คนส่วนใหญ่บนโลกของเราใช้ระบบเลขฐานสิบในการนับ แต่คอมพิวเตอร์ใช้ระบบเลขฐานสอง ชนเผ่าบางเผ่าในช่วงรุ่งอรุณของการพัฒนามนุษย์ใช้เลขฐานสองและเลขฐานสิบหก จากพวกเขาเราเหลือเวลา 12 ชั่วโมงบนหน้าปัดและ 60 นาทีในหนึ่งชั่วโมง

บางครั้งจำเป็นต้องแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง ในบทความนี้เราจะดูวิธีการแปลโดยเฉพาะมากขึ้น ระบบทศนิยมจากระบบยอดนิยมอื่นๆ

หลักการสร้างตัวเลขจากหลัก

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าระบบตัวเลขคืออะไรและเป็นพื้นฐานของมัน ระบบตัวเลขเป็นวิธีหนึ่งในการแสดงตัวเลขโดยการรวมกันของตัวเลขบางตัว พื้นฐานของระบบคือจำนวนหลักที่ใช้ในระบบ ตัวอย่างเช่นในระบบทศนิยมที่มีฐาน 10 มีเพียง 10 หลัก - ตั้งแต่ 0 ถึง 9 ในเลขฐานสิบหกจะมี 16 หลักตามลำดับซึ่งกำหนดโดยเลขอารบิค 0 - 9 และ ตัวอักษรละติน A - F แทนตัวเลข 10 - 15 เช่น 2F7BE 16 เป็นเลขฐานสิบหก เมื่อเขียนในลักษณะนี้ ตัวห้อยจะหมายถึงฐานของระบบตัวเลข ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างระบบที่มีฐานต่างกันคือ "ค่า" ของเลข 10 ในเลขฐานสิบหก 10 16 จะเท่ากับ 16 10 แต่ในไบนารี่ 10 2 จะเท่ากับเพียงสอง 100 16 จะคำนวณเป็น

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องแยกแยะระหว่างแนวคิดของ "ตัวเลข" และ "ตัวเลข" ตัวเลขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียว และตัวเลขอาจแสดงด้วยหลายสัญลักษณ์ก็ได้ ตัวอย่างเช่น หมายเลข 9 10 ในไบนารี่จะมีลักษณะเป็น 1001 2 และไม่มีเลข 9 ในไบนารี่เช่นนี้

อัลกอริธึมการแปล

หากต้องการแปลงตัวเลขเป็นระบบทศนิยม คุณต้องเรียนรู้วิธีใช้อัลกอริทึมง่ายๆ

1. กำหนดฐานของระบบตัวเลข โดยระบุด้วยตัวห้อยหลังตัวเลข เช่น ในหมายเลข 2F7BE 16 ฐานคือ 16
2. คูณเลขหลักแต่ละหลักด้วยฐานให้ยกกำลังเท่ากับจำนวนหลักจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มจากศูนย์ ในตัวเลข 2F7BE, 16 E (เท่ากับ 14) คูณด้วย 16 ยกกำลังศูนย์, B (หลัก 11) คูณ 16 ยกกำลังแรก และอื่นๆ: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11 *16 1 + 14*16 0 .
3. เพิ่มผลลัพธ์

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

ลองดูตัวอย่างวิธีแปลงระบบเลขฐานสิบหก ฐานแปด และไบนารี่ที่ได้รับความนิยมมากที่สุดให้เป็นทศนิยม

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

แน่นอนว่าการนับด้วยตนเองทุกครั้งนั้นไม่สะดวก ไม่มีเหตุผล และแม้แต่ไม่เต็มใจด้วยซ้ำ มีเครื่องคิดเลขมากมายที่สามารถแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น, เครื่องคิดเลขมาตรฐาน Windows ในโหมดโปรแกรมเมอร์ (ปุ่ม Alt+3 หรือเมนูมุมมอง) สามารถทำงานร่วมกับระบบ Radix 2, 8, 10 และ 16 ได้

หมายเหตุ 1

หากคุณต้องการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง จะสะดวกกว่าถ้าแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบก่อน จากนั้นจึงแปลงจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบตัวเลขอื่นเท่านั้น

กฎการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม

ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ที่ใช้เลขคณิตของเครื่องจักร การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งมีบทบาทสำคัญ ด้านล่างนี้เราจะให้กฎพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลง (การแปล) ดังกล่าว

เมื่อแปลงเลขฐานสองเป็นทศนิยม จะต้องแสดงเลขฐานสองเป็นพหุนาม โดยแต่ละองค์ประกอบจะแสดงเป็นผลคูณของตัวเลขหลักและกำลังที่สอดคล้องกันของเลขฐาน ใน ในกรณีนี้$2$ จากนั้นคุณจะต้องคำนวณพหุนามโดยใช้กฎเลขคณิตทศนิยม:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

รูปที่ 1 ตารางที่ 1

ตัวอย่างที่ 1

แปลงตัวเลข $11110101_2$ เป็นระบบเลขฐานสิบ

สารละลาย.เมื่อใช้ตารางที่กำหนดของ $1$ ยกกำลังของฐาน $2$ เราจะแสดงตัวเลขเป็นพหุนาม:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานแปดเป็นระบบเลขทศนิยม คุณต้องแสดงมันเป็นพหุนาม ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะแสดงเป็นผลคูณของตัวเลขหลักและกำลังที่สอดคล้องกันของเลขฐานในกรณีนี้ กรณี $8$ จากนั้นคุณจะต้องคำนวณพหุนามตามกฎของเลขคณิตทศนิยม:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

รูปที่ 2 ตารางที่ 2

ตัวอย่างที่ 2

แปลงตัวเลข $75013_8$ เป็นระบบเลขทศนิยม

สารละลาย.การใช้ตารางที่กำหนดของกำลัง $2$ ของฐาน $8$ เราแสดงตัวเลขเป็นพหุนาม:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

ในการแปลงตัวเลขจากเลขฐานสิบหกเป็นทศนิยม คุณต้องแสดงมันเป็นพหุนาม โดยแต่ละองค์ประกอบจะแสดงเป็นผลคูณของตัวเลขหลักและกำลังที่สอดคล้องกันของเลขฐาน ในกรณีนี้คือ $16$ จากนั้น คุณต้องคำนวณพหุนามตามกฎของเลขคณิตทศนิยม:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

รูปที่ 3 ตารางที่ 3

ตัวอย่างที่ 3

แปลงตัวเลข $FFA2_(16)$ เป็นระบบเลขฐานสิบ

สารละลาย.การใช้ตารางที่กำหนดของกำลัง $3$ ของฐาน $8$ เราแสดงตัวเลขเป็นพหุนาม:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

กฎการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบไปเป็นอีกระบบหนึ่ง

• หากต้องการแปลงตัวเลขจากระบบเลขทศนิยมเป็นระบบไบนารี่ จะต้องหารด้วย $2$ ตามลำดับจนกว่าจะมีจำนวนเศษน้อยกว่าหรือเท่ากับ $1$ ตัวเลขในระบบไบนารี่จะแสดงเป็นลำดับของผลลัพธ์สุดท้ายของการหารและเศษที่เหลือจากการหารในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่างที่ 4

แปลงตัวเลข $22_(10)$ เป็น ระบบไบนารี่การคำนวณ

สารละลาย:

รูปที่ 4.

$22_{10} = 10110_2$

• หากต้องการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบเป็นฐานแปด จะต้องหารตามลำดับด้วย $8$ จนกว่าจะมีจำนวนเศษน้อยกว่าหรือเท่ากับ $7$ ตัวเลขในระบบเลขฐานแปดจะแสดงเป็นลำดับตัวเลขของผลการหารสุดท้ายและเศษที่เหลือจากการหารในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่างที่ 5

แปลงตัวเลข $571_(10)$ เป็น ระบบฐานแปดการคำนวณ

สารละลาย:

รูปที่ 5.

$571_{10} = 1073_8$

• เพื่อแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบให้เป็น ระบบเลขฐานสิบหกจะต้องหารอย่างต่อเนื่องด้วย $16$ จนกว่าจะมีเศษเหลือน้อยกว่าหรือเท่ากับ $15$ ตัวเลขในระบบเลขฐานสิบหกจะแสดงเป็นลำดับตัวเลขของผลลัพธ์การหารสุดท้ายและส่วนที่เหลือของการหารในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่างที่ 6

แปลงตัวเลข $7467_(10)$ เป็นระบบเลขฐานสิบหก

สารละลาย:

รูปที่ 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

เพื่อที่จะแปลงเศษส่วนที่เหมาะสมจากระบบเลขทศนิยมไปเป็นระบบเลขที่ไม่ใช่ทศนิยม จำเป็นต้องคูณเศษส่วนของตัวเลขที่จะแปลงด้วยฐานของระบบที่ต้องการแปลงตามลำดับ เศษส่วนเข้า ระบบใหม่โดยจะนำเสนอในรูปแบบผลงานทั้งหมดตั้งแต่ชิ้นแรก

ตัวอย่างเช่น: $0.3125_((10))$ ในระบบเลขฐานแปดจะมีลักษณะเป็น $0.24_((8))$

ในกรณีนี้ คุณอาจประสบปัญหาเมื่อเศษส่วนทศนิยมจำกัดสามารถสัมพันธ์กับเศษส่วนอนันต์ (เป็นงวด) ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ทศนิยม ในกรณีนี้ จำนวนหลักในเศษส่วนที่แสดงในระบบใหม่จะขึ้นอยู่กับความแม่นยำที่ต้องการ ควรสังเกตด้วยว่าจำนวนเต็มยังคงเป็นจำนวนเต็ม และเศษส่วนแท้ยังคงเป็นเศษส่วนในระบบตัวเลขใดๆ

กฎสำหรับการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองไปเป็นอีกระบบหนึ่ง

• ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นฐานแปด จะต้องแบ่งออกเป็นสามหลัก (สามหลัก) โดยเริ่มจากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด หากจำเป็น เพิ่มศูนย์ให้กับกลุ่มสามนำหน้า จากนั้นแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยหลักฐานแปดที่สอดคล้องกัน ตามตารางที่ 4

รูปที่ 7 ตารางที่ 4

ตัวอย่างที่ 7

แปลงตัวเลข $1001011_2$ เป็นระบบเลขฐานแปด

สารละลาย- เมื่อใช้ตารางที่ 4 เราจะแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นฐานแปด:

$001 001 011_2 = 113_8$

• ในการแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก ควรแบ่งออกเป็นเตตร้าด (สี่หลัก) โดยเริ่มต้นด้วยหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด หากจำเป็น ให้เติมศูนย์ให้กับเตตร้าดที่สำคัญที่สุด จากนั้นแทนที่แต่ละเตตร้าดด้วยเลขฐานแปดที่สอดคล้องกัน ตามตารางที่ 4

ระบบเลขฐานสองใช้เพียงสองหลัก คือ 0 และ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง สองคือฐานของระบบเลขฐานสอง (ในทำนองเดียวกัน ระบบทศนิยมมีฐาน 10)

หากต้องการเรียนรู้ที่จะเข้าใจตัวเลขในระบบเลขฐานสอง ก่อนอื่นให้พิจารณาว่าตัวเลขนั้นเกิดขึ้นได้อย่างไรในระบบเลขฐานสิบที่เราคุ้นเคย

ในระบบเลขทศนิยมเรามีตัวเลขสิบหลัก (ตั้งแต่ 0 ถึง 9) เมื่อนับถึง 9 จะมีการแนะนำหลักใหม่ (สิบ) หลักหลักจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์ และการนับจะเริ่มต้นอีกครั้ง หลังจาก 19 หลักหลักสิบจะเพิ่มขึ้น 1 หลัก และหลักสิบจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์อีกครั้ง และอื่นๆ เมื่อหลักสิบถึง 9 ตัวเลขที่สามจะปรากฏขึ้น - ร้อย

ระบบเลขฐานสองนั้นคล้ายคลึงกับระบบเลขฐานสิบ ยกเว้นว่ามีเพียงสองหลักเท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับการสร้างตัวเลข: 0 และ 1 ทันทีที่ตัวเลขถึงขีดจำกัด (นั่นคือ หนึ่ง) ตัวเลขใหม่จะปรากฏขึ้น และ อันเก่าถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์

ลองนับในระบบไบนารี่:
0 คือศูนย์
1 คือหนึ่ง (และนี่คือขีดจำกัดการปล่อย)
10 คือสอง
11 คือสาม (และนั่นคือขีดจำกัดอีกครั้ง)
100 คือสี่
101 – ห้า
110 - หก
111 - เจ็ด ฯลฯ

การแปลงตัวเลขจากไบนารีเป็นทศนิยม

สังเกตได้ไม่ยากว่าในระบบเลขฐานสองความยาวของตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อค่าเพิ่มขึ้น จะทราบได้อย่างไรว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร: 10001001? ไม่คุ้นเคยกับการเขียนตัวเลขรูปแบบนี้ สมองของมนุษย์ปกติจะคิดไม่ออกว่าเท่าไหร่ คงจะดีถ้าสามารถแปลงเลขฐานสองเป็นทศนิยมได้

ในระบบเลขฐานสิบ จำนวนใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของหน่วย สิบ ร้อย ฯลฯ ตัวอย่างเช่น:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

ดูรายการนี้อย่างระมัดระวัง ในที่นี้ ตัวเลข 1, 4, 7 และ 6 เป็นชุดตัวเลขที่ประกอบเป็นตัวเลข 1476 ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้จะถูกคูณทีละ 10 ยกขึ้นเป็น 1 องศาหรืออย่างอื่น สิบเป็นฐานของระบบเลขฐานสิบ ยกกำลังสิบคือเลขหลักลบหนึ่ง

เลขฐานสองใดๆ ก็สามารถขยายได้เช่นเดียวกัน เฉพาะฐานที่นี่จะเป็น 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

เหล่านั้น. เลข 10001001 ในฐาน 2 เท่ากับเลข 137 ในฐาน 10 คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

10001001 2 = 137 10

เหตุใดระบบเลขฐานสองจึงเป็นเรื่องธรรมดา?

ความจริงก็คือว่าระบบเลขฐานสองเป็นภาษา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์- แต่ละหมายเลขจะต้องแสดงบนสื่อทางกายภาพ หากเป็นระบบทศนิยม คุณจะต้องสร้างอุปกรณ์ที่สามารถมีสถานะได้สิบสถานะ มันซับซ้อน ง่ายกว่าที่จะสร้างองค์ประกอบทางกายภาพที่สามารถอยู่ในสองสถานะเท่านั้น (เช่น มีกระแสหรือไม่มีกระแส) นี่เป็นหนึ่งในสาเหตุหลักที่ทำให้ระบบเลขฐานสองได้รับความสนใจเป็นอย่างมาก

การแปลงเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสอง

คุณอาจต้องแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง วิธีหนึ่งคือการหารด้วยสองแล้วสร้างเลขฐานสองจากเศษที่เหลือ ตัวอย่างเช่น คุณต้องได้สัญกรณ์ไบนารี่จากเลข 77

ระบบตัวเลขที่สั้นที่สุดคือไบนารี่ เธอมีพื้นฐานที่สมบูรณ์ ในรูปแบบตำแหน่งการบันทึกหมายเลข ลักษณะสำคัญคือหลักการ ตัวเลขสองเท่าเมื่อทำการเปลี่ยนจากตำแหน่งหนึ่งไปยังตำแหน่งถัดไป จากระบบตัวเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง คุณสามารถแปลงโดยใช้ได้ โปรแกรมพิเศษและด้วยตนเอง

การรับรู้ทางประวัติศาสตร์

การปรากฏตัวของไบนารี SS ในประวัติศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับนักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ V.G. ไลบ์นิซ.เขาเป็นคนแรกที่พูดถึงกฎการปฏิบัติงานด้วย ค่าตัวเลขประเภทนี้ แต่เริ่มแรกหลักการนี้ยังคงอยู่ ไม่มีการอ้างสิทธิ์- อัลกอริธึมได้รับการยอมรับทั่วโลกและการประยุกต์ใช้ในช่วงเริ่มต้นของคอมพิวเตอร์

ความสะดวกสบายและความเรียบง่ายการดำเนินการนำไปสู่ความจำเป็นในการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับส่วนย่อยของเลขคณิตซึ่งกลายเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการพัฒนา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กับ ซอฟต์แวร์- นับเป็นครั้งแรกที่กลไกดังกล่าวปรากฏในตลาดเยอรมันและฝรั่งเศส

ความสนใจ!จุดเฉพาะเกี่ยวกับความเหนือกว่าของระบบไบนารี่ที่เกี่ยวข้องกับระบบทศนิยมในอุตสาหกรรมนี้ ตั้งขึ้นในปี 1946 และได้รับการพิสูจน์ในบทความโดย A. Bex, H. Goldstein และ J. Von Neumann

การแปลงตัวเลขจากระบบเลขทศนิยมให้เป็นเลขฐานสอง

คุณสมบัติของเลขคณิตไบนารี

ไบนารี CC ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้เท่านั้น ตัวละครสองตัวซึ่งตรงกับคุณสมบัติอย่างใกล้ชิดมาก วงจรดิจิตอล- สัญลักษณ์แต่ละตัวมีหน้าที่รับผิดชอบในการดำเนินการเฉพาะ ซึ่งมักจะหมายถึงสองสถานะ:

• การมีหรือไม่มีรู เช่น บัตรเจาะหรือเทปกระดาษ
• บน สื่อแม่เหล็กรับผิดชอบสถานะของการทำให้เป็นแม่เหล็กหรือการล้างอำนาจแม่เหล็ก
• ตามระดับสัญญาณสูงหรือต่ำ

ในวิทยาศาสตร์ที่ใช้ SS นั้นมีการนำคำศัพท์เฉพาะมาใช้ซึ่งมีสาระสำคัญดังนี้:

• นิดหน่อย - เลขฐานสองซึ่งประกอบด้วยสององค์ประกอบที่มีความหมายบางอย่าง วางทางด้านซ้ายหมายถึงผู้อาวุโสและเป็นลำดับความสำคัญ และทางด้านขวาคือผู้เยาว์ซึ่งมีนัยสำคัญน้อยกว่า
• ไบต์เป็นหน่วยที่ประกอบด้วย แปดบิต.

โมดูลจำนวนมากรับรู้และประมวลผลข้อมูล ในส่วนหรือคำพูด- ทุกคำมี น้ำหนักที่แตกต่างกันและอาจประกอบด้วย 8, 16 หรือ 32 บิต.

กฎสำหรับการถ่ายโอนจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง

หนึ่งใน ปัจจัยที่สำคัญที่สุดเลขคณิตของเครื่องจักรคือ ถ่ายโอนจาก SS หนึ่งไปยังอีก SS- ดังนั้นให้เราใส่ใจกับอัลกอริธึมพื้นฐานสำหรับการดำเนินการที่จะแสดงวิธีการแปลงตัวเลขเป็นระบบไบนารี่

การแปลงระบบทศนิยมให้เป็นไบนารี

ก่อนอื่น ให้เราหันมาที่คำถามว่าจะแปลงระบบจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานสองได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ก็มี กฎการแปลจาก ตัวเลขทศนิยมวี รหัสไบนารี่ซึ่งหมายถึง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์.

ต้องใช้ตัวเลขที่เขียนในรูปแบบทศนิยม หารด้วย 2- หารต่อไปจนกว่าจะไม่มีผลหารแล้ว. หน่วย- หากจำเป็นต้องใช้ระบบเลขฐานสอง การแปลจะดำเนินการดังนี้:

186:2=93 (เหลือ 0)

93:2=46 (พัก 1)

46:2=23 (เหลือ 0)

23:2=11 (พัก 1)

11:2=5 (เหลือ 1)

5:2=2 (พัก.1)

หลังจากกระบวนการหารเสร็จสิ้น ให้เขียนหนึ่งในผลหารและเขียนเศษทั้งหมดตามลำดับ ในลำดับย้อนกลับของการแบ่ง- นั่นคือ 18610=1111010 ต้องปฏิบัติตามกฎสำหรับการแปลงเลขทศนิยมเป็น SS เสมอ

การแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมให้เป็นไบนารี

การแปลงจาก SS ทศนิยมเป็นฐานแปด

มีการปฏิบัติตามกระบวนการที่คล้ายกันเมื่อแปลงจาก SS ทศนิยมเป็นฐานแปด มันยังถูกเรียกว่า " กฎการทดแทน- หากในตัวอย่างก่อนหน้านี้ข้อมูลถูกหารด้วย 2 แสดงว่าจำเป็น หารด้วย 8.อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลข X10 เป็นฐานแปดประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. จำนวน X10 เริ่มหารด้วย 8 เราใช้ผลหารผลลัพธ์สำหรับการหารถัดไปและส่วนที่เหลือเขียนเป็น บิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด.
2. เราหารต่อไปจนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ของผลหารเท่ากัน ศูนย์หรือเศษเหลือตามมูลค่าของมัน น้อยกว่าแปด- ในกรณีนี้ เราจะเขียนส่วนที่เหลือทั้งหมดเป็น บิตลำดับต่ำ.

เช่น คุณต้องแปลงตัวเลข 160110 เป็นเลขฐานแปด

1601:8=200 (เหลือ 1)

200:8=25 (เหลือ 0)

25:8=3 (พัก.1)

ดังนั้นเราจึงได้: 161010=31018

แปลงจากทศนิยมเป็นฐานแปด

เขียนเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสิบหก

การแปลงจากเลขฐานสิบเป็น SS เลขฐานสิบหกนั้นดำเนินการในทำนองเดียวกันโดยใช้ระบบการทดแทน แต่นอกจากตัวเลขแล้วยังใช้อีกด้วย ตัวอักษรของอักษรละติน A, B, C, D, E, F โดยที่ A หมายถึงเศษ 10 และ F แทนเศษ 15 จำนวนทศนิยมหารด้วย 16 ตัวอย่างเช่น แปลง 10710 เป็นเลขฐานสิบหก:

107:16=6 (เหลือ 11 – แทนที่ B)

6 น้อยกว่าสิบหก เราหยุดหารแล้วเขียน 10710 = 6B16

การย้ายจากระบบอื่นไปเป็นไบนารี

คำถามต่อไปคือวิธีการแปลงตัวเลขจากฐานแปดเป็นไบนารี่ การแปลงตัวเลขจากระบบใดๆ ให้เป็นไบนารี่นั้นค่อนข้างง่าย ผู้ช่วยในเรื่องนี้คือ ตารางระบบตัวเลข.

ลองดูที่หนึ่งในนั้น หัวข้อที่สำคัญที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์ - . ใน หลักสูตรของโรงเรียนมันถูกเปิดเผยค่อนข้าง "เจียมเนื้อเจียมตัว" ส่วนใหญ่เกิดจากการไม่มีเวลาจัดสรร ความรู้ในหัวข้อนี้โดยเฉพาะในเรื่อง การแปลระบบตัวเลข, เป็น ข้อกำหนดเบื้องต้นเพื่อสอบผ่าน Unified State และเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยในคณะที่เกี่ยวข้องได้สำเร็จ ด้านล่างเราจะหารือในแนวคิดรายละเอียดเช่น ระบบจำนวนตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่งมีตัวอย่างระบบตัวเลขเหล่านี้มาให้ กฎการแปลเลขทศนิยมจำนวนเต็ม ถูกต้อง ทศนิยมและเลขฐานสิบผสมเป็นระบบตัวเลขอื่น การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม การแปลงจากระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกเป็นระบบเลขฐานสอง ในการสอบใน ปริมาณมากมีปัญหาในหัวข้อนี้ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้เป็นหนึ่งในข้อกำหนดสำหรับผู้สมัคร เร็วๆ นี้: สำหรับแต่ละหัวข้อของส่วน นอกเหนือจากเนื้อหาทางทฤษฎีโดยละเอียดแล้ว เกือบทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้ งานสำหรับ การศึกษาด้วยตนเอง- นอกจากนี้คุณจะมีโอกาสดาวน์โหลดไฟล์สำเร็จรูปจากบริการโฮสต์ไฟล์ได้ฟรี โซลูชั่นโดยละเอียดในงานเหล่านี้ เป็นการแสดงให้เห็น วิธีต่างๆได้รับคำตอบที่ถูกต้อง

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง- ระบบตัวเลขซึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข

ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ได้แก่ ระบบโรมัน โดยที่แทนที่จะใช้ตัวเลขจะมีตัวอักษรละติน

ฉัน	1 (หนึ่ง)
วี	5 (ห้า)
เอ็กซ์	10 (สิบ)
ล	50 (ห้าสิบ)
ค	100 (หนึ่งร้อย)
ดี	500 (ห้าร้อย)
ม	1,000 (พัน)

ในที่นี้ตัวอักษร V ย่อมาจาก 5 โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของตัวอักษร อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าถึงแม้ระบบเลขโรมันเป็นตัวอย่างคลาสสิกของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง แต่ก็ไม่ได้ไม่ใช่ระบบตัวเลขเชิงตำแหน่งทั้งหมด เนื่องจาก จำนวนที่น้อยกว่าที่อยู่ข้างหน้าจำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออก:

อิลลินอยส์	49 (50-1=49)
วี	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
มิชิแกน	1001 (1000+1=1001)

ระบบตัวเลขตำแหน่ง

ระบบตัวเลขตำแหน่ง- ระบบตัวเลขซึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข

ตัวอย่างเช่นถ้าเราพูดถึงระบบเลขฐานสิบในเลข 700 เลข 7 หมายถึง "เจ็ดร้อย" แต่ตัวเลขเดียวกันในเลข 71 หมายถึง "เจ็ดสิบ" และในเลข 7020 - "เจ็ดพัน" .

แต่ละ ระบบหมายเลขตำแหน่งมีของตัวเอง ฐาน- เลือกจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหรือเท่ากับสองเป็นฐาน เท่ากับจำนวนหลักที่ใช้ในระบบตัวเลขที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น:
• ไบนารี่- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 2
• ควอเตอร์นารี- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 4
• ห้าเท่า- ระบบเลขตำแหน่งที่มีฐาน 5
• ออกตัล- ระบบเลขตำแหน่งที่มีฐาน 8
• เลขฐานสิบหก- ระบบเลขตำแหน่งมีฐาน 16

เพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อ "ระบบตัวเลข" ได้สำเร็จ นักเรียนจะต้องรู้ด้วยใจถึงความสอดคล้องของเลขฐานสอง ทศนิยม ฐานแปด และเลขฐานสิบหก มากถึง 16 10:

10 วินาที/วินาที	2 วินาที/วินาที	8 วินาที/วินาที	16 วินาที/วินาที
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	ก
11	1011	13	บี
12	1100	14	ค
13	1101	15	ดี
14	1110	16	อี
15	1111	17	เอฟ
16	10000	20	10

การทราบว่าตัวเลขได้มาในระบบตัวเลขเหล่านี้มีประโยชน์อย่างไร คุณสามารถเดาได้ว่าเป็นฐานแปด เลขฐานสิบหก ไตรภาค และอื่นๆ ระบบตำแหน่งการคำนวณที่ตายแล้วทุกอย่างเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกับระบบทศนิยมที่เราคุ้นเคย:

มีการเพิ่มหมายเลขหนึ่งเข้าไปในหมายเลขและได้รับหมายเลขใหม่ หากหลักหน่วยเท่ากับฐานของระบบตัวเลข เราจะเพิ่มจำนวนหลักสิบขึ้น 1 เป็นต้น

“การเปลี่ยนแปลงของสิ่งหนึ่ง” นี้เป็นสิ่งที่ทำให้นักเรียนส่วนใหญ่หวาดกลัว ที่จริงแล้วทุกอย่างค่อนข้างง่าย การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นหากหลักหน่วยมีค่าเท่ากับ ฐานตัวเลขเราเพิ่มจำนวนสิบด้วย 1 หลายคนที่จำระบบทศนิยมเก่าที่ดีได้สับสนทันทีเกี่ยวกับตัวเลขในช่วงการเปลี่ยนภาพนี้ เพราะทศนิยมและตัวอย่างเช่น สิบไบนารีเป็นสิ่งที่แตกต่างกัน

ดังนั้น นักเรียนที่มีไหวพริบจึงมี “วิธีการของตนเอง” (น่าแปลกที่... ได้ผล) เมื่อกรอกข้อมูล เช่น ตารางความจริง คอลัมน์แรก (ค่าตัวแปร) ที่มีการกรอกตามจริง เลขฐานสองตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ตัวอย่างเช่น ลองดูที่การรับตัวเลขเข้า ระบบฐานแปด: เราบวก 1 เข้ากับตัวเลขแรก (0) เราได้ 1 จากนั้นเราบวก 1 ต่อ 1 เราได้ 2 เป็นต้น ถึง 7 ถ้าเราบวกหนึ่งเข้ากับ 7 เราจะได้ตัวเลขที่เท่ากับฐานของระบบตัวเลข กล่าวคือ 8. จากนั้นคุณต้องเพิ่มหลักสิบทีละหนึ่ง (เราได้เลขฐานสิบ - 10) ถัดมาเป็นเลข 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

กฎสำหรับการแปลงจากระบบตัวเลขหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง

1 การแปลงเลขฐานสิบจำนวนเต็มเป็นระบบตัวเลขอื่น

ต้องหารจำนวนด้วย ฐานระบบตัวเลขใหม่- เศษแรกของการหารคือหลักรองแรกของตัวเลขใหม่ ถ้าผลหารของการหารน้อยกว่าหรือเท่ากับฐานใหม่ ก็จะต้องหารมัน (ผลหาร) ด้วยฐานใหม่อีกครั้ง การหารต้องดำเนินต่อไปจนกว่าเราจะได้ผลหารน้อยกว่าฐานใหม่ นี่คือหลักสูงสุดของตัวเลขใหม่ (คุณต้องจำไว้ว่าตัวอย่างเช่นในระบบเลขฐานสิบหกหลังจาก 9 จะมีตัวอักษรเช่นถ้าเศษคือ 11 คุณต้องเขียนเป็น B)

ตัวอย่าง ("การหารด้วยมุม"): ลองแปลงตัวเลข 173 10 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน

ดังนั้น 173 10 =255 8

2 การแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นระบบตัวเลขอื่นๆ

จำนวนจะต้องคูณด้วยฐานระบบตัวเลขใหม่ ตัวเลขที่กลายเป็นส่วนจำนวนเต็มคือตัวเลขที่สูงที่สุดของเศษส่วนของตัวเลขใหม่ เพื่อให้ได้ตัวเลขถัดไป ส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์จะต้องคูณด้วยฐานใหม่ของระบบตัวเลขอีกครั้งจนกระทั่งเกิดการเปลี่ยนไปใช้ส่วนทั้งหมด เราคูณต่อไปจนกระทั่ง ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะไม่เท่ากับศูนย์หรือจนกว่าเราจะไปถึงความแม่นยำที่ระบุในปัญหา (“... คำนวณด้วยความแม่นยำ เช่น ทศนิยมสองตำแหน่ง”)

ตัวอย่าง: ลองแปลงตัวเลข 0.65625 10 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน