Tunakutana na mfumo wa nambari za binary tunaposoma taaluma za kompyuta. Baada ya yote, ni kwa msingi wa mfumo huu kwamba processor na aina fulani za usimbuaji hujengwa. Kuna algorithms maalum ya kuandika nambari ya decimal katika mfumo wa binary na kinyume chake. Ikiwa unajua kanuni ya kujenga mfumo, haitakuwa vigumu kufanya kazi ndani yake.

Kanuni ya kujenga mfumo wa zero na wale

Mfumo wa nambari ya binary umejengwa kwa kutumia tarakimu mbili: sifuri na moja. Kwa nini nambari hizi maalum? Hii ni kutokana na kanuni ya kujenga ishara ambazo hutumiwa katika processor. Kwa kiwango chake cha chini, ishara inachukua maadili mawili tu: uongo na kweli. Kwa hiyo, ilikuwa ni desturi kuashiria kutokuwepo kwa ishara, "uongo," kwa sifuri, na uwepo wake, "kweli," kwa moja. Mchanganyiko huu ni rahisi kutekeleza kiufundi. Nambari katika mfumo wa binary huundwa kwa njia sawa na katika mfumo wa decimal. Nambari inapofikia kikomo chake cha juu, inawekwa upya hadi sifuri na tarakimu mpya huongezwa. Kanuni hii inatumika kupitia kumi katika mfumo wa desimali. Kwa hivyo, nambari zinajumuisha mchanganyiko wa zero na zile, na mchanganyiko huu unaitwa "mfumo wa nambari za binary".

Jinsi ya kuandika nambari ya binary kama nambari ya decimal?

Kuna huduma za mtandaoni zinazobadilisha nambari kuwa mfumo wa binary na kinyume chake, lakini ni bora kuwa na uwezo wa kufanya hivyo mwenyewe. Inapotafsiriwa, mfumo wa binary unaonyeshwa na usajili 2, kwa mfano, 101 2. Kila nambari katika mfumo wowote inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari, kwa mfano: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - katika mfumo wa decimal. Nambari pia inawakilishwa katika binary. Hebu tuchukue nambari ya kiholela 101 na uzingatie. Ina tarakimu 3, kwa hiyo tunapanga nambari kwa njia hii: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, ambapo index 10 inaonyesha. mfumo wa desimali.

Jinsi ya kuandika nambari kuu katika binary?

Ni rahisi sana kubadili mfumo wa nambari ya binary kwa kugawanya nambari na mbili. Ni muhimu kugawanya mpaka iwezekanavyo kukamilisha kabisa. Kwa mfano, chukua nambari 871. Tunaanza kugawanya, tukihakikisha kuandika salio:

871:2=435 (salio 1)

435:2=217 (salio 1)

217:2=108 (salio 1)

Jibu limeandikwa kulingana na mabaki yanayotokana na mwelekeo kutoka mwisho hadi mwanzo: 871 10 =101100111 2. Unaweza kuangalia usahihi wa mahesabu kwa kutumia tafsiri ya kinyume iliyoelezwa hapo awali.

Kwa nini unahitaji kujua sheria za tafsiri?

Mfumo wa nambari za binary hutumiwa katika taaluma nyingi zinazohusiana na vifaa vya elektroniki vya microprocessor, usimbaji, upitishaji na usimbaji fiche wa data, katika maelekezo mbalimbali kupanga programu. Ujuzi wa misingi ya tafsiri kutoka kwa mfumo wowote hadi kwa binary itasaidia mpangaji kukuza microcircuits mbalimbali na kudhibiti uendeshaji wa processor na mifumo mingine kama hiyo. kwa utaratibu. Mfumo wa nambari za binary pia ni muhimu kwa kutekeleza mbinu za kusambaza pakiti za data juu ya njia zilizosimbwa na kuunda miradi ya programu ya seva ya mteja kulingana na wao. Katika kozi ya sayansi ya kompyuta ya shule, misingi ya kubadili mfumo wa binary na kinyume chake ni nyenzo za msingi za kujifunza programu katika siku zijazo na kuunda programu rahisi.

Kubadilisha nambari kutoka kwa nambari moja hadi nyingine ni sehemu muhimu ya hesabu ya mashine. Hebu fikiria sheria za msingi za tafsiri.

1. Kwa tafsiri nambari ya binary kwa decimal ni muhimu kuiandika kwa njia ya polynomial, inayojumuisha bidhaa za nambari za nambari na nguvu inayolingana ya 2, na kuihesabu kulingana na sheria za hesabu za decimal:

Wakati wa kutafsiri, ni rahisi kutumia jedwali la nguvu mbili:

Jedwali 4. Nguvu za nambari 2

Mfano.

2. Ili kubadilisha nambari ya octal kuwa nambari ya decimal, ni muhimu kuiandika kama polynomial inayojumuisha bidhaa za nambari za nambari na nguvu inayolingana ya nambari 8, na kuihesabu kulingana na sheria za decimal. hesabu:

Wakati wa kutafsiri, ni rahisi kutumia jedwali la mamlaka ya nane:

Jedwali 5. Nguvu za nambari 8

Mfano. Badilisha nambari kuwa mfumo wa nambari ya desimali.

3. Ili kubadilisha nambari ya hexadecimal hadi nambari ya decimal, inahitajika kuiandika kwa fomu ya polynomial, inayojumuisha bidhaa za nambari za nambari na nguvu inayolingana ya nambari 16, na kuihesabu kulingana na nambari. kanuni za hesabu za decimal:

Wakati wa kutafsiri, ni rahisi kutumia blitz ya nguvu ya nambari 16:

Jedwali 6. Nguvu za nambari 16

Mfano. Badilisha nambari kuwa mfumo wa nambari ya desimali.

4. Ili kubadilisha nambari ya desimali hadi mfumo wa mfumo wa jozi, ni lazima igawanywe kwa mpangilio na 2 hadi salio chini ya au sawa na 1 isalie. Nambari katika mfumo wa binary imeandikwa kama mfuatano wa matokeo ya mgawanyiko wa mwisho na masalio kutoka. mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.

Mfano. Badilisha nambari kuwa mfumo wa nambari ya binary.

5. Kubadilisha nambari ya desimali kuwa mfumo wa octal lazima igawanywe kwa mfululizo na 8 hadi kusalia chini ya au sawa na 7. Nambari katika mfumo wa octal imeandikwa kama mlolongo wa tarakimu za matokeo ya mgawanyiko wa mwisho na masalio ya mgawanyiko kwa utaratibu wa kinyume.

Mfano. Badilisha nambari kuwa mfumo wa nambari ya octal.

6. Kubadilisha nambari ya desimali kuwa mfumo wa hexadecimal lazima igawanywe mfululizo na 16 hadi kusalia chini ya au sawa na 15. Nambari katika heksadesimali imeandikwa kama mfuatano wa tarakimu za matokeo ya mgawanyiko wa mwisho na masalio ya mgawanyiko kwa utaratibu wa kinyume.

Mfano. Badilisha nambari kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal.

Shughuli za hesabu katika mifumo ya nambari za nafasi zinafanywa kwa kutumia algorithm moja. Kwa hivyo, kuongezwa kwa nambari za binary hutokea kulingana na algorithm ya "safu" ya classical na uhamisho wa nambari ambayo ni nyingi ya mbili kwa moja hadi tarakimu inayofuata.

Wacha tuzingatie algorithm hii kwa kutumia mfano wa nambari mbili za binary 1010101 2 na 110111 2:

Matokeo ya nyongeza yanaonekana kama 10001100 2. Wacha tuangalie matokeo ya nyongeza kwa kubadilisha nambari zote kuwa mfumo wa nambari ya desimali:

1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .

Mfumo wa binary, ambao ni msingi wa hesabu ya kompyuta, ni ngumu sana na haifai kwa matumizi ya binadamu. Kwa hiyo, waandaaji wa programu hutumia vizidishi viwili vya mfumo wa nambari ya binary: octal na hexadecimal. Kwa upande wa heksadesimali, nambari za Kiarabu hazipo na herufi kubwa sita za kwanza hutumiwa kama nambari. Alfabeti ya Kilatini. Mifano ya kuandika nambari za asili kutoka 1 hadi 16 katika mifumo minne ya nambari huwekwa Jedwali 2.

Jedwali 2. Mifano ya kuandika nambari za asili kutoka 1 hadi 16

katika mifumo minne ya nambari

Kutoka Majedwali 2 Inaweza kuonekana kuwa katika mfumo wa binary, kurekodi kwa nambari za nane za pili (kutoka 8 hadi 15) hutofautiana na kurekodi kwa nane za kwanza (kutoka 0 hadi 7) na kuwepo kwa kitengo katika nne (kulia). ) tarakimu. Algorithm ya kubadilisha nambari za binary kuwa nambari za octal "kwa triads" inategemea hii. Ili kutumia algoriti hii, unahitaji kuvunja nambari ya jozi katika sehemu tatu za tarakimu (kuhesabu kutoka kulia) na kuandika tarakimu ya octal badala ya kila mara tatu:

10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .

Utatu wa kushoto kabisa unaweza kuwa haujakamilika (kama katika mfano); ili kupata mara tatu kamili, unaweza kuongeza sufuri zinazokosekana upande wa kushoto.

Wacha tuhakikishe kuwa algorithm ni sawa:

10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;

255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .

Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa octal hadi binary, algorithm ya nyuma hutumiwa: tarakimu za octal hubadilishwa na triplets. tarakimu za binary(ikiwa ni lazima, zero zilizokosekana huongezwa upande wa kushoto):

325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .

Ili kubadilisha nambari kutoka kwa binary hadi hexadecimal, algorithm ya "by tetrad" hutumiwa. Mfuatano wa tarakimu za binary umegawanywa katika quadruples na tarakimu za hexadecimal zimeandikwa badala yake:

10101101 2 → 1010 1101 → AD 16.

Algorithm ya kurudi nyuma hufanya kazi vivyo hivyo: badala ya nambari za hexadecimal, nambari za binary mara nne hubadilishwa.

Ni rahisi kubadilisha kutoka octal hadi hexadecimal na nyuma kwa kutumia mfumo wa binary:

D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .

Wakati wa kufanya kazi za kuongeza nambari kutoka kwa mifumo tofauti ya nambari, zinahitaji kubadilishwa kuwa mfumo wa nambari moja. Ni bora kutumia mfumo ambao matokeo yanapaswa kuwasilishwa.

Kazi ya 14. (Toleo la onyesho la Task A6 2004)

Kuhesabu thamani ya jumla katika nukuu ya decimal:

10 2 +10 8 +10 16 = ? 10

Suluhisho.

Wacha tubadilishe nambari zote kuwa nukuu ya desimali:

10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .

Jibu: 26.

Kazi ya 15.

Pata jumla ya x+y ikiwa x=1110101 2 , y=1011011 2 . Eleza jibu lako kwa nukuu ya octal.

Suluhisho.

Wacha tupate jumla: 1110101 2 + 1011011 2:

1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2

Wacha tubadilishe nambari inayotokana kutoka kwa mfumo wa nambari ya binary hadi octal:

11 010 000 → 320 8 .

Jibu: 320.

Kazi ya 16.(Jukumu B1 la onyesho la 2004)

Katika mfumo wa nambari wenye msingi fulani, nambari 12 imeandikwa kama 110. Tafuta msingi huu.

Suluhisho.

Wacha tuonyeshe msingi unaohitajika na n. Kulingana na sheria za kuandika nambari katika vidokezo vya nafasi 110 n = n 2 +n 1 +0. Hebu tufanye equation: n 2 +n = 12, pata mizizi: n 1 =-4, n 2 =3. Mzizi n 1 = -4 haifai, kwa kuwa msingi wa mfumo wa nambari, kwa ufafanuzi, ni namba ya asili zaidi kuliko moja. Wacha tuangalie ikiwa mzizi n=3 unafaa:

110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10

Jibu: 3.

Zoezi17 .

Katika darasa la 1111 kuna wasichana 2 na 1100 2 wavulana. Je, kuna wanafunzi wangapi darasani?

Suluhisho.

1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .

1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10

15 10 +12 10 =27 10

Jibu: Kuna wanafunzi 27 darasani.

Zoezi18 .

Kuna miti 100 ya matunda kwenye bustani, ambayo 33 ni miti ya tufaha, 22 ni peari, 16 ni plums na 5 ni cherries. Je, miti huhesabiwa katika mfumo gani wa nambari?

Suluhisho.

100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x

1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0

x 2 =3x+3+2x+2+ 1x+6+5

D=b 2 -4ac=36+4*16=36+64=100

x 1.2 =
= (6±10)/2

x 1 = - 2 - haikidhi maana ya shida,

x 2 = 8 - msingi wa mfumo wa nambari inayotaka.

Jibu: miti huhesabiwa katika mfumo wa nambari ya octal.

Zoezi19 .

Imetenganishwa na koma, kwa mpangilio wa kupanda, zinaonyesha misingi yote ya mifumo ya nambari ambayo nambari 17 inaishia kwa 2.

Suluhisho.

Nambari ya mwisho katika nambari ni salio wakati nambari inagawanywa na msingi wa mfumo wa nambari. Kwa kuwa 17-2=15, basi besi zinazohitajika za mifumo ya nambari zitakuwa vigawanyiko vya 15, hizi ni: 3, 5, 15.

Wacha tuangalie jibu letu kwa kuwakilisha nambari 17 katika mifumo inayolingana ya nambari:

1. Kuhesabu kwa kawaida katika mifumo mbalimbali ya nambari.

KATIKA maisha ya kisasa tunatumia mifumo ya kuweka nafasi nukuu, ambayo ni, mifumo ambayo nambari inayoonyeshwa na nambari inategemea nafasi ya nambari katika nukuu ya nambari. Kwa hivyo, katika siku zijazo tutazungumza juu yao tu, tukiacha neno "msimamo".

Ili kujifunza jinsi ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine, tutaelewa jinsi kurekodi kwa mlolongo wa nambari hutokea kwa kutumia mfano wa mfumo wa decimal.

Kwa kuwa tuna mfumo wa nambari ya desimali, tuna alama 10 (tarakimu) za kuunda nambari. Tunaanza kuhesabu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nambari zimekwisha. Tunaongeza kina kidogo cha nambari na kuweka upya nambari ya chini: 10. Kisha tunaongeza nambari ya chini ya utaratibu tena mpaka tarakimu zote zimekwenda: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Tunaongeza tarakimu ya juu kwa 1 na kuweka upya tarakimu ya chini: 20. Tunapotumia tarakimu zote kwa tarakimu zote mbili (tunapata namba 99), tunaongeza tena uwezo wa tarakimu wa nambari na kuweka upya tarakimu zilizopo: 100. Na kadhalika.

Wacha tujaribu kufanya vivyo hivyo katika mifumo ya 2, 3 na 5 (tunatanguliza nukuu ya mfumo wa 2, wa 3, nk):

Ikiwa mfumo wa nambari una msingi zaidi ya 10, basi tutalazimika kuingiza herufi za ziada; ni kawaida kuingiza herufi za alfabeti ya Kilatini. Kwa mfano, kwa mfumo wa nambari 12, pamoja na nambari kumi, tunahitaji herufi mbili ( na ):

2. Ubadilishaji kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi nyingine yoyote.

Ili kutafsiri nambari chanya nambari ya desimali katika mfumo wa nambari na msingi tofauti, unahitaji kugawanya nambari hii kwa msingi. Gawanya mgawo unaosababishwa na msingi tena, na zaidi mpaka mgawo ni chini ya msingi. Matokeo yake, andika katika mstari mmoja mgawo wa mwisho na masalio yote, kuanzia mwisho.

Mfano 1. Wacha tubadilishe nambari ya desimali 46 hadi mfumo wa nambari ya binary.

Mfano 2. Wacha tubadilishe nambari ya desimali 672 hadi mfumo wa nambari ya octal.

Mfano 3. Wacha tubadilishe nambari ya desimali 934 hadi mfumo wa nambari ya hexadecimal.

3. Ubadilishaji kutoka kwa mfumo wowote wa nambari hadi desimali.

Ili kujifunza jinsi ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mwingine wowote hadi desimali, hebu tuchambue nukuu ya kawaida ya nambari ya desimali.
Kwa mfano, nambari ya decimal 325 ni vitengo 5, makumi 2 na mamia 3, i.e.

Hali ni sawa katika mifumo mingine ya nambari, tu tutazidisha sio 10, 100, nk, lakini kwa nguvu za msingi wa mfumo wa nambari. Kwa mfano, hebu tuchukue nambari 1201 ndani mfumo wa ternary Kuhesabu. Wacha tuhesabu nambari kutoka kulia kwenda kushoto kuanzia sifuri na fikiria nambari yetu kama jumla ya bidhaa za nambari na tatu kwa nguvu ya nambari ya nambari:

Hii ni nukuu ya decimal ya nambari yetu, i.e.

Mfano 4. Wacha tubadilishe kwa mfumo wa nambari ya desimali nambari ya octal 511.

Mfano 5. Wacha tubadilishe kwa mfumo wa nambari ya desimali nambari ya hexadecimal 1151.

4. Ubadilishaji kutoka kwa mfumo wa binary hadi mfumo na msingi "nguvu ya mbili" (4, 8, 16, nk).

Ili kubadilisha nambari ya binary kuwa nambari na msingi "nguvu ya mbili", inahitajika kugawa mlolongo wa binary katika vikundi kulingana na idadi ya nambari sawa na nguvu kutoka kulia kwenda kushoto na kubadilisha kila kikundi na nambari inayolingana. mfumo mpya Kuhesabu.

Kwa mfano, Wacha tubadilishe nambari ya binary 1100001111010110 hadi mfumo wa octal. Ili kufanya hivyo, tutaigawanya katika vikundi vya wahusika 3 kuanzia kulia ( tangu ), na kisha tumia jedwali la mawasiliano na ubadilishe kila kikundi na nambari mpya:

Tulijifunza jinsi ya kuunda meza ya mawasiliano katika hatua ya 1.

Wale.

Mfano 6. Wacha tubadilishe nambari ya binary 1100001111010110 hadi hexadesimoli.

5. Ubadilishaji kutoka kwa mfumo na msingi "nguvu ya mbili" (4, 8, 16, nk) hadi binary.

Tafsiri hii ni sawa na ile ya awali, iliyofanywa ndani upande wa nyuma: Tunabadilisha kila tarakimu na kikundi cha tarakimu jozi kutoka kwenye jedwali la utafutaji.

Mfano 7. Wacha tubadilishe nambari ya hexadecimal C3A6 kuwa mfumo wa nambari ya binary.

Ili kufanya hivyo, badilisha kila nambari ya nambari na kikundi cha nambari 4 (tangu) kutoka kwa jedwali la mawasiliano, ukiongezea kikundi na sufuri mwanzoni ikiwa ni lazima: