Njia ya kuzidisha kwa Lagrange isiyojulikana. Njia ya kuzidisha lagrange. Maana ya kiuchumi ya vizidishi vya Lagrange

Mbinu ya kuzidishaLagrange(katika fasihi ya Kiingereza "njia ya LaGrange ya vizidishi visivyojulikana") ˗ ni njia ya nambari ya kutatua shida za utoshelezaji ambayo hukuruhusu kubaini upeo wa "sharti" wa chaguo la kukokotoa la lengo (thamani ya chini au ya juu zaidi)

mbele ya vikwazo maalum juu ya vigezo vyake kwa namna ya usawa (yaani, eneo hilo maadili yanayokubalika)

˗ hizi ni thamani za hoja ya chaguo za kukokotoa (vigezo vinavyoweza kudhibitiwa) kwenye kikoa halisi ambapo thamani ya chaguo la kukokotoa huwa ya juu zaidi. Utumizi wa jina "masharti" uliokithiri ni kwa sababu ya ukweli kwamba hali ya ziada imewekwa kwa vigezo, ambayo inaweka mipaka ya maadili yanayoruhusiwa wakati wa kutafuta upeo wa kazi.

Njia ya kuzidisha ya Lagrange inaruhusu shida ya kutafuta ukomo wa masharti ya kazi ya kusudi kwenye seti ya maadili yanayokubalika kubadilishwa kuwa shida ya utoshelezaji bila masharti ya kazi.

Katika kesi ya kazi Na zinaendelea pamoja na derivatives zao za sehemu, basi kuna anuwai kama $ \ lambda $ ambazo sio sawa na sifuri wakati huo huo, ambayo hali ifuatayo imeridhika:

Kwa hivyo, kwa mujibu wa njia ya kuzidisha ya Lagrange, ili kupata upeo wa kazi ya lengo kwenye seti ya maadili yanayokubalika, ninatunga kazi ya Lagrange L(x, λ), ambayo imeboreshwa zaidi:

ambapo λ ˗ ni vekta ya vibadala vya ziada vinavyoitwa vizidishi vya Lagrange visivyobainishwa.

Kwa hivyo, tatizo la kupata upeo wa masharti ya kazi f(x) imepunguzwa hadi tatizo la kupata upeo usio na masharti wa kazi L(x, λ).

Na

Hali ya lazima ya mwisho wa kazi ya Lagrange inatolewa na mfumo wa equations (mfumo una equations "n + m":

Kutatua mfumo huu wa milinganyo huturuhusu kubainisha hoja za chaguo za kukokotoa (X) ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa L(x, λ), pamoja na thamani ya chaguo za kukokotoa lengwa f(x) inalingana na kiwango cha juu zaidi.

Ukubwa wa vizidishi vya Lagrange (λ) ni wa manufaa ya vitendo ikiwa vikwazo vinawasilishwa kwa fomu na neno la bure katika equation (mara kwa mara). Katika kesi hii, tunaweza kuzingatia zaidi (ongezeko / kupungua) thamani ya kazi ya lengo kwa kubadilisha thamani ya mara kwa mara katika mfumo wa equation. Kwa hivyo, kizidishi cha Lagrange kina sifa ya kiwango cha mabadiliko katika upeo wa kazi ya lengo wakati kikwazo kinabadilika mara kwa mara.

Kuna njia kadhaa za kuamua asili ya mwisho wa kazi inayosababisha:

Njia ya kwanza: Wacha iwe viwianishi vya sehemu ya juu zaidi, na iwe thamani inayolingana ya chaguo la kukokotoa la lengo. Hoja karibu na hatua inachukuliwa na thamani ya kazi ya lengo imehesabiwa:

Kama , basi kuna kiwango cha juu kwa uhakika.

Kama , basi kuna kiwango cha chini kwa uhakika.

Njia ya pili: Hali ya kutosha ambayo asili ya mwisho inaweza kuamua ni ishara ya tofauti ya pili ya kazi ya Lagrange. Tofauti ya pili ya kazi ya Lagrange inafafanuliwa kama ifuatavyo:

Ikiwa ndani kupewa uhakika kiwango cha chini, kama , Hiyo kazi ya lengo f(x) ina masharti upeo.

Njia ya tatu: Pia, asili ya mwisho wa kazi inaweza kuamua kwa kuzingatia Hessian ya kazi ya Lagrange. Matrix ya Hessian ni ya ulinganifu matrix ya mraba derivatives ya pili ya sehemu ya kazi katika hatua ambayo vipengele vya matrix ni linganifu kuhusu diagonal kuu.

Kuamua aina ya mwisho (kiwango cha juu au cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa), unaweza kutumia sheria ya Sylvester:

1. Ili tofauti ya pili ya kazi ya Lagrange iwe ya ishara chanya ni muhimu kwamba watoto wa angular wa kazi wawe chanya. Chini ya hali kama hizi, kazi katika hatua hii ina kiwango cha chini.

2. Ili tofauti ya pili ya kazi ya Lagrange iwe mbaya katika ishara , ni muhimu kwamba watoto wa angular wa kazi mbadala, na kipengele cha kwanza cha tumbo lazima kiwe negativesv. Chini ya hali hiyo, kazi katika hatua hii ina kiwango cha juu.

Kwa udogo wa angular tunamaanisha mdogo ulio katika safu mlalo za kwanza za k na safuwima k za matriki asilia.

Misingi umuhimu wa vitendo Njia ya Lagrange ni kwamba hukuruhusu kuhama kutoka kwa uboreshaji wa masharti hadi uboreshaji usio na masharti na, ipasavyo, kupanua safu ya ushambuliaji. mbinu zinazopatikana kutatua tatizo. Hata hivyo, tatizo la kutatua mfumo wa equations, ambayo inapunguza njia hii, kwa ujumla sio rahisi zaidi tatizo la awali kutafuta mwenye msimamo mkali. Njia kama hizo huitwa zisizo za moja kwa moja. Matumizi yao yanaelezewa na hitaji la kupata suluhisho la shida kali katika fomu ya uchambuzi (kwa mfano, kwa mahesabu fulani ya kinadharia). Wakati wa kutatua maalum matatizo ya vitendo Njia za moja kwa moja hutumiwa, kwa kuzingatia michakato ya kurudia ya kuhesabu na kulinganisha maadili ya kazi zinazoboreshwa.

Mbinu ya kuhesabu

Hatua 1: Tunaamua kazi ya Lagrange kutoka kwa kazi ya lengo iliyopewa na mfumo wa vikwazo:

Mbele

Ili kuongeza maoni yako kwenye kifungu, tafadhali jiandikishe kwenye wavuti.

Njia ya kuamua mwisho wa masharti huanza na ujenzi kazi ya msaidizi Lagrange, ambayo katika eneo la ufumbuzi unaowezekana hufikia kiwango cha juu kwa maadili sawa ya vigezo x 1 , x 2 , ..., x n , ambayo ni sawa na utendaji wa lengo z . Hebu tatizo la kuamua upeo wa masharti ya kazi kutatuliwa z = f(X) chini ya vikwazo φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Hebu tutengeneze kipengele

ambayo inaitwa Kazi ya Lagrange. X , - sababu za kudumu ( Vizidishi vya Lagrange) Kumbuka kuwa vizidishi vya Lagrange vinaweza kupewa maana ya kiuchumi. Kama f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - mapato yanaendana na mpango X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , na kazi φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - gharama za rasilimali ya i-th inayolingana na mpango huu, basi X , ni bei (makadirio) ya rasilimali ya i-th, inayoonyesha mabadiliko katika thamani ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa kulingana na mabadiliko ya ukubwa wa rasilimali ya i-th (makadirio ya pambizo). L(X) - kazi n+m vigezo (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Kuamua pointi za stationary za kazi hii husababisha kutatua mfumo wa equations

Ni rahisi kuona hivyo . Hivyo, kazi ya kutafuta mwisho wa masharti ya kazi z = f(X) hupunguza kupata upeo wa ndani wa chaguo za kukokotoa L(X) . Ikiwa hatua ya stationary inapatikana, basi swali la kuwepo kwa uliokithiri katika kesi rahisi zaidi hutatuliwa kwa misingi ya hali ya kutosha kwa uliokithiri - kusoma ishara ya tofauti ya pili. d 2 L(X) katika hatua ya kusimama, mradi viongezeo vya kutofautiana Δx i - kuunganishwa na mahusiano

kupatikana kwa kutofautisha milinganyo ya kuunganisha.

Kutatua mfumo wa milinganyo isiyo ya mstari katika mambo mawili yasiyojulikana kwa kutumia zana ya Kitafuta Suluhisho

Mipangilio Kutafuta suluhu hukuruhusu kupata suluhisho la mfumo wa hesabu zisizo za mstari na mbili zisizojulikana:

Wapi
- kazi isiyo ya mstari ya vigezo x Na y ,
- mara kwa mara ya kiholela.

Inajulikana kuwa wanandoa ( x , y ) ni suluhu la mfumo wa milinganyo (10) ikiwa na tu ikiwa ni suluhu la mlinganyo ufuatao wenye mambo mawili yasiyojulikana:

NA kwa upande mwingine, suluhisho la mfumo (10) ni sehemu za makutano ya curve mbili: f ] (x, y) = C Na f 2 (x, y) = C 2 juu ya uso XOY.

Hii inasababisha njia ya kupata mizizi ya mfumo. milinganyo isiyo ya mstari:

    Amua (angalau takriban) muda wa kuwepo kwa suluhisho kwa mfumo wa equation (10) au equation (11). Hapa ni muhimu kuzingatia aina ya equations iliyojumuishwa katika mfumo, uwanja wa ufafanuzi wa kila equations zao, nk Wakati mwingine uteuzi wa makadirio ya awali ya suluhisho hutumiwa;

    Orodhesha suluhisho la equation (11) kulingana na vigeu x na y kwa muda uliochaguliwa, au tengeneza grafu za utendaji. f 1 (x, y) = C, na f 2 (x,y) = C 2 (mfumo (10)).

    Janibisha mizizi inayodhaniwa ya mfumo wa equations - pata maadili kadhaa ya chini kutoka kwa jedwali inayoweka mizizi ya equation (11), au amua sehemu za makutano ya curve zilizojumuishwa kwenye mfumo (10).

4. Pata mizizi ya mfumo wa equations (10) kwa kutumia nyongeza Kutafuta suluhu.

Tuma kazi yako nzuri katika msingi wa maarifa ni rahisi. Tumia fomu iliyo hapa chini

Kazi nzuri kwa tovuti">

Wanafunzi, wanafunzi waliohitimu, wanasayansi wachanga wanaotumia msingi wa maarifa katika masomo na kazi zao watakushukuru sana.

Chuo cha Sheria cha Chelyabinsk

Idara ya Hisabati na Sayansi Asilia

KAZI YA KOZI

katika taaluma "Mbinu za hisabati"

Njia ya kuzidisha lagrange

Mwanafunzi gr. PO-3-05, Idara ya Sheria na Teknolojia ya Habari

Msimamizi

N.R. Khabibullina

Chelyabinsk

Utangulizi

1. Jengo la mfano

2. Tatizo la Lagrange. Ukithiri usio na masharti na masharti

3. Tatizo la Lagrange na kizuizi kimoja

4. Maana ya kuzidisha Lagrange

4.1. Nadharia ya Lagrange

4. 2. Mbinu ya kuzidisha lagrange

4.3. Njia vizidishi visivyobainishwa Lagrange

4.4. Kesi ya pande mbili

Hitimisho

Orodha ya fasihi iliyotumika

Utangulizi

Njia ya Lagrange inategemea mawazo kadhaa muhimu. Mmoja wao ni jinsi ya kupata kiwango cha chini cha kazi ikiwa vizuizi vingine vimewekwa kwenye kazi. Mbinu hii sasa inaitwa "sheria ya kuzidisha Lagrange"

Mada hii ni muhimu katika nyakati za kisasa kwa sababu njia ya kuzidisha ya Lagrange hutumiwa kutatua shida zisizo za mstari za programu zinazotokea katika nyanja nyingi (kwa mfano, katika uchumi).

Mahali muhimu katika vifaa vya hisabati vya uchumi huchukuliwa na majukumu bora- matatizo ambayo suluhisho bora kwa maana fulani hutafutwa. Katika mazoezi ya kiuchumi, inahitajika kutumia rasilimali zilizopo kwa njia ya faida zaidi. KATIKA nadharia ya kiuchumi Moja ya pointi za kuanzia ni tamko kwamba kila chombo cha kiuchumi, kuwa na uhuru fulani wa kuchagua tabia yake, hutafuta chaguo bora zaidi kutoka kwa mtazamo wake. Na shida za utoshelezaji hutumika kama njia ya kuelezea tabia ya vyombo vya kiuchumi, zana ya kusoma mifumo ya tabia hii.

1. Jengo la mfano

Ili kuunda tatizo, ni muhimu kuchambua mfumo, kujifunza vipengele vyake na mbinu zinazowezekana usimamizi wa mfumo. Mchoro ulioundwa kama matokeo ya uchanganuzi kama huo ni wa picha au mfano wa analogi. Hivyo, hatua ya kwanza ya ujenzi wa mfano inafanywa wakati wa mchakato wa uundaji wa tatizo. Baada ya uchambuzi huo wa mfumo, orodha ya chaguzi mbalimbali za ufumbuzi ambazo zinahitaji kutathminiwa zinafafanuliwa. Hatua za ufanisi wa jumla wa chaguzi hizi huamuliwa. Kwa hiyo, hatua inayofuata ni kujenga mfano ambao ufanisi wa mfumo unaweza kuonyeshwa kama kazi ya vigezo vinavyofafanua mfumo. Baadhi ya vigezo hivi katika mfumo halisi inaweza kubadilishwa, vigezo vingine haviwezi kubadilishwa. Tunaita vigezo hivyo vinavyoweza kubadilishwa "kudhibitiwa". Chaguzi mbalimbali suluhu za tatizo lazima zionyeshwe kwa kutumia vigeu vinavyodhibitiwa.

Ujenzi wa mfano wa hisabati (mfano) wa mfumo unaweza kuanza kwa kuorodhesha vipengele vyote vya mfumo vinavyoathiri ufanisi wa mfumo. Ikiwa "gharama ya jumla inayotarajiwa" inatumiwa kama kipimo cha ufanisi wa jumla, basi mtu anaweza kuanza kwa kuchunguza mfano wa picha au analogi uliopatikana katika hatua ya uundaji wa tatizo. Unaweza kuchagua shughuli na vifaa ambavyo gharama fulani hupewa. Katika kesi hii, tunapata, kwa mfano, orodha ifuatayo ya awali:

Gharama za uzalishaji:

a) bei ya ununuzi wa malighafi;

b) gharama za kusafirisha malighafi;

c) gharama ya kupokea malighafi;

d) gharama ya kuhifadhi malighafi;

e) gharama ya kupanga uzalishaji;

f) gharama ya kazi ya marekebisho katika warsha;

g) gharama ya mchakato wa usindikaji;

h) gharama ya kuhifadhi orodha wakati wa mchakato wa uzalishaji;

i) gharama ya kukamilisha uzalishaji na kuhamisha bidhaa za kumaliza kwenye ghala;

j) gharama ya kuchambua matokeo ya kazi na kikundi cha kupanga;

k) gharama ya kuhifadhi bidhaa za kumaliza.

Gharama za mauzo.

Vichwa vya juu.

2. Tatizo la Lagrange . Ukithiri usio na masharti na masharti

Shida nyingi za uboreshaji zimeundwa kama ifuatavyo. Uamuzi ambao mhusika lazima afanye unaelezewa na seti ya nambari x 1, x 2,..., x n (au hatua X = (x 1, x 2,..., x n) ya nafasi ya n-dimensional). Ubora wa suluhisho fulani huamuliwa na thamani za chaguo za kukokotoa f(X) = f(x 1, x 2,…,x n) -- kazi ya lengo. Suluhisho bora-- hii ni nukta X ambapo kitendakazi f(X) huchukua thamani ya juu. Shida ya kupata nukta kama hiyo imeelezewa kama ifuatavyo:

f(X) upeo.

Ikiwa chaguo la kukokotoa f(X) linaonyesha vipengele hasi vya uamuzi (uharibifu, hasara, n.k.), basi hatua X hutafutwa ambapo thamani ya f(X) ni ndogo:

f(X) dakika.

Kiwango cha chini na cha juu kinaunganishwa na dhana ya uliokithiri. Ili kuwa maalum, tutazungumza tu juu ya shida za uboreshaji. Kupata kiwango cha chini hakuhitaji kuzingatia maalum, kwani kwa kubadilisha kazi ya lengo f(X) na -f(X) unaweza kila wakati "kugeuza hasara kuwa faida" na kupunguza upunguzaji hadi uboreshaji.

Je, ni chaguo gani bora kuchagua? Kwa maneno mengine, kati ya ambayo pointi katika nafasi tunapaswa kuangalia kwa optimum. Jibu la swali hili linahusiana na kipengele kama hicho cha shida ya utoshelezaji kama seti ya suluhisho zinazowezekana. Katika baadhi ya matatizo, mchanganyiko wowote wa nambari x 1, x 2,..., x n ni halali, yaani, seti ya ufumbuzi unaowezekana ni nafasi nzima inayozingatiwa.

Katika matatizo mengine, vikwazo mbalimbali lazima zizingatiwe, kwa maana kwamba sio pointi zote katika nafasi zinapatikana kwa uteuzi. Katika uundaji wa maana wa matatizo, hii inaweza kutokana, kwa mfano, na kiasi kidogo cha rasilimali zilizopo.

Vikwazo vinaweza kuwasilishwa kwa namna ya usawa wa fomu

au ukosefu wa usawa

Ikiwa hali zina umbo tofauti kidogo, sema, g 1 (X) = g 2 (X) au g (X) A, basi zinaweza kupunguzwa hadi mtazamo wa kawaida, kuhamishwa katika vitendaji na viambatisho katika mojawapo ya sehemu za usawa au usawa.

Upeo unaopatikana katika nafasi nzima, bila masharti yoyote ya kikwazo, huitwa bila masharti. Ikiwa kazi ya kusudi inaweza kutofautishwa kila wakati, basi hali ya lazima kwa upeo usio na masharti wa kazi ni kwamba derivatives zake zote za sehemu ziwe sawa na sifuri:

Ikiwa vikwazo vimetajwa, basi uliokithiri hutafutwa tu kati ya pointi zinazokidhi vikwazo vyote vya tatizo, kwa kuwa pointi hizo tu zinakubalika. Katika kesi hii, uliokithiri huitwa masharti.

Fikiria shida ya kupata msimamo mkali wa masharti:

chini ya masharti (2)

g 1 (X) = 0; g 2 (X) = 0, ..., g n (X) = 0,

ambao vikwazo vyote ni usawa.

Ikiwa kazi ya lengo na kazi zote za kuzuia zinaweza kutofautishwa kila wakati, basi tutaita shida kama hiyo Tatizo la Lagrange.

3. Tatizo la Lagrange na kizuizi kimoja

Fikiria shida na muundo ufuatao:

f(X) upeo

chini ya (3)

g(X) = 0.

Hebu tuangalie mfano. Kuna barabara kando ya mlima, unahitaji kupata sehemu ya juu juu yake. Katika Mtini. 1 inaonyesha ramani ya eneo yenye mistari iliyowekwa alama juu yake

urefu sawa; mstari mnene ni barabara. Pointi M, ambayo barabara inagusa mstari wa ngazi moja, ni sehemu ya juu zaidi ya barabara.

Ikiwa X = (x 1, x 2) ndio hatua ya msongamano, x 1 na x 2 ni kuratibu zake, basi shida inaweza kutolewa. fomu ifuatayo. Acha f(X) iwe urefu wa hatua X juu ya usawa wa bahari, na equation g(X) = 0 inaelezea barabara. Kisha sehemu ya juu ya barabara ni suluhisho la tatizo (3).

Ikiwa barabara ilipita juu ya mlima, basi sehemu yake ya juu itakuwa sehemu ya juu zaidi katika eneo hilo, na kizuizi kinaweza kupuuzwa.

Ikiwa barabara haipiti kwenye kilele, basi kwa kupotoka kidogo kutoka barabarani, mtu anaweza kupanda juu kuliko kwa kusonga madhubuti kando ya barabara. Kupotoka kutoka kwa barabara kunafanana na pointi za kupiga ambapo g(X) 0; kwa kupotoka kidogo, urefu unaoweza kufikiwa unaweza kuzingatiwa takriban sawia na kupotoka.

Wazo la kutatua tatizo la Lagrange linaweza kuwasilishwa kama ifuatavyo: unaweza kujaribu "kusahihisha" eneo la ardhi ili kupotoka kutoka kwa barabara haitoi faida katika kufikia urefu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha urefu wa f (X) na kazi.

L(X) = f(X) - g(X),

ambapo kizidishaji kinachaguliwa kwa njia ambayo sehemu ya mteremko karibu na hatua M inakuwa ya usawa (ndogo sana haitaondoa faida za kupotoka kutoka kwa barabara, na kubwa sana itatoa faida kwa kupotoka kwa mwelekeo tofauti. )

Sasa, kwa kuwa unafuu L(X) hufanya eneo lililo karibu na sehemu bora kuwa ya mlalo, hatua hii inatosheleza usawa.

na kwa kuwa hatua iko barabarani, basi kizuizi g(X) = 0.

Mfano na mlima na barabara ni kielelezo tu cha wazo; vile vile, kesi mbili-dimensional hutumiwa tu kwa uwazi. Kwa njia sawa Mtu anaweza pia kusababu katika kesi ya jumla, n-dimensional.

Taarifa ifuatayo ni kweli:

Ikiwa f(x 1 ,…,x n) na g(x 1 ,…,x n) ni kazi zinazoweza kutofautishwa za hoja zao zote, basi suluhu la tatizo.

f(x 1,…,x n) max

kutokana na hilo

g(x 1,…,x n) = 0

inakidhi usawa

L(x 1,...,x n;) = f(x 1,...,x n) - g(x 1,...,x n).

Chaguo za kukokotoa L(X;) huitwa Kazi za Lagrange(au Lagrangi) ya tatizo (3), na mgawo ni Lagrange multiplier.

Kumbuka kwamba usawa (5) ni kikwazo g(X) = 0 kilichowasilishwa kwa namna nyingine.

Hoja iliyo hapo juu, bila shaka, si uthibitisho wa taarifa iliyotungwa hapa; zinasaidia tu kuelewa kiini cha njia: sehemu ya g(X) kama sehemu ya kazi ya Lagrange inapaswa kusawazisha ongezeko linalowezekana. thamani ya juu kazi g(X) kutoka sifuri. Hali hii itakuwa muhimu sana katika siku zijazo wakati wa kujadili maana ya kizidishi cha Lagrange.

Hebu tuangalie mfano rahisi sana. Kutumia kamba ya urefu wa A, unahitaji kuziba eneo la mstatili wa eneo kubwa zaidi kwenye ufuo wa bahari (pwani inachukuliwa kuwa sawa).

Mtini.3 Kwa shida ya Dido

Hebu tuonyeshe pande za mstatili x 1 na x 2 (tazama Mchoro 3). Hebu kwanza tutatue tatizo bila kutumia njia ya Lagrange.

Ni wazi, x 2 = A - 2 x 1 na eneo la mstatili ni S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1). Kwa kuzingatia kama kazi ya hoja moja x1, si vigumu kupata thamani yake ambayo eneo ni la juu: x 1 = A/4. Kwa hivyo x 2 = A/2. Eneo la juu ni S * = A 2/8.

Sasa fikiria shida sawa katika mfumo wa shida ya Lagrange:

kutokana na hilo

2 x 1 + x 2 - A = 0

Lagrangian ya tatizo hili ni sawa na

L(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A),

na hali ya mwisho ina fomu

2 x 1 + x 2 = A

Kubadilisha maadili x 1 na x 2 kutoka usawa wa kwanza na wa pili hadi ya tatu, tunapata kwamba 4 = A, ilitoka wapi.

A/4; x 1 = A/4; x 2 =A/2,

kama katika suluhisho la kwanza.

Mfano huu unaonyesha njia ya kawaida ya kutatua tatizo la Lagrange. Mahusiano (4) na (5) huunda mfumo wa milinganyo ya x 1,..., x n na,. Mfumo huo una milinganyo ya n + 1 - n milinganyo ya aina (4) na equation moja ya aina (5). Idadi ya milinganyo ni sawa na idadi isiyojulikana. Kutoka kwa milinganyo ya fomu (4), unaweza kujaribu kueleza kila moja ya zisizojulikana x 1,..., x 2 kupitia, yaani, kutatua kama mfumo wa equations n, ukizingatia kama parameta. Kubadilisha misemo inayotokana na mlingano (5) - tunajua kuwa inalingana na kizuizi - tunapata mlinganyo wa jamaa. Kwa kutatua, wanaipata, baada ya hapo haijulikani ya awali x 1,..., x n imedhamiriwa.

4. Maana ya kuzidisha Lagrange

Wakati wa kutatua shida ya Lagrange, tulipendezwa na maadili ya x 1,..., x n; kwa kuongeza, tunaweza kupendezwa na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa f(X). Lakini wakati wa mchakato wa suluhisho, thamani ya wingi mwingine iliamuliwa wakati huo huo - kuzidisha kwa Lagrange.

Inabadilika kuwa kuzidisha kwa Lagrange ni tabia muhimu sana ya shida inayotatuliwa. Ili kufanya maana yake iwe wazi zaidi, hebu tubadilishe kidogo maneno ya kizuizi bila kubadilisha chochote kimsingi.

Hali ya kawaida ya kiuchumi ina sifa ya ukweli kwamba mtu anapaswa kutafuta suluhisho la faida zaidi na kiasi kidogo cha rasilimali fulani. Ikiwa r ni kiasi fulani cha rasilimali, na chaguo la kukokotoa h(X) linaonyesha kiwango kinachohitajika kufikia hatua X, basi ni kawaida kutoa kikwazo fomu.

Kwa kuzingatia hali ya tatizo, mara nyingi ni wazi kwamba ili kufikia kiwango cha juu zaidi ni lazima rasilimali itumike kikamilifu, hivyo kikwazo kinaweza kuandikwa kama.

Hali hii inaweza kuwakilishwa katika fomu g(X) = h(X) - r = 0. Lakini ya manufaa makubwa ni kiwango cha juu kinachoweza kufikiwa cha kazi f(x) kulingana na kiasi kinachopatikana cha rasilimali r. Hebu kuashiria

F(r) = max f(X) h(X) = r.

Kwa upande wa kulia - jina lililokubaliwa conditional extremum: hali inayoandikwa baada ya mstari wima.

Hebu tukumbuke kwamba wakati wa kujadili muundo wa Lagrangian, tulifasiri g(X) kama sehemu inayosawazisha ongezeko linalowezekana la f(X) wakati g(X) inapotoka kutoka sifuri. Lakini kupotoka kwa g(X) kutoka sifuri ni kupotoka kwa h(X) kutoka r. Ikiwa kiasi kinachopatikana cha rasilimali kinaongezeka kwa r, basi tunapaswa kutarajia upeo wa chaguo za kukokotoa f(X) kuongezeka kwa r.

Kwa kweli, uwiano huu ni takriban. Tungepata matokeo halisi katika kikomo kwa r 0:

Kwa hivyo, multiplier ya Lagrange ina sifa ya kiwango cha mabadiliko katika upeo wa kazi ya lengo wakati kikwazo cha mara kwa mara r katika kizuizi cha fomu (6) kinabadilika.

Katika toleo la shida ya Dido iliyozingatiwa katika aya iliyotangulia rasilimali ndogo ilikuwa urefu wa kamba A. Eneo la juu liligeuka kuwa sawa na S (A) = A 2/8. Kwa hivyo dS(A)/dA = A/4, ambayo inalingana kabisa na thamani iliyopatikana katika suluhisho.

Wacha tutoe hoja moja zaidi. Kwa pointi zote zinazowezekana X, tunapata maadili ya f(X) na h(X) na kupanga maadili haya kwa namna ya pointi katika Kuratibu za Cartesian(Mchoro 4). Ikiwa kwa kila thamani ya h (X) kuna upeo wa kazi f (X), basi pointi zote zitakuwa chini ya curve fulani, iliyoonyeshwa kwenye takwimu yenye mstari mnene.

Tunavutiwa na pointi zinazolingana na hali h(X) = r. Upeo wa f(X) umewekwa alama na uhakika M*; hebu tuonyeshe mteremko wa curve katika hatua hii. Ikiwa hatuchukui f(X) kama kiratibu, lakini L(X;) = f(X) - , basi mpaka mpya wa juu ungekuwa na tanjenti mlalo kwenye hatua M*. Hii ina maana kwamba katika nafasi ya awali ya n-dimensional hatua inayolingana M ni hatua ya stationary ya kazi L (X;) na thamani fulani ya parameter. Hivyo, ni multiplier Lagrange.

Lakini curve nene nyeusi ni grafu ya chaguo za kukokotoa F(r), na ni mteremko wake, ambao unamaanisha usawa (7).

4.1 Nadharia ya Lagrange

Tuseme chaguo la kukokotoa?(x) limetolewa kwenye ndege na curve g(x) = 0 imetolewa Ikiwa chaguo za kukokotoa?, kikomo cha mkunjo fulani, hufikia kiwango cha juu zaidi au cha juu zaidi kwa uhakika, basi vekta?() na g"() ni collinear ( mradi tu kazi zote mbili zina derivatives kwa uhakika).

Katika nadharia ya jumla ya Lagrange, kazi? inategemea si mbili, lakini kwa vigezo n, na kuna kazi kadhaa g(x) zinazobainisha vikwazo (x)=0, i=l,..., m. Tutaiacha nadharia hii bila uthibitisho, itatupeleka mbali sana uchambuzi wa hisabati. Wacha tuone jinsi inavyofanya kazi vizuri katika kutafuta maxima na minima.

Theorem (Sheria ya Snell juu ya kinzani ya mwanga). Vyombo vya habari viwili vinatenganishwa na mstari wa moja kwa moja, kwa kwanza kasi ya uenezi wa mwanga ni sawa, na kwa pili -. Ikiwa ray ya mwanga inaacha kati ya kwanza kwa pembe kwa kawaida na inaingia pili kwa pembe, basi

Ushahidi. Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege hutolewa na equation

iko wapi sehemu ya kiholela kwenye mstari,

a n ni vekta perpendicular kwa mstari. Hebu tuchague hatua ya kiholela kwenye boriti inayoingia ya mwanga na hatua kwenye moja iliyokataa (Mchoro 30). Mwanga daima husafiri kwenye njia ambayo inachukua muda mdogo zaidi. Hii ina maana kwamba tunahitaji kupata pointi x kwenye mpaka wa vyombo vya habari ambayo wingi wake?(x) = inachukua thamani ndogo zaidi. Tunapata jukumu:

?(x)=-min chini ya hali g(x) = n (x--) = 0.

Kulingana na kanuni ya Lagrange, kwa kiwango cha chini vekta "(x) na g"(x) ni collinear. Derivative?(x) ni sawa na jumla ya vekta ambayo ina urefu wa 1/ na ina mwelekeo wa pamoja na vekta x--, na vekta ya urefu 1/, inayoelekeza pamoja na vekta x--. Na derivative g"(x) ni sawa na vekta n. Hali ya collinearity inamaanisha kuwa jumla + ni perpendicular kwa mstari, yaani, makadirio ya vekta na kwenye mstari ni sawa. Kwa hivyo, kile kilichohitajika.

Kweli, sasa tuko tayari kuwasilisha suluhisho zilizoahidiwa kwa shida za kiwango cha chini cha umbali hadi hatua kwenye mstari wa moja kwa moja na kwa uhakika kwenye ndege.

66. Tatizo kuhusu kiasi cha chini umbali kutoka kwa pointi k za ndege hadi hatua kwenye mstari. Mstari na pointi k hutolewa kwenye ndege. Pata (au onyesha) nafasi ya hatua kwenye mstari wa moja kwa moja ambayo jumla ya umbali kwa pointi hizi ni ndogo.

Suluhisho. Wacha niwe mstari uliopewa na iwe alama ulizopewa. Wacha tusuluhishe shida kwa kiwango cha chini:

?(x) = |x--|+...+|x--|^min iliyotolewa g(x) = n (x--) = 0,

ambapo ni hatua ya kiholela kwenye mstari l, na n ni vector perpendicular kwa mstari huu. Wacha tuonyeshe kwa vekta ya urefu wa kitengo, inayoelekeza pamoja na vekta x--. Kisha?"(x)=+...+, a g"(x)=n. Kulingana na nadharia ya Lagrange, kwa kiwango cha chini vekta?(x) ni collinear kwa n, yaani, perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja l. Kwa hivyo: Suluhisho la shida ni hatua kwenye mstari l ambayo jumla ya makadirio kwenye mstari k wa veta za kitengo zilizoelekezwa kutoka kwake hadi kwa alama zilizopewa ni sawa na sifuri.

Ikiwa nje ya pointi k zilizopewa kuna angalau moja ambayo haina uongo kwenye mstari l, basi tatizo lina suluhisho la pekee. Hii ni rahisi sana kuthibitisha ikiwa unatumia mbinu kutoka kwa Tatizo la 62. Ikiwa k?3, basi hatua kama hiyo, kwa ujumla, haiwezi kujengwa kwa kutumia dira na mtawala (kuhesabu kuratibu zake kunaongoza kwa equation. shahada ya juu) Kwa hivyo, kwa hali ya jumla, hatuna chochote bora kuliko maelezo ya kiwango cha chini ambacho tulitoa.

Tatizo la jumla ya chini ya umbali kutoka kwa pointi k katika nafasi hadi hatua kwenye ndege fulani. Ndege na pointi k hutolewa katika nafasi. Pata (au sifa) nafasi ya hatua kwenye ndege ambayo jumla ya umbali kwa pointi hizi ni ndogo.

Suluhisho la shida hii sio tofauti na lile lililopita na husababisha jibu kama hilo:

Kiwango cha chini kinapatikana katika hatua x ya ndege, ambayo jumla ya makadirio kwenye ndege ya vekta za kitengo cha k iliyoelekezwa kutoka x hadi pointi hizi ni sawa na sifuri.

4.2 Njia ya kuzidisha lagrange

Njia ya kupata ncha ya masharti ya chaguo la kukokotoa f(x), wapi, kiasi m vikwazo i(x) = 0, i inatofautiana kutoka moja hadi m.

Acha shida ya NP itolewe chini ya vikwazo vya usawa vya fomu

Punguza (4.2.1)

chini ya vikwazo

Wacha tuchukue kuwa kazi zote zinaweza kutofautishwa. Wacha tuanzishe seti ya anuwai (idadi ambayo ni sawa na idadi ya vizuizi), ambayo huitwa. Vizidishi vya Lagrange, na kutunga kazi ya Lagrange ya fomu hii:

Taarifa hii ni kweli: ili vekta iwe suluhu la tatizo (4.2.1) chini ya vizuizi (5.2.2), ni muhimu kuwe na vekta ambayo jozi ya vekta inaweza kukidhi mfumo wa milinganyo.

Wacha tuonyeshe ulazima wa masharti (4.2.4), (4.2.5) kwa kutumia mfano rahisi:

punguza (4.2.6)

chini ya vikwazo

Vikwazo (5.2.7) hufafanua eneo linalowezekana, ambalo ni curve katika nafasi na ni matokeo ya makutano ya na.

Wacha tuchukue kuwa shida inayozingatiwa ina kiwango cha chini katika: , kazi zina derivatives za mpangilio wa kwanza kwenye seti kadhaa wazi na gradient.

kujitegemea linearly.

Ikiwa vigezo viwili katika equations (4.2.7) vinaweza kuonyeshwa kwa njia ya tatu katika fomu, kisha kuzibadilisha katika kazi ya lengo (5.2.6), tunabadilisha tatizo la awali kuwa tatizo lifuatalo bila vikwazo, ambalo lina moja tu. tofauti:

punguza. (4.2.8)

Kwa kuwa gradient ni endelevu na huru kwa mstari, tunaweza kutumia nadharia inayojulikana ya uchanganuzi wa hisabati kuhusu kazi isiyo wazi na kupata uhakika wa stationary, na kisha.

Mbinu hapo juu inaweza, kimsingi, kupanuliwa kwa kesi ya kazi ya vigeuzo mbele ya vikwazo vya usawa:

Ikiwa vipengele vya kukokotoa vinakidhi masharti ya nadharia ya utendakazi bainifu, basi milinganyo inayobadilika (4.2.9) inaweza kuonyeshwa kulingana na vigeu vilivyosalia, kuvibadilisha na hivyo kubadilisha tatizo la upunguzaji uliozuiliwa kuwa tatizo la upunguzaji usiodhibitiwa na vigeu. Hata hivyo, mbinu hii ni vigumu kutekeleza katika mazoezi, kwa kuwa ni vigumu sana kutatua equations (4.2.9) kwa heshima na vigezo vingine. Kwa ujumla, hii haiwezekani kabisa.

Kwa hivyo, hebu fikiria njia nyingine, ambayo inategemea njia ya kuzidisha ya Lagrange.

Hebu iwe hatua ya chini inayofafanuliwa kwa kujieleza (4.2.8). Kwa mujibu wa nadharia inayojulikana ya uchambuzi wa hisabati kuhusu kazi isiyo wazi, tunaweza kuandika

Tunapata mahusiano sawa kwa vikwazo

Hebu tuandike milinganyo (4.2.10), (4.2.11) pamoja katika fomu

Kwa kuwa vekta sio sifuri, inafuata kutoka (4.2.12) hiyo. Inafuata kutoka kwa hii kwamba veta za safu
matrices A lazima tegemezi linearly. Kwa hivyo, kuna alama tatu kama hizo sio zote sawa na 0, kama hiyo

Scalar A haiwezi kuwa sawa na 0, kwani, kulingana na dhana, na zinajitegemea kwa mstari. Kwa hiyo, baada ya kugawanya (5.2.13) na, tunapata

Kwa hiyo, kwa tatizo la kupunguza vikwazo (4.2.6), kuna wale ambao equation (4.2.14) ni halali na ambayo wakati huo huo haipotezi. Kwa hivyo, uhalali wa masharti (4.2.4) kwa kesi n = 3 umeonyeshwa.

Kwa hivyo, ili kupata kiwango cha chini (4.2.6) chini ya masharti (4.2.7), ni muhimu kupata sehemu ya stationary ya kazi ya Lagrange:

Ili kupata maadili yanayotakiwa, ni muhimu kutatua kwa pamoja mfumo wa equations (4.2.14), (4.2.5). Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, hali (4.2.14) inamaanisha kuwa iko kwenye ndege iliyopangwa na vekta.

Sasa hebu fikiria kesi ya jumla kwa wale wa kiholela. Acha shida ya NP itolewe kwa fomu (4.2.1), (4.2.2), kazi zote zina derivatives ya sehemu inayoendelea kwenye seti. Wacha iwe sehemu ndogo ya seti ambayo hufanya kazi zote, ambayo ni, Kisha nadharia ifuatayo kuhusu vizidishi vya Lagrange ni halali.

Nadharia. Hebu tusemeAlhamisioh kuna hatua kama hiyo , ambapo upeo wa jamaa wa tatizo la NP (5.2.1) unapatikana chini ya masharti (4.2.2). Kama cheomatrices kwa uhakika sawa , basi zipo nambari , sio zote ambazo ni sawa na sifuri kwa wakati mmoja, ambazo

Nadharia hii inahalalisha njia ya kuzidisha ya Lagrange, ambayo ina hatua zifuatazo.

Tunga kazi ya Lagrange

Tafuta sehemu za sehemu

Tatua mfumo wa milinganyo

na kupata pointi zinazokidhi mfumo (4.2.16).

4.3 Njia ya Lagrange ya vizidishi visivyojulikana

Inatumika kutatua shida na usemi wa uchambuzi kwa kigezo cha hali bora na mbele ya vizuizi kwa uhuru. vigezo vya aina sawa Ili kupata suluhisho la uchambuzi, inahitajika kwamba vikwazo viwe na fomu ya uchambuzi. Utumiaji wa viongezaji vingi vya Lagrange huturuhusu kupunguza shida ya utoshelezaji na vizuizi kwa shida iliyotatuliwa na njia za kusoma kazi za uchambuzi wa kitamaduni. Katika kesi hii, mpangilio wa mfumo wa milinganyo uliotatuliwa ili kupata upeo wa kigezo cha utoshelezaji huongezeka kwa idadi ya vikwazo. Njia ni nzuri wakati idadi ya vigezo ni tatu au chini. Njia hiyo pia hutumiwa wakati idadi ya vigezo ni zaidi ya tatu, ikiwa mchakato unaelezewa na equations za mwisho.

Hebu iwe ni muhimu kupata upeo wa kazi ambayo inategemea vigezo vya n, ambavyo kwa upande wake vinaunganishwa na mahusiano. Upeo unaopatikana na kazi, kwa kuzingatia utimilifu wa masharti, huitwa jamaa, au masharti. Ikiwa idadi ya vigezo ni sawa na idadi ya mahusiano (), basi haijulikani zinazohitajika zinapatikana kwa kutatua mfumo wa equations ulioelezwa na mahusiano. Kutatua tatizo la utoshelezaji kunakuja kwa kuangalia maadili ya vigeuzo vinavyopatikana kwa njia hii dhidi ya kazi. Kwa hivyo, tatizo kubwa linaweza kutatuliwa kwa kuorodhesha tu vigeu vinavyokidhi masharti.

Kama m< n , basi kutoka kwa milinganyo ya mawasiliano tunaweza kupata utegemezi m vigezo kutoka n - m vigezo vilivyobaki, i.e.

Chaguo la kukokotoa linaweza kupatikana kwa kubadilisha vigeu vinavyotokana na kitendakazi. Kisha itategemea tu vigezo ambavyo havijafungwa na hali ya ziada. Kwa hiyo, kwa kuondoa vikwazo inawezekana kupunguza mwelekeo wa tatizo la uboreshaji wa awali. Mara nyingi tatizo haliwezi kutatuliwa kwa uchambuzi kwa njia hii. Kwa hiyo, ili kutatua matatizo ya kutafuta upeo wa kazi ya vigezo vingi, njia ya Lagrange ya multipliers isiyojulikana hutumiwa kawaida.

Wakati wa kutambulisha viambishi vipya vinavyoitwa vizidishi vya Lagrange visivyo na kikomo, inawezekana kuanzisha kitendakazi kipya.

hizo. kazi m+n vigezo, ambapo vikwazo vilivyowekwa na mfumo wa kazi vinajumuishwa kama sehemu muhimu.

Thamani iliyokithiri ya chaguo za kukokotoa inaambatana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa ikiwa hali ya kikwazo itatimizwa. Hali ya lazima kwa upeo wa kazi ya vigezo vingi ni kwamba tofauti ya kazi hii katika hatua ya juu ni sawa na sifuri, i.e.

Ili usemi huu utosheke kwa maadili yoyote ya tofauti huru, ni muhimu kwamba coefficients ya tofauti hizi iwe sawa na sifuri, ambayo inatoa mfumo wa equations.

Katika kesi hii, mpya huru huamua kutoka kwa hali hiyo

Mchanganyiko wa mifumo (4.3.1) na (4.3.2) inaweza kupatikana

Kwa hivyo, shida katika fomu (4.3.3) inapunguza kazi: pata

Kwa kando, inapaswa kuzingatiwa kuwa katika hali ya jumla, njia ya kuzidisha ya Lagrange inaruhusu mtu kupata hali muhimu tu kwa uwepo wa hali ya juu ya masharti kwa kazi zinazoendelea ambazo zina derivatives zinazoendelea. Hata hivyo, kutoka maana ya kimwili shida inayotatuliwa kawaida inajua ikiwa tunazungumza juu ya kiwango cha juu au cha chini cha kazi kwa kuongeza, kama sheria, katika shida za muundo kazi kwenye sehemu inayozingatiwa sio sawa. Kwa hivyo, katika shida za muundo hakuna haja ya kuangalia maadili ya vijiti vinavyopatikana wakati wa kutatua mifumo inayozingatiwa ya equations kwa uliokithiri kwa kutumia uchambuzi wa derivatives za hali ya juu.

4.4 Kesi ya pande mbili

Tuseme tunahitaji kupata mwisho wa baadhi ya kazi ya vigezo viwili f(x,y) chini ya sharti lililotajwa na mlinganyo w( x,y) = 0. Tutachukulia kuwa vitendaji vyote vinaweza kutofautishwa kila mara, na mlinganyo huu unafafanua mkunjo laini. S juu ya uso ( x,y) Kisha shida inapunguza kupata upeo wa kazi f kwenye curve S. Sisi pia kudhani kwamba S haipiti mahali ambapo gradient f inageuka 0.

Mistari ya kiwango f(x,y) na curve S

Wacha tuchore kwenye ndege ( x,y) mistari ya kiwango cha kazi f(yaani curves f(x,y) = const). Kutoka kwa masuala ya kijiometri ni wazi kwamba mwisho wa kazi f kwenye curve S kunaweza tu kuwa na pointi ambazo tangents zinafanya S na mstari wa ngazi unaolingana unaambatana. Kwa kweli, ikiwa ni Curve S huvuka mstari wa ngazi f kwa uhakika ( x 0 ,y 0) kigeugeu (hiyo ni, kwa pembe isiyo ya sifuri), kisha kusonga kando ya curve S kutoka kwa uhakika ( x 0 ,y 0) tunaweza kupata mistari ya kiwango inayolingana na dhamana kubwa f, na kidogo. Kwa hiyo, hatua hiyo haiwezi kuwa hatua kali.

Kwa hivyo, hali ya lazima kwa uliokithiri katika kesi yetu itakuwa bahati mbaya ya tangents. Ili kuiandika katika hali ya uchanganuzi, kumbuka kuwa ni sawa na ulinganifu wa mikunjo ya kazi. f na w katika hatua hii, kwa kuwa vekta ya gradient ni perpendicular kwa tangent kwa mstari wa ngazi. Hali hii inaonyeshwa kwa fomu ifuatayo:

ambapo l ni nambari isiyo ya sifuri ambayo ni kizidishi cha Lagrange.

Hebu sasa tufikirie Kazi ya Lagrange, kutegemea x,y na l:

L(x,y,l) = f(x,y)? lsh( x,y)

Hali ya lazima kwa upeo wake ni kwamba gradient iwe sawa na sifuri. Kwa mujibu wa sheria za kutofautisha, imeandikwa kwa fomu

Tumepata mfumo, milinganyo miwili ya kwanza ambayo ni sawa na hali ya lazima kwa upeo wa ndani (1), na ya tatu ni sawa na mlinganyo w( x,y) = 0. Kutoka humo tunaweza kupata ( x 0 ,y 0, l 0). Aidha, kwa kuwa vinginevyo gradient ya kazi f hutoweka katika hatua, ambayo inapingana na mawazo yetu. Ikumbukwe kwamba pointi zinazopatikana kwa njia hii ( x 0 ,y 0) inaweza kuwa sio pointi zinazohitajika za upeo wa masharti - hali inayozingatiwa ni muhimu, lakini haitoshi. Kutafuta upeo wa masharti kwa kutumia kazi ya msaidizi L na huunda msingi wa njia ya kuzidisha ya Lagrange, inayotumika hapa kwa kesi rahisi zaidi ya vigezo viwili. Inabadilika kuwa hoja iliyo hapo juu ni ya jumla kwa kesi hiyo nambari yoyote vigezo na milinganyo inayobainisha masharti

Hitimisho

Utumiaji wa mifano ya hisabati sasa imekuwa suala muhimu sana kuhusiana na uchumi unaoendelea kila wakati.

Ujenzi wa mfano wa hisabati (mfano) wa mfumo unaweza kuanza kwa kuorodhesha vipengele vyote vya mfumo vinavyoathiri ufanisi wa mfumo. Ikiwa "gharama ya jumla inayotarajiwa" inatumiwa kama kipimo cha ufanisi wa jumla, basi mtu anaweza kuanza kwa kuchunguza mfano wa picha au analogi uliopatikana katika hatua ya uundaji wa tatizo.

Njia ya kuzidisha ya Lagrange hukuruhusu kupata kiwango cha juu au cha chini cha chaguo za kukokotoa chini ya vikwazo vya usawa. Wazo kuu la njia hiyo ni kuhama kutoka kwa shida ya kupata hali ya juu ya masharti hadi shida ya kupata upeo usio na masharti wa kazi fulani ya Lagrange iliyojengwa.

Kwa hivyo, njia ya kuzidisha ya Lagrange ina jukumu muhimu katika maendeleo, utabiri, ujenzi wa chaguo bora, nyanja ya shughuli za kibinadamu.

. Orodha ya fasihi iliyotumika

1. V.I. Varfolomeev "Vipengele vya kuiga mifumo ya kiuchumi." Moscow 2000

2. Buslenko N.P. "Mfano wa mifumo ngumu" Moscow, 1999.

3. W. Churchman, R. Akof, L. Artof. "Utangulizi wa Utafiti wa Uendeshaji." Sayansi: Moscow, 1968.

4. A. Budylin "Matatizo ya msingi". Moscow, 2002

5. Vanko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Tofauti "Kalkulasi na udhibiti bora". Moscow, 1999

6. Ashmanov S.A., Timokhov A.V. "Nadharia ya uboreshaji katika shida na mazoezi." Moscow, 1991

7. "Warsha ya maabara juu ya mbinu za uboreshaji." A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev - Samara, 1998

Nyaraka zinazofanana

    Mbinu ya kusuluhisha tatizo ambapo viambajengo a[i] hubainishwa kwa kusuluhisha mfumo moja kwa moja - njia ya vipatanishi ambavyo havijabainishwa. Fomula ya tafsiri ya Newton na lahaja zake. Ujenzi wa Lagrange interpolation polynomial kulingana na kazi iliyopewa.

    kazi ya maabara, imeongezwa 11/16/2015

    Utumiaji wa kazi ya Lagrange katika convex na programu ya mstari. Tatizo rahisi zaidi la Boltz na calculus classical ya tofauti. Kwa kutumia mlinganyo wa Euler-Lagrange kutatua tatizo la isoperimetric. Masharti ya mipaka ya kupata mara kwa mara.

    kazi ya kozi, imeongezwa 01/16/2013

    Kutafuta upeo wa kazi ya vigezo kadhaa sio juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, lakini juu ya seti inayokidhi hali fulani. Uchunguzi kifani kupata alama za juu na za chini za chaguo la kukokotoa. Vipengele kuu vya njia ya kuzidisha Lagrange.

    uwasilishaji, umeongezwa 09/17/2013

    Mbinu za uboreshaji usio na masharti na usio na masharti. Utafiti wa chaguo za kukokotoa kwa ncha isiyo na masharti. Mbinu za nambari za kupunguza chaguo za kukokotoa. Kupunguza na vikwazo vilivyochanganywa. Sehemu za tandiko za kazi ya Lagrange. Kutumia vifurushi vya MS Excel na Matlab.

    kazi ya maabara, imeongezwa 07/06/2009

    Manufaa ya milinganyo ya Lagrange na matumizi yao. Uainishaji wa viunganisho ndani mfumo wa mitambo. Harakati zinazowezekana za mfumo wa mitambo na idadi ya digrii za uhuru. Utumiaji wa milinganyo ya Lagrange ya aina ya pili kwa utafiti wa mfumo wa mitambo.

    kazi ya kozi, imeongezwa 08/21/2009

    Utumiaji wa nadharia ya Lagrange katika kutatua shida. Matumizi yake katika kutatua usawa na equations, wakati wa kutafuta idadi ya mizizi ya equation fulani. Kutatua matatizo kwa kutumia hali ya monotonicity. Miunganisho kati ya vipengele vinavyoongezeka au vinavyopungua.

    muhtasari, imeongezwa 03/14/2013

    Uthibitisho wa kuwepo na upekee wa tafsiri ya polynomial ya Lagrange. Dhana ya coefficients ya Lagrangian. Njia za kubainisha mteremko wa spline ya ujazo inayoingiliana, matumizi yake kwa kazi za kukadiria kwa vipindi vikubwa.

    uwasilishaji, umeongezwa 10/29/2013

    Kupata utendakazi uliokithiri kwa kutumia njia ya kuzidisha Lagrange. Usemi wa utendakazi wa lengo uliopanuliwa. Mpango wa algorithm ya suluhisho la nambari ya shida kwa njia ya kazi za adhabu pamoja na njia ya kupunguza bila masharti. Ujenzi wa mistari ya vikwazo.

    kazi ya kozi, imeongezwa 05/04/2011

    Uundaji wa kazi ya Lagrange, hali ya Kuhn na Tucker. Mbinu na chati za uboreshaji nambari. Utumiaji wa njia za kazi ya adhabu, hatua ya nje, ratibu ukoo, unganisha gradient kwa ajili ya kupunguza matatizo ya uboreshaji wa masharti hadi yale yasiyo na masharti.

    kazi ya kozi, imeongezwa 11/27/2012

    Kupanga grafu ya utendaji unaoendelea. Ufafanuzi wa multiplier ya Lagrange. Hoja muhimu ni thamani za hoja kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa hutoweka. Kubwa zaidi na thamani ndogo kazi kwenye sehemu.

Nadharia ya 1. Acha jambo liwe sehemu ya mwisho ya masharti ya chaguo za kukokotoa wakati milinganyo ya muunganisho (3) inaporidhika. Halafu kuna nambari ambazo masharti yanatimizwa kwa uhakika

Matokeo. Hebu tuweke

ziko wapi nambari zilizoainishwa katika nadharia. Kazi (8) inaitwa kazi ya Lagrange. Ikiwa hatua ni hatua ya mwisho ya masharti kwa kazi, basi ni hatua ya kusimama kwa kazi ya Lagrange, i.e. katika hatua hii

Uthibitisho wa nadharia. Hebu iwe sehemu ya mwisho ya masharti ya chaguo la kukokotoa na uruhusu hali (4) itimizwe katika hatua hii kwa uhakika. Kisha uhakika ni hatua ya extremum ya kawaida kwa kazi, kwa hiyo kwa uhakika

kutoka wapi, kwa kutumia kutofautiana kwa fomu ya tofauti ya kwanza, kwa uhakika tunayo

Kubadilisha (5) hadi (3) na kutofautisha utambulisho unaosababishwa katika eneo fulani la uhakika, na kwa hivyo katika hatua yenyewe, tunapata.

Katika fomula (11), na vile vile katika fomula (10), tofauti ni tofauti za vigezo huru, na tofauti ni tofauti za kazi.

Chochote nambari, kuzidisha usawa (11) katika hatua ya chaguo la kukokotoa kwa, na kuziongeza pamoja na kwa usawa (10), tunapata

Baada ya kuchagua ili usawa ushikilie kwa uhakika

Hili linawezekana kila wakati, kwani (13) ni mfumo wa milinganyo inayolingana na kiambishi

si sawa na sifuri.

Kwa chaguo hili tunalo

Hapa, tofauti zote ni tofauti za vigezo vya kujitegemea na, kwa hiyo, ni tofauti za kujitegemea ambazo zinaweza kuchukua maadili yoyote. Kuchukua, na tofauti zingine zote zilizojumuishwa katika fomula (14), sawa na sifuri, tunapata

Hivyo, tumethibitisha kuwepo kwa vile kwamba masharti (13) na (15) yanatimizwa, i.e. masharti (7).

Nadharia imethibitishwa.

Algorithm ya kupata upeo wa kazi kwa kutumia njia ya kuzidisha ya Lagrange

Wacha iwe muhimu kupata utendakazi wa mwisho wa n viambishi f(x 1 ,x 2 ,…,x n) mradi tu viambajengo x 1 ,x 2 ,…,x n vinahusiana na mahusiano (vikwazo)

kati ya ambayo idadi ya vikwazo vya usawa ni chini ya nambari n ya vigezo, na idadi r ya vikwazo vya usawa inaweza kuwa ya kiholela.

Ili kupata maadili (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X, ambayo lazima kutoa mwisho wa chaguo za kukokotoa f(X), unaweza kutumia mbinu ya Lagrange ya vizidishi visivyojulikana:

  • 1. Vikwazo vya ukosefu wa usawa g(X)0 hupunguzwa hadi fomu (X)0, ambapo (X) = - g(X).
  • 2. Vizuizi vilivyopatikana vya usawa

kwa upande wake, hupunguzwa kwa vikwazo vya usawa kwa kuanzisha +r vigezo vya ziada

Kama matokeo, shida ya kupata ukali wa masharti itachukua fomu ya kisheria:

ambamo uhusiano m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Kitendaji cha Lagrange kimeundwa:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

ambamo viambajengo vya ziada ( 1 ,…, m++r )= vinaitwa vizidishi vya Lagrange ambavyo havijabainishwa.

Kwa kazi ya Lagrange iliyojengwa, tunaweza kuleta shida ya kupata upeo usio na masharti

matokeo ya suluhisho ambalo litapatana na suluhisho linalohitajika kwa shida ya asili ya kupata ukali wa masharti.

4. Kwa kazi Ф(Х,), masharti muhimu ya kuwepo kwa uliokithiri yanaundwa:

5. Mfumo unaotokana wa equations Ф(Х,) = 0 hutatuliwa, na kama matokeo ya suluhisho maadili yanapatikana.

kuridhisha masharti muhimu kuwepo kwa uliokithiri.

6. Ili kutatua swali la ikiwa kuna maxima au minima katika pointi zilizopatikana, mtu anapaswa kutumia hali ya kutosha kwa kuwepo kwa extrema, ambayo kwa kazi laini Ф() imeundwa kama ifuatavyo:

ikiwa wakati fulani matrix ya derivatives ya pili ni chanya ya uhakika, basi kiwango cha chini cha kazi f (X) iko kwenye hatua iliyochambuliwa;


Wacha na iwe kazi zinazoweza kutofautishwa mara mbili za hoja ya vekta. Inahitajika kupata upeo wa kazi, mradi hoja inakidhi mfumo wa vikwazo:

(hali ya mwisho pia inaitwa hali ya uunganisho).

Wengi njia rahisi kupata ukomo wa masharti ni kupunguza tatizo la kupata ukomo usio na masharti kwa kutatua mlinganyo wa uunganisho kwa heshima na m vigezo na uingizwaji wao unaofuata katika utendaji wa lengo.

Mfano 3. Pata mwisho wa chaguo la kukokotoa chini ya hali hiyo.

Suluhisho. Kutoka kwa equation ya uunganisho tunayoelezea x 2 kupitia x 1 na ubadilishe usemi unaotokana na chaguo za kukokotoa katika:

Chaguo hili la kukokotoa lina upeo mmoja (kiwango cha chini) kwa x 1=2. Kwa mtiririko huo, x 2=1. Kwa hivyo, hatua ya mwisho ya masharti (chini) ya kazi iliyotolewa ni uhakika.

Katika mfano unaozingatiwa, equation ya kuunganisha inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa heshima na moja ya vigezo. Hata hivyo, katika hali ngumu zaidi si mara zote inawezekana kueleza vigezo. Ipasavyo, mbinu iliyoelezwa hapo juu haitumiki kwa matatizo yote.

Zaidi mbinu ya ulimwengu wote kutatua matatizo ya kutafuta extremum masharti ni Njia ya kuzidisha lagrange. Inategemea matumizi ya nadharia ifuatayo. Ikiwa hatua ni hatua ya mwisho ya kazi katika eneo iliyofafanuliwa na equations, basi (kwa baadhi masharti ya ziada) kuna vile m-dimensional vekta hatua hiyo ni hatua ya stationary ya kazi

Algorithm ya njia ya kuzidisha ya Lagrange

Hatua ya 1. Tunga kazi ya Lagrange:

iko wapi kizidishi cha Lagrange kinacholingana na i- kizuizi.

Hatua ya 2. Pata derivatives ya sehemu ya kazi ya Lagrange na ulinganishe na sifuri

Hatua ya 3. Baada ya kusuluhisha mfumo unaotokana na n+m equations, kupata pointi stationary.

Kumbuka kwamba katika maeneo ya stationary hali muhimu lakini haitoshi kwa upeo wa kazi imeridhika. Uchambuzi wa hatua ya kusimama kwa uwepo wa uliokithiri ndani yake kwa kesi hii ngumu sana. Kwa hiyo, njia ya kuzidisha ya Lagrange hutumiwa hasa katika hali ambapo kuwepo kwa kiwango cha chini au cha juu cha kazi chini ya utafiti hujulikana mapema kutoka kwa masuala ya kijiometri au makubwa.

Wakati wa kutatua baadhi majukumu ya kiuchumi Vizidishi vya lagrange vina maudhui fulani ya kisemantiki. Kwa hivyo, ikiwa - faida ya biashara chini ya mpango wa uzalishaji n bidhaa, - gharama i-th rasilimali, basi l i- tathmini ya rasilimali hii, inayoonyesha kiwango cha mabadiliko katika ukamilifu wa kazi ya lengo kulingana na mabadiliko. i- rasilimali.

Mfano 4. Tafuta mwisho wa kitendakazi chini ya hali hiyo.

Suluhisho. Vipengele vya kukokotoa ni vya kuendelea na vina viasili vya sehemu vinavyoendelea. Wacha tutengeneze kazi ya Lagrange:

Hebu tutafute derivatives za sehemu na tuzifananishe na sifuri.

Tunapata alama mbili za stationary:

Kuzingatia asili ya kazi ya lengo, mistari ya ngazi ambayo ni ndege, na kazi (ellipse), tunahitimisha kuwa kwa uhakika, kazi inachukua thamani ya chini, na kwa kiwango cha juu.

Mfano 5. Katika uwanja wa ufumbuzi wa mfumo

pata thamani ya juu na ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa kutokana na hali .

Suluhisho. Makutano ya kanda ya ufumbuzi unaowezekana na mstari wa moja kwa moja ni sehemu MN: M(0,6), N(6.0). Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linaweza kuchukua maadili ya hali ya juu ama katika vituo vya kusimama au kwa pointi M Na N. Ili kupata hatua ya kusimama, tunatumia njia ya Lagrange. Wacha tutengeneze kazi ya Lagrange

Hebu tutafute derivatives ya sehemu ya kazi ya Lagrange na tuifananishe na sifuri

Kutatua mfumo, tunapata hatua ya stationary K(2.2;3.8). Wacha tulinganishe maadili ya kazi ya lengo kwenye vidokezo K, M, N:

Kwa hivyo,

Mfano 6. Mahitaji ya soko ya bidhaa fulani yanajulikana kuwa vipande 180. Bidhaa hii inaweza kutengenezwa na biashara mbili za wasiwasi sawa kwa kutumia teknolojia tofauti. Katika uzalishaji x 1 bidhaa na biashara ya kwanza, gharama zake zitakuwa kusugua., na wakati wa uzalishaji x 2 bidhaa na biashara ya pili wanayounda kusugua.

Amua ni bidhaa ngapi zinazotengenezwa kwa kutumia kila teknolojia ambayo wasiwasi inaweza kutoa ili gharama ya jumla ya uzalishaji wake iwe ndogo.

Suluhisho. Mfano wa hisabati kazi:

Ili kupata thamani ya chini ya chaguo za kukokotoa lengo kulingana na x 1+ x 2=180, yaani. Bila kuzingatia hitaji la kutokuwa hasi kwa anuwai, tunaunda kazi ya Lagrange:

Wacha tupate derivatives ya kwanza ya kazi ya Lagrange kwa heshima na x 1, x 2, l, na kuzilinganisha na 0. Tunapata mfumo wa milinganyo:

Kutatua mfumo huu, tunapata mizizi ifuatayo: , i.e. tunapata viwianishi vya hatua inayoshukiwa kuwa ya msimamo mkali.

Kuamua kama uhakika ( ) kima cha chini cha kawaida, tunasoma kiambishi cha Hessian, ambacho tunakokotoa sehemu ya pili ya kipengele cha kukokotoa cha lengo:

Kwa sababu

basi kiambishi cha Hessian ni chanya uhakika; kwa hivyo, kazi ya lengo ni laini na kwa uhakika ( ) tuna kiwango cha chini cha ndani:



MAKALA INAYOHUSIANA