Kila safu ya matrix A inaonyeshwa na e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (kwa mfano,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), nk). Kila moja yao ni matrix ya safu ambayo inaweza kuzidishwa na nambari au kuongezwa kwa safu nyingine kulingana na sheria za jumla za kufanya kazi na matrices.

Mchanganyiko wa mstari Mistari e l , e 2 ,...e k inaitwa jumla ya bidhaa za mistari hii kwa nambari halisi za kiholela:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, ambapo l l, l 2,..., l k ni nambari za kiholela (coefficients ya mchanganyiko wa mstari).

Safu za matrix e l , e 2 ,...e m zinaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna nambari l l , l 2 ,..., l m ambazo si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, ili mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix ni sawa na safu ya sifuri:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, ambapo 0 = (0 0...0).

Uhusiano wa mstari kati ya safu za matrix inamaanisha kuwa angalau safu moja ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa zingine. Kwa hakika, kwa uhakika, acha mgawo wa mwisho l m ¹ 0. Kisha, tukigawanya pande zote mbili za usawa na l m, tunapata usemi wa mstari wa mwisho kama mchanganyiko wa mstari wa mistari iliyobaki:
e m = (l l /l m) e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m) e m-1.

Ikiwa mchanganyiko wa mstari wa safu ni sawa na sifuri ikiwa na ikiwa tu migawo yote ni sawa na sifuri, i.e. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, basi mistari inaitwa kujitegemea linearly.

Nadharia ya kiwango cha Matrix. Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu mlalo au safu wima zinazojitegemea kimstari ambapo safu mlalo au safu wima zake zingine zote zinaweza kuonyeshwa kwa mstari.

Hebu tuthibitishe nadharia hii. Acha matrix A ya ukubwa m x n iwe na kiwango r (r(A) £ min (m; n)). Kwa hivyo, kuna nonzero ndogo ya utaratibu wa rth. Tutaita kila mdogo kama huyo msingi. Hebu iwe ni mdogo kuwa wazi

Mistari ya mdogo huyu pia itaitwa msingi.

Hebu tuthibitishe kwamba basi safu za matrix e l , e 2 ,...e r zinajitegemea kwa mstari. Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. moja ya safu hizi, kwa mfano r-th, ni mchanganyiko wa mstari wa wengine: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Kisha, ikiwa tunaondoa vipengele vya safu ya r-th safu ya 1 iliyozidishwa na l l, vipengele vya safu ya 2 vinazidishwa na l 2, nk, hatimaye, vipengele vya safu ya (r-1) iliyozidishwa na l r-1, kisha r-th. safu itakuwa sifuri. Katika kesi hii, kulingana na mali ya kiashiria, kiashiria hapo juu haipaswi kubadilika, na wakati huo huo kinapaswa kuwa sawa na sifuri. Ukinzani hupatikana na uhuru wa mstari wa safu unathibitishwa.

Sasa tunathibitisha kwamba safu yoyote (r+1) ya matrix inategemea mstari, i.e. kamba yoyote inaweza kuonyeshwa kwa misingi ya msingi.

Wacha tuongezee ndogo iliyozingatiwa hapo awali na safu moja zaidi (i-th) na safu moja zaidi (j-th). Matokeo yake, tunapata utaratibu mdogo wa (r+1), ambao kwa ufafanuzi wa cheo ni sawa na sifuri.

Kumbuka kuwa safu na safu wima za matrix zinaweza kuzingatiwa kama vekta za hesabu za vipimo. m Na n, kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, matrix ya saizi inaweza kufasiriwa kama seti m n-enye mwelekeo au n m-vekta za hesabu za dimensional. Kwa mlinganisho na vekta za kijiometri, tunaanzisha dhana za utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa safu na safu za matrix.

4.8.1. Ufafanuzi. Mstari
kuitwa mchanganyiko wa mstari wa masharti na tabia mbaya
, ikiwa vipengele vyote vya mstari huu vina usawa ufuatao:

,
.

4.8.2. Ufafanuzi.

Kamba
zinaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna mchanganyiko usio na maana wa mstari wao sawa na safu ya sifuri, i.e. kuna nambari ambazo sio sawa na sifuri

,
.

4.8.3. Ufafanuzi.

Kamba
zinaitwa kujitegemea linearly, ikiwa tu mchanganyiko wao mdogo wa mstari ni sawa na safu ya sifuri, i.e.

,

4.8.4. Nadharia. (Kigezo cha utegemezi wa mstari wa safu za matrix)

Ili safu ziwe tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba angalau moja yao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

Uthibitisho:

Umuhimu. Wacha mistari
zinategemea mstari, basi kuna mchanganyiko usio wa kawaida wa mstari wao sawa na safu ya sifuri:

.

Bila kupoteza kwa ujumla, fikiria kuwa ya kwanza ya coefficients ya mchanganyiko wa mstari ni nonzero (vinginevyo, safu zinaweza kuhesabiwa tena). Kugawanya uwiano huu kwa , tunapata

,

yaani, safu ya kwanza ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

Utoshelevu. Acha moja ya mistari, kwa mfano, , ni mchanganyiko wa mstari wa wengine, basi

yaani, kuna mchanganyiko usio na maana wa mstari wa kamba
, sawa na mfuatano wa sifuri:

ambayo ina maana ya mistari
zinategemeana kimstari, jambo ambalo lilihitaji kuthibitishwa.

Maoni.

Ufafanuzi na taarifa zinazofanana zinaweza kutengenezwa kwa safu wima za matrix.

§4.9. Kiwango cha Matrix.

4.9.1. Ufafanuzi. Ndogo agizo matrices ukubwa
inayoitwa kiambishi cha agizo yenye vipengele vilivyo kwenye makutano ya baadhi yake mistari na nguzo.

4.9.2. Ufafanuzi. Mpangilio mdogo usio na sifuri matrices ukubwa
kuitwa msingi mdogo, ikiwa watoto wote wa matrix ni wa utaratibu
ni sawa na sifuri.

Maoni. Matrix inaweza kuwa na watoto wa msingi kadhaa. Kwa wazi, wote watakuwa wa utaratibu sawa. Inawezekana pia kwamba tumbo ukubwa
utaratibu mdogo ni tofauti na sifuri, na watoto ni wa utaratibu
haipo, yaani
.

4.9.3. Ufafanuzi. Safu (safu) zinazounda msingi mdogo huitwa msingi safu (safu).

4.9.4. Ufafanuzi. Cheo ya matrix inaitwa mpangilio wa msingi wake mdogo. Kiwango cha Matrix iliyoonyeshwa na
au
.

Maoni.

Kumbuka kuwa kutokana na usawa wa safu mlalo na safu wima za kibainishi, kiwango cha matriki haibadiliki inapobadilishwa.

4.9.5. Nadharia. (Kubadilika kwa kiwango cha matrix chini ya mabadiliko ya kimsingi)

Kiwango cha matrix haibadilika wakati wa mabadiliko yake ya kimsingi.

Hakuna uthibitisho.

4.9.6. Nadharia. (Kuhusu mdogo wa msingi).

Safu mlalo (safu) zinajitegemea kimstari. Safu mlalo yoyote (safu wima) ya matriki inaweza kuwakilishwa kama mseto wa safu mlalo za msingi (safu wima).

Uthibitisho:

Hebu tufanye ushahidi kwa masharti. Uthibitisho wa taarifa kwa nguzo unaweza kufanywa kwa mlinganisho.

Hebu cheo cha tumbo ukubwa
sawa , A
− msingi mdogo. Bila upotezaji wa jumla, tunadhania kuwa msingi mdogo iko kwenye kona ya juu kushoto (vinginevyo, matrix inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi):

.

Hebu kwanza tuthibitishe uhuru wa mstari wa safu za msingi. Tutatekeleza uthibitisho kwa kupingana. Wacha tufikirie kuwa safu za msingi zinategemea mstari. Kisha, kulingana na Nadharia 4.8.4, moja ya nyuzi inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa kamba za msingi zilizobaki. Kwa hivyo, ikiwa tunaondoa mchanganyiko maalum wa mstari kutoka kwa safu hii, tunapata safu ya sifuri, ambayo inamaanisha kuwa ndogo.
ni sawa na sifuri, ambayo inapingana na ufafanuzi wa msingi mdogo. Kwa hivyo, tumepata ukinzani; kwa hivyo, uhuru wa mstari wa safu za msingi umethibitishwa.

Wacha sasa tuthibitishe kuwa kila safu ya matrix inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa safu za msingi. Ikiwa nambari ya mstari katika swali kutoka 1 hadi r, basi, ni wazi, inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari na mgawo sawa na 1 kwa mstari. na mgawo wa sifuri kwa safu zilizobaki. Hebu sasa tuonyeshe kwamba ikiwa nambari ya mstari kutoka
kabla
, inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa kamba za msingi. Fikiria ndogo ya matrix
, iliyopatikana kutoka kwa msingi mdogo
kuongeza mstari na safu ya kiholela
:

Hebu tuonyeshe kwamba huyu mdogo
kutoka
kabla
na kwa nambari yoyote ya safu kutoka 1 hadi .

Hakika, ikiwa nambari ya safu kutoka 1 hadi r, basi tunayo kiangazio kilicho na safu wima mbili zinazofanana, ambazo ni wazi ni sawa na sifuri. Ikiwa nambari ya safu kutoka r+1 kwa , na nambari ya mstari kutoka
kabla
, Hiyo
ni ndogo ya matriki ya asili ya mpangilio wa juu kuliko msingi mdogo, ambayo ina maana kwamba ni sawa na sifuri kutoka kwa ufafanuzi wa msingi mdogo. Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa mdogo
ni sifuri kwa nambari yoyote ya mstari kutoka
kabla
na kwa nambari yoyote ya safu kutoka 1 hadi . Kuipanua juu ya safu ya mwisho, tunapata:

Hapa
− nyongeza za aljebra zinazolingana. taarifa, hiyo
, kwani kwa hiyo
ni dogo la msingi. Kwa hiyo, vipengele vya mstari k inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vipengele vinavyolingana vya safu za msingi na coefficients isiyotegemea nambari ya safu. :

Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa safu mlalo ya kiholela inaweza kuwakilishwa kama mseto wa safu mlalo za msingi. Nadharia imethibitishwa.

Hotuba ya 13

4.9.7. Nadharia. (Kwenye safu ya matrix ya mraba isiyo ya umoja)

Ili matrix ya mraba isiwe ya umoja, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha tumbo ni sawa na saizi ya matrix hii.

Uthibitisho:

Umuhimu. Acha matrix ya mraba ukubwa n ni yasiyo ya kuzorota, basi
, kwa hivyo, kiamua cha matrix ni msingi mdogo, i.e.

Utoshelevu. Hebu
basi mpangilio wa msingi mdogo ni sawa na saizi ya tumbo, kwa hivyo msingi mdogo ndio kiamua cha tumbo. , i.e.
kwa ufafanuzi wa mtoto wa msingi.

Matokeo.

Ili matrix ya mraba isiwe ya umoja, ni muhimu na ya kutosha kwamba safu zake ziwe huru kwa mstari.

Uthibitisho:

Umuhimu. Kwa kuwa matrix ya mraba sio ya umoja, kiwango chake ni sawa na saizi ya tumbo
Hiyo ni, kiashiria cha tumbo ni msingi mdogo. Kwa hivyo, kwa nadharia 4.9.6 kwa msingi mdogo, safu za matrix zinajitegemea kwa mstari.

Utoshelevu. Kwa kuwa safu zote za matrix zinajitegemea kwa mstari, kiwango chake sio chini ya saizi ya matrix, ambayo inamaanisha.
kwa hiyo, kwa Nadharia 4.9.7 iliyopita, tumbo haina uharibifu.

4.9.8. Njia ya kupakana na watoto kupata kiwango cha matrix.

Kumbuka kuwa sehemu ya njia hii tayari imeelezewa kwa uwazi katika uthibitisho wa nadharia ndogo ya msingi.

4.9.8.1. Ufafanuzi. Ndogo
kuitwa inayopakana jamaa na mdogo
, ikiwa hupatikana kutoka kwa mtoto mdogo
kwa kuongeza safu mlalo moja mpya na safu wima mpya kwenye matrix asili.

4.9.8.2. Utaratibu wa kutafuta kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya watoto wanaopakana.

Tunapata ndogo yoyote ya sasa ya matrix ambayo ni tofauti na sifuri.

Tunahesabu watoto wote wanaopakana nayo.

Ikiwa zote ni sawa na sifuri, basi mdogo wa sasa ni msingi, na kiwango cha tumbo ni sawa na utaratibu wa mdogo wa sasa.

Ikiwa kati ya watoto wa mpaka kuna angalau moja isiyo ya sifuri, basi inachukuliwa kuwa ya sasa na utaratibu unaendelea.

Kutumia njia ya watoto wanaopakana, tunapata kiwango cha matrix

.

Ni rahisi kutaja utaratibu mdogo wa sasa usio na sifuri, k.m.

.

Tunahesabu watoto wanaopakana nayo:

Kwa hiyo, kwa kuwa watoto wote wanaopakana wa utaratibu wa tatu ni sawa na sifuri, basi mdogo
ni ya msingi, yaani

Maoni. Kutoka kwa mfano unaozingatiwa, ni wazi kwamba njia hiyo ni ya kazi sana. Kwa hivyo, katika mazoezi, njia ya mabadiliko ya kimsingi hutumiwa mara nyingi zaidi, ambayo itajadiliwa hapa chini.

4.9.9. Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi.

Kulingana na Nadharia 4.9.5, inaweza kubishaniwa kuwa kiwango cha matrix haibadilika chini ya mabadiliko ya kimsingi (yaani, safu za matrices sawa ni sawa). Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni sawa na kiwango cha matrix ya hatua iliyopatikana kutoka kwa ile ya asili kwa mabadiliko ya kimsingi. Kiwango cha matrix ya hatua ni dhahiri sawa na idadi ya safu zisizo za sifuri.

Wacha tuamue kiwango cha matrix

kwa njia ya mabadiliko ya kimsingi.

Wacha tuwasilishe matrix kwa mtazamo wa hatua:

Idadi ya safu zisizo za sifuri za matrix ya echelon inayosababishwa ni tatu, kwa hivyo,

4.9.10. Cheo cha mfumo wa vekta za anga za mstari.

Fikiria mfumo wa vekta
nafasi fulani ya mstari . Ikiwa inategemea mstari, basi mfumo mdogo wa kujitegemea wa mstari unaweza kutofautishwa ndani yake.

4.9.10.1. Ufafanuzi. Kiwango cha mfumo wa vector
nafasi ya mstari idadi ya juu ya vectors huru ya mfumo huu inaitwa. Kiwango cha mfumo wa Vector
iliyoashiria kama
.

Maoni. Ikiwa mfumo wa vectors ni huru kwa mstari, basi cheo chake ni sawa na idadi ya vectors katika mfumo.

Wacha tuunda nadharia inayoonyesha uhusiano kati ya dhana ya safu ya mfumo wa vekta kwenye nafasi ya mstari na safu ya matrix.

4.9.10.2. Nadharia. (Kwenye safu ya mfumo wa vekta kwenye nafasi ya mstari)

Kiwango cha mfumo wa vekta katika nafasi ya mstari ni sawa na kiwango cha matrix ambayo nguzo au safu ni viwianishi vya vekta katika misingi fulani ya nafasi ya mstari.

Hakuna uthibitisho.

Matokeo.

Ili mfumo wa vekta katika nafasi ya mstari kuwa huru kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix, safu au safu ambazo ni kuratibu za vekta kwa msingi fulani, ni sawa na idadi ya vekta kwenye mfumo.

Ushahidi ni dhahiri.

4.9.10.3. Theorem (Kwenye mwelekeo wa ganda la mstari).

Kipimo cha vekta za sehemu za mstari
nafasi ya mstari sawa na kiwango cha mfumo huu wa vekta:

Hakuna uthibitisho.

Dhana ya cheo cha matrix inahusiana kwa karibu na dhana ya utegemezi wa mstari (kujitegemea) wa safu mlalo au safu wima zake. Katika siku zijazo tutawasilisha nyenzo kwa safu; kwa safu uwasilishaji ni sawa.

Katika tumbo A Wacha tuonyeshe mistari yake kama ifuatavyo:

, , …. ,

Safu mbili za matrix zinasemekana kuwa sawa, ikiwa vipengele vyao vinavyolingana ni sawa: , ikiwa , .

Operesheni za hesabu kwenye safu mlalo za matrix (kuzidisha safu kwa nambari, kuongeza safu) hutambulishwa kama shughuli zinazofanywa kipengele-kwa-kipengele:

Mstari e inayoitwa mchanganyiko wa mstari wa kamba..., matrix, ikiwa ni sawa na jumla ya bidhaa za safu hizi kwa nambari halisi za kiholela:

Safu za matrix zinaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna nambari ambazo si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, ili mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix ni sawa na safu mlalo sifuri:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Nadharia 3.3Safu za matrix hutegemea mstari ikiwa angalau safu moja ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa zingine.

□ Kwa hakika, acha, kwa uhakika, katika fomula (3.3) , Kisha

Kwa hivyo, safu ni mchanganyiko wa mstari wa safu zilizobaki. ■

Ikiwa mchanganyiko wa mstari wa safu mlalo (3.3) ni sawa na sifuri ikiwa na ikiwa tu migawo yote ni sawa na sifuri, basi safumlalo huitwa huru kwa mstari.

Nadharia 3.4.(kuhusu kiwango cha matrix) Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu mlalo au safu wima zinazojitegemea kwa mstari ambapo safu mlalo nyingine zote (safu wima) zinaonyeshwa kwa mstari.

□ Acha matrix A size m n ina cheo r(r min). Hii ina maana kwamba kuna asiye na sifuri mdogo r- utaratibu. Mdogo yeyote asiye na sifuri r Agizo la th litaitwa msingi mdogo.

Kwa uhakika, acha msingi uwe mdogo inayoongoza au ndogo ya kona. Kisha safu za matrix zinajitegemea kwa mstari. Hebu tuchukulie kinyume, yaani, moja ya kamba hizi, kwa mfano, ni mchanganyiko wa mstari wa wengine. Ondoa kutoka kwa vipengele r- ya safu ya 1, vitu vya safu ya 1, vinazidishwa na , kisha vitu vya safu ya 2, vinazidishwa na , ... na vitu ( r- 1) - safu mlalo zikizidishwa na . Kulingana na mali 8, na mabadiliko kama haya ya matrix kiashiria chake D hakitabadilika, lakini tangu r- safu sasa itakuwa na sifuri tu, basi D = 0 ni mkanganyiko. Kwa hivyo, dhana yetu kwamba safu za matrix zinategemea mstari sio sahihi.

Wacha tuite mistari msingi. Hebu tuonyeshe kwamba safu yoyote (r+1) ya matrix inategemea mstari, i.e. kamba yoyote inaonyeshwa kwa misingi ya msingi.

Wacha tuchunguze kidogo (r +1) ya mpangilio wa kwanza, ambayo hupatikana kwa kuongezea mdogo anayehusika na vitu vya safu nyingine. i na safu j. Kidogo hiki ni sifuri kwani kiwango cha tumbo ni r, kwa hivyo kiwango chochote cha juu kidogo ni sifuri.

Kupanua kulingana na vipengele vya safu ya mwisho (iliyoongezwa), tunapata

Ambapo moduli ya kijalizo cha mwisho cha aljebra inalingana na msingi mdogo D na kwa hiyo tofauti na sifuri, i.e. 0.

ziko wapi nambari fulani (baadhi ya nambari hizi au hata zote zinaweza kuwa sawa na sifuri). Hii ina maana kwamba kuna usawa ufuatao kati ya vipengele vya safu:

Kutoka (3.3.1) inafuata hiyo

Ikiwa usawa (3.3.3) ni kweli ikiwa na tu ikiwa , basi safu huitwa huru kwa mstari. Uhusiano (3.3.2) unaonyesha kwamba ikiwa moja ya safu imeonyeshwa kwa mstari kulingana na nyingine, basi safu zinategemea mstari.

Ni rahisi kuona kinyume: ikiwa masharti yanategemea mstari, basi kuna kamba ambayo itakuwa mchanganyiko wa mstari wa kamba zilizobaki.

Hebu, kwa mfano, katika (3.3.3), basi .

Ufafanuzi. Acha mpangilio fulani wa r-th utambulishwe katika matrix A, na acha mpangilio mdogo wa (r+1)-th wa matrix sawa iwe na madogo . Tutasema kwamba katika kesi hii mdogo hupakana na mdogo (au anapakana kwa ).

Sasa tutathibitisha lemma muhimu.

Lema kuhusu watoto wanaopakana. Ikiwa mpangilio mdogo r wa matrix A= ni tofauti na sifuri, na watoto wote wanaopakana nayo ni sawa na sifuri, basi safu yoyote (safu) ya matrix A ni mchanganyiko wa mstari wa safu (safu wima) zinazounda .

Ushahidi. Bila kupoteza jumla ya hoja, tutadhani kwamba mtoto asiye na sifuri wa mpangilio wa rth yuko kwenye kona ya juu kushoto ya matrix A =:

.

Kwa safu za kwanza za matrix A, taarifa ya lemma ni dhahiri: inatosha kuingiza katika mchanganyiko wa mstari mstari sawa na mgawo sawa na moja, na wengine - na coefficients sawa na sifuri.

Hebu sasa tuthibitishe kwamba safu mlalo zilizobaki za matrix A zinaonyeshwa kwa mstari kupitia safu za k za kwanza. Ili kufanya hivyo, tunaunda mpangilio mdogo wa (r+1) kwa kuongeza mstari wa kth () kwa mdogo na. l safu wima ():

.

Kidogo kinachotokana ni sawa na sifuri kwa k na l zote. If , basi ni sawa na sufuri kama iliyo na safu wima mbili zinazofanana. Ikiwa , basi mdogo anayesababisha ni mdogo wa makali kwa na, kwa hiyo, ni sawa na sifuri kwa masharti ya lemma.

Wacha tutengeneze madogo kulingana na mambo ya mwisho l safu ya th:

Kwa kudhani, tunapata:

(3.3.6)

Usemi (3.3.6) unamaanisha kuwa safu mlalo ya kth ya matrix A inaonyeshwa kwa mstari kupitia safu mlalo za kwanza.

Kwa kuwa wakati tumbo linapopitishwa, maadili ya watoto wake hayabadilika (kwa sababu ya mali ya viashiria), basi kila kitu kilichothibitishwa pia ni kweli kwa safu. Nadharia imethibitishwa.

Corollary I. Safu yoyote (safu) ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa safu zake za msingi (safu). Hakika, msingi mdogo wa matrix ni nonzero, na watoto wote wanaopakana nayo ni sawa na sifuri.

Muhimu II. Kiamuzi cha mpangilio wa nth ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa ina safu tegemezi za mstari (safu). Utoshelevu wa utegemezi wa mstari wa safu mlalo (safu wima) kwa kibainishi kuwa sawa na sufuri ulithibitishwa mapema kama sifa ya vibainishi.

Hebu kuthibitisha umuhimu. Wacha tupewe matrix ya mraba ya mpangilio wa nth ambayo ndogo tu ni sifuri. Inafuata kwamba kiwango cha matrix hii ni chini ya n, i.e. kuna angalau safu mlalo moja ambayo ni mchanganyiko wa mstari wa safu za msingi za matriki hii.

Wacha tuthibitishe nadharia nyingine juu ya kiwango cha matrix.

Nadharia. Idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea kwa mstari wa matriki ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu wima zake zinazojitegemea kimstari na ni sawa na kiwango cha tumbo hili.

Ushahidi. Acha safu ya matrix A= iwe sawa na r. Kisha safu zake zozote za msingi za k zinajitegemea kimstari, vinginevyo msingi mdogo utakuwa sawa na sifuri. Kwa upande mwingine, safu mlalo zozote za r+1 au zaidi zinategemeana. Kwa kuchukulia kinyume chake, tunaweza kupata mpangilio mdogo zaidi kuliko r ambao ni nonzero na Corollary 2 ya lema iliyopita. Mwisho unapingana na ukweli kwamba utaratibu wa juu wa watoto wasio na sifuri ni r. Kila kitu kilichothibitishwa kwa safu ni kweli kwa safu wima.

Kwa kumalizia, tutaelezea njia nyingine ya kupata kiwango cha matrix. Kiwango cha matrix kinaweza kuamuliwa kwa kupata mpangilio mdogo wa kiwango cha juu ambacho ni tofauti na sifuri.

Kwa mtazamo wa kwanza, hii inahitaji hesabu ya mwisho, lakini labda idadi kubwa sana ya watoto wa matrix hii.

Nadharia ifuatayo inaruhusu, hata hivyo, kuanzisha urahisishaji muhimu katika hili.

Nadharia. Ikiwa ndogo ya matrix A sio sifuri, na watoto wote wanaopakana nayo ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na r.

Ushahidi. Inatosha kuonyesha kwamba mfumo wowote mdogo wa safu mlalo za matrix kwa S>r utategemea kimstari chini ya masharti ya nadharia (itafuata kwamba r ni idadi ya juu zaidi ya safu mlalo za matriki zinazojitegemea kimstari au ndogo zake za mpangilio kubwa kuliko k. ni sawa na sifuri).

Hebu tuchukulie kinyume. Acha safu ziwe huru kwa mstari. Kwa lemma kuhusu watoto wanaopakana, kila moja yao itaonyeshwa kwa mstari kulingana na mistari iliyo na mdogo na ambayo, kwa sababu ya ukweli kwamba sio sifuri, inajitegemea kwa mstari:

Sasa fikiria mchanganyiko wa mstari ufuatao:

au

Kwa kutumia (3.3.7) na (3.3.8), tunapata

,

ambayo inakinzana na uhuru wa safu mlalo.

Kwa hivyo, dhana yetu si sahihi na, kwa hivyo, safu mlalo zozote za S>r chini ya masharti ya nadharia hutegemea kimstari. Nadharia imethibitishwa.

Hebu fikiria sheria ya kuhesabu kiwango cha matrix - njia ya watoto wanaopakana, kulingana na theorem hii.

Wakati wa kuhesabu kiwango cha matrix, mtu anapaswa kuhama kutoka kwa watoto wa chini hadi kwa watoto wa maagizo ya juu. Ikiwa mdogo wa utaratibu wa rth, tofauti na sifuri, tayari amepatikana, basi ni muhimu kuhesabu watoto tu wa utaratibu wa (r + 1) unaopakana na mdogo. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na r. Njia hii pia hutumiwa ikiwa hatuhesabu tu kiwango cha matrix, lakini pia tunaamua ni safu gani (safu) zinazounda msingi mdogo wa matrix.

Mfano. Kokotoa kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya watoto wanaopakana

.

Suluhisho. Kidogo cha mpangilio wa pili, kilicho kwenye kona ya juu kushoto ya tumbo A, sio sifuri:

.

Walakini, watoto wote wa mpangilio wa tatu wanaoizunguka ni sawa na sifuri:

;	;
;	;
;	.

Kwa hiyo, cheo cha matrix A ni sawa na mbili:.

Safu ya kwanza na ya pili, safu wima ya kwanza na ya pili katika matrix hii ni ya msingi. Safu na safu wima zilizobaki ni mchanganyiko wao wa mstari. Kwa kweli, usawa ufuatao unashikilia kwa kamba:

Kwa kumalizia, tunaona uhalali wa sifa zifuatazo:

1) kiwango cha bidhaa za matrices sio kubwa kuliko kiwango cha kila sababu;

2) kiwango cha bidhaa ya matrix A kiholela upande wa kulia au kushoto kwa matrix ya mraba isiyo ya umoja Q ni sawa na kiwango cha matrix A.

Matrices ya polynomial

Ufafanuzi. Matrix ya polinomia au -matrix ni matriki ya mstatili ambayo vipengele vyake ni polinomia katika kigezo kimoja chenye mgawo wa nambari.

Mabadiliko ya kimsingi yanaweza kufanywa kwenye -matrices. Hizi ni pamoja na:

Kupanga upya safu mbili (safu);

Kuzidisha safu (safu) kwa nambari tofauti na sifuri;

Kuongeza kwenye safu mlalo moja (safu wima) safu mlalo nyingine (safu wima) ikizidishwa na nambari nyingi zozote.

Matrices mawili na ya ukubwa sawa yanasemekana kuwa sawa: , ikiwa mtu anaweza kutoka kwenye matrix hadi kutumia idadi ndogo ya mabadiliko ya kimsingi.

Mfano. Thibitisha usawa wa matrix

,

.

1. Badilisha safu wima ya kwanza na ya pili kwenye matrix:

.

2. Kutoka kwa mstari wa pili, toa ya kwanza, iliyozidishwa na ():

.

3. Zidisha mstari wa pili kwa (-1) na kumbuka kuwa

.

4. Ondoa kutoka safu ya pili ya kwanza, kuzidishwa na, tunapata

.

Seti ya matrices yote ya ukubwa uliopeanwa imegawanywa katika madarasa tofauti ya matrices sawa. Matrices ambayo ni sawa na kila mmoja kuunda darasa moja, na wale ambao si sawa huunda nyingine.

Kila darasa la matrices sawa lina sifa ya matrix ya kisheria, au ya kawaida, ya vipimo vilivyotolewa.

Ufafanuzi. Matrix ya kisheria, au ya kawaida, ya vipimo ni matriki ambayo diagonal yake kuu ina polinomia , ambapo p ni ndogo zaidi ya nambari m na n ( ), na polinomia ambazo si sawa na sifuri zina mgawo unaoongoza sawa na 1, na kila polimanomia inayofuata imegawanywa na ile iliyotangulia. Vipengele vyote nje ya diagonal kuu ni 0.

Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba ikiwa kati ya polynomials kuna polynomials ya shahada ya sifuri, basi ni mwanzoni mwa diagonal kuu. Ikiwa kuna zero, ziko mwisho wa diagonal kuu.

Matrix ya mfano uliopita ni ya kisheria. Matrix

pia kisheria.

Kila darasa la -matrices lina kipekee canonical -matrix, i.e. Kila -matrix ni sawa na matrix ya kipekee ya kisheria, ambayo inaitwa fomu ya kisheria au aina ya kawaida ya matrix hiyo.

Polynomia zilizo kwenye diagonal kuu ya fomu ya kisheria ya matrix iliyotolewa huitwa sababu zisizobadilika za matrix hii.

Njia moja ya kuhesabu vipengele visivyobadilika ni kupunguza -matrix iliyotolewa kwa umbo la kisheria.

Kwa hivyo, kwa matrix ya mfano uliopita, sababu zisizobadilika ni

, , , .

Kutoka hapo juu inafuata kwamba kuwepo kwa seti sawa ya mambo ya kutofautiana ni hali ya lazima na ya kutosha kwa usawa wa -matrices.

Kupunguza -matrices kwa fomu ya kisheria imepunguzwa ili kuamua sababu zisizobadilika

, ; ,

ambapo r ni cheo cha tumbo; - kigawanyo kikuu cha kawaida cha watoto wa mpangilio wa kth, kilichochukuliwa na mgawo unaoongoza sawa na 1.

Mfano. Acha kupewa -matrix

.

Suluhisho. Kwa wazi, mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida wa utaratibu wa kwanza, i.e. .

Wacha tufafanue watoto wa mpangilio wa pili:

,

na kadhalika.

Tayari data hizi zinatosha kuteka hitimisho: kwa hiyo,.

Tunafafanua

,

Kwa hivyo, .

Kwa hivyo, fomu ya kisheria ya matrix hii ni matrix ifuatayo:

.

Polynomial ya matrix ni kielelezo cha fomu

ambapo ni kutofautiana; - matrices ya mraba ya utaratibu n yenye vipengele vya nambari.

Ikiwa , basi S inaitwa kiwango cha polynomial ya matrix, n ni mpangilio wa polynomial ya matrix.

Matrix yoyote ya quadratic inaweza kuwakilishwa kama polynomial ya matrix. Kwa wazi, taarifa ya kinyume pia ni kweli, i.e. polynomial yoyote ya matrix inaweza kuwakilishwa kama matrix ya mraba.

Uhalali wa taarifa hizi hufuata kwa uwazi kutoka kwa sifa za uendeshaji kwenye matrices. Hebu tuangalie mifano ifuatayo:

Mfano. Wakilisha matrix ya polynomial

katika mfumo wa polynomial ya matrix kama ifuatavyo

.

Mfano. Matrix polynomial

inaweza kuwakilishwa kama matrix ya polynomial ifuatayo ( -matrix)

.

Ubadilishanaji huu wa polinomia za matriki na matiti ya polinomia una jukumu kubwa katika vifaa vya hisabati vya sababu na mbinu za uchanganuzi wa vijenzi.

Polynomia za matrix za mpangilio sawa zinaweza kuongezwa, kupunguzwa, na kuzidishwa kwa njia sawa na polimanomia za kawaida zilizo na mgawo wa nambari. Walakini, ikumbukwe kwamba kuzidisha kwa polynomia za matrix, kwa ujumla, sio mabadiliko, kwani. Kuzidisha kwa matrix sio mabadiliko.

Polynomia mbili za matrix zinasemekana kuwa sawa ikiwa coefficients yao ni sawa, i.e. matrices sambamba kwa nguvu sawa za variable .

Jumla (tofauti) ya polinomia mbili za matriki ni polinomia ya matriki ambayo mgawo wake kwa kila daraja la kigezo ni sawa na jumla (tofauti) ya vipatanishi kwa kiwango sawa katika polimanomia na .

Ili kuzidisha polinomia ya matriki kwa polinomia ya matriki, unahitaji kuzidisha kila neno la polinomia ya matriki kwa kila neno la upolinomia wa matriki, ongeza bidhaa zinazotokana na kuleta masharti sawa.

Kiwango cha polynomial ya matrix ni bidhaa chini ya au sawa na jumla ya digrii za vipengele.

Operesheni kwenye polynomials za matrix zinaweza kufanywa kwa kutumia shughuli kwenye -matrices inayolingana.

Ili kuongeza (kuondoa) polynomials ya matrix, inatosha kuongeza (kuondoa) -matrices inayolingana. Vile vile hutumika kwa kuzidisha. -matrix ya bidhaa ya polynomials ya matrix ni sawa na bidhaa ya -matrices ya mambo.

Kwa upande mwingine, na inaweza kuandikwa kwa fomu

ambapo B 0 ni matrix isiyo ya umoja.

Wakati wa kugawanya kuna mgawo wa kipekee wa haki na salio la kulia

ambapo kiwango cha R 1 ni chini ya shahada, au (mgawanyiko bila salio), pamoja na mgawo wa kushoto na salio la kushoto ikiwa na tu ikiwa, wapi utaratibu.

Mfumo wa vekta wa mpangilio sawa unaitwa tegemezi la mstari ikiwa vekta sifuri inaweza kupatikana kutoka kwa vekta hizi kupitia mseto unaofaa wa mstari. (Hairuhusiwi kuwa mgawo wote wa mseto wa mstari uwe sawa na sifuri, kwa kuwa hii itakuwa ndogo.) Vinginevyo, vekta huitwa kujitegemea kwa mstari. Kwa mfano, vekta tatu zifuatazo:

zinategemea mstari, kwani hiyo ni rahisi kuangalia. Katika kesi ya utegemezi wa mstari, vekta yoyote inaweza kuonyeshwa kila wakati kupitia mchanganyiko wa mstari wa vekta zingine. Katika mfano wetu: ama au Hii ni rahisi kuangalia na mahesabu sahihi. Hii inasababisha ufafanuzi ufuatao: vekta haitegemei vekta zingine ikiwa haiwezi kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi.

Wacha tuzingatie mfumo wa vekta bila kubainisha ikiwa inategemea mstari au huru kwa mstari. Kwa kila mfumo unaojumuisha vekta za safu a, inawezekana kutambua idadi ya juu iwezekanavyo ya vekta zinazojitegemea kwa mstari. Nambari hii, iliyoonyeshwa na barua , ni cheo cha mfumo huu wa vector. Kwa kuwa kila matriki inaweza kutazamwa kama mfumo wa vekta za safu wima, kiwango cha matriki hufafanuliwa kama idadi ya juu zaidi ya vekta za safu wima huru iliyo ndani yake. Vekta za safu pia hutumiwa kuamua kiwango cha matrix. Mbinu zote mbili hutoa matokeo sawa kwa matriki sawa, na haziwezi kuzidi ndogo zaidi ya au Kiwango cha matrix ya mraba ya mpangilio huanzia 0 hadi . Ikiwa veta zote ni sifuri, basi kiwango cha matrix kama hiyo ni sifuri. Ikiwa vekta zote ziko huru kutoka kwa kila mmoja, basi kiwango cha matrix ni sawa. Ikiwa tunaunda matrix kutoka kwa vectors hapo juu, basi kiwango cha matrix hii ni 2. Kwa kuwa kila vekta mbili zinaweza kupunguzwa hadi theluthi kwa mchanganyiko wa mstari, basi cheo ni chini ya 3.

Lakini tunaweza kuhakikisha kuwa vekta zozote mbili kati yao zinajitegemea kwa mstari, kwa hivyo kiwango

Matrix ya mraba inaitwa umoja ikiwa vekta za safu wima yake au vekta za safu mlalo hutegemea mstari. Kiamuzi cha matrix kama hiyo ni sawa na sifuri na matrix yake ya kinyume haipo, kama ilivyoonyeshwa hapo juu. Hitimisho hizi ni sawa kwa kila mmoja. Kama matokeo, matrix ya mraba inaitwa isiyo ya umoja, au isiyo ya umoja, ikiwa veta zake za safu au vekta za safu hazitegemei. Kiamuzi cha matrix kama hiyo si sawa na sifuri na matrix yake ya kinyume ipo (linganisha na uk. 43)

Kiwango cha matrix kina tafsiri dhahiri ya kijiometri. Ikiwa kiwango cha matrix ni sawa na , basi nafasi ya-dimensional inasemekana kuwa imewekwa na vekta. Ikiwa cheo ni basi vekta hulala katika nafasi ndogo ya -dimensional ambayo inajumuisha zote. Kwa hivyo, kiwango cha matrix kinalingana na kipimo cha chini kinachohitajika cha nafasi "ambayo ina vekta zote"; nafasi ndogo ya -dimensional katika nafasi ya-dimensional inaitwa -dimensional hyperplane. Kiwango cha matrix kinalingana na mwelekeo mdogo zaidi wa hyperplane ambayo vekta zote bado ziko.

Orthogonality. Vekta mbili a na b zinasemekana kuwa na usawa ikiwa bidhaa yao ya scalar ni sifuri. Ikiwa matrix ya mpangilio ina usawa ambapo D ni matriki ya mshazari, basi vekta za safu wima za matrix A ziko pande mbili za othogonal. Ikiwa vectors hizi za safu ni za kawaida, yaani, zimepunguzwa kwa urefu sawa na 1, basi usawa hutokea na tunazungumzia vectors orthonormal. Ikiwa B ni matrix ya mraba na usawa unashikilia, basi matrix B inaitwa orthogonal. Katika kesi hii, inafuata kutoka kwa formula (1.22) kwamba tumbo la Orthogonal daima sio umoja. Kwa hivyo, kutoka kwa usawa wa matrix, uhuru wa mstari wa vekta za safu yake au vekta za safu hufuata. Taarifa ya kinyume sio kweli: uhuru wa mstari wa mfumo wa vekta haimaanishi usawa wa jozi wa vekta hizi.