Aina anuwai za kuandika shida ya upangaji wa laini. Kupunguza tatizo la jumla la LP hadi fomu ya kisheria

2.1. Ufafanuzi na fomu za kurekodi

Katika kesi ambapo vizuizi vyote ni milinganyo na vigeu vyote vinakidhi hali ya kutokuwa hasi, shida ya upangaji wa mstari inaitwa. kisheria. Inaweza kuwasilishwa kwa kuratibu, vekta au fomu ya nukuu ya tumbo.

a) shida ya kisheria ya LP katika fomu ya kuratibu ina fomu:

,
.

Shida hii inaweza kuandikwa kwa kutumia ishara ya muhtasari:

,
,
.

b) shida ya kisheria ya LP katika fomu ya vekta ina fomu: ,

Wapi
;
;

,
;;
.

c) shida ya kisheria ya LP katika fomu ya matrix ina fomu:

,
,

Wapi
,,.

2.2. Kupunguza tatizo la mstari wa jumla

programu kwa fomu ya kisheria

Wakati wa kukusanya mifano ya hisabati ya matatizo ya kiuchumi, vikwazo vinaundwa hasa katika mifumo ya kutofautiana. Kwa hivyo, ni muhimu kuweza kuhama kutoka kwao kwenda kwa mifumo ya equations. Kwa mfano, fikiria usawa wa mstari

na kuongeza kwa upande wake wa kushoto thamani fulani
kiasi kwamba ukosefu wa usawa unageuka kuwa usawa.

Tofauti isiyo hasi
inayoitwa tofauti ya ziada. Nadharia ifuatayo inatoa msingi wa uwezekano wa mabadiliko hayo.

Nadharia 2.2.1. Kila uamuzi
ukosefu wa usawa (2.2.1) unalingana na suluhu la kipekee la mlinganyo (2.2.2) na ukosefu wa usawa.
, na, kinyume chake, kwa kila suluhisho la equation (2.2.2) c
inalingana na suluhisho
ukosefu wa usawa (2.2.1).

Ushahidi. Hebu
suluhisho la usawa (2.2.1). Kisha. Wacha tuchukue nambari
. Ni wazi kwamba
. Kubadilisha katika equation (2.2.2), tunapata

Sehemu ya kwanza ya nadharia imethibitishwa.

Wacha sasa iwe vekta inatosheleza mlingano (2.2.2) na
, yaani, kutupa thamani isiyo hasi kwenye upande wa kushoto wa usawa wa mwisho
, tunapokea, nk.

Kwa hivyo, nadharia iliyothibitishwa inaweka uwezekano wa kuleta shida yoyote ya LP kwa fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, inatosha kuanzisha katika kila kizuizi ambacho kina aina ya usawa tofauti yake ya ziada isiyo ya hasi. Zaidi ya hayo, katika kutofautiana kwa fomu (1.2.1) vigezo hivi vitaonekana na ishara "+", na kwa kutofautiana kwa fomu (1.2.2) - kwa ishara "-". Vigezo vya ziada vinaingizwa kazi inayolengwa na coefficients sifuri na kwa hiyo haiathiri thamani yake.

Maoni. Katika siku zijazo, tutawasilisha njia rahisi ya shida ya kisheria ya LP wakati wa kusoma kazi ya lengo kwa kiwango cha chini. Katika matatizo hayo ambapo unahitaji kupata kiwango cha juu
, inatosha kuzingatia kazi
, mtafute thamani ya chini, na kisha, kubadilisha ishara kwa kinyume, kuamua thamani ya juu ya taka
.

3. Njia ya picha ya kutatua matatizo

programu ya mstari

3.1. Dhana za jumla, mifano

Katika hali ambapo kuna vigezo viwili tu katika tatizo la LP, unaweza kutumia njia ya picha. Hebu iwe muhimu kupata thamani ya juu (chini) ya kazi
chini ya vikwazo

(3.1.1)

Njia hii inategemea uwezekano wa kuonyesha kielelezo eneo la ufumbuzi unaowezekana kwa tatizo, i.e. mfumo wa kuridhisha (3.1.1), na kutafuta suluhisho mojawapo kati yao. Eneo la suluhisho zinazowezekana kwa tatizo linajengwa kama makutano (sehemu ya kawaida) ya mikoa ya ufumbuzi wa kila moja ya vikwazo vilivyotolewa (3.1.1). Kila mmoja wao anafafanua ndege ya nusu na mpaka
,
. Ili kuamua ni ipi kati ya ndege mbili za nusu ni kikoa cha suluhisho, inatosha kuchukua nafasi ya kuratibu za hatua yoyote ambayo haijalala kwenye mstari kwa usawa: ikiwa imeridhika, basi uwanja wa suluhisho ni nusu-ndege iliyo na. hatua hii, ikiwa usawa haujaridhika, basi uwanja wa suluhisho ni nusu-ndege ambayo haina uhakika uliopewa.

Makutano ya nusu-ndege huunda eneo fulani linaloitwa poligoni ya suluhisho, ambayo ni seti ya mbonyeo. (Chukulia kwamba mfumo wa vikwazo ni thabiti, na poligoni ya suluhu zake ni ndogo.) Ili kupata mojawapo kati ya suluhu zinazowezekana, mistari ya ngazi na mistari iliyonyooka ya marejeleo hutumiwa.

Mstari wa ngazi inaitwa mstari wa moja kwa moja ambao lengo hufanya kazi inachukua thamani ya mara kwa mara. Mlinganyo wa mstari wa ngazi una fomu

, Wapi
. Mistari yote ya ngazi ni sambamba kwa kila mmoja. Kawaida yao
.

Mstari wa kumbukumbu inaitwa mstari wa ngazi ambayo ina angalau hatua moja ya kawaida na kanda ya ufumbuzi unaowezekana, kuhusiana na ambayo mkoa huu iko katika moja ya nusu ya ndege (Mchoro 1).

Maadili
kuongezeka kwa mwelekeo wa vector
. Kwa hiyo, ni muhimu kusonga mstari wa ngazi
katika mwelekeo wa vector hii sambamba na yenyewe kwa mstari wa kumbukumbu L 1 katika kazi ya juu na katika mwelekeo tofauti - katika kazi ya chini (hadi mstari wa kumbukumbu L 2).

Wacha tutoe suluhisho la Mfano 1.1. Kumbuka kwamba tunahitaji kupata upeo wa kazi
chini ya vikwazo

Suluhisho. Tunaunda eneo la suluhisho zinazowezekana. Tunahesabu vikwazo vya tatizo. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian mstatili (Mchoro 2), tunajenga mstari wa moja kwa moja

, sambamba na kizuizi (1). Tunapata ni ipi kati ya nusu-ndege ambayo mstari huu wa moja kwa moja unagawanya ndege nzima ya kuratibu ni uwanja wa ufumbuzi wa kutofautiana (1).

Ili kufanya hivyo, inatosha kuchukua nafasi ya kuratibu za hatua yoyote ambayo haina uongo kwenye mstari ndani ya usawa. Kwa kuwa ni sawa haipiti katika asili, mbadala
kwa kikomo cha kwanza. Tunapata usawa mkali
. Kwa hiyo, uhakika
iko katika nusu-ndege ya ufumbuzi. Vile vile, tunajenga mstari wa moja kwa moja

na kikoa cha suluhisho la kizuizi (2). Tunapata sehemu ya kawaida ya nusu-ndege za ufumbuzi, kwa kuzingatia vikwazo (3). Tunaangazia eneo linalosababisha la suluhisho zinazowezekana katika rangi nyeusi kwenye Mchoro 2.

Kujenga mstari wa ngazi
na vekta
, ambayo inaonyesha mwelekeo wa ongezeko la kazi na perpendicular kwa mstari

. Mstari wa ngazi
songa sambamba na yenyewe katika mwelekeo
kwa mstari wa kumbukumbu. Tunaona kwamba kazi ya lengo hufikia upeo wake kwa uhakika
hatua ya makutano ya mistari Na . Kutatua mfumo wa milinganyo ya mistari hii
, tunapata kuratibu za uhakika
. Kwa hiyo, na
,
suluhisho mojawapo.

Mfano 3.1. Pata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa
chini ya mfumo wa vikwazo

Suluhisho. Tunajenga kanda ya ufumbuzi unaowezekana (angalia Mchoro 3), vector
na moja ya mistari ya ngazi
. Sogeza mstari wa ngazi kwa mwelekeo tofauti
, kwa kuwa tatizo la kupata kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa linatatuliwa. Mstari wa kumbukumbu katika kesi hii hupitia hatua A (Mchoro 3), kuratibu ambazo zitapatikana kutoka kwa suluhisho la mfumo.

Kwa hiyo,
. Hebu tuhesabu.

Maoni. Kwa kweli, inategemea aina ya kikoa cha ufumbuzi unaowezekana na kazi ya lengo
Shida ya LP inaweza kuwa na suluhisho moja, idadi isiyo na kikomo ya suluhisho, au hakuna suluhisho kabisa.

Mfano 3.2. Pata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa
chini ya vikwazo

Suluhisho. Kuunda eneo la suluhisho zinazowezekana, kawaida ya mistari ya kiwango
na moja ya mistari ya ngazi , ambayo ina pointi za kawaida na eneo hili. Kusonga mstari wa ngazi katika mwelekeo kinyume na mwelekeo wa kawaida , kwa kuwa tatizo la kupata kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa linatatuliwa. Kawaida ya mistari ya ngazi
na kawaida ya mstari wa mpaka , katika mwelekeo ambao mistari ya ngazi husogea, ni sambamba, kwani kuratibu zao ni sawia.
. Kwa hiyo, mstari wa kumbukumbu unafanana na mstari wa mpaka eneo la suluhisho zinazowezekana na hupitia sehemu mbili za kona za mkoa huu Na (Mchoro 4).

Tatizo lina idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi bora, ambayo ni pointi za sehemu
. Pointi hizi
,
tunapata kwa kutatua mifumo inayolingana ya equations:

;
;

,
;
,
;

;
.

Hebu tuhesabu.

Jibu:
katika
,
.

Mfano 3.3. Tatua tatizo la upangaji wa laini

Suluhisho. Tunaunda eneo la suluhisho zinazowezekana, za kawaida
na moja ya mistari ya ngazi. Katika tatizo hili ni muhimu kupata upeo wa kazi ya lengo, hivyo mstari wa ngazi songa katika mwelekeo wa kawaida. Kutokana na ukweli kwamba katika mwelekeo huu upeo wa ufumbuzi unaowezekana sio mdogo, mstari wa ngazi huenda kwa infinity (Mchoro 5).

Tatizo halina suluhu kwa sababu ya kutokuwa na mipaka ya kazi ya lengo.

Jibu:
.

: Matatizo ya upangaji wa laini (LPP)

1. Upangaji wa mstari

2. Aina za matatizo ya programu ya mstari

3. Fomu za kurekodi PAPs

4. Aina ya kisheria ya matatizo ya programu ya mstari

Upangaji wa mstari

Upangaji wa laini ni tawi la programu ya hisabati inayotumika katika kukuza njia za kutafuta njia kali kazi za mstari vigezo kadhaa na linear vikwazo vya ziada, iliyowekwa kwenye vigezo.

Kulingana na aina ya matatizo wanayotatua, njia za LP zimegawanywa kuwa zima na maalum. Kwa kutumia mbinu za ulimwengu wote Shida zozote za upangaji wa laini (LPP) zinaweza kutatuliwa. Maalum huzingatia vipengele vya mfano wa tatizo, kazi yake ya lengo na mfumo wa vikwazo.

Kipengele kikuu cha matatizo ya programu ya mstari ni kwamba upeo wa kazi ya lengo ni kwenye mpaka wa eneo la ufumbuzi unaowezekana.

Kielelezo 1 - Upeo wa kazi ya lengo

Mfano wa hisabati wa ZLP umeandikwa kama ifuatavyo:

max (au min) Z=z(X),(1)

ODR inaweza kuwakilishwa na mfumo milinganyo ya mstari au ukosefu wa usawa.

Vekta X = (x 1, x 2, .... x p) ni vekta ya udhibiti au athari ya udhibiti.

Mpango X unaokubalika, ambamo kigezo cha ukamilifu Z=z(X) hufikia thamani iliyokithiri, huitwa mojawapo na inaashiriwa na X*, thamani iliyokithiri ya chaguo za kukokotoa kwa Z*=z(X*).

Aina za matatizo ya programu ya mstari

Njia za upangaji wa laini hutumiwa sana katika biashara za viwandani wakati wa kuboresha mpango wa uzalishaji, kuusambaza katika warsha na vipindi vya muda, wakati wa kupakia urval wa vifaa, kupanga mtiririko wa mizigo, kuamua mpango wa mauzo, nk.

Aina ya kawaida ya kazi ni kazi matumizi bora rasilimali. Ruhusu kitengo fulani cha uzalishaji (warsha, biashara, chama, n.k.), kulingana na hali ya soko, uwezo wa kiufundi na rasilimali zilizopo, zinaweza kuzalisha n aina mbalimbali bidhaa zinazojulikana chini ya nambari j.

Wakati wa kuzalisha bidhaa, biashara ni mdogo na rasilimali zilizopo, kiasi ambacho kitaonyeshwa na m, na vector ya rasilimali B = (b 1, b 2, ..., b t). Migawo ya kiteknolojia a ij pia inajulikana, ambayo inaonyesha kiwango cha matumizi ya rasilimali ya i-th kwa ajili ya uzalishaji wa kitengo cha bidhaa ya j-th. Ufanisi wa pato la kitengo j-i bidhaa yenye sifa ya faida p j.

Inahitajika kuamua mpango wa uzalishaji X = (x 1, x 2, ..., x p), kuongeza faida ya biashara na rasilimali zilizopewa.

Kazi ya lengo inaonekana kama hii

chini ya vikwazo

Mara nyingi safu ya bidhaa huanzishwa na shirika la juu zaidi, i.e. ujazo wake lazima uwe ndani ya mipaka fulani D katika j na D katika j: kisha kizuizi kifuatacho kimewekwa:

Mfano wa shida ya matumizi bora ya rasilimali ni msingi mifano ya kuboresha mpango wa uzalishaji wa kila mwaka wa biashara. Mfano huo ni pamoja na vikwazo kwa muda wa uendeshaji wa vifaa.

Kwa kuweka nukuu sawa, tunaandika kupitia b j na c j, mtawalia, bei ya kuuza na gharama kwa kila kitengo. jth bidhaa. Ifuatayo inaweza kuchukuliwa kama vigezo bora:

1) faida kubwa

2) gharama za chini za uzalishaji

3) kiwango cha juu cha pato katika masharti ya thamani (mapato kutokana na mauzo ya bidhaa)

Mfano. Biashara inaweza kuzalisha aina nne za bidhaa 1, 2, 3 na 4. Uuzaji wa kiasi chochote umehakikishiwa. Katika robo ya mwaka, biashara ina nguvu kazi ya mabadiliko ya watu 100, bidhaa zilizokamilishwa zenye uzito wa kilo 260, na vifaa vya mashine 370 za mabadiliko ya mashine. Viwango vya matumizi ya rasilimali na faida kwa kila kitengo cha kila aina ya bidhaa vimewasilishwa katika Jedwali 1.

Muhimu:

a) kutengeneza mfano wa hisabati kazi ya kuamua mpango wa uzalishaji ambao utapata faida kubwa;

b) kutatua tatizo na hitaji la ufungaji ili idadi ya vitengo vya bidhaa ya tatu ni mara 3. wingi zaidi vitengo kwanza;

c) kujua urval bora kwa masharti ya ziada: kuzalisha angalau vitengo 25 vya bidhaa ya kwanza, si zaidi ya vitengo 30 vya tatu, na ya pili na ya nne kwa uwiano wa 1: 3.

Jedwali 1

Data ya awali

Mfano wa hisabati wa shida:

kazi lengo:

upeo: Z=40x 1 +50x 2 +100x 3 +80x 4

na vikwazo:

a) kwa rasilimali za kazi:

2.5x 1 +2.5x 2 +2x 3 +1.5x 4 ? 100;

kwa bidhaa za kumaliza nusu:

4x 1 +10x 2 +4x 3 +6x 4 ? 260;

kwa zana za mashine:

8x 1 +7x 2 +4x 3 +10x 4 ? 370;

hali isiyo ya hasi:

b) hitaji la ziada la usanidi litaonyeshwa na hali

3x 1 =x 3, yaani 3x 1 x 3 =0;

c) hebu tuwasilishe masharti ya mipaka na hali ya usanidi kama ifuatavyo: x 1?

x 3?30, 3*x 2 = x 4.

Tatizo la kuweka maagizo au kupakia vikundi vya kubadilishana vya vifaa. Ni kuhusu o usambazaji wa maagizo kati ya m (i = 1,..., m) makampuni ya biashara (maduka, mashine, watendaji) na sifa tofauti za uzalishaji na teknolojia, lakini zinazobadilishana katika suala la kutimiza maagizo. Inahitajika kuteka mpango wa uwekaji wa agizo ambalo kazi ingekamilika na kiashirio cha ufanisi kitafikia thamani kubwa.

Wacha tutengeneze shida kihisabati. Hebu n aina za bidhaa zinahitajika kuzalishwa kwa kutumia vikundi vya m homogeneous vya vifaa. Mpango wa uzalishaji kwa kila aina ya bidhaa kipindi fulani iliyotolewa na seti x j (j=1,2, ...n). Nguvu ya kila aina ya vifaa ni mdogo na sawa na b i. Matrix ya kiteknolojia A=||a ij || inajulikana, ambapo ij ni idadi ya vitengo vya bidhaa ya j-th zinazozalishwa kwa kila kitengo cha muda kwa vifaa vya i-th. Matrix C ni matrix ya gharama, ambapo c ij ni gharama zinazohusiana na pato vitengo vya j bidhaa kwenye vifaa vya i-th. X ni vekta ya kiasi cha pato.

Mfano wa shida utachukua fomu ifuatayo:

kazi ya lengo - kupunguza gharama za kutekeleza maagizo yote

na vikwazo:

a) kwa nguvu ya kifaa

b) kwa uzalishaji

c) hali isiyo ya hasi

Tatizo hili linaitwa tatizo la usambazaji au usambazaji.

Ikiwa kwa aina fulani za bidhaa mpango unaruhusiwa kuzidi, basi kiwango cha juu (b) kitachukua fomu

Ifuatayo pia inaweza kuchukuliwa kama faida inayolengwa:

a) faida kubwa

b) gharama ya chini ya muda wa mashine

Kwa sababu Mfano wowote una majengo ya kurahisisha; kwa utumiaji sahihi wa matokeo yaliyopatikana, uelewa wazi wa kiini cha kurahisisha hizi ni muhimu, ambayo, mwishowe, huturuhusu kuhitimisha juu ya kukubalika kwao au kutokubalika. Urahisishaji muhimu zaidi katika mifano inayozingatiwa ni dhana ya uwiano wa moja kwa moja (linear) uhusiano kati ya kiasi cha matumizi ya rasilimali na kiasi cha uzalishaji, ambayo imeainishwa kwa kutumia kanuni za gharama a ij . Kwa wazi, dhana hii haipatikani kila wakati. Kwa hivyo, kiasi cha matumizi ya rasilimali nyingi (kwa mfano, mali zisizohamishika) hubadilika ghafla - kulingana na mabadiliko katika mpango wa uzalishaji X. Majengo mengine ya kurahisisha ni pamoja na mawazo kuhusu uhuru wa bei j kutoka kwa kiasi cha x j, ambayo ni halali tu kwa mipaka fulani. ya mabadiliko yao. Pia ni muhimu kujua pointi hizi "zisizo hatarini" kwa sababu zinaonyesha maelekezo ya kimsingi ya kuboresha mtindo.

Fomu za kurekodi za PAP

Kuna aina 3 za kurekodi PAP:

1) kwa namna ya kazi

max(au min)Z=,max(au min)Z=,

2) fomu ya vector

(bidhaa kali ya vekta)

chini ya vikwazo

A 1 x 1 +A 2 x 2 +..+A n x n = B

Vekta ziko wapi

C = (C 1, C 2 .. C n), X = (X 1, X 2 .. X n), na.

3) fomu ya matrix

chini ya vikwazo

ambapo C = (c 1, c 2,...c n),

Aina ya kisheria ya matatizo ya programu ya mstari

Iwapo vikwazo vyote katika tatizo la upangaji wa mstari ni milinganyo na masharti ya kutokuwa hasi yanawekwa kwa vigeu vyote x j, basi inaitwa tatizo la upangaji la mstari katika umbo la kisheria au tatizo la upangaji wa kanuni la mstari wa kanuni (CLP).

chini ya vikwazo

Ili kuondoka kutoka kwa ZLP hadi CLLP, ni muhimu kuhama kutoka kwa vikwazo vya usawa hadi vikwazo vya usawa na kuchukua nafasi ya vigezo ambavyo havitii masharti ya kutokuwa hasi.

Sheria za kuleta ZLP katika fomu ya kisheria:

1) ikiwa kuna vikwazo sehemu ya kulia hasi, basi kikomo hiki kinapaswa kuzidishwa na -1;

2) ikiwa kuna usawa kati ya vikwazo, basi kwa kuanzisha vigezo vya ziada visivyo na hasi vinabadilishwa kuwa usawa;

3) ikiwa mabadiliko fulani ya xk hayana vizuizi vya ishara, basi inabadilishwa katika kazi ya kusudi na katika vizuizi vyote na tofauti kati ya anuwai mbili mpya zisizo hasi: xk=x * k - xl, ambapo l ni faharisi ya muhtasari, x. * k>=, xl >=0.

Hebu tuangalie mfano. Wacha tuilete kwa fomu ya kisheria:

Hebu tuanzishe vigezo vya kusawazisha x 4, x 5, x 6 katika kila equation ya mfumo wa vikwazo. Mfumo utaandikwa kwa namna ya usawa, na katika equations ya kwanza na ya tatu ya mfumo wa vikwazo, vigezo x 4, x 6 vinaletwa ndani. upande wa kushoto kwa ishara "+", na x 5 yenye ishara "-" imeingizwa kwenye mlinganyo wa pili.

Masharti huru katika mfumo wa kisheria lazima yawe chanya; ili kufanya hivyo, zidisha milinganyo miwili ya mwisho kwa -1:

Katika mfumo wa kisheria wa kuandika matatizo ya programu ya mstari, vigezo vyote vilivyojumuishwa katika mfumo wa vikwazo lazima visiwe hasi. Hebu tuchukulie hivyo

Kubadilisha usemi huu katika mfumo wa vikwazo na kazi ya lengo na kuandika vigeu katika kuongeza mpangilio wa fahirisi, tunapata tatizo la upangaji la mstari lililowasilishwa kwa njia ya kisheria:

optimization simplex linear programu

Kuandika kazi ya lengo na mfumo wa vikwazo katika kazi mbalimbali programu ya mstari sio sawa: katika matatizo fulani inahitajika kupata kiwango cha chini cha kazi ya lengo, na kwa wengine - kiwango cha juu; katika baadhi ya matukio vigezo vinavyotafutwa hutegemea index moja, na kwa wengine mbili; katika baadhi ya matatizo vikwazo vinatajwa katika mfumo wa mfumo usawa wa mstari, na kwa wengine - kwa namna ya mfumo wa usawa wa mstari. Katika mazoezi, inawezekana pia kuwa na matatizo ambayo baadhi ya vikwazo ni katika mfumo wa usawa wa mstari, na baadhi ni katika mfumo wa equations linear. Pia, sio shida zote zinaweza kuhitaji kutokuwa hasi kwa anuwai.

Kuzingatia anuwai ya shida za programu za mstari kunahitaji maendeleo ya njia maalum za kutatua madarasa ya mtu binafsi. Tutaelekeza mawazo yetu katika kujifunza mali ya jumla na njia za upangaji za mstari zilizoandikwa katika kinachojulikana kama fomu ya kisheria.

Ikiwa katika shida ya programu ya mstari mfumo wa vikwazo vya awali unachukua fomu ya equations kama

na unahitaji kupata upeo wa kazi ya lengo la mstari

basi shida ya upangaji wa mstari inachukuliwa kuwa imeandikwa katika fomu ya kisheria.

Shida yoyote ya upangaji wa laini inaweza kupunguzwa kwa urahisi hadi fomu ya kisheria. Katika hali ya jumla, kwa hili inatosha kuwa na uwezo, kwanza, kupunguza shida ya kupunguza kazi ya lengo kwa shida ya kuiongeza, pili, kuhama kutoka kwa vikwazo vya usawa hadi vikwazo vya usawa, na tatu, kubadilisha vigezo ambavyo si chini ya hali ya kutokuwa hasi .

Katika kesi wakati unahitaji kupata kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa , tunaweza kuendelea kutafuta upeo wa chaguo za kukokotoa , kwa kuwa taarifa ifuatayo ni kweli:
.

Kizuizi cha ukosefu wa usawa wa shida ya asili, ambayo ina fomu " ", inaweza kubadilishwa kuwa kizuizi cha equation kwa kuongeza kigezo cha ziada kisicho hasi kwa upande wake wa kushoto, na kizuizi cha usawa cha fomu " ” – kwa kutoa kigezo cha ziada kisicho hasi kutoka upande wake wa kushoto.

Kumbuka kwamba idadi ya vigezo vya ziada visivyo hasi vilivyoletwa daima ni sawa na idadi ya kutofautiana katika mfumo wa awali wa vikwazo.

Vigezo vya ziada vilivyoletwa vina maana maalum sana ya kiuchumi. Kwa hivyo, ikiwa vikwazo vya tatizo la awali la programu ya mstari huonyesha gharama na upatikanaji wa rasilimali za uzalishaji, basi. thamani ya nambari tofauti ya ziada inaonyesha kiasi cha rasilimali inayolingana ambayo haijatumiwa.

Kumbuka pia kwamba ikiwa baadhi ya kutofautiana haitii hali isiyo ya hasi, basi lazima ibadilishwe na vigezo viwili visivyo hasi Na , baada ya kukubali
.

Mfano. Andika tatizo lifuatalo la uboreshaji wa mstari katika umbo la kisheria: pata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa
chini ya vikwazo

Suluhisho

Katika tatizo hili, unahitaji kupata kiwango cha chini cha kazi ya lengo, na mfumo wa vikwazo ni pamoja na kutofautiana kwa nne. Ili kuiandika kwa fomu ya kisheria, unahitaji kuhama kutoka kwa vikwazo vya usawa hadi vikwazo vya equation, na pia kubadilisha kazi ya lengo.

Kwa kuwa idadi ya usawa iliyojumuishwa katika mfumo wa vikwazo vya shida ni sawa na nne, mpito huu lazima ufanyike kwa kuanzishwa kwa vigezo vinne vya ziada visivyo hasi. Kwa kuongezea, katika usawa wa pili na wa nne kuna ishara " ", kwa hivyo tunaongeza vijiti vya ziada kwa upande wao wa kushoto. Katika usawa wa kwanza na wa tatu kuna ishara " ", ambayo inamaanisha tunaondoa vigeu vya ziada kutoka kwa upande wao wa kushoto.

Pia tunabadilisha kazi ya lengo, kubadilisha ishara zote kwa kinyume, na kupata upeo wake.

Hivyo, kazi hii upangaji wa laini utaandikwa kwa njia ya kisheria ifuatayo:

tafuta upeo wa chaguo za kukokotoa

chini ya vikwazo

Fomu ya kisheria ya ZLP- tatizo la upangaji la mstari wa shoka la fomu = b ambapo a ni matrix ya mgawo, b ni vekta ya kizuizi.

Kusudi la huduma. Kikokotoo cha mtandaoni kimeundwa kwa ajili ya kubadilisha PPP hadi KZLP. Kuleta tatizo katika mfumo wa kisheria ina maana kwamba vikwazo vyote vitakuwa na aina ya usawa kwa kuanzisha viambajengo vya ziada.
Ikiwa kizuizi hakijawekwa kwa kutofautiana yoyote x j, basi inabadilishwa na tofauti ya vigezo vya ziada, x j = x j1 - x j2, x j1 ≥ 0, x j2 ≥ 0.

Maagizo. Chagua idadi ya vigezo na idadi ya safu (idadi ya vikwazo). Suluhisho linalosababishwa limehifadhiwa kwenye faili ya Neno.

Jinsi ya kupunguza shida ya upangaji wa laini kuwa fomu ya kisheria

Mfano wa hisabati wa ZLP inaitwa msingi, ikiwa vikwazo ndani yake vinawasilishwa kwa namna ya equations zinazotolewa kuwa vigezo sio hasi.

Mfano wa hisabati unaitwa kisheria, ikiwa mfumo wake wa vikwazo umewasilishwa kwa namna ya mfumo wa milinganyo huru ya m mstari (nafasi ya mfumo r=m), mfumo umetengwa. msingi wa kitengo, vigezo vya bure vinafafanuliwa na kazi ya lengo inaonyeshwa kwa suala la vigezo vya bure. Katika kesi hii, pande za kulia za equations sio hasi (b i ≥ 0).

Vigezo vilivyojumuishwa katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo yenye mgawo wa moja na kutokuwepo katika milinganyo mingine huitwa. mambo ya msingi yasiyojulikana, na wengine wote - bure.

Suluhisho la mfumo linaitwa msingi, ikiwa anuwai za bure ndani yake ni sawa na 0, na ina fomu:
X besi = (0, 0; b 1 , ..., b m), f(X besi) = c 0

Suluhisho la msingi ni hatua ya kona ya seti ya ufumbuzi wa mfumo, i.e. inafafanua vertex ya poligoni ya suluhisho la mfano. Miongoni mwa suluhisho kama hizo ni ile ambayo kazi ya lengo inachukua thamani mojawapo.

Suluhisho la msingi linaitwa suluhisho la kumbukumbu ikiwa linakubalika, i.e. pande zote za kulia za milinganyo ya mfumo (au ukosefu wa usawa) ni chanya b i ≥ 0.

Fomu ya kompakt ya mfano wa kisheria ni:
SHOKA = b
X ≥0
Z = CX(upeo)

Wazo la suluhisho linalokubalika, eneo la suluhisho linalokubalika, suluhisho mojawapo matatizo ya programu ya mstari.
Ufafanuzi 1. Vekta X ambayo inakidhi mfumo wa vikwazo vya ZLP, ikiwa ni pamoja na masharti ya kutokuwa hasi, ikiwa yapo, inaitwa suluhisho linalokubalika kwa ZLP.
Ufafanuzi 2. Seti ya suluhu zote zinazokubalika huunda eneo la masuluhisho yanayokubalika (ADA) ya PLP.
Ufafanuzi 3. Suluhisho linalowezekana ambalo kazi ya lengo hufikia kiwango cha juu (au chini) inaitwa suluhisho mojawapo.

Mfano Nambari 1. Punguza tatizo lifuatalo la LP kuwa kanuni ya kisheria: F(X) = 5x 1 + 3x 2 → max chini ya vikwazo:
2x 1 + 3x 2 ≤20
3x 1 + x 2 ≤15
4x 1 ≤16
3x 2 ≤12
Mfano umeandikwa ndani fomu ya kawaida. Hebu tuanzishe usawa vigezo visivyo na hasi x 3, x 4, x 5, x 6, ambayo tunaongeza kwa pande za kushoto za vikwazo vya usawa. Tunatanguliza viambajengo vyote vya ziada katika chaguo za kukokotoa lengo na mgawo sawa na sifuri:
Katika usawa wa kwanza wa maana (≤), tunatanguliza kigezo cha msingi x 3 . Katika usawa wa 2 wa maana (≤) tunatanguliza kigezo cha msingi x 4 . Katika ukosefu wa usawa wa tatu tunatanguliza kigezo cha msingi x 5 . Katika usawa wa 4 - tofauti ya msingi x 6. Tunapata fomu ya kisheria mifano:
2x 1 + 3x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 20
3x 1 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 15
4x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 + 0x 6 = 16
0x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 1x 6 = 12
F(X) = 5x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 → max

Mfano Nambari 2. Pata suluhisho mbili za kumbukumbu za mfumo
x 1 + 2x 4 - 2x 5 = 4
x 3 + 3x 4 + x 5 = 5
x 2 + 3x 5 = 2