Matrices ya diagonal yana muundo rahisi zaidi. Swali linatokea ikiwa inawezekana kupata msingi ambao matrix ya operator wa mstari itakuwa na fomu ya diagonal. Msingi kama huo upo.
Hebu tupewe nafasi ya mstari R n na operator wa mstari A kaimu ndani yake; katika kesi hii, operator A huchukua R n ndani yake, yaani, A:R n → R n.

Ufafanuzi. Vector isiyo ya sifuri inaitwa eigenvector ya operator A ikiwa operator A hutafsiri kwenye vector ya collinear, yaani. Nambari λ inaitwa eigenvalue au thamani ya eigen operator A, sambamba na eigenvector.
Wacha tuangalie sifa zingine za eigenvalues ​​na eigenveector.
1. Mchanganyiko wowote wa mstari wa eigenvectors opereta A inayolingana na eigenvalue sawa λ ni eigenvector yenye eigenvalue sawa.
2. Eigenvectors mwendeshaji A aliye na thamani tofauti za jozi ​​λ 1 , λ 2 , …, λ m zinajitegemea kimstari.
3. Ikiwa thamani eigen \ λ 1 = λ 2 = λ m = λ, basi eigenvalue λ inalingana na si zaidi ya m eigenveekta huru zinazojitegemea.

Kwa hivyo, ikiwa kuna n eigenveekta huru za mstari , sambamba na eigenvalues ​​λ 1, λ 2, ..., λ n, basi zinajitegemea kwa mstari, kwa hivyo, zinaweza kuchukuliwa kama msingi wa nafasi R n. Wacha tupate fomu ya matrix ya mwendeshaji wa mstari A kwa msingi wa eigenveekta zake, ambayo tutachukua hatua na mwendeshaji A kwa msingi wa vekta: Kisha .
Kwa hivyo, matrix ya mwendeshaji wa mstari A kwa msingi wa eigenveector zake ina fomu ya diagonal, na eigenvalues ​​ya operator A iko kando ya diagonal.
Je, kuna msingi mwingine ambao matrix ina fomu ya diagonal? Jibu la swali hili linatolewa na theorem ifuatayo.

Nadharia. Matrix ya opereta wa mstari A katika msingi (i = 1..n) ina fomu ya diagonal ikiwa na tu ikiwa vekta zote za msingi ni eigenveekta za opereta A.

Sheria ya kutafuta eigenvalues ​​na eigenveekta

Hebu vector itolewe , ambapo x 1, x 2, ..., x n ni kuratibu za vekta kuhusiana na msingi na ni eigenvector ya opereta linear A inayolingana na eigenvalue λ, yaani. Uhusiano huu unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix

. (*)

Equation (*) inaweza kuchukuliwa kama mlinganyo wa kutafuta , na , yaani, tunavutiwa na masuluhisho yasiyo ya maana, kwani eigenvector haiwezi kuwa sifuri. Inajulikana kuwa suluhisho zisizo za kawaida za mfumo wa homogeneous milinganyo ya mstari kuwepo ikiwa na tu ikiwa det(A - λE) = 0. Kwa hivyo, ili λ kuwa thamani ya opereta A ni muhimu na inatosha kwamba det(A - λE) = 0.
Ikiwa equation (*) imeandikwa kwa undani katika fomu ya kuratibu, tunapata mfumo wa milinganyo yenye usawa:

(1)
Wapi - linear operator tumbo.

Mfumo (1) una suluhu isiyo ya sifuri ikiwa kiashiria chake D ni sawa na sifuri

Tulipokea equation ya kutafuta eigenvalues.
Equation hii inaitwa equation ya tabia, na yake upande wa kushoto- sifa ya polynomial ya matrix (operator) A. Ikiwa polynomial ya sifa haina mizizi halisi, basi matrix A haina eigenvectors na haiwezi kupunguzwa kwa fomu ya diagonal.
Acha λ 1, λ 2, ..., λ n iwe mizizi halisi ya mlingano wa tabia, na kati yao kunaweza kuwa na vizidishio. Kubadilisha maadili haya kwa zamu kuwa mfumo (1), tunapata eigenveekta.

Mfano 12. Opereta wa mstari A hufanya kazi katika R 3 kulingana na sheria, ambapo x 1, x 2, .., x n ni kuratibu za vector kwa msingi. , , . Tafuta eigenvalues ​​na eigenveekta za mwendeshaji huyu.
Suluhisho. Tunaunda matrix ya mwendeshaji huyu:
.
Tunaunda mfumo wa kuamua kuratibu za eigenveekta:

Tunaunda equation ya tabia na kuisuluhisha:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Kubadilisha λ = -1 kwenye mfumo, tunayo:
au
Kwa sababu , basi kuna vigezo viwili tegemezi na tofauti moja ya bure.
Hebu x 1 iwe isiyojulikana ya bure, basi Tunatatua mfumo huu kwa njia yoyote na kupata uamuzi wa pamoja ya mfumo huu: Mfumo wa kimsingi wa suluhisho una suluhisho moja, kwani n - r = 3 - 2 = 1.
Seti ya eigenveekta inayolingana na eigenvalue λ = -1 ina fomu: , ambapo x 1 ni nambari yoyote isipokuwa sifuri. Wacha tuchague vekta moja kutoka kwa seti hii, kwa mfano, kuweka x 1 = 1: .
Kuzingatia vivyo hivyo, tunapata eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = 3: .
Katika nafasi R 3, msingi una vectors tatu za kujitegemea, lakini tulipokea eigenvectors mbili tu za kujitegemea, ambazo msingi katika R 3 hauwezi kutengenezwa. Kwa hivyo, hatuwezi kupunguza matrix A ya mwendeshaji laini hadi umbo la mshazari.

Mfano 13. Imepewa matrix .
1. Thibitisha kwamba vector ni eigenvector ya matrix A. Tafuta eigenvalue inayolingana na eigenvector hii.
2. Pata msingi ambao matrix A ina fomu ya diagonal.
Suluhisho.
1. Ikiwa , basi ni eigenvector

.
Vekta (1, 8, -1) ni eigenvector. Thamani ya Eigen λ = -1.
Matrix ina fomu ya diagonal katika msingi unaojumuisha eigenvectors. Mmoja wao ni maarufu. Hebu tupate mengine.
Tunatafuta eigenvectors kutoka kwa mfumo:

Mlinganyo wa tabia: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Wacha tupate eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = -3:

Kiwango cha matrix ya mfumo huu ni mbili na sawa na idadi ya haijulikani, kwa hiyo mfumo huu una suluhisho la sifuri tu x 1 = x 3 = 0. x 2 hapa inaweza kuwa kitu kingine chochote isipokuwa sifuri, kwa mfano, x 2 = 1. Kwa hivyo, vector (0 ,1,0) ni eigenvector inayofanana na λ = -3. Hebu tuangalie:
.
Ikiwa λ = 1, basi tunapata mfumo
Kiwango cha matrix ni mbili. Tunavuka equation ya mwisho.
Acha x 3 iwe isiyojulikana bila malipo. Kisha x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Kwa kuchukulia x 3 = 1, tunayo (-3,-9,1) - eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = 1. Angalia:

.
Kwa kuwa eigenvalues ​​ni halisi na tofauti, vekta zinazolingana nazo ni huru kwa mstari, kwa hivyo zinaweza kuchukuliwa kama msingi katika R 3 . Kwa hivyo, kwa msingi , , matrix A ina fomu:
.
Sio kila matriki ya mwendeshaji wa mstari A:R n → R n inaweza kupunguzwa hadi fomu ya diagonal, kwani kwa waendeshaji wengine wa mstari kunaweza kuwa na eigenveekta huru chini ya n. Walakini, ikiwa matrix ni ya ulinganifu, basi mzizi wa equation ya tabia ya msururu wa m inalingana na veta zinazojitegemea za m.

Ufafanuzi. Matrix ya ulinganifu ni matrix ya mraba ambayo vipengele vya ulinganifu kuhusu diagonal kuu ni sawa, yaani, ambayo .
Vidokezo. 1. Eigenvalues ​​zote za matrix ya ulinganifu ni halisi.
2. Eigenveekta za matrix linganifu zinazolingana na eigenvalues ​​tofauti kwa jozi ni za orthogonal.
Kama moja ya matumizi mengi ya vifaa vilivyosomwa, tunazingatia shida ya kuamua aina ya safu ya mpangilio wa pili.

1. Dhana ya mwendeshaji wa mstari

Hebu R Na S nafasi za mstari ambazo zina mwelekeo n Na m kwa mtiririko huo. Opereta A kaimu kutoka R V S inayoitwa ramani ya fomu , ambayo inahusisha kila kipengele x nafasi R kipengele fulani y nafasi S. Kwa upangaji huu wa ramani tutatumia nukuu y= A(x) au y= A x.

Ufafanuzi 1. Opereta A kaimu kutoka R V S inaitwa linear ikiwa kwa vipengele vyovyote x 1 na x 2 nafasi R na yoyote λ kutoka kwa uwanja wa nambari K mahusiano yameridhika

1. A(x 1 +x 2)=Ax 1 +Ax 2 .
2. A(λx)=λ Ax.

Ikiwa nafasi S sanjari na nafasi R, kisha mwendeshaji wa mstari anayetenda kutoka R V R inayoitwa mabadiliko ya mstari wa nafasi R.

Acha nafasi mbili za vekta zipewe n- kipimo R Na m- kipimo S, na acha besi na zibainishwe katika nafasi hizi, mtawalia. Wacha ramani itolewe

Hebu sasa tuonyeshe kinyume chake, i.e. hiyo kwa mwendeshaji wa laini yoyote A, inayowakilisha nafasi R V S na misingi ya kiholela na ndani R Na S ipasavyo, kuna matrix kama hiyo A na vipengele kutoka kwa uga wa nambari K, kwamba ramani ya mstari (1) iliyofafanuliwa na matriki hii inaonyesha kuratibu za vekta iliyopangwa. y kupitia kuratibu za vector asili x.

Hebu x− kipengele cha kiholela katika R. Kisha

Wapi ij− kuratibu za vekta inayotokana katika msingi.

Kisha kutumia operator A kwa kipengele x na kwa kuzingatia (3) na (4), tunayo

Kisha usawa (5) utachukua mtazamo unaofuata:

Kisha usemi (6) unaweza kuandikwa fomu ya matrix:

Wapi x∈R maana yake x ni ya nafasi R.

Jumla ya waendeshaji wa mstari huonyeshwa kama ifuatavyo C=A+B. Ni rahisi kuthibitisha kuwa jumla ya waendeshaji wa mstari pia ni waendeshaji wa mstari.

Hebu kuomba operator C kwa vector ya msingi e j, Kisha:

3. Kuzidisha kwa waendeshaji wa mstari

Acha nafasi tatu za mstari zitolewe R, S Na T. Acha mwendeshaji wa mstari B maonyesho R V S, na mwendeshaji wa mstari A maonyesho S V T.

Ufafanuzi 3. Bidhaa ya waendeshaji A Na B anayeitwa operator C, ambayo usawa ufuatao unashikilia kwa yoyote x kutoka R:

Cx=A(Bx), x∈ R.

(12)

Bidhaa ya waendeshaji wa mstari imeonyeshwa C=AB. Ni rahisi kuona kwamba bidhaa ya waendeshaji wa mstari pia ni operator wa mstari.

