนุพันธ์ของมันได้:

(1) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(2) เราได้มาจากสูตรที่รู้จักกันดี
(3) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(4) เราใช้สูตร .
(5) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(6) เราดำเนินการทดแทน นักเรียนที่มีประสบการณ์มากกว่าอาจไม่ดำเนินการแทน แต่ก็ยังดีกว่าถ้าแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรตัวเดียว - มีความเสี่ยงน้อยกว่าที่จะสับสน

ตัวอย่างที่ 21

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

รอก่อน รอบชิงแชมป์กำลังจะเริ่มแล้ว =)

บ่อยครั้งที่ปริพันธ์มีคำว่า "ผสม":

ตัวอย่างที่ 22

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลนี้เริ่มแรกประกอบด้วยแทนเจนต์ ซึ่งนำไปสู่ความคิดที่คุ้นเคยอยู่แล้วในทันที:

ฉันจะทิ้งการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์ไว้ที่จุดเริ่มต้นและขั้นตอนที่เหลือโดยไม่มีความคิดเห็นเนื่องจากทุกอย่างได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว

ตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์สำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 23

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 24

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใช่ ในนั้น คุณสามารถลดกำลังของไซน์และโคไซน์ลงได้ และใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลได้ แต่การแก้ปัญหาจะมีประสิทธิภาพมากกว่าและสั้นกว่ามากหากดำเนินการผ่านแทนเจนต์ เฉลยและเฉลยครบถ้วนท้ายบทเรียน

จำปีการศึกษาที่มีความสุขของเรา ผู้บุกเบิกบทเรียนคณิตศาสตร์ เมื่อเริ่มศึกษาราก อันดับแรกเลยคือทำความคุ้นเคยกับรากที่สอง เรา ไปกันเลยแบบเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

จากการวิเคราะห์อินทิแกรนด์ คุณจะได้ข้อสรุปที่น่าเศร้าว่ามันไม่เหมือนกับอินทิกรัลของตารางเลย ทีนี้ หากทั้งหมดนี้อยู่ในตัวเศษ มันจะง่าย. หรือจะไม่มีรากอยู่ด้านล่าง หรือพหุนาม ไม่มี วิธีการรวมเศษส่วนพวกเขาก็ไม่ช่วยเช่นกัน จะทำอย่างไร?

เทคนิคหลักในการแก้อินทิกรัลไร้เหตุผลคือการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ซึ่งจะกำจัดรากทั้งหมดในอินทิแกรนด์ออกไป

โปรดทราบว่าการแทนที่นี้ค่อนข้างแปลกเล็กน้อย การใช้งานทางเทคนิคนั้นแตกต่างจากวิธีการแทนที่แบบ "คลาสสิก" ซึ่งได้กล่าวถึงในบทเรียน วิธีการแทนค่าอินทิกรัลไม่จำกัด.

ใน ในตัวอย่างนี้จำเป็นต้องเปลี่ยน x = ที 2 นั่นคือแทนที่จะเป็น "X" ใต้รูทเราจะมี ที 2. ทำไมต้องเปลี่ยน? เพราะและผลของการแทนที่รากจะหายไป

ถ้าแทนที่จะเป็นสแควร์รูทที่เรามีในปริพันธ์ เราก็จะทำการแทนที่แทน ถ้ามันอยู่ที่นั่นพวกเขาก็คงทำต่อไปเป็นต้น

โอเค เราจะเปลี่ยนเป็น เกิดอะไรขึ้นกับพหุนาม? ไม่มีปัญหา: ถ้า แล้ว .

ก็ต้องดูกันต่อไปว่าส่วนต่างจะเปลี่ยนเป็นเช่นไร ทำเช่นนี้:

เราดำเนินการทดแทนและ เราแขวนส่วนต่างไว้ทั้งสองส่วน:

(เราจะอธิบายโดยละเอียดให้มากที่สุด)

รูปแบบของโซลูชันควรมีลักษณะดังนี้:

.

มาแทนที่: .

.

(1) เราดำเนินการเปลี่ยนตัวหลังจากเปลี่ยนตัวแล้ว (พิจารณาอย่างไร อะไร และที่ไหน)

(2) เราหาค่าคงที่นอกอินทิกรัล ตัวเศษและส่วนจะลดลงด้วย ที.

