ก่อนที่จะแนะนำแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติ ลองพิจารณาแนวคิดของจำนวนคงที่ $e$ ก่อน

หมายเลข $e$

คำจำกัดความ 1

หมายเลข $e$เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นตัวเลขอดิศัย และเท่ากับ $e\ประมาณ 2.718281828459045\ldots$

คำจำกัดความ 2

พ้นคือตัวเลขที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

หมายเหตุ 1

สูตรสุดท้ายอธิบาย ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง.

เรียกหมายเลข e เช่นกัน ตัวเลขออยเลอร์และบางครั้ง เบอร์เนเปียร์.

หมายเหตุ 2

เพื่อจำตัวเลขตัวแรกของตัวเลข $е$ มักใช้นิพจน์ต่อไปนี้: "$2$, $7$, สองเท่าของลีโอ ตอลสตอย"- แน่นอนว่าเพื่อให้สามารถใช้งานได้ จำเป็นต้องจำไว้ว่า Leo Tolstoy เกิดในปี $1828$ เป็นตัวเลขเหล่านี้ที่ทำซ้ำสองครั้งในมูลค่าของตัวเลข $e$ หลังจำนวนเต็ม $2$ และ ส่วนทศนิยม $7$

เราเริ่มพิจารณาแนวคิดของจำนวน $e$ เมื่อศึกษาลอการิทึมธรรมชาติอย่างแม่นยำ เนื่องจากมันอยู่ที่ฐานของลอการิทึม $\log_(e)⁡a$ ซึ่งโดยปกติจะเรียกว่า เป็นธรรมชาติและเขียนมันในรูปแบบ $\ln ⁡a$

ลอการิทึมธรรมชาติ

บ่อยครั้งในการคำนวณจะใช้ลอการิทึมซึ่งมีฐานเป็นตัวเลข $е$

คำจำกัดความที่ 4

เรียกว่าลอการิทึมที่มีฐาน $e$ เป็นธรรมชาติ.

เหล่านั้น. ลอการิทึมธรรมชาติสามารถแสดงเป็น $\log_(e)⁡a$ แต่ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์ $\ln ⁡a$

คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

เพราะ ลอการิทึมของฐานใด ๆ ของเอกภาพจะเท่ากับ $0$ ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติของเอกภาพจะเท่ากับ $0$:

ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข $е$ เท่ากับ 1:

ลอการิทึมธรรมชาติของผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเหล่านี้:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$

ลอการิทึมธรรมชาติของผลหารของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลต่างของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเหล่านี้:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$

ลอการิทึมธรรมชาติของกำลังของตัวเลขสามารถแสดงเป็นผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนซับลอการิทึม:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$

ตัวอย่างที่ 1

ลดรูปนิพจน์ $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$

สารละลาย.

ขอให้เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมผลคูณกับลอการิทึมตัวแรกในตัวเศษและส่วน และคุณสมบัติของลอการิทึมกำลังกับลอการิทึมที่สองของตัวเศษและส่วน:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

ลองเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน และใช้คุณสมบัติ $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

คำตอบ: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าของนิพจน์ $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของลอการิทึม:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

คำตอบ: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณค่าของนิพจน์ลอการิทึม $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$

สารละลาย.

ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 ดอลลาร์

คำตอบ: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

ตัวอย่างที่ 4

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึม $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารกับลอการิทึมแรก:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

ลองเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

คำตอบ: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

2,7182818284590452353602874713527… เลขฐานสิบหก 2,B7E151628AED2A6A… เป็นเรื่องเพศ 2; 43 05 48 52 29 48 35 … การประมาณเหตุผล 8 / 3 ; 11 / 4 ; 19 / 7 ; 87 / 32 ; 106 / 39 ; 193 / 71 ; 1264 / 465 ; 2721 / 1001 ; 23225 / 8544

(เรียงตามลำดับความแม่นยำที่เพิ่มขึ้น)

เศษส่วนต่อไป

วิธีการกำหนด

ตัวเลข จสามารถกำหนดได้หลายวิธี

• เกินขีดจำกัด: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สอง) e = ลิม n → ∞ n n !}}} !} n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• (ตามมาจากสูตร Moivre-Stirling) เป็นผลรวมของซีรีส์:}} !}อี = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}.
• หรือ 1 e = ∑ n = 2 ∞ (- 1) n n !(\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n เป็นเอกพจน์
• ก (\displaystyle ก) 1 e = ∑ n = 2 ∞ (- 1) n n !เพื่อที่ ∫ 1 a d x x = 1 (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)

เนื่องจากเป็นจำนวนบวกเพียงตัวเดียว

ซึ่งมันก็เป็นความจริง

ดี ดี x ก x = ก x (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)คุณสมบัติ พิสูจน์ความไร้เหตุผลสมมุติว่า อี (\displaystyle อี)มีเหตุผล แล้ว e = p / q (\displaystyle e=p/q), ที่ไหน p (\displaystyle p) - ทั้งหมดและ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (คิว - 1) ! !}(\displaystyle (q-1) เราได้รับ=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !} พี (q − 1) ! = เท่า!} !}= คิว! ∑ n = 0 ∞ 1 n !=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !} = ∑ n = 0 ∞ q ! มะ! = ∑ n = 0 คิว คิว !< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} มะ! + (\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _(n=0)^(\infty )(1 \over n< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} เราโอน ∑ n = 0 คิว คิว !, + (\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _(n=0)^(\infty )(1 \over n< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} มะ!

• ตัวเลข (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)(\displaystyle \sum _(n=0)^(q)(q! \over n (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)ไปทางซ้าย:
• ∑ n = q + 1 ∞ q ! (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)มะ!
• ตัวเลข จ= p (q − 1) !
• − ∑ n = 0 q q !มะ!
• (\displaystyle \sum _(n=q+1)^(\infty )(q! \over n (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)พจน์ทั้งหมดทางด้านขวาเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นผลรวมทางด้านซ้ายจึงเป็นจำนวนเต็ม แต่ผลรวมนี้ก็เป็นบวกเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าไม่น้อยกว่า 1 อีกด้านหนึ่ง∑ n = q + 1 ∞ q ! มะ!
• = ∑ ม. = 1 ∞ คิว ! (คิว + ม) != ∑ ม. = 1 ∞ 1 (q + 1) . - - (คิว + ม.)}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
• ตัวเลข จเมื่อสรุปความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทางด้านขวา เราจะได้: ∑ n = q + 1 ∞ q !มะ! อี = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + … (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)) ) 4+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(6+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\ cfrac (1)(8+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(1+\ldots ))))) ) ))))))))))))))))))))))))))
• หรือเทียบเท่ากับมัน: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (2)( ) 3+(\cfrac (3)(4+(\cfrac (4)(\ldots ))))))))))))
• หากต้องการคำนวณสัญญาณจำนวนมากอย่างรวดเร็วจะสะดวกกว่าถ้าใช้ส่วนขยายอื่น: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … (\displaystyle (\frac (e+1)(e-1))=2+(\cfrac (1)(6+( \cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(14+(\cfrac (1)(\ldots )))))))))
• e = ลิม n → ∞ n n !}}.} !}
• n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n
• การเป็นตัวแทนของคาตาลัน: อี = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
• การนำเสนอผลงาน:

e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ ขวา)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))}} !}

ผ่านเบอร์เบลล์

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(kเรื่องราว บางครั้งเรียกว่าหมายเลขนี้ไม่ใช่ขนนก เพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อต Napier ผู้แต่งผลงาน "คำอธิบายตารางลอการิทึมที่น่าทึ่ง" (1614) อย่างไรก็ตาม ชื่อนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด เนื่องจากมีลอการิทึมของตัวเลข.

ค่าคงที่ปรากฏครั้งแรกโดยปริยายในภาคผนวกของงานแปลภาษาอังกฤษของงานดังกล่าวข้างต้นของ Napier ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1618 เบื้องหลัง เนื่องจากมีเพียงตารางลอการิทึมธรรมชาติที่กำหนดจากการพิจารณาจลน์ศาสตร์ แต่ไม่มีค่าคงที่ในตัวมันเอง

ค่าคงที่นั้นคำนวณครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Jacob Bernoulli ในขณะที่แก้ปัญหามูลค่าจำกัดของรายได้ดอกเบี้ย เขาค้นพบว่าหากเป็นจำนวนเงินเดิม $ 1 (\displaystyle \$1)และคำนวณปีละ 1 ครั้ง ณ สิ้นปี แล้วยอดรวมก็จะเป็น $ 2 (\displaystyle \$2)- แต่หากคิดดอกเบี้ยเท่าเดิมปีละสองครั้งแล้ว $ 1 (\displaystyle \$1)คูณด้วย 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5)สองครั้งได้รับ $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25)- ดอกเบี้ยคงค้างส่งผลให้รายไตรมาส $ 1, 00 ⋅ 1, 25 4 = $ 2,441 40625 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)25^(4)=\$2(,)44140625)และอื่นๆ เบอร์นูลลีแสดงให้เห็นว่าหากความถี่ในการคำนวณดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด รายได้ดอกเบี้ยในกรณีของดอกเบี้ยทบต้นจะมีขีดจำกัด: ลิม n → ∞ (1 + 1 n) n .(\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n)) และขีดจำกัดนี้เท่ากับจำนวน.

e (หยาบคาย 2.718 28) (\รูปแบบการแสดงผล e~(\ประมาณ 2(,)71828))

$ 1.00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2.613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12) =\$2(,)613035...)

$ 1, 00 ⋅ (1 + 1,365) 365 = $ 2,714,568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365) =\$2(,)714568...) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)ดังนั้นค่าคงที่ หมายถึงกำไรประจำปีสูงสุดที่เป็นไปได้ที่ 100% (\รูปแบบการแสดงผล 100\%)

ต่อปีและความถี่สูงสุดของการแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน การใช้ค่าคงที่นี้เป็นครั้งแรกที่ทราบโดยที่เขียนแทนด้วยตัวอักษรข (\displaystyle b)

พบในจดหมายของไลบนิซถึงไฮเกนส์, -1691 (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)จดหมาย (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)ออยเลอร์เริ่มใช้มันในปี 1727 พบครั้งแรกในจดหมายจากออยเลอร์ถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Goldbach ลงวันที่ 25 พฤศจิกายน 1731 และการตีพิมพ์ครั้งแรกพร้อมจดหมายฉบับนี้คืองานของเขา "กลศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์แห่งการเคลื่อนที่อธิบายเชิงวิเคราะห์" 1736. ตามลำดับ มักจะเรียกว่าเบอร์ออยเลอร์ - แม้ว่านักวิทยาศาสตร์บางคนจะใช้จดหมายนี้ในเวลาต่อมาก็ตามค (\displaystyle c) (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).), จดหมาย

การอธิบาย e ว่า "ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.71828..." ก็เหมือนกับการเรียก pi ว่า "จำนวนอตรรกยะประมาณเท่ากับ 3.1415..." นี่เป็นเรื่องจริงอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ประเด็นนี้ยังคงหลบเลี่ยงเราอยู่

Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งเป็นค่าเดียวกันสำหรับวงกลมทั้งหมด- มันเป็นสัดส่วนพื้นฐานทั่วไปของวงกลมทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวข้องกับการคำนวณเส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร และพื้นที่ผิวสำหรับวงกลม ทรงกลม ทรงกระบอก ฯลฯ Pi แสดงให้เห็นว่าวงกลมทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน ไม่ต้องพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ได้มาจากวงกลม (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์)

ตัวเลข e คืออัตราส่วนการเติบโตขั้นพื้นฐานสำหรับกระบวนการที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดหมายเลข e ช่วยให้คุณใช้อัตราการเติบโตแบบง่าย (ซึ่งความแตกต่างจะปรากฏเฉพาะในช่วงปลายปีเท่านั้น) และคำนวณองค์ประกอบของตัวบ่งชี้นี้ การเติบโตปกติ ซึ่งทุกๆ นาโนวินาที (หรือเร็วกว่านั้น) ทุกอย่างจะเติบโตเล็กน้อย มากกว่า.

ตัวเลข e เกี่ยวข้องกับระบบการเติบโตทั้งแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและแบบคงที่ เช่น จำนวนประชากร การสลายกัมมันตภาพรังสี การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และอื่นๆ อีกมากมาย แม้แต่ระบบขั้นบันไดที่ไม่เติบโตสม่ำเสมอก็สามารถประมาณได้โดยใช้ตัวเลข e

เช่นเดียวกับที่ตัวเลขใดๆ ที่สามารถมองว่าเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของ 1 (หน่วยฐาน) วงกลมใดๆ ก็ถือเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของวงกลมหน่วย (ที่มีรัศมี 1) และปัจจัยการเติบโตใดๆ ก็ถือได้ว่าเป็นเวอร์ชัน "ปรับขนาด" ของ e (ปัจจัยการเติบโต "หน่วย")

ดังนั้นตัวเลข e จึงไม่ใช่ตัวเลขสุ่มที่สุ่มเลือก ตัวเลข e รวบรวมแนวคิดที่ว่าระบบที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดเป็นแบบปรับขนาดของหน่วยวัดเดียวกัน

แนวคิดเรื่องการเติบโตแบบก้าวกระโดด

เรามาเริ่มต้นด้วยการดูระบบพื้นฐานกันก่อนว่า คู่ผสมในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

• แบคทีเรียแบ่งตัวและเพิ่มจำนวนเป็นสองเท่าทุกๆ 24 ชั่วโมง
• เราจะได้เส้นบะหมี่เป็นสองเท่าถ้าเราแบ่งมันออกเป็นสองส่วน
• เงินของคุณจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกปีหากคุณทำกำไรได้ 100% (โชคดี!)

และดูเหมือนว่านี้:

การหารด้วยสองหรือสองเท่าเป็นความก้าวหน้าที่ง่ายมาก แน่นอนว่าเราสามารถเพิ่มเป็นสามหรือสี่เท่าได้ แต่การสองเท่าจะสะดวกกว่าสำหรับการอธิบาย

ในทางคณิตศาสตร์ หากเรามีการหาร x เราจะได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าตอนเริ่มต้น 2^x เท่า หากสร้างพาร์ติชั่นเพียง 1 พาร์ติชั่น เราจะได้เพิ่มอีก 2^1 เท่า หากมี 4 พาร์ติชั่น เราจะได้ 2^4=16 ส่วน สูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ความสูง= 2 x

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นสองเท่าคือการเพิ่มขึ้น 100% เราสามารถเขียนสูตรนี้ใหม่ได้ดังนี้:

ความสูง= (1+100%) x

นี่คือความเท่าเทียมกันแบบเดียวกัน เราเพิ่งแบ่ง "2" ออกเป็นส่วนต่างๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือตัวเลขนี้: ค่าเริ่มต้น (1) บวก 100% ฉลาดใช่มั้ย?

แน่นอน เราสามารถแทนที่ตัวเลขอื่นๆ (50%, 25%, 200%) แทน 100% และรับสูตรการเติบโตสำหรับสัมประสิทธิ์ใหม่นี้ สูตรทั่วไปสำหรับคาบ x ของอนุกรมเวลาจะเป็นดังนี้:

ความสูง = (1+เพิ่มขึ้น) x

ซึ่งหมายความว่าเราใช้อัตราผลตอบแทน (1 + กำไร) "x" คูณกัน

มาดูกันดีกว่า

สูตรของเราถือว่าการเติบโตเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ไม่ต่อเนื่อง แบคทีเรียของเรารอแล้วรอ แล้วก็แบม! และในนาทีสุดท้ายพวกมันก็มีจำนวนเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า กำไรจากดอกเบี้ยเงินฝากของเราจะปรากฏขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์ใน 1 ปีพอดี จากสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น กำไรจะเพิ่มขึ้นตามขั้นตอน จุดสีเขียวปรากฏขึ้นอย่างกะทันหัน

แต่โลกก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป ถ้าเราขยายเข้าไป เราจะเห็นว่าเพื่อนที่เป็นแบคทีเรียของเราแบ่งตัวอยู่ตลอดเวลา:

เพื่อนสีเขียวไม่ได้เกิดขึ้นจากความว่างเปล่า เขาค่อยๆ เติบโตจากพ่อแม่สีน้ำเงิน หลังจากผ่านไป 1 ช่วง (24 ชั่วโมงในกรณีของเรา) เพื่อนสีเขียวก็สุกเต็มที่แล้ว เมื่อโตเต็มที่แล้วเขาก็กลายเป็นสมาชิกสีน้ำเงินเต็มฝูงและสามารถสร้างเซลล์สีเขียวใหม่ได้ด้วยตัวเอง

ข้อมูลนี้จะเปลี่ยนสมการของเราในทางใดทางหนึ่งหรือไม่?

ไม่. ในกรณีของแบคทีเรีย เซลล์สีเขียวที่มีรูปร่างครึ่งเซลล์ยังคงไม่สามารถทำอะไรได้จนกว่าพวกเขาจะเติบโตและแยกจากพ่อแม่สีน้ำเงินโดยสิ้นเชิง ดังนั้นสมการจึงถูกต้อง

คำนิยาม

ตัวเลขเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ลงตัวและเหนือธรรมชาติที่เรียกว่า มักจะเรียกว่าหรือ เบอร์เนเปียร์ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

เบื้องหลังอย่างต่อเนื่อง มีอยู่ในงาน "คำอธิบายตารางลอการิทึมที่น่าทึ่ง" โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต John Napier (1550-1617) (อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นในภาคผนวกของการแปลงานนี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1618) การกล่าวถึงครั้งแรกของค่าคงที่นี้อยู่ในจดหมายของนักปรัชญา นักตรรกศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง นักฟิสิกส์ ทนายความ นักประวัติศาสตร์ นักการทูต นักประดิษฐ์ และนักภาษาศาสตร์ชาวแซ็กซอน กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ (ค.ศ. 1646-1716) ถึงช่างเครื่องชาวดัตช์ นักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ และนักประดิษฐ์ Christian Huyngens van Zuilichem (1629-1695) ในปี 1690-91 ที่นั่นมันถูกระบุด้วยจดหมาย การกำหนดแบบดั้งเดิม ในปี 1727 นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวสวิส เยอรมัน รัสเซีย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707-1783) เริ่มใช้มัน เขาใช้สิ่งนี้ครั้งแรกในจดหมายถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Christian Goldbach (1690-1764) ในปี 1731 การตีพิมพ์ครั้งแรกพร้อมจดหมายฉบับนี้คืองานของ L. Euler เรื่อง "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analyically" (1736) ค่าคงที่นั้นคำนวณครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Jacob Bernoulli (1655-1705) ในขณะที่แก้ปัญหามูลค่าจำกัดของรายได้ดอกเบี้ย:

ตัวเลขมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ความเหนือกว่าของจำนวนออยเลอร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Charles Hermite (1822-1901) ในปี 1873 เท่านั้น

งานจำนวนอี

1) ผ่านขีดจำกัด:

ฟังก์ชั่นคือแบบจำลอง ลองกำหนด X เป็นชุดของค่าของตัวแปรอิสระ // อิสระ หมายถึงค่าใดๆ

ฟังก์ชันคือกฎที่ใช้ความช่วยเหลือ ซึ่งในแต่ละค่าของตัวแปรอิสระจากเซต X เราสามารถค้นหาค่าเฉพาะของตัวแปรตามได้ // เช่น. สำหรับ x ทุกอันจะมี y หนึ่งตัว

จากคำจำกัดความพบว่ามีสองแนวคิด - ตัวแปรอิสระ (ซึ่งเราแสดงด้วย x และสามารถรับค่าใดก็ได้) และตัวแปรตาม (ซึ่งเราแสดงด้วย y หรือ f (x) และคำนวณจากฟังก์ชันเมื่อ เราแทน x)

ตัวอย่างเช่น y=5+x

1. อิสระคือ x ซึ่งหมายความว่าเรารับค่าใดๆ ก็ตาม ให้ x=3

2. ทีนี้มาคำนวณ y ซึ่งหมายถึง y=5+x=5+3=8 (y ขึ้นอยู่กับ x เพราะอะไรก็ตามที่เราแทน x เราก็จะได้ y เท่าเดิม)

ตัวแปร y กล่าวกันว่าขึ้นอยู่กับฟังก์ชันของตัวแปร x และเขียนแทนได้ดังนี้: y = f (x)

ตัวอย่างเช่น.

1.y=1/x (เรียกว่าอติพจน์)

2. ย=x^2. (เรียกว่าพาราโบลา)

3.y=3x+7 (เรียกว่าเส้นตรง)

4. y= √ x. (เรียกว่าสาขาพาราโบลา)

ตัวแปรอิสระ (ซึ่งเราแสดงด้วย x) เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน

โดเมนฟังก์ชัน

ชุดของค่าทั้งหมดที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันใช้เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชันและแสดงแทน D(f) หรือ D(y)

พิจารณา D(y) สำหรับ 1.,2.,3.,4

1. D (y)= (∞; 0) และ (0;+∞) // เซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นศูนย์

2. D (y)= (∞; +∞)//จำนวนจริงทั้งหมด

3. D (y)= (∞; +∞)//จำนวนจริงทั้งหมด

4. ง (ย)= )