Kubadilisha kigezo katika muunganisho usiojulikana. Uhesabuji wa viungo. Mabadiliko ya vigeu Viunganishi Mabadiliko ya mifano tofauti

Hesabu kiunganishi ulichopewa kwa ujumuishaji wa moja kwa moja

Haifanyi kazi kila wakati. Moja ya mbinu za ufanisi zaidi

ni njia ya kubadilisha au uwekaji wa kigezo cha ujumuishaji.

Kiini cha njia hii ni kwamba kwa kuanzisha kibadilishaji kipya cha ujumuishaji inawezekana kupunguza kiunga kilichopewa

kwa kiungo kipya, ambacho kinachukuliwa na ushirikiano wa moja kwa moja.

Fikiria njia hii:

Wacha iwe kazi inayoendelea

haja ya kupata: (1)

Wacha tubadilishe utofauti wa ujumuishaji:

ambapo φ (t) ni chaguo za kukokotoa tone moja ambayo ina derivative inayoendelea

na kuna kazi changamano f(φ(t)).

Inatumika kwa F (x) = F(φ (t)) fomula changamano ya upambanuzi

kazi, tunapata:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

Lakini F′(x) = f (x) = f (φ (t)), hivyo

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Kwa hivyo, kazi F (φ (t)) ni antiderivative ya kazi

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), kwa hivyo:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Kwa kuzingatia kwamba F (φ (t)﴿ = F (x), kutoka (1) na (4) fomula ya uingizwaji ifuatavyo.

kutofautisha kwa muunganisho usiojulikana:

∫ f (x) dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Kimsingi, fomula (5) hupatikana kwa kubadilisha x na φ (t) na dx na φ′ (t)dt.

Matokeo yaliyopatikana baada ya kuunganishwa kulingana na fomula (5) ifuatavyo

rudi kwa variable x. Hii inawezekana kila wakati, kwani kwa upendeleo

Kwa kuongeza, kazi x = φ (t) ni monotonic.

Uchaguzi uliofanikiwa wa uingizwaji kawaida hujumuisha juhudi zinazojulikana.

ness. Ili kuwashinda, ni muhimu kujua mbinu ya kutofautisha

nukuu na kuwa na ufahamu mzuri wa viambatanisho vya jedwali.

Lakini bado inawezekana kuanzisha idadi ya sheria za jumla na baadhi ya mbinu

ushirikiano.

Sheria za ujumuishaji kwa kubadilisha:

1. Tambua ni jedwali gani linalojumuisha kiungo hiki kimepunguzwa hadi (baada ya kubadilisha usemi wa integrand, ikiwa ni lazima).

2. Tambua ni sehemu gani ya kitendakazi cha integrand inahitaji kubadilishwa

tofauti mpya, na uandike uingizwaji huu.

3. Tafuta tofauti za sehemu zote mbili za rekodi na ueleze tofauti

piga ya utofauti wa zamani (au usemi ulio na tofauti hii.

kikanda) kupitia utofautishaji wa kigezo kipya.

4. Fanya mbadala chini ya kiunganishi.

5. Pata kiunga kinachosababisha.

6. Matokeo yake, huenda kwa kutofautiana kwa zamani.

Mifano ya kutatua viambatanisho kwa kutumia njia mbadala:

1. Tafuta: ∫ x²(3+2x) dx

Suluhisho:

wacha tufanye badala 3+2x = t

Wacha tupate tofauti za pande zote mbili za uingizwaji:

6x dx = dt, kutoka wapi

Kwa hivyo:

∫ x (3+2x) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Kubadilisha t na usemi wake kutoka kwa uingizwaji, tunapata:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Suluhisho:

= = ∫ e = e + C = e + C

Suluhisho:

Dhana ya kiunganishi dhahiri.

Tofauti ya thamani kwa chaguo la kukokotoa la kizuia derivative wakati hoja inabadilika kutoka hadi inaitwa kiungo dhahiri cha chaguo hili la kukokotoa katika safu kutoka a hadi b na inaashiria:

a na b huitwa mipaka ya chini na ya juu ya ushirikiano.

Ili kuhesabu kiunga dhahiri unahitaji:

1. Tafuta kiunga kinacholingana kisichojulikana

2. Weka badala ya usemi unaosababisha badala ya x, kwanza kikomo cha juu cha ujumuishaji ndani, na kisha kikomo cha chini - a.

3. Ondoa pili kutoka kwa matokeo ya kwanza ya uingizwaji.

Kwa kifupi, sheria hii imeandikwa katika mfumo wa fomula kama hii:

Fomula hii inaitwa Newton-Leibniz formula.

Tabia za kimsingi za kiunga fulani:

1. , ambapo K=const

3. Ikiwa , basi

4. Ikiwa kitendakazi sio hasi kwenye muda , wapi , basi

Wakati wa kubadilisha utofauti wa zamani wa ujumuishaji na mpya katika kiunganishi dhahiri, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya zamani ya ujumuishaji na mpya. Vikomo hivi vipya huamuliwa na uingizwaji uliochaguliwa.

Utumiaji wa kiunganishi dhahiri.

Eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na curve, mhimili wa x na mistari miwili iliyonyooka. Na imehesabiwa kwa formula:

Kiasi cha mwili kinachoundwa na mzunguko kuzunguka mhimili wa x wa trapezoid ya curvilinear inayopakana na mkunjo ambao haubadilishi ishara yake kwa, mhimili wa x na mistari miwili iliyonyooka. Na imehesabiwa kwa formula:

Kutumia kiunga cha uhakika, unaweza pia kutatua shida kadhaa za mwili.

Kwa mfano:

Ikiwa kasi ya mwili unaotembea kwa mstatili ni kazi inayojulikana ya wakati t, basi njia S iliyosafirishwa na mwili huu kutoka wakati t = t 1 hadi wakati t = t 2 imedhamiriwa na formula:

Ikiwa nguvu ya kutofautiana ni kazi inayojulikana ya njia ya S (inadhaniwa kuwa mwelekeo wa nguvu haubadilika), basi kazi A iliyofanywa na nguvu hii kwenye njia kutoka hadi imedhamiriwa na formula:

Mifano:

1. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = ; y = (x-2) 2; 0x.

Suluhisho:

a) Wacha tujenge grafu za kazi: y = ; y = (x-2) 2

b) Tambua takwimu ambayo eneo linahitaji kuhesabiwa.

c) Kuamua mipaka ya ushirikiano kwa kutatua equation: = (x-2) 2; x = 1 ;

d) Kuhesabu eneo la takwimu fulani:

S = dx + 2 dx = kitengo 1 cha 2

2. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

Y = x 2; x = y 2 .

Suluhisho:

x 2 =; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = kitengo 2

3. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka takwimu iliyofungwa na mistari karibu na mhimili wa 0x: y =; x = 1 .

Suluhisho:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = vitengo π/2. 3

Mtihani wa kazi ya nyumbani katika hisabati
Chaguzi za kazi.

Chaguo #1

y = (x + 1) 2; y = 1 - x ; 0x

Chaguo nambari 2

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = 6 - x; y = x 2 + 4

Chaguo #3.

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = - x 2 + 5; y = x + 3

Nambari ya chaguo 4.

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = x 2; x = 3 ; Ng'ombe

Chaguo #5.

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = 3 + 2x - x 2; Ng'ombe

Nambari ya chaguo 6.

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:

y = x + 6; y = 8 + 2x - x 2

Chaguo namba 7

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

3. Kokotoa ujazo wa mwili unaoundwa kwa kuzunguka kwa Ox ya umbo lililofungwa na mistari:

y = dhambi x ; y = 0; x = 0; x = p

Chaguo nambari 8.

1. Tatua mfumo wa milinganyo kwa njia tatu:

2. Kokotoa viambatanisho kwa kubadilisha utofauti:

Marejeleo

1. Imeandikwa D.T. Maelezo ya mihadhara juu ya hisabati ya juu Sehemu za 1, 2. M. IRIS PRESS, 2006.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. Vipengele vya hisabati ya juu. M. Academy, 2008

3. Vygodsky M.Ya. Mwongozo wa hisabati ya juu. M. Sayansi, 2001

4. Shipachev V.S. Hisabati ya juu. Shule ya Upili ya M., 2005

5. Shipachev V.S. Kitabu cha shida katika hisabati ya juu. Shule ya Upili ya M., 2005

2. Ubadilishaji unaobadilika (mbinu mbadala)

Kiini cha njia ya uingizwaji ni kwamba kama matokeo ya kuanzisha kigezo kipya, kilichopewa magumu muhimu hupunguzwa kwa tabular moja au moja ambayo njia ya hesabu inajulikana.

Hebu iwe muhimu kuhesabu muhimu. Kuna sheria mbili za uingizwaji:

Sheria ya jumla ya kuchagua chaguo la kukokotoa
haipo, lakini kuna aina kadhaa za kazi za integrand ambazo kuna mapendekezo ya kuchagua kazi
.

Uingizaji wa vigezo unaweza kutumika mara kadhaa hadi matokeo yanapatikana.

Mfano 1. Tafuta viungo:

A)
; b)
; V)
;

G)
;
d)
.

;

e)
Suluhisho.
a) Kati ya viunga vya jedwali hakuna radicals ya digrii anuwai, kwa hivyo "nataka kujiondoa", kwanza kabisa, ya Na. Ili kufanya hivyo utahitaji kuchukua nafasi

X
usemi kama huo ambao mizizi yote miwili inaweza kutolewa kwa urahisi:

;

b) Mfano wa kawaida wakati kuna tamaa ya "kuondoa" kazi ya kielelezo
. Lakini katika kesi hii, ni rahisi zaidi kuchukua usemi mzima katika dhehebu la sehemu kama tofauti mpya:

;

c) Kugundua kuwa nambari ina bidhaa

e) Hapa hali mbili zinachangia uchaguzi wa uingizwaji: kwa upande mmoja, hamu ya angavu ya kuondoa logarithms, kwa upande mwingine, uwepo wa usemi. , ambayo ni tofauti ya chaguo la kukokotoa
. Lakini kama vile katika mifano iliyopita, ni bora kujumuisha viunga vinavyoambatana na logarithm badala yake:

f) Hapa, kama katika mfano uliopita, hamu ya angavu ya kuondoa kielelezo kizito kwenye kiunga kinaambatana na ukweli unaojulikana:
(Mfumo wa 8 wa jedwali 3). Kwa hivyo tunayo:

Kubadilisha vigeu kwa baadhi ya madarasa ya kazi

Hebu tuangalie baadhi ya madarasa ya utendaji ambayo mbadala fulani zinaweza kupendekezwa.

Jedwali 4.Kazi za busara

Aina ya kiunganishi	Mbinu ya ujumuishaji
1.1.
1.2.
1.3.	Kuchagua mraba kamili:
1.4.	Fomula ya kurudia

Vitendo vya Transcendental:

1.5.
- badala t = e x ;

1.6.
- badala t=logi a x.

Mfano 2. Pata viungo vya kazi za busara:

A)
;
;

b)
;
.

;

a) Hakuna haja ya kuhesabu kiunga hiki kwa kutumia mabadiliko ya vigeuzo hapa ni rahisi kutumia uingizwaji chini ya ishara tofauti:

;

b) Vile vile, tunatumia subsuming chini ya ishara tofauti:

c) Kabla yetu ni muhimu ya aina 1.3 ya Jedwali la 4, tutatumia mapendekezo yanayolingana:

e) Sawa na mfano uliopita: Mfano 3.

A)
;
.

;

Tafuta viambatanisho
b) Mchanganyiko una logarithm, kwa hivyo tutatumia pendekezo 1.6. Tu katika kesi hii ni rahisi zaidi kuchukua nafasi sio tu kazi

, na usemi mzima mkali: Jedwali 6. (Kazi za Trigonometric

Aina ya kiunganishi	Mbinu ya ujumuishaji
3.1.	R , , ,
3.1.1. Ubadilishaji wa Universal	,Kama
3.1.2. Ubadilishaji wa Universal	,Kama .
3.1.3. . Ubadilishaji wa Universal Uingizwaji )	,Kama
3.2.	(yaani, kuna tu hata nguvu za utendaji Kama - isiyo ya kawaida, kisha angalia 3.1.1; Kama - isiyo ya kawaida, kisha angalia 3.1.1; - isiyo ya kawaida, kisha angalia 3.1.2; - isiyo ya kawaida, kisha angalia 3.1.1; - hata, basi angalia 3.1.3; ,
3.3. , ,	- hata, basi tumia fomula za kupunguza digrii

Tumia fomula Mfano 4.

A)
;
; V)
;
.

;

Tafuta viungo:

a) Hapa tunaunganisha kazi ya trigonometric. Wacha tutumie kibadala cha jumla (Jedwali la 6, 3.1):

b) Hapa pia tunatumia kibadala cha jumla:

Kumbuka kuwa katika kiunganishi kilichozingatiwa mabadiliko ya vigeu vilipaswa kutumika mara mbili.

c) Tunahesabu sawa:

e) Wacha tuzingatie njia mbili za kuhesabu kiunga hiki.

Kama unaweza kuona, tumepata vitendaji tofauti vya zamani. Hii haimaanishi kuwa moja ya mbinu zinazotumiwa hutoa matokeo mabaya. Ukweli ni kwamba kwa kutumia vitambulisho vinavyojulikana vya trigonometric vinavyounganisha tangent ya pembe ya nusu na kazi za trigonometric za pembe kamili, tunayo.

Kwa hivyo, antiderivatives kupatikana sanjari na kila mmoja. Mfano 4.

A)
; b)
Mfano 5.
;
.

;

V)
, lakini kwa kuwa kosine iliyojumuishwa kwenye muunganisho ni ya nguvu sawa, ni busara zaidi kutumia mapendekezo ya aya ya 3.1.3 ya Jedwali la 6:

b) Kwanza, wacha tupunguze kazi zote za trigonometriki zilizojumuishwa kwenye muunganisho kwa hoja moja:

Katika muunganisho unaotokana, tunaweza kutumia uingizwaji wa ulimwengu wote, lakini tunaona kuwa kiunganishi hakibadilishi ishara wakati ishara za sine na cosine zinabadilika:

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa lina sifa zilizoainishwa katika aya ya 3.1.3 ya Jedwali la 6, kwa hivyo uingizwaji unaofaa zaidi utakuwa.
. Tunayo:

c) Ikiwa katika muunganisho fulani ishara ya cosine imebadilishwa, basi kazi nzima inabadilisha ishara:

Hii ina maana kwamba integrand ina mali iliyoelezwa katika aya ya 3.1.2. Kwa hivyo, ni busara kutumia uingizwaji
. Lakini kwanza, kama katika mfano uliopita, tunabadilisha kazi ya integrand:

d) Ikiwa katika muunganisho fulani ishara ya sine imebadilishwa, basi kitendakazi chote kitabadilisha ishara, ambayo inamaanisha tuna kesi iliyoelezewa katika aya ya 3.1.1 ya Jedwali la 6, kwa hivyo kigezo kipya lazima kiteuliwe kama chaguo la kukokotoa.
. Lakini kwa kuwa katika integrand hakuna uwepo wa kazi
, wala utofauti wake, kwanza tunabadilisha:

Mfano 6. Mfano 4.

A)
;
;

b)
G)
.

;

a) Kiunga hiki kinarejelea viunga vya aina 3.2 ya Jedwali 6. Kwa kuwa sine ni nguvu isiyo ya kawaida, kulingana na mapendekezo, ni rahisi kuchukua nafasi ya kazi.
. Lakini kwanza tunabadilisha kazi ya integrand:

b) Kiunga hiki ni cha aina sawa na ile ya awali, lakini hapa kazi
Suluhisho.
uwe na digrii hata, kwa hivyo unahitaji kutumia kanuni za kupunguza digrii:
,
. Tunapata:

c) Badilisha kazi:

d) Kulingana na mapendekezo 3.1.3 ya Jedwali 6, katika muunganisho huu ni rahisi kufanya uingizwaji.
. Tunapata:

Jedwali 5.Kazi zisizo na mantiki (Kazi za Trigonometric- kazi ya busara ya hoja zake)

Aina ya kiunganishi	Mbinu ya ujumuishaji
	,Kama , Wapi k – denominator ya kawaida ya sehemu …, .
	,Kama , Wapi k- denominator ya kawaida ya sehemu …,
2.3.	Kubadilisha, , Wapi k- denominator ya kawaida ya sehemu za kipeo …,
2.4.	,Kama .
2.5.	,Kama ,
2.6.	,Kama , .
2.7.	,Kama , .
2.8. (tofauti ya binomial), imeunganishwa tu katika kesi tatu: A) r- nambari kamili (badala Na = t k, wapi k- denominator ya kawaida ya sehemu T Na n); b) - nzima (badala = t k, Wapi k- denominator ya sehemu r); V) - nzima (badala = t k, Wapi k- denominator ya sehemu r).

Mfano 7. Mfano 4.

A)
;
Mfano 5.
.

;

b) :

Chini ya muunganisho tunapata sehemu isiyofaa ya busara. Kuunganisha sehemu hizo kunahusisha, kwanza kabisa, kutenga sehemu nzima. Kwa hivyo wacha tugawanye nambari na dhehebu:

Kisha tunapata
, kutoka hapa

Katika somo hili tutafahamiana na mojawapo ya mbinu muhimu zaidi na za kawaida ambazo hutumiwa wakati wa kutatua viunganisho visivyojulikana - njia ya mabadiliko ya kutofautiana. Ustadi wa mafanikio wa nyenzo unahitaji ujuzi wa awali na ujuzi wa kuunganisha. Ikiwa kuna hisia ya kettle tupu tupu katika calculus muhimu, basi unapaswa kwanza kujijulisha na nyenzo, ambapo nilielezea kwa fomu inayoweza kupatikana ni nini muhimu na kuchambuliwa kwa undani mifano ya msingi kwa Kompyuta.

Kitaalam, njia ya kubadilisha kutofautisha kwa kiunganishi kisichojulikana inatekelezwa kwa njia mbili:

- Kuweka kitendakazi chini ya ishara tofauti;
- Kwa kweli kuchukua nafasi ya kutofautisha.

Kimsingi, haya ni kitu kimoja, lakini muundo wa suluhisho unaonekana tofauti.

Wacha tuanze na kesi rahisi zaidi.

Kuingiza kipengele cha kukokotoa chini ya ishara tofauti

Katika darasa Muhimu usio na kikomo. Mifano ya ufumbuzi tulijifunza jinsi ya kufungua tofauti, nakukumbusha mfano niliotoa:

Hiyo ni, kufichua tofauti ni sawa na kupata derivative.

Mfano 1

Fanya ukaguzi.

Tunaangalia jedwali la viunga na kupata fomula inayofanana: . Lakini shida ni kwamba chini ya sine hatuna herufi "X" tu, lakini usemi mgumu. Nini cha kufanya?

Tunaleta kazi chini ya ishara tofauti:

Kwa kufungua tofauti, ni rahisi kuangalia kuwa:

Kwa kweli na ni rekodi ya kitu kimoja.

Lakini, hata hivyo, swali lilibaki, tulikujaje kwa wazo kwamba katika hatua ya kwanza tunahitaji kuandika kiunga chetu kama hiki: ? Kwa nini ni hivyo na si vinginevyo?

Mfumo (na fomula zingine zote za jedwali) ni halali na zinatumika SI kwa utofauti TU, bali pia kwa usemi wowote changamano TU KAMA HOJA YA KAZI.(- katika mfano wetu) NA MANENO CHINI YA ISHARA TOFAUTI YALIKUWA SAWA .

Kwa hivyo, hoja ya kiakili wakati wa kusuluhisha inapaswa kuwa kitu kama hiki: "Ninahitaji kutatua jambo muhimu. Nilitazama kwenye meza na nikapata fomula sawa . Lakini nina hoja tata na siwezi kutumia fomula mara moja. Walakini, ikiwa nitaweza kuipata chini ya ishara tofauti, basi kila kitu kitakuwa sawa. Ikiwa nitaiandika, basi. Lakini katika kiunga cha asili hakuna sababu-tatu, kwa hivyo, ili kazi ya integrand isibadilike, ninahitaji kuizidisha kwa ". Katika mwendo wa takriban mawazo kama haya ya kiakili, kiingilio huzaliwa:

Sasa unaweza kutumia fomula ya jedwali :

Tayari

Tofauti pekee ni kwamba hatuna herufi "X", lakini usemi tata.

Hebu tuangalie. Fungua jedwali la derivatives na utofautishe jibu:

Kazi ya awali ya integrand imepatikana, ambayo ina maana kwamba kiungo kimepatikana kwa usahihi.

Tafadhali kumbuka kuwa wakati wa uthibitishaji tulitumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu . Kwa asili, kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti na - hizi ni sheria mbili kinyume.

Mfano 2

Hebu tuchambue kazi ya integrand. Hapa tuna sehemu, na denominator ni kazi ya mstari (na "X" kwa nguvu ya kwanza). Tunaangalia jedwali la viunga na kupata kitu kinachofanana zaidi: .

Tunaleta kazi chini ya ishara tofauti:

Wale ambao wanaona vigumu kufahamu mara moja ni sehemu gani ya kuzidisha wanaweza kudhihirisha kwa haraka tofauti katika rasimu: . Ndio, zinageuka kuwa hii inamaanisha kuwa ili hakuna kitu kibadilike, ninahitaji kuzidisha kiunga kwa .
Ifuatayo, tunatumia fomula ya jedwali :

Uchunguzi:

Kazi ya awali ya integrand imepatikana, ambayo ina maana kwamba kiungo kimepatikana kwa usahihi.

Mfano 3

Pata muunganisho usio na kikomo. Fanya ukaguzi.

Mfano 4

Pata muunganisho usio na kikomo. Fanya ukaguzi.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Jibu liko mwishoni mwa somo.

Kwa uzoefu fulani katika kutatua viunga, mifano kama hiyo itaonekana kuwa rahisi na bonyeza kama karanga:

Mwishoni mwa sehemu hii, ningependa pia kukaa kwenye kesi ya "bure", wakati katika kazi ya mstari tofauti inaingia na mgawo wa kitengo, kwa mfano:

Kwa kweli, suluhisho linapaswa kuonekana kama hii:

Kama unaweza kuona, kutekeleza kazi chini ya ishara ya kutofautisha ilikuwa "isiyo na uchungu", bila kuzidisha yoyote. Kwa hiyo, katika mazoezi, ufumbuzi huo wa muda mrefu mara nyingi hupuuzwa na mara moja huandikwa . Lakini uwe tayari, ikiwa ni lazima, kuelezea mwalimu jinsi ulivyotatua! Kwa sababu kwa kweli hakuna muhimu kwenye jedwali.

Njia ya kubadilisha inayoweza kubadilika katika muunganisho usiojulikana

Hebu tuendelee kuzingatia kesi ya jumla - njia ya kubadilisha vigezo katika kiunganishi kisichojulikana.

Mfano 5

Pata muunganisho usio na kikomo.

Kama mfano, nilichukua sehemu muhimu ambayo tuliangalia mwanzoni mwa somo. Kama tulivyokwisha sema, kusuluhisha kiunga hicho tulipenda fomula ya jedwali , na ningependa kupunguza suala zima kwake.

Wazo nyuma ya njia ya uingizwaji ni badilisha usemi changamano (au kazi fulani) na herufi moja.
Katika kesi hii, inaomba:
Barua ya pili maarufu badala ni herufi .
Kimsingi, unaweza kutumia herufi zingine, lakini bado tutafuata mila.

Kwa hivyo:
Lakini tunapoibadilisha, tunaachwa! Pengine, wengi walidhani kwamba ikiwa mpito unafanywa kwa kutofautiana mpya, basi katika kiungo kipya kila kitu kinapaswa kuonyeshwa kwa njia ya barua , na hakuna nafasi ya tofauti huko kabisa.
Hitimisho la kimantiki ni kwamba ni lazima geuka kuwa usemi fulani ambao unategemea tu.

Kitendo ni kama ifuatavyo. Baada ya kuchagua uingizwaji, katika mfano huu, tunahitaji kupata tofauti. Kwa tofauti, nadhani kila mtu tayari ameanzisha urafiki.

Tangu wakati huo

Baada ya kutenganisha tofauti, ninapendekeza kuandika tena matokeo ya mwisho kwa ufupi iwezekanavyo:
Sasa, kulingana na sheria za uwiano, tunaelezea kile tunachohitaji:

Kama matokeo:
Hivyo:

Na hii tayari ni muhimu zaidi ya tabular (meza ya viambatanisho, kwa kweli, pia ni halali kwa kutofautisha).

Mwishowe, kilichobaki ni kutekeleza uingizwaji wa nyuma. Tukumbuke hilo.

Tayari.

Muundo wa mwisho wa mfano unaozingatiwa unapaswa kuonekana kama hii:

“

Wacha tubadilishe:

“

Aikoni haina maana yoyote ya kihisabati; ina maana kwamba tumekatiza suluhu kwa maelezo ya kati.

Wakati wa kuandaa mfano katika daftari, ni bora kuashiria uingizwaji wa nyuma na penseli rahisi.

Makini! Katika mifano ifuatayo, kupata tofauti haitaelezewa kwa undani.

Sasa ni wakati wa kukumbuka suluhisho la kwanza:

Kuna tofauti gani? Hakuna tofauti ya kimsingi. Kwa kweli ni kitu kimoja. Lakini kutoka kwa mtazamo wa kubuni kazi, njia ya kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti ni fupi zaidi..

Swali linatokea. Ikiwa njia ya kwanza ni fupi, basi kwa nini utumie njia ya uingizwaji? Ukweli ni kwamba kwa idadi ya viunga sio rahisi sana "kufaa" kazi kwa ishara ya tofauti.

Mfano 6

Pata muunganisho usio na kikomo.

Wacha tufanye mbadala: (ni ngumu kufikiria uingizwaji mwingine hapa)

Kama unaweza kuona, kama matokeo ya uingizwaji, kiunga cha asili kimerahisishwa sana - kilipunguzwa kwa kazi ya kawaida ya nguvu. Hili ndilo kusudi la uingizwaji - kurahisisha muhimu.

Watu wavivu wa hali ya juu wanaweza kutatua kiunga hiki kwa urahisi kwa kuweka kazi chini ya ishara ya kutofautisha:

Jambo lingine ni kwamba suluhisho kama hilo ni wazi sio kwa wanafunzi wote. Kwa kuongeza, tayari katika mfano huu, matumizi ya njia ya kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti kwa kiasi kikubwa huongeza hatari ya kuchanganyikiwa katika uamuzi.

Mfano 7

Pata muunganisho usio na kikomo. Fanya ukaguzi.

Mfano 8

Pata muunganisho usio na kikomo.

Uingizwaji:
Inabakia kuonekana ni nini kitageuka

Sawa, tumeielezea, lakini ni nini cha kufanya na "X" iliyobaki kwenye nambari?
Mara kwa mara, wakati wa kutatua viunganisho, tunakutana na hila ifuatayo: tutaelezea kutoka kwa uingizwaji sawa !

Mfano 9

Pata muunganisho usio na kikomo.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Jibu liko mwishoni mwa somo.

Mfano 10

Pata muunganisho usio na kikomo.

Hakika watu wengine waligundua kuwa kwenye jedwali langu la kuangalia hakuna sheria ya uingizwaji tofauti. Hili lilifanyika kwa makusudi. Sheria hiyo ingeleta mkanganyiko katika maelezo na uelewa, kwani haionekani kwa uwazi katika mifano iliyo hapo juu.

Sasa ni wakati wa kuzungumza juu ya msingi wa kutumia njia mbadala ya kutofautisha: integrand lazima iwe na kazi fulani na derivative yake:(huenda zisiwe kwenye bidhaa)

Katika suala hili, wakati wa kupata viungo, mara nyingi unapaswa kuangalia meza ya derivatives.

Katika mfano unaozingatiwa, tunaona kwamba kiwango cha nambari ni moja chini ya kiwango cha denominator. Katika jedwali la derivatives tunapata formula, ambayo inapunguza tu shahada kwa moja. Na hiyo inamaanisha kuwa ikiwa utaiweka kama dhehebu, basi uwezekano ni mkubwa kwamba nambari itageuka kuwa kitu kizuri.

Hebu tuendelee kuzingatia kesi ya jumla - njia ya kubadilisha vigezo katika kiunganishi kisichojulikana.

Mfano 5

Kama mfano, nilichukua sehemu muhimu ambayo tuliangalia mwanzoni mwa somo. Kama tulivyokwisha sema, ili kutatua kiunga hicho tulipenda fomula ya jedwali, na tungependa kupunguza suala zima kwake.

Kitendo ni kama ifuatavyo. Baada ya kuchagua uingizwaji, katika mfano huu, tunahitaji kupata tofauti. Kwa tofauti, nadhani kila mtu tayari ameanzisha urafiki.

Tangu wakati huo

Baada ya kutenganisha tofauti, ninapendekeza kuandika tena matokeo ya mwisho kwa ufupi iwezekanavyo:
Sasa, kulingana na sheria za uwiano, tunaelezea kile tunachohitaji:

Kama matokeo:
Hivyo:

Na hii tayari ni muhimu zaidi ya meza ( jedwali la viungo, kwa kawaida, pia ni kweli kwa kutofautisha).

Mwishowe, kilichobaki ni kutekeleza uingizwaji wa nyuma. Tukumbuke hilo.

Tayari.

Muundo wa mwisho wa mfano unaozingatiwa unapaswa kuonekana kama hii:

“

Wacha tubadilishe:

“

Aikoni haina maana yoyote ya kihisabati; ina maana kwamba tumekatiza suluhu kwa maelezo ya kati.

Wakati wa kuandaa mfano katika daftari, ni bora kuashiria uingizwaji wa nyuma na penseli rahisi.

Makini! Katika mifano ifuatayo, kupata tofauti haitaelezewa kwa undani.

Sasa ni wakati wa kukumbuka suluhisho la kwanza:

Kuna tofauti gani? Hakuna tofauti ya kimsingi. Kwa kweli ni kitu kimoja. Lakini kutoka kwa mtazamo wa kubuni kazi, njia ya kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti ni fupi zaidi..

Swali linatokea. Ikiwa njia ya kwanza ni fupi, basi kwa nini utumie njia ya uingizwaji? Ukweli ni kwamba kwa idadi ya viunga sio rahisi sana "kufaa" kazi kwa ishara ya tofauti.

Mfano 6

Pata muunganisho usio na kikomo.

Wacha tufanye mbadala: (ni ngumu kufikiria uingizwaji mwingine hapa)

Kama unaweza kuona, kama matokeo ya uingizwaji, kiunga cha asili kimerahisishwa sana - kilipunguzwa kwa kazi ya kawaida ya nguvu. Hili ndilo kusudi la uingizwaji - kurahisisha muhimu.

Watu wavivu wa hali ya juu wanaweza kutatua kiunga hiki kwa urahisi kwa kuweka kazi chini ya ishara ya kutofautisha:

Mfano 7

Pata muunganisho usio na kikomo. Fanya ukaguzi.

Mfano 8

Pata muunganisho usio na kikomo.

Mfano 9

Pata muunganisho usio na kikomo.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Jibu liko mwishoni mwa somo.

Mfano 10

Pata muunganisho usio na kikomo.

Sasa ni wakati wa kuzungumza juu ya msingi wa kutumia njia mbadala ya kutofautisha: integrand lazima iwe na baadhi ya utendaji na derivative yake : (huenda zisiwe kwenye bidhaa)

Katika suala hili, wakati wa kupata viungo, mara nyingi unapaswa kuangalia meza ya derivatives.

Uingizwaji:

Kwa njia, sio ngumu sana kutekeleza kazi chini ya ishara ya kutofautisha:

Ikumbukwe kwamba kwa sehemu kama , hila hii haitafanya kazi tena (kwa usahihi zaidi, itakuwa muhimu kuomba sio tu mbinu ya uingizwaji). Unaweza kujifunza kujumuisha sehemu fulani darasani. Kuunganisha Baadhi ya Sehemu.

Hapa kuna mifano michache ya kawaida ya suluhisho huru kutoka kwa opera hiyo hiyo:

Mfano 11

Pata muunganisho usio na kikomo.

Mfano 12

Pata muunganisho usio na kikomo.

Suluhisho mwishoni mwa somo.

Mfano 13

Pata muunganisho usio na kikomo.

Tunaangalia jedwali la derivatives na kupata arc cosine yetu: . Katika integrand yetu tuna arc cosine na kitu sawa na derivative yake.

Kanuni ya jumla:
Kwa tunaashiria kazi yenyewe(na sio derivative yake).

Katika kesi hii:. Inabakia kujua ni nini sehemu iliyobaki ya integrand itageuka.

Katika mfano huu, nitaelezea kupatikana kwa undani kwa sababu ni kazi ngumu.

Au kwa kifupi:
Kwa kutumia kanuni ya uwiano, tunaelezea salio tunalohitaji:

Hivyo:

Hapa si rahisi tena kutekeleza kazi chini ya ishara tofauti.

Mfano 14

Pata muunganisho usio na kikomo.

Mfano wa suluhisho la kujitegemea. Jibu ni karibu sana.

Wasomaji makini watakuwa wameona kwamba nimezingatia mifano michache yenye vipengele vya trigonometric. Na hii sio bahati mbaya, kwa sababu chini viungo vya kazi za trigonometric somo tofauti limetolewa. Kwa kuongezea, somo hili linatoa miongozo muhimu ya kuchukua nafasi ya kutofautisha, ambayo ni muhimu sana kwa dummies, ambao hawaelewi kila wakati na hawaelewi mara moja ni aina gani ya uingizwaji inahitajika kufanywa katika kiunga fulani. Unaweza pia kuona aina fulani za uingizwaji katika makala Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.

Wanafunzi wenye uzoefu zaidi wanaweza kujifahamisha na uingizwaji wa kawaida katika viambatanisho vilivyo na utendakazi usio na mantiki. Uingizaji wakati wa kuunganisha mizizi ni maalum, na mbinu ya utekelezaji wake inatofautiana na ile tuliyojadili katika somo hili.

Nakutakia mafanikio!

Mfano 3:Suluhisho :

Mfano 4:Suluhisho :

Mfano 7:Suluhisho :

Mfano 9:Suluhisho :

Uingizwaji:

Mfano 11:Suluhisho :

Wacha tubadilishe:

Mfano 12:Suluhisho :

Wacha tubadilishe:

Mfano 14:Suluhisho :

Wacha tubadilishe:

Kuunganishwa kwa sehemu. Mifano ya ufumbuzi

Habari tena. Leo katika somo tutajifunza jinsi ya kuunganisha kwa sehemu. Njia ya kuunganishwa kwa sehemu ni moja ya msingi wa calculus muhimu. Wakati wa majaribio au mitihani, wanafunzi karibu kila mara huulizwa kutatua aina zifuatazo za viunga: muhimu zaidi (tazama makalaMuhimu usio na kikomo. Mifano ya ufumbuzi ) au kiungo kwa kubadilisha kigezo (tazama makalaNjia ya kubadilisha inayoweza kubadilika katika muunganisho usiojulikana ) au kiungo kimewashwa tu ujumuishaji kwa njia ya sehemu.

Kama kawaida, unapaswa kuwa nayo: Jedwali la viungo Na Jedwali la derivatives. Ikiwa bado huna, basi tafadhali tembelea chumba cha kuhifadhi cha tovuti yangu: Fomula za hisabati na meza. Sitachoka kurudia - ni bora kuchapisha kila kitu. Nitajaribu kuwasilisha nyenzo zote mara kwa mara, kwa urahisi na kwa uwazi hakuna ugumu fulani katika kuunganisha sehemu.

Je, njia ya kuunganishwa na sehemu hutatua tatizo gani? Njia ya kuunganishwa na sehemu hutatua shida muhimu sana hukuruhusu kuunganisha kazi zingine ambazo hazipo kwenye meza; kazi kazi, na katika baadhi ya matukio - hata quotients. Kama tunavyokumbuka, hakuna fomula inayofaa: . Lakini kuna hii: - fomula ya kuunganishwa na sehemu kibinafsi. Najua, najua, wewe ndiye pekee - tutafanya kazi naye katika somo lote (ni rahisi zaidi sasa).

4).

Sehemu zingine pia huchukuliwa kwa sehemu; tutazingatia pia mifano inayolingana kwa undani.

Viunga vya logarithms

Mfano 1

Pata muunganisho usio na kikomo.

Classic. Mara kwa mara kiungo hiki kinaweza kupatikana katika meza, lakini haipendekezi kutumia jibu tayari, kwa kuwa mwalimu ana upungufu wa vitamini wa spring na ataapa sana. Kwa sababu muhimu inayozingatiwa sio ya meza - inachukuliwa kwa sehemu. Tunaamua:

Tunakatiza suluhisho kwa maelezo ya kati.

Tunatumia ujumuishaji na fomula ya sehemu:

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya.

Kazi za kielimu:

wafundishe wanafunzi kutumia mbinu ya ujumuishaji kwa kubadilisha;
kuendelea kuendeleza ujuzi katika matumizi ya ushirikiano wa kazi;
endelea kukuza hamu ya hisabati kupitia utatuzi wa shida;
kukuza mtazamo wa fahamu kuelekea mchakato wa kujifunza, weka hisia ya uwajibikaji kwa ubora wa maarifa, jidhibiti juu ya mchakato wa kutatua na kuunda mazoezi;
kumbuka kuwa ni matumizi makini ya algoriti kwa kukokotoa muunganisho usiojulikana ndiyo yataruhusu wanafunzi kufahamu vyema mada inayosomwa.

Kutoa madarasa:

jedwali la kanuni za msingi za ujumuishaji;
kadi za kazi kwa kazi ya mtihani.

Mwanafunzi lazima ajue: algorithm ya kuhesabu kiunganishi kisicho na kikomo kwa kutumia njia mbadala.

Mwanafunzi lazima awe na uwezo wa: tumia maarifa yaliyopatikana kwa hesabu ya viambatanisho visivyojulikana.

Kuhamasisha shughuli za utambuzi za wanafunzi.

Mwalimu anaripoti kuwa pamoja na njia ya ujumuishaji wa moja kwa moja, kuna njia zingine za kuhesabu viunga visivyo na ukomo, moja ambayo ni njia ya uingizwaji. Hii ndiyo njia ya kawaida ya kuunganisha kazi ngumu, inayojumuisha kubadilisha kiunganishi kwa kuhamia tofauti nyingine ya ushirikiano.

Maendeleo ya somo

I. Wakati wa shirika.

II. Kuangalia kazi ya nyumbani.

Uchunguzi wa mbele:

III. Kurudia maarifa ya kimsingi ya wanafunzi.

1) Rudia jedwali la kanuni za msingi za ujumuishaji.

2) Rudia njia ya ujumuishaji wa moja kwa moja ni nini.

Ujumuishaji wa moja kwa moja ni njia ya ujumuishaji ambayo kiunganishi kilichopewa kinapunguzwa kwa viungo vya meza moja au zaidi kwa njia ya mabadiliko sawa ya kiunganishi na utumiaji wa mali ya kiunganishi kisichojulikana.

IV. Kujifunza nyenzo mpya.

Si mara zote inawezekana kuhesabu kiungo kilichopewa kwa ushirikiano wa moja kwa moja, na wakati mwingine hii inahusishwa na matatizo makubwa. Katika kesi hizi, mbinu zingine hutumiwa. Moja ya mbinu za ufanisi zaidi ni njia ya uingizwaji au uingizwaji wa kutofautiana kwa ushirikiano. Kiini cha njia hii ni kwamba kwa kuanzisha utofauti mpya wa ujumuishaji inawezekana kupunguza kiunga kilichopewa kwa kiunga kipya, ambacho ni rahisi kuchukua moja kwa moja. Ikiwa baada ya kubadilisha kutofautisha muhimu inakuwa rahisi, basi lengo la uingizwaji limefikiwa. Ujumuishaji kwa njia mbadala inategemea fomula

Hebu fikiria njia hii.

Algorithm ya hesabukwa muda usiojulikana kwa njia mbadala:

Amua ni jedwali gani linalojumuisha kiunga hiki kimepunguzwa hadi (baada ya kwanza kubadilisha kiunganishi, ikiwa ni lazima).
Amua ni sehemu gani ya muunganisho wa kubadilisha na kigezo kipya, na uandike uingizwaji huu.
Tafuta tofauti za sehemu zote mbili za rekodi na ueleze tofauti ya utofauti wa zamani (au usemi ulio na tofauti hii) kulingana na utofauti wa kigezo kipya.
Fanya mbadala chini ya kiunga.
Pata kiunga kinachosababisha.
Matokeo yake, uingizwaji wa reverse unafanywa, i.e. nenda kwa tofauti ya zamani. Ni muhimu kuangalia matokeo kwa kutofautisha.

Hebu tuangalie mifano.

Mifano. Tafuta viungo:

1) )4

Wacha tuanzishe uingizwaji:

Kutofautisha usawa huu, tunayo:

V. Utumiaji wa maarifa wakati wa kutatua mifano ya kawaida.