(3) อินทิกรัลที่ได้จะเป็นแบบตาราง เราเตรียมมันสำหรับอินทิเกรตโดยการเลือกกำลังสอง

(4) บูรณาการบนโต๊ะโดยใช้สูตร

.

(5) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ วิธีนี้ทำอย่างไร? เราจำได้ว่าทำไมเราถึงเต้น: ถ้าอย่างนั้น

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ปรากฏว่าในตัวอย่างที่ 1, 2 มีตัวเศษ "เปล่า" พร้อมดิฟเฟอเรนเชียลโดดเดี่ยว มาแก้ไขสถานการณ์กันเถอะ

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

การวิเคราะห์เบื้องต้นเกี่ยวกับปริพันธ์แสดงให้เห็นอีกครั้งว่าไม่มีวิธีที่ง่าย ดังนั้นคุณต้องกำจัดรากออก

มาแทนที่: .

สำหรับ เราแสดงนิพจน์ทั้งหมดภายใต้รูท- การแทนที่จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ไม่เหมาะที่นี่ (แม่นยำยิ่งขึ้นสามารถทำได้ แต่จะไม่กำจัดราก)

เราแขวนส่วนต่างไว้ทั้งสองส่วน:

เราแยกตัวเศษออกแล้ว. จะทำอย่างไรกับตัวส่วน?

เรารับการทดแทนและแสดงจากมัน: .

ถ้าอย่างนั้น.

(1) เราดำเนินการเปลี่ยนตัวตามการเปลี่ยนที่ดำเนินการ

(2) หวีตัวเศษ ตรงนี้ ฉันเลือกที่จะไม่นำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล (คุณสามารถทำได้ด้วยวิธีนี้ มันจะไม่มีข้อผิดพลาด)

(3) เราขยายตัวเศษเป็นผลรวม เราขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณอ่านย่อหน้าแรกของบทเรียนอีกครั้ง การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน- จะมีค่าริกมาโรลมากมายในการแบ่งตัวเศษเป็นผลรวมในอินทิกรัลไม่ลงตัว การฝึกใช้เทคนิคนี้สำคัญมาก

(4) หารตัวเศษด้วยตัวส่วนทีละเทอม

(5) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด ในอินทิกรัลตัวที่สอง เราเลือกช่องสี่เหลี่ยมสำหรับการรวมในภายหลังตามตาราง

(6) เราบูรณาการตามตาราง อินทิกรัลตัวแรกนั้นค่อนข้างง่าย ส่วนอันที่สองเราใช้สูตรตารางของลอการิทึมสูง .

(7) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ หากเราดำเนินการเปลี่ยนใหม่ ให้กลับ: .

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง หากคุณไม่ได้ศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้อย่างรอบคอบ คุณจะทำผิดพลาด! เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

โดยหลักการแล้ว อินทิกรัลกับหลายรายการ เหมือนกันตัวอย่างเช่นราก

ฯลฯ จะทำอย่างไรถ้าปริพันธ์มีราก แตกต่าง?

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

มาถึงการคำนวณตัวเศษเปล่า เมื่อเจออินทิกรัลแบบนี้ก็มักจะน่ากลัว แต่ความกลัวนั้นไร้ผล หลังจากทำการทดแทนที่เหมาะสมแล้ว การบูรณาการก็จะง่ายขึ้น ภารกิจมีดังต่อไปนี้: เพื่อดำเนินการทดแทนให้สำเร็จเพื่อกำจัดรูททั้งหมดทันที

เมื่อได้รับ รากที่แตกต่างกันสะดวกในการปฏิบัติตามรูปแบบการแก้ปัญหาบางอย่าง

ขั้นแรก เราเขียนฟังก์ชันปริพันธ์ลงบนแบบร่าง และนำเสนอรากทั้งหมดในรูปแบบ:

เราจะสนใจ ตัวส่วนองศา:

ไม่มีวิธีสากลในการแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากระดับของสมการต่างกันในปริมาณ บทความจะเน้น สายพันธุ์ลักษณะสมการด้วยการทดแทนโดยใช้วิธีการอินทิเกรต

หากต้องการใช้วิธีการรวมโดยตรง จำเป็นต้องคำนวณ อินทิกรัลไม่ จำกัดพิมพ์ ∫ k x + b p d x โดยที่ p คือเศษส่วนตรรกยะ k และ b คือสัมประสิทธิ์จำนวนจริง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาและคำนวณ ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟย = 1 3 x - 1 3 .

