ผู้ที่เข้าสอบ Unified State และอื่นๆ อีกมากมาย...
เป็นเรื่องแปลกที่ในบทเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ในโรงเรียนมักจะแสดงให้นักเรียนเห็นถึงวิธีที่ซับซ้อนและไม่สะดวกที่สุดในการแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง วิธีนี้ประกอบด้วยการหารตัวเลขเดิมด้วยฐานตามลำดับ และรวบรวมเศษจากการหารในลำดับย้อนกลับ
ตัวอย่างเช่น คุณต้องแปลงตัวเลข 810 10 เป็น ระบบไบนารี่:
เราเขียนผลลัพธ์ในลำดับย้อนกลับจากล่างขึ้นบน ปรากฎว่า 81010 = 11001010102
หากคุณต้องการแปลงเป็นระบบไบนารี่ก็ค่อนข้าง ตัวเลขใหญ่จากนั้นบันไดแบ่งจะมีขนาดเท่ากับอาคารหลายชั้น และคุณจะรวบรวมเลขและศูนย์ทั้งหมดได้อย่างไรโดยไม่พลาดอันใดอันหนึ่ง?
โปรแกรมการสอบ Unified State ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ประกอบด้วยงานหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง โดยทั่วไป นี่คือการแปลงระหว่างระบบฐานแปดและฐานสิบหกและไบนารี เหล่านี้คือส่วน A1, B11 แต่ยังมีปัญหากับระบบตัวเลขอื่นๆ อีกด้วย เช่น ในส่วน B7
ขั้นแรก ให้เรานึกถึงตารางสองตารางที่ควรรู้ด้วยใจสำหรับผู้ที่เลือกวิทยาการคอมพิวเตอร์เป็นอาชีพในอนาคต
ตารางอำนาจของหมายเลข 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
หาได้ง่ายโดยการคูณตัวเลขก่อนหน้าด้วย 2 ดังนั้นหากคุณจำตัวเลขทั้งหมดนี้ไม่ได้ก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะดึงสิ่งที่เหลือในใจจากสิ่งที่คุณจำได้
ตารางเลขฐานสองตั้งแต่ 0 ถึง 15 โดยมีการแสดงเลขฐานสิบหก:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ก | บี | ค | ดี | อี | เอฟ |
ค่าที่หายไปนั้นยังคำนวณได้ง่ายโดยการเพิ่ม 1 เข้ากับค่าที่ทราบ
การแปลงจำนวนเต็ม
เรามาเริ่มกันด้วยการแปลงเป็นระบบไบนารี่โดยตรง เอาเลขเดียวกัน 810 10 ครับ. เราต้องแยกจำนวนนี้เป็นพจน์เท่ากับกำลังสอง
- เรากำลังมองหาพลังของสองตัวที่ใกล้เคียง 810 มากที่สุดและไม่เกินนั้น นี่คือ 2 9 = 512
- ลบ 512 จาก 810 เราจะได้ 298
- ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 และ 2 จนกว่าจะไม่มี 1 หรือ 0 เหลืออยู่
- เราได้แบบนี้: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1
วิธีที่ 1: จัดเรียง 1 ตามอันดับตัวบ่งชี้ข้อกำหนด ในตัวอย่างของเรา ได้แก่ 9, 8, 5, 3 และ 1 ตำแหน่งที่เหลือจะมีศูนย์ ดังนั้นเราจึงได้ค่าเลขฐานสองของจำนวน 810 10 = 1100101010 2 หน่วยจะอยู่ในอันดับที่ 9, 8, 5, 3 และ 1 นับจากขวาไปซ้ายจากศูนย์
วิธีที่ 2: ลองเขียนพจน์เป็นกำลังของทั้งสองไว้ข้างใต้กัน โดยเริ่มจากค่าที่ใหญ่ที่สุด
810 =
ตอนนี้เรามาเพิ่มขั้นตอนเหล่านี้เข้าด้วยกัน เช่น การพับพัด: 1100101010
แค่นั้นแหละ. ในเวลาเดียวกัน ปัญหา "มีกี่หน่วยในระบบเลขฐานสองของเลข 810" ก็ได้รับการแก้ไขเช่นกัน
คำตอบมีมากพอๆ กับเงื่อนไข (ยกกำลังสอง) ในการเป็นตัวแทนนี้ 810 มี 5 อัน
ตอนนี้ตัวอย่างนั้นง่ายกว่า
ลองแปลงเลข 63 เป็นระบบเลข 5 อารีกัน กำลังที่ใกล้ที่สุดของ 5 ถึง 63 คือ 25 (กำลังสอง 5) ลูกบาศก์ (125) จะมีจำนวนมากอยู่แล้ว นั่นคือ 63 อยู่ระหว่างกำลังสองของ 5 กับลูกบาศก์ จากนั้นเราจะเลือกค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ 5 2 นี่คือ 2
เราได้ 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5
และสุดท้ายคือการแปลระหว่างระบบ 8 และระบบเลขฐานสิบหกอย่างง่ายดาย เนื่องจากฐานเป็นกำลังสอง การแปลจึงเสร็จสิ้นโดยอัตโนมัติ เพียงแทนที่ตัวเลขด้วยการแสดงเลขฐานสอง สำหรับระบบฐานแปด แต่ละหลักจะถูกแทนที่ด้วยเลขฐานสองสามหลัก และสำหรับระบบเลขฐานสิบหกคือสี่หลัก ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีเลขศูนย์นำหน้าทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุด
ลองแปลงตัวเลข 547 8 เป็นเลขฐานสองกัน
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
อีกอย่าง เช่น 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | ดี | 6 | ก |
