Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa ni mzizi wa x. Kikokotoo cha mtandaoni. Kokotoa kiunganishi kisichojulikana (kinza derivative)

Katika masomo ya awali, ulifahamu sheria za kutafuta derivative ya kazi, kujifunza juu ya matumizi ya derivative kusoma kazi kwa monotonicity na extremum; alijifunza kupata tanjiti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa.

Wacha tukumbuke sheria za kuhesabu derivatives:

Derivative ya nambari yoyote ni sawa na sifuri.

Derivative ya x ni sawa na moja.

Dawa inayotokana na ka x plus em ni sawa na ka.

Nyingine ya moja iliyogawanywa na x ni sawa na minus moja iliyogawanywa na x mraba.

Derivative ya mzizi wa x ni sawa na moja iliyogawanywa na mzizi mbili x.

Nyingine ya sine x ni sawa na cosine x.

Nyingine ya cosine x ni sawa na minus x.

Toleo la x kwa nguvu en ni sawa na mara x kwa nguvu en minus moja.

Wakati mwingine unapaswa kutatua matatizo ya kinyume, kwa mfano, kurejesha sheria ya mwendo kutoka kwa kasi inayojulikana.

Katika hisabati, ni kawaida kugawa majina maalum kwa shughuli za kinyume.

Kwa mfano, uendeshaji wa inverse wa kuzidisha ni mgawanyiko.

Uendeshaji wa kuchimba mzizi wa mraba ni kinyume cha squaring.

Mchakato wa kutafuta derivative kazi iliyopewa inaitwa utofautishaji, na operesheni yake inverse inaitwa ushirikiano (mchakato wa kutafuta kazi kutoka kwa derivative iliyotolewa).

Hiyo ni, kazi ambayo hufanya kama aina ya babu kwa derivative ya kazi fulani kwa kawaida huitwa antiderivative.

Ufafanuzi: chaguo la kukokotoa ygr sawa ef kubwa kutoka x inaitwa kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa ygr sawa ef ndogo kutoka x kwa muda fulani x kubwa ikiwa kwa x yoyote inayomilikiwa na muda fulani usawa umeridhika:

Muda ambao x ni mali kwa kawaida hauonyeshwi, lakini hudokezwa.

Hebu tuangalie mifano.

1. Chaguo za kukokotoa ygr, sawa na x mraba, ni kipingamizi cha chaguo za kukokotoa ygr, sawa na x mbili, kwani kwa x yoyote usawa ni kweli: derivative ya x mraba ni sawa na mbili x.

2. Kitendakazi ygr, sawa na mchemraba wa x, ni kipingamizi cha kazi ygr, sawa na x tatu za mraba, kwani kwa x yoyote usawa ni kweli: derivative ya x cubed ni sawa na tatu x mraba.

3. Kitendakazi y, sawa na sine x, ni kizuia chaguo cha kukokotoa cha y, sawa na kosine x, kwani kwa x yoyote usawa unashikilia: derivative ya sine x ni sawa na cosine x.

4. Kitendakazi ygrek, sawa na mzizi wa x, ni kizuia chaguo za kukokotoa ygrek, sawa na moja, iliyogawanywa na mbili, mzizi wa x, kwa muda kutoka sifuri hadi infinity, kwani kwa x yoyote kubwa kuliko sifuri usawa. inashikilia: derivative ya mzizi wa x ni sawa na moja, mzizi x umegawanywa na mbili.

Kujua kanuni za kutafuta derivatives, si vigumu kuunda meza ya antiderivatives:

1. Antiderivative ya sifuri ni sawa na mara kwa mara.

2. Kipingamizi cha umoja ni sawa na x.

3. Kizuia derivative cha x ni sawa na x mraba iliyogawanywa na mbili.

4. Kizuia derivative cha kitendakazi x kwa nguvu en, en ni mali ya seti ya nambari asilia, ni sawa na x kwa nguvu en plus moja iliyogawanywa na en plus moja.

5. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa kilichogawanywa kwa x mraba ni sawa na minus moja ikigawanywa na x.

6. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa kilichogawanywa na mzizi x ni sawa na mizizi miwili x, na x ni kubwa kuliko sifuri.

7. Kizuia derivative cha kitendakazi cha sine x ni sawa na minus cosine x.

8. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa cosine x ni sawa na sine x.

9. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa kilichogawanywa na sine x mraba ni sawa na minus cotangent x.

10. Kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa kilichogawanywa na cosine x mraba ni sawa na tan x.

Wacha tuangalie mifano ya kupata antiderivative ya kazi mbalimbali.

Zoezi 1

Thibitisha kuwa chaguo za kukokotoa ni kinza-derivative cha chaguo la kukokotoa ikiwa kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa ni sawa na x hadi nguvu ya sita, kazi yenyewe ni sawa na sita x hadi nguvu ya tano.

Suluhisho:

1. Kwa ufafanuzi wa kizuia derivative, kitendakazi ygr, sawa na ef kubwa ya x, huitwa kizuia derivative kwa kitendakazi ygr, sawa na ef ndogo ya x, kwa muda uliotolewa x ni kubwa, ikiwa kwa x yoyote inayomilikiwa. muda uliotolewa usawa unaridhika: .

2. Wacha tupate derivative eff kubwa kwa kutumia fomula ya kutafuta derivative ya kazi ya nguvu, ni sawa na sita x hadi nguvu ya tano.

Tumepata usawa wa misemo miwili, ambayo ina maana, kwa ufafanuzi wa antiderivative, kazi ef kubwa, sawa na x hadi nguvu ya sita, ni antiderivative kwa kazi ef ndogo, sawa na sita x hadi tano nguvu.

Jukumu la 2

Kwa chaguo za kukokotoa (y, sawa na ef ya x ni ndogo), pata kizuia derivative if

(ef ya x ni sawa na minus moja iliyogawanywa na x mchemraba).

Suluhisho:

1. Kwa ufafanuzi wa shahada yenye nambari kamili kiashiria hasi Hebu tufikirie usemi kagua moja ukigawanywa na x mchemraba kama: toa x hadi toa nguvu ya tatu.

2. Kwa kutumia fomula ya kutafuta kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa za nguvu, tunapata kizuia derivative cha chaguo la kukokotoa la x, sawa na minus x hadi minus ya tatu ya nguvu.

Tunapata minus x kwa nguvu ya minus tatu pamoja na moja ikigawanywa na toa tatu pamoja na moja.

Kurahisisha usemi, tuna minus x kwa nguvu ya minus mbili, imegawanywa na minus mbili, kupunguza minuses, tunapata: x kwa nguvu ya minus mbili, kugawanywa na mbili.

Kwa ufafanuzi wa nguvu iliyo na kipeo kamili cha nambari hasi, tunawasilisha usemi kama: moja ikigawanywa na mbili x mraba.

Kwa hivyo, kizuia derivative kwa kazi ya ef ya x ndogo, sawa na minus moja, iliyogawanywa na x mchemraba, ni kazi ef kubwa, sawa na moja, iliyogawanywa na mbili x mraba.

Hapo awali, kutokana na kazi iliyotolewa, inayoongozwa na kanuni na sheria mbalimbali, tulipata derivative yake. Derivative ina matumizi mengi: ni kasi ya harakati (au, kwa ujumla, kasi ya mchakato wowote); mgawo wa angular wa tangent kwa grafu ya kazi; kwa kutumia derivative, unaweza kuchunguza kazi kwa monotonicity na extrema; inasaidia kutatua matatizo ya utoshelezaji.

Lakini pamoja na tatizo la kutafuta kasi kulingana na sheria inayojulikana ya mwendo, kuna pia tatizo kinyume- tatizo la kurejesha sheria ya mwendo kutoka kwa kasi inayojulikana. Hebu tuchunguze mojawapo ya matatizo haya.

Mfano 1. Sehemu ya nyenzo husogea kwa mstari ulionyooka, kasi yake kwa wakati t inatolewa na fomula v=gt. Tafuta sheria ya mwendo.
Suluhisho. Hebu s = s(t) iwe sheria inayotakiwa ya mwendo. Inajulikana kuwa s"(t) = v(t). Hii ina maana kwamba ili kutatua tatizo unahitaji kuchagua chaguo za kukokotoa s = s(t), derivative yake ambayo ni sawa na gt. Si vigumu kukisia. hiyo $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \kushoto(\frac(gt^2)(2) \kulia)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Jibu: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Hebu tuangalie mara moja kwamba mfano unatatuliwa kwa usahihi, lakini haujakamilika. Tulipata $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Kwa kweli, tatizo lina masuluhisho mengi sana: utendakazi wowote wa fomu $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, ambapo C ni kigezo cha kiholela, kinaweza kutumika kama sheria ya mwendo, kwani $\kushoto (\frac(gt^2)(2) +C \kulia)" = gt $