สารละลาย

ตามกฎการรวมเข้าด้วยกัน จำเป็นต้องใช้สูตร ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C และตารางแอนติเดริเวทีฟบอกว่ามี โซลูชั่นสำเร็จรูปฟังก์ชั่นนี้ เราเข้าใจแล้ว

∫ ง x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 ง x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + ค

คำตอบ:∫ ดี x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + ค .

มีหลายกรณีที่เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีการรวมเครื่องหมายส่วนต่างเข้าด้วยกัน สิ่งนี้แก้ไขได้โดยหลักการในการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ f " (x) · (f (x)) p d x เมื่อค่าของ p ถือเป็นเศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่างที่ 2

จงหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 dx

สารละลาย

โปรดทราบว่า d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x จากนั้นจึงจำเป็นต้องรวมเครื่องหมายอนุพันธ์โดยใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

คำตอบ:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

การแก้อินทิกรัลไม่จำกัดต้องใช้สูตรในรูปแบบ ∫ d x x 2 + p x + q โดยที่ p และ q เป็นสัมประสิทธิ์จริง จากนั้นคุณจะต้องเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากใต้รูท เราเข้าใจแล้ว

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

เมื่อใช้สูตรที่อยู่ในตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราได้รับ:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

จากนั้นคำนวณอินทิกรัล:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของรูปแบบ ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1

สารละลาย

ในการคำนวณ คุณต้องนำเลข 2 ออกมาแล้ววางไว้หน้าราก:

∫ ง x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ ง x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ ง x x 2 + 3 2 x - 1 2

เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในนิพจน์ราก เราเข้าใจแล้ว

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลไม่จำกัดรูปแบบ 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + ซี

คำตอบ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ใช้ได้กับฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y = 1 - x 2 + p x + q

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ d x - x 2 + 4 x + 5

สารละลาย

ขั้นแรก คุณต้องหากำลังสองของตัวส่วนของนิพจน์จากใต้ราก

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

อินทิกรัลของตารางมีรูปแบบ ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C จากนั้นเราจะได้ ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a rc sin x - 2 3 +ซี

คำตอบ:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C

กระบวนการค้นหาฟังก์ชันไร้เหตุผลเชิงต้านอนุพันธ์ในรูปแบบ y = M x + N x 2 + p x + q โดยที่ M, N, p, q ที่มีอยู่เป็นสัมประสิทธิ์จริงและคล้ายกับการรวมเศษส่วนอย่างง่ายของประเภทที่สาม . การเปลี่ยนแปลงนี้มีหลายขั้นตอน:

รวมส่วนต่างใต้ราก โดยแยกกำลังสองทั้งหมดของนิพจน์ใต้รากโดยใช้สูตรตาราง

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x + 2 x 2 - 3 x + 1

สารละลาย

จากเงื่อนไขที่เรามีคือ d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x และ x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 จากนั้น (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 ง x = 1 2 ง (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ง x .

ลองคำนวณอินทิกรัลกัน: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + ซี

คำตอบ:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

การค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน ∫ x m (a + b x n) p d x ดำเนินการโดยใช้วิธีการทดแทน

เพื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่:

1. เมื่อ p เป็นจำนวนเต็ม ก็จะพิจารณา x = z N และ N เป็นตัวส่วนร่วมของ m, n
2. เมื่อ m + 1 n เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a + b x n = z N และ N เป็นตัวส่วนของ p
3. เมื่อ m + 1 n + p เป็นจำนวนเต็ม ตัวแปร a x - n + b = z N จำเป็น และ N เป็นตัวส่วนของตัวเลข p

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ 1 x 2 x - 9 dx

สารละลาย

เราได้สิ่งนั้นมา ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x ตามมาว่า m = - 1, n = 1, p = - 1 2 จากนั้น m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 เป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถป้อนใหม่ได้ ตัวแปรเช่น- 9 + 2 x = ซี 2 จำเป็นต้องเขียน x ในรูปของ z เมื่อผลลัพธ์เราได้รับสิ่งนั้น

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

จำเป็นต้องทำการทดแทนอินทิกรัลที่กำหนด เรามีสิ่งนั้น

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

คำตอบ:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

เพื่อให้การแก้สมการไร้เหตุผลง่ายขึ้น จึงใช้วิธีการอินทิเกรตพื้นฐาน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ภายใต้ ไม่มีเหตุผลเข้าใจนิพจน์ที่ตัวแปรอิสระ %%x%% หรือพหุนาม %%P_n(x)%% ของดีกรี %%n \in \mathbb(N)%% รวมอยู่ใต้เครื่องหมาย หัวรุนแรง(จากภาษาละติน ฐานราก- รูต) เช่น ยกกำลังเป็นเศษส่วน ด้วยการแทนที่ตัวแปร คลาสของปริพันธ์บางคลาสที่ไม่ลงตัวเมื่อเทียบกับ %%x%% ก็สามารถลดลงเป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ได้

แนวคิดของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรตัวเดียวสามารถขยายไปยังอาร์กิวเมนต์หลายตัวได้ ถ้าสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ %%u, v, \dotsc, w%% เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชัน จะมีเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการยกกำลังเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น เราจะพูดถึงฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปคือ แสดงว่า %%R(u, v, \ dotsc, w)%% อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดังกล่าวอาจเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ %%x%% รวมถึงรากในรูปแบบ %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ตัวอย่างเช่น, ฟังก์ชันตรรกยะ$$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ โดยมี %%u = x, v = \sqrt(x)%% และ %%w = \sqrt(x ^2 + 1)%% เป็นฟังก์ชันตรรกยะ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x^2) ) (\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ จาก %%x%% และอนุมูล %%\sqrt(x)%% และ %%\sqrt(x^2 + 1)%% ในขณะที่ฟังก์ชัน %%f(x)%% จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว (พีชคณิต) ของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง %%x%%

ลองพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% อินทิกรัลดังกล่าวหาเหตุผลเข้าข้างตนเองโดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](x)%% จากนั้น %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%

ตัวอย่างที่ 1

หา %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%

จำนวนเต็มของอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการเขียนเป็นฟังก์ชันของอนุมูลระดับ %%2%% และ %%3%% เนื่องจากตัวคูณร่วมน้อยของ %%2%% และ %%3%% คือ %%6%% อินทิกรัลนี้จึงเป็นอินทิกรัลประเภท %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% และสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ %%\sqrt(x) = t%% จากนั้น %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%% ดังนั้น $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t $$ ลองใช้ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% และ $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(อาร์เรย์) $$

อินทิกรัลของรูปแบบ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% เป็นกรณีพิเศษของเศษส่วน ความไร้เหตุผลเชิงเส้น, เช่น. อินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% โดยที่ %% ad - bc \neq 0%% ซึ่งสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%% จากนั้น %%x = \dfrac (dt^n - b)(ก - ct^n)%% จากนั้น $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t -

ตัวอย่างที่ 2

หา %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%

ลองใช้ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% จากนั้น %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2) \end(array) $$ ดังนั้น $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(อาร์เรย์) $$

ลองพิจารณาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ในกรณีที่ง่ายที่สุด อินทิกรัลดังกล่าวจะลดลงเหลือแบบตาราง หากหลังจากแยกกำลังสองทั้งหมดแล้ว มีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

หาอินทิกรัล %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%

เมื่อพิจารณาว่า %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% เราจะได้ %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, จากนั้น $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\ซ้าย|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(อาร์เรย์) $$

ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ เมื่อต้องการค้นหาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% จะถูกใช้

ฟังก์ชันอตรรกยะของตัวแปรคือฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและค่าคงที่ตามอำเภอใจโดยใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ (การยกกำลังจำนวนเต็ม) การหาร และการหยั่งราก ฟังก์ชันอตรรกยะแตกต่างจากฟังก์ชันตรรกยะตรงที่ฟังก์ชันอตรรกยะประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับการแยกราก

ฟังก์ชันอตรรกยะมีสามประเภทหลักๆ ซึ่งอินทิกรัลไม่ จำกัด จะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ที่มีรากของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (รากอาจมีกำลังต่างกัน แต่มาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นเดียวกัน) อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินามและอินทิกรัลกับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

หมายเหตุสำคัญ รากมีหลายความหมาย!

เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่มีรูต มักจะพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอินทิเกรตคือที่ไหน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่านั่นคือที่ t >< 0 , |t| = ต- ที่ที 0 0 , |t| = - ที .< 0 ดังนั้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากรณีต่างๆ t > แยกต่างหาก 0 และที< 0 - ซึ่งสามารถทำได้โดยการเขียนป้ายหรือที่ใดก็ตามที่จำเป็น สมมติว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงกรณี t >

และอันล่าง - ถึงเคส เสื้อ - ด้วยการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตามกฎแล้วสัญญาณเหล่านี้จะยกเลิกซึ่งกันและกันจากตัวแปรที่ซับซ้อน ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่ต้องใส่ใจกับสัญญาณในสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง วิธีการนี้ใช้ได้หากปริพันธ์เป็นเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ทั้งอินทิกรัลและอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ดังนั้น หลังจากการบูรณาการ เมื่อแทนที่ค่าตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสาขาที่มีค่าเดียว (พื้นผิว Riemann) ของปริพันธ์ และเลือกสาขาที่สอดคล้องกันของผลการรวม

ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน

สิ่งเหล่านี้คืออินทิกรัลที่มีรากจากฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนเดียวกัน:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ คือจำนวนตรรกยะ m 1, n 1, ..., m s, n s คือจำนวนเต็ม α, β, γ, δ เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน:
โดยที่ n คือตัวส่วนร่วมของตัวเลข r 1, ..., r s

รากอาจไม่จำเป็นต้องมาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น แต่ยังมาจากฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย (γ = 0 , δ = 1) หรือบนตัวแปรอินทิเกรต x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
, .

อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม

อินทิกรัลจากดิฟเฟอเรนเชียลทวินามมีรูปแบบ:
,
โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี

1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

ในกรณีอื่นๆ อินทิกรัลดังกล่าวจะไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

บางครั้งอินทิกรัลดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้สูตรการลด:
;
.

ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

อินทิกรัลดังกล่าวมีรูปแบบ:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ สำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวนั้นมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา
1) การใช้การแปลงทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น
2) ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติหรือไฮเปอร์โบลิก
3) ใช้การทดแทนออยเลอร์

ลองดูวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด

1) การแปลงฟังก์ชันปริพันธ์

การใช้สูตรและดำเนินการแปลงพีชคณิตเราจะลดฟังก์ชันปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบ:
,
โดยที่ φ(x), ω(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ

ประเภทที่ 1

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n

อินทิกรัลดังกล่าวพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยใช้เอกลักษณ์:

.
การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i

ประเภทที่สอง

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m

การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม

ประเภทที่สาม

ที่นี่เราทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ t ในตัวส่วนกลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
,
,
ซึ่งรวมเข้าด้วยกันโดยการทดแทน:
คุณ 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1
โวลต์ 2 = ก 1 + ค 1 เสื้อ -2 .

2) การทดแทนตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม , a > 0 ,
เรามีตัวสำรองหลักๆ อยู่ 3 ตัว:
;
;
;

สำหรับปริพันธ์ ก > 0 ,
เรามีการทดแทนดังต่อไปนี้:
;
;
;

และสุดท้าย สำหรับอินทิกรัล, a > 0 ,
การทดแทนมีดังนี้:
;
;
;

3) การเปลี่ยนตัวออยเลอร์

นอกจากนี้ อินทิกรัลยังสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0;
, สำหรับค > 0 ;
โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0

ถ้าสมการนี้มีรากจริง

อินทิกรัลรูปไข่
,
โดยสรุป ให้พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม: โดยที่ R เป็นฟังก์ชันตรรกยะอินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าวงรี ใน

มุมมองทั่วไป
.

มันไม่ได้แสดงออกผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีหลายกรณีที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ A, B, C, D, E ซึ่งอินทิกรัลดังกล่าวแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับพหุนามแบบสะท้อนกลับ การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าวดำเนินการโดยใช้การทดแทน:
.

ตัวอย่าง

คำนวณอินทิกรัล:

.
สารละลาย 0 มาทำการทดแทนกันเถอะ 0 ที่นี่ที่ x >< 0 (คุณ>< 0 ) ใช้เครื่องหมายบน ′+ ′ ที่เอ็กซ์

.

(คุณ

) - ต่ำกว่า '- '.
คำตอบ