Hivyo operator C inaonyesha nafasi R V T. Wacha tuchague katika nafasi R, S Na T besi na kuziashiria kwa A, B Na C opereta matrices A,B Na C sambamba na misingi hii. Kisha upangaji wa waendeshaji wa mstari A, B, C

Kwa kuzingatia usuluhishi wa x, tunapata

Hivyo operator C inaonyesha nafasi R V S. Wacha tuchague katika nafasi R na S besi na kuziashiria kwa A matrix ya operator A usawa wa vekta unaolingana na besi hizi

inaweza kuandikwa kwa namna ya usawa wa matrix

Wapi x, y, z− vekta x, y, z− kuwasilishwa kwa namna ya safu wima za kuratibu. Kisha

Kutokana na jeuri X, tunapata

Kwa hiyo, bidhaa ya operator C nambari λ inalingana na bidhaa ya matrix A kwa nambari λ .

5. Null operator

Opereta anayepanga vipengele vyote vya nafasi R ndani kipengele cha sifuri nafasi S inaitwa opereta null na inaonyeshwa na O. Kitendo cha mendeshaji null kinaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

7. Kiini cha mwendeshaji wa mstari

Ufafanuzi 5. Kernel ya opereta ya mstari A inaitwa seti ya vipengele hivyo vyote x nafasi R Shoka=0.

Kiini cha opereta wa mstari pia huitwa kasoro ya opereta. Kerneli ya opereta ya mstari inaonyeshwa na alama ya ker A.

8. Picha ya mwendeshaji wa mstari

Ufafanuzi 6. Picha ya mwendeshaji wa mstari A inaitwa seti ya vipengele vyote y nafasi R, ambayo usawa ufuatao unashikilia: y=Ax kwa wote x kutoka R.

Picha ya opereta ya mstari inaonyeshwa na im A.

9. Kiwango cha waendeshaji wa mstari

Ufafanuzi 7. Cheo cha mwendeshaji wa mstari A iliyoashiriwa na cheo A inaitwa nambari sawa na kipimo cha picha im A mwendeshaji A, yaani: cheo A= dim (im A).

Vector X ≠ 0 inaitwa eigenvector opereta wa mstari na tumbo A, ikiwa kuna nambari vile AX =X.

Katika kesi hii, nambari  inaitwa thamani ya eigen opereta (matrix A) inayolingana na vekta x.

Kwa maneno mengine, eigenvector ni vector ambayo, chini ya hatua ya operator wa mstari, inabadilika kuwa vector ya collinear, i.e. zidisha kwa nambari fulani. Kwa kulinganisha, vekta zisizofaa ni ngumu zaidi kubadilisha.

Wacha tuandike ufafanuzi wa eigenvector katika mfumo wa equations:

Wacha tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto:

Mfumo wa mwisho unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix kama ifuatavyo:

(A - E)X = O

Mfumo unaosababisha daima una suluhisho la sifuri X = O. Mifumo hiyo ambayo maneno yote ya bure ni sawa na sifuri huitwa. zenye homogeneous. Ikiwa tumbo la mfumo huo ni mraba na kiashiria chake si sawa na sifuri, basi kwa kutumia formula za Cramer tutapata suluhisho la pekee - sifuri. Inaweza kuthibitishwa kuwa mfumo una suluhu zisizo za sifuri ikiwa na tu ikiwa kiashiria cha tumbo hili ni sawa na sifuri, i.e.

|A - E| = = 0

Equation hii na haijulikani inaitwa mlingano wa tabia(tabia ya polynomial) matrix A (opereta wa mstari).

Inaweza kuthibitishwa kuwa tabia ya polynomial ya operator linear haitegemei uchaguzi wa msingi.

Kwa mfano, hebu tutafute eigenvalues ​​na eigenveekta za mwendeshaji wa mstari uliofafanuliwa na matrix A = .

Ili kufanya hivyo, hebu tuunde mlingano wa tabia |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Ili kupata eigenvectors, tunatatua mifumo miwili ya equations

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Kwa wa kwanza wao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

wapi x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Kwa pili yao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

kutoka wapi x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; kifungu cha 1).

Kwa hivyo, eigenvekta za opereta huyu wa mstari zote ni vekta za fomu (-(2/3)с; с) yenye thamani ya eigen (-5) na vekta zote za fomu ((2/3)с 1 ; с 1) na thamani ya 7 .

Inaweza kuthibitishwa kuwa matrix ya mwendeshaji A kwa msingi unaojumuisha eigenveekta zake ni ya ulalo na ina fomu:

,

ambapo  mimi ni maadili ya matrix hii.

Mazungumzo pia ni ya kweli: ikiwa matrix A katika msingi fulani ni ya diagonal, basi vekta zote za msingi huu zitakuwa eigenvectors za matrix hii.

Inaweza pia kuthibitishwa kuwa ikiwa mwendeshaji wa mstari ana n eigenvalues ​​tofauti kwa jozi, basi eigenveekta zinazolingana zinajitegemea kwa mstari, na matrix ya mwendeshaji huyu katika msingi unaolingana ina fomu ya diagonal.

Wacha iwe mabadiliko ya mstari wa nafasi ya mstari wa n-dimensional V. Nonzero vekta \boldsymbol(s) za nafasi ya mstari V zinazokidhi hali

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

kuitwa eigenvector mabadiliko ya mstari \hisabati(A) . Nambari \ lambda katika usawa (9.5) inaitwa eigenvalue ya mabadiliko\hisabati(A) . Eigenvector inasemekana inalingana na (ya) eigenvalue \lambda . Ikiwa nafasi V ni halisi (tata), basi eigenvalue \lambda ni nambari halisi (tata).

Seti ya eigenvalues ​​zote za mabadiliko ya mstari inaitwa yake wigo.

Hebu tueleze maana ya kijiometri ya eigenvectors. Nonzero vector s ni eigenvector ya mabadiliko \mathcal(A) ikiwa taswira yake. \hisabati(A) (\alama kali) ni collinear kwa taswira kinyume ya \boldsymbol(s) . Kwa maneno mengine, ikiwa \boldsymbol(s) ni eigenvector, basi mabadiliko \mathcal(A) yana nafasi ndogo ya invariant ya mwelekeo mmoja. Kauli iliyo kinyume nayo ni kweli.

Kwa kweli, acha eigenvector \boldsymbol(s) ilingane na eigenvalue fulani \lambda . Vekta \boldsymbol(v) yoyote kutoka \jina la opereta(Lin)(\alama(za)) inaonekana kama \boldsymbol(v)=\alpha \boldsymbol(s), ambapo \alpha ni nambari yoyote kutoka kwa sehemu uliyopewa. Wacha tupate picha ya vekta hii

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\katika \jina la opereta(Lin) (\boldsymbol(s)).

Kwa hivyo, \hisabati(A)(\boldsymbol(v))\katika \jina la kiendeshaji(Lin)(\boldsymbol(s)) kwa vector yoyote \alama ya ujasiri(v)\katika \jina la opereta(Lin)(\alama(s)), i.e. nafasi ndogo \jina la opereta(Lin)(\alama(za)) invariant chini ya mabadiliko \mathcal(A) . Kipimo cha nafasi ndogo \jina la opereta(Lin) (\alama (s)) ni sawa na moja, kwani \alama dhabiti\ne \alama thabiti(o) a-kipaumbele.

Taarifa ya mazungumzo inaweza kuthibitishwa kwa hoja kwa utaratibu wa kinyume.

Uhusiano kati ya eigenveekta ya mabadiliko ya mstari (opereta) na tumbo lake

Hapo awali, eigenveector na eigenvalues ​​ya matrix ilizingatiwa. Kumbuka kwamba eigenvector ya matrix ya mraba A ya mpangilio wa nth inaitwa isiyo ya sifuri safu wima ya nambari s=\anza(pmmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\mwisho(pmmatrix)^T, hali ya kuridhisha (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Nambari \lambda katika (9.6) inaitwa eigenvalue ya matrix A. Iliaminika kuwa eigenvalue \lambda na nambari s_i~(i=1,\ldots,n) ni mali ya uwanja wa nambari changamano.

Dhana hizi zinahusiana na eigenvectors na eigenvalues ​​ya mabadiliko ya mstari.

Nadharia ya 9.3 juu ya eigenveekta ya mabadiliko ya mstari na tumbo lake. Hebu \mathcal(A)\colon V\to V ni badiliko la mstari wa nafasi ya mstari wa n-dimensional V yenye msingi. Halafu eigenvalue \lambda na safu wima ya kuratibu ya eigenvector \boldsymbol(s) ya mabadiliko \mathcal(A) ni eigenvalue na eigenvector ya matrix A ya mageuzi haya yaliyofafanuliwa kuhusiana na msingi. \alama dhabiti(e)_1,\ldoti, \alama kali(e)_n, i.e.

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, Wapi \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldets+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

Taarifa ya mazungumzo ni kweli kwa masharti ya ziada: ikiwa safu s=\anza(pmmatrix) s_1&\cdots&s_n\mwisho(pmmatrix)^T na nambari \lambda ni eigenvector na eigenvalue ya matrix A, na nambari. s_1,\ldets,s_n,\lambda ni mali ya uwanja wa nambari ambayo nafasi ya mstari V imefafanuliwa, kisha vekta \alama dhabiti=s_1 \alama dhabiti(e)_1+ \ldoti+s_n \alama nzito(e)_n na nambari \lambda ni eigenvector na eigenvalue ya mabadiliko ya mstari \mathcal(A)\colon V\to V na matrix A kwa msingi \alama dhabiti(e)_1,\ldoti,\alama kali(e)_n.

Kwa kweli, hali (9.5) katika fomu ya kuratibu ina fomu (9.6), ambayo inafanana na ufafanuzi (7.13) wa eigenvector ya matrix. Kinyume chake, usawa (9.6) unamaanisha usawa (9.5) mradi vidhibiti na \lambda\cdot \alama kali imefafanuliwa, i.e. nambari s_1,\ldets,s_n,\lambda ni ya uga wa nambari ambayo nafasi ya mstari imefafanuliwa.

Kumbuka kwamba kutafuta eigenvalues ​​ya matrix inapunguza kutatua equation yake ya tabia. \Delta_A(\lambda)=0, Wapi \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) ni sifa ya polynomial ya matrix A. Kwa mabadiliko ya mstari tunaanzisha dhana zinazofanana.

Tabia ya polynomial ya mabadiliko ya mstari \mathcal(A)\colon V\to V Nafasi ya mstari wa n-dimensional ni sifa ya polynomia ya matrix A ya mabadiliko haya, inayopatikana kwa kuzingatia msingi wowote wa nafasi V.

Equation inaitwa mlingano wa tabia ya mabadiliko ya mstari.

Uongofu \hisabati(A)-\lambda\hisabati(E) inayoitwa sifa ya mabadiliko ya mstari \mathcal(A)\colon V\to V.

Vidokezo 9.4

1. Tabia ya polynomial ya mabadiliko ya mstari haitegemei msingi ambao matrix ya mabadiliko hupatikana.

Kwa kweli, matrices \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e))) Na \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f))) mabadiliko ya mstari \mathcal(A) katika besi (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldets, \boldsymbol(e)_n) Na (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldets,\ boldsymbol(f)_n) ni, kulingana na (9.4), sawa: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, ambapo S ni matriki ya mpito kutoka msingi (\boldsymbol(e)) hadi msingi (\boldsymbol(f)). Kama inavyoonyeshwa hapo awali, sifa za polynomials za matrices kama hizo zinapatana (tazama mali 3). Kwa hivyo, kwa tabia ya polynomial ya mabadiliko \mathcal(A) tunaweza kutumia nukuu \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), bila kubainisha matrix ya mabadiliko haya.

2. Kutoka kwa Nadharia ya 9.3 inafuata kwamba mzizi wowote changamano (halisi, wa kimantiki) wa mlingano wa tabia ni thamani ya mageuzi ya mstari. \mathcal(A)\colon V\to V nafasi ya mstari V iliyofafanuliwa juu ya uwanja wa nambari changamano (halisi, mantiki).

3. Kutoka kwa Nadharia ya 9.3 inafuata kwamba mabadiliko yoyote ya mstari wa nafasi ya mstari changamano yana nafasi ndogo ya kutofautiana yenye mwelekeo mmoja, kwa kuwa mabadiliko haya yana eigenvalue (angalia hatua ya 2), na kwa hiyo eigenvectors. Nafasi ndogo kama hiyo ni, kwa mfano, urefu wa mstari wa eigenvector yoyote. Ubadilishaji wa nafasi halisi ya mstari huenda usiwe na nafasi ndogo zenye mwelekeo mmoja ikiwa mizizi yote ya mlingano wa sifa ni changamano (lakini si halisi).

Nadharia ya 9.4 juu ya nafasi ndogo zisizobadilika za mwendeshaji laini katika nafasi halisi. Kila badiliko la mstari wa nafasi halisi ya mstari huwa na nafasi ndogo ya invariant ya mwelekeo mmoja au mbili-dimensional.

Kwa kweli, wacha tutunge matrix ya mabadiliko ya mstari A \mathcal(A)\colon V\to V n-dimensional halisi linear nafasi V katika misingi ya kiholela \alama dhabiti(e)_1,\ldoti,\alama kali(e)_n. Vipengele vya matrix hii ni nambari halisi. Kwa hiyo, tabia ya polynomial \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E) ni polynomial ya shahada n yenye coefficients halisi. Kulingana na Corollaries 3 na 4 ya nadharia ya msingi ya aljebra, polynomial kama hiyo inaweza kuwa na mizizi halisi na jozi za mizizi changamano.

Ikiwa \lambda=\lambda_1 ni mzizi halisi wa equation ya tabia, basi eigenvector inayolingana. s=\anza(pmmatrix)s_1&\cdots&s_n\mwisho(pmmatrix)^T matrix A pia ni halisi. Kwa hivyo inafafanua eigenvector \alama dhabiti=s_1 \alama dhabiti(e)_1+\ldots+s_n \alama kali(e)_n mabadiliko ya mstari (ona Theorem 9.3). Katika kesi hii, kuna tofauti ya nafasi ndogo ya mwelekeo mmoja chini ya \ mathcal(A) \jina la opereta(Lin)(\alama(za))(tazama maana ya kijiometri ya eigenvectors).

Kama \lambda=\alpha\pm\beta i ni jozi ya mizizi changamano ya unganishi (\beta\ne0), kisha eigenvector s\ne o ya matrix A pia ina vitu changamano: s=\anza(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \mwisho(pmatrix)^T. Inaweza kuwakilishwa kama s=x+yi , ambapo x,\,y ni safu wima halisi. Usawa (9.6) basi utakuwa na fomu

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

Kutenga sehemu za kweli na za kufikiria, tunapata mfumo

\anza(kesi)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\mwisho(kesi)

Wacha tuonyeshe kuwa safu wima (x) na (y) zinajitegemea kimstari. Hebu tuchunguze kesi mbili. Ikiwa x=o, basi kutoka kwa mlingano wa kwanza (9.7) inafuata kwamba y=o, tangu \beta\ne0. Kisha s=o, ambayo inakinzana na sharti s\ne o. Wacha tuchukue kuwa x\ne o na safu wima ya x na y ni sawia, i.e. kuna nambari halisi \gamma kiasi kwamba y=\gamma x . Kisha kutoka kwa mfumo (9.7) tunapata \anza(kesi)Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \mwisho (kesi) Kuongeza equation ya kwanza iliyozidishwa na (-\gamma) kwa equation ya pili, tunafika kwenye usawa. [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o. Kwa kuwa x\ne o , usemi katika mabano ya mraba ni sawa na sifuri, i.e. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0. Tangu \beta\ne0 , basi \gamma^2=-1 . Hii haiwezi kutokea kwa kuwa \ gamma ni nambari halisi. Tulipata mkanganyiko. Kwa hivyo, safu wima za x na y zinajitegemea kimstari.

Fikiria subspace ambapo \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldets+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldets+y_n \boldsymbol(y)_n. Nafasi hii ndogo ni ya pande mbili, kwani vekta \alama dhabiti(x),\alama kali(y) zinajitegemea kimstari (kama inavyoonyeshwa hapo juu, safu wima zao za x,y za kuratibu zinajitegemea kimstari). Kutoka (9.7) inafuata hiyo \anza(kesi)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ beta \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\mwisho(kesi) hizo. picha ya vekta yoyote ya \jina la opereta(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), pia ni mali \jina la opereta(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). Kwa hivyo, \jina la opereta(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)) ni tofauti ya nafasi ndogo ya pande mbili chini ya mabadiliko \mathcal(A) , ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Kupata eigenveekta na maadili ya mwendeshaji wa mstari (mabadiliko)

Kupata eigenveekta na eigenvalues ​​ya mabadiliko ya mstari \mathcal(A)\colon V\to V nafasi halisi ya mstari V, hatua zifuatazo lazima zifanyike.

1. Chagua msingi wa kiholela \alama dhabiti(e)_1,\ldoti,\alama kali(e)_n nafasi ya mstari V na upate matrix ya mabadiliko A \mathcal(A) kwa msingi huu.

2. Tunga sifa ya polynomial ya mabadiliko \hisabati(A)\colon\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. Pata mizizi yote tofauti halisi \lambda_1,\lddots,\lambda_k mlingano wa tabia \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. Mizizi changamano (lakini si halisi) ya mlingano wa sifa inapaswa kutupwa (ona aya ya 2 ya maoni 9.4).

4. Kwa mzizi \lambda=\lambda_1 pata mfumo wa kimsingi \varphi_1, \varphi_2,\ldets,\varphi_(n-r) suluhisho kwa mfumo wa usawa wa equations (A-\lambda_1E)x=o , ambapo r=\jina la opereta(rg)(A-\lambda_1E). Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia algorithm ya kutatua mfumo wa homogeneous, au moja ya njia za kupata matrix ya kimsingi.

5. Andika eigenveekta huru za mabadiliko \mathcal(A) zinazolingana na eigenvalue \lambda_1:

\anza(matrix) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldets+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \alama kali(e)_1+ \ldets+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \mwisho (matrix)

Ili kupata seti ya eigenveekta zote zinazolingana na eigenvalue \lambda_1 , fomu isiyo ya sifuri mchanganyiko wa mstari

\boldsymbol(s)= C_1 \alama dhabiti_1+C_2 \alama(za)_2+\ldoti+ C_(n-r)\alama(za)_(n-r),

Wapi C_1,C_2,\ldots,C_(n-r)- mara kwa mara ya kiholela, sivyo sawa na sifuri kwa wakati mmoja.

Rudia hatua 4, 5 kwa eigenvalues ​​zilizobaki \lambda_2,\lddots,\lambda_k mabadiliko ya mstari \mathcal(A) .

Ili kupata eigenveekta za mabadiliko ya mstari wa nafasi ngumu ya mstari, unahitaji kuamua katika hatua ya 3 mizizi yote ya equation ya tabia na, bila kutupa mizizi tata, fanya hatua 4 na 5 kwao.

Mifano ya eigenveekta za waendeshaji wa mstari (mabadiliko)

1. Kwa ubadilishaji sifuri \hisabati(O)\colon V\to V vekta yoyote ya nonzero ni eigenvector inayolingana na sifuri eigenvalue \lambda=0 , kwani \ hisabati(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\katika V.

2. Kwa mabadiliko ya utambulisho \hisabati(E)\colon V\to V vector yoyote isiyo ya sifuri \alama kali\katika V ni eigen inayolingana na kitambulisho eigenvalue \lambda=1 , kwani \ hisabati(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\katika V.

3. Kwa ulinganifu wa kati \hisabati(Z)_(\boldsymbol(o))\colon V\to V vector yoyote isiyo ya sifuri \alama kali\katika V \ hisabati(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

4. Kwa ushoga \mathcal(H)_(\lambda)\koloni V\to V vector yoyote isiyo ya sifuri \alama kali\katika V ni eigenvalue inayolingana na eigenvalue \lambda (mgawo wa homothety), kwani \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s)))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\in V.

5. Kugeuka \hisabati(R)_(\varphi)\koloni V_2\to V_2 ndege (saa ) hakuna eigenveeta, kwani inapozungushwa kwa pembe isiyo na kizidishi cha \pi, picha ya kila vekta isiyo ya sifuri hailingani na picha ya kinyume. Hapa tunazingatia mzunguko wa ndege halisi, i.e. nafasi ya vekta mbili-dimensional juu ya uwanja wa nambari halisi.

6. Kwa mwendeshaji wa utofautishaji \hisabati(D)\colon P_n(\mathbb(R))\to P_n(\mathbb(R)) nonzero polynomia yoyote ya shahada sifuri (sio kufanana sifuri) ni eigenvector inayolingana na sifuri eigenvalue \lambda=0 , kwani \hisabati(D)(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text(const). Polynomial yoyote ya digrii isiyo ya sifuri sio eigenvector, kwani polynomial hailingani na derivative yake: \hisabati(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x), kwa kuwa wana digrii tofauti.

7. Fikiria operator \Pi_(L_1)\koloni V\hadi V makadirio kwenye nafasi ndogo L_1 sambamba na nafasi ndogo L_2. Hapa V=L_1\pamoja na L_2, \Pi_(L_1)(\alama kali(v)_1+ \alama dhabiti(v)_2)=\alama dhabiti(v)_1 Kwa \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1, na vekta yoyote isiyo ya sifuri ni eigenvector inayolingana na eigenvalue \lambda=0 , kwani \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \lambda(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2) inawezekana ama saa au.

8. Fikiria operator \hisabati(Z)_(L_1)\colon V\to V tafakari kwenye nafasi ndogo L_1 sambamba na nafasi ndogo L_2. Hapa V=L_1\pamoja na L_2 \ hisabati(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, Kwa \alama dhabiti(v)=\alama dhabiti(v)_1+\alama kali(v)_2, \alama dhabiti(v)_1\katika L_1,~ \alama kali(v)_2\katika L_2. Kwa mwendeshaji huyu, vekta yoyote ya nonzero \alama dhabiti(v)_1\katika L_1 ni eigenvalue inayolingana na eigenvalue \lambda=1 , tangu \ hisabati(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1, na vekta yoyote ya nonzero \alama dhabiti(v)_2\katika L_2 ni eigenvalue inayolingana na eigenvalue \lambda=-1 tangu \ hisabati(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. Vekta zingine sio eigenveekta, kwani usawa \ hisabati(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v) )_2) inawezekana ama na \alama dhabiti(v)_1=\alama kali(o), au kwa \alama dhabiti(v)_2= \alama dhabiti(o).

9. Katika nafasi V_3 ya vekta za radius ya nafasi, iliyopangwa kutoka kwa uhakika O, fikiria mzunguko kwa pembe. \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), karibu na mhimili wa \ell uliofafanuliwa na vekta ya radius \vec(\ell) . Kolinari yoyote ya vekta isiyo ya kawaida kwa vekta \vec(\ell) ni eigen inayolingana na eigenvalue \lambda=1 . Mabadiliko haya hayana eigenveekta zingine.

Mfano 9.1. Pata eigenvalues ​​na eigenveekta za mwendeshaji wa utofautishaji \hisabati(D)\colon T_1\to T_1, kubadilisha nafasi ya polinomia za trigonometric (frequency \omega=1):

a) na coefficients halisi T_1=T_1(\mathbb(R))= \jina la opereta(Lin) (\dhambi(t),\cos(t));

b) na mgawo changamano T_1=T_1(\mathbb(C))= \jina la opereta(Lin) (\dhambi(t),\cos(t)).

Suluhisho. 1. Hebu tuchague msingi wa kawaida e_1(t)=\dhambi(t),~ e_2(t)=\cos(t) na kwa msingi huu tunaunda matrix D ya opereta \ mathcal(D):

D=\anza(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \mwisho(pmmatrix)\!.

2. Wacha tutunge sifa ya polynomial ya mabadiliko \hisabati(D)\colon\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \lambda^2+ 1..

3. Mlingano bainifu \lambda^2+1=0 una mizizi changamano ya kuunganisha \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i. Hakuna mizizi halisi, kwa hivyo mabadiliko \ mathcal(D) ya nafasi halisi T_1(\mathbb(R)) (kesi (a)) haina eigenvalues, na kwa hivyo hakuna eigenveekta. Mabadiliko \ hesabu(D) ya nafasi changamano T_1(\mathbb(C)) (kesi (b)) ina eigenvalues ​​changamano. \lambda_1,\,\lambda_2.

4(1). Kwa mzizi \lambda_1=i tunapata mfumo wa kimsingi \varphi_1 wa suluhisho kwa mfumo wa usawa wa milinganyo. (D-\lambda_1 E)x=o:

\anza(pmmatrix)-i&-1\\ 1&-i\mwisho(pmmatrix)\!\cdot\! \anza(pmatrix) x_1\\x_2 \mwisho(pmatrix)= \anza(pmmatrix)0\\0 \mwisho(pmatrix)\!.

Wacha tupunguze matrix ya mfumo kuwa hatua kwa hatua kwa kuzidisha equation ya kwanza na (i) na kuiondoa kutoka kwa hesabu ya pili:

\anza(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \mwisho(pmmatrix)\sim \anza(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \mwisho(pmmatrix)\sim \anza(pmatrix)1&-i\ \0&0\mwisho(pmmatrix)\!.

Tunaeleza kigezo cha msingi x_1 kulingana na kigezo kisicholipishwa: x_1=ix_2. Kwa kuchukulia x_2=1, tunapata x_1=i, i.e. \varphi=\anza(pmmatrix)i&1 \mwisho(pmatrix)^T.

5(1). Tunaandika eigenvector inayolingana na eigenvalue \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Seti ya eigenveekta zote zinazolingana na eigenvalue \lambda_1=i huunda vitendaji visivyo sifuri sawia na s_1(t) .

4(2). Kwa mzizi \lambda_2=-i vile vile tunapata mfumo wa kimsingi (unaojumuisha vekta moja) \varphi_2=\anza(pmatrix)-i&1 \mwisho(pmatrix)^T ufumbuzi wa mfumo homogeneous wa equations (D-\lambda_2E)x=o:

\anza(pmmatrix)i&-1\\ 1&i \mwisho(pmmatrix)\!\cdot\! \anza(pmatrix) x_1\\x_2 \mwisho(pmatrix)= \anza(pmmatrix)0\\0 \mwisho(pmatrix)\!.

5(2). Tunaandika eigenvector inayolingana na eigenvalue \lambda_2=-i\koloni\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). Seti ya eigenveekta zote zinazolingana na eigenvalue \lambda_2=-i huunda vitendakazi visivyo sifuri sawia na s_2(t) .

Tazama pia Sifa za eigenveekta za waendeshaji laini (mabadiliko) Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!

Ufafanuzi 5.3. Nonzero vekta x katika nafasi ya mstari L inaitwa eigenvector ya mwendeshaji wa mstari A: L → L, ikiwa kwa nambari fulani A shoka la uhusiano = λx linashikilia. Katika kesi hii, nambari λ inaitwa eigenvalue (eigenvalue) ya opereta wa mstari A.

Mfano 5.3. Nafasi ya mstari K n [x] ya polimanomia za digrii isiyo ya juu kuliko n ina polinomia za digrii sifuri, i.e. kazi za kudumu. Kwa kuwa dc/dx = 0 = 0 c, polynomials za shahada sifuri p(x) = c ≠ 0 ni eigenveekta za mwendeshaji wa utofautishaji wa mstari, na nambari λ = 0 ni eigenvalue ya mwendeshaji huyu. #

Seti ya eigenvalues ​​zote za operator linear inaitwa wigo wa mwendeshaji wa mstari . Kila eigenvector inahusishwa na eigenvalue yake mwenyewe. Hakika, ikiwa vekta x inatosheleza usawa mbili Ax = λx na Ax = μx, kisha λx = μx, inatoka wapi ( λ - μ) x = 0. Ikiwa λ - μ ≠ 0, zidisha usawa kwa nambari ( λ - μ ) -1 na matokeo yake tunapata kwamba x = 0. Lakini hii inapingana na ufafanuzi wa eigenvector, kwani eigenvector daima sio sifuri.

Kila eigenvalue ina eigenveekta zake, na kuna nyingi sana. Hakika, ikiwa x ni eigenvector ya mwendeshaji wa mstari A na eigenvalue λ, i.e. Ах = λx, basi kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri halisi α tuna αx ≠ 0 na А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Hii inamaanisha kuwa vekta αx pia ni eigenvector kwa mwendeshaji wa mstari.

Kumbuka 5.1. Mara nyingi huzungumza eigenvalues ​​(nambari), wigo na eigenveekta za matrix ya mraba . Hii ina maana yafuatayo. Matrix A ya utaratibu n ni tumbo baadhi mwendeshaji wa mstari katika fasta msingi, inafanya kazi ndani nafasi ya mstari wa n-dimensional. Kwa mfano, ikiwa tutaacha msingi wa kawaida katika nafasi ya hesabu ya mstari R n , kisha tumbo A hufafanua mwendeshaji wa mstari A, akipanga vekta x ∈ R n na safu ya kuratibu x kwa vekta yenye safu ya kuratibu Ax. Matrix A ni matriki A. Ni kawaida kutambua opereta na matrix yake kwa njia sawa na vekta ya hesabu inavyotambuliwa na safu ya viwianishi vyake. Kitambulisho hiki, ambacho hutumiwa mara nyingi na si mara zote maalum, hufanya iwezekanavyo kuhamisha maneno ya "operator" kwa matrices.

Wigo wa opereta wa mstari unahusiana kwa karibu na yake mlingano wa tabia.

Nadharia 5.3. Ili nambari halisi λ iwe eigenvalue ya mwendeshaji wa mstari, ni muhimu na ya kutosha kuwa mzizi wa equation ya tabia ya mwendeshaji huyu.

◄ Uhitaji. Acha nambari λ iwe eigenvalue ya mwendeshaji laini A: L → L. Hii inamaanisha kuwa kuna vekta x ≠ 0 ambayo kwayo

Shoka = λx. (5.2)

Kumbuka kuwa katika L kuna mwendeshaji wa kitambulisho I: Ix = x kwa vekta yoyote x. Kwa kutumia operator huyu, tunabadilisha usawa (5.2): Ах = λIx, au

(A - λI)x = 0. (5.3)

Wacha tuandike usawa wa vekta (5.3) kwa msingi fulani b. Matrix ya opereta wa mstari A - λI itakuwa matrix A - λE, ambapo A ni matriki ya opereta laini A katika msingi b, na E ni matriki ya utambulisho, na acha x iwe safu ya viwianishi vya eigenvector x. . Kisha x ≠ 0, na usawa wa vekta (5.3) ni sawa na tumbo.

(A - λE)x = 0, (5.4)

ambayo ni aina ya matrix ya kuandika mfumo wa homogeneous wa usawa wa algebraic (SLAE) na matrix ya mraba A - λE ya utaratibu n. Mfumo huu una suluhisho la nonzero, ambalo ni safu ya x-kuratibu ya eigenvector x. Kwa hiyo, matrix A - λE ya mfumo (5.4) ina kiashiria cha sifuri, i.e. det(A - λE) = 0. Hii ina maana kwamba λ ndio mzizi wa mlingano wa sifa wa opereta wa mstari A.

Utoshelevu. Ni rahisi kuona kwamba hoja hapo juu inaweza kufanywa kwa mpangilio wa nyuma. Ikiwa λ ndio mzizi wa mlingano wa tabia, basi kwa msingi fulani b usawa wa det (A - λE) = unashikilia 0. Kwa hiyo, matrix ya SLAE yenye homogeneous (5.4), iliyoandikwa kwa fomu ya matrix, imeharibika, na mfumo una suluhisho lisilo la sifuri x. Suluhisho hili lisilo la sifuri ni seti ya viwianishi katika msingi b wa baadhi ya vekta x isiyo na sufuri ambayo vekta inashikilia usawa (5.3) au usawa wake sawa (5.2). Tunafikia hitimisho kwamba nambari λ ni eigenvalue ya mwendeshaji wa mstari A.

Kila eigenvalue λ ya matrix (opereta wa mstari) inahusishwa na yake wingi, ikiiweka sawa na msururu wa mzizi λ wa mlingano wa tabia ya matrix hii (ya mwendeshaji huyu wa mstari).

Seti ya eigenveekta zote zinazolingana na eigenvalue iliyotolewa ya opereta wa mstari sio. nafasi ndogo ya mstari, kwani seti hii haina vekta sifuri, ambayo, kwa ufafanuzi, haiwezi kuwa sahihi. Lakini kikwazo hiki rasmi na kinachoweza kutolewa kwa urahisi ndicho pekee. Wacha tuonyeshe kwa £(A, λ) seti ya eigenveekta zote za mwendeshaji laini A katika nafasi ya mstari L inayolingana na eigenvalue λ, na vekta sifuri imeongezwa kwenye seti hii.

Nadharia 5.4. Seti ya £(A,λ) ni nafasi ndogo ya mstari katika L.

◄ Wacha tuchague mbili kiholela vekta x,y∈ £(A, λ) na uthibitishe kuwa kwa α yoyote halisi na β vekta αx + βу pia ni ya £(A, λ). Ili kufanya hivyo, tunahesabu picha ya vekta hii chini ya hatua ya mwendeshaji wa mstari A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Kwa hivyo, kwa vekta z = αх + βу uhusiano Az = λz unashikilia. Ikiwa z ni vekta sifuri, basi ni ya £(A,λ). Ikiwa sio sifuri, basi, kwa mujibu wa uhusiano uliothibitishwa, ni eigenvalue na eigenvalue λ na tena ni ya kuweka £ (A, λ).

Nafasi ndogo ya mstari £(A,λ) wakati mwingine huitwa eigensubspace ya opereta wa mstari *. Ni kesi maalum nafasi ndogo isiyobadilika opereta wa mstari A - nafasi ndogo ya mstari kiasi kwamba kwa vekta yoyote x ∈ H vekta Ax pia ni ya H.

Nafasi ndogo isiyobadilika ya mwendeshaji laini pia ni muda wa mstari wa mfumo wowote wa eigenveekta zake. Nafasi ndogo isiyobadilika ya mwendeshaji laini isiyohusiana na eigenveekta zake ni picha ya mwendeshaji.