Hapa tutaendelea mada ya operesheni kwenye matrices iliyoanza katika sehemu ya kwanza na angalia mifano michache ambayo shughuli kadhaa zitahitajika kutumika mara moja.

Kuinua tumbo kwa nguvu.

Acha k iwe nambari kamili isiyo hasi. Kwa matrix yoyote ya mraba $A_(n\times n)$ tunayo: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldets \cdot A)_(k \; nyakati) $$

Katika kesi hii, tunadhania kuwa $A^0=E$, ambapo $E$ ndio utambulisho wa mpangilio unaolingana.

Mfano Nambari 4

Kwa kuzingatia matrix $ A=\left(\anza(safu) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \mwisho(safu) \kulia)$. Pata matrices $A^2$ na $A^6$.

Kulingana na ufafanuzi, $A^2=A\cdot A$, i.e. kupata $A^2$ tunahitaji tu kuzidisha matrix $A$ yenyewe. Uendeshaji wa kuzidisha matrix ulijadiliwa katika sehemu ya kwanza ya mada, kwa hivyo hapa tutaandika tu mchakato wa suluhisho bila maelezo ya kina:

$$ A^2=A\cdot A=\kushoto(\anza(safu) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \mwisho(safu) \kulia)\cdot \kushoto(\anza(safu) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \mwisho(safu) \kulia)= \kushoto(\anza(safu) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \mwisho(safu) \kulia )= \kushoto(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia). $$

Ili kupata matrix $A^6$ tuna chaguzi mbili. Chaguo la kwanza: ni jambo dogo kuendelea kuzidisha $A^2$ kwa matrix $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Walakini, unaweza kuchukua njia rahisi zaidi, kwa kutumia mali ya ushirika ya kuzidisha matrix. Wacha tuweke mabano katika usemi wa $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Ikiwa kutatua njia ya kwanza itahitaji shughuli nne za kuzidisha, basi njia ya pili ingehitaji mbili tu. Kwa hivyo, wacha tuende kwa njia ya pili:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)\ cdot \kushoto(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)\cdot \kushoto(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)=\\= \kushoto(\anza(safu) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \mwisho(safu) \kulia)\cdot \left(\ start(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)= \kushoto(\anza(safu) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \mwisho( safu) \kulia)\cdot \kushoto(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)=\\= \kushoto(\anza(safu) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdoti (-4)+41\cdot 7 \mwisho(safu) \kulia)= \kushoto(\anza(safu) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \mwisho(safu) \kulia). $$

Jibu: $A^2=\left(\anza(safu) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \mwisho(safu) \kulia)$, $A^6=\left(\anza(safu) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \mwisho(safu) \kulia)$.

Mfano Nambari 5

Umepewa matrices $ A=\left(\anza(safu) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \mwisho (safu) \kulia)$, $ B=\kushoto(\anza(safu) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \mwisho (safu) \kulia)$, $ C=\kushoto(\anza(safu) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \mwisho(safu) \ kulia) $. Pata matrix $D=2AB-3C^T+7E$.

Tunaanza kuhesabu matrix $D$ kwa kutafuta matokeo ya bidhaa $AB$. Matrices $A$ na $B$ yanaweza kuzidishwa, kwa kuwa idadi ya safu wima ya matrix $A$ ni sawa na idadi ya safu mlalo ya matrix $B$. Hebu tuashiria $F=AB$. Katika kesi hii, matrix $ F $ itakuwa na safu tatu na safu tatu, i.e. itakuwa mraba (ikiwa hitimisho hili halionekani dhahiri, angalia maelezo ya kuzidisha matrix katika sehemu ya kwanza ya mada hii). Wacha tupate matrix $F$ kwa kuhesabu vitu vyake vyote:

$$ F=A\cdot B=\kushoto(\anza(safu) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ mwisho(safu) \kulia)\cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ mwisho(safu) \kulia)\\ \anza(iliyopangwa) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \mwisho(zilizopangiliwa) $$

Kwa hivyo $F=\left(\begin(safu) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \mwisho(safu) \kulia)$. Twende mbele zaidi. Matrix $C^T$ ni matrix iliyopitishwa kwa matrix $C$, i.e. $ C^T=\kushoto(\anza(safu) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \mwisho(safu) \kulia) $. Kuhusu matrix $E$, ni matrix ya kitambulisho. KATIKA kwa kesi hii mpangilio wa matrix hii ni tatu, i.e. $E=\kushoto(\anza(safu) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)$.

Kimsingi, tunaweza kuendelea kwenda hatua kwa hatua, lakini ni bora kuzingatia usemi uliobaki kwa ujumla, bila kupotoshwa na vitendo vya msaidizi. Kwa kweli, tumebakiwa na shughuli tu za kuzidisha matrices kwa nambari, pamoja na shughuli za kuongeza na kutoa.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ mwisho(safu) \kulia)-3\cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \mwisho(safu) \ kulia)+7\cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia) $$

Wacha tuzidishe matrices upande wa kulia wa usawa kwa nambari zinazolingana (yaani kwa 2, 3 na 7):

$$ 2\cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \mwisho(safu) \kulia)-3\ cdot \kushoto(\anza(safu) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \mwisho(safu) \kulia)+7\cdot \kushoto(\ start(safu) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)=\\= \kushoto(\anza(safu) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \mwisho(safu) \kulia)-\kushoto(\anza(safu) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \mwisho(safu) \kulia)+\kushoto(\anza(safu) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \mwisho(safu) \kulia) $$

Hebu tufanye vitendo vya hivi karibuni: kutoa na kuongeza:

$$ \kushoto(\anza(safu) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \mwisho(safu) \kulia)-\kushoto(\anza (safu) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \mwisho(safu) \kulia)+\kushoto(\anza(safu) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \mwisho(safu) \kulia)=\\ =\kushoto(\anza(safu) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \mwisho(safu) \kulia)= \kushoto(\anza(safu) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \mwisho(safu) \kulia). $$

Tatizo limetatuliwa, $D=\left(\anza(safu) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \mwisho(safu) \kulia)$ .

Jibu: $D=\kushoto(\anza(safu) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \mwisho(safu) \kulia)$.

Mfano Nambari 6

Acha $f(x)=2x^2+3x-9$ na matrix $ A=\left(\begin(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(safu) \kulia) $. Tafuta thamani ya $f(A)$.

Ikiwa $f(x)=2x^2+3x-9$, basi $f(A)$ inaeleweka kama matrix:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Hivi ndivyo polynomial kutoka kwa matrix inavyofafanuliwa. Kwa hivyo, tunahitaji kubadilisha matrix $A$ kwenye usemi wa $f(A)$ na kupata matokeo. Kwa kuwa vitendo vyote vilijadiliwa kwa undani mapema, hapa nitatoa suluhisho tu. Ikiwa mchakato wa kufanya operesheni $A^2=A\cdot A$ haueleweki kwako, basi nakushauri uangalie maelezo ya kuzidisha matrix katika sehemu ya kwanza ya mada hii.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \kushoto(\anza(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \mwisho(safu) \kulia)\cdot \kushoto(\anza(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \mwisho(safu) \kulia)+3 \kushoto(\anza(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \mwisho(safu) \kulia)-9\kushoto(\anza(safu) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)=\\ =2 \kushoto( \anza(safu) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \mwisho(safu) \kulia)+3 \kushoto(\anza(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \mwisho(safu) \kulia)-9 \kushoto(\anza(safu) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)=\\ =2 \kushoto(\anza(safu) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \mwisho(safu) \kulia)+3 \kushoto(\anza(safu) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \mwisho(safu) \kulia)-9\kushoto(\anza(safu) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia) =\kushoto(\anza(safu) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \mwisho(safu) \kulia) +\kushoto(\anza(safu) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \mwisho(safu) \kulia)-\kushoto(\anza(safu) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ mwisho(safu) \kulia)=\kushoto(\anza(safu) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \mwisho(safu) \kulia). $$

Jibu: $f(A)=\left(\anza(safu) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \mwisho(safu) \kulia)$.

Ikumbukwe kwamba matrices ya mraba tu yanaweza kutumika kwa operesheni hii. Idadi sawa ya safu na safu wima - hali inayohitajika kuinua tumbo kwa nguvu. Wakati wa hesabu, matrix itazidishwa yenyewe idadi inayotakiwa ya nyakati.

The kikokotoo cha mtandaoni imeundwa kutekeleza operesheni ya kuinua tumbo kwa nguvu. Shukrani kwa matumizi yake, hautaweza tu kukabiliana na kazi hii haraka, lakini pia kupata wazo wazi na la kina la maendeleo ya hesabu yenyewe. Hii itasaidia kuimarisha vyema nyenzo zilizopatikana kwa nadharia. Baada ya kuona algorithm ya kina ya hesabu mbele yako, utaelewa vyema hila zake zote na baadaye utaweza kuzuia makosa katika hesabu za mwongozo. Kwa kuongeza, haiumiza kamwe kukagua mahesabu yako mara mbili, na hii pia ni bora kufanywa hapa.

Ili kuongeza matrix kwa nguvu mtandaoni, utahitaji mfululizo vitendo rahisi. Kwanza kabisa, taja ukubwa wa matrix kwa kubofya icons "+" au "-" upande wa kushoto wake. Kisha ingiza nambari kwenye uwanja wa matrix. Pia unahitaji kuonyesha nguvu ambayo matrix inainuliwa. Na kisha unachotakiwa kufanya ni kubofya kitufe cha "Mahesabu" chini ya uwanja. Matokeo yaliyopatikana yatakuwa ya kuaminika na sahihi ikiwa umeingia kwa uangalifu na kwa usahihi maadili yote. Pamoja nayo, utapewa nakala ya kina ya suluhisho.

Jinsi ya kuingiza fomula za hisabati kwa tovuti?

Ikiwa utahitaji kuongeza fomula moja au mbili za hesabu kwenye ukurasa wa wavuti, basi njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kama ilivyoelezewa katika kifungu hicho: fomula za hesabu huingizwa kwa urahisi kwenye wavuti kwa njia ya picha zinazotolewa kiotomatiki na Wolfram Alpha. . Mbali na unyenyekevu, hii mbinu ya ulimwengu wote itasaidia kuboresha mwonekano wa tovuti injini za utafutaji. Imekuwa ikifanya kazi kwa muda mrefu (na, nadhani, itafanya kazi milele), lakini tayari imepitwa na wakati.

Ikiwa unatumia fomula za hisabati kila wakati kwenye wavuti yako, basi ninapendekeza utumie MathJax - maalum Maktaba ya JavaScript, ambayo inaonyesha nukuu za hisabati katika vivinjari kwa kutumia MathML, LaTeX, au ASCIIMAthML markup.

Kuna njia mbili za kuanza kutumia MathJax: (1) kutumia kanuni rahisi unaweza kuunganisha kwa haraka hati ya MathJax kwenye tovuti yako, ambayo itakuwa ndani wakati sahihi pakia kiotomatiki kutoka seva ya mbali(orodha ya seva); (2) pakua hati ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali hadi kwenye seva yako na uiunganishe na kurasa zote za tovuti yako. Njia ya pili - ngumu zaidi na inayotumia wakati - itaharakisha upakiaji wa kurasa za tovuti yako, na ikiwa seva kuu ya MathJax haitapatikana kwa muda kwa sababu fulani, hii haitaathiri tovuti yako mwenyewe kwa njia yoyote. Licha ya faida hizi, nilichagua njia ya kwanza kwa kuwa ni rahisi, haraka na hauhitaji ujuzi wa kiufundi. Fuata mfano wangu, na kwa dakika 5 tu utaweza kutumia vipengele vyote vya MathJax kwenye tovuti yako.

Unaweza kuunganisha hati ya maktaba ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali kwa kutumia chaguo mbili za msimbo zilizochukuliwa kutoka kwa tovuti kuu ya MathJax au kwenye ukurasa wa nyaraka:

Moja ya chaguo hizi za msimbo inahitaji kunakiliwa na kubandikwa kwenye msimbo wa ukurasa wako wa wavuti, ikiwezekana kati ya lebo na au mara baada ya lebo. Kulingana na chaguo la kwanza, MathJax hupakia haraka na kupunguza kasi ya ukurasa. Lakini chaguo la pili hufuata moja kwa moja na kupakia matoleo ya hivi karibuni MathJax. Ukiingiza msimbo wa kwanza, utahitaji kusasishwa mara kwa mara. Ukiingiza msimbo wa pili, kurasa zitapakia polepole zaidi, lakini hutahitaji kufuatilia mara kwa mara masasisho ya MathJax.

Njia rahisi zaidi ya kuunganisha MathJax ni katika Blogger au WordPress: kwenye paneli dhibiti ya tovuti, ongeza wijeti iliyoundwa kwa ajili ya kuwekea wahusika wengine. JavaScript code, nakala toleo la kwanza au la pili la msimbo wa upakiaji uliowasilishwa hapo juu ndani yake, na uweke widget karibu na mwanzo wa template (kwa njia, hii sio lazima kabisa, kwa kuwa hati ya MathJax imepakiwa asynchronously). Ni hayo tu. Sasa jifunze sintaksia ya ghafi ya MathML, LaTeX, na ASCIIMAthML, na uko tayari kuingiza fomula za hisabati kwenye kurasa za wavuti za tovuti yako.

Fractal yoyote inajengwa kulingana na sheria fulani, ambayo hutumiwa mara kwa mara idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kila wakati kama huo huitwa kurudia.

Algorithm ya kurudia ya kuunda sifongo cha Menger ni rahisi sana: mchemraba wa asili ulio na upande wa 1 umegawanywa na ndege sambamba na nyuso zake katika cubes 27 sawa. Mchemraba mmoja wa kati na cubes 6 karibu nayo kando ya nyuso huondolewa kutoka kwake. Matokeo yake ni seti inayojumuisha cubes 20 ndogo iliyobaki. Kufanya vivyo hivyo na kila moja ya cubes hizi, tunapata seti inayojumuisha cubes 400 ndogo. Kuendeleza mchakato huu bila mwisho, tunapata sifongo cha Menger.

Baadhi ya mali ya shughuli kwenye matrices.
Maneno ya Matrix

Na sasa kutakuwa na mwendelezo wa mada, ambayo hatutazingatia sio tu nyenzo mpya, lakini pia tutashughulikia vitendo na matrices.

Baadhi ya mali ya shughuli kwenye matrices

Kuna mali nyingi sana ambazo zinahusiana na shughuli na matiti; katika Wikipedia hiyo hiyo unaweza kupendeza safu za utaratibu wa sheria zinazolingana. Hata hivyo, katika mazoezi, mali nyingi kwa maana fulani "zimekufa", kwa kuwa ni chache tu kati yao zinazotumiwa katika kutatua matatizo halisi. Kusudi langu ni kuzingatia utumiaji wa vitendo wa mali kwenye mifano maalum, na ikiwa unahitaji nadharia kali, tafadhali tumia chanzo kingine cha habari.

Wacha tuangalie isipokuwa kwa sheria ambayo itahitajika kukamilisha kazi za vitendo.

Ikiwa matrix ya mraba ina matrix inverse, basi kuzidisha kwao kunabadilika:

Matrix ya kitambulisho ni matrix ya mraba ambayo diagonal kuu vitengo ziko, na vipengele vilivyobaki ni sawa na sifuri. Kwa mfano:, nk.

Katika kesi hii, mali ifuatayo ni kweli: ikiwa matrix ya kiholela imezidishwa upande wa kushoto au kulia na matrix ya utambulisho. saizi zinazofaa, basi matokeo yake ni matrix ya asili:

Kama unavyoona, ubadilishanaji wa kuzidisha matrix pia hufanyika hapa.

Wacha tuchukue matrix, vizuri, tuseme, matrix kutoka kwa shida iliyopita: .

Wale wanaovutiwa wanaweza kuangalia na kuhakikisha kuwa:

Matrix ya kitengo cha matrices ni analog ya kitengo cha nambari kwa nambari, ambayo ni wazi haswa kutoka kwa mifano iliyojadiliwa hivi punde.

Ubadilishaji wa kipengele cha nambari kuhusiana na kuzidisha matriki

Kwa matrices na nambari halisi mali ifuatayo inashikilia:

Hiyo ni, sababu ya nambari inaweza (na inapaswa) kusongezwa mbele ili "isiingiliane" na kuzidisha matrices.

Kumbuka : kwa ujumla, uundaji wa mali haujakamilika - "lambda" inaweza kuwekwa mahali popote kati ya matrices, hata mwisho. Sheria inabaki kuwa halali ikiwa matrices matatu au zaidi yanazidishwa.

Mfano 4

Kuhesabu bidhaa

Suluhisho:

(1) Kulingana na mali songa kipengele cha nambari mbele. Matrices yenyewe hayawezi kupangwa upya!

(2) - (3) Fanya kuzidisha matrix.

(4) Hapa unaweza kugawanya kila nambari na 10, lakini basi kati ya vitu vya matrix itaonekana desimali, ambayo si nzuri. Walakini, tunagundua kuwa nambari zote kwenye tumbo zinaweza kugawanywa na 5, kwa hivyo tunazidisha kila kipengele kwa .

Jibu:

Charade kidogo kwa uamuzi wa kujitegemea:

Mfano 5

Piga hesabu ikiwa

Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Ambayo mbinu ya kiufundi muhimu wakati wa kutatua mifano kama hiyo? Wacha tujue nambari mwisho wa yote .

Wacha tuunganishe gari lingine kwenye locomotive:

Jinsi ya kuzidisha matrices tatu?

Kwanza kabisa, NINI kinafaa kutokana na kuzidisha matrices tatu? Paka hatazaa panya. Ikiwa kuzidisha kwa matrix kunawezekana, basi matokeo pia yatakuwa matrix. Mmmh, mwalimu wangu wa aljebra haoni jinsi ninavyoelezea kufungwa kwa muundo wa aljebra kuhusiana na vipengele vyake =)

Bidhaa ya matrices tatu inaweza kuhesabiwa kwa njia mbili:

1) pata na uzidishe kwa matrix "ce":;

2) ama kwanza find , kisha multiply .

Matokeo yatakuwa dhahiri sanjari, na kwa nadharia mali hii inaitwa associativity ya kuzidisha matrix:

Mfano 6

Kuzidisha matrices kwa njia mbili

Suluhisho la algorithm ni hatua mbili: tunapata bidhaa ya matrices mbili, kisha tena tunapata bidhaa za matrices mbili.

1) Tumia fomula

Hatua ya kwanza:

Tendo la pili:

2) Tumia fomula

Hatua ya kwanza:

Tendo la pili:

Jibu:

Suluhisho la kwanza ni, bila shaka, linalojulikana zaidi na la kawaida, ambapo "kila kitu kinaonekana kuwa sawa." Kwa njia, kuhusu utaratibu. Katika kazi inayozingatiwa, udanganyifu mara nyingi hutokea kwamba tunazungumza juu ya aina fulani ya vibali vya matrices. Hawapo hapa. Nakukumbusha tena kwamba kwa ujumla, HAIWEZEKANI KUREJESHA MATRICES. Kwa hiyo, katika aya ya pili, katika hatua ya pili, tunafanya kuzidisha, lakini hakuna kesi. NA nambari za kawaida Nambari kama hiyo ingepita, lakini kwa matrices haingepita.

Sifa ya kuzidisha kwa ushirika ni kweli sio tu kwa mraba, lakini pia kwa matiti ya kiholela - mradi tu yamezidishwa:

Mfano 7

Pata bidhaa ya matrices tatu

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Katika suluhisho la sampuli, mahesabu hufanywa kwa njia mbili; kuchambua ni njia gani yenye faida zaidi na fupi.

Sifa ya ushirika ya kuzidisha matrix pia inashikilia kwa wingi zaidi vizidishio.

Sasa ni wakati wa kurudi kwenye mamlaka ya matrices. Mraba wa matrix huzingatiwa mwanzoni kabisa na swali kwenye ajenda ni:

Jinsi ya kujenga matrix ndani ya mchemraba au zaidi digrii za juu?

Shughuli hizi pia hufafanuliwa tu kwa matrices ya mraba. Ili kutengeneza matrix ya mraba, unahitaji kuhesabu bidhaa:

Kwa kweli ni kesi maalum kuzidisha kwa matiti matatu, kulingana na mali ya ushirika ya kuzidisha matrix: . Na matrix iliyozidishwa yenyewe ni mraba wa matrix:

Kwa hivyo, tunapata formula ya kufanya kazi:

Hiyo ni, kazi inafanywa kwa hatua mbili: kwanza, tumbo lazima iwe mraba, na kisha tumbo linalosababisha lazima liongezwe na tumbo.

Mfano 8

Tengeneza tumbo ndani ya mchemraba.

Hili ni shida ndogo ya kutatua peke yako.

Kuinua matrix kwa nguvu ya nne hufanywa kwa njia ya asili:

Kwa kutumia ushirika wa kuzidisha matrix, tunapata fomula mbili za kufanya kazi. Kwanza: - hii ni zao la matrices tatu.

1) . Kwa maneno mengine, tunapata kwanza, kisha kuizidisha kwa "kuwa" - tunapata mchemraba, na mwishowe, tunafanya kuzidisha tena - kutakuwa na nguvu ya nne.

2) Lakini kuna suluhisho hatua moja fupi: . Hiyo ni, katika hatua ya kwanza tunapata mraba na, kwa kupita mchemraba, fanya kuzidisha

Kazi ya ziada kwa mfano 8:

Kuinua tumbo kwa nguvu ya nne.

Kama ilivyoelezwa hapo juu, hii inaweza kufanywa kwa njia mbili:

1) Kwa kuwa mchemraba unajulikana, basi tunafanya kuzidisha.

2) Walakini, ikiwa kulingana na hali ya shida inahitajika kuunda matrix kwa nguvu ya nne tu, basi ni faida kufupisha njia - kupata mraba wa matrix na kutumia formula.

Suluhu zote mbili na jibu ziko mwishoni mwa somo.

Vivyo hivyo, matrix huinuliwa hadi nguvu ya tano na ya juu. Kutoka uzoefu wa vitendo Ninaweza kusema kwamba wakati mwingine mimi hukutana na mifano ya kuinua kwa nguvu ya 4, lakini sikumbuki chochote kuhusu nguvu ya tano. Lakini ikiwa tu, nitakupa algorithm mojawapo:

1) kupata;
2) kupata;
3) kuinua tumbo kwa nguvu ya tano:.

Hizi ni, labda, mali yote ya msingi ya shughuli za matrix ambayo inaweza kuwa na manufaa katika matatizo ya vitendo.

Katika sehemu ya pili ya somo, umati wa watu wenye rangi sawa unatarajiwa.

Maneno ya Matrix

Wacha turudie maneno ya kawaida ya shule na nambari. Usemi wa nambari una nambari, alama za hisabati, na mabano, kwa mfano: . Wakati wa kuhesabu, kipaumbele cha aljebra kinachojulikana kinatumika: kwanza, mabano, kisha kutekelezwa exponentiation/mizizi, Kisha kuzidisha/kugawanya na mwisho lakini sio uchache - kuongeza/kutoa.

Ikiwa usemi wa nambari unaeleweka, basi matokeo ya tathmini yake ni nambari, kwa mfano:

Maneno ya Matrix hufanya kazi karibu sawa! Kwa tofauti ambayo wahusika wakuu ni matrices. Pamoja na shughuli fulani mahususi za matrix, kama vile kupitisha na kutafuta kinyume cha matrix.

Fikiria usemi wa matrix , wako wapi matrices. Katika usemi huu wa matrix, maneno matatu na shughuli za kuongeza/kutoa hufanywa mwisho.

Katika muhula wa kwanza, kwanza unahitaji kupitisha matrix "kuwa":, kisha ufanye kuzidisha na uingize "mbili" kwenye tumbo linalosababisha. Tafadhali kumbuka kuwa operesheni ya transpose ina zaidi kipaumbele cha juu kuliko kuzidisha. Mabano, kama ilivyo kwa misemo ya nambari, hubadilisha mpangilio wa vitendo: - hapa, kuzidisha hufanywa kwanza, kisha matrix inayosababishwa hupitishwa na kuzidishwa na 2.

Katika muhula wa pili, kuzidisha kwa matrix hufanywa kwanza, na tumbo la kinyume linapatikana kutoka kwa bidhaa. Ikiwa utaondoa mabano: , basi kwanza unahitaji kupata matrix ya kinyume, na kisha kuzidisha matrices:. Kupata kinyume cha matrix pia huchukua nafasi ya kwanza kuliko kuzidisha.

Kwa muda wa tatu, kila kitu ni dhahiri: tunainua tumbo ndani ya mchemraba na kuingia "tano" kwenye tumbo linalosababisha.

Ikiwa usemi wa matrix una maana, basi matokeo ya tathmini yake ni matrix.

Kazi zote zitakuwa kutoka kwa halisi vipimo, na tutaanza na rahisi zaidi:

Mfano 9

Kupewa matrices . Tafuta:

Suluhisho: utaratibu wa vitendo ni dhahiri, kuzidisha kwanza kunafanywa, kisha kuongeza.

Nyongeza haiwezi kufanywa kwa sababu matrices ni ya ukubwa tofauti.

Usishangae; ni wazi vitendo visivyowezekana mara nyingi hupendekezwa katika kazi za aina hii.

Wacha tujaribu kuhesabu usemi wa pili:

Kila kitu kiko sawa hapa.

Jibu: hatua haiwezi kufanywa, .

Matrix A -1 inaitwa matrix inverse kuhusiana na matrix A ikiwa A*A -1 = E, ambapo E ni matriki ya utambulisho wa mpangilio wa nth. Matrix inverse inaweza kuwepo kwa matrices ya mraba pekee.

Kusudi la huduma. Kwa kutumia wa huduma hii V hali ya mtandaoni mtu anaweza kupata vijalizo vya aljebra, matriki ya A T, matriki washirika na tumbo kinyume. Uamuzi huo unafanywa moja kwa moja kwenye tovuti (mkondoni) na ni bure. Matokeo ya hesabu yanawasilishwa katika ripoti Umbizo la maneno na katika Muundo wa Excel(yaani inawezekana kuangalia suluhisho). tazama mfano wa kubuni.

Maagizo. Ili kupata suluhisho, ni muhimu kutaja mwelekeo wa tumbo. Ifuatayo, jaza matrix A kwenye kisanduku kipya cha mazungumzo.

Kipimo cha Matrix 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tazama pia matrix Inverse kwa kutumia njia ya Jordano-Gauss

Algorithm ya kutafuta matrix inverse

Kutafuta matrix iliyopitishwa A T.

Ufafanuzi wa nyongeza za aljebra. Badilisha kila kipengele cha matriki na kijalizo chake cha aljebra.

Kukusanya matrix ya kinyume kutoka kwa nyongeza za aljebra: kila kipengele cha matriki inayotokana imegawanywa na kibainishi cha matrix ya asili. Matrix inayosababishwa ni kinyume cha matrix ya asili.

Inayofuata algorithm ya kupata matrix inverse sawa na ile ya awali isipokuwa baadhi ya hatua: kwanza hesabu nyongeza za algebra, na kisha matrix ya muungano C imedhamiriwa.

Amua ikiwa matrix ni ya mraba. Ikiwa sivyo, basi hakuna matrix inverse kwa hiyo.

Uhesabuji wa kibainishi cha matrix A. Ikiwa hana sawa na sifuri, tunaendelea suluhisho, vinginevyo matrix inverse haipo.

Ufafanuzi wa nyongeza za aljebra.

Kujaza muungano (pamoja, karibu) matrix C .

Kukusanya matriki kinyume kutoka kwa nyongeza za aljebra: kila kipengele cha matriki ya kiunganishi C imegawanywa na kiambishi cha matriki asilia. Matrix inayosababishwa ni kinyume cha matrix ya asili.

Wanafanya hundi: huzidisha matrices ya awali na kusababisha. Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ya utambulisho.

Mfano Nambari 1. Wacha tuandike matrix katika fomu:

Nyongeza za algebra.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kisha matrix inverse inaweza kuandikwa kama:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Algorithm nyingine ya kutafuta matrix inverse Tunawasilisha mpango mwingine wa kutafuta tumbo kinyume.

Tafuta kibainishi cha matrix ya mraba uliyopewa.

Tunapata nyongeza za aljebra kwa vipengele vyote vya matrix A.

Tunaandika nyongeza za algebraic za vipengele vya safu kwenye safu (ubadilishaji).

Tunagawanya kila kipengee cha matrix inayosababishwa na kibainishi cha matrix A.

Kama tunavyoona, operesheni ya uhamishaji inaweza kutumika mwanzoni, kwenye tumbo la asili, na mwisho, kwenye nyongeza za aljebra.

Kesi maalum: Kinyume cha matrix ya utambulisho E ni matrix ya utambulisho E.