Kumbuka 1
Ikiwa unataka kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari moja hadi nyingine, basi ni rahisi zaidi kuibadilisha kwanza kuwa mfumo wa nambari ya nambari, na kisha tu kuibadilisha kutoka kwa nambari ya nambari kwenda kwa mfumo mwingine wowote wa nambari.
Sheria za kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wowote wa nambari hadi desimali
KATIKA teknolojia ya kompyuta, kwa kutumia hesabu ya mashine, jukumu muhimu linachezwa na ubadilishaji wa nambari kutoka kwa mfumo mmoja wa nambari hadi mwingine. Hapa chini tunatoa sheria za msingi za mabadiliko hayo (tafsiri).
Wakati wa kubadilisha nambari ya jozi hadi desimali, inahitajika kuwakilisha nambari ya jozi kama polynomial, kila kipengele ambacho kinawakilishwa kama bidhaa ya nambari ya nambari na nguvu inayolingana ya nambari ya msingi, katika kwa kesi hii$2$, na kisha unahitaji kuhesabu polynomial kwa kutumia sheria za hesabu za decimal:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Kielelezo 1. Jedwali 1
Mfano 1
Badilisha nambari $11110101_2$ kuwa mfumo wa nambari ya desimali.
Suluhisho. Kwa kutumia jedwali lililotolewa la uwezo wa $1$ wa msingi $2$, tunawakilisha nambari kama nambari nyingi:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 + 6 168 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya octal hadi mfumo wa nambari ya desimali, unahitaji kuiwakilisha kama polynomial, kila kipengele ambacho kinawakilishwa kama bidhaa ya nambari ya nambari na nguvu inayolingana ya nambari ya msingi, katika hii. kesi $8$, na kisha unahitaji kuhesabu polynomial kulingana na sheria za hesabu ya decimal:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdoti 8^1 + A_1 \cdoti 8^0$
Kielelezo 2. Jedwali 2
Mfano 2
Badilisha nambari $75013_8$ kuwa mfumo wa nambari ya desimali.
Suluhisho. Kwa kutumia jedwali lililotolewa la uwezo wa $2$ wa msingi $8$, tunawakilisha nambari kama nambari nyingi:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Ili kubadilisha nambari kutoka hexadecimal hadi desimali, unahitaji kuiwakilisha kama polynomial, kila kipengele ambacho kinawakilishwa kama bidhaa ya nambari ya nambari na nguvu inayolingana ya nambari ya msingi, katika kesi hii $16$, na kisha. unahitaji kuhesabu polynomial kulingana na sheria za hesabu za decimal:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Kielelezo 3. Jedwali 3
Mfano 3
Badilisha nambari $FFA2_(16)$ iwe mfumo wa nambari ya desimali.
Suluhisho. Kwa kutumia jedwali lililotolewa la nguvu za $3$ la msingi $8$, tunawakilisha nambari kama nambari nyingi:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Sheria za kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi nyingine
- Ili kubadilisha nambari kutoka mfumo wa desimali Wakati wa kukokotoa katika mfumo wa jozi, lazima igawanywe kwa mpangilio kwa $2$ hadi kuwe na salio chini ya au sawa na $1$. Nambari katika mfumo wa binary inawakilishwa kama mfuatano wa matokeo ya mwisho ya mgawanyiko na masalio kutoka kwa mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.
Mfano 4
Badilisha nambari $22_(10)$ kuwa mfumo wa nambari ya binary.
Suluhisho:
Kielelezo cha 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi octal, ni lazima igawanywe kwa mpangilio kwa $8$ hadi kuwe na salio chini ya au sawa na $7$. Nambari katika mfumo wa nambari ya octal inawakilishwa kama mfuatano wa tarakimu za matokeo ya mgawanyo wa mwisho na masalio kutoka kwa mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.
Mfano 5
Badilisha nambari $571_(10)$ kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Suluhisho:
Kielelezo cha 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi mfumo wa hexadecimal lazima igawanywe mfululizo kwa $16$ hadi kuwe na salio chini ya au sawa na $15$. Nambari katika mfumo wa heksadesimali inawakilishwa kama mfuatano wa tarakimu za matokeo ya mgawanyo wa mwisho na salio la mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.
Mfano 6
Badilisha nambari $7467_(10)$ hadi mfumo wa nambari ya heksadesimali.
Suluhisho:
Kielelezo cha 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Ili kubadilisha sehemu inayofaa kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi mfumo wa nambari isiyo ya decimal, ni muhimu kuzidisha kwa mlolongo sehemu ya nambari inayobadilishwa na msingi wa mfumo ambao unahitaji kubadilishwa. Sehemu ndani mfumo mpya itawasilishwa kwa namna ya sehemu zote za kazi, kuanzia na ya kwanza.
Kwa mfano: $0.3125_((10))$ katika mfumo wa nambari ya octal itaonekana kama $0.24_((8))$.
Katika kesi hii, unaweza kukutana na tatizo wakati wa mwisho Nukta inaweza kuendana na sehemu isiyo na kikomo (ya muda) katika mfumo wa nambari zisizo za decimal. Katika kesi hii, idadi ya tarakimu katika sehemu iliyowakilishwa katika mfumo mpya itategemea usahihi unaohitajika. Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa nambari kamili hubaki kuwa nambari kamili, na sehemu zinazofaa zinabaki kuwa sehemu katika mfumo wowote wa nambari.
Sheria za kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya binary hadi nyingine
- Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya binary hadi octal, lazima igawanywe katika triads (triples ya tarakimu), kuanzia na tarakimu ndogo zaidi, ikiwa ni lazima, kuongeza zero kwa triad inayoongoza, kisha ubadilishe kila triad na tarakimu ya octal inayofanana. kwa mujibu wa Jedwali 4.
Kielelezo 7. Jedwali 4
Mfano 7
Badilisha nambari $1001011_2$ kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Suluhisho. Kwa kutumia Jedwali la 4, tunabadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya binary hadi octal:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya binary hadi hexadecimal, inapaswa kugawanywa katika tetradi (tarakimu nne), kuanzia na tarakimu ndogo zaidi, ikiwa ni lazima, kuongeza zero kwa tetrad muhimu zaidi, kisha ubadilishe kila tetradi na tarakimu ya octal inayolingana. kwa mujibu wa Jedwali 4.
Ili kubadilisha haraka nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya decimal hadi mfumo wa binary, unahitaji kuwa na ujuzi mzuri wa nambari "2 kwa nguvu". Kwa mfano, 2 10 = 1024, nk. Hii itakuruhusu kutatua baadhi ya mifano ya tafsiri kihalisi kwa sekunde. Moja ya kazi hizi ni Tatizo A1 kutoka onyesho la USE 2012. Unaweza, bila shaka, kuchukua muda mrefu na wa kuchosha kugawanya nambari na "2". Lakini ni bora kuamua tofauti, kuokoa wakati muhimu kwenye mtihani.
Mbinu ni rahisi sana. Kiini chake ni hiki: Ikiwa nambari inayohitaji kubadilishwa kutoka kwa mfumo wa decimal ni sawa na nambari "2 hadi nguvu", basi nambari hii katika mfumo wa binary ina idadi ya zero sawa na nguvu. Tunaongeza "1" mbele ya zero hizi.
- Wacha tubadilishe nambari 2 kutoka kwa mfumo wa desimali. 2=2 1 . Kwa hiyo, katika mfumo wa binary, nambari ina 1 sifuri. Tunaweka "1" mbele na kupata 10 2.
- Wacha tubadilishe 4 kutoka kwa mfumo wa desimali. 4=2 2 . Kwa hiyo, katika mfumo wa binary, nambari ina zero 2. Tunaweka "1" mbele na kupata 100 2.
- Wacha tubadilishe 8 kutoka kwa mfumo wa desimali. 8=2 3 . Kwa hiyo, katika mfumo wa binary, nambari ina zero 3. Tunaweka "1" mbele na kupata 1000 2.
Vile vile kwa nambari zingine "2 kwa nguvu".
Ikiwa nambari inayohitaji kubadilishwa ni chini ya nambari "2 kwa nguvu" na 1, basi katika mfumo wa binary nambari hii inajumuisha vitengo tu, idadi ambayo ni sawa na nguvu.
- Wacha tubadilishe 3 kutoka kwa mfumo wa desimali. 3=2 2 -1. Kwa hivyo, katika mfumo wa binary, nambari ina 2. Tunapata 11 2.
- Wacha tubadilishe 7 kutoka kwa mfumo wa desimali. 7=2 3 -1. Kwa hivyo, katika mfumo wa binary, nambari ina 3. Tunapata 111 2.
Katika takwimu, mraba unaonyesha uwakilishi wa binary wa nambari, na rangi ya pink upande wa kushoto inaonyesha uwakilishi wa decimal.
Tafsiri ni sawa kwa nambari zingine "2 hadi nguvu-1".
Ni wazi kwamba tafsiri ya nambari kutoka 0 hadi 8 inaweza kufanywa haraka au kwa mgawanyiko, au tu kujua kwa moyo uwakilishi wao katika mfumo wa binary. Nilitoa mifano hii ili uelewe kanuni njia hii na kuitumia kutafsiri zaidi "nambari za kuvutia", kwa mfano, kutafsiri nambari 127,128, 255, 256, 511, 512, nk.
Unaweza kupata shida kama hizo wakati unahitaji kubadilisha nambari ambayo sio sawa na nambari "2 kwa nguvu", lakini karibu nayo. Inaweza kuwa kubwa au chini ya 2 kwa nguvu. Tofauti kati ya nambari iliyotafsiriwa na nambari "2 kwa nguvu" inapaswa kuwa ndogo. Kwa mfano, hadi 3. Uwakilishi wa nambari kutoka 0 hadi 3 katika mfumo wa binary unahitaji tu kujulikana bila tafsiri.
Ikiwa nambari ni kubwa kuliko , basi suluhisha kama hii:
Kwanza tunabadilisha nambari "2 kwa nguvu" kwenye mfumo wa binary. Na kisha tunaongeza tofauti kati ya nambari "2 kwa nguvu" na nambari inayotafsiriwa.
Kwa mfano, hebu tubadilishe 19 kutoka kwa mfumo wa decimal. Ni kubwa kuliko nambari "2 kwa nguvu" na 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Ikiwa nambari ni chini ya nambari "2 kwa nguvu", basi ni rahisi zaidi kutumia nambari "2 kwa nguvu-1". Tunatatua kama hii:
Kwanza tunabadilisha nambari "2 kwa nguvu-1" kwenye mfumo wa binary. Na kisha tunaondoa kutoka kwake tofauti kati ya nambari "2 kwa nguvu ya 1" na nambari inayotafsiriwa.
Kwa mfano, hebu tubadilishe 29 kutoka kwa mfumo wa decimal. Ni kubwa kuliko nambari "2 kwa nguvu-1" kwa 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Ikiwa tofauti kati ya nambari inayotafsiriwa na nambari "2 kwa nguvu" ni zaidi ya tatu, basi unaweza kuvunja nambari katika vipengele vyake, kubadilisha kila sehemu kwenye mfumo wa binary na kuongeza.
Kwa mfano, badilisha nambari 528 kutoka kwa mfumo wa decimal. 528=512+16. Tunatafsiri 512 na 16 tofauti.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Sasa wacha tuiongeze kwenye safu:
Malengo ya somo:
- kurudia nyenzo zilizosomwa juu ya mada ya mfumo wa nambari;
- jifunze kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari ya nafasi na kinyume chake;
- bwana kanuni za kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine;
- kuendeleza kufikiri kimantiki.
Wakati wa madarasa
Mwanzoni mwa somo, mapitio mafupi na kuangalia kazi za nyumbani.
Maelezo ya nambari yanawasilishwa katika kumbukumbu ya kompyuta kwa namna gani?
Mifumo ya nambari inatumika kwa nini?
Je! Unajua aina gani za mifumo ya nambari? Toa mifano yako mwenyewe.
Mifumo ya nafasi inatofautiana vipi na mifumo isiyo ya msimamo?
Lengo la somo letu ni kujifunza jinsi ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari ya nafasi na kinyume chake. Lakini kwanza tutaangalia jinsi unaweza
wakilisha nambari yoyote isiyo hasi:
KATIKA mifumo ya msimamo thamani ya kuandika nambari kamili imedhamiriwa na kanuni inayofuata: acha n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 iwe rekodi ya nambari A, na mimi ni nambari, basi
ambapo p ni nambari kamili zaidi ya 1, ambayo inaitwa msingi wa mfumo wa nambari
Ili, kwa p iliyotolewa, nambari yoyote isiyo hasi inaweza kuandikwa kulingana na fomula (1) na, zaidi ya hayo, kwa njia ya kipekee, maadili ya nambari tarakimu tofauti lazima ziwe tarakimu tofauti zinazomilikiwa na sehemu kutoka 0 hadi p-1.
1) Mfumo wa decimal
nambari: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
nambari 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Mfumo wa Ternary
nambari: 0,1,2
nambari 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Kumbuka: usajili katika nambari unaonyesha msingi wa mfumo wa nambari ambayo nambari imeandikwa. Kwa mfumo wa nambari ya desimali, faharisi haifai kuandikwa.
Uwakilishi wa nambari hasi na za sehemu:
Katika mifumo yote ya nafasi, ishara ya ‘–’ inatumiwa kuandika nambari hasi, kama ilivyo katika mfumo wa desimali. Koma hutumika kutenganisha sehemu kamili ya nambari na sehemu ya sehemu. Thamani ya ingizo a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m ya nambari A huamuliwa na fomula, ambayo ni jumla ya fomula (1):
75.6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2.314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari kiholela hadi desimali:
Inapaswa kueleweka kuwa wakati wa kutafsiri nambari kutoka kwa mfumo wa nambari moja hadi nyingine, thamani ya nambari haibadilika, lakini tu aina ya kuandika nambari inabadilika, kama vile wakati wa kutafsiri jina la nambari, kwa mfano, kutoka. Kirusi hadi Kiingereza.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari kiholela hadi desimali hufanywa kwa hesabu ya moja kwa moja kwa kutumia fomula (1) ya nambari kamili na fomula (2) ya sehemu.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi mfumo wa nambari wa kiholela.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo wenye msingi wa p kunamaanisha kupata hesabu katika fomula (2). Wakati mwingine ni rahisi kufanya uteuzi rahisi. Kwa mfano, hebu sema unahitaji kubadilisha nambari 23.5 kuwa mfumo wa octal. Ni rahisi kuona kwamba 23.5 = 16+7+0.5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27.48. Ni wazi kwamba jibu sio wazi kila wakati. Kwa ujumla, njia ya kubadilisha sehemu kamili na ya sehemu ya nambari tofauti hutumiwa.
Ili kubadilisha nambari kamili, algorithm ifuatayo inatumiwa (iliyopatikana kulingana na fomula (1)):
1. Tafuta mgawo na salio unapogawanya nambari kwa uk. Salio itakuwa tarakimu ai inayofuata (j=0,1,2...) ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
2. Ikiwa mgawo ni sawa na sifuri, basi tafsiri ya nambari imekamilika, vinginevyo tunatumia hatua ya 1 kwa mgawo.
Kumbuka 1. Nambari ai katika nukuu ya nambari zimepewa nambari kutoka kulia kwenda kushoto.
Kumbuka 2. Ikiwa p>10, basi ni muhimu kuanzisha nukuu kwa nambari zilizo na nambari kubwa kuliko au sawa na 10.
Badilisha nambari 165 kuwa mfumo wa nambari ya septal.
165:7 = 23 (salio 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (salio 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (salio 3) => a 2 = 3
Hebu tuandike matokeo: a 2 a 1 a 0, i.e. 3247.
Baada ya kuangalia kwa kutumia fomula (1), tutahakikisha kuwa tafsiri ni sahihi:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Ili kubadilisha sehemu za nambari, algorithm iliyopatikana kulingana na formula (2) hutumiwa:
1. Zidisha sehemu ya nambari kwa uk.
2. Sehemu kamili ya matokeo itakuwa tarakimu inayofuata am (m = -1, -2, -3 ...) ya kuandika nambari katika mfumo mpya wa nambari. Ikiwa sehemu ya sehemu ya matokeo ni sifuri, basi tafsiri ya nambari imekamilika, vinginevyo tunatumia hatua ya 1 kwake.
Kumbuka 1. Nambari a m katika nukuu ya nambari zimepangwa kutoka kushoto kwenda kulia kwa mpangilio wa kupanda thamani kamili m.
Kumbuka 2. Kwa kawaida idadi ya tarakimu za sehemu ndani ingizo jipya idadi ni mdogo mapema. Hii hukuruhusu kufanya tafsiri ya takriban kwa usahihi fulani. Katika kesi ya sehemu zisizo na kipimo, kizuizi kama hicho kinahakikisha ukomo wa algorithm.
Badilisha nambari 0.625 kuwa mfumo wa nambari ya binary.
0.625 2 = 1.25 (sehemu kamili 1) => a -1 =1
0.25 2 = 0.5 (sehemu kamili 0) => a- 2 = 0
0.5 2 = 1.00 (sehemu kamili 1) => a- 3 = 1
Hivyo 0.62510 = 0.1012
Baada ya kuangalia kwa kutumia fomula (2), tutahakikisha kuwa tafsiri ni sahihi:
0.1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625.
Badilisha nambari 0.165 kuwa mfumo wa nambari za quaternary, ukiiweka kwa nambari nne za quaternary.
0.165 4 = 0.66 (sehemu kamili 0) => a -1 =0
0.66 4 = 2.64 (sehemu kamili ya 2) => a -2 = 2
0.64 4 = 2.56 (sehemu kamili ya 2) => a -3 = 2
0.56 4 = 2.24 (sehemu kamili ya 2) => a -4 = 2
Kwa hivyo 0.16510" 0.02224
Wacha tufanye tafsiri ya nyuma ili kuhakikisha kuwa kosa kamili halizidi 4–4:
0.02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja wa kiholela hadi mwingine
Katika kesi hii, lazima kwanza ubadilishe nambari kwa mfumo wa decimal, na kisha kutoka kwa mfumo wa decimal hadi unaohitajika.
Njia maalum hutumiwa kubadilisha nambari kwa mifumo iliyo na besi nyingi.
Acha p na q iwe misingi ya mifumo miwili ya nambari. Tutaita mifumo hii ya nambari ya mifumo yenye besi nyingi ikiwa p = qn au q = pn, ambapo n ni nambari asilia. Kwa hivyo, kwa mfano, mifumo ya nambari iliyo na besi 2 na 8 ni mifumo ya nambari za msingi nyingi.
Acha p = qn na unahitaji kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari na msingi q hadi mfumo wa nambari na msingi p. Hebu tugawanye sehemu kamili na za sehemu za nambari katika vikundi vya n tarakimu zilizoandikwa kwa mfuatano upande wa kushoto na kulia wa nukta ya desimali. Ikiwa nambari ya nambari katika sehemu kamili ya nambari sio nyingi ya n, basi unahitaji kuongeza nambari inayolingana ya zero upande wa kushoto. Ikiwa nambari ya nambari katika sehemu ya sehemu ya nambari sio nyingi ya n, basi sufuri huongezwa kulia. Kila kikundi kama hicho cha nambari ni nambari ndani mfumo wa zamani nambari italingana na nambari moja ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
Wacha tubadilishe 1100001.111 2 kuwa mfumo wa nambari za quaternary.
Kwa kuongeza sifuri na kuchagua jozi za nambari, tunapata 01100001.11102.
Sasa hebu tutafsiri kila jozi ya tarakimu tofauti, kwa kutumia sehemu ya Kutafsiri nambari kutoka kwa mfumo mmoja wa kiholela hadi mwingine.
Kwa hiyo, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Hebu sasa tufikiri kwamba tunahitaji kuhamisha kutoka kwa mfumo na msingi mkubwa q hadi mfumo na msingi mdogo p, i.e. q = pn. Katika kesi hii, nambari moja ya nambari katika mfumo wa nambari ya zamani inalingana na nambari n ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
Mfano: Hebu tuangalie tafsiri ya awali ya nambari.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Katika mfumo wa hexadecimal kuna nambari zilizo na nambari za nambari 10,11,12, 13,14,15. Ili kuzitaja, tumia herufi sita za kwanza za alfabeti ya Kilatini A, B, C, D, E, F.
Hapa kuna jedwali la nambari kutoka 0 hadi 16, iliyoandikwa katika mifumo ya nambari na besi 10, 2, 8 na 16.
| Nambari katika mfumo wa desimali | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Katika octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Katika binary | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Katika hexadecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Unaweza pia kutumia herufi ndogo kuandika tarakimu za heksadesimali. barua a-f.
Mfano: Wacha tubadilishe nambari 110101001010101010100.11 2 kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal.
Wacha tutumie wingi wa besi za mifumo ya nambari (16=2 4). Wacha tupange nambari kwa nne, na kuongeza nambari inayohitajika ya zero kushoto na kulia
000110101001010101010100,1100 2
na, tukiangalia jedwali, tunapata: 1A9554,C 16
Hitimisho:
Mfumo gani wa nambari ni bora kuandika nambari ni suala la urahisi na mila. Kwa mtazamo wa kiufundi, ni rahisi kutumia mfumo wa binary kwenye kompyuta, kwani hutumia nambari mbili tu 0 na 1 kurekodi nambari, ambayo inaweza kuwakilishwa na majimbo mawili yanayoweza kutofautishwa kwa urahisi "hakuna ishara" na "kuna ishara.”
Kinyume chake, ni vigumu kwa mtu kushughulika na nukuu za binary za nambari kwa sababu ni ndefu kuliko zile za desimali na kuna nambari nyingi zinazojirudia. Kwa hiyo, ikiwa ni lazima, fanya kazi na uwakilishi wa mashine ya namba, tumia mifumo ya nambari ya octal au hexadecimal. Misingi ya mifumo hii ni nguvu kamili za mbili, na kwa hivyo nambari hubadilishwa kwa urahisi kutoka kwa mifumo hii hadi ya binary na kinyume chake.
Andika kazi ya nyumbani:
a) Andika tarehe ya kuzaliwa kwa wanafamilia wote katika mifumo tofauti ya nambari.
b) Badilisha nambari kutoka kwa binary hadi octal na hexadecimal, na kisha angalia matokeo kwa kufanya mabadiliko ya kinyume:
a) 100111110111.011 2;
Wale wanaofanya Mtihani wa Jimbo la Umoja na zaidi...
Inashangaza kwamba katika masomo ya sayansi ya kompyuta shuleni huwaonyesha wanafunzi njia ngumu zaidi na isiyofaa ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine. Njia hii inajumuisha kugawanya nambari asili kwa msingi na kukusanya mabaki kutoka kwa mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.
Kwa mfano, unahitaji kubadilisha nambari 810 10 kuwa ya binary:
Tunaandika matokeo kwa utaratibu wa reverse kutoka chini hadi juu. Inageuka 81010 = 11001010102
Ikiwa unahitaji kubadilisha kwa mfumo wa binary, kabisa idadi kubwa, basi ngazi ya mgawanyiko inachukua ukubwa wa jengo la hadithi nyingi. Na unawezaje kukusanya zote na zero na usikose hata moja?
Programu ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika sayansi ya kompyuta inajumuisha kazi kadhaa zinazohusiana na kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine. Kwa kawaida, huu ni ubadilishaji kati ya mifumo ya octal na hexadecimal na binary. Hizi ni sehemu A1, B11. Lakini pia kuna shida na mifumo mingine ya nambari, kama vile katika sehemu ya B7.
Kuanza, acheni tukumbuke meza mbili ambazo zingefaa kujua kwa moyo kwa wale wanaochagua sayansi ya kompyuta kama taaluma yao ya baadaye.
Jedwali la nguvu la nambari 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Inapatikana kwa urahisi kwa kuzidisha nambari iliyotangulia na 2. Kwa hivyo, ikiwa hukumbuki nambari hizi zote, zingine sio ngumu kupata akilini mwako kutoka kwa zile unazokumbuka.
Jedwali la nambari za binary kutoka 0 hadi 15 na uwakilishi wa hexadecimal:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Thamani zinazokosekana pia ni rahisi kuhesabu kwa kuongeza 1 kwa maadili yanayojulikana.
Uongofu kamili
Kwa hiyo, hebu tuanze kwa kubadilisha moja kwa moja kwenye mfumo wa binary. Wacha tuchukue nambari sawa 810 10. Tunahitaji kutenganisha nambari hii kwa masharti sawa na nguvu za mbili.
- Tunatafuta nguvu ya mbili karibu na 810 na sio kuzidi. Hii ni 2 9 = 512.
- Ondoa 512 kutoka 810, tunapata 298.
- Rudia hatua ya 1 na 2 hadi kusiwe na sekunde 1 au 0 iliyobaki.
- Tulipata kama hii: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Mbinu 1: Panga 1 kulingana na safu za viashiria vya masharti. Katika mfano wetu, hizi ni 9, 8, 5, 3 na 1. Sehemu zilizobaki zitakuwa na zero. Kwa hivyo, tulipata uwakilishi wa binary wa nambari 810 10 = 1100101010 2. Vitengo vimewekwa katika sehemu za 9, 8, 5, 3 na 1, kuhesabu kutoka kulia kwenda kushoto kutoka sifuri.
Mbinu 2: Wacha tuandike masharti kama mamlaka ya wawili chini ya kila mmoja, tukianza na kubwa zaidi.
810 =
Sasa hebu tuongeze hatua hizi pamoja, kama vile kukunja feni: 1100101010.
Ni hayo tu. Wakati huo huo, shida "ni vitengo ngapi vilivyo kwenye nukuu ya nambari ya 810?" pia hutatuliwa kwa urahisi.
Jibu ni kama vile kuna masharti (nguvu za wawili) katika uwakilishi huu. 810 ina 5 kati yao.
Sasa mfano ni rahisi zaidi.
Wacha tubadilishe nambari 63 hadi mfumo wa nambari 5. Nguvu ya karibu ya 5 hadi 63 ni 25 (mraba 5). Mchemraba (125) tayari utakuwa mwingi. Hiyo ni, 63 iko kati ya mraba wa 5 na mchemraba. Kisha tutachagua mgawo wa 5 2. Hii ni 2.
Tunapata 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Na, hatimaye, tafsiri rahisi sana kati ya mifumo 8 na heksadesimali. Kwa kuwa msingi wao ni nguvu ya mbili, tafsiri inafanywa moja kwa moja, kwa kubadilisha tu nambari na uwakilishi wao wa binary. Kwa mfumo wa octal, kila tarakimu inabadilishwa na tarakimu tatu za binary, na kwa mfumo wa hexadecimal, nne. Katika kesi hii, zero zote zinazoongoza zinahitajika, isipokuwa kwa tarakimu muhimu zaidi.
Wacha tubadilishe nambari 547 8 kuwa ya binary.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Moja zaidi, kwa mfano 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Wacha tubadilishe nambari 7368 hadi mfumo wa hexadecimal. Kwanza, andika nambari katika sehemu tatu, na kisha uzigawanye katika sehemu nne kutoka mwisho: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Wacha tubadilishe nambari C25 16 kuwa mfumo wa octal. Kwanza, tunaandika nambari kwa nne, na kisha tugawanye katika tatu kutoka mwisho: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Sasa hebu tuangalie kugeuza kurudi kwenye desimali. Si vigumu, jambo kuu si kufanya makosa katika mahesabu. Tunapanua nambari kuwa polynomial kwa nguvu za msingi na coefficients kwao. Kisha tunazidisha na kuongeza kila kitu. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Kubadilisha Nambari Hasi
Hapa unahitaji kuzingatia kwamba nambari itawasilishwa nambari ya ziada. Ili kubadilisha nambari kuwa nambari ya ziada, unahitaji kujua saizi ya mwisho ya nambari, ambayo ni, tunataka kuiweka ndani - kwa byte, kwa ka mbili, kwa nne. Nambari muhimu zaidi ya nambari inamaanisha ishara. Ikiwa kuna 0, basi nambari ni chanya, ikiwa 1, basi ni hasi. Kwa upande wa kushoto, nambari inaongezewa na nambari ya ishara. Hatuzingatii nambari ambazo hazijatiwa saini; huwa chanya kila wakati, na sehemu muhimu zaidi ndani yao hutumiwa kama habari.
Ili kubadilisha nambari hasi hadi nambari inayosaidia ya binary, unahitaji kubadilisha nambari chanya kwenye mfumo wa binary, kisha ubadilishe sufuri hadi moja na zile kuwa sufuri. Kisha ongeza 1 kwa matokeo.
Kwa hivyo, wacha tubadilishe nambari -79 kuwa mfumo wa binary. Nambari itatuchukua byte moja.
Tunabadilisha 79 kwenye mfumo wa binary, 79 = 1001111. Tunaongeza zero upande wa kushoto kwa ukubwa wa byte, bits 8, tunapata 01001111. Tunabadilisha 1 hadi 0 na 0 hadi 1. Tunapata 10110000. Tunaongeza 1 hadi matokeo, tunapata jibu 10110001. Njiani, tunajibu swali la Mtihani wa Jimbo la Umoja "ni vitengo ngapi uwakilishi wa binary nambari -79?" Jibu ni 4.
Kuongeza 1 kwa kinyume cha nambari huondoa tofauti kati ya uwakilishi +0 = 00000000 na -0 = 11111111. Katika nambari mbili za kukamilisha zitaandikwa sawa na 00000000.
Kubadilisha nambari za sehemu
Nambari za sehemu zinabadilishwa kwa njia ya nyuma ya kugawanya nambari nzima na msingi, ambayo tuliangalia mwanzoni kabisa. Hiyo ni, kutumia kuzidisha kwa mtiririko kwa msingi mpya na mkusanyiko wa sehemu nzima. Sehemu kamili zilizopatikana wakati wa kuzidisha zinakusanywa, lakini hazishiriki katika shughuli zifuatazo. Sehemu tu ndizo zinazidishwa. Ikiwa nambari ya asili ni kubwa kuliko 1, basi sehemu kamili na za sehemu hutafsiriwa kando na kisha kuunganishwa pamoja.
Wacha tubadilishe nambari 0.6752 kuwa mfumo wa binary.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Mchakato unaweza kuendelea kwa muda mrefu hadi tupate zero zote katika sehemu ya sehemu au usahihi unaohitajika unapatikana. Hebu tusimame kwenye ishara ya 6 kwa sasa.
Inageuka 0.6752 = 0.101011.
Ikiwa nambari ilikuwa 5.6752, basi binary itakuwa 101.101011.
Wakati wa kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya decimal hadi nyingine yoyote, sehemu zote na za sehemu hutafsiriwa kila wakati kando (kulingana na sheria tofauti).
Tafsiri ya sehemu nzima
Ili kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi nyingine yoyote, unahitaji kufanya mgawanyiko kamili nambari ya asili kulingana na mfumo wa nambari ambayo nambari inahitaji kubadilishwa. Katika kesi hii, salio la mgawanyiko na mgawo ni muhimu. Mgawo lazima ugawanywe na msingi hadi kubaki 0. Baada ya hayo, mabaki yote yanapaswa kuandikwa kwa utaratibu wa reverse - hii itakuwa nambari katika mfumo mpya wa nambari.
Kwa mfano, kubadilisha nambari 25 kutoka kwa mfumo wa nambari ya decimal hadi mfumo wa binary kutaonekana kama hii:
Kuandika mabaki kwa mpangilio wa nyuma, tunapata 25 10 =11001 2.
Ikiwa unafikiria juu yake, unaweza kugundua kwa urahisi kuwa wakati wa kubadilisha nambari yoyote kuwa mfumo wa nambari ya binary, salio la mwisho kabisa (ambayo ni, nambari ya kwanza kwenye matokeo) daima itakuwa sawa na mgawo wa mwisho kabisa, ambao uligeuka. kuwa chini ya msingi wa mfumo wa nambari ambamo tunatafsiri nambari. Kwa hiyo, mgawanyiko mara nyingi husimamishwa kabla ya mgawo kuwa sawa na sifuri- kwa sasa wakati maalum inakuwa chini ya msingi. Kwa mfano:
Ubadilishaji kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari unafanywa kulingana na sheria sawa. Hapa kuna mfano wa kubadilisha 393 10 kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal:
Kuandika masalio kwa mpangilio wa nyuma, tunapata 393 10 =189 16.
Unahitaji kuelewa kuwa mabaki yanapatikana katika mfumo wa nambari ya desimali. Wakati wa kugawanya na 16, mabaki yanaweza kuonekana sio tu kutoka 0 hadi 9, lakini pia mabaki kutoka 10 hadi 15. Kila salio daima ni tarakimu moja katika mfumo wa nambari ambayo tafsiri inafanywa.
Kwa mfano, ikiwa, wakati wa kubadilisha mfumo wa nambari ya hexadecimal, ulipokea mabaki yafuatayo (yaliyoandikwa kwa mpangilio wanapaswa kuandikwa kwa nambari): 10, 3, 15, 7, basi katika mfumo wa nambari ya hexadecimal mlolongo huu wa mabaki yatalingana na nambari A3F7 16 (wengine wanaandika kimakosa nambari kama 103157 16 - ni wazi kuwa hii ni nambari tofauti kabisa, na kwamba ukifanya hivi, itaibuka kuwa kwa njia yoyote. nambari ya hexadecimal nambari A hadi F haitaonekana).
Tafsiri ya sehemu
Wakati wa kutafsiri sehemu ya sehemu, tofauti na kutafsiri sehemu nzima, hauitaji kugawanya, lakini kuzidisha kwa msingi wa mfumo wa nambari ambao tunabadilisha. Katika kesi hii, sehemu nzima hutupwa kila wakati, na sehemu za sehemu zinazidishwa tena. Kwa kukusanya sehemu zote kwa mpangilio ambao zilipatikana, tunapata sehemu ya sehemu ya nambari mfumo unaohitajika Kuhesabu.
Operesheni moja ya kuzidisha inatoa moja haswa ishara ya ziada katika mfumo wa nambari ambamo tafsiri inafanywa.
Katika kesi hii, kuna masharti mawili ya kukamilisha mchakato:
1) kama matokeo ya kuzidisha ijayo ulipokea sifuri katika sehemu ya sehemu. Ni wazi kwamba bila kujali ni kiasi gani utazidisha sifuri hii, bado itabaki sifuri. Hii inamaanisha kuwa nambari imebadilishwa kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi ile inayohitajika haswa.
2) sio nambari zote zinaweza kutafsiriwa kwa usahihi. Katika kesi hii, kawaida hutafsiriwa kwa usahihi fulani. Katika kesi hii, kwanza huamua ni sehemu ngapi za decimal zitahitajika - hii ni idadi ya mara ambazo operesheni ya kuzidisha itahitaji kufanywa.
Hapa kuna mfano wa kubadilisha nambari 0.39 10 kuwa mfumo wa nambari ya binary. Usahihi - tarakimu 8 (katika kesi hii, usahihi wa tafsiri huchaguliwa kiholela):
Ikiwa tunaandika sehemu zote kwa utaratibu wa moja kwa moja, tunapata 0.39 10 =0.01100011 2 .
Hakuna haja ya kuandika sifuri ya kwanza kabisa (iliyovuka kwa bluu kwenye takwimu) - kwani inarejelea sio sehemu ya sehemu, lakini kwa sehemu nzima. Baadhi ya watu huandika kimakosa sifuri hii baada ya nukta ya desimali wakati wa kuandika matokeo.
Hivi ndivyo ubadilishaji wa nambari 0.39 10 hadi mfumo wa nambari ya heksadesimali utaonekana. Usahihi - tarakimu 8; katika kesi hii, usahihi huchaguliwa tena kiholela:
Ikiwa tutaandika sehemu zote kwa mpangilio wa moja kwa moja, tunapata 0.39 10 =0.63D700A3 16.
Wakati huo huo, labda umegundua kuwa sehemu zote zinapozidishwa hupatikana katika mfumo wa nambari ya desimali. Sehemu hizi kamili zinazopatikana wakati wa kutafsiri sehemu ya sehemu ya nambari zinapaswa kufasiriwa kwa njia sawa kabisa na masalio wakati wa kutafsiri sehemu nzima ya nambari. Hiyo ni, ikiwa, wakati wa kubadilishwa kwa mfumo wa nambari ya hexadecimal, sehemu kamili zilipatikana kwa mpangilio ufuatao: 3, 13, 7, 10, basi nambari inayolingana itakuwa sawa na 0.3D7A 16 (na sio 0.313710 16, kama wengine. wakati mwingine kuandika kwa makosa).
Kubadilisha nambari na sehemu kamili na sehemu
Ili kubadilisha nambari kutoka nambari kamili hadi sehemu ya sehemu, unahitaji kutafsiri sehemu nzima kando, na sehemu ya sehemu kando, na kwa hivyo andika sehemu hizi mbili pamoja.
Kwa mfano, 25.39 10 =11001.01100011 2 (tafsiri za sehemu kamili na za sehemu - tazama hapo juu).
Kubadilisha nambari ndogo kutoka desimali hadi binary katika kichwa chako
Tangu wakati wa kufanya kazi na mifumo mbalimbali Katika calculus, hasa wakati wa kuendeleza programu, mara nyingi kuna haja ya kutafsiri nambari ndogo, basi, kwa ujumla, ni busara kukariri nambari 16 za kwanza (kutoka 0 hadi 15).
Lakini ikiwa utagundua jinsi ilivyo rahisi kubadilisha kiakili nambari kamili kutoka 0 hadi 15 kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi binary, basi unaweza kuhesabu tu sehemu muhimu ya jedwali kichwani mwako kila wakati unapoihitaji. Fanya operesheni hii mara nyingi, na wakati fulani wewe mwenyewe hautaweza kuelewa ikiwa tayari umekariri meza au bado unahesabu.
Kwa hivyo, kubadilisha nambari ndogo chanya kutoka 0 hadi 15 kutoka decimal hadi binary, jambo la kwanza unahitaji kuelewa ni kwamba kila nafasi katika nambari ya binary inalingana na nguvu ya mbili. Wakati huo huo, nguvu za mbili kwa nafasi kutoka 0 hadi 3 ni rahisi sana kukumbuka - hizi ni nambari 1, 2, 4 na 8:
Na nambari 10 ni 2 pamoja na 8:
Kweli, nambari 0 ni dhambi isiyopaswa kukumbuka, kwani ili kuipata hauitaji kuongeza chochote.
