Mawazo ya mwanadamu yameundwa kwa njia ambayo ulimwengu unaonekana kuwa na "vitu" vya kibinafsi. Wanafalsafa wamejua kwa muda mrefu kuwa ulimwengu ni kitu kimoja kisichoweza kutengwa, na uteuzi wa vitu ndani yake sio kitu zaidi ya kitendo cha kiholela cha mawazo yetu, ambayo inaruhusu sisi kuunda picha inayopatikana kwa uchambuzi wa busara. Lakini iwe hivyo, utambulisho wa vitu na makusanyo yao ni njia ya asili ya kupanga mawazo yetu, kwa hivyo haishangazi kwamba ndio msingi wa zana kuu ya kuelezea maarifa halisi - hisabati.

Wazo la seti ni moja wapo ya dhana za kimsingi ambazo hazijafafanuliwa za hisabati. Kwa kiwango cha chini, kinachojulikana kuhusu seti ni kwamba inajumuisha vipengele. Kwa uhakika, tunakubali uundaji ufuatao.

Ufafanuzi. Chini ya umati S tutaelewa mkusanyiko wowote wa vitu vilivyofafanuliwa na vinavyoweza kutofautishwa, vilivyotungwa kwa ujumla mmoja. Vitu hivi huitwa vipengele vya kuweka S.

Ufafanuzi. Seti inaeleweka kama muunganisho katika jumla moja ya vitu fulani vinavyoweza kutofautishwa kabisa (vitu), ambavyo huitwa vipengele vya seti wanayounda.

Seti kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa za alfabeti ya Kilatini: A, B, C, ...; na vipengele vya seti viko katika herufi ndogo: a, b, c, … .

Ikiwa kitu X ni kipengele cha seti M, halafu wanasema hivyo X ni mali M: Hm. Vinginevyo inasemwa hivyo X si mali M: Hm.

Katika ufafanuzi huu wa angavu, ambao ni wa mwanahisabati wa Ujerumani G. Cantor, ukweli muhimu ni kwamba mkusanyiko wa vitu yenyewe huzingatiwa kama kitu kimoja, kinachofikiriwa kuwa kitu kimoja. Kama vitu vyenyewe, ambavyo vinaweza kujumuishwa katika seti, kuna uhuru mkubwa juu yao.

Mfano 1

Hii inaweza kuwa seti ya wanafunzi wanaosoma katika chuo kikuu, seti ya nambari kuu, nk.

Ufafanuzi. Kundi la A inayoitwa sehemu ndogo ya seti KATIKA, ikiwa kila kipengele kutoka A ni kipengele KATIKA(iliyoonyeshwa na). Kama A ni sehemu ndogo KATIKA Na KATIKA sio sehemu ndogo A, halafu wanasema hivyo A ni kitengo kidogo (sahihi). KATIKA(iliyoonyeshwa na).

Ufafanuzi. Seti ambayo haina vipengele inaitwa tupu (iliyoonyeshwa na Æ); ni seti ndogo ya seti yoyote. Kundi la U inaitwa zima, yaani, seti zote zinazozingatiwa ni sehemu yake ndogo.

Hebu fikiria ufafanuzi mbili za usawa wa seti.

Ufafanuzi. Seti A Na KATIKA zinachukuliwa kuwa sawa ikiwa zinajumuisha vipengele sawa, andika A=B, vinginevyo A¹ KATIKA.

Ufafanuzi. Seti A Na KATIKA inachukuliwa kuwa sawa ikiwa

Kuna zifuatazo njia za kufafanua seti :

1) kuorodhesha vipengele: M = (a 1 , a 2 , …, a k} , yaani orodha ya vipengele vyake;

2) kihusishi cha tabia: M = (x | P(x)} (maelezo ya sifa za tabia ambazo vipengele vyake lazima ziwe nazo);

utaratibu wa kuzalisha: M = { x | x= f} , ambayo inaelezea njia ya kupata vipengele vya seti kutoka kwa vipengele vilivyopatikana tayari au vitu vingine. Katika kesi hii, vipengele vya kuweka ni vitu vyote vinavyoweza kuwa

1) hutengenezwa kwa kutumia utaratibu huu. Kwa mfano, seti ya nambari zote ambazo ni nguvu za mbili.

Maoni. Wakati wa kufafanua seti kwa kuhesabu, viambishi vya vipengele kwa kawaida hufungwa katika viunga vilivyopinda na kutengwa kwa koma. Seti za mwisho pekee zinaweza kubainishwa kwa kuhesabu (idadi ya vipengele vya seti ni ya mwisho, vinginevyo seti inaitwa isiyo na mwisho). Kihusishi bainifu ni hali fulani inayoonyeshwa kwa njia ya taarifa ya kimantiki au utaratibu unaorudisha thamani ya kimantiki. Ikiwa hali inakabiliwa kwa kipengele kilichotolewa, basi ni ya seti iliyoelezwa, vinginevyo haifai. Utaratibu wa kuzalisha ni utaratibu ambao, unapoendeshwa, huzalisha baadhi ya vitu ambavyo ni vipengele vya seti inayofafanuliwa. Seti zisizo na kikomo hufafanuliwa na kihusishi cha sifa au utaratibu wa kuzalisha.

Mfano 2

1) M = (1, 2, 3, 4)- kuorodhesha vipengele vya seti.

2) ni kihusishi cha tabia.

Ufafanuzi. Kardinali ya seti yenye ukomo A ni idadi ya vipengele vyake.

Kardinali ya seti inaonyeshwa na: | A|.

Mfano 3

|| = 0; |{}| = 1.

Ufafanuzi. Seti zinasemekana kuwa za kardinali sawa ikiwa makadinali wao wanapatana.

Ufafanuzi. Seti ya seti ndogo zote za seti A inaitwa Boolean P(A).

Inajulikana kuwa ikiwa seti A ina n vipengele, kisha kuweka P(A) ina 2 n vipengele. Katika suala hili, nukuu ya seti-shahada ya kuweka pia hutumiwa A kama 2 A.

Mfano 4

A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Seti zinaweza kuwakilishwa kijiometri kwa kutumia michoro ya Euler-Venn. Ujenzi wa mchoro una kuchora mstatili mkubwa unaowakilisha seti ya ulimwengu wote U, na ndani yake - miduara (au takwimu zingine zilizofungwa) zinazowakilisha seti. Maumbo lazima yakatane kwa njia ya jumla inayohitajika na tatizo na lazima yawekwe lebo ipasavyo. Pointi zilizo ndani ya maeneo tofauti ya mchoro zinaweza kuzingatiwa kama vipengele vya seti zinazolingana. Kwa mchoro uliojengwa, unaweza kuweka kivuli maeneo fulani ili kuonyesha seti mpya.

Uendeshaji wa kuweka huzingatiwa kupata seti mpya kutoka kwa zilizopo.

Ufafanuzi. Umoja wa seti A Na KATIKA ni seti inayojumuisha vipengele vyote ambavyo ni vya angalau mojawapo ya seti A,KATIKA(Mchoro 1.1):

Mchele. 1.1. Mchoro wa Euler-Venn wa umoja

Ufafanuzi. Makutano ya seti A Na KATIKA ni seti inayojumuisha vipengele hivyo vyote na vile tu ambavyo ni vya seti kwa wakati mmoja A, na wengi KATIKA(Mchoro 1.2):

Mchele. 1.2. Mchoro wa Euler-Venn kwa makutano

Ufafanuzi. Weka tofauti A Na KATIKA inaitwa seti ya vitu hivyo vyote na vile tu A, ambazo hazimo ndani KATIKA(Mchoro 1.3):

Mchele. 1.3. Mchoro wa Euler-Venn kwa tofauti

Ufafanuzi. Tofauti ya seti ya ulinganifu A Na KATIKA ni seti ya vipengele vya seti hizi ambazo ni za seti pekee A, au kwa seti pekee KATIKA(Mchoro 1.4):

Mchele. 1.4. Mchoro wa Euler-Venn wa tofauti za ulinganifu

Ufafanuzi. Kikamilisho kamili kwa seti A ni seti ya vipengele hivyo vyote ambavyo si vya seti A(Mchoro 1.5):

Mchele. 1.5. Mchoro wa Euler-Venn kwa inayosaidia kabisa

Mfano 5

Kwa kutumia michoro ya Euler-Venn tunathibitisha utambulisho:

Wacha tuangalie upande wa kushoto wa uhusiano na tufanye hatua kwa mpangilio:

1) pata makutano ya seti KATIKA Na NA() (Mchoro 1.6, a);

2) pata muungano wa seti inayosababisha na seti A() (Mchoro 1.6, b).

Wacha tuangalie upande wa kulia wa uhusiano :

1) pata muungano wa seti A Na KATIKA(Mchoro 1.6, c);

2) pata muungano wa seti A Na NA(mchele.

1.6, d);

3) pata makutano ya seti mbili za mwisho na ( ) (Kielelezo 6, d):

Katika matukio yote mawili (Mchoro 1.6, b) na (Mchoro 1.6, e) tunapata seti sawa. Kwa hiyo, uhusiano wa awali ni halali.

Mchele. 1.6. Uthibitisho wa utambulisho kwa kutumia michoro ya Euler-Venn

Wacha tuzingatie vitambulisho vya msingi vya algebra iliyowekwa. Kwa seti za kiholela A,KATIKA, Na NA mahusiano yafuatayo ni halali (Jedwali 1.11):

Jedwali 1.11 Vitambulisho vya msingi vya aljebra iliyowekwa

Muungano	Makutano
1. Commutativity ya muungano	1'. Mawasiliano ya makutano
2. Ushirika wa chama	2′. Ushirikiano wa makutano
3. Usambazaji wa muungano kwa heshima na makutano	3′. Usambazaji wa makutano kuhusiana na muungano
4. Sheria za utekelezaji na seti tupu na za ulimwengu wote	4'. Sheria za hatua zilizo na seti tupu na za ulimwengu wote
5. Sheria ya idempotency ya muungano	5'. Sheria ya Idempotency ya Makutano
6. Sheria ya De Morgan	6′. Sheria ya De Morgan
7. Sheria ya kunyonya	7′. Sheria ya Kunyonya
8. Sheria ya gluing	8'. Sheria ya Kuunganisha
9. Sheria ya Poretsky	9'. Sheria ya Poretsky
10. Sheria ya kukamilisha mara mbili

Hadithi

Ufafanuzi 1

Leonhard Euler aliulizwa swali: inawezekana, wakati wa kutembea karibu na Königsberg, kuzunguka madaraja yote ya jiji bila kupita kwenye mojawapo yao mara mbili. Mpango wa jiji wenye madaraja saba umejumuishwa.

Katika barua kwa mwanahisabati wa Kiitaliano aliyejua, Euler alitoa suluhisho fupi na nzuri kwa tatizo la madaraja ya Königsberg: kwa mpangilio huo tatizo haliwezi kutatuliwa. Wakati huo huo, alionyesha kuwa swali lilionekana kuvutia kwake, kwa sababu ... "Jiometri wala algebra hazitoshi kulitatua...".

Wakati wa kutatua shida nyingi, L. Euler alionyesha seti kwa kutumia miduara, ndiyo sababu walipata jina. "Miduara ya Eulerian". Njia hii ilitumiwa hapo awali na mwanafalsafa wa Ujerumani na mwanahisabati Gottfried Leibniz, ambaye alizitumia kuelezea kijiometri miunganisho ya kimantiki kati ya dhana, lakini mara nyingi zaidi hutumika michoro ya mstari. Euler aliendeleza njia hiyo kwa uangalifu kabisa. Njia za picha zikawa shukrani maarufu kwa mwanafikra na mwanafalsafa wa Kiingereza John Venn, ambaye alianzisha michoro ya Venn na michoro kama hiyo mara nyingi huitwa. Michoro ya Euler-Venn. Zinatumika katika nyanja nyingi, kwa mfano, katika nadharia iliyowekwa, nadharia ya uwezekano, mantiki, takwimu na sayansi ya kompyuta.

Kanuni ya mchoro

Hadi sasa, michoro ya Euler-Venn inatumika sana kuonyesha kimkakati makutano yote yanayowezekana ya seti kadhaa. Michoro inaonyesha mchanganyiko wote wa $2^n$ wa mali n. Kwa mfano, wakati $n=3$ mchoro unaonyesha miduara mitatu yenye vituo kwenye vipeo vya pembetatu iliyo sawa na kipenyo sawa, ambacho ni takriban sawa na urefu wa upande wa pembetatu.

Uendeshaji wa kimantiki hufafanua majedwali ya ukweli. Mchoro unaonyesha mduara wenye jina la seti inayowakilisha, kwa mfano $A$. Eneo la katikati ya mduara $A$ litawakilisha ukweli wa usemi $A$, na eneo la nje ya mduara litaonyesha sivyo. Ili kuonyesha utendakazi wa kimantiki, maeneo hayo pekee ndiyo yametiwa kivuli ambamo maadili ya utendakazi wa kimantiki kwa seti $A$ na $B$ ni kweli.

Kwa mfano, muunganisho wa seti mbili $A$ na $B$ ni kweli ikiwa tu seti zote mbili ni za kweli. Katika kesi hii, katika mchoro, matokeo ya muunganisho wa $ A $ na $ B $ itakuwa eneo katikati ya miduara, ambayo wakati huo huo ni ya kuweka $ A $ na seti $ B $ ( makutano. ya seti).

Kielelezo 1. Kuunganishwa kwa seti $ A $ na $ B $

Kutumia Michoro ya Euler-Venn Kuthibitisha Usawa wa Kimantiki

Wacha tuangalie jinsi njia ya kuunda michoro ya Euler-Venn inatumiwa kudhibitisha usawa wa kimantiki.

Hebu tuthibitishe sheria ya De Morgan, ambayo inaelezwa na usawa:

Uthibitisho:

Kielelezo 4. Ubadilishaji wa $A $

Kielelezo 5. Ubadilishaji wa $ B $

Kielelezo 6. Kuunganishwa kwa inversions $ A $ na $ B $

Baada ya kulinganisha eneo la kuonyesha sehemu za kushoto na za kulia, tunaona kuwa ni sawa. Kutokana na hili hufuata uhalali wa usawa wa kimantiki. Sheria ya De Morgan imethibitishwa kwa kutumia michoro ya Euler-Venn.

Kutatua tatizo la kutafuta taarifa kwenye mtandao kwa kutumia michoro ya Euler-Venn

Ili kutafuta habari kwenye mtandao, ni rahisi kutumia maswali ya utafutaji na viunganisho vya kimantiki, sawa na maana ya viunganishi "na", "au" katika lugha ya Kirusi. Maana ya viunganishi vya kimantiki inakuwa wazi zaidi ikiwa yataonyeshwa kwa kutumia michoro ya Euler-Venn.

Mfano 1

Jedwali linaonyesha mifano ya maswali kwa seva ya utafutaji. Kila ombi lina msimbo wake - barua kutoka $A$ hadi $B$. Unahitaji kupanga misimbo ya ombi kwa mpangilio wa kushuka wa idadi ya kurasa zilizopatikana kwa kila ombi.

Kielelezo cha 7.

Suluhisho:

Wacha tujenge mchoro wa Euler-Venn kwa kila ombi:

Kielelezo cha 8.

Jibu: BVA.

Kutatua tatizo la kimantiki kwa kutumia michoro ya Euler-Venn

Mfano 2

Wakati wa likizo za majira ya baridi, kati ya wanafunzi $36$ katika darasa la $2$ hawakuenda kwenye sinema, ukumbi wa michezo au sarakasi. $25$ watu walikwenda kwenye sinema, $11$ watu walikwenda kwenye ukumbi wa michezo, $17$ watu walienda kwenye sarakasi; wote katika sinema na katika ukumbi wa michezo - $ 6 $; wote kwa sinema na kwa circus - $ 10 $; na kwa ukumbi wa michezo na sarakasi - $4$.

Ni watu wangapi wamehudhuria sinema, ukumbi wa michezo, na sarakasi?

Suluhisho:

Hebu tuonyeshe idadi ya watoto ambao wamehudhuria sinema, ukumbi wa michezo na sarakasi kama $x$.

Wacha tujenge mchoro na tujue idadi ya wavulana katika kila eneo:

Kielelezo cha 9.

Sijahudhuria ukumbi wa michezo, sinema au sarakasi - $2$ kwa kila mtu.

Kwa hiyo, $36 - 2 = $34 watu. alihudhuria matukio.

$6$ watu walikwenda kwenye sinema na ukumbi wa michezo, ambayo ina maana kwa sinema na ukumbi wa michezo pekee ($6 - x) watu.

$10$ watu walikwenda kwenye sinema na sarakasi, ambayo ina maana tu kwa sinema na sarakasi ($10 - x$) watu.

$4$ watu walikwenda kwenye ukumbi wa michezo na circus, ambayo ina maana $4 tu - x$ watu walikwenda kwenye ukumbi wa michezo na circus.

$25$ watu walikwenda kwenye sinema, ambayo ina maana kwamba $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ walikwenda kwenye sinema pekee.

Vile vile, ni watu ($1+x$) pekee walioenda kwenye ukumbi wa michezo.

Watu ($3+x$) pekee ndio walienda kwenye sarakasi.

Kwa hivyo, tulikwenda kwenye ukumbi wa michezo, sinema na circus:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;

Wale. mtu mmoja tu ndiye aliyeenda kwenye ukumbi wa michezo, sinema, na sarakasi.

Nyaraka zinazofanana

Inarejesha grafu kutoka kwa matiti ya karibu ya kipeo. Ujenzi kwa kila grafu ya matriki ya ukaribu wa kingo, matukio, ufikiaji, uwezo wa kukabiliana. Kutafuta muundo wa grafu. Uamuzi wa digrii za ndani za wima za grafu. Inatafuta hifadhidata ya grafu.

kazi ya maabara, imeongezwa 01/09/2009


Maelezo ya grafu iliyotolewa kwa seti za wima V na arcs X, orodha za karibu, matukio na matrix ya karibu. Matrix ya uzito ya grafu inayolingana isiyoelekezwa. Uamuzi wa mti wa njia fupi zaidi kwa kutumia algorithm ya Dijkstra. Kutafuta miti kwenye grafu.

kazi ya kozi, imeongezwa 09/30/2014


Wazo la "graph" na uwakilishi wake wa matrix. Mali ya matrices ya karibu na matukio. Mali ya njia, minyororo na vitanzi. Tatizo la kupata vipeo vya kati vya grafu, sifa zake za metri. Utumiaji wa nadharia ya grafu katika nyanja za sayansi na teknolojia.

kazi ya kozi, imeongezwa 05/09/2015


Algorithm ya mpito hadi uwakilishi wa picha kwa grafu isiyoelekezwa. Idadi ya wima katika grafu isiyoelekezwa. Kusoma kutoka kwa matrix ya karibu. Viunganisho kati ya wima kwenye tumbo. Kuweka kuratibu za wima kulingana na idadi ya sekta.

kazi ya maabara, imeongezwa 04/29/2011


Maelezo ya hisabati ya mfumo wa kudhibiti otomatiki kwa kutumia grafu. Kuchora grafu na kuibadilisha, kuondoa tofauti. Uboreshaji wa grafu zilizoelekezwa na zisizoelekezwa, mkusanyiko wa matrices ya karibu na matukio.

kazi ya maabara, imeongezwa 03/11/2012


Grafu zilizoelekezwa na zisizoelekezwa: sifa za jumla, wima maalum na kingo, nusu-digrii za wima, karibu, matukio, ufikiaji, matrices ya uunganisho. Sifa za nambari za kila grafu, kina-kwanza na upana-kwanza, msingi wa mzunguko.

kazi ya kozi, imeongezwa 05/14/2012


Kukagua uhalali wa vitambulisho au mijumuisho kwa kutumia seti za aljebra na michoro ya Euler-Venn. Uwakilishi wa grafu na matrix ya uhusiano ambayo ina mali ya reflexivity, transitivity na antisymmetricity. Kujifunza grafu isiyoelekezwa.

mtihani, umeongezwa 05/05/2013


Seti ni mkusanyiko wa vipengele vilivyounganishwa kulingana na sifa fulani. Uendeshaji ambao kwa njia nyingi sawa na hesabu hufafanuliwa kwenye seti. Uendeshaji wa seti hufasiriwa kijiometri kwa kutumia michoro ya Euler-Venn.

muhtasari, imeongezwa 02/03/2009


Ujenzi wa mchoro wa pseudograph, tumbo la matukio na tumbo la karibu la vertex. Kurejesha mti kutoka kwa vekta kwa kutumia algorithm ya Prüfer. Ujenzi wa jedwali la ukweli kwa ajili ya utendaji kazi na maumbo kamili ya kawaida ya kuunganisha na kutofautisha.

mtihani, umeongezwa 09.25.2013


Njia za kutatua shida za hisabati. Kukokotoa njia fupi zaidi kati ya jozi za wima zote katika grafu zilizoelekezwa na zisizoelekezwa kwa kutumia algoriti ya Floyd. Uchambuzi wa shida na njia za kulitatua. Maendeleo na sifa za programu.

Ili kuwakilisha seti kwa macho, michoro ya Euler–Venn (iliyopewa jina la wanahisabati Leonhard Euler (1707–1783) na John Venn (1834–1923)) hutumiwa. Seti zinaonyeshwa na mikoa kwenye ndege, na vipengele vya seti ziko kwa kawaida ndani ya mikoa hii. Mara nyingi seti zote kwenye mchoro huwekwa ndani ya mstatili, ambayo inawakilisha seti ya ulimwengu wote. Ikiwa kipengee ni cha zaidi ya seti moja, basi maeneo yanayolingana na seti kama hizo lazima yaingiliane ili kipengele cha kawaida kiweze kuwa katika maeneo husika kwa wakati mmoja. Uchaguzi wa sura ya maeneo yanayowakilisha seti katika michoro inaweza kuwa ya kiholela (miduara, poligoni, nk).

Kwa mfano, kwa kutumia michoro ya Euler-Venn inawezekana kuonyesha kwamba seti ni sehemu ndogo ya kuweka (Mchoro 3).

Hebu tuonyeshe shughuli zilizo hapo juu kwenye seti kwa kutumia michoro za Euler–Venn: a) muungano wa seti na; b) makutano ya seti; c) kuweka tofauti (bila); d) nyongeza ya seti kwa seti ya ulimwengu wote (Mchoro 4, A, b, V, G).

Mfano 1. Thibitisha utambulisho kwa kutumia michoro ya Euler-Venn.

Suluhisho

Wacha tujenge nyongeza ya seti kwa seti ya ulimwengu wote (Mchoro 5, A) Seti inalingana na eneo lenye kivuli (Mchoro 5, b) Kwa hivyo, ni wazi kwamba katika michoro ya Euler-Venn seti na zinaonyeshwa kwa njia sawa, kwa hivyo.

Mfano 2. Onyesha hilo.

Suluhisho

Wacha tujenge seti inayolingana na upande wa kushoto wa kitambulisho kilichopewa. Seti inawakilishwa na eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 6, A. Seti inalingana na eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 6, b.

Seti inawakilisha eneo lenye kivuli katika michoro zote mbili zilizopita, ndiyo sababu imewasilishwa kwenye Mtini. 6, V eneo lenye giza zaidi.

Wacha tujenge seti inayolingana na upande wa kulia wa kitambulisho kilichopewa.

Seti na zinawakilishwa na eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 7, A na 7, b kwa mtiririko huo.

Seti inaonyeshwa na eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 7, V.

Kulinganisha Mtini. 6, V na mchele 7, V, tunaona kwamba michoro ya Euler–Venn inaonyeshwa kwa njia sawa, kwa hiyo.

Maswali na kazi kwa suluhisho la kujitegemea

1. Chora seti kwa kutumia michoro ya Euler–Venn:

2. Eleza seti zinazolingana na sehemu zenye kivuli kwenye Mtini. 8, A, b, V, G, kwa kutumia michoro ya Euler-Venn:

3. Kwa kutumia michoro ya Euler–Venn, onyesha kwamba:

1.4. Tabia za shughuli zilizowekwa

Shughuli za seti zilizoletwa hapo juu zina sifa zifuatazo.

1. - mawasiliano.

2. - ushirika.

3. - usambazaji.

4. - kutokuwa na uwezo.

5. - sheria za kitambulisho.

6. - sheria za kukamilisha.

7. - sheria za de Morgan.

8. - sheria za kunyonya.

9. - sheria za gluing.

10. - Sheria za Poretsky.

Mfano 1. Kulingana na sifa za utendakazi uliowekwa, kurahisisha usemi.

Suluhisho

= /de sheria ya Morgan/ =

= = /sheria ya usambazaji/ =

= = /sheria ya mawasiliano/ =

= = /sheria ya usambazaji/ =

/sheria ya mawasiliano/ =

/sheria za nyongeza/ =

= /sheria za mawasiliano na utambulisho/ =

= = /ufafanuzi wa tofauti ya ulinganifu/ =.

Kama ilivyoelezwa tayari, kardinali ya seti ya mwisho ni idadi ya vipengele vyake. Nadharia ifuatayo inatoa kanuni rahisi ya kuhesabu nguvu ya umoja wa seti mbili.

Nadharia ya kujumuisha na kutengwa. Kardinali ya umoja wa seti mbili ni sawa na tofauti kati ya jumla ya makadinali ya seti hizi na kardinali ya makutano yao, i.e.

Ushahidi

Uthibitisho wa taarifa hiyo unaonyeshwa kwa urahisi zaidi kimchoro. Kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 9, seti inajumuisha subsets:, na, ambazo hazina vipengele vya kawaida. Kwa hiyo, na.

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

Q.E.D.

Mfano 2. Kila mmoja wa wanafunzi 63 wa mwaka wa kwanza wanaosoma sayansi ya kompyuta katika chuo kikuu wanaweza kuhudhuria mihadhara ya ziada. Ikiwa 16 kati yao pia wanachukua kozi ya uhasibu, 37 wanachukua kozi ya biashara, na 5 wanasoma taaluma hizi zote mbili, basi ni wanafunzi wangapi hawachukui madarasa haya ya ziada kabisa?

Suluhisho

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

Kwa hiyo, ni idadi ya wanafunzi ambao hawahudhurii kozi za ziada.

Kumbuka 1. Nadharia ya kujumuisha na kutengwa inaweza kutengenezwa kwa ajili ya seti tatu:

Mfano 3. Kuna wanafunzi 42 wanaosoma kwenye kozi hiyo. Kati ya hao, 16 wanashiriki riadha, 24 sehemu ya mpira wa miguu, 15 sehemu ya chess, 11 sehemu zote za riadha na mpira wa miguu; 8 - katika wimbo na uwanja na chess; 12 - katika mpira wa miguu na chess; na 6 - katika sehemu zote tatu. Wanafunzi wengine wanavutiwa na utalii. Wanafunzi wangapi ni watalii?

Suluhisho

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

Kutoka kwa hali ya shida: ,,,,,, na.

Wapi kutoka, yaani - idadi ya wanafunzi wanaohusika katika utalii.

Kumbuka 2. Wakati wa kutatua shida zilizo hapo juu, ni rahisi kutumia michoro za Euler-Venn.

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

Thibitisha vitambulisho kwa kutumia sifa za shughuli zilizowekwa:

2. Watu 33 walikuja kwenye chumba cha kulia chakula cha mchana. Watu 10 waliamuru supu, 16 - pilaf, 30 - compote, watu 7 waliamuru sahani zote tatu, watu 8 waliamuru supu na pilaf, watu 14 waliamuru supu na compote. Ni watu wangapi waliamuru pilaf na compote?

3. Katika kikundi cha wanafunzi, watu 12 wanasoma Kiingereza, 13 - Kijerumani, 16 - Kifaransa, 4 - Kiingereza na Kijerumani tu, 3 - Kiingereza na Kifaransa tu, 5 - lugha zote tatu. Hakuna wanafunzi wa Kiingereza pekee katika kikundi. Watu wawili wanasoma Kijerumani tu, watu sita wanasoma Kifaransa tu. Mwanafunzi mmoja katika kikundi hasomi lugha yoyote kati ya zilizoorodheshwa. Je! ni wanafunzi wangapi kwenye kikundi?

Shida zingine zinaweza kutatuliwa kwa urahisi na kwa uwazi kwa kutumia michoro za Euler-Venn. Kwa mfano, matatizo yanayohusiana na seti. Ikiwa hujui ni michoro gani za Euler-Venn na jinsi ya kuzijenga, kisha usome kwanza.

Sasa hebu tuangalie matatizo ya kawaida kuhusu seti.

Jukumu la 1.

Utafiti ulifanyika kati ya wanafunzi 100 katika shule iliyo na uchunguzi wa kina wa lugha za kigeni. Wanafunzi waliulizwa swali: "Unasoma lugha gani za kigeni?" Ilibadilika kuwa wanafunzi 48 wanasoma Kiingereza, 26 - Kifaransa, 28 - Kijerumani. Wanafunzi 8 wanasoma Kiingereza na Kijerumani, 8 - Kiingereza na Kifaransa, 13 - Kifaransa na Kijerumani. Watoto 24 wa shule hawasomi Kiingereza, Kifaransa au Kijerumani. Je! ni watoto wangapi wa shule ambao wamemaliza uchunguzi husoma lugha tatu kwa wakati mmoja: Kiingereza, Kifaransa na Kijerumani?

Jibu: 3.

Suluhisho:

• watoto wengi wa shule wanajifunza Kiingereza ("A");
• watoto wengi wa shule wanaosoma Kifaransa ("F");
• watoto wengi wa shule wanaosoma Kijerumani ("N").

Wacha tuonyeshe kwa kutumia mchoro wa Euler-Venn kile tunachopewa kulingana na hali.

Hebu tuonyeshe eneo linalohitajika A=1, Ф=1, Н=1 kama "x" (katika jedwali hapa chini, eneo Na. 7). Wacha tueleze maeneo yaliyobaki kulingana na x.

0) Mkoa A=0, Ф=0, Н=0: watoto wa shule 24 - hutolewa kulingana na hali ya tatizo.

1) Eneo A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x watoto wa shule.

2) Eneo A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x watoto wa shule.

3) Eneo A=0, F=1, N=1: watoto 13 wa shule.

4) Eneo A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x watoto wa shule.

5) Eneo A=1, F=0, H=1: 8 watoto wa shule.

6) Eneo A=1, F=1, H=0: watoto 8 wa shule.

№ mkoa	A	F	N	Kiasi watoto wa shule
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	ya 8
6	1	1	0	ya 8
7	1	1	1	X

Wacha tufafanue x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Tuligundua kuwa watoto wa shule 3 walikuwa wakisoma lugha tatu kwa wakati mmoja: Kiingereza, Kifaransa na Kijerumani.

Hivi ndivyo mchoro wa Euler-Venn utakavyoonekana kwa x inayojulikana:

Jukumu la 2.

Katika Olympiad ya Hisabati, watoto wa shule waliulizwa kutatua matatizo matatu: moja katika aljebra, moja katika jiometri, moja katika trigonometry. Watoto wa shule 1000 walishiriki katika Olympiad. Matokeo ya Olympiad yalikuwa kama ifuatavyo: washiriki 800 walitatua tatizo katika aljebra, 700 katika jiometri, watoto 600 katika trigonometria na jiometri, 500 katika aljebra na trigonometry, 400 katika jiometri na trigonometry. Watu 300 walitatua matatizo katika aljebra, jiometri na trigonometry. Je! ni watoto wangapi wa shule ambao hawakutatua shida moja?

Jibu: 100.

Suluhisho:

Kwanza, tunafafanua seti na kuanzisha notation. Kuna tatu kati yao:

• matatizo mengi ya aljebra (“A”);
• matatizo mengi katika jiometri ("G");
• matatizo mengi katika trigonometry ("T").

Wacha tuonyeshe kile tunachohitaji kupata:

Wacha tuamue idadi ya watoto wa shule kwa maeneo yote yanayowezekana.

Hebu tuteue eneo linalohitajika A=0, G=0, T=0 kama “x” (katika jedwali lililo hapa chini, eneo Na. 0).

Wacha tupate maeneo yaliyobaki:

1) Eneo A=0, G=0, T=1: hakuna watoto wa shule.

2) Eneo A=0, G=1, T=0: hakuna watoto wa shule.

3) Eneo A=0, G=1, T=1: watoto 100 wa shule.

4) Eneo A=1, G=0, T=0: hakuna watoto wa shule.

5) Mkoa A=1, G=0, T=1: watoto 200 wa shule.

6) Eneo A=1, G=1, T=0: watoto 300 wa shule.

7) Mkoa A=1, G=1, T=1: watoto 300 wa shule.

Wacha tuandike maadili ya maeneo kwenye jedwali:

№ mkoa	A	G	T	Kiasi watoto wa shule
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Wacha tuonyeshe maadili kwa maeneo yote kwa kutumia mchoro:

Wacha tufafanue x:

x=U-(A V Г V Т), ambapo U ni ulimwengu.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Tuligundua kuwa watoto wa shule 100 hawakutatua tatizo hata moja.

Jukumu la 3.

Katika Olympiad ya Fizikia, watoto wa shule waliulizwa kutatua matatizo matatu: moja katika kinematics, moja katika thermodynamics, na moja katika optics. Matokeo ya Olympiad yalikuwa kama ifuatavyo: washiriki 400 walitatua tatizo katika kinematics, 350 katika thermodynamics, na watoto wa shule 300 walitatua matatizo katika kinematics na thermodynamics, 200 katika kinematics na optics, 150 katika thermodynamics. Watu 100 walitatua matatizo katika kinematics, thermodynamics na optics. Je! ni watoto wangapi wa shule walitatua shida mbili?

Jibu: 350.

Suluhisho:

Kwanza, tunafafanua seti na kuanzisha notation. Kuna tatu kati yao:

• matatizo mengi katika kinematics ("K");
• matatizo mengi katika thermodynamics ("T");
• matatizo mengi katika optics ("O").

Wacha tuonyeshe kwa kutumia mchoro wa Euler-Venn kile tunachopewa kulingana na hali:

Wacha tuonyeshe kile tunachohitaji kupata:

Wacha tuamue idadi ya watoto wa shule kwa maeneo yote yanayowezekana:

0) Eneo la K=0, T=0, O=0: halijafafanuliwa.

1) Mkoa K=0, T=0, O=1: watoto 50 wa shule.

2) Mkoa K=0, T=1, O=0: hakuna watoto wa shule.

3) Mkoa K=0, T=1, O=1: watoto 50 wa shule.

4) Eneo la K=1, T=0, O=0: hakuna watoto wa shule.

5) Mkoa K=1, T=0, O=1: watoto 100 wa shule.

6) Mkoa K=1, T=1, O=0: watoto wa shule 200.

7) Mkoa K=1, T=1, O=1: watoto 100 wa shule.

Wacha tuandike maadili ya maeneo kwenye jedwali:

№ mkoa	KWA	T	KUHUSU	Kiasi watoto wa shule
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Wacha tuonyeshe maadili kwa maeneo yote kwa kutumia mchoro:

Hebu tufafanue x.

x=200+100+50=350.

Tulipata, watoto wa shule 350 walitatua shida mbili.

Jukumu la 4.

Uchunguzi ulifanyika kati ya wapita njia. Swali liliulizwa: "Una mnyama gani?" Kulingana na matokeo ya uchunguzi, iliibuka kuwa watu 150 wana paka, 130 wana mbwa, na 50 wana ndege. Watu 60 wana paka na mbwa, 20 wana paka na ndege, 30 wana mbwa na ndege. Watu 70 hawana kipenzi kabisa. Watu 10 wana paka, mbwa, na ndege. Je, ni wapita njia wangapi walishiriki katika utafiti huo?

Jibu: 300.

Suluhisho:

Kwanza, tunafafanua seti na kuanzisha notation. Kuna tatu kati yao:

• watu wengi ambao wana paka ("K");
• watu wengi ambao wana mbwa ("C");
• watu wengi ambao wana ndege ("P").

Wacha tuonyeshe kwa kutumia mchoro wa Euler-Venn kile tunachopewa kulingana na hali:

Wacha tuonyeshe kile tunachohitaji kupata:

Wacha tuamue idadi ya watu kwa maeneo yote yanayowezekana:

0) Mkoa K=0, S=0, P=0: watu 70.

1) Eneo la K=0, S=0, P=1: watu 10.

2) Mkoa K=0, S=1, P=0: watu 50.

3) Eneo la K=0, S=1, P=1: watu 20.

4) Mkoa K=1, S=0, P=0: watu 80.

5) Eneo la K=1, T=0, O=1: watu 10.

6) Eneo la K=1, T=1, O=0: watu 50.

7) Eneo la K=1, T=1, O=1: watu 10.

Wacha tuandike maadili ya maeneo kwenye jedwali:

№ mkoa	KWA	C	P	Kiasi Binadamu
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Wacha tuonyeshe maadili kwa maeneo yote kwa kutumia mchoro:

Wacha tufafanue x:

x=U (ulimwengu)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Tuligundua kuwa watu 300 walishiriki katika uchunguzi huo.

Jukumu la 5.

Watu 120 waliingia taaluma moja katika moja ya vyuo vikuu. Waombaji walichukua mitihani mitatu: katika hisabati, sayansi ya kompyuta na lugha ya Kirusi. Watu 60 walipita hisabati, 40 - waombaji 30 walipitisha hisabati na sayansi ya kompyuta, 30 - hisabati na lugha ya Kirusi, 25 - sayansi ya kompyuta na lugha ya Kirusi. Watu 20 walifaulu mitihani yote mitatu, na watu 50 walifeli. Ni waombaji wangapi walipitisha mtihani wa lugha ya Kirusi?