Kikomo cha utendaji wa vigeu viwili. Dhana na mifano ya suluhu. Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu vitatu

Kazi za vigezo vingi

§1. Dhana ya kazi ya vigezo vingi.

Hebu iwepo n kiasi kutofautiana. Kila seti
inaashiria uhakika n- seti ya dimensional
(P-vekta ya sura).

Wacha seti zilizopewa
Na
.

ODA. Ikiwa kila nukta
inalingana na nambari ya umoja
, basi tunasema kwamba kazi ya nambari imetolewa n vigezo:

inaitwa uwanja wa ufafanuzi,
- seti ya maadili ya kazi fulani.

Lini n=2 badala yake
kawaida kuandika x, y, z. Kisha kazi ya vigezo viwili ina fomu:

z= f(x, y).

Kwa mfano,
- kazi ya vigezo viwili;

- kazi ya vigezo vitatu;

Utendakazi wa mstari n vigezo.

ODA. Grafu ya kazi n vigezo vinaitwa n- hypersurface ya dimensional katika nafasi
, kila hatua ambayo imetajwa na kuratibu

Kwa mfano, grafu ya kazi ya vigezo viwili z= f(x, y) ni uso katika nafasi ya pande tatu, kila nukta ambayo imeainishwa na kuratibu ( x, y, z) , Wapi
, Na
.

Kwa kuwa haiwezekani kuonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa za viambajengo vitatu au zaidi, tutazingatia hasa (kwa uwazi) utendakazi wa vigeu viwili.

Kupanga kazi za vigezo viwili ni kazi ngumu sana. Ujenzi wa kinachojulikana mistari ya ngazi inaweza kutoa msaada mkubwa katika kutatua tatizo hili.

ODA. Mstari wa kiwango cha kazi ya vigezo viwili z= f(x, y) inaitwa seti ya pointi za ndege HOU, ambayo ni makadirio ya sehemu ya grafu ya kazi na ndege sambamba HOU. Katika kila hatua kwenye mstari wa ngazi kazi ina thamani sawa. Mistari ya ngazi inaelezewa na equation f(x, y)=c, Wapi Na- nambari fulani. Kuna mistari ya ngazi nyingi sana, na mmoja wao unaweza kuchorwa kupitia kila nukta ya kikoa cha ufafanuzi.

ODA. Utendakazi wa kiwango cha uso n vigezo y= f (
) inaitwa hypersurface katika nafasi
, katika kila hatua ambayo thamani ya chaguo za kukokotoa ni thabiti na ni sawa na thamani fulani Na. Kiwango cha usawa wa uso: f (
)=s.

Mfano. Grafu kazi ya vigezo viwili

Wakati c=1:
;
.

Na c=4:
;
.

saa c=9:
;
.

Mistari ya ngazi ni miduara ya kuzingatia, radius ambayo hupungua kwa kuongezeka z.

§2. Kikomo na mwendelezo wa utendaji kazi wa vigezo kadhaa.

Kwa kazi za anuwai nyingi, dhana sawa hufafanuliwa kama kazi za kigezo kimoja. Kwa mfano, unaweza kutoa ufafanuzi wa kikomo na mwendelezo wa chaguo za kukokotoa.

ODA. Nambari A inaitwa kikomo cha kazi ya vigezo viwili z= f(x, y) katika
,
na imeteuliwa
, ikiwa kwa nambari yoyote chanya kuna nambari chanya , kwamba kama uhakika
mbali na uhakika
umbali mdogo , kisha idadi f(x, y) na A hutofautiana kwa chini ya .

ODA. Ikiwa kazi z= f(x, y) hufafanuliwa kwa uhakika
na ina kikomo katika hatua hii sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa
, basi inaitwa kuendelea katika hatua fulani.

§3. Baadhi ya derivatives ya kazi za vigezo kadhaa.

Fikiria kazi ya vigezo viwili
.

Wacha turekebishe thamani ya moja ya hoja zake, kwa mfano , kuweka
. Kisha kazi
kuna kazi ya kutofautiana moja . Wacha iwe na derivative kwa uhakika :

Toleo hili linaitwa derivative ya sehemu (au derivative ya sehemu ya mpangilio wa kwanza) ya chaguo za kukokotoa.
Na kwa uhakika
na imeteuliwa:
;
;
;
.

Tofauti inaitwa ongezeko la sehemu na imeteuliwa
:

Kwa kuzingatia vidokezo hapo juu, tunaweza kuandika

Imefafanuliwa sawa

Sehemu ya derivative kazi za vigeu kadhaa katika mojawapo ya vigeu hivi huitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya sehemu ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la kigezo huru kinacholingana, wakati ongezeko hili linaelekea sifuri.

Wakati wa kupata derivative ya sehemu kwa heshima na hoja yoyote, hoja zingine huzingatiwa mara kwa mara. Sheria na fomula zote za kutofautisha kazi za kigezo kimoja ni halali kwa baadhi ya vipengele vya utendakazi vya vigezo vingi.

Kumbuka kuwa viasili vya sehemu vya chaguo za kukokotoa ni vitendaji vya vigeu sawa. Kazi hizi, kwa upande wake, zinaweza kuwa na derivatives ya sehemu, ambayo huitwa derivatives ya pili ya sehemu(au viasili vya sehemu ya mpangilio wa pili) ya chaguo za kukokotoa asili.

Kwa mfano, kazi
ina derivatives nne za mpangilio wa pili, ambazo zimeashiriwa kama ifuatavyo:

;
;

;
.

Na
- mchanganyiko wa derivatives ya sehemu.

Mfano. Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la pili kwa chaguo za kukokotoa

Suluhisho.
,
.

,
.

Zoezi.

1. Tafuta sehemu za sehemu za mpangilio wa pili za vitendakazi

,
;

2. Kwa kazi
thibitisha hilo
.

Tofauti kamili kazi za vigezo vingi.

Pamoja na mabadiliko ya wakati mmoja katika maadili X Na katika kazi
itabadilika kwa kiasi kinachoitwa ongezeko la jumla la chaguo la kukokotoa z kwa uhakika
. Kama vile katika kesi ya kazi ya kutofautisha moja, shida huibuka ya uingizwaji wa takriban wa nyongeza.
kwa kazi ya mstari wa
Na
. Jukumu la ukadiriaji wa mstari unafanywa na tofauti kamili vipengele:

Tofauti kamili ya mpangilio wa pili:

=
.

KATIKA mtazamo wa jumla tofauti kamili P-th agizo lina fomu:

Derivative ya mwelekeo. Gradient.

Hebu kazi z= f(x, y) inafafanuliwa katika kitongoji fulani cha uhakika M( x, y) Na - mwelekeo fulani uliowekwa na vector ya kitengo
. Kuratibu za vekta ya kitengo huonyeshwa kupitia cosines za pembe zinazoundwa na vekta na shoka za kuratibu na zinazoitwa cosine za mwelekeo:

Wakati wa kusonga hatua M ( x, y) V katika mwelekeo huu l hasa
kazi z atapata nyongeza

inayoitwa ongezeko la kazi katika mwelekeo fulani l.

E ikiwa MM 1 =∆ l, Hiyo

lini

KUHUSU

na kadhalika. Derivative kazi z= f(x, y) kuelekea

inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la kazi katika mwelekeo huu kwa ukubwa wa uhamisho ∆ l kama ya mwisho inaelekea sifuri:

Derivative ya mwelekeo inaashiria kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa katika mwelekeo fulani. Ni dhahiri kwamba derivatives sehemu Na kuwakilisha derivatives katika maelekezo sambamba na shoka Ng'ombe Na Oy. Ni rahisi kuonyesha hivyo

Mfano. Kokotoa derivative ya chaguo za kukokotoa
kwa uhakika (1;1) katika mwelekeo
.

ODA. Gradient kazi z= f(x, y) ni vekta iliyo na kuratibu sawa na derivatives ya sehemu:

Fikiria bidhaa za scalar za vekta
Na
:

Ni rahisi kuona hivyo
, i.e. derivative ya mwelekeo ni sawa na bidhaa ya scalar ya gradient na vector ya mwelekeo wa kitengo .

Kwa sababu ya
, basi bidhaa ya scalar ni ya juu wakati vectors wana maelekezo sawa. Kwa hivyo, gradient ya kazi katika hatua inabainisha mwelekeo wa ongezeko la haraka zaidi la kazi katika hatua hii, na moduli ya gradient ni sawa na kiwango cha juu cha ukuaji wa kazi.

Kujua upinde rangi wa chaguo za kukokotoa, mtu anaweza kuunda mistari ya kiwango cha utendakazi ndani ya nchi.

Nadharia. Acha kazi inayoweza kutofautishwa itolewe z= f(x, y) na kwa uhakika
gradient ya chaguo za kukokotoa sio sifuri:
. Kisha gradient ni perpendicular kwa mstari wa ngazi kupita kwa hatua iliyotolewa.

Kwa hivyo, ikiwa, kuanzia hatua fulani, tunaunda gradient ya kazi na sehemu ndogo ya mstari wa ngazi perpendicular yake katika pointi za karibu, basi tunaweza (kwa makosa fulani) kujenga mistari ya ngazi.

Upeo wa ndani wa kazi ya vigeu viwili

Hebu kazi
imefafanuliwa na kuendelea katika eneo fulani la uhakika
.

ODA. Nukta
inaitwa upeo wa juu wa eneo la chaguo za kukokotoa
, ikiwa kuna jirani kama hiyo ya uhakika , ambayo kwa hatua yoyote
ukosefu wa usawa unashikilia:

Wazo la kiwango cha chini cha ndani huletwa vile vile.

Theorem (hali ya lazima kwa waliokithiri wa ndani).

Ili kwa kazi inayoweza kutofautishwa
alikuwa na msimamo mkali wa eneo hilo
, ni muhimu kwamba viasili vyake vyote vya mpangilio wa kwanza katika hatua hii viwe sawa na sifuri:

Kwa hivyo, alama za uwezekano wa uwepo wa extremum ni zile alama ambazo kazi inaweza kutofautishwa na gradient yake ni sawa na 0:
. Kama ilivyo kwa kazi ya kutofautisha moja, vidokezo kama hivyo huitwa stationary.

Wakati wa kusoma mifumo mingi katika sayansi asilia na uchumi, mtu hukutana na kazi za anuwai mbili (au zaidi) zinazojitegemea.

Ufafanuzi (kwa kazi ya vigezo viwili).Hebu X , Y Na Z - wingi. Ikiwa kila wanandoa (x, y) vipengele kutoka kwa seti kwa mtiririko huo X Na Y kwa mujibu wa sheria fulani f inalingana na kipengele kimoja tu z kutoka kwa wengi Z , halafu wanasema hivyo kazi ya vigezo viwili imetolewa z = f(x, y) .

Kwa ujumla kikoa cha kazi ya vigeu viwili kijiometri inaweza kuwakilishwa na seti fulani ya alama ( x; y) ndege xOy .

Ufafanuzi wa kimsingi unaohusiana na kazi za anuwai kadhaa ni jumla ya zinazolingana ufafanuzi kwa kazi ya kigezo kimoja .

Kundi la D kuitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa z, na seti E – maana zake nyingi. Vigezo x Na y kuhusiana na utendaji kazi z zinaitwa hoja zake. Inaweza kubadilika z inayoitwa variable tegemezi.

Maadili ya kibinafsi ya hoja

inalingana na thamani ya faragha ya chaguo za kukokotoa

Kikoa cha kazi ya vigeu kadhaa

Kama kazi ya anuwai kadhaa (kwa mfano, anuwai mbili) iliyotolewa na formula z = f(x, y) , Hiyo eneo la ufafanuzi wake ni seti ya pointi zote kama hizo za ndege x0y, ambayo usemi f(x, y) ina maana na inakubali maadili halisi. Kanuni za jumla za kikoa cha kazi ya vigezo kadhaa zinatokana na kanuni za jumla za kikoa cha ufafanuzi wa kitendakazi cha kigezo kimoja. Tofauti ni kwamba kwa kazi ya mbili eneo la vigezo ufafanuzi ni seti fulani ya pointi kwenye ndege, na sio mstari wa moja kwa moja, kama kwa kazi ya kutofautiana moja. Kwa kazi ya vigezo vitatu, kikoa cha ufafanuzi ni seti sambamba ya pointi katika nafasi ya tatu-dimensional, na kwa kazi. n vigezo - seti sambamba ya pointi ya abstract n- nafasi ya dimensional.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa cha vigeu viwili vilivyo na mzizi n shahada ya th

Katika kesi ambapo kazi ya vigezo viwili inatolewa na formula na n - nambari ya asili :

Kama n ni nambari sawa, basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya alama za ndege zinazolingana na maadili yote ya usemi mkali ambao ni kubwa kuliko au sawa na sifuri, ambayo ni.

Kama n ni nambari isiyo ya kawaida, basi kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa ni seti ya maadili yoyote, yaani, ndege nzima. x0y .

Kikoa cha chaguo za kukokotoa cha vigeu viwili vilivyo na kipeo kamili

Kama a- chanya, basi uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni ndege nzima x0y ;

Kama a- hasi, basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya maadili tofauti na sifuri: .

Kikoa cha chaguo za kukokotoa cha vigeu viwili vilivyo na kipeo cha sehemu

Katika kesi wakati kazi inatolewa na formula :

ikiwa ni chanya, basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya alama hizo kwenye ndege ambayo inachukua maadili kubwa kuliko au sawa na sifuri: ;

ikiwa - ni hasi, basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya alama hizo kwenye ndege ambayo inachukua maadili kubwa kuliko sifuri: .

Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya logarithmic ya vigeu viwili

Logarithmic kazi ya vigezo viwili inafafanuliwa mradi hoja yake ni chanya, ambayo ni, kikoa cha ufafanuzi wake ni seti ya alama hizo kwenye ndege ambayo inachukua maadili kubwa kuliko sifuri: .

Kikoa cha ufafanuzi wa kazi za trigonometric za vigezo viwili

Kikoa cha Kazi - ndege nzima x0y .

Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa ni ndege nzima x0y

Kikoa cha Kazi - ndege nzima x0y, isipokuwa kwa jozi za nambari ambazo huchukua maadili.

Kikoa cha ufafanuzi wa utendakazi kinyume cha trigonometriki za vigeu viwili

Kikoa cha Kazi .

Kikoa cha Kazi - seti ya pointi kwenye ndege ambayo .

Kikoa cha Kazi - ndege nzima x0y .

Kikoa cha ufafanuzi wa sehemu kama kazi ya vigeu viwili

Ikiwa fomula ya kukokotoa imetolewa, basi kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni pointi zote za ndege ambayo .

Kikoa cha kazi ya mstari ya vigeu viwili

Ikiwa kazi imetolewa na fomula ya fomu z = shoka + kwa + c , basi kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni ndege nzima x0y .

Mfano 1.

Suluhisho. Kulingana na sheria za kikoa cha ufafanuzi, tunaunda usawa mara mbili

Tunazidisha ukosefu wote wa usawa na kupata

Usemi unaotokana hubainisha kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa la viambajengo viwili.

Mfano 2. Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa za vigeu viwili.

Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu vitatu

Wacha tuendelee mada inayopendwa na kila mtu uchambuzi wa hisabati- derivatives. Katika makala hii tutajifunza jinsi ya kupata derivatives sehemu ya kazi ya vigezo vitatu: derivatives ya kwanza na derivatives ya pili. Unahitaji kujua nini na uweze kufanya ili kujua nyenzo? Amini usiamini, kwanza, unahitaji kuwa na uwezo wa kupata derivatives "ya kawaida" ya kazi ya kutofautisha moja - kwa kiwango cha juu au angalau wastani. Ikiwa ni ngumu sana nao, basi anza na somo Jinsi ya kupata derivative? Pili, ni muhimu sana kusoma kifungu na kuelewa na kutatua, ikiwa sio yote, basi mifano mingi. Ikiwa hii tayari imefanywa, basi tembea nami kwa gait ya ujasiri, itakuwa ya kuvutia, hata utafurahia!

Mbinu na kanuni za kutafuta derivatives sehemu ya kazi ya vigezo vitatu kwa kweli zinafanana sana na sehemu za sehemu za kazi za vigeu viwili. Chaguo la kukokotoa la viambishi viwili, acha nikukumbushe, lina fomu , ambapo "x" na "y" ni vigeu vinavyojitegemea. Kijiometri, kazi ya vigezo viwili kawaida ni baadhi uso katika nafasi yetu ya pande tatu.

Kazi ya vigezo vitatu ina fomu , na vigezo vinaitwa vigezo vya kujitegemea au hoja, variable inaitwa tofauti tegemezi au kazi. Kwa mfano: - kazi ya vigeu vitatu

Na sasa kidogo kuhusu filamu za uongo za sayansi na wageni. Mara nyingi unaweza kusikia kuhusu nne-dimensional, tano-dimensional, kumi-dimensional, nk. nafasi. Ujinga au la?
Baada ya yote, kazi ya vigezo vitatu ina maana nafasi ya nne-dimensional
(na kwa kweli, kuna anuwai tatu + kazi yenyewe). Grafu ya kazi ya vigezo vitatu ni kinachojulikana hypersurface. Haiwezekani kufikiria, kwa kuwa tunaishi katika nafasi ya tatu-dimensional (urefu / upana / urefu). Ili usichoke na mimi, ninakupa chemsha bongo. Nitauliza maswali machache, na yeyote anayevutiwa anaweza kujaribu kujibu:

- Je, kuna ya nne, ya tano, nk duniani? vipimo kwa maana ya uelewa wa wafilisti wa nafasi (urefu/upana/urefu)?

- Je, inawezekana kujenga sura ya nne-dimensional, tano-dimensional, nk. nafasi ndani kueleweka kwa mapana neno hili? Hiyo ni, kutoa mfano wa nafasi hiyo katika maisha yetu.

- Je, inawezekana kusafiri katika siku za nyuma?

- Je, inawezekana kusafiri kwa siku zijazo?

- Je, kuna wageni?

Kwa swali lolote unaweza kuchagua moja ya majibu manne:
Ndio / Hapana (sayansi inakataza hii) / Sayansi haikatazi hii / sijui

Yeyote anayejibu maswali yote kwa usahihi kuna uwezekano mkubwa wa kuwa na kipengee fulani ;-)

Hatua kwa hatua nitatoa majibu ya maswali wakati somo linaendelea, usikose mifano!

Kwa kweli, waliruka. Na mara moja habari njema: kwa kazi ya vigezo vitatu, sheria za utofautishaji na jedwali la derivatives ni halali. Ndio maana unahitaji kuwa mzuri katika kushughulika na "kawaida" derivatives ya kazi tofauti moja. Kuna tofauti chache sana!

Mfano 1

Suluhisho: Si vigumu kukisia - kwa chaguo la kukokotoa kuna vigezo vitatu tatu Agizo la kwanza derivatives ya sehemu, ambayo imeonyeshwa kama ifuatavyo:

Au - sehemu ya derivative kwa heshima na "x";
au - sehemu ya derivative kwa heshima na "y";
au - sehemu ya derivative kwa heshima na "zet".

Alama iliyo na alama kuu ni ya kawaida zaidi, lakini wakusanyaji wa makusanyo na miongozo ya mafunzo wanapenda sana kutumia alama ngumu kwa shida - kwa hivyo usipotee! Labda sio kila mtu anajua jinsi ya kusoma kwa usahihi "sehemu hizi za kutisha" kwa sauti kubwa. Mfano: inapaswa kusomwa kama ifuatavyo: "de u po de x."

Wacha tuanze na derivative kwa heshima na "x": . Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na, kisha vigezo nahuchukuliwa kuwa za kudumu (nambari za kudumu). Na derivative ya yoyote thabiti, oh, neema, ni sawa na sufuri:

Mara moja zingatia usajili - hakuna mtu anayekukataza kuweka alama kuwa ni viunga. Ni rahisi zaidi; Ninapendekeza kwamba wanaoanza kutumia rekodi kama hiyo, kuna hatari ndogo ya kuchanganyikiwa.

(1) Tunatumia sifa za mstari wa kiingilio, haswa, tunasogeza viunga vyote zaidi ya ishara ya derivative. Tafadhali kumbuka kuwa katika muda wa pili hakuna haja ya kuondoa mara kwa mara: kwa kuwa "Y" ni mara kwa mara, basi pia ni mara kwa mara. Kwa neno, "kawaida" mara kwa mara 8 na "zet" ya mara kwa mara huchukuliwa nje ya ishara ya derivative.

(2) Tunapata derivatives rahisi zaidi, bila kusahau kwamba ni thabiti. Ifuatayo, tunachanganya jibu.

Sehemu ya derivative. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "y", basi vigezo nazinachukuliwa kuwa za kudumu:

(1) Tunatumia sifa za mstari. Na tena, kumbuka kuwa maneno , ni mara kwa mara, ambayo ina maana kwamba hakuna kitu kinachohitajika kuchukuliwa nje ya ishara derivative.

(2) Tafuta derivatives, bila kusahau kwamba wao ni mara kwa mara. Ifuatayo tunarahisisha jibu.

Na hatimaye, derivative ya sehemu. Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "zet", basi vigezo nazinachukuliwa kuwa za kudumu:

Kanuni ya jumla dhahiri na isiyo na adabu: Tunapopata derivative ya sehemu kwa sababu yoyote ile tofauti huru, basi wengine wawili vigezo vya kujitegemea vinazingatiwa mara kwa mara.

Wakati wa kukamilisha kazi hizi, unapaswa kuwa mwangalifu sana, haswa, Huwezi kupoteza usajili(ambayo inaonyesha ni kigeu gani kinatumika kutofautisha). Kupoteza faharasa itakuwa KOSA KUBWA. Hmmm…. Inafurahisha ikiwa baada ya vitisho kama hivyo nitawakosa mahali fulani)

Mfano 2

Tafuta viambishi vya sehemu vya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa za vigeu vitatu

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Mifano mbili zinazozingatiwa ni rahisi sana na, baada ya kutatua matatizo kadhaa sawa, hata teapot itazoea kushughulika nao kwa mdomo.

Ili kupunguza mkazo, hebu turudi kwenye swali la kwanza la jaribio: Je, kuna ya nne, ya tano, nk duniani? vipimo kwa maana ya uelewa wa wafilisti wa nafasi (urefu/upana/urefu)?

Jibu sahihi: Sayansi haikatazi hili. Axiomatics zote za msingi za hisabati, nadharia, vifaa vya hisabati ni nzuri na thabiti kazi katika nafasi ya mwelekeo wowote. Inawezekana kwamba mahali fulani katika Ulimwengu kuna hypersurfaces zaidi ya udhibiti wa akili zetu, kwa mfano, hypersurface nne-dimensional, ambayo inaelezwa na kazi ya vigezo tatu. Au labda hypersurfaces ziko karibu na sisi au hata sisi ni sawa ndani yao, ni kwamba maono yetu, hisia nyingine, na fahamu zina uwezo wa kuona na kuelewa vipimo vitatu tu.

Turudi kwenye mifano. Ndio, ikiwa kuna mtu yeyote amejaa sana jaribio, ni bora kusoma majibu ya maswali yafuatayo baada ya kujifunza jinsi ya kupata sehemu ya derivatives ya kazi ya vigeu vitatu, vinginevyo nitapumua akili yako wakati wa kifungu. =)

Mbali na Mifano rahisi 1 na 2, katika mazoezi kuna kazi ambazo zinaweza kuitwa puzzle ndogo. Mifano kama hii, kwa huzuni yangu, haikuonekana nilipounda somo Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu viwili. Hebu tuzingatie:

Mfano 3

Suluhisho: Inaonekana kama "kila kitu ni rahisi" hapa, lakini maoni ya kwanza ni ya udanganyifu. Wakati wa kupata derivatives ya sehemu, wengi watakisia kwenye majani ya chai na kufanya makosa.

Wacha tuangalie mfano mara kwa mara, kwa uwazi na kwa kueleweka.

Wacha tuanze na derivative ya sehemu kwa heshima na "x". Tunapopata derivative ya sehemu kwa heshima na "x", vigezo vinazingatiwa mara kwa mara. Kwa hiyo, kielelezo cha kazi yetu pia ni mara kwa mara. Kwa dummies, ninapendekeza suluhisho lifuatalo: katika rasimu, ubadilishe mara kwa mara kwa integer maalum chanya, kwa mfano, "tano". Matokeo yake ni kazi ya tofauti moja:
au unaweza pia kuandika kama hii:

Hii nguvu kazi na msingi changamano (sine). Na:

Sasa tunakumbuka kwamba:

Katika hatua ya mwisho, kwa kweli, suluhisho linapaswa kuandikwa kama hii:

Tunapata derivative ya sehemu kwa heshima na "y", inachukuliwa kuwa ya kudumu. Ikiwa "x" ni mara kwa mara, basi pia ni mara kwa mara. Kwenye rasimu tunafanya hila sawa: badilisha, kwa mfano, na 3, "Z" - badilisha na "tano" sawa. Matokeo yake ni kazi ya kutofautisha tena:

Hii dalili fanya kazi na kipeo changamano. Na kanuni ya kutofautisha kazi ngumu:

Sasa hebu tukumbuke uingizwaji wetu:

Hivyo:

Kwenye ukurasa wa mwisho, kwa kweli, muundo unapaswa kuonekana mzuri:

Na kesi ya kioo yenye derivative ya sehemu kwa heshima na "zet" ( - constants):

Kwa uzoefu fulani, uchambuzi unaweza kufanywa kiakili.

Wacha tukamilishe sehemu ya pili ya kazi - tunga tofauti ya mpangilio wa kwanza. Ni rahisi sana, kwa mlinganisho na kazi ya vigezo viwili, tofauti ya mpangilio wa kwanza imeandikwa kwa kutumia formula:

KATIKA kwa kesi hii:

Na hiyo ni biashara. Naona kwamba katika matatizo ya vitendo Tofauti kamili ya mpangilio wa 1 kwa kazi ya vigeu vitatu inahitaji mkusanyiko mdogo wa mara kwa mara kuliko utendaji wa vigeu viwili.

Mfano wa kuchekesha wa kuisuluhisha mwenyewe:

Mfano 4

Tafuta viingilio vya sehemu ya mpangilio wa kwanza wa kazi ya vigeu vitatu na uunde tofauti kamili ya mpangilio wa kwanza.

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo. Ikiwa unakabiliwa na shida yoyote, tumia algorithm iliyojadiliwa ya "Chaynikovsky", imehakikishwa kusaidia. Na zaidi ushauri wa kusaidia – usiwe na haraka. Hata mimi siwezi kutatua mifano kama hii haraka.

Hebu tupunguze na tuangalie swali la pili: Je, inawezekana kujenga nne-dimensional, tano-dimensional, nk. nafasi katika maana pana ya neno? Hiyo ni, kutoa mfano wa nafasi hiyo katika maisha yetu.

Jibu sahihi: Ndiyo. Aidha, ni rahisi sana. Kwa mfano, tunaongeza mwelekeo wa nne kwa urefu / upana / urefu - wakati. Wakati wa nafasi ya nne-dimensional maarufu na nadharia inayojulikana ya uhusiano, iliyoandaliwa kwa uangalifu na Einstein kulingana na kazi za Lobachevsky, Poincaré, Lorentz na Minkowski. Sio kila mtu anajua pia. Kwa nini alipata Tuzo ya Nobel? Kulikuwa na kashfa kubwa katika ulimwengu wa kisayansi, na Kamati ya Nobel iliunda sifa ya mwanafunzi wa C Einstein takriban kama ifuatavyo: "Kwa mchango wake wa jumla katika maendeleo ya fizikia." Zaidi, kama wanasema, kukuza na PR.

Ni rahisi kuongeza mwelekeo wa tano kwa nafasi inayozingatiwa ya pande nne, kwa mfano: Shinikizo la anga. Na kadhalika, kadhalika, kadhalika, vipimo vingi unavyotaja kwenye mfano wako - ndivyo kutakuwa na wangapi. KATIKA kwa maana pana maneno, tunaishi katika nafasi ya multidimensional.

Hebu tuangalie michache zaidi kazi za kawaida:

Mfano 5

Suluhisho: Kazi katika uundaji huu mara nyingi hupatikana katika mazoezi na inahusisha kutekeleza vitendo viwili vifuatavyo:
- unahitaji kupata derivatives ya sehemu ya agizo la kwanza;
- unahitaji kuhesabu maadili ya derivatives ya sehemu ya 1 kwa uhakika.

Tunaamua:

(1) Mbele yetu kuna kazi changamano, na katika hatua ya kwanza tunapaswa kuchukua derivative ya arctangent. Katika kesi hii, sisi, kwa kweli, tunatumia kwa utulivu fomula ya jedwali kwa derivative ya arctangent. . Na kanuni ya kutofautisha kazi ngumu matokeo lazima yazidishwe na derivative ya kazi ya ndani (kupachika):.

(2) Tunatumia sifa za mstari.

(3) Na tunachukua derivatives iliyobaki, bila kusahau kuwa ni thabiti.

Kwa mujibu wa masharti ya kazi, ni muhimu kupata thamani ya derivative ya sehemu iliyopatikana kwa uhakika. Wacha tubadilishe kuratibu za nukta kwenye derivative iliyopatikana:

Faida wa jukumu hili ni ukweli kwamba derivatives nyingine za sehemu hufuata muundo unaofanana sana:

Kama unaweza kuona, template ya suluhisho ni karibu sawa.

Hebu tuhesabu thamani ya derivative ya sehemu iliyopatikana kwa uhakika:

Na hatimaye, derivative kwa heshima na "zet":

Tayari. Suluhisho lingeweza kutengenezwa kwa njia nyingine: kwanza tafuta derivatives zote tatu za sehemu, na kisha uhesabu maadili yao kwa uhakika. Lakini, inaonekana kwangu, njia iliyo hapo juu ni rahisi zaidi - pata tu derivative ya sehemu, na mara moja, bila kuacha rejista ya fedha, uhesabu thamani yake kwa uhakika.

Inafurahisha kutambua kwamba kijiometri, hatua ni hatua halisi katika nafasi yetu ya tatu-dimensional. Thamani za chaguo za kukokotoa, derivatives - tayari ni mwelekeo wa nne, na hakuna mtu anayejua ni wapi kijiometri iko. Kama wanasema, hakuna mtu aliyetambaa kuzunguka Ulimwengu na kipimo cha mkanda au kukaguliwa.

Kwa kuwa mada ya kifalsafa inaongezeka tena, hebu tufikirie swali la tatu: Je, inawezekana kusafiri katika siku za nyuma?

Jibu sahihi: Hapana. Kusafiri katika siku za nyuma kunapingana na sheria ya pili ya thermodynamics juu ya kutoweza kurekebishwa kwa michakato ya kimwili (entropy). Kwa hivyo tafadhali usiingie kwenye bwawa bila maji, tukio hilo linaweza kurudiwa tu kwenye video =) Sio bure kwamba hekima ya watu ilikuja na sheria ya kila siku kinyume: "Pima mara mbili, kata mara moja." Ingawa, kwa kweli, jambo la kusikitisha ni kwamba wakati ni unidirectional na hauwezi kutenduliwa, hakuna hata mmoja wetu atakuwa mdogo kesho. Na filamu mbalimbali za uongo za kisayansi kama vile "The Terminator" ni upuuzi mtupu kutoka kwa mtazamo wa kisayansi. Pia ni upuuzi kutoka kwa mtazamo wa kifalsafa wakati Athari, kurudi kwa siku za nyuma, inaweza kuharibu Sababu yake mwenyewe.

Mfano 6

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza kwa uhakika

Mfano 7

Tafuta sehemu ya sehemu ya agizo la kwanza kwa uhakika

Hii ni mifano miwili rahisi kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Lakini usifadhaike kuhusu sheria ya pili ya thermodynamics, sasa nitawahimiza kila mtu zaidi mifano tata:

Mfano 8

Tafuta viambishi vya sehemu vya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa za vigeu vitatu

Suluhisho: Wacha tupate agizo la kwanza derivatives za sehemu:

(1) Unapoanza kupata derivative, unapaswa kufuata mbinu sawa na kazi ya kigezo kimoja. Tunatumia mali ya mstari, katika kesi hii tunaiondoa nje ya ishara ya derivative mara kwa mara.

(2) Chini ya alama ya derivative tunayo kazi kazi mbili, ambayo kila moja inategemea kutoka kwa kigezo chetu cha "live" "x". Kwa hiyo, ni muhimu kutumia kanuni ya kutofautisha bidhaa .

(3) Hakuna ugumu wowote na derivative, lakini derivative ni derivative ya kazi changamano: kwanza unahitaji kupata, kimsingi, logarithm ya jedwali na kuizidisha kwa derivative ya upachikaji.

(4) Nadhani kila mtu tayari amezoea mifano rahisi kama - hapa tunayo tu "live" , derivative yake ambayo ni sawa na

Kesi na derivative kwa heshima ya "y" ni karibu picha ya kioo; nitaiandika kwa ufupi na bila maoni:

Inafurahisha zaidi na derivative ya "zet", ingawa bado ni sawa:

(1) Tunaondoa viashirio nje ya ishara ya kiingilio.

(2) Hapa tena kuna matokeo ya kazi mbili, ambayo kila moja inategemea kutoka kwa mabadiliko ya "live" "zet". Kimsingi, unaweza kutumia fomula ya derivative ya mgawo, lakini ni rahisi kwenda kwa njia nyingine - pata derivative ya bidhaa.

(3) Kiasilishi ni kitogo cha jedwali. Neno la pili lina derivative tayari inayojulikana ya chaguo za kukokotoa changamano.

Mfano 9

Tafuta viambishi vya sehemu vya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa za vigeu vitatu

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Fikiria jinsi ya kupata hii au sehemu ya derivative zaidi kwa busara. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Kabla ya kuendelea na mifano ya mwisho ya somo na kuangalia agizo la pili sehemu derivatives kazi za anuwai tatu, nitachangamsha kila mtu tena kwa swali la nne:

Je, inawezekana kusafiri hadi siku zijazo?

Jibu sahihi: Sayansi haikatazi hili. Kwa kushangaza, hakuna sheria ya hisabati, kimwili, kemikali au sayansi ya asili ambayo inaweza kuzuia kusafiri kwa siku zijazo! Inaonekana kama ujinga? Lakini karibu kila mtu katika maisha amekuwa na utangulizi (na hauungwa mkono na hoja yoyote ya kimantiki) kwamba hii au tukio hilo litatokea. Na ikawa! Taarifa zimetoka wapi? Kutoka siku zijazo? Kwa hivyo, filamu za uwongo za kisayansi kuhusu kusafiri katika siku zijazo, na, kwa njia, utabiri wa kila aina ya watabiri na wanasaikolojia hauwezi kuitwa upuuzi kama huo. Angalau sayansi haijakanusha hii. Kila kitu kinawezekana! Kwa hiyo, nilipokuwa shuleni, CD na wachunguzi wa gorofa kutoka kwa filamu zilionekana kama fantasia ya ajabu kwangu.

Vichekesho maarufu "Ivan Vasilyevich Anabadilisha Taaluma Yake" ni hadithi za uwongo (zaidi). Hakuna sheria ya kisayansi iliyokataza Ivan wa Kutisha kuwa katika siku zijazo, lakini haiwezekani kwa pilipili mbili kuishia zamani na kutekeleza majukumu ya mfalme.

Agizo la pili derivatives sehemu ya kazi ya vigezo vitatu

Kanuni ya jumla ya kupata derivatives ya sehemu ya mpangilio wa pili wa kazi ya vigezo vitatu ni sawa na kanuni ya kutafuta derivatives ya sehemu ya utaratibu wa pili wa kazi ya vigezo viwili. Kwa hivyo, ikiwa umepitia somo vizuri Baadhi ya derivatives ya kazi ya vigeu viwili, basi kila kitu kitakuwa rahisi sana.

Ili kupata viasili vya sehemu za mpangilio wa pili, kwanza unahitaji kupata viasili vya sehemu vya mpangilio wa kwanza au katika nukuu nyingine: .

Kuna sehemu tisa za mpangilio wa pili.

Kundi la kwanza ni derivatives ya pili kwa heshima na vigezo sawa:
au - derivative ya pili kwa heshima na "x";
au - derivative ya pili kwa heshima na "y";
au - derivative ya pili kwa heshima na "zet".

Kundi la pili ni mchanganyiko Agizo la 2 derivatives ya sehemu, kuna sita kati yao:
au - mchanganyiko derivative ya "x kwa y";
au - mchanganyiko derivative "yy kwa x";
au - mchanganyiko derivative "x kwa z";
au - mchanganyiko derivative ya "Z kwa X";
au - mchanganyiko derivative ya "Igrek by Z";
au - mchanganyiko derivative ya "zet by igrek".

) tayari tumekumbana mara kwa mara baadhi ya vipengele vya utendaji changamano kama na mifano migumu zaidi. Kwa hivyo ni nini kingine unaweza kuzungumza juu?! ...Na kila kitu ni kama katika maisha - hakuna utata ambao hauwezi kuwa ngumu =) Lakini hisabati ni nini hisabati ni kwa ajili ya, ili kupatanisha utofauti wa ulimwengu wetu katika mfumo madhubuti. Na wakati mwingine hii inaweza kufanywa kwa sentensi moja:

Kwa ujumla, kazi ngumu ina fomu , wapi, hata moja ya barua inawakilisha kazi, ambayo inaweza kutegemea kiholela idadi ya vigezo.

Chaguo la chini na rahisi zaidi ni kazi ngumu inayojulikana kwa muda mrefu ya tofauti moja, ambayo derivative tulijifunza jinsi ya kupata muhula uliopita. Pia una ujuzi wa kutofautisha kazi (angalia kazi sawa ) .

Kwa hivyo, sasa tutapendezwa na kesi hiyo tu. Kwa sababu ya anuwai kubwa ya kazi ngumu, fomula za jumla za derivatives zao ni ngumu sana na ni ngumu kuyeyusha. Katika suala hili, nitajiwekea kikomo mifano halisi, ambayo unaweza kuelewa kanuni ya jumla kutafuta derivatives hizi:

Mfano 1

Kwa kuzingatia kazi ngumu ambapo . Inahitajika:
1) pata derivative yake na uandike tofauti ya jumla ya agizo la 1;
2) kukokotoa thamani ya derivative kwa .

Suluhisho: Kwanza, hebu tuangalie chaguo la kukokotoa lenyewe. Tunapewa kazi kulingana na na, ambayo kwa upande wake ni kazi tofauti moja:

Pili, wacha tuangalie kwa karibu kazi yenyewe - tunahitajika kupata derivative, yaani, hatuzungumzii juu ya derivatives ya sehemu, ambayo tumezoea kupata! Tangu utendaji kwa kweli inategemea tofauti moja tu, basi neno "derivative" linamaanisha jumla derivative. Jinsi ya kumpata?

Jambo la kwanza linalokuja akilini ni uingizwaji wa moja kwa moja na utofautishaji zaidi. Hebu tubadilishe kufanya kazi:
, baada ya hapo hakuna shida na derivative inayotaka:

Na, ipasavyo, tofauti kamili:

Suluhisho hili ni sahihi kihisabati, lakini nuance ndogo ni kwamba wakati tatizo linapoundwa kwa njia ambayo imeundwa, hakuna mtu anayetarajia unyama kama huo kutoka kwako =) Lakini kwa uzito, unaweza kupata kosa hapa. Hebu fikiria kwamba kipengele cha kukokotoa kinaelezea kuruka kwa bumblebee, na kazi zilizowekwa kiota hubadilika kulingana na halijoto. Kufanya badala ya moja kwa moja , tunapata tu habari binafsi , ambayo ni sifa ya kukimbia, sema, tu katika hali ya hewa ya joto. Zaidi ya hayo, ikiwa mtu ambaye hajui kuhusu bumblebees hutolewa na matokeo ya kumaliza na hata kuambiwa ni nini kazi hii, basi hatajifunza chochote kuhusu sheria ya msingi ya kukimbia!

Kwa hivyo, bila kutarajia kabisa, kaka yetu anayezungumza alitusaidia kuelewa maana na umuhimu wa fomula ya ulimwengu wote:

Zoee nukuu ya "hadithi mbili" kwa viingilio - katika kazi inayozingatiwa, ndizo zinazotumika. Katika kesi hii, mtu anapaswa kuwa nadhifu sana katika kiingilio: derivatives na alama za moja kwa moja "de" ni derivatives kamili, na derivatives na icons mviringo ni derivatives sehemu. Wacha tuanze na za mwisho:

Kweli, na "mikia" kila kitu kwa ujumla ni cha msingi:

Wacha tubadilishe derivatives zilizopatikana kwenye fomula yetu:

Chaguo za kukokotoa zinapopendekezwa awali kwa njia tata, itakuwa na mantiki (na hii imeelezewa hapo juu!) acha matokeo kama yalivyo:

Wakati huo huo, katika majibu "ya kisasa" ni bora kukataa kurahisisha hata kidogo (hapa, kwa mfano, inaomba kuondolewa kwa dakika 3)- na una kazi kidogo, na rafiki yako mwenye manyoya anafurahi kukagua kazi hiyo rahisi.

Hata hivyo, hundi mbaya haitakuwa superfluous. Hebu tubadilishe kwenye derivative iliyopatikana na ufanyie kurahisisha:

(katika hatua ya mwisho tulitumia fomula za trigonometric , )

Matokeo yake, matokeo sawa yalipatikana kama kwa njia ya ufumbuzi wa "barbaric".

Wacha tuhesabu derivative kwa uhakika. Kwanza ni rahisi kujua maadili ya "usafiri". (maadili ya kazi ) :

Sasa tunatoa mahesabu ya mwisho, ambayo katika kesi hii yanaweza kufanywa kwa njia tofauti. Ninatumia mbinu ya kupendeza ambayo "sakafu" ya 3 na 4 hurahisishwa sio kulingana na sheria za kawaida, lakini hubadilishwa kama sehemu ya nambari mbili:

Na, kwa kweli, ni dhambi kutoangalia kwa kutumia nukuu ngumu zaidi :

Jibu:

Inatokea kwamba shida inapendekezwa kwa fomu ya "nusu-jumla":

"Tafuta derivative ya chaguo la kukokotoa ambapo »

Hiyo ni, kazi "kuu" haijatolewa, lakini "kuingiza" kwake ni maalum kabisa. Jibu linapaswa kutolewa kwa mtindo sawa:

Kwa kuongeza, hali inaweza kusimbwa kidogo:

"Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa »

Katika kesi hii unahitaji peke yake teua vitendaji vilivyowekwa kwa herufi zinazofaa, kwa mfano, kupitia na utumie fomula sawa:

Kwa njia, oh majina ya barua. Nimesisitiza mara kwa mara "kutoshikamana na barua" kana kwamba ni kihifadhi maisha, na sasa hii inafaa sana! Kuchambua vyanzo mbalimbali juu ya mada hiyo, kwa ujumla nilipata maoni kwamba waandishi "walienda wazimu" na wakaanza kuwatupa wanafunzi bila huruma kwenye dimbwi la dhoruba la hisabati =) Kwa hivyo nisamehe :))

Mfano 2

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa , Kama

Majina mengine hayapaswi kuchanganya! Kila wakati unapokutana na kazi kama hii, unahitaji kujibu maswali mawili rahisi:

1) Je, kazi ya "kuu" inategemea nini? Katika kesi hii, kazi "zet" inategemea kazi mbili ("y" na "ve").

2) Je, kazi zilizowekwa kiota hutegemea vigeu gani? Katika kesi hii, "ingizo" zote mbili hutegemea tu "X".

Kwa hivyo hupaswi kuwa na ugumu wowote wa kurekebisha fomula kwa kazi hii!

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Mifano ya ziada ya aina ya kwanza inaweza kupatikana katika Kitabu cha shida cha Ryabushko (IDZ 10.1), sawa, tunaelekea kazi ya vigezo vitatu:

Mfano 3

Kwa kuzingatia utendaji ambapo .
Kukokotoa derivative kwa uhakika

Fomula ya derivative ya kazi ngumu, kama wengi wanavyodhani, ina fomu inayohusiana:

Amua mara tu unapoikisia =)

Ikiwezekana, nitakupa formula ya jumla kwa kazi:
, ingawa katika mazoezi hakuna uwezekano wa kuona chochote zaidi ya Mfano wa 3.

Kwa kuongeza, wakati mwingine ni muhimu kutofautisha toleo la "truncated" - kama sheria, kazi ya fomu au. Ninakuachia swali hili ulisome peke yako - njoo na mifano rahisi, fikiria, jaribu na upate fomula zilizofupishwa za derivatives.

Ikiwa chochote bado hakijaeleweka, tafadhali soma tena polepole na uelewe sehemu ya kwanza ya somo, kwa sababu sasa kazi itakuwa ngumu zaidi:

Mfano 4

Pata derivatives ya sehemu ya kazi ngumu, wapi

Suluhisho: kipengele hiki ina fomu , na baada ya uingizwaji wa moja kwa moja na tunapata kazi inayojulikana vigezo viwili:

Lakini hofu hiyo haikubaliki tu, lakini mtu hataki tena kutofautisha =) Kwa hiyo, tutatumia formula zilizopangwa tayari. Ili kukusaidia kufahamu haraka muundo, nitaandika vidokezo kadhaa:

Angalia kwa makini picha kutoka juu hadi chini na kushoto kwenda kulia….

Kwanza, hebu tutafute derivatives ya sehemu ya kazi ya "kuu":

Sasa tunapata derivatives ya "X" ya "mijengo":

na uandike derivative ya mwisho ya "X":

Vile vile na "mchezo":

Na

Unaweza kushikamana na mtindo mwingine - pata "mikia" yote mara moja na kisha andika derivatives zote mbili.

Jibu:

Kuhusu uingizwaji kwa namna fulani sifikiri juu yake kabisa =) =), lakini unaweza kurekebisha matokeo kidogo. Ingawa, tena, kwa nini? - kufanya iwe vigumu zaidi kwa mwalimu kuangalia.

Ikiwa ni lazima, basi tofauti kamili hapa imeandikwa kulingana na formula ya kawaida, na, kwa njia, tu hatua hii Vipodozi nyepesi vinafaa:

Hili ni... ... jeneza kwenye magurudumu.

Kwa sababu ya umaarufu wa aina ya kazi ngumu inayozingatiwa, kuna kazi kadhaa za suluhisho la kujitegemea. Mfano rahisi zaidi katika umbo la "nusu-jumla" ni kuelewa fomula yenyewe;-):

Mfano 5

Pata derivatives ya sehemu ya chaguo la kukokotoa, wapi

Na ngumu zaidi - na kuingizwa kwa mbinu za kutofautisha:

Mfano 6

Pata tofauti kamili ya chaguo za kukokotoa , Wapi

Hapana, sijaribu "kukutuma chini" hata kidogo - mifano yote imechukuliwa kutoka kazi kweli, na "kwenye bahari ya juu" unaweza kukutana na barua yoyote. Kