Matrices ya diagonal yana muundo rahisi zaidi. Swali linatokea ikiwa inawezekana kupata msingi ambao matrix ya operator wa mstari itakuwa na fomu ya diagonal. Msingi kama huo upo.
Hebu tupewe nafasi ya mstari R n na operator wa mstari A kaimu ndani yake; katika kesi hii, operator A huchukua R n ndani yake, yaani, A:R n → R n.

Ufafanuzi. Vector isiyo ya sifuri inaitwa eigenvector ya operator A ikiwa operator A hutafsiri kwenye vector ya collinear, yaani. Nambari λ inaitwa eigenvalue au eigenvalue ya opereta A, inayolingana na eigenvector.
Wacha tuangalie sifa zingine za eigenvalues ​​na eigenveector.
1. Yoyote mchanganyiko wa mstari eigenvectors opereta A inayolingana na eigenvalue sawa λ ni eigenvector yenye eigenvalue sawa.
2. Eigenvectors mwendeshaji A aliye na thamani tofauti za jozi ​​λ 1 , λ 2 , …, λ m zinajitegemea kimstari.
3. Ikiwa thamani eigen \ λ 1 = λ 2 = λ m = λ, basi eigenvalue λ inalingana na si zaidi ya m eigenveekta huru zinazojitegemea.

Kwa hivyo, ikiwa kuna n eigenveekta huru za mstari , sambamba na eigenvalues ​​λ 1, λ 2, ..., λ n, basi zinajitegemea kwa mstari, kwa hivyo, zinaweza kuchukuliwa kama msingi wa nafasi R n. Wacha tupate fomu ya matrix ya mwendeshaji wa mstari A kwa msingi wa eigenveekta zake, ambayo tutachukua hatua na mwendeshaji A kwa msingi wa vekta: Kisha .
Kwa hivyo, matrix ya mwendeshaji wa mstari A kwa msingi wa eigenveector zake ina fomu ya diagonal, na eigenvalues ​​ya operator A iko kando ya diagonal.
Je, kuna msingi mwingine ambao matrix ina fomu ya diagonal? Jibu la swali hili linatolewa na theorem ifuatayo.

Nadharia. Matrix ya opereta wa mstari A katika msingi (i = 1..n) ina fomu ya diagonal ikiwa na tu ikiwa vekta zote za msingi ni eigenveekta za opereta A.

Sheria ya kutafuta eigenvalues ​​na eigenveekta

Hebu vector itolewe , ambapo x 1, x 2, ..., x n ni kuratibu za vekta kuhusiana na msingi na ni eigenvector ya opereta linear A inayolingana na eigenvalue λ, yaani. Uhusiano huu unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix

. (*)

Equation (*) inaweza kuchukuliwa kama mlinganyo wa kutafuta , na , yaani, tunavutiwa na masuluhisho yasiyo ya maana, kwani eigenvector haiwezi kuwa sifuri. Inajulikana kuwa suluhisho zisizo za kawaida za mfumo wa homogeneous milinganyo ya mstari kuwepo ikiwa na tu ikiwa det(A - λE) = 0. Kwa hivyo, ili λ kuwa thamani ya opereta A ni muhimu na inatosha kwamba det(A - λE) = 0.
Ikiwa equation (*) imeandikwa kwa undani katika fomu ya kuratibu, tunapata mfumo wa milinganyo yenye usawa:

(1)
Wapi - linear operator tumbo.

Mfumo (1) una suluhisho lisilo la sifuri ikiwa kiashiria chake D sawa na sifuri

Tulipokea equation ya kutafuta eigenvalues.
Equation hii inaitwa equation ya tabia, na yake upande wa kushoto- sifa ya polynomial ya matrix (operator) A. Ikiwa polynomial ya sifa haina mizizi halisi, basi matrix A haina eigenvectors na haiwezi kupunguzwa kwa fomu ya diagonal.
Acha λ 1, λ 2, ..., λ n iwe mizizi halisi ya mlingano wa tabia, na kati yao kunaweza kuwa na vizidishio. Kubadilisha maadili haya kwa zamu kuwa mfumo (1), tunapata eigenveekta.

Mfano 12. Opereta wa mstari A hufanya kazi katika R 3 kulingana na sheria, ambapo x 1, x 2, .., x n ni kuratibu za vector kwa msingi. , , . Tafuta eigenvalues ​​na eigenveekta za mwendeshaji huyu.
Suluhisho. Tunaunda matrix ya mwendeshaji huyu:
.
Tunaunda mfumo wa kuamua kuratibu za eigenveekta:

Tunaunda equation ya tabia na kuisuluhisha:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Kubadilisha λ = -1 kwenye mfumo, tunayo:
au
Kwa sababu , basi kuna vigezo viwili tegemezi na tofauti moja ya bure.
Hebu x 1 iwe isiyojulikana ya bure, basi Tunatatua mfumo huu kwa njia yoyote na kupata uamuzi wa pamoja ya mfumo huu: Mfumo wa kimsingi wa suluhisho una suluhisho moja, kwani n - r = 3 - 2 = 1.
Seti ya eigenveekta inayolingana na eigenvalue λ = -1 ina fomu: , ambapo x 1 ni nambari yoyote isipokuwa sifuri. Wacha tuchague vekta moja kutoka kwa seti hii, kwa mfano, kuweka x 1 = 1: .
Kuzingatia vivyo hivyo, tunapata eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = 3: .
Katika nafasi R 3, msingi una vectors tatu za kujitegemea, lakini tulipokea eigenvectors mbili tu za kujitegemea, ambazo msingi katika R 3 hauwezi kutengenezwa. Kwa hivyo, hatuwezi kupunguza matrix A ya mwendeshaji laini hadi umbo la mshazari.

Mfano 13. Imepewa matrix .
1. Thibitisha kwamba vector ni eigenvector ya matrix A. Tafuta eigenvalue inayolingana na eigenvector hii.
2. Pata msingi ambao matrix A ina fomu ya diagonal.
Suluhisho.
1. Ikiwa , basi ni eigenvector

.
Vekta (1, 8, -1) ni eigenvector. Thamani ya Eigen λ = -1.
Matrix ina fomu ya diagonal katika msingi unaojumuisha eigenvectors. Mmoja wao ni maarufu. Hebu tupate mengine.
Tunatafuta eigenvectors kutoka kwa mfumo:

Mlinganyo wa tabia: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Wacha tupate eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = -3:

Kiwango cha matrix ya mfumo huu ni mbili na sawa na idadi ya haijulikani, kwa hiyo mfumo huu una suluhisho la sifuri tu x 1 = x 3 = 0. x 2 hapa inaweza kuwa kitu kingine chochote isipokuwa sifuri, kwa mfano, x 2 = 1. Kwa hivyo, vector (0 ,1,0) ni eigenvector inayofanana na λ = -3. Hebu tuangalie:
.
Ikiwa λ = 1, basi tunapata mfumo
Kiwango cha matrix ni mbili. Tunavuka equation ya mwisho.
Acha x 3 iwe isiyojulikana bila malipo. Kisha x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Kwa kuchukulia x 3 = 1, tunayo (-3,-9,1) - eigenvector inayolingana na eigenvalue λ = 1. Angalia:

.
Kwa kuwa eigenvalues ​​ni halisi na tofauti, vekta zinazolingana nazo ni huru kwa mstari, kwa hivyo zinaweza kuchukuliwa kama msingi katika R 3 . Kwa hivyo, kwa msingi , , matrix A ina fomu:
.
Sio kila matriki ya mwendeshaji wa mstari A:R n → R n inaweza kupunguzwa hadi fomu ya diagonal, kwani kwa waendeshaji wengine wa mstari kunaweza kuwa na eigenveekta huru chini ya n. Walakini, ikiwa matrix ni ya ulinganifu, basi mzizi wa equation ya tabia ya msururu wa m inalingana na veta zinazojitegemea za m.

Ufafanuzi. Matrix ya ulinganifu ni matrix ya mraba ambayo vipengele vya ulinganifu kuhusu diagonal kuu ni sawa, yaani, ambayo .
Vidokezo. 1. Eigenvalues ​​zote za matrix ya ulinganifu ni halisi.
2. Eigenveekta za matrix linganifu zinazolingana na eigenvalues ​​tofauti kwa jozi ni za orthogonal.
Kama moja ya matumizi mengi ya vifaa vilivyosomwa, tunazingatia shida ya kuamua aina ya safu ya mpangilio wa pili.

Vector X ≠ 0 inaitwa eigenvector opereta wa mstari na tumbo A, ikiwa kuna nambari vile AX =X.

Katika kesi hii, nambari  inaitwa thamani ya eigen opereta (matrix A) inayolingana na vekta x.

Kwa maneno mengine, eigenvector ni vector ambayo, chini ya hatua ya operator wa mstari, inabadilika kuwa vector ya collinear, i.e. zidisha kwa nambari fulani. Kwa kulinganisha, vekta zisizofaa ni ngumu zaidi kubadilisha.

Wacha tuandike ufafanuzi wa eigenvector katika mfumo wa equations:

Wacha tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto:

Mfumo wa mwisho unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix kama ifuatavyo:

(A - E)X = O

Mfumo unaosababisha daima una suluhisho la sifuri X = O. Mifumo hiyo ambayo maneno yote ya bure ni sawa na sifuri huitwa. zenye homogeneous. Ikiwa tumbo la mfumo huo ni mraba na kiashiria chake si sawa na sifuri, basi kwa kutumia formula za Cramer tutapata suluhisho la pekee - sifuri. Inaweza kuthibitishwa kuwa mfumo una suluhu zisizo za sifuri ikiwa na tu ikiwa kiashiria cha tumbo hili ni sawa na sifuri, i.e.

|A - E| = = 0

Equation hii na haijulikani inaitwa mlingano wa tabia(tabia ya polynomial) matrix A (opereta wa mstari).

Inaweza kuthibitishwa kuwa tabia ya polynomial ya operator linear haitegemei uchaguzi wa msingi.

Kwa mfano, hebu tupate eigenvalues na eigenveekta za mwendeshaji wa mstari uliobainishwa na matrix A = .

Ili kufanya hivyo, hebu tuunde mlingano wa tabia |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Ili kupata eigenvectors, tunatatua mifumo miwili ya equations

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Kwa wa kwanza wao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

wapi x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Kwa pili yao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

kutoka wapi x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; kifungu cha 1).

Kwa hivyo, eigenvekta za opereta huyu wa mstari zote ni vekta za fomu (-(2/3)с; с) yenye thamani ya eigen (-5) na vekta zote za fomu ((2/3)с 1 ; с 1) na thamani ya 7 .

Inaweza kuthibitishwa kuwa matrix ya mwendeshaji A kwa msingi unaojumuisha eigenveekta zake ni ya ulalo na ina fomu:

,

ambapo  mimi ni maadili ya matrix hii.

Mazungumzo pia ni ya kweli: ikiwa matrix A katika msingi fulani ni ya diagonal, basi vekta zote za msingi huu zitakuwa eigenvectors za matrix hii.

Inaweza pia kuthibitishwa kuwa ikiwa mwendeshaji wa mstari ana n eigenvalues ​​tofauti kwa jozi, basi eigenveekta zinazolingana zinajitegemea kwa mstari, na matrix ya mwendeshaji huyu katika msingi unaolingana ina fomu ya diagonal.

Ufafanuzi 5.3. Nonzero vekta x katika nafasi ya mstari L inaitwa eigenvector ya mwendeshaji wa mstari A: L → L, ikiwa kwa nambari fulani A shoka la uhusiano = λx linashikilia. Katika kesi hii, nambari λ inaitwa eigenvalue (eigenvalue) ya opereta wa mstari A.

Mfano 5.3. Nafasi ya mstari K n [x] ya polimanomia za digrii isiyo ya juu kuliko n ina polinomia za digrii sifuri, i.e. kazi za kudumu. Kwa kuwa dc/dx = 0 = 0 c, polynomials za shahada sifuri p(x) = c ≠ 0 ni eigenveekta za mwendeshaji wa utofautishaji wa mstari, na nambari λ = 0 ni eigenvalue ya mwendeshaji huyu. #

Seti ya eigenvalues ​​zote za operator linear inaitwa wigo wa mwendeshaji wa mstari . Kila eigenvector inahusishwa na eigenvalue yake mwenyewe. Hakika, ikiwa vekta x inatosheleza usawa mbili Ax = λx na Ax = μx, kisha λx = μx, inatoka wapi ( λ - μ) x = 0. Ikiwa λ - μ ≠ 0, zidisha usawa kwa nambari ( λ - μ ) -1 na matokeo yake tunapata kwamba x = 0. Lakini hii inapingana na ufafanuzi wa eigenvector, kwani eigenvector daima sio sifuri.

Kila eigenvalue ina eigenveekta zake, na kuna nyingi sana. Hakika, ikiwa x ni eigenvector ya mwendeshaji wa mstari A na eigenvalue λ, i.e. Ах = λx, basi kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri halisi α tuna αx ≠ 0 na А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Hii inamaanisha kuwa vekta αx pia ni eigenvector kwa mwendeshaji wa mstari.

Kumbuka 5.1. Mara nyingi huzungumza eigenvalues ​​(nambari), wigo na eigenveekta za matrix ya mraba . Hii ina maana yafuatayo. Matrix A ya utaratibu n ni tumbo baadhi mwendeshaji wa mstari katika fasta msingi, inafanya kazi ndani nafasi ya mstari wa n-dimensional. Kwa mfano, ikiwa tutaacha msingi wa kawaida katika nafasi ya hesabu ya mstari R n , kisha tumbo A hufafanua mwendeshaji wa mstari A, akipanga vekta x ∈ R n na safu ya kuratibu x kwa vekta yenye safu ya kuratibu Ax. Matrix A ni matriki A. Ni kawaida kutambua opereta na matrix yake kwa njia sawa na vekta ya hesabu inavyotambuliwa na safu ya viwianishi vyake. Kitambulisho hiki, ambacho hutumiwa mara nyingi na si mara zote maalum, hufanya iwezekanavyo kuhamisha maneno ya "operator" kwa matrices.

Wigo wa opereta wa mstari unahusiana kwa karibu na yake mlingano wa tabia.

Nadharia 5.3. Ili nambari halisi λ iwe eigenvalue ya mwendeshaji wa mstari, ni muhimu na ya kutosha kuwa mzizi wa equation ya tabia ya mwendeshaji huyu.

◄ Uhitaji. Acha nambari λ iwe eigenvalue ya mwendeshaji laini A: L → L. Hii inamaanisha kuwa kuna vekta x ≠ 0 ambayo kwayo

Shoka = λx. (5.2)

Kumbuka kuwa katika L kuna mwendeshaji wa kitambulisho I: Ix = x kwa vekta yoyote x. Kwa kutumia operator huyu, tunabadilisha usawa (5.2): Ах = λIx, au

(A - λI)x = 0. (5.3)

Wacha tuandike usawa wa vekta (5.3) kwa msingi fulani b. Matrix ya opereta wa mstari A - λI itakuwa matrix A - λE, ambapo A ni matriki ya opereta laini A katika msingi b, na E ni matriki ya utambulisho, na acha x iwe safu ya viwianishi vya eigenvector x. . Kisha x ≠ 0, na usawa wa vekta (5.3) ni sawa na tumbo.

(A - λE)x = 0, (5.4)

ambayo ni aina ya matrix ya kuandika mfumo wa homogeneous wa usawa wa algebraic (SLAE) na matrix ya mraba A - λE ya utaratibu n. Mfumo huu una suluhisho la nonzero, ambalo ni safu ya x-kuratibu ya eigenvector x. Kwa hiyo, matrix A - λE ya mfumo (5.4) ina kiashiria cha sifuri, i.e. det(A - λE) = 0. Hii ina maana kwamba λ ndio mzizi wa mlingano wa sifa wa opereta wa mstari A.

Utoshelevu. Ni rahisi kuona kwamba hoja hapo juu inaweza kufanywa kwa mpangilio wa nyuma. Ikiwa λ ndio mzizi wa mlingano wa tabia, basi kwa msingi fulani b usawa wa det (A - λE) = unashikilia 0. Kwa hiyo, matrix ya SLAE yenye homogeneous (5.4), iliyoandikwa kwa fomu ya matrix, imeharibika, na mfumo una suluhisho lisilo la sifuri x. Suluhisho hili lisilo la sifuri ni seti ya viwianishi katika msingi b wa baadhi ya vekta x isiyo na sufuri ambayo vekta inashikilia usawa (5.3) au usawa wake sawa (5.2). Tunafikia hitimisho kwamba nambari λ ni eigenvalue ya mwendeshaji wa mstari A.

Kila eigenvalue λ ya matrix (opereta wa mstari) inahusishwa na yake wingi, ikiiweka sawa na msururu wa mzizi λ wa mlingano wa tabia ya matrix hii (ya mwendeshaji huyu wa mstari).

Seti ya eigenveekta zote zinazolingana na eigenvalue iliyotolewa ya opereta wa mstari sio. nafasi ndogo ya mstari, kwani seti hii haina vekta sifuri, ambayo, kwa ufafanuzi, haiwezi kuwa sahihi. Lakini kikwazo hiki rasmi na kinachoweza kutolewa kwa urahisi ndicho pekee. Wacha tuonyeshe kwa £(A, λ) seti ya eigenveekta zote za mwendeshaji laini A katika nafasi ya mstari L inayolingana na eigenvalue λ, na vekta sifuri imeongezwa kwenye seti hii.

Nadharia 5.4. Seti ya £(A,λ) ni nafasi ndogo ya mstari katika L.

◄ Wacha tuchague mbili kiholela vekta x,y∈ £(A, λ) na uthibitishe kuwa kwa α yoyote halisi na β vekta αx + βу pia ni ya £(A, λ). Ili kufanya hivyo, tunahesabu picha ya vekta hii chini ya hatua ya mwendeshaji wa mstari A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Kwa hivyo, kwa vekta z = αх + βу uhusiano Az = λz unashikilia. Ikiwa z ni vekta sifuri, basi ni ya £(A,λ). Ikiwa sio sifuri, basi, kwa mujibu wa uhusiano uliothibitishwa, ni eigenvalue na eigenvalue λ na tena ni ya kuweka £ (A, λ).

Nafasi ndogo ya mstari £(A,λ) wakati mwingine huitwa eigensubspace ya opereta wa mstari *. Ni kesi maalum nafasi ndogo isiyobadilika opereta wa mstari A - nafasi ndogo ya mstari kiasi kwamba kwa vekta yoyote x ∈ H vekta Ax pia ni ya H.

Nafasi ndogo isiyobadilika ya mwendeshaji laini pia ni muda wa mstari wa mfumo wowote wa eigenveekta zake. Nafasi ndogo isiyobadilika ya mwendeshaji laini isiyohusiana na eigenveekta zake ni picha ya mwendeshaji.

Na matrix A, ikiwa kuna nambari l kama hiyo AX = lX.

Katika kesi hii, nambari l inaitwa thamani ya eigen opereta (matrix A) inayolingana na vekta X.

Kwa maneno mengine, eigenvector ni vector ambayo, chini ya hatua ya operator wa mstari, inabadilika kuwa vector ya collinear, i.e. zidisha kwa nambari fulani. Kwa kulinganisha, vekta zisizofaa ni ngumu zaidi kubadilisha.

Wacha tuandike ufafanuzi wa eigenvector katika mfumo wa mfumo wa equations:

Wacha tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto:

Mfumo wa mwisho unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix kama ifuatavyo:

(A - lE)X = O

Mfumo unaosababisha daima una ufumbuzi wa sifuri X = O. Mifumo hiyo ambayo maneno yote ya bure ni sawa na sifuri huitwa. zenye homogeneous. Ikiwa matrix ya mfumo kama huo ni mraba na kiashiria chake sio sawa na sifuri, basi kwa kutumia fomati za Cramer tutapata suluhisho la kipekee - sifuri. Inaweza kuthibitishwa kuwa mfumo una suluhu zisizo za sifuri ikiwa na tu ikiwa kibainishi cha matrix hii ni sawa na sifuri, i.e.

|A - lE| = = 0

Equation hii na l haijulikani inaitwa mlingano wa tabia (tabia ya polynomial) matrix A (opereta wa mstari).

Inaweza kuthibitishwa kuwa tabia ya polynomial ya operator linear haitegemei uchaguzi wa msingi.

Kwa mfano, hebu tutafute eigenvalues ​​na eigenveekta za mwendeshaji wa mstari uliofafanuliwa na matrix A = .

Ili kufanya hivyo, hebu tuunde mlingano wa tabia |A - leE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues ​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Ili kupata eigenvectors, tunatatua mifumo miwili ya equations

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Kwa wa kwanza wao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

wapi x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Kwa pili yao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

,

kutoka wapi x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; kifungu cha 1).

Kwa hivyo, eigenvekta za opereta huyu wa mstari zote ni vekta za fomu (-(2/3)с; с) yenye thamani ya eigen (-5) na vekta zote za fomu ((2/3)с 1 ; с 1) na thamani ya 7 .

Inaweza kuthibitishwa kuwa matrix ya mwendeshaji A kwa msingi unaojumuisha eigenveekta zake ni ya ulalo na ina fomu:

,

ambapo mimi ni eigenvalues ​​ya matrix hii.

Mazungumzo pia ni ya kweli: ikiwa matrix A katika msingi fulani ni ya diagonal, basi vekta zote za msingi huu zitakuwa eigenvectors za matrix hii.

Inaweza pia kuthibitishwa kuwa ikiwa mwendeshaji wa mstari ana n eigenvalues ​​tofauti kwa jozi, basi eigenveekta zinazolingana zinajitegemea kwa mstari, na matrix ya mwendeshaji huyu katika msingi unaolingana ina fomu ya diagonal.

Hebu tuonyeshe hili kwa mfano uliopita. Wacha tuchukue maadili yasiyo ya sifuri ya kiholela c na c 1, lakini ili vekta X (1) na X (2) ziko huru, i.e. ingekuwa msingi. Kwa mfano, hebu c = c 1 = 3, kisha X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Hebu tuhakikishe uhuru wa mstari vekta hizi:

12 ≠ 0. Katika msingi huu mpya, matrix A itachukua fomu A * = .

Ili kuthibitisha hili, hebu tutumie fomula A * = C -1 AC. Kwanza, hebu tupate C -1.

C -1 = ;

Maumbo ya Quadratic

Umbo la Quadratic f(x 1, x 2, x n) ya vigeu vya n inaitwa jumla, kila neno ambalo ni ama mraba wa mojawapo ya vigeu, au bidhaa ya viambishi viwili tofauti, vinavyochukuliwa na mgawo fulani: f(x 1) , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Matrix A inayojumuisha coefficients hizi inaitwa tumbo fomu ya quadratic. Ni daima ulinganifu matrix (yaani matriki yenye ulinganifu kuhusu ulalo mkuu, a ij = a ji).

Katika nukuu ya tumbo, umbo la quadratic ni f(X) = X T AX, wapi

Hakika

Kwa mfano, hebu tuandike fomu ya matrix fomu ya quadratic.

Ili kufanya hivyo, tunapata matrix ya fomu ya quadratic. Vipengele vyake vya diagonal ni sawa na coefficients ya vigezo vya mraba, na vipengele vilivyobaki ni sawa na nusu ya coefficients sambamba ya fomu ya quadratic. Ndiyo maana

Acha safu ya matrix ya vigeuzo X ipatikane kwa badiliko lisiloharibika la mstari wa safu wima Y ya matrix, i.e. X = CY, ambapo C ni matrix isiyo ya umoja ya mpangilio wa nth. Kisha fomu ya quadratic f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kwa hivyo, kwa mabadiliko ya mstari usioharibika C, matrix ya fomu ya quadratic inachukua fomu: A * = C T AC.

Kwa mfano, hebu tutafute fomu ya quadratic f(y 1, y 2), iliyopatikana kutoka kwa fomu ya quadratic f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 kwa mabadiliko ya mstari.

Fomu ya quadratic inaitwa kisheria(Ina mtazamo wa kisheria), ikiwa mgawo wake wote a ij = 0 kwa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =.

Matrix yake ni ya diagonal.

Nadharia(ushahidi haujatolewa hapa). Fomu yoyote ya quadratic inaweza kupunguzwa fomu ya kisheria kwa kutumia ubadilishaji wa mstari usioharibika.

Kwa mfano, hebu tupunguze fomu ya quadratic kwa fomu ya kisheria
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ili kufanya hivyo, kwanza chagua mraba kamili na kutofautisha x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sasa tunachagua mraba kamili na kutofautisha x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Kisha ubadilishaji wa mstari usioharibika y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 na y 3 = x 3 huleta fomu hii ya quadratic kwa fomu ya kisheria f (y 1, y 2). , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Kumbuka kwamba fomu ya kisheria ya fomu ya quadratic imedhamiriwa kwa utata (fomu ya quadratic sawa inaweza kupunguzwa kwa fomu ya kisheria. njia tofauti) Hata hivyo, kupokea njia tofauti fomu za kisheria zina idadi ya mali ya jumla. Hasa, idadi ya maneno yenye coefficients chanya (hasi) ya fomu ya quadratic haitegemei njia ya kupunguza fomu kwa fomu hii (kwa mfano, katika mfano unaozingatiwa daima kutakuwa na mgawo mbili mbaya na moja chanya). Mali hii inaitwa sheria ya inertia ya fomu za quadratic.

Hebu tuthibitishe hili kwa kuleta umbo sawa la quadratic kwa umbo la kisheria kwa njia tofauti. Wacha tuanze mabadiliko na kutofautisha x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3(1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, ambapo y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 na y 3 = x 1 . Hapa kuna mgawo hasi -3 kwa y 1 na coefficients mbili chanya 3 na 2 kwa y 2 na y 3 (na kwa kutumia njia nyingine tulipata mgawo hasi (-5) kwa y 2 na mbili chanya: 2 kwa y 1. na 1/20 saa y 3).

Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa cheo cha matrix ya fomu ya quadratic, inayoitwa cheo cha fomu ya quadratic, ni sawa na idadi ya migawo isiyo ya sifuri fomu ya kisheria na haibadiliki chini ya mabadiliko ya mstari.

Fomu ya quadratic f(X) inaitwa vyema (hasi) fulani, ikiwa kwa maadili yote ya vigezo ambavyo si sawa na sifuri wakati huo huo, ni chanya, i.e. f(X) > 0 (hasi, i.e.
f(X)< 0).

Kwa mfano, fomu ya quadratic f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ni chanya uhakika, kwa sababu ni jumla ya miraba, na umbo la quadratic f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ni hasi dhahiri, kwa sababu inawakilisha inaweza kuwakilishwa kama f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Katika hali nyingi za vitendo, ni ngumu zaidi kuanzisha ishara dhahiri ya fomu ya quadratic, kwa hivyo kwa hili tunatumia moja ya nadharia zifuatazo (tutaziunda bila uthibitisho).

Nadharia. Fomu ya quadratic ni chanya (hasi) dhahiri ikiwa na tu ikiwa eigenvalues ​​zote za matrix yake ni chanya (hasi).

Nadharia(Kigezo cha Sylvester). Fomu ya quadratic ni chanya uhakika ikiwa na tu ikiwa watoto wote wanaoongoza wa tumbo la fomu hii ni chanya.

Kuu (kona) ndogo Matrix ya mpangilio wa kth A ya mpangilio wa nth inaitwa kibainishi cha matrix, inayoundwa na safu mlalo za kwanza za k na safu wima za matrix A ().

Kumbuka kwamba kwa fomu hasi za quadratic ishara za watoto wakuu hubadilishana, na mtoto wa kwanza lazima awe hasi.

Kwa mfano, hebu tuchunguze fomu ya quadratic f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 kwa uhakika wa ishara.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni chanya uhakika.

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa mpangilio wa kwanza wa matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Mdogo mkuu wa utaratibu wa pili D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Sylvester, fomu ya quadratic ni. chanya uhakika.

Tunachunguza fomu nyingine ya quadratic kwa uhakika wa ishara, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Njia ya 1. Hebu tujenge matrix ya fomu ya quadratic A = . Equation ya tabia itakuwa na fomu = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Kwa hiyo, fomu ya quadratic ni hasi ya uhakika.

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa utaratibu wa kwanza wa tumbo A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Kwa hiyo, kwa mujibu wa kigezo cha Sylvester, fomu ya quadratic ni hasi ya uhakika (ishara za watoto kuu hubadilishana, kuanzia na minus).

Na kama mfano mwingine, tunachunguza fomu ya quadratic iliyobainishwa na ishara f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Njia ya 1. Hebu tujenge matrix ya fomu ya quadratic A = . Equation ya tabia itakuwa na fomu = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Moja ya nambari hizi ni hasi na nyingine ni chanya. Ishara za eigenvalues ​​ni tofauti. Kwa hiyo, fomu ya quadratic haiwezi kuwa mbaya au ya uhakika, i.e. fomu hii ya quadratic sio ya uhakika (inaweza kuchukua maadili ya ishara yoyote).

Njia ya 2. Mdogo mkuu wa mpangilio wa kwanza wa matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Mdogo mkuu wa utaratibu wa pili D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).