จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว รูปแบบการทำงานซึ่งในนั้น การทำงานขึ้นอยู่กับสิ่งเดียวเท่านั้น การโต้แย้ง- แต่เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ ของโลกรอบๆ เรามักจะพบกับการเปลี่ยนแปลงพร้อมกันมากกว่า 2 ปริมาณ และกระบวนการต่างๆ มากมายสามารถถูกทำให้เป็นรูปเป็นร่างได้อย่างมีประสิทธิภาพ การทำงานของตัวแปรหลายตัว, ที่ไหน - ข้อโต้แย้งหรือ ตัวแปรอิสระ- มาเริ่มพัฒนาหัวข้อด้วยหัวข้อที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว .

ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเรียกว่า กฎตามค่าแต่ละคู่ ตัวแปรอิสระ(ข้อโต้แย้ง) จาก ขอบเขตของคำจำกัดความสอดคล้องกับค่าของตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน)

ฟังก์ชั่นนี้แสดงไว้ดังนี้:

อย่างใดอย่างหนึ่ง จดหมายมาตรฐาน:

เนื่องจากคู่ของค่าลำดับ "x" และ "y" เป็นตัวกำหนด ชี้ไปที่เครื่องบินจากนั้นฟังก์ชันก็จะถูกเขียนผ่าน โดยที่ จุดบนระนาบที่มีพิกัด สัญกรณ์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในงานปฏิบัติบางงาน

ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวง่ายมาก หากฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งสอดคล้องกับเส้นบางเส้นบนระนาบ (เช่น พาราโบลาโรงเรียนที่คุ้นเคย) กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะอยู่ในปริภูมิสามมิติ ในทางปฏิบัติเรามักจะต้องรับมือกับมัน พื้นผิวแต่บางครั้งกราฟของฟังก์ชันอาจเป็นเส้นเชิงพื้นที่ หรือแม้แต่จุดเดียวก็ได้

เราคุ้นเคยกับตัวอย่างเบื้องต้นของพื้นผิวจากหลักสูตรนี้เป็นอย่างดี เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- นี้ เครื่องบิน- สมมติว่า สมการสามารถเขียนใหม่ได้อย่างง่ายดายเป็น รูปแบบการทำงาน:

คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวคือค่าที่ระบุไว้แล้ว ขอบเขตของคำจำกัดความ.

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเรียกว่าชุด ทุกคนคู่ที่มีค่าอยู่

ในเชิงกราฟิก โดเมนของคำจำกัดความคือ เครื่องบินทั้งหมดหรือบางส่วน- ดังนั้น โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน คือระนาบพิกัดทั้งหมด - ด้วยเหตุผลดังกล่าว เพื่อสิ่งใดๆจุดมีค่าอยู่

แต่การจัดการที่ไม่ได้ใช้งานดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไปแน่นอน:

เหมือนสองตัวแปรเหรอ?

กำลังพิจารณา แนวคิดต่างๆฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว จะเป็นประโยชน์ในการวาดภาพการเปรียบเทียบกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว โดยเฉพาะเมื่อคิดออก ขอบเขตของคำจำกัดความเราจ่ายเงินแล้ว ความสนใจเป็นพิเศษสำหรับฟังก์ชันที่มีเศษส่วน รากคู่ ลอการิทึม ฯลฯ ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ!

งานในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีความน่าจะเป็นเกือบ 100% จะพบได้ในงานเฉพาะเรื่องของคุณ ดังนั้นฉันจะวิเคราะห์ตัวอย่างในจำนวนที่เหมาะสม:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ดังนั้น:

คำตอบ: ระนาบพิกัดทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เป็นของเส้น

ใช่ครับ เขียนคำตอบแบบนี้ดีกว่า โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวนั้นไม่ค่อยแสดงด้วยสัญลักษณ์ใดๆ เลย มักใช้บ่อยกว่ามาก คำอธิบายด้วยวาจาและ/หรือ การวาดภาพ.

ถ้าตามเงื่อนไข ที่จำเป็นวาดภาพแล้วจำเป็นต้องพรรณนาระนาบพิกัดและ เส้นประทำให้เป็นเส้นตรง เส้นประบ่งบอกว่าเส้นนั้น ไม่รวมเข้าสู่ขอบเขตของคำจำกัดความ

ดังที่เราจะได้เห็นในภายหลัง คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีการวาดภาพเลยในตัวอย่างที่ยากกว่านี้

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: การแสดงออกที่รุนแรงจะต้องไม่เป็นลบ:

คำตอบ: ครึ่งระนาบ

การแสดงกราฟิกในที่นี้เป็นแบบดั้งเดิมเช่นกัน เราวาดระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แข็งวาดเส้นตรงและแรเงาด้านบน ครึ่งระนาบ- เส้นทึบบ่งบอกถึงความจริงที่ว่ามัน รวมอยู่ด้วยเข้าสู่ขอบเขตของคำจำกัดความ

ความสนใจ!หากคุณไม่เข้าใจสิ่งใดจากตัวอย่างที่สอง โปรดศึกษา/ทำซ้ำบทเรียนโดยละเอียด อสมการเชิงเส้น– หากไม่มีเขามันจะยากมาก!

ภาพขนาดย่อสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

เฉลยสองบรรทัดและตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มาอุ่นเครื่องกันต่อไป:

ตัวอย่างที่ 4

และพรรณนามันลงบนภาพวาด

สารละลาย: เข้าใจง่ายว่านี่คือการกำหนดปัญหา กำหนดให้มีการดำเนินการวาดภาพ (แม้ว่าขอบเขตของคำจำกัดความจะง่ายมาก) แต่ก่อนอื่น การวิเคราะห์: ค่ารากของนิพจน์ต้องไม่เป็นลบ และเมื่อตัวส่วนไม่สามารถไปที่ศูนย์ได้ ความไม่เท่าเทียมกันจึงเข้มงวด:

จะกำหนดพื้นที่ที่ความไม่เท่าเทียมกันกำหนดได้อย่างไร? ฉันแนะนำอัลกอริธึมการดำเนินการแบบเดียวกันกับในโซลูชัน อสมการเชิงเส้น.

ก่อนอื่นเราวาด เส้นซึ่งได้รับการกำหนดไว้ ความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกัน- สมการจะกำหนด วงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของรัศมีซึ่งแบ่งระนาบพิกัดออกเป็น สองชิ้นส่วน - "ภายใน" และ "ภายนอก" ของวงกลม เนื่องจากเรามีความไม่เท่าเทียมกัน เข้มงวดดังนั้นวงกลมนั้นจะไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความอย่างแน่นอน ดังนั้นจึงต้องวาดวงกลมนั้น เส้นประ.

ตอนนี้เรามาเริ่มกันเลย โดยพลการจุดเครื่องบิน, ไม่ได้เป็นของวงกลมแล้วแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการ วิธีที่ง่ายที่สุดคือเลือกที่มา:

ได้รับ ความไม่เท่าเทียมกันที่ผิดพลาดดังนั้น ชี้ ไม่พอใจความไม่เท่าเทียมกัน ยิ่งไปกว่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันนี้ไม่พอใจกับจุดใดๆ ที่อยู่ในวงกลม ดังนั้น ขอบเขตคำจำกัดความที่ต้องการจึงอยู่ที่ส่วนนอกของวงกลม พื้นที่คำจำกัดความมักฟักออกมา:

ทุกคนสามารถรับจุดใดก็ได้ที่เป็นของพื้นที่แรเงาและตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของมันเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตามความไม่เท่าเทียมกันที่ตรงกันข้ามนั้นให้ วงกลมศูนย์กลางที่จุดกำเนิดรัศมี

คำตอบ: ส่วนนอกของวงกลม

กลับไปที่ความหมายทางเรขาคณิตของปัญหา: เราพบโดเมนของคำจำกัดความแล้วแรเงามัน หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าในแต่ละจุดของพื้นที่แรเงาจะมีค่า "zet" และฟังก์ชันแบบกราฟิก คือดังต่อไปนี้ พื้นผิว:

แผนผังแสดงให้เห็นชัดเจนว่าพื้นผิวนี้อยู่ในตำแหน่งต่างๆ เกินเครื่องบิน (คนใกล้ตัวและคนไกลจากเรา)ในบางสถานที่- ภายใต้เครื่องบิน (เลขแปดด้านซ้ายและขวาสัมพันธ์กับเรา)- พื้นผิวยังผ่านแกนด้วย แต่พฤติกรรมของฟังก์ชันเช่นนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรามากนักในตอนนี้ สิ่งสำคัญคือสิ่งนั้น ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเฉพาะในด้านคำจำกัดความเท่านั้น- หากเราเอาจุดใดๆ ที่เป็นของวงกลมไป ก็จะไม่มีพื้นผิวตรงนั้น (เนื่องจากไม่มี “zet”)ดังเห็นได้จากช่องว่างตรงกลางภาพ

โปรดเข้าใจตัวอย่างที่วิเคราะห์อย่างถี่ถ้วน เนื่องจากในนั้นฉันได้อธิบายโดยละเอียดถึงแก่นแท้ของปัญหา

งานต่อไปนี้ให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ และการวาดภาพในตอนท้ายของบทเรียน โดยทั่วไปในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณาระหว่าง เส้นลำดับที่ 2วงกลมที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ แต่พวกเขาสามารถ "ผลักดัน" เข้าสู่ปัญหาได้ วงรี, อติพจน์หรือ พาราโบลา.

ขยับขึ้นไปกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: นิพจน์รากต้องไม่เป็นลบ: และตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์: ดังนั้น โดเมนของคำจำกัดความจึงถูกระบุโดยระบบ

เราจัดการกับเงื่อนไขแรกโดยใช้โครงร่างมาตรฐานที่กล่าวถึงในบทเรียน อสมการเชิงเส้น: ลากเส้นตรงแล้วกำหนดครึ่งระนาบที่สอดคล้องกับอสมการ เพราะความไม่เท่าเทียมกัน ไม่เข้มงวดแล้วเส้นตรงก็จะเป็นคำตอบด้วย

ด้วยเงื่อนไขที่สองของระบบ ทุกอย่างก็ง่ายเช่นกัน: สมการระบุแกนพิกัด และเนื่องจาก ดังนั้นจึงควรแยกออกจากโดเมนของคำจำกัดความ

มาวาดภาพกัน โดยอย่าลืมว่าเส้นทึบบ่งบอกถึงการเข้าสู่พื้นที่คำจำกัดความ และเส้นประบ่งบอกถึงการแยกออกจากพื้นที่นี้:

ควรสังเกตว่าเราอยู่ที่นี่แล้ว ถูกบังคับวาดรูป และสถานการณ์นี้เป็นเรื่องปกติ - ในหลาย ๆ งานการอธิบายพื้นที่ด้วยวาจาเป็นเรื่องยากและแม้ว่าคุณจะอธิบาย แต่คุณก็จะเข้าใจได้ไม่ดีและถูกบังคับให้บรรยายถึงพื้นที่นั้น

คำตอบ: ขอบเขตคำจำกัดความ:

อย่างไรก็ตามคำตอบที่ไม่มีรูปวาดนั้นดูชื้นมาก

ให้เราทำซ้ำความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ที่ได้รับอีกครั้ง: ในพื้นที่แรเงาจะมีกราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงถึง พื้นผิวของพื้นที่สามมิติ- พื้นผิวนี้สามารถอยู่เหนือ/ใต้ระนาบ สามารถตัดกันระนาบ-เข้าได้ ในกรณีนี้เรามีทั้งหมดนี้คู่ขนานกัน ข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของพื้นผิวเป็นสิ่งสำคัญ และสิ่งสำคัญคือต้องค้นหาบริเวณที่มีอยู่อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างงานสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ฟังก์ชันที่ดูเรียบง่ายจะสร้างวิธีแก้ปัญหาระยะยาว:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: โดยใช้ สูตรผลต่างกำลังสองให้เราแยกตัวประกอบนิพจน์ราก: .

ผลคูณของสองปัจจัยไม่เป็นลบ , เมื่อไร ทั้งคู่ตัวคูณไม่เป็นลบ: หรือเมื่อไร ทั้งคู่ไม่เป็นบวก: . นี่เป็นคุณสมบัติทั่วไป ดังนั้นเราจึงต้องแก้สองข้อ ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและ รวมกันพื้นที่ที่ได้รับ ในสถานการณ์ที่คล้ายกันแทน อัลกอริธึมมาตรฐานวิธีการทางวิทยาศาสตร์หรือเชิงปฏิบัตินั้นทำงานได้เร็วกว่ามาก =)

เราวาดเส้นตรงที่แบ่งระนาบพิกัดออกเป็น 4 “มุม” เราใช้จุดที่เป็นของ "มุม" ด้านบนเช่นจุดและแทนที่พิกัดของมันลงในสมการของระบบที่ 1: - ได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าวิธีแก้ปัญหาของระบบคือ ทั้งหมด"มุม" ด้านบน การแรเงา

ตอนนี้เรามาถึงจุดที่ "มุม" ด้านขวา ระบบที่ 2 ยังคงอยู่ซึ่งเราแทนที่พิกัดของจุดนี้: - อสมการประการที่สองจึงไม่เป็นความจริง และทั้งหมด"มุม" ด้านขวาไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของระบบ

เรื่องที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับ "มุม" ด้านซ้ายซึ่งไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และสุดท้าย เราก็แทนที่พิกัดของจุดทดลองของ "มุม" ล่างลงในระบบที่ 2: - อสมการทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบคือ และทั้งหมด“มุม” ล่างซึ่งควรแรเงาด้วย

แน่นอนว่าในความเป็นจริงไม่จำเป็นต้องอธิบายอย่างละเอียด - การกระทำที่แสดงความคิดเห็นทั้งหมดนั้นดำเนินการด้วยวาจาได้อย่างง่ายดาย!

คำตอบ: โดเมนของคำจำกัดความคือ สมาคมโซลูชั่นระบบ .

ดังที่คุณอาจเดาได้ว่าหากไม่มีการวาดภาพ คำตอบดังกล่าวไม่น่าจะได้ผล และสถานการณ์นี้บังคับให้คุณหยิบไม้บรรทัดและดินสอขึ้นมา แม้ว่าเงื่อนไขนั้นจะไม่จำเป็นต้องใช้ก็ตาม

และนี่คือถั่วของคุณ:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

นักเรียนที่ดีมักจะพลาดลอการิทึม:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นระบบจะกำหนดโดเมนของคำจำกัดความ

อสมการนี้ระบุถึงครึ่งระนาบด้านขวาและไม่รวมแกน

ด้วยเงื่อนไขที่สอง สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น แต่ก็โปร่งใสเช่นกัน มาจำกัน ไซนัสอยด์- ข้อโต้แย้งคือ "Igrek" แต่สิ่งนี้ไม่ควรทำให้ฉันสับสน - Igrek ดังนั้น Igrek, Zyu ดังนั้น Zyu ไซน์อยู่ที่ไหนมากกว่าศูนย์? ไซน์มีค่ามากกว่าศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในช่วงเวลา เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแบบคาบ จึงมีช่วงเวลาดังกล่าวมากมายไม่จำกัด และในรูปแบบที่ยุบลง วิธีแก้ปัญหาของอสมการจะถูกเขียนดังนี้:
โดยที่จำนวนเต็มใดก็ได้

แน่นอนว่าไม่สามารถพรรณนาช่วงเวลาเป็นจำนวนอนันต์ได้ ดังนั้นเราจะจำกัดตัวเองให้อยู่แค่ช่วงเวลานั้นเท่านั้น และเพื่อนบ้าน:

มาวาดภาพให้เสร็จโดยไม่ลืมว่าตามเงื่อนไขแรก กิจกรรมของเราถูกจำกัดไว้ที่ครึ่งระนาบด้านขวาอย่างเคร่งครัด:

อืม...กลายเป็นภาพวาดผีๆ...เป็นตัวแทนที่ดีของคณิตศาสตร์ชั้นสูง...

คำตอบ:

ลอการิทึมถัดไปเป็นของคุณ:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

ในระหว่างการแก้ปัญหาคุณจะต้องสร้าง พาราโบลาซึ่งจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน คือ “ด้านใน” ที่อยู่ระหว่างกิ่งก้าน และ ส่วนด้านนอก- วิธีการค้นหาชิ้นส่วนที่ต้องการปรากฏซ้ำแล้วซ้ำอีกในบทความ อสมการเชิงเส้นและตัวอย่างก่อนหน้าในบทเรียนนี้

เฉลย วาดรูป และตอบท้ายบทเรียน

ถั่วสุดท้ายของย่อหน้านั้นอุทิศให้กับ "ส่วนโค้ง":

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

สารละลาย: อาร์กิวเมนต์อาร์คไซน์ต้องอยู่ภายในขีดจำกัดต่อไปนี้:

แล้วมีสองคน ความสามารถทางเทคนิค: ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นคล้ายกับตัวอย่างสุดท้ายของบทเรียน โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวพวกเขาสามารถ "ม้วน" อสมการสองเท่าและปล่อย "Y" ไว้ตรงกลาง สำหรับหุ่นจำลอง ฉันแนะนำให้แปลง "หัวรถจักร" ให้เทียบเท่ากัน ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

ระบบได้รับการแก้ไขตามปกติ - เราสร้างเส้นตรงและค้นหาระนาบครึ่งที่จำเป็น เป็นผลให้:

โปรดทราบว่าที่นี่ขอบเขตจะรวมอยู่ในพื้นที่คำจำกัดความและเส้นตรงจะถูกวาดเป็นเส้นทึบ สิ่งนี้จะต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดร้ายแรง

คำตอบ: โดเมนของคำจำกัดความแสดงถึงคำตอบของระบบ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน

โซลูชันตัวอย่างใช้เทคนิคขั้นสูง - การแปลงความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า

ในทางปฏิบัติ บางครั้งเรายังประสบปัญหาเกี่ยวกับการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวด้วย โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามสามารถเป็นได้ ทั้งหมดพื้นที่สามมิติหรือบางส่วน ในกรณีแรกจะมีการกำหนดฟังก์ชันไว้ เพื่อสิ่งใดๆจุดในอวกาศในวินาที - สำหรับจุดเหล่านั้นที่เป็นของวัตถุอวกาศบางส่วนเท่านั้นส่วนใหญ่มักจะ - ร่างกาย- อาจเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ได้ ทรงรี, "ข้างใน" กระบอกพาราโบลาฯลฯ ภารกิจในการค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามมักจะประกอบด้วยการค้นหาส่วนนี้และวาดภาพสามมิติ อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างดังกล่าวค่อนข้างหายาก (ผมเจอแค่สองสามชิ้นเท่านั้น)ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองอยู่แค่ย่อหน้าภาพรวมนี้เท่านั้น

เส้นระดับ

เพื่อให้เข้าใจคำนี้ได้ดีขึ้น เราจะเปรียบเทียบแกนด้วย ความสูง: ยิ่งค่า “Z” สูง ความสูงก็จะยิ่งสูง มูลค่าน้อยลง“Z” – ยิ่งความสูงต่ำลง ความสูงอาจเป็นค่าลบก็ได้

ฟังก์ชันในขอบเขตของคำจำกัดความคือกราฟเชิงพื้นที่ เพื่อความแน่นอนและความชัดเจนยิ่งขึ้น เราจะถือว่านี่เป็นพื้นผิวเล็กๆ น้อยๆ เส้นระดับคืออะไร- หากพูดโดยนัย เส้นระดับคือ “ชิ้น” แนวนอนของพื้นผิวที่ระดับความสูงต่างๆ “ชิ้น” เหล่านี้หรือพูดให้ถูกต้องกว่านั้น ส่วนต่างๆดำเนินการโดยเครื่องบิน หลังจากนั้นก็ฉายลงบนเครื่องบิน .

คำนิยาม: เส้นระดับฟังก์ชันคือเส้นบนระนาบที่แต่ละจุดที่ฟังก์ชันรักษาค่าคงที่:

ดังนั้น เส้นระดับช่วยในการพิจารณาว่าพื้นผิวนั้นๆ มีลักษณะอย่างไร และช่วยได้โดยไม่ต้องสร้างภาพวาดสามมิติ! ลองพิจารณาดู งานเฉพาะ:

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาและลงจุดเส้นระดับต่างๆ ของกราฟฟังก์ชัน

สารละลาย: เราตรวจสอบรูปร่างของพื้นผิวที่กำหนดโดยใช้เส้นระดับ เพื่อความสะดวก เราจะขยายรายการ "กลับไปด้านหน้า":

แน่นอนว่าในกรณีนี้ "zet" (ความสูง) ไม่สามารถรับค่าลบได้อย่างชัดเจน (เนื่องจากผลรวมของกำลังสองไม่เป็นลบ)- ดังนั้นพื้นผิวจึงอยู่ในพื้นที่ครึ่งบน (เหนือระนาบ)

เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้บอกว่าเส้นระดับจะต้อง "ตัด" ที่ความสูงเฉพาะเท่าใด เราจึงมีอิสระในการเลือกค่า "Z" หลายค่าตามดุลยพินิจของเรา

เราตรวจสอบพื้นผิวที่ความสูงเป็นศูนย์ ด้วยเหตุนี้เราจึงใส่ค่าไว้ในความเท่าเทียมกัน :

วิธีแก้สมการนี้คือประเด็น นั่นคือเมื่อ เส้นระดับแสดงถึงจุด.

เราสูงขึ้นหนึ่งหน่วยและ "ตัด" พื้นผิวของเรา เครื่องบิน (แทนลงในสมการพื้นผิว):

ดังนั้น, สำหรับความสูง เส้นระดับจะเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมีหนึ่งหน่วย.

ฉันเตือนคุณว่า “สไลซ์” ทั้งหมดจะถูกฉายลงบนเครื่องบินและนั่นคือเหตุผลที่ฉันเขียนพิกัดของคะแนนเป็นสอง ไม่ใช่สาม!

ตัวอย่างเช่น ตอนนี้เราใช้เครื่องบินและ "ตัด" พื้นผิวที่กำลังศึกษาด้วย (ทดแทนลงในสมการพื้นผิว):

ดังนั้น, สำหรับความสูงเส้นระดับเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมี.

และมาสร้างเส้นระดับอื่นกันเถอะ :

–วงกลมมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมี 3.

เส้นระดับดังที่ฉันได้เน้นไปแล้วนั้นตั้งอยู่บนเครื่องบิน แต่แต่ละบรรทัดมีการเซ็นชื่อ - ความสูงเท่าใดที่สอดคล้องกับ:

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าเส้นระดับอื่น ๆ ของพื้นผิวที่พิจารณานั้นเป็นวงกลมด้วย และยิ่งเราขึ้นไปสูง (เราเพิ่มค่า "Z") รัศมีก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น, พื้นผิวนั่นเองมันเป็นชามไม่มีที่สิ้นสุดที่มีก้นรูปไข่ซึ่งด้านบนตั้งอยู่บนเครื่องบิน “ ชาม” นี้พร้อมกับแกน“ ออกมาที่คุณ” จากหน้าจอมอนิเตอร์นั่นคือคุณกำลังดูที่ด้านล่าง =) และนี่ไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล! มีเพียงฉันเท่านั้นที่เทมันลงบนถนนถึงตาย =) =)

คำตอบ: เส้นระดับของพื้นผิวที่กำหนดคือวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันของรูปทรง

บันทึก : เมื่อได้วงกลมเสื่อมซึ่งมีรัศมีเป็นศูนย์ (จุด)

แนวคิดของเส้นระดับมาจากการทำแผนที่ เพื่อถอดความนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้ เราสามารถพูดอย่างนั้นได้ เส้นระดับคือ ที่ตั้งทางภูมิศาสตร์จุดที่มีความสูงเท่ากัน- พิจารณาภูเขาลูกหนึ่งที่มีเส้นระดับ 1,000, 3,000 และ 5,000 เมตร:

จากภาพแสดงให้เห็นชัดเจนว่าความชันด้านซ้ายบนของภูเขามีความชันมากกว่าความชันด้านขวาล่างมาก ดังนั้น เส้นระดับทำให้คุณสามารถสะท้อนภูมิประเทศบนแผนที่ "เรียบ" ได้ อย่างไรก็ตาม ค่าความสูงติดลบที่นี่ยังได้รับความหมายที่เฉพาะเจาะจงมากด้วย ท้ายที่สุดแล้ว พื้นที่บางส่วนของพื้นผิวโลกก็อยู่ต่ำกว่าระดับศูนย์ของมหาสมุทรโลก

ถึง

ฟังก์ชั่นหลายอย่าง

แผนภูมิการดาวน์โหลด

การสร้างกราฟฟังก์ชันออนไลน์

ทันที.

บริการออนไลน์ วาดกราฟได้ทันที

สนับสนุนอย่างแน่นอน ทั้งหมด ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
				โคซีแคนต์	โคแทนเจนต์	อาร์คซีน	โคไซน์ส่วนโค้ง	อาร์คแทนเจนต์	อาถรรพ์	อาร์คโคซีแคนท์	อาร์คโคแทนเจนต์
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
อื่น
ลอการิทึมธรรมชาติ		ลอการิทึม		รากที่สอง				ปัดเศษลง		กำลังปัดเศษขึ้น
ขั้นต่ำ						สูงสุด
นาที(แสดงออก1,แสดงออก2,...)						สูงสุด (นิพจน์1, นิพจน์2,...)

กราฟฟังก์ชัน

การสร้างพื้นผิวสามมิติ

ป้อนสมการ

ให้เราสร้างพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ f(x, y, z) = 0 โดยที่ a< x < b, c < y < d, m < z < n.

ตัวอย่างอื่นๆ:

• ย = x^2
• ซี = x^2 + y^2
• 0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = บาป((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

มุมมอง Canonical ของเส้นโค้งและพื้นผิว

คุณสามารถกำหนดประเภทของเส้นโค้งและพื้นผิวลำดับที่ 2 ทางออนไลน์ได้ด้วยวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด:

กฎสำหรับการป้อนนิพจน์และฟังก์ชัน

นิพจน์สามารถประกอบด้วยฟังก์ชันต่างๆ (สัญลักษณ์จะได้รับตามลำดับตัวอักษร):

สัมบูรณ์(x) มูลค่าสัมบูรณ์ x
(โมดูล xหรือ |x|) อาร์คคอส(x)ฟังก์ชัน - โคไซน์ส่วนโค้งของ xอาร์คคอช(x)อาร์คโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกจาก xอาร์คซิน(x)อาร์คไซน์จาก xอาร์คซินห์(x)อาร์ไซน์ไฮเปอร์โบลิกจาก xอาร์คแทน(x)ฟังก์ชัน - อาร์กแทนเจนต์ของ xอาร์คท์จี(x)อาร์คแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกจาก xจจตัวเลขที่มีค่าประมาณเท่ากับ 2.7 ประสบการณ์(x)ฟังก์ชัน - เลขชี้กำลังของ x(เช่น จ^x) บันทึก(x)หรือ จริง(x)ลอการิทึมธรรมชาติของ x
(เพื่อให้ได้ ล็อก7(x)คุณต้องป้อน log(x)/log(7) (หรือ ตัวอย่างเช่น for ล็อก10(x)=บันทึก(x)/บันทึก(10)) ปี่ตัวเลขคือ "Pi" ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 3.14 บาป(x)ฟังก์ชัน - ไซน์ของ xคอส(เอ็กซ์)ฟังก์ชัน - โคไซน์ของ xซิน(x)ฟังก์ชัน - ไฮเปอร์โบลิกไซน์ของ xคอส(x)ฟังก์ชัน — โคไซน์ไฮเปอร์โบลิกของ xตารางวา(x)การทำงาน - รากที่สองจาก xตร.ม.(x)หรือ เอ็กซ์^2ฟังก์ชั่น - สี่เหลี่ยม xสีแทน(x)ฟังก์ชัน - แทนเจนต์จาก xทีจีเอช(x)ฟังก์ชัน — แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกจาก xซีบีอาร์ที(x)การทำงาน - รากที่สามจาก xชั้น(x)ฟังก์ชั่น - การปัดเศษ xลง (ตัวอย่างชั้น(4.5)==4.0) ลงชื่อ(เอ็กซ์)ฟังก์ชั่น - เครื่องหมาย xเอิร์ฟ(x)ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (Laplace หรืออินทิกรัลความน่าจะเป็น)

การดำเนินการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในนิพจน์:

ตัวเลขจริงเข้าเป็น 7.5 , ไม่ 7,5 2*x- การคูณ 3/x- แผนก เอ็กซ์^3- การยกกำลัง x+7- ส่วนที่เพิ่มเข้าไป x - 6- การลบ

วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันออนไลน์บนไซต์นี้

ถึง พล็อตฟังก์ชันออนไลน์คุณเพียงแค่ต้องป้อนฟังก์ชันของคุณในช่องพิเศษแล้วคลิกที่ใดที่หนึ่งด้านนอก หลังจากนั้นกราฟของฟังก์ชันที่ป้อนจะถูกวาดโดยอัตโนมัติ สมมติว่าคุณต้องการสร้างกราฟคลาสสิกของฟังก์ชัน "x กำลังสอง" ดังนั้น คุณต้องป้อน "x^2" ลงในช่อง

หากคุณต้องการพล็อต ฟังก์ชั่นหลายอย่างพร้อมกันจากนั้นจึงคลิก ปุ่มสีน้ำเงิน“เพิ่มมากขึ้น” หลังจากนี้ฟิลด์อื่นจะเปิดขึ้นซึ่งคุณจะต้องเข้าสู่ฟังก์ชันที่สอง กำหนดการจะถูกสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติด้วย

คุณสามารถปรับสีของเส้นกราฟได้โดยการคลิกที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ทางด้านขวาของช่องป้อนข้อมูลฟังก์ชัน การตั้งค่าที่เหลือจะอยู่เหนือพื้นที่กราฟโดยตรง ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถตั้งค่าสีพื้นหลัง การมีอยู่และสีของเส้นตาราง การมีอยู่และสีของแกน การมีอยู่ของเครื่องหมาย ตลอดจนการมีอยู่และสีของการกำหนดหมายเลขของส่วนของกราฟ หากจำเป็น คุณสามารถปรับขนาดกราฟฟังก์ชันได้โดยใช้ล้อเลื่อนของเมาส์หรือไอคอนพิเศษที่มุมขวาล่างของพื้นที่วาดภาพ

หลังจากพล็อตกราฟและทำการเปลี่ยนแปลงการตั้งค่าที่จำเป็นแล้ว คุณก็สามารถทำได้ แผนภูมิการดาวน์โหลดโดยใช้ปุ่ม "ดาวน์โหลด" สีเขียวขนาดใหญ่ที่ด้านล่างสุด คุณจะได้รับแจ้งให้บันทึกกราฟฟังก์ชันเป็นรูปภาพ PNG

ทำไมคุณต้องสร้างกราฟฟังก์ชัน?

ในหน้านี้คุณสามารถสร้างได้ แผนภูมิเชิงโต้ตอบฟังก์ชั่นออนไลน์.

สร้างกราฟฟังก์ชันออนไลน์

การพล็อตกราฟฟังก์ชันช่วยให้คุณเห็นภาพเรขาคณิตของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้ เพื่อให้สะดวกยิ่งขึ้นสำหรับคุณในการสร้างกราฟดังกล่าว เราได้สร้างกราฟพิเศษขึ้น ใบสมัครออนไลน์- ใช้งานได้ฟรี ไม่ต้องลงทะเบียน และสามารถใช้งานได้โดยตรงบนเบราว์เซอร์ของคุณโดยไม่ต้องยุ่งยากใดๆ การตั้งค่าเพิ่มเติมและการจัดการ การสร้างกราฟสำหรับฟังก์ชันต่างๆ มักจำเป็นสำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนต้นและมัธยมศึกษาตอนปลายที่เรียนพีชคณิตและเรขาคณิต เช่นเดียวกับนักเรียนชั้นปีแรกและปีที่สองที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง ตามกฎแล้ว กระบวนการนี้ใช้เวลานานและต้องใช้อุปกรณ์สำนักงานจำนวนมากในการวาดแกนกราฟลงบนกระดาษ วางจุดพิกัด แล้วรวมเข้าด้วยกัน เส้นตรงฯลฯ ใช้สิ่งนี้ บริการออนไลน์คุณสามารถคำนวณและสร้างได้ ภาพกราฟิกฟังก์ชั่น ทันที.

เครื่องคำนวณกราฟทำงานอย่างไรกับฟังก์ชันการสร้างกราฟ

บริการออนไลน์มันใช้งานได้ง่ายมาก ฟังก์ชัน (เช่น สมการเอง ซึ่งกราฟที่ต้องพล็อต) จะถูกป้อนลงในฟิลด์ที่ด้านบนสุด ทันทีที่เข้าสมัคร วาดกราฟได้ทันทีในพื้นที่ด้านล่างฟิลด์นี้ ทุกอย่างเกิดขึ้นโดยไม่ต้องรีเฟรชหน้า ต่อไปก็เข้าได้หลากหลาย การตั้งค่าสีตลอดจนซ่อน/แสดงองค์ประกอบบางส่วนของกราฟฟังก์ชัน หลังจากนั้นสามารถดาวน์โหลดแผนภูมิที่เสร็จแล้วได้โดยคลิกที่ปุ่มที่เหมาะสมที่ด้านล่างสุดของแอปพลิเคชัน ภาพวาดจะถูกดาวน์โหลดลงในคอมพิวเตอร์ของคุณในรูปแบบ .png ซึ่งคุณสามารถพิมพ์หรือถ่ายโอนไปยังสมุดบันทึกกระดาษได้

เครื่องมือสร้างกราฟรองรับฟีเจอร์อะไรบ้าง?

สนับสนุนอย่างแน่นอน ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดซึ่งจะเป็นประโยชน์เมื่อพล็อตกราฟ สิ่งสำคัญคือต้องเน้นตรงนี้ว่า ตรงกันข้ามกับภาษาคลาสสิกของคณิตศาสตร์ที่ใช้ในโรงเรียนและมหาวิทยาลัย เครื่องหมายปริญญาในใบสมัครจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายสากล “^” นี่เป็นเพราะขาดความสามารถในการเขียนปริญญาในรูปแบบปกติบนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ ด้านล่างเป็นตารางที่มี รายการทั้งหมดฟังก์ชั่นที่รองรับ

แอปพลิเคชันรองรับฟังก์ชันต่อไปนี้:

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
				โคซีแคนต์	โคแทนเจนต์	อาร์คซีน	โคไซน์ส่วนโค้ง	อาร์คแทนเจนต์	อาถรรพ์	อาร์คโคซีแคนท์	อาร์คโคแทนเจนต์
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
อื่น
ลอการิทึมธรรมชาติ		ลอการิทึม		รากที่สอง				ปัดเศษลง		กำลังปัดเศษขึ้น
ขั้นต่ำ						สูงสุด
นาที(แสดงออก1,แสดงออก2,...)						สูงสุด (นิพจน์1, นิพจน์2,...)

ตัวอย่าง. สร้างบรรทัดระดับฟังก์ชันที่สอดคล้องกับค่า

สร้างบรรทัดระดับฟังก์ชันที่สอดคล้องกับค่า .

สมมติว่า เราได้รับสมการของเส้นระดับที่สอดคล้องกัน:

โดยการสร้างเส้นเหล่านี้ขึ้นมา ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด xOy เราได้เส้นตรงขนานกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่สองและสี่ (รูปที่ 1)

มาเขียนสมการของเส้นระดับกัน:

, , , และ .

ด้วยการสร้างพวกมันในระนาบ xOy เราจะได้วงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 2)

เส้นระดับของฟังก์ชันนี้ , , และเป็นรูปโค้งสมมาตรเทียบกับ Oy โดยมีจุดยอดร่วมที่จุดเริ่มต้น (รูปที่ 3)

2. อนุพันธ์เชิงทิศทาง

ลักษณะสำคัญของสนามสเกลาร์คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามในทิศทางที่กำหนด

เพื่อระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามในทิศทางของเวกเตอร์ จึงมีการนำแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของสนามในทิศทางมาใช้

พิจารณาฟังก์ชัน ที่จุดและจุด

ลองวาดผ่านจุดและเวกเตอร์กัน มุมเอียงของเวกเตอร์นี้กับทิศทางของแกนพิกัด x, y, zลองแทน a, b, g ตามลำดับ โคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่า โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์

∙ ผ่านจุดหนึ่งบนระนาบขนานกับเส้นขนานกับระนาบนั้น

ตัวอย่างการสร้างเส้นตรงบนเครื่องบิน (รูปที่ 3.12):
ข้าว. 3.12 ภารกิจ: สร้างเส้นตรงบนระนาบ ABC ที่กำหนด
		การฉายภาพด้านหน้า

3.4 เส้นเครื่องบินหลัก

เพื่อแก้ปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเชิงพรรณนา เส้นของตำแหน่งเฉพาะจะถูกนำมาใช้ - เส้นระดับ

เส้นระดับคือเส้นบนระนาบขนานกับ PP เส้นขนานกับแนวนอน PP คือแนวนอน หน้าผากคือหน้าผาก ส่วนโปรไฟล์ PP คือเส้นโปรไฟล์

เนื่องจากเส้นระดับขนานกับระนาบการฉายภาพ บน PP อื่นๆ การฉายภาพจึงขนานกับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น การฉายภาพด้านหน้าของแนวนอนจะขนานกับแกน x 12

ตัวอย่างการสร้างเส้นระดับ: ∙ แนวนอน h (รูปที่ 3.13);

ชั่วโมง 11 1

ข้าว. 3.13 แนวนอนบนเครื่องบิน

หากระนาบถูกกำหนดโดยเส้นติดตาม เส้นระดับ h และ f จะขนานกับเส้นบนระนาบการฉายภาพ: เส้นแนวนอนถึงแนวนอน เส้นแนวหน้าผากถึงเส้นโครงด้านหน้า ฯลฯ (รูปที่ 3.14) โดยพื้นฐานแล้ว การติดตามระนาบนั้นเป็นเส้นระดับที่ใกล้กับระนาบการฉายภาพอย่างไม่สิ้นสุด

			ฉ 1≡ ชั่วโมง 2

ข้าว. 3.14 เส้นระดับของระนาบที่กำหนดโดยร่องรอย

3.5 ชี้ไปที่เครื่องบิน

จุดอยู่บนระนาบหากเป็นของเส้นใดๆ บนระนาบนี้ ดังนั้น ในการสร้างจุดบนระนาบ จำเป็นต้องสร้างเส้นเสริมบนเครื่องบินก่อนเพื่อให้ผ่านเส้นโครงของจุดที่ต้องการ จากนั้นจึงหาจุดบนเส้นเสริมที่สร้างขึ้นตามแนวเส้นเชื่อมต่อ .

ตัวอย่างการสร้างจุดบนเครื่องบิน (รูปที่ 3.15):

		D1 - ?
	D1 - ?

ข้าว. 3.15 ชี้บนเครื่องบิน

การสร้างจุดบนระนาบที่กำหนดโดยร่องรอย

หากระนาบถูกระบุด้วยการติดตาม เส้นระดับจะถูกใช้เป็นเส้นของระนาบ โดยมีการตรวจสอบจุดของระนาบด้วยความช่วยเหลือ ซึ่งสร้างได้ง่ายโดยการวาดขนานกับร่องรอยที่กำหนด (รูปที่. 3.16) ควรจำไว้ว่าการฉายภาพจุดที่อยู่บนระนาบการฉายภาพอื่นจะอยู่บนแกนที่แยกระนาบการฉายภาพ (ดู (.)1)

				ฉ 1≡ ชั่วโมง 2

ข้าว. 3.16 การใช้เส้นระดับเพื่อสร้างกระจกบนระนาบที่กำหนดโดยราง

หัวข้อที่ 4 ตำแหน่งสัมพัทธ์ของรูปทรงเรขาคณิต เส้นตรงและระนาบ 2 ระนาบ

เส้นตรงและระนาบ รวมถึงระนาบสองอันสามารถเป็น:

∙ ขนานกัน

∙ ตัดกัน

∙ ตั้งฉากกัน

4.1 ตัวเลขคู่ขนาน

4.1.1 เส้นตรงขนานกับระนาบ

ตัวอย่างที่ 1 (รูปที่ 4.1) มีระนาบ Σ(a ç b)

ให้ (.)A และเส้นโครงหน้าผาก 2 เส้นตรง ลากเส้นผ่าน (.)A ขนานกับระนาบ Σ

เอ 2 ลิตร 2

ข้าว. 4.1 การสร้างเส้นตรงขนานกับระนาบ

ตัวอย่างที่ 2 ผ่าน (.)A ลากเส้นแนวนอนขนานกับระนาบ

Σ(ABC) (รูปที่ 4.2)

ข้าว. 4.2 แนวนอนขนานกับระนาบ

4.1.2 ระนาบขนานกัน

ระนาบสองระนาบขนานกันหากเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกับเส้นตัดกันสองเส้นของระนาบอื่น (รูปที่ 4.3)

				ก // ง
							ý Þ a // ง
				ก 2// วัน 2þ
				ข // ค				Þข//ค
				ข 2// ค 2þ
				pl .Q (a ç b ) //pl .D (c //v )

ข้าว. 4.3 ระนาบขนานกัน

สามารถเลือกเส้นเป็นเส้นตัดกันได้
สถานการณ์ส่วนตัว จากที่นี่:
หากร่องรอยที่มีชื่อเดียวกันของระนาบทั้งสองขนานกัน ที่
ระนาบนั้นขนานกัน
				กรุณา .S (ฉ ç ชั่วโมง ) //pl .T (ฉ "ç ชั่วโมง ")
			ชม'
ข้าว. 4.4 ระนาบขนาน
	มอบให้โดยร่องรอย
ตัวอย่าง 4.3: ผ่าน (.)A วาดระนาบ Θ ขนานกับระนาบ
Γ กำหนดโดยเส้นขนานสองเส้น (รูปที่ 4.5)
	ข้าว. 4.5 ระนาบขนาน

เทคนิคการก่อสร้าง:

1. บนเครื่องบินГโดยใช้เส้นตรงจะมีการเลือกจุดเสริม 1 โดยพลการ

2. ผ่าน (.) 1 วาดเส้นตรงสองเส้นโดยพลการ l และ k เพื่อให้พวกมันตัดกันเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งโดยกำหนดระนาบ - เส้น b

3. ผ่านจุดที่กำหนดและลากเส้นสองเส้น m และ n ขนานกับเส้นเสริม l และ k ตามลำดับ สองคนนี้

เส้นตัดกัน l และ k จะกำหนดระนาบที่ต้องการ Q ขนานกับระนาบที่กำหนด Г

ตัวอย่าง 4.4: วาดผ่าน (.)A

เครื่องบิน

ขนาน

ระนาบฉายด้านหน้าΣ (m ||n) (รูปที่ 4.6)

≡ ล. 2

ข้าว. 4.6 ระนาบขนาน

เทคนิคการก่อสร้าง:

1. บนหน้าผาก PP ผ่านการฉายภาพด้านหน้าและ 2 เมื่อให้จุด A เส้นตรงจะถูกลาก A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2 เส้นตรงนี้จะเป็นรอยหน้าผากของระนาบ D ที่ต้องการ ระนาบที่ขนานกับระนาบที่ฉายด้านหน้าจะต้องเป็นระนาบที่ฉายด้านหน้านั่นเอง!

2. สุ่มเลือกสองจุดบน PP แนวนอนที่ 1 และ

ค1.

3. การฉายภาพด้านหน้าใน 2 และ C จุด 2 B และ C ถูกค้นหาตามสายสื่อสารบนร่องรอยที่สร้างขึ้นของระนาบ D ที่ต้องการ

หมายเหตุ! แม้ว่าจุด B และ C จะถูกเลือกโดยพลการบน PP แนวนอน แต่ระนาบที่กำหนดโดยจุด АВС จะขนานกับระนาบที่ฉายด้านหน้าที่กำหนด เนื่องจากบน PP ด้านหน้า จุด АВС อยู่บนเส้นเดียวกันขนานกับ ร่องรอยด้านหน้าของระนาบที่กำหนดΣ

4.2 จุดตัดของเส้นและระนาบ จุดตัด

ลองพิจารณาดู กรณีพิเศษเมื่อจำเป็นต้องค้นหา (.)K จุดตัดของเส้น ตำแหน่งทั่วไป l และระนาบฉายแนวนอนΣ

ตัวอย่าง 4.9: สร้างจุดตัดของเส้นตรง l ด้วยระนาบการฉายภาพแนวนอน Σ (รูปที่ 4.7):

	å ^ หน้า 1

ข้าว. 4.7 จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบที่ยื่นออกมา

การก่อสร้างนั้นง่ายมาก เนื่องจากระนาบที่ยื่นออกมา Σ มีคุณสมบัติรวม จุดตัดกับเส้นตรง

ตั้งอยู่เป็นจุดตัดของเส้นแนวนอน Σ 1 ของระนาบกับเส้นโครงแนวนอนของเส้น 1 เส้นโครงส่วนหน้าของจุดตัดจะพบตามแนวสายสื่อสาร

ในการสร้างจุดตัดของเส้นตรงใดๆ กับระนาบทั่วไป ควรใช้ระนาบที่ยื่นเสริมเป็นองค์ประกอบเสริม

ตัวอย่าง 4.10: สร้างจุดตัดของเส้น m กับระนาบ

(a ç b) (รูปที่ 4.8)

å ^ หน้า 2; å º ม

å ç D(açb) => ล

l1 11

ข้าว. 4.8 จุดตัดของเส้นและระนาบ

สำหรับการก่อสร้าง มีการใช้ระนาบเสริมที่ยื่นออกมาด้านหน้า Σ ซึ่งผ่านเส้น m

เส้น l ของจุดตัดของระนาบ Σ ç อยู่ในระนาบเดียวกันกับเส้นตรง m เนื่องจากระนาบเสริมถูกลากผ่านเส้นตรงเป็นพิเศษ ดังนั้นเมื่ออยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นตรง l และ m หากตัดกันจะให้จุดที่จะเป็นจุดตัดที่ต้องการของเส้นตรง m และระนาบที่กำหนด

ถ้าเส้น l และ m ขนานกัน นั่นหมายความว่าเส้น m และระนาบขนานกัน

	จุดตัดของเครื่องบินสองลำ
การสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบก็เพียงพอแล้ว
หาจุดสองจุดใดๆ ของเส้นนี้ หรือจุดเดียวและทิศทาง
เส้นตัดกัน
หากคุณกำลังมองหาเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบซึ่งหนึ่งในนั้น
การฉายภาพเส้นตัดจะถูกกำหนดโดยวิธีที่ง่ายที่สุด
การก่อสร้าง
ตัวอย่าง 4.5: สร้างเส้นตัดระนาบ				ที่ให้ไว้
เส้นตรงสองเส้น l ||m และระนาบระดับแนวนอน Σ (รูปที่.
			ส 2≡ ส 2
	ข้าว. 4.9 จุดตัดของเครื่องบิน

หมายเหตุ! เส้นตัดกันเป็นของระนาบแนวนอนของระดับ Σ ดังนั้นจึงเป็นแนวนอน

ความเรียบง่ายของการสร้างเส้นตัดกันของระนาบทั่วไปกับระนาบเฉพาะนั้นให้ เครื่องมือที่มีประโยชน์การสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบในตำแหน่งทั่วไป

ข้าว. 4.10 ระนาบตัดเสริม

เครื่องมือดังกล่าวเป็นระนาบการตัดเสริมของตำแหน่งเฉพาะเช่นระนาบระดับ (รูปที่ 4.10)

ในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบ Φ และ Θ มีการใช้ระนาบแนวนอนสองอัน Г" และ Г"" จุดตัด M และ N

คู่สาย a"

ส "X lX ม

ข้าว. 4.11 การสร้างแนวตัดกันของเครื่องบิน

สำหรับการก่อสร้าง มีการใช้ระนาบแนวนอน Σ" และ Σ""

ตัวอย่าง 4.7: สร้างเส้นตัดของระนาบ Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

ข้าว. 4.12 การสร้างแนวตัดกันของเครื่องบิน

สำหรับการก่อสร้างจะใช้เครื่องบินเสริมที่ฉายด้านหน้า "และ" ซึ่งบน PP ส่วนหน้าจะผ่านไปตามการฉายภาพด้านหน้าของเส้นตรงขนาน l และ m ซึ่งกำหนดระนาบ T ระนาบเสริม "ตัดกันระนาบที่กำหนด Φ (ABC) ไปตาม บรรทัดที่ 12 เส้นโครงแนวนอนของเส้นนี้ตัดกับเส้นโครงแนวนอนของเส้นที่จุด E 1 จุดนี้ถูกค้นหาบน PP ส่วนหน้าตามแนวสายสื่อสาร จุด E เป็นจุดร่วมบนระนาบ Φ(ABC) และ Τ(l ||m) ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นจุดหนึ่งบนเส้นตัดของระนาบ Φ(ABC) และ Τ(l ||m) นอกจากนี้ยังพบจุด F ของจุดตัดของระนาบ "" กับเส้น m จุด F ยังเป็นจุดของเส้นตัดกันของระนาบ Φ(ABC) และ Τ(l ||m) เชื่อมต่อคะแนนที่ได้รับ E และ

ชั่วโมง"1 ม 1 ชม. 1

ข้าว. 4.13 การสร้างแนวตัดกันของเครื่องบิน

จุดของเส้นตัดกันคือ (.)M จุดตัดของรอยเส้นแนวนอน และ h" ของระนาบที่กำหนด และ (.)N จุดตัดของเส้นรอยทางด้านหน้าf และ f" การเชื่อมต่อจุดเหล่านี้บนระนาบการฉายภาพที่สอดคล้องกันจะทำให้ได้การฉายภาพเส้นตัดของระนาบที่กำหนด

หากต้องการสร้างแผนผังเส้นระดับ:

• กำหนดเมทริกซ์ของค่าที่คุณต้องการแสดงแบบกราฟิก Mathcad ถือว่าแถวและคอลัมน์แสดงถึงค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันบางอย่างซึ่งมีระยะห่างเท่ากันตามแกนพิกัด จากนั้น Mathcad จะประมาณค่าของเมทริกซ์นี้เชิงเส้นตรงเพื่อสร้างเส้นที่มีระดับเท่ากัน
• ไอโซไลน์ดังกล่าวสามารถแสดงแทนไอโซเทอร์ม, ไอโซบาร์, เส้นสมศักย์เท่ากัน, ความเพรียวบางหรือมีความหมายทางกายภาพอื่น เลือกแผนที่เส้นระดับ จากเมนูคำสั่ง Create Contour Plotกราฟิก
• - Mathcad จะแสดงสี่เหลี่ยมที่มีช่องป้อนข้อมูลเดียว ดังในรูปที่ 1 พิมพ์ชื่อของเมทริกซ์ในช่องป้อนข้อมูล เช่นเดียวกับนิพจน์ Mathcad จะไม่สร้างแผนผังเส้นระดับจนกว่าคุณจะคลิก หรือในโหมดอัตโนมัติ

ห้ามคลิกนอกพื้นที่กราฟ

รูปที่ 1: ช่องป้อนข้อมูลว่างมีไว้สำหรับชื่อเมทริกซ์ กราฟที่สร้างขึ้นแสดงเส้นที่ฟังก์ชันซึ่งค่าที่แสดงโดยองค์ประกอบของเมทริกซ์ใช้ค่าคงที่ เนื่องจากเส้นที่ต่างกันสอดคล้องกันความหมายที่แตกต่างกัน

แล้วพวกมันจะไม่ตัดกัน เมื่อสร้างกราฟเมทริกซ์จะถูกวางในลักษณะที่องค์ประกอบ (0.0) สอดคล้องกับมุมซ้ายล่างของกราฟแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับค่าคงที่ตามแกนพิกัดและคอลัมน์ สอดคล้องกับค่าคงที่ตามแกน abscissa ด้วยการจัดรูปแบบภาพวาด คุณสามารถกำหนดได้ว่าค่าฟังก์ชันควรปรากฏบนเส้นระดับที่สอดคล้องกันหรือไม่ ความถี่ที่ควรจะเป็น และป้ายกำกับและเส้นตารางใดที่ปรากฏบนแกน ทั้งหมดนี้อธิบายไว้ด้านล่างในส่วน “ ”.

การจัดรูปแบบแผนที่เส้นระดับ

เส้นระดับของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ด้านล่างนี้คือขั้นตอนมาตรฐาน

• ในการสร้างแผนผังเส้นระดับของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ดังรูปที่ 2
• กำหนดฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ตัดสินใจว่าจะต้องพล็อตจุดตามแกนพิกัดกี่จุด ป้อนข้อโต้แย้งที่ไม่ต่อเนื่องฉัน และเจ

เพื่อจัดทำดัชนีจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการใช้ 10 จุดในแต่ละทิศทาง ให้ป้อน:

• ผม:= 0 ..9 เจ:= 0 ..9 xกำหนด ฉันและย xและ ฉันและ.
• j เป็นจุดเว้นระยะเท่าๆ กันบนแกน กรอกเมทริกซ์ม xค่าฉ( ฉันและฉัน,
• เจ) กรอกเมทริกซ์แสดง

ในรูปแบบของแผนที่เส้นระดับ

รูปที่ 2: แผนผังเส้นระดับของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว xโปรดทราบว่าในกรณีนี้แกน ฉันและกราฟิกไปทางขวาและแกน xและ ฉันและ- ด้วยเหตุนี้ แกนในแผนผังเส้นระดับจะถูกทำให้เป็นมาตรฐานตามค่าเริ่มต้น เพื่อให้พิกัดอยู่ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง 1 คุณสามารถกำหนดขอบเขตบนแกนด้วยตนเองแทนค่าเริ่มต้นเหล่านี้ได้โดยการเลือก รูปแบบกราฟิก 3 มิติจากเมนู จากเมนูคำสั่ง Create Contour Plotพร้อมแผนที่เส้นระดับที่เลือกไว้ หรือ ดับเบิลคลิกบนแผนภูมิ จากนั้นตั้งค่าที่ต้องการในช่อง “Min” และ “Max” ในหน้า “Axes”