ลองแปลงตัวเลข 7368 เป็นระบบเลขฐานสิบหกก่อน เขียนตัวเลขเป็นแฝด แล้วหารเป็นสี่เท่าจากด้านท้าย: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 ลองแปลงตัวเลข C25 16 เป็นระบบฐานแปดกัน ขั้นแรก เขียนตัวเลขเป็นสี่ส่วนแล้วหารเป็นสามจากด้านท้าย: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 ทีนี้มาดูการแปลงกลับเป็นทศนิยมกัน ไม่ใช่เรื่องยากสิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาดในการคำนวณ เราขยายจำนวนให้เป็นพหุนามด้วยกำลังของฐานและค่าสัมประสิทธิ์สำหรับพวกมัน จากนั้นเราก็คูณและเพิ่มทุกอย่าง E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
การแปลงจำนวนลบ
ที่นี่คุณต้องคำนึงว่าหมายเลขนั้นจะถูกนำเสนอ รหัสเพิ่มเติม- ในการแปลงตัวเลขเป็นโค้ดเพิ่มเติม คุณจำเป็นต้องทราบขนาดสุดท้ายของตัวเลข ซึ่งก็คือขนาดที่เราต้องการจะใส่ลงในหน่วยไบต์ ในสองไบต์ ในสี่ส่วน หลักที่สำคัญที่สุดของตัวเลขหมายถึงเครื่องหมาย ถ้ามี 0 แสดงว่าตัวเลขเป็นบวก ถ้า 1 แสดงว่าติดลบ ทางด้านซ้ายจะมีตัวเลขเสริมด้วยเครื่องหมายหลัก เราไม่ถือว่าตัวเลขที่ไม่ได้ลงนามจะเป็นค่าบวกเสมอ และบิตที่สำคัญที่สุดในนั้นจะถูกใช้เป็นข้อมูล
ในการแปลงจำนวนลบให้เป็นโค้ดเสริมของไบนารี่ คุณต้องแปลง จำนวนบวกเข้าสู่ระบบไบนารี่ จากนั้นเปลี่ยนศูนย์เป็นหนึ่งและเปลี่ยนศูนย์ให้เป็นศูนย์ จากนั้นเพิ่ม 1 เข้ากับผลลัพธ์
ลองแปลงตัวเลข -79 เป็นระบบไบนารี่กัน ตัวเลขจะพาเราไปหนึ่งไบต์
เราแปลง 79 เป็นระบบไบนารี่ 79 = 1001111 เราเพิ่มศูนย์ทางด้านซ้ายเป็นขนาดของไบต์ 8 บิต เราได้ 01001111 เราเปลี่ยน 1 เป็น 0 และ 0 เป็น 1 เราได้ 10110000 เราบวก 1 ไปที่ ผลลัพธ์ที่ได้คือคำตอบ 10110001 ระหว่างทางเราตอบคำถามการสอบ Unified State ว่า "มีกี่หน่วย" การเป็นตัวแทนไบนารีตัวเลข -79?” คำตอบคือ 4
การบวก 1 เข้าไปในค่าผกผันของตัวเลขจะช่วยลดความแตกต่างระหว่างค่า +0 = 00000000 และ -0 = 11111111 ในโค้ดส่วนเสริมของ two จะเขียนเหมือนกับ 00000000
การแปลงเลขเศษส่วน
ตัวเลขเศษส่วนจะถูกแปลงในลักษณะย้อนกลับของการหารจำนวนเต็มด้วยฐาน ซึ่งเราดูที่จุดเริ่มต้น นั่นคือการใช้การคูณตามลำดับด้วยฐานใหม่พร้อมการรวบรวมส่วนทั้งหมด ส่วนจำนวนเต็มที่ได้รับระหว่างการคูณจะถูกรวบรวม แต่จะไม่มีส่วนร่วมในการดำเนินการต่อไปนี้ คูณเศษส่วนเท่านั้น หากจำนวนเดิมมากกว่า 1 แสดงว่าจำนวนเต็มและเศษส่วนจะถูกแปลแยกกัน จากนั้นจึงนำมาติดกัน
ลองแปลงตัวเลข 0.6752 เป็นระบบไบนารี่กัน
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้เป็นเวลานานจนกว่าเราจะได้ศูนย์ทั้งหมดในส่วนของเศษส่วนหรือได้ความแม่นยำที่ต้องการ ให้หยุดที่ป้ายที่ 6 ก่อนครับ
ปรากฎว่า 0.6752 = 0.101011
ถ้าเป็นเลข 5.6752 ล่ะก็ ไบนารี่มันจะเป็น 101.101011
2.3. การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่ง
2.3.1. การแปลงจำนวนเต็มจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง
เป็นไปได้ที่จะกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแปลงจำนวนเต็มจากระบบฐานราก พี ให้เป็นระบบที่มีฐาน ถาม :
1. แสดงฐานของระบบตัวเลขใหม่โดยใช้ตัวเลขของระบบตัวเลขเดิมและดำเนินการตามนั้นทั้งหมด ระบบเดิมการคำนวณ
2. หารจำนวนที่กำหนดและผลหารจำนวนเต็มผลลัพธ์ด้วยฐานของระบบตัวเลขใหม่อย่างสม่ำเสมอ จนกว่าเราจะได้ผลหารที่น้อยกว่าตัวหาร
3. ผลลัพท์ที่เหลือซึ่งเป็นตัวเลขหลักใน ระบบใหม่ตัวเลขให้เรียงตามตัวอักษรของระบบตัวเลขใหม่
4. เขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่โดยเริ่มจากเศษที่เหลือสุดท้าย
ตัวอย่าง 2.12.แปลงเลขทศนิยม 173 10 เป็น ระบบฐานแปดสัญกรณ์:
เราได้รับ: 173 10 =255 8
ตัวอย่าง 2.13.แปลงเลขฐานสิบ 173 10 เป็นระบบเลขฐานสิบหก:
เราได้รับ: 173 10 = AD 16
ตัวอย่างที่ 2.14แปลงเลขฐานสิบ 11 10 เป็นระบบเลขฐานสอง สะดวกกว่าในการพรรณนาลำดับการกระทำที่กล่าวถึงข้างต้น (อัลกอริธึมการแปล) ดังนี้:
เราได้รับ: 11 10 =1011 2.
ตัวอย่าง 2.15.บางครั้งการเขียนอัลกอริธึมการแปลในรูปแบบตารางจะสะดวกกว่า ลองแปลงเลขทศนิยม 363 10 เป็นเลขฐานสองกัน
|
ตัวแบ่ง |
|||||||||
เราได้รับ: 363 10 =101101011 2
2.3.2. การแปลงเลขเศษส่วนจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง
เป็นไปได้ที่จะกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแปลงเศษส่วนที่เหมาะสมด้วยฐาน พี เป็นเศษส่วนมีฐาน ถาม:
1. แสดงฐานของระบบตัวเลขใหม่ด้วยตัวเลขจากระบบตัวเลขเดิม และดำเนินการทั้งหมดที่ตามมาในระบบตัวเลขเดิม
2. คูณตัวเลขที่กำหนดและเศษส่วนผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์อย่างสม่ำเสมอด้วยฐานของระบบใหม่จนกระทั่งเศษส่วนของผลิตภัณฑ์เท่ากับศูนย์หรือได้ความแม่นยำที่ต้องการในการแสดงตัวเลข
3. ผลจำนวนเต็มของผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็นตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่จะต้องสอดคล้องกับตัวอักษรของระบบตัวเลขใหม่
4. เขียนเศษส่วนของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่ โดยเริ่มจากจำนวนเต็มของผลิตภัณฑ์แรก
ตัวอย่างที่ 2.17แปลงตัวเลข 0.65625 10 เป็นระบบเลขฐานแปด
เราได้รับ: 0.65625 10 =0.52 8
ตัวอย่างที่ 2.17แปลงตัวเลข 0.65625 10 เป็นระบบเลขฐานสิบหก
|
x 16 |
|
เราได้รับ: 0.65625 10 =0.A8 1
ตัวอย่างที่ 2.18แปลงเศษส่วนทศนิยม 0.5625 10 เป็นระบบเลขฐานสอง
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
เราได้รับ: 0.5625 10 =0.1001 2
ตัวอย่าง 2.19.แปลงเศษส่วนทศนิยม 0.7 10 เป็นระบบเลขฐานสอง
แน่นอนว่ากระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด โดยให้สัญญาณใหม่ๆ มากขึ้นเรื่อยๆ ในรูปของเลขฐานสองที่เทียบเท่ากับตัวเลข 0.7 10 ดังนั้น ในสี่ขั้นตอน เราได้ตัวเลข 0.1011 2 และในเจ็ดขั้นตอน เราได้ตัวเลข 0.1011001 2 ซึ่งเป็นตัวแทนที่แม่นยำกว่าของตัวเลข 0.7 10 ในไบนารี่ ระบบตัวเลข และเป็นต้น กระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดดังกล่าวจะสิ้นสุดลงในขั้นตอนหนึ่ง เมื่อเชื่อว่าได้รับความแม่นยำที่ต้องการในการแสดงตัวเลขแล้ว
2.3.3. การแปลตัวเลขตามอำเภอใจ
การแปลตัวเลขตามใจชอบ เช่น ตัวเลขที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วนจะดำเนินการในสองขั้นตอน แปลแยกกัน ทั้งส่วนแยกกัน - เศษส่วน ในการบันทึกผลลัพธ์ขั้นสุดท้าย ส่วนจำนวนเต็มจะถูกแยกออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วยลูกน้ำ (จุด)
ตัวอย่าง 2.20- แปลงตัวเลข 17.25 10 เป็นระบบเลขฐานสอง
เราได้: 17.25 10 =1001.01 2
ตัวอย่าง 2.21.แปลงตัวเลข 124.25 10 เป็นระบบฐานแปด
เราได้: 124.25 10 =174.2 8
2.3.4. การแปลงตัวเลขจากฐาน 2 เป็นฐาน 2 n และในทางกลับกัน
การแปลจำนวนเต็มถ้าฐานของระบบเลขคิวอารีเป็นกำลังของ 2 การแปลงตัวเลขจากระบบเลขคิวอารีไปเป็นระบบเลข 2 อารีและด้านหลังสามารถทำได้โดยใช้มากกว่านั้น กฎง่ายๆ- ในการเขียนเลขฐานสองจำนวนเต็มในระบบตัวเลขที่มีฐาน q=2 n คุณต้องมี:
1. แบ่งเลขฐานสองจากขวาไปซ้ายออกเป็นกลุ่มละ n หลัก
2. หากกลุ่มซ้ายสุดท้ายมีน้อยกว่า n หลักจะต้องเสริมทางด้านซ้ายด้วยศูนย์ตามจำนวนหลักที่ต้องการ
ตัวอย่างที่ 2.22เลข 101100001000110010 2 จะถูกแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด
เราแบ่งตัวเลขจากขวาไปซ้ายออกเป็นสามกลุ่มและเขียนเลขฐานแปดที่สอดคล้องกันใต้แต่ละตัวเลข:
เราได้ค่าเลขฐานแปดของตัวเลขเดิม: 541062 8
ตัวอย่างที่ 2.23ตัวเลข 1000000000111110000111 2 จะถูกแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบหก
เราแบ่งตัวเลขจากขวาไปซ้ายเป็น tetrad และเขียนเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกันใต้แต่ละตัวเลข:
เราได้ค่าเลขฐานสิบหกของตัวเลขเดิม: 200F87 16
การแปลงเลขเศษส่วนในการเขียนเลขฐานสองที่เป็นเศษส่วนในระบบตัวเลขที่มีฐาน q=2 n คุณต้องมี:
1. แบ่งเลขฐานสองจากซ้ายไปขวาออกเป็นกลุ่มละ n หลัก
2. หากกลุ่มขวาสุดท้ายมีน้อยกว่า n หลัก จะต้องเสริมทางด้านขวาด้วยศูนย์ตามจำนวนหลักที่ต้องการ
3. พิจารณาแต่ละกลุ่มเป็นเลขฐานสอง n บิต และเขียนด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกันในระบบตัวเลขโดยมีฐาน q=2 n
ตัวอย่างที่ 2.24เลข 0.10110001 2 จะถูกแปลงเป็นระบบเลขฐานแปด
เราแบ่งตัวเลขจากซ้ายไปขวาออกเป็นสามกลุ่มและเขียนเลขฐานแปดที่สอดคล้องกันใต้แต่ละตัวเลข:
เราได้ค่าเลขฐานแปดของตัวเลขเดิม: 0.542 8
ตัวอย่าง 2.25.ตัวเลข 0.100000000011 2 จะถูกแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบหก เราแบ่งตัวเลขจากซ้ายไปขวาเป็นเตตราดและเขียนเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกันใต้แต่ละตัวเลข:
เราได้ค่าเลขฐานสิบหกของตัวเลขเดิม: 0.803 16
การแปลตัวเลขตามอำเภอใจในการเขียนเลขฐานสองตามใจชอบในระบบตัวเลขที่มีฐาน q=2 n คุณต้องมี:
1. แบ่งส่วนจำนวนเต็มของเลขฐานสองที่กำหนดจากขวาไปซ้าย และแบ่งเศษส่วนจากซ้ายไปขวาออกเป็นกลุ่มละ n หลัก
2. หากกลุ่มซ้ายและขวาสุดท้ายมีน้อยกว่า n หลัก จะต้องเติมศูนย์ทางด้านซ้ายและ/หรือขวาด้วยเลขศูนย์ตามจำนวนหลักที่ต้องการ
3. พิจารณาแต่ละกลุ่มเป็นเลขฐานสอง n บิต และเขียนด้วยตัวเลขที่สอดคล้องกันในระบบตัวเลขโดยมีฐาน q = 2 n
ตัวอย่างที่ 2.26ลองแปลงตัวเลข 111100101.0111 2 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน
เราแบ่งจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขออกเป็นสามส่วนและเขียนเลขฐานแปดที่สอดคล้องกันใต้แต่ละส่วน:
เราได้รับการแทนเลขฐานแปดของหมายเลขเดิม: 745.34 8 .
ตัวอย่างที่ 2.27ตัวเลข 11101001000,11010010 2 จะถูกแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบหก
เราแบ่งส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขออกเป็นสมุดบันทึกและเขียนเลขฐานสิบหกที่เกี่ยวข้องไว้ใต้แต่ละส่วน:
เราได้ค่าเลขฐานสิบหกของตัวเลขเดิม: 748,D2 16
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขที่มีฐาน q=2n ถึงไบนารีเพื่อ หมายเลขใดก็ได้เขียนในระบบตัวเลขด้วยฐาน q=2 n และแปลงเป็นระบบเลขฐานสอง คุณต้องแทนที่แต่ละหลักของตัวเลขนี้ด้วยค่าที่เทียบเท่ากับ n หลักในระบบเลขฐานสอง
ตัวอย่างที่ 2.28มาแปลกันเถอะ เลขฐานสิบหก 4AC35 16 ระบบเลขฐานสอง
ตามอัลกอริทึม:
เราได้รับ: 1001010110000110101 2 .
งานสำหรับการทำให้สำเร็จโดยอิสระ (คำตอบ)
2.38. กรอกตารางในแต่ละแถวซึ่งจะต้องเขียนจำนวนเต็มเดียวกันในระบบตัวเลขต่างกัน
|
ไบนารี่ |
เลขฐานแปด |
ทศนิยม |
เลขฐานสิบหก |
2.39. กรอกข้อมูลลงในตารางด้วยสิ่งเดียวกันในแต่ละแถว จำนวนเศษส่วนต้องเขียนในระบบตัวเลขต่างกัน
|
ไบนารี่ |
เลขฐานแปด |
ทศนิยม |
เลขฐานสิบหก |
2.40. กรอกตารางในแต่ละแถวซึ่งจะต้องเขียนตัวเลขที่กำหนดเองเดียวกัน (ตัวเลขสามารถมีทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน) ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน
|
ไบนารี่ |
เลขฐานแปด |
ทศนิยม |
เลขฐานสิบหก |
|
59.บ |
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- ทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อระบบจำนวน
- เรียนรู้การแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบตัวเลขตำแหน่งอื่นๆ และในทางกลับกัน
- เชี่ยวชาญหลักการแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง
- พัฒนาการคิดเชิงตรรกะ
ความคืบหน้าของบทเรียน
ในช่วงเริ่มต้นของบทเรียน ให้ทบทวนสั้นๆ และตรวจการบ้าน
ข้อมูลตัวเลขในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์แสดงในรูปแบบใด
ระบบตัวเลขมีไว้เพื่ออะไร?
คุณรู้จักระบบตัวเลขประเภทใด ยกตัวอย่างของคุณเอง
ระบบตำแหน่งแตกต่างจากระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งอย่างไร
เป้าหมายของบทเรียนของเราคือการเรียนรู้วิธีแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบตัวเลขตำแหน่งอื่นๆ และในทางกลับกัน แต่ก่อนอื่นเราจะดูว่าคุณทำได้อย่างไร
แทนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ:
ใน ระบบตำแหน่งค่าของการเขียนจำนวนเต็มถูกกำหนดโดย กฎถัดไป: ให้ a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 เป็นการบันทึกเลข A และ i คือตัวเลข แล้ว
โดยที่ p คือจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ซึ่งเรียกว่าฐานของระบบตัวเลข
เพื่อให้สำหรับ p ที่กำหนด จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ สามารถเขียนตามสูตร (1) และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยวิธีเฉพาะ ค่าตัวเลขหลักที่แตกต่างกันต้องเป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในกลุ่มตั้งแต่ 0 ถึง p-1
1) ระบบทศนิยม
ตัวเลข: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
หมายเลข 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) ระบบไตรภาค
ตัวเลข: 0,1,2
หมายเลข 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
หมายเหตุ: ตัวห้อยในตัวเลขแสดงถึงฐานของระบบตัวเลขที่ใช้เขียนตัวเลข สำหรับระบบเลขฐานสิบไม่จำเป็นต้องเขียนดัชนี
การแสดงจำนวนลบและเศษส่วน:
ในระบบตำแหน่งทั้งหมด เครื่องหมาย '–' ใช้เพื่อเขียนจำนวนลบ เช่นเดียวกับในระบบทศนิยม เครื่องหมายจุลภาคใช้เพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน ค่าของรายการ a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m ของจำนวน A ถูกกำหนดโดยสูตร ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของ สูตร (1):
75.6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2.314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขที่กำหนดเองเป็นทศนิยม:
ควรเข้าใจว่าเมื่อแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะมีเพียงรูปแบบการเขียนตัวเลขเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงเช่นเดียวกับเมื่อแปลชื่อของตัวเลขเช่นจาก รัสเซียเป็นภาษาอังกฤษ
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ไปเป็นทศนิยมทำได้โดยการคำนวณโดยตรงโดยใช้สูตร (1) สำหรับจำนวนเต็ม และสูตร (2) สำหรับเศษส่วน
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขทศนิยมให้เป็นระบบตัวเลขตามอำเภอใจ
การแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมให้เป็นระบบที่มีฐาน p หมายถึงการหาค่าสัมประสิทธิ์ในสูตร (2) บางครั้งมันก็ง่ายที่จะทำ การเลือกง่ายๆ- ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องแปลงตัวเลข 23.5 เป็นระบบฐานแปด เห็นได้ง่ายว่า 23.5 = 16+7+0.5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27.48 เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบไม่ได้ชัดเจนเสมอไป โดยทั่วไปจะใช้วิธีการแปลงจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขแยกกัน
ในการแปลงจำนวนเต็ม จะใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ (ได้มาจากสูตร (1)):
1. ค้นหาผลหารและเศษเมื่อหารตัวเลขด้วย p เศษที่เหลือจะเป็นตัวเลขหลักถัดไป ai (j=0,1,2...) ของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่
2. หากผลหารเท่ากับศูนย์ การแปลตัวเลขจะเสร็จสิ้น มิฉะนั้น เราจะใช้จุดที่ 1 กับผลหาร
หมายเหตุ 1 ตัวเลข ai ในรูปแบบตัวเลขจะเรียงจากขวาไปซ้าย
หมายเหตุ 2. ถ้า p>10 จำเป็นต้องแนะนำสัญลักษณ์สำหรับตัวเลขที่มีค่าตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับ 10
แปลงเลข 165 เป็นระบบเลขผนังกั้นช่องจมูก
165:7 = 23 (เหลือ 4) => 0 = 4
23:7 = 3 (เหลือ 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (เหลือ 3) => ก 2 = 3
มาเขียนผลลัพธ์กัน: a 2 a 1 a 0 เช่น 3247.
เมื่อตรวจสอบโดยใช้สูตร (1) เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าการแปลถูกต้อง:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
ในการแปลงเศษส่วนของตัวเลขจะใช้อัลกอริทึมที่ได้รับตามสูตร (2):
1. คูณเศษส่วนของตัวเลขด้วย p
2. ส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์จะเป็นเลขหลักถัดไป am (m = –1, –2, –3 ...) ในการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่ หากเศษส่วนของผลลัพธ์เป็นศูนย์ การแปลตัวเลขจะเสร็จสมบูรณ์ มิฉะนั้น เราจะใช้ขั้นตอนที่ 1 กับผลลัพธ์
หมายเหตุ 1 ตัวเลข a m ในรูปแบบตัวเลขจะเรียงจากซ้ายไปขวาจากน้อยไปหามาก ค่าสัมบูรณ์ม.
หมายเหตุ 2 โดยปกติแล้วจะเป็นจำนวนเศษส่วนในหน่วย รายการใหม่มีจำนวนจำกัดล่วงหน้า สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถดำเนินการแปลโดยประมาณด้วยความแม่นยำที่กำหนด ในกรณีของเศษส่วนอนันต์ ข้อจำกัดดังกล่าวทำให้มั่นใจถึงความจำกัดของอัลกอริทึม
แปลงตัวเลข 0.625 เป็นระบบเลขฐานสอง
0.625 2 = 1.25 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1) => a -1 =1
0.25 2 = 0.5 (จำนวนเต็มส่วนที่ 0) => a- 2 = 0
0.5 2 = 1.00 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1) => a- 3 = 1
ดังนั้น 0.62510 = 0.1012
เมื่อตรวจสอบโดยใช้สูตร (2) เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าการแปลถูกต้อง:
0.1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625
แปลงตัวเลข 0.165 เป็นระบบเลขควอเทอร์นารี โดยจำกัดไว้เพียงสี่หลัก
0.165 4 = 0.66 (จำนวนเต็มส่วนที่ 0) => a -1 =0
0.66 4 = 2.64 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a -2 = 2
0.64 4 = 2.56 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a -3 = 2
0.56 4 = 2.24 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a -4 = 2
ดังนั้น 0.16510" 0.02224
เรามาแปลย้อนหลังเพื่อให้แน่ใจว่าข้อผิดพลาดที่แน่นอนไม่เกิน 4–4:
0.02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
การแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
ในกรณีนี้ คุณต้องแปลงตัวเลขเป็นก่อน ระบบทศนิยมแล้วจากทศนิยมไปเป็นค่าที่ต้องการ
ใช้วิธีการพิเศษในการแปลงตัวเลขสำหรับระบบที่มีหลายฐาน
ให้ p และ q เป็นฐานของระบบจำนวนสองระบบ เราจะเรียกระบบตัวเลขเหล่านี้ว่ามีหลายฐาน ถ้า p = qn หรือ q = pn โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ระบบจำนวนที่มีฐาน 2 และ 8 เป็นระบบจำนวนฐานหลายระบบ
ให้ p = qn และคุณต้องแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขที่มีฐาน q เป็นระบบตัวเลขที่มีฐาน p ลองแบ่งจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ โดยมีตัวเลข n หลักที่เขียนตามลำดับทางซ้ายและขวาของจุดทศนิยม หากจำนวนหลักในส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขไม่ใช่จำนวนทวีคูณของ n คุณจะต้องเพิ่มจำนวนศูนย์ที่สอดคล้องกันทางด้านซ้าย หากจำนวนหลักในส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขไม่เป็นจำนวนทวีคูณของ n เลขศูนย์จะถูกบวกทางด้านขวา แต่ละกลุ่มของตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขใน ระบบเก่าหมายเลขจะตรงกับหนึ่งหลักของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่
ลองแปลง 1100001.111 2 เป็นระบบเลขควอเทอร์นารีกัน
เมื่อบวกศูนย์และเลือกคู่ตัวเลข เราจะได้ 01100001.11102
ตอนนี้เรามาแปลตัวเลขแต่ละคู่แยกกัน โดยใช้ส่วน การแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
ดังนั้น 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324
สมมติว่าเราจำเป็นต้องถ่ายโอนจากระบบที่มีฐาน q มากกว่า ไปยังระบบที่มีฐาน p น้อยกว่า นั่นคือ คิว = พีเอ็น ในกรณีนี้ หนึ่งหลักของตัวเลขในระบบตัวเลขเก่าจะสัมพันธ์กับ n หลักของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่
ตัวอย่าง: เรามาตรวจสอบการแปลตัวเลขครั้งก่อนกัน
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
ในระบบเลขฐานสิบหกจะมีตัวเลขที่มีค่าตัวเลข 10,11,12, 13,14,15 หากต้องการระบุให้ใช้ตัวอักษรหกตัวแรกของตัวอักษรละติน A, B, C, D, E, F
นี่คือตารางตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 16 ซึ่งเขียนด้วยระบบตัวเลขที่มีฐาน 10, 2, 8 และ 16
