ภายใต้ ไม่มีเหตุผลเข้าใจนิพจน์ที่ตัวแปรอิสระ %%x%% หรือพหุนาม %%P_n(x)%% ของดีกรี %%n \in \mathbb(N)%% รวมอยู่ใต้เครื่องหมาย หัวรุนแรง(จากภาษาละติน ฐานราก- รูต) เช่น ยกกำลังเป็นเศษส่วน ด้วยการแทนที่ตัวแปร คลาสของปริพันธ์บางคลาสที่ไม่ลงตัวเมื่อเทียบกับ %%x%% ก็สามารถลดลงเป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ได้

แนวคิดของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรตัวเดียวสามารถขยายไปยังอาร์กิวเมนต์หลายตัวได้ ถ้าสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ %%u, v, \dotsc, w%% เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชัน จะมีเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการยกกำลังเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น เราจะพูดถึงฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปคือ แสดงว่า %%R(u, v, \ dotsc, w)%% อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดังกล่าวอาจเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ %%x%% รวมถึงรากในรูปแบบ %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรรกยะ $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ โดยมี %%u = x, v = \sqrt(x)%% และ %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ จาก %%x%% และอนุมูล %%\sqrt(x)%% และ %%\sqrt(x ^2 + 1 )%% ในขณะที่ฟังก์ชัน %%f(x)%% จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว (พีชคณิต) ของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง %%x%%

ลองพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% อินทิกรัลดังกล่าวหาเหตุผลเข้าข้างตนเองโดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](x)%% จากนั้น %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%

ตัวอย่างที่ 1

หา %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%

จำนวนเต็มของอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการเขียนเป็นฟังก์ชันของอนุมูลระดับ %%2%% และ %%3%% เนื่องจากตัวคูณร่วมน้อยของ %%2%% และ %%3%% คือ %%6%% อินทิกรัลนี้จึงเป็นอินทิกรัลประเภท %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% และสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ %%\sqrt(x) = t%% จากนั้น %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%% ดังนั้น $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t $$ ลองใช้ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% และ $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(อาร์เรย์) $$

อินทิกรัลของรูปแบบ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% เป็นกรณีพิเศษของการไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน กล่าวคือ อินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% โดยที่ %% ad - bc \neq 0%% ซึ่งสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%% จากนั้น %%x = \dfrac (dt^n - b)(ก - ct^n)%% จากนั้น $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t -

ตัวอย่างที่ 2

หา %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%

ลองใช้ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% จากนั้น %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2) \end(array) $$ ดังนั้น $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(อาร์เรย์) $$

ลองพิจารณาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ในกรณีที่ง่ายที่สุด อินทิกรัลดังกล่าวจะลดลงเหลือแบบตาราง หากหลังจากแยกกำลังสองทั้งหมดแล้ว มีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

หาอินทิกรัล %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%

เมื่อพิจารณาว่า %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% เราจะได้ %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, จากนั้น $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\ซ้าย|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(อาร์เรย์) $$

ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ เมื่อต้องการค้นหาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% จะถูกใช้

คำจำกัดความ 1

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ซึ่งกำหนดบนเซกเมนต์หนึ่งๆ เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดด้วยสัญลักษณ์ $\int f(x)dx $

ความคิดเห็น

คำจำกัดความที่ 2 สามารถเขียนได้ดังนี้:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันอตรรกยะทุกฟังก์ชันจะสามารถแสดงเป็นอินทิกรัลผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้ อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลเหล่านี้ส่วนใหญ่สามารถลดลงได้โดยใช้การแทนที่อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ขวาน+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ขวาน+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $

ฉัน

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:

ด้วยการทดแทนนี้ แต่ละกำลังเศษส่วนของตัวแปร $x$ จะแสดงผ่านกำลังจำนวนเต็มของตัวแปร $t$ เป็นผลให้ฟังก์ชันปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$

ตัวอย่างที่ 1

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

สารละลาย:

$k=4$ เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(อาร์เรย์)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

ครั้งที่สอง

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:

โดยที่ $k$ เป็นตัวหารร่วมของเศษส่วน $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $

ผลจากการแทนที่นี้ ทำให้ปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$

ตัวอย่างที่ 2

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

ที่สาม

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ จะเรียกว่าการแทนที่ออยเลอร์ (หนึ่งในสามการแทนที่ที่เป็นไปได้คือ ใช้แล้ว).

การเปลี่ยนตัวครั้งแรกของออยเลอร์

สำหรับกรณี $a>

เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(a) $ เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 3

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้ (กรณี $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

การเปลี่ยนตัวคนที่สองของออยเลอร์

สำหรับกรณี $c>0$ จำเป็นต้องทำการทดแทนดังต่อไปนี้:

เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(c) $ เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 4

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ เมื่อกลับด้านแล้ว การทดแทนเราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( อาร์เรย์)\]

การเปลี่ยนตัวคนที่สามของออยเลอร์

ฟังก์ชันอตรรกยะของตัวแปรคือฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและค่าคงที่ตามอำเภอใจโดยใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ (การยกกำลังจำนวนเต็ม) การหาร และการหยั่งราก ฟังก์ชันอตรรกยะแตกต่างจากฟังก์ชันตรรกยะตรงที่ฟังก์ชันอตรรกยะประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับการแยกราก

ฟังก์ชันอตรรกยะมีสามประเภทหลักๆ ซึ่งอินทิกรัลไม่ จำกัด จะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ที่มีรากของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (รากอาจมีกำลังต่างกัน แต่มาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นเดียวกัน) อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินามและอินทิกรัลกับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

หมายเหตุสำคัญ รากมีหลายความหมาย!

เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่มีรูต มักจะพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอินทิเกรตคือที่ไหน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่านั่นคือที่ t >< 0 , |t| = ต- ที่ที 0 0 , |t| = - ที .< 0 ดังนั้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากรณีต่างๆ t > แยกต่างหาก 0 และที< 0 - ซึ่งสามารถทำได้โดยการเขียนป้ายหรือที่ใดก็ตามที่จำเป็น สมมติว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงกรณี t >

และอันล่าง - ถึงเคส เสื้อ

- ด้วยการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตามกฎแล้วสัญญาณเหล่านี้จะยกเลิกซึ่งกันและกัน

แนวทางที่สองก็เป็นไปได้เช่นกัน โดยที่อินทิแกรนด์และผลลัพธ์ของอินทิเกรตถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรที่ซับซ้อน ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่ต้องใส่ใจกับสัญญาณในสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง วิธีการนี้ใช้ได้หากปริพันธ์เป็นเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ทั้งอินทิกรัลและอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ดังนั้น หลังจากการบูรณาการ เมื่อแทนที่ค่าตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสาขาที่มีค่าเดียว (พื้นผิว Riemann) ของปริพันธ์ และเลือกสาขาที่สอดคล้องกันของผลการรวม
,
ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน
สิ่งเหล่านี้คืออินทิกรัลที่มีรากจากฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนเดียวกัน:
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ คือจำนวนตรรกยะ m 1, n 1, ..., m s, n s คือจำนวนเต็ม α, β, γ, δ เป็นจำนวนจริง

อินทิกรัลดังกล่าวลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน: โดยที่ n คือตัวส่วนร่วมของตัวเลข r 1, ..., r s) หรือบนตัวแปรอินทิเกรต x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
, .

อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม

อินทิกรัลจากดิฟเฟอเรนเชียลทวินามมีรูปแบบ:
,
โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี

1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

ในกรณีอื่นๆ อินทิกรัลดังกล่าวจะไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

บางครั้งอินทิกรัลดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้สูตรการลด:
;
.

ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

อินทิกรัลดังกล่าวมีรูปแบบ:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ สำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวนั้นมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา
1) การใช้การแปลงทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น
2) ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติหรือไฮเปอร์โบลิก
3) ใช้การทดแทนออยเลอร์

ลองดูวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด

1) การแปลงฟังก์ชันปริพันธ์

การใช้สูตรและดำเนินการแปลงพีชคณิตเราจะลดฟังก์ชันปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบ:
,
โดยที่ φ(x), ω(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ

ประเภทที่ 1

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n

อินทิกรัลดังกล่าวพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยใช้เอกลักษณ์:

.
การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i

ประเภทที่สอง

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m

การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม

ประเภทที่สาม

ที่นี่เราทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ t ในตัวส่วนกลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
,
,
ซึ่งรวมเข้าด้วยกันโดยการทดแทน:
คุณ 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1
โวลต์ 2 = ก 1 + ค 1 เสื้อ -2 .

2) การทดแทนตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม , a > 0 ,
เรามีตัวสำรองหลักๆ อยู่ 3 ตัว:
;
;
;

สำหรับปริพันธ์ ก > 0 ,
เรามีการทดแทนดังต่อไปนี้:
;
;
;

และสุดท้าย สำหรับอินทิกรัล, a > 0 ,
การทดแทนมีดังนี้:
;
;
;

3) การเปลี่ยนตัวออยเลอร์

นอกจากนี้ อินทิกรัลยังสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0;
, สำหรับค > 0 ;
โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0

อินทิกรัลรูปไข่

โดยสรุป ให้พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ R เป็นฟังก์ชันตรรกยะ

อินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าวงรี โดยทั่วไป พวกมันจะไม่แสดงออกผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีหลายกรณีที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ A, B, C, D, E ซึ่งอินทิกรัลดังกล่าวแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน
.

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับพหุนามแบบสะท้อนกลับ การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าวดำเนินการโดยใช้การทดแทน:

ตัวอย่าง
.

คำนวณอินทิกรัล:

สารละลาย

.
มาทำการทดแทนกันเถอะ 0 ที่นี่ที่ x > 0 (คุณ>< 0 ) ใช้เครื่องหมายบน ′+ ′ ที่เอ็กซ์< 0 (คุณ

.

) - ต่ำกว่า '- '.

คำตอบ
วรรณกรรมที่ใช้:

น.เอ็ม. กุนเธอร์ อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

คำตอบสำเร็จรูปเกี่ยวกับฟังก์ชันอินทิเกรตนำมาจากแบบทดสอบสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 และ 2 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้แน่ใจว่าสูตรในปัญหาและคำตอบไม่ซ้ำเงื่อนไขของงาน เราจะไม่เขียนเงื่อนไขออกมา คุณรู้อยู่แล้วว่าในปัญหาคุณต้อง "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้น หากคุณต้องการคำตอบเกี่ยวกับการบูรณาการ ให้เริ่มศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้

บูรณาการของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 18 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรภายใต้อินทิกรัล เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราไม่เพียงแต่เลือกรากเท่านั้น แต่ยังเลือกตัวส่วนทั้งหมดสำหรับตัวแปรใหม่อีกด้วย หลังจากการแทนที่ อินทิกรัลจะถูกแปลงเป็นผลรวมของอินทิกรัลแบบตารางสองตัว ซึ่งไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น
หลังจากการรวมเข้าด้วยกัน เราจะทดแทนการทดแทนตัวแปร

ตัวอย่างที่ 19 เราใช้เวลาและพื้นที่ไปมากในการรวมฟังก์ชันเศษส่วนไม่ลงตัวนี้ และเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าคุณจะคิดจากแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ได้หรือไม่ เพื่อกำจัดความไม่ลงตัว และที่นี่เรากำลังจัดการกับรากที่สาม เราเลือกฟังก์ชันรูทเป็นกำลังสามสำหรับตัวแปรใหม่ ต่อไปเราจะค้นหาส่วนต่างและแทนที่ฟังก์ชันก่อนหน้าด้วยอินทิกรัล

ส่วนที่ใช้เวลานานที่สุดคือการจัดตารางเวลาฟังก์ชันใหม่สำหรับความสัมพันธ์เชิงกำลังและเศษส่วน

หลังจากการแปลง เราจะพบอินทิกรัลบางส่วนทันที และเราเขียนอันสุดท้ายออกเป็นสอง ซึ่งเราจะแปลงตามสูตรการรวมแบบตาราง

หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้วอย่าลืมกลับไปใช้การเปลี่ยนที่ดำเนินการตั้งแต่เริ่มต้น

ตัวอย่างที่ 20 เราต้องหาอินทิกรัลของไซน์กำลัง 7 ตามกฎแล้ว ไซน์หนึ่งตัวจะต้องถูกผลักเข้าไปในดิฟเฟอเรนเชียล (เราได้ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโคไซน์) และไซน์กำลัง 6 จะต้องเขียนผ่านโคไซน์ ดังนั้นเราจึงมาถึงการอินทิเกรตจากฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ t = cos (x)



ในกรณีนี้ คุณจะต้องนำความแตกต่างมาสู่คิวบ์ จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน
เป็นผลให้เราได้พหุนามอันดับ 7 ในโคไซน์


ตัวอย่างที่ 21 ในอินทิกรัลนี้ จำเป็นต้องเขียนโคไซน์ของระดับที่ 4 ในสูตรตรีโกณมิติผ่านการพึ่งพาโคไซน์ของระดับที่ 1 ต่อไป เราใช้สูตรตารางสำหรับการรวมโคไซน์

ตัวอย่างที่ 22 ภายใต้อินทิกรัล เรามีผลคูณของไซน์และโคไซน์ ตามสูตรตรีโกณมิติ เราเขียนผลคูณผ่านผลต่างของไซน์ วิธีหาธนูนี้สามารถเข้าใจได้จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ของ "x" ต่อไปเราจะรวมไซน์เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 23 ตรงนี้เรามีทั้งฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในตัวส่วน นอกจากนี้สูตรตรีโกณมิติจะไม่ช่วยให้การพึ่งพาง่ายขึ้น ในการค้นหาอินทิกรัล เราใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล t=tan(x/2)

จากบันทึกชัดเจนว่าตัวส่วนจะหักล้างและเราจะได้กำลังสองในตัวส่วนของเศษส่วน ในนั้นเราเลือกสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์และส่วนที่ว่าง หลังจากการอินทิเกรตแล้ว เราก็มาถึงลอการิทึมของความแตกต่างระหว่างตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วน เพื่อให้สัญลักษณ์ง่ายขึ้น ทั้งตัวเศษและส่วนใต้ลอการิทึมจะต้องคูณด้วยสอง
ในตอนท้ายของการคำนวณ เราจะแทนที่ค่าแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่งแทนตัวแปร

ตัวอย่างที่ 24 ในการอินทิเกรตฟังก์ชัน เราจะนำกำลังสองของโคไซน์ออกจากวงเล็บ และในวงเล็บเราจะลบและเพิ่มหนึ่งค่าเพื่อให้ได้โคแทนเจนต์

ต่อไป เราเลือกโคแทนเจนต์ u = ctg (x) สำหรับตัวแปรใหม่ ส่วนต่างของมันจะให้ปัจจัยที่เราต้องการในการทำให้ง่ายขึ้น หลังจากการทดแทนเรามาถึงฟังก์ชันซึ่งเมื่อรวมเข้าแล้วจะให้ค่าอาร์กแทนเจนต์
อย่าลืมเปลี่ยนคุณเป็นโคแทนเจนต์


ตัวอย่างที่ 25 ในงานสุดท้ายของการทดสอบ คุณต้องรวมโคแทนเจนต์ของมุมสองเท่าเข้ากับระดับที่ 4
ณ จุดนี้ การทดสอบบูรณาการได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีครูเพียงคนเดียวที่จะจับผิดกับคำตอบและเหตุผลสำหรับการเปลี่ยนแปลง

หากคุณเรียนรู้วิธีบูรณาการเช่นนี้ การทดสอบหรือส่วนต่างๆ ในหัวข้อปริพันธ์ก็ไม่น่ากลัวสำหรับคุณ คนอื่นๆ มีโอกาสที่จะเรียนรู้หรือสั่งซื้อโซลูชันอินทิกรัลจากเรา (หรือคู่แข่งของเรา :)))

เรายังคงพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วนและรากต่อไป ไม่ใช่ทั้งหมดจะซับซ้อนมากนัก เพียงด้วยเหตุผลใดก็ตามตัวอย่างจึง "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ 9

ในตัวส่วนใต้รากจะมีตรีนามกำลังสองบวกด้วย "ส่วนต่อ" ในรูปของ "X" ด้านนอกราก อินทิกรัลประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทนมาตรฐาน

.

การเปลี่ยนที่นี่ทำได้ง่าย:

มาดูชีวิตหลังการเปลี่ยน:

(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดพจน์ที่อยู่ใต้รากให้เหลือตัวส่วนร่วม

(2) เราเอามันออกมาจากใต้ราก

(3) ตัวเศษและส่วนลดลงด้วย ในเวลาเดียวกัน เราได้จัดเรียงเงื่อนไขใหม่ภายใต้รากตามลำดับที่สะดวก ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา

(4) อินทิกรัลผลลัพธ์ดังที่คุณจำได้ได้รับการแก้ไขแล้ว วิธีการสกัดกำลังสองแบบสมบูรณ์- เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์

(5) โดยการอินทิเกรต เราได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา

(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ หากเริ่มแรก ให้ย้อนกลับ: .

(7) การดำเนินการขั้นสุดท้ายมีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้ผลลัพธ์ตรง: ภายใต้รากเราจะนำเงื่อนไขมาสู่ตัวส่วนร่วมอีกครั้งและนำพวกมันออกจากใต้ราก

ตัวอย่างที่ 10

ตัวอย่างที่ 9

.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่มีการเพิ่มค่าคงที่ให้กับ "X" เดี่ยวและการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

.

สิ่งเดียวที่จำเป็นคือแสดง "x" เพิ่มเติมจากการทดแทนที่กำลังดำเนินการ:

.

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

บางครั้งในอินทิกรัลเช่นนั้นอาจมีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 12

ตัวอย่างที่ 9

คำตอบและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 นั้นถูกต้องทุกประการ อินทิกรัลทวินามวิธีแก้ปัญหาที่ได้อภิปรายกันในชั้นเรียน อินทิกรัลของฟังก์ชันอตรรกยะ.

อินทิกรัลของพหุนามของดีกรีที่ 2 ที่แยกไม่ออกในตัวส่วนยกกำลัง

อินทิกรัลประเภทที่หายากมากขึ้น แต่ก็ยังพบได้ในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 13

ตัวอย่างที่ 9

ตัวส่วนของจำนวนเต็มมีทวินามกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เราเน้นย้ำว่าการไม่แยกตัวประกอบเป็นคุณลักษณะที่สำคัญ หากแยกตัวประกอบพหุนาม ทุกอย่างจะชัดเจนขึ้นมาก ตัวอย่างเช่น:

กลับมาที่ตัวอย่างเลขนำโชค 13 อินทิกรัลนี้ก็เป็นหนึ่งในอินทิกรัลที่อาจสร้างความเจ็บปวดได้หากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์:

ฉันคิดว่าทุกคนคงเข้าใจวิธีหารตัวเศษด้วยตัวส่วนแล้ว

อินทิกรัลผลลัพธ์จะถูกนำมาเป็นส่วนต่างๆ:

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม

ที่ไหน ( เค≥ 2) – จำนวนธรรมชาติที่ได้รับ กำเริบสูตรลด:

- เป็นอินทิกรัลของดีกรีที่ต่ำกว่า 1

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และฟังก์ชันจำนวนเต็มจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน หากคุณพบอินทิกรัลเช่นนี้ให้ดูที่ตำราเรียน - ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น