Ili kufanya tatizo kuwa maalum zaidi, tulipaswa kurekebisha hali ya awali: onyesha uratibu wa hatua ya kusonga kwa wakati fulani, kwa mfano saa t = 0. Ikiwa, sema, s (0) = s 0, kisha kutoka kwa usawa s(t) = (gt 2)/2 + C tunapata: s(0) = 0 + C, yaani C = s 0. Sasa sheria ya mwendo imefafanuliwa kipekee: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Katika hisabati, shughuli za kubadilishana hupewa majina tofauti, kuja na vyeo maalum, kwa mfano: squaring (x 2) na kuchukua mzizi wa mraba ($\sqrt(x)$), sine (sin x) na arcsine (arcsin x), n.k. Mchakato wa kutafuta derivative ya chaguo la kukokotoa la kukokotoa. inaitwa utofautishaji, na utendakazi wa kinyume, yaani mchakato wa kutafuta kitendakazi kutoka kwa derivative fulani, ni ushirikiano.

Neno "derivative" lenyewe linaweza kuhesabiwa haki "katika maisha ya kila siku": kazi y = f(x) "inazalisha" kipengele kipya y" = f"(x). Chaguo za kukokotoa y = f(x) hufanya kama "mzazi", lakini wanahisabati, kwa kawaida, hawaite "mzazi" au "mtayarishaji" wanasema kwamba ni, kuhusiana na chaguo la kukokotoa y" = f"( x) , picha ya msingi, au ya awali.

Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa y = F(x) huitwa kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye muda X ikiwa usawa F"(x) = f(x) unashikilia kwa $x \katika X$

Kwa mazoezi, muda wa X kawaida haujabainishwa, lakini huonyeshwa (kama kikoa asili cha ufafanuzi wa kazi).

Hebu tutoe mifano.
1) Chaguo za kukokotoa y = x 2 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 2x, kwani kwa x yoyote usawa (x 2)" = 2x ni kweli.
2) Kitendakazi y = x 3 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 3x 2, kwani kwa x yoyote usawa (x 3)" = 3x 2 ni kweli.
3) Chaguo za kukokotoa y = sin(x) ni kizuia chaguo za kukokotoa y = cos(x), kwani kwa x yoyote usawa (sin(x))" = cos(x) ni kweli.

Wakati wa kupata antiderivatives, pamoja na derivatives, sio tu formula hutumiwa, lakini pia baadhi ya sheria. Zinahusiana moja kwa moja na sheria zinazolingana za kuhesabu derivatives.

Tunajua kwamba derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives yake. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.

Kanuni ya 1. Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives.

Tunajua kwamba sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.

Kanuni ya 2. Ikiwa F(x) ni kizuia derivative cha f(x), basi kF(x) ni kinza-derivative cha kf(x).

Nadharia 1. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x), basi kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(kx + m) ni chaguo za kukokotoa $y=\frac(1)(k)F. (kx+m) $

Nadharia 2. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye kipindi cha X, basi chaguo la kukokotoa y = f(x) lina vizuia derivative nyingi sana, na zote zina umbo y = F(x) + C.

Mbinu za ujumuishaji

Njia mbadala ya kubadilisha (mbinu mbadala)

Njia ya ujumuishaji kwa uingizwaji inahusisha kuanzishwa kwa tofauti mpya ya ujumuishaji (yaani, uingizwaji). Katika kesi hii, kiunganishi kilichopewa kinapunguzwa kwa kiunga kipya, ambacho ni tabular au inaweza kupunguzwa kwake. Mbinu za kawaida hakuna uteuzi wa mbadala. Uwezo wa kuamua kwa usahihi uingizwaji hupatikana kupitia mazoezi.
Wacha iwe muhimu kuhesabu muhimu $\textstyle \int F(x)dx $. Wacha tufanye badala $x= \varphi(t) $ ambapo $\varphi(t) $ ni chaguo la kukokotoa ambalo lina derivative inayoendelea.
Kisha $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ na kulingana na mali ya kutobadilika ya fomula ya ujumuishaji kwa muunganisho usiojulikana, tunapata fomula ya ujumuishaji kwa kubadilisha:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Ujumuishaji wa maneno ya fomu $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Ikiwa m ni isiyo ya kawaida, m > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya sin x = t.
Ikiwa n ni isiyo ya kawaida, n > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya cos x = t.
Ikiwa n na m ni sawa, basi ni rahisi zaidi kufanya mbadala tg x = t.

Kuunganishwa kwa sehemu

Ujumuishaji kwa sehemu - kutumia fomula ifuatayo ya ujumuishaji:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
au:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Jedwali la viambatanisho visivyojulikana (vizuia derivatives) vya baadhi ya vipengele

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Njia kuu za kuunganisha zinatolewa kazi zisizo na mantiki(mizizi). Wao ni pamoja na: ujumuishaji wa kutokuwa na usawa wa sehemu, tofauti ya binomial, viunga na mzizi wa mraba wa trinomial ya mraba. Vibadala vya Trigonometric na vibadala vya Euler vinatolewa. Baadhi ya viambatanisho vya elliptic vinavyoonyeshwa kupitia kazi za kimsingi huzingatiwa.

Ir kazi ya busara ya kutofautisha ni kazi ambayo huundwa kutoka kwa vibadilishio na vidhibiti vya kiholela kwa kutumia idadi maalum ya shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha (kuinua kwa nguvu kamili), mgawanyiko na kuchukua mizizi. Chaguo za kukokotoa zisizo na mantiki hutofautiana na zile za kimantiki kwa kuwa kipengele cha kukokotoa kisicho na mantiki kina utendakazi wa kutoa mizizi.

Kuna aina tatu kuu za kazi zisizo na maana, viungo vya muda usiojulikana ambavyo vinapunguzwa kwa vipengele vya kazi za busara. Hizi ni viambajengo vilivyo na mizizi ya mamlaka kamili ya kiholela kutoka kwa kazi ya sehemu ya mstari (mizizi inaweza kuwa ya nguvu tofauti, lakini kutoka kwa kazi sawa ya sehemu ya mstari); viambatanisho vya binomial tofauti na viambatanisho vilivyo na mzizi wa mraba wa utatu wa mraba.

Ujumbe muhimu. Mizizi ina maana nyingi!

Wakati wa kuhesabu viunga vyenye mizizi, maneno ya fomu mara nyingi hukutana, ambapo ni baadhi ya kazi ya kutofautiana kwa ushirikiano. Ikumbukwe kwamba. Hiyo ni, kwa t > 0, |t| = t. Katika t< 0, |t| = - t . Kwa hiyo, wakati wa kuhesabu viambatanisho vile, ni muhimu kuzingatia tofauti kesi t > 0 na t< 0 . Hii inaweza kufanywa kwa kuandika ishara au popote inapobidi. Kwa kudhani kuwa ishara ya juu inarejelea kesi t > 0 , na ya chini - kwa kesi t< 0 . Kwa mabadiliko zaidi, ishara hizi, kama sheria, hughairi kila mmoja.

Njia ya pili pia inawezekana, ambayo integrand na matokeo ya ushirikiano yanaweza kuchukuliwa kama kazi za kina kutoka kwa vigezo tata. Kisha si lazima kuzingatia ishara katika maneno makubwa. Mbinu hii inatumika ikiwa integrand ni uchanganuzi, yaani, kazi inayoweza kutofautishwa ya kigezo changamano. Katika kesi hii, integrand na muhimu yake ni kazi nyingi. Kwa hiyo, baada ya kuunganishwa, wakati wa kubadilisha maadili ya nambari, ni muhimu kuchagua tawi la thamani moja (uso wa Riemann) wa integrand, na kwa ajili yake chagua tawi linalofanana la matokeo ya ushirikiano.

Ukosefu wa mantiki wa mstari

Hivi ni viambajengo vilivyo na mizizi kutoka kwa utendaji sawa wa mstari wa sehemu:
,
ambapo R ni kazi ya kimantiki, ni nambari za kimantiki, m 1, n 1, ..., m s, n s ni nambari kamili, α, β, γ, δ ni nambari halisi.
Viunga kama hivyo hupunguzwa kuwa muunganisho wa kazi ya busara kwa uingizwaji:
, ambapo n ni dhehebu la kawaida la nambari r 1, ..., r s.

Mizizi inaweza isitokee kwa utendakazi wa sehemu ya mstari, lakini pia kutoka kwa mstari (γ = 0 , δ = 1), au kwa utofauti wa ujumuishaji x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Hapa kuna mifano ya viungo vile:
, .

Viunga kutoka kwa binomials tofauti

Viunga kutoka kwa binomials tofauti vina fomu:
,
ambapo m, n, p ni nambari za mantiki, a, b ni nambari halisi.
Viunga kama hivyo hupunguza kuwa viunga vya kazi za busara katika visa vitatu.

1) Ikiwa p ni nambari kamili. Uingizwaji x = t N, ambapo N ni kiashiria cha kawaida cha sehemu m na n.
2) Ikiwa - nambari kamili. Kubadilisha a x n + b = t M, ambapo M ni denominator ya nambari p.
3) Ikiwa - nambari kamili. Uingizwaji a + b x - n = t M, ambapo M ni denominator ya nambari p.

Katika hali zingine, viambatanisho kama hivyo havionyeshwa kupitia kazi za kimsingi.

Wakati mwingine viambatanisho kama hivyo vinaweza kurahisishwa kwa kutumia fomula za kupunguza:
;
.

Viunga vilivyo na mzizi wa mraba wa utatu wa mraba

Viungo vile vina fomu:
,
ambapo R ni kazi ya kimantiki. Kwa kila kiunga kama hicho kuna njia kadhaa za kuisuluhisha.
1) Kutumia mabadiliko husababisha viambatanisho rahisi.
2) Tumia vibadala vya trigonometric au hyperbolic.
3) Tumia vibadala vya Euler.

Hebu tuangalie njia hizi kwa undani zaidi.

1) Mabadiliko ya kazi ya integrand

Kwa kutumia fomula na kufanya mabadiliko ya aljebra, tunapunguza utendakazi wa integrand kwa fomu:
,
ambapo φ(x), ω(x) ni vitendaji vya kimantiki.

Aina ya I

Muunganisho wa fomu:
,
ambapo P n (x) ni polynomial ya shahada n.

Viunga kama hivyo hupatikana kwa njia ya coefficients isiyojulikana kwa kutumia kitambulisho:

.
Kutofautisha equation hii na kusawazisha pande za kushoto na kulia, tunapata coefficients A i.

Aina ya II

Muunganisho wa fomu:
,
ambapo P m (x) ni polynomial ya shahada m.

Uingizwaji t = (x - α) -1 kiungo hiki kinapunguzwa kwa aina ya awali. Ikiwa m ≥ n, basi sehemu inapaswa kuwa na sehemu kamili.

Aina ya III

Hapa tunabadilisha:
.
Baada ya hapo kiungo kitachukua fomu:
.
Ifuatayo, viambatisho α, β lazima zichaguliwe ili kwamba mgawo wa t kwenye dhehebu ziwe sifuri:
B = 0, B 1 = 0.
Kisha muhimu hutengana katika jumla ya viunga vya aina mbili:
,
,
ambazo zimeunganishwa na vibadala:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Ubadilishaji wa Trigonometric na hyperbolic

Kwa viungo vya fomu, a > 0 ,
tuna vibadala vitatu kuu:
;
;
;

Kwa viungo, a > 0 ,
tunayo mbadala zifuatazo:
;
;
;

Na hatimaye, kwa viambatanisho, a > 0 ,
mbadala ni kama ifuatavyo:
;
;
;

3) Ubadilishaji wa Euler

Pia, viambajengo vinaweza kupunguzwa kuwa viungwa vya utendakazi wa kimantiki wa mojawapo ya vibadala vitatu vya Euler:
, kwa > 0;
, kwa c > 0;
, ambapo x 1 ni mzizi wa equation a x 2 + b x + c = 0. Ikiwa equation hii ina mizizi halisi.

Viunga vya mviringo

Kwa kumalizia, fikiria viunga vya fomu:
,
ambapo R ni kazi ya kimantiki, . Viungo vile huitwa elliptic. KATIKA mtazamo wa jumla hazionyeshwa kupitia kazi za msingi. Hata hivyo, kuna matukio wakati kuna uhusiano kati ya coefficients A, B, C, D, E, ambayo viambatanisho vile vinaonyeshwa kupitia kazi za msingi.

Chini ni mfano unaohusiana na polynomials reflexive. Hesabu ya viambatanisho kama hivyo hufanywa kwa kutumia mbadala:
.