| ตัวเลขในระบบทศนิยม | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| ในฐานแปด | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| ในไบนารี่ | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| ในเลขฐานสิบหก | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ก | บี | ค | ดี | อี | เอฟ | 10 |
หากต้องการเขียนเลขฐานสิบหก คุณสามารถใช้อักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก a-f ได้เช่นกัน
ตัวอย่าง: ลองแปลงตัวเลข 110101001010101010100.11 2 เป็นระบบเลขฐานสิบหก
ลองใช้ฐานหลายหลากของระบบตัวเลข (16=2 4) มาจัดกลุ่มตัวเลขด้วยสี่ โดยบวกจำนวนศูนย์ที่ต้องการทางซ้ายและขวา
000110101001010101010100,1100 2
และตรวจสอบตารางเราจะได้: 1A9554,C 16
บทสรุป:
ระบบตัวเลขใดที่ดีที่สุดในการเขียนตัวเลขนั้นเป็นเรื่องของความสะดวกและประเพณี จากมุมมองทางเทคนิค การใช้ระบบไบนารี่ในคอมพิวเตอร์สะดวก เนื่องจากใช้เพียงตัวเลข 0 และ 1 สองหลักในการบันทึกตัวเลข ซึ่งสามารถแสดงด้วยสถานะที่แยกแยะได้ง่ายสองสถานะ "ไม่มีสัญญาณ" และ "มี สัญญาณ”
ในทางตรงกันข้าม บุคคลจะไม่สะดวกในการจัดการกับสัญกรณ์เลขฐานสองเนื่องจากมีความยาวมากกว่าทศนิยมและมีตัวเลขซ้ำกันจำนวนมาก ดังนั้น หากจำเป็น ให้ทำงานกับการแสดงตัวเลขโดยใช้ระบบเลขฐานแปดหรือฐานสิบหก ฐานของระบบเหล่านี้เป็นเลขยกกำลังของสอง ดังนั้นตัวเลขจึงสามารถแปลงจากระบบเหล่านี้เป็นเลขฐานสองได้อย่างง่ายดายและในทางกลับกัน
เขียนการบ้าน:
ก) จดวันเกิดของสมาชิกทุกคนในครอบครัวของคุณในระบบตัวเลขต่างๆ
b) แปลงตัวเลขจากไบนารี่เป็นฐานแปดและเลขฐานสิบหก จากนั้นตรวจสอบผลลัพธ์โดยทำการแปลงกลับด้าน:
ก) 1001111110111.011 2;
คำแนะนำ
วิดีโอในหัวข้อ
ในระบบการนับที่เราใช้ทุกวันจะมีเลขสิบหลักตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้า จึงเรียกว่าทศนิยม. อย่างไรก็ตามในการคำนวณทางเทคนิคโดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์อื่นๆ ระบบโดยเฉพาะไบนารี่และเลขฐานสิบหก ดังนั้นคุณจึงต้องสามารถแปลได้ ตัวเลขจากหนึ่ง ระบบนับไปอีก
คุณจะต้อง
- - กระดาษแผ่นหนึ่ง
- - ดินสอหรือปากกา
- - เครื่องคิดเลข
คำแนะนำ
ระบบไบนารี่เป็นระบบที่ง่ายที่สุด มีเพียงสองหลัก - ศูนย์และหนึ่ง เลขฐานสองแต่ละหลัก ตัวเลขเริ่มต้นจากจุดสิ้นสุดตรงกับยกกำลังสอง สองในเท่ากับหนึ่ง ในครั้งแรก - สอง ในครั้งที่สอง - สี่ ในสาม - แปด และอื่น ๆ
สมมติว่าคุณได้รับเลขฐานสอง 1010110 หน่วยในนั้นอยู่ในอันดับที่สอง สาม ห้า และเจ็ด ดังนั้น ในระบบทศนิยม ตัวเลขนี้คือ 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86
ปัญหาผกผัน- ทศนิยม ตัวเลขระบบ. สมมติว่าคุณมีเลข 57 หากต้องการให้ได้ คุณต้องหารตัวเลขด้วย 2 ตามลำดับแล้วเขียนเศษที่เหลือ เลขฐานสองจะถูกสร้างขึ้นตั้งแต่ต้นจนจบ
ก้าวแรกจะทำให้คุณ หลักสุดท้าย: 57/2 = 28 (เหลือ 1)
จากนั้นคุณจะได้อันที่สองจากจุดสิ้นสุด: 28/2 = 14 (เหลือ 0)
ขั้นตอนเพิ่มเติม: 14/2 = 7 (ส่วนที่เหลือ 0);
7/2 = 3 (ส่วนที่เหลือ 1);
3/2 = 1 (ส่วนที่เหลือ 1);
1/2 = 0 (ส่วนที่เหลือ 1)
นี่เป็นขั้นตอนสุดท้ายเพราะผลของการแบ่งคือ เท่ากับศูนย์- ผลลัพธ์ที่ได้คือเลขฐานสอง 111001
ตรวจสอบคำตอบของคุณ: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57
ประการที่สองที่ใช้ในเรื่องคอมพิวเตอร์คือเลขฐานสิบหก ไม่ใช่สิบแต่มีสิบหกหลัก เพื่อไม่ให้เกิดความใหม่ สัญลักษณ์เลขฐานสิบหกสิบตัวแรก ระบบถูกกำหนดด้วยตัวเลขธรรมดา และอีก 6 ตัวที่เหลือคือ ในตัวอักษรละติน: A, B, C, D, E, F. สอดคล้องกับสัญลักษณ์ทศนิยม ตัวเลขม. จาก 10 ถึง 15 เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ตัวเลขที่เขียนเป็นเลขฐานสิบหกจะมีเครื่องหมาย # หรือสัญลักษณ์ 0x นำหน้า
การแปลงกลับจากทศนิยม ระบบถึงเลขฐานสิบหกทำได้โดยใช้วิธีเศษที่เหลือเหมือนกับเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น เอาเลข 10,000 มาหารด้วย 16 สม่ำเสมอแล้วจดเศษที่เหลือไว้ คุณจะได้:
10,000/16 = 625 (เศษ 0)
625/16 = 39 (เหลือ 1)
39/16 = 2 (เหลือ 7)
2/16 = 0 (เหลือ 2)
ผลลัพธ์ของการคำนวณจะเป็นเลขฐานสิบหก #2710
ตรวจสอบคำตอบของคุณ: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10,000
โอนย้าย ตัวเลขจากเลขฐานสิบหก ระบบการแปลงเป็นไบนารี่ง่ายกว่ามาก หมายเลข 16 คือ 2: 16 = 2^4 ดังนั้นเลขฐานสิบหกแต่ละหลักจึงสามารถเขียนเป็นเลขฐานสองสี่หลักได้ หากคุณมีเลขฐานสองน้อยกว่าสี่หลัก ให้เพิ่มศูนย์นำหน้า
ตัวอย่างเช่น #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110
ตรวจสอบคำตอบ: ทั้งสอง ตัวเลขในรูปแบบทศนิยมจะเท่ากับ 8062
ในการแปล คุณต้องแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มละสี่หลัก โดยเริ่มจากจุดสิ้นสุด และแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยเลขฐานสิบหก
ตัวอย่างเช่น 11000110101001 จะกลายเป็น (0011)(0001)(1010)(1001) ซึ่งในรูปแบบเลขฐานสิบหกจะเท่ากับ #31A9 ความถูกต้องของคำตอบได้รับการยืนยันโดยการแปลงเป็นสัญลักษณ์ทศนิยม: ทั้งสองอย่าง ตัวเลขมีค่าเท่ากับ 12713
เคล็ดลับ 5: วิธีแปลงตัวเลขเป็นไบนารี่
เนื่องจากมีการใช้สัญลักษณ์อย่างจำกัด ระบบไบนารี่จึงสะดวกที่สุดสำหรับการใช้งานในคอมพิวเตอร์และอื่นๆ อุปกรณ์ดิจิทัล- มีเพียงสองสัญลักษณ์เท่านั้น: 1 และ 0 ดังนั้นนี่คือ ระบบใช้ในการดำเนินงานของทะเบียน
คำแนะนำ
ไบนารี่เป็นตำแหน่งเช่น ตำแหน่งของแต่ละหลักในตัวเลขจะสอดคล้องกับตัวเลขหลักหนึ่งซึ่งเท่ากับสองของกำลังที่เหมาะสม ระดับเริ่มต้นที่ศูนย์และเพิ่มขึ้นเมื่อคุณเลื่อนจากขวาไปซ้าย ตัวอย่างเช่น, ตัวเลข 101 เท่ากับ 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5
พิจารณาเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสอง ระบบโดยการหารตามลำดับด้วย 2 เพื่อแปลงทศนิยม ตัวเลขในรหัส 25 คุณต้องหารด้วย 2 จนกระทั่งเหลือ 0 ส่วนที่เหลือที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนการหารจะเขียนเป็นบรรทัดจากขวาไปซ้าย หลังจากเขียนตัวเลขของเศษที่เหลือสุดท้ายแล้ว นี่จะเป็นตัวเลขสุดท้าย
ลองดูที่หนึ่งในนั้น หัวข้อที่สำคัญที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์ - . ใน หลักสูตรของโรงเรียนมันถูกเปิดเผยค่อนข้าง "เจียมเนื้อเจียมตัว" ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่มีเวลาจัดสรร ความรู้ในหัวข้อนี้โดยเฉพาะในเรื่อง การแปลระบบตัวเลข, เป็น ข้อกำหนดเบื้องต้นเพื่อสอบผ่าน Unified State และเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยในคณะที่เกี่ยวข้องได้สำเร็จ ด้านล่างเราจะหารือในแนวคิดรายละเอียดเช่น ระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่งมีตัวอย่างของระบบตัวเลขเหล่านี้ และนำเสนอกฎสำหรับการแปลงจำนวนเต็ม ตัวเลขทศนิยม, ถูกต้อง ทศนิยมและเลขฐานสิบผสมเป็นระบบตัวเลขอื่น การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม การแปลงจากระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสอง ในการสอบใน ปริมาณมากมีปัญหาในหัวข้อนี้ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้เป็นหนึ่งในข้อกำหนดสำหรับผู้สมัคร เร็วๆ นี้: สำหรับแต่ละหัวข้อของส่วน นอกเหนือจากเนื้อหาทางทฤษฎีโดยละเอียดแล้ว เกือบทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้ งานสำหรับ การศึกษาด้วยตนเอง- นอกจากนี้ คุณจะมีโอกาสดาวน์โหลดผลิตภัณฑ์สำเร็จรูปจากบริการโฮสต์ไฟล์ได้ฟรี โซลูชั่นโดยละเอียดในงานเหล่านี้ เป็นการแสดงให้เห็น วิธีต่างๆได้รับคำตอบที่ถูกต้อง
ระบบตัวเลขตำแหน่ง
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง- ระบบตัวเลขซึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ได้แก่ ระบบโรมัน โดยที่แทนที่จะใช้ตัวเลขจะมีตัวอักษรละติน
| ฉัน | 1 (หนึ่ง) |
| วี | 5 (ห้า) |
| เอ็กซ์ | 10 (สิบ) |
| ล | 50 (ห้าสิบ) |
| ค | 100 (หนึ่งร้อย) |
| ดี | 500 (ห้าร้อย) |
| ม | 1,000 (พัน) |
ในที่นี้ตัวอักษร V ย่อมาจาก 5 โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของตัวอักษร อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าถึงแม้ระบบเลขโรมันเป็นตัวอย่างคลาสสิกของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง แต่ก็ไม่ได้ไม่ใช่ระบบตัวเลขเชิงตำแหน่งทั้งหมด เนื่องจาก จำนวนที่น้อยกว่าที่อยู่ข้างหน้าจำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออก:
| อิลลินอยส์ | 49 (50-1=49) |
| วี | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| มิชิแกน | 1001 (1000+1=1001) |
ระบบตัวเลขตำแหน่ง
ระบบตัวเลขตำแหน่ง- ระบบตัวเลขซึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข
ตัวอย่างเช่นถ้าเราพูดถึงระบบเลขฐานสิบในเลข 700 เลข 7 หมายถึง "เจ็ดร้อย" แต่ตัวเลขเดียวกันในเลข 71 หมายถึง "เจ็ดสิบ" และในเลข 7020 - "เจ็ดพัน" .
แต่ละ ระบบหมายเลขตำแหน่งมีของตัวเอง ฐาน- เลือกจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหรือเท่ากับสองเป็นฐาน เท่ากับจำนวนหลักที่ใช้ในระบบตัวเลขที่กำหนด
- ตัวอย่างเช่น:
- ไบนารี่- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 2
- ควอเตอร์นารี- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 4
- ห้าเท่า- ระบบเลขตำแหน่งที่มีฐาน 5
- เลขฐานแปด- ระบบเลขตำแหน่งที่มีฐาน 8
- เลขฐานสิบหก- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 16
เพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อ "ระบบตัวเลข" ได้สำเร็จ นักเรียนจะต้องรู้ด้วยใจถึงความสอดคล้องของเลขฐานสอง ทศนิยม ฐานแปด และเลขฐานสิบหก มากถึง 16 10:
| 10 วินาที/วินาที | 2 วินาที/วินาที | 8 วินาที/วินาที | 16 วินาที/วินาที |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ก |
| 11 | 1011 | 13 | บี |
| 12 | 1100 | 14 | ค |
| 13 | 1101 | 15 | ดี |
| 14 | 1110 | 16 | อี |
| 15 | 1111 | 17 | เอฟ |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
การทราบว่าตัวเลขได้มาในระบบตัวเลขเหล่านี้มีประโยชน์อย่างไร คุณสามารถเดาได้ว่าเป็นฐานแปด เลขฐานสิบหก ไตรภาค และอื่นๆ ระบบตัวเลขตำแหน่งทุกอย่างเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกับระบบทศนิยมที่เราคุ้นเคย:
มีการเพิ่มหมายเลขหนึ่งเข้าไปในหมายเลขและได้รับหมายเลขใหม่ หากหลักหน่วยเท่ากับฐานของระบบตัวเลข เราจะเพิ่มจำนวนหลักสิบขึ้น 1 เป็นต้น
“การเปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่ง” นี้เป็นสิ่งที่ทำให้นักเรียนส่วนใหญ่หวาดกลัว ที่จริงแล้วทุกอย่างค่อนข้างง่าย การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นหากหลักหน่วยเท่ากับ ฐานตัวเลขเราเพิ่มจำนวนสิบด้วย 1 หลายคนที่จำระบบทศนิยมเก่าที่ดีได้สับสนทันทีเกี่ยวกับตัวเลขในช่วงการเปลี่ยนภาพนี้ เพราะทศนิยมและตัวอย่างเช่น สิบไบนารีเป็นสิ่งที่แตกต่างกัน
ดังนั้น นักเรียนที่มีไหวพริบจึงมี “วิธีการของตนเอง” (น่าแปลกที่... ได้ผล) เมื่อกรอกข้อมูล เช่น ตารางความจริง คอลัมน์แรก (ค่าตัวแปร) ที่มีการกรอกตามจริง เลขฐานสองตามลำดับจากน้อยไปหามาก
ตัวอย่างเช่น ลองดูที่การรับตัวเลขเข้า ระบบฐานแปด: เราบวก 1 เข้ากับตัวเลขแรก (0) เราได้ 1 จากนั้นเราบวก 1 ต่อ 1 เราได้ 2 เป็นต้น ถึง 7 ถ้าเราบวกหนึ่งเข้ากับ 7 เราจะได้ตัวเลขที่เท่ากับฐานของระบบตัวเลข กล่าวคือ 8. จากนั้นคุณต้องเพิ่มหลักสิบทีละหนึ่ง (เราได้เลขฐานสิบ - 10) ถัดมาเป็นเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
กฎสำหรับการแปลงจากระบบตัวเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง
1 การแปลงเลขฐานสิบจำนวนเต็มเป็นระบบตัวเลขอื่น
ต้องหารจำนวนด้วย ฐานระบบตัวเลขใหม่- เศษแรกของการหารคือหลักรองแรกของตัวเลขใหม่ ถ้าผลหารของการหารน้อยกว่าหรือเท่ากับฐานใหม่ ก็จะต้องหารมัน (ผลหาร) ด้วยฐานใหม่อีกครั้ง การหารจะต้องดำเนินต่อไปจนกว่าเราจะได้ผลหารน้อยกว่าฐานใหม่ นี่คือหลักสูงสุดของตัวเลขใหม่ (คุณต้องจำไว้ว่าตัวอย่างเช่นในระบบเลขฐานสิบหกหลังจาก 9 จะมีตัวอักษรเช่นถ้าเศษคือ 11 คุณต้องเขียนเป็น B)
ตัวอย่าง ("การหารด้วยมุม"): ลองแปลงตัวเลข 173 10 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน
ดังนั้น 173 10 =255 8
2 การแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นระบบตัวเลขอื่นๆ
จำนวนจะต้องคูณด้วยฐานระบบตัวเลขใหม่ ตัวเลขที่กลายเป็นส่วนจำนวนเต็มคือตัวเลขที่สูงที่สุดของเศษส่วนของตัวเลขใหม่ เพื่อให้ได้ตัวเลขถัดไป ส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยฐานใหม่ของระบบตัวเลขอีกครั้งจนกระทั่งเกิดการเปลี่ยนไปใช้ส่วนทั้งหมด เราคูณต่อไปจนกว่าส่วนที่เป็นเศษส่วนจะกลายเป็นศูนย์หรือจนกว่าเราจะได้ความแม่นยำที่ระบุในปัญหา (“... คำนวณด้วยความแม่นยำ เช่น ทศนิยมสองตำแหน่ง”)
ตัวอย่าง: ลองแปลงตัวเลข 0.65625 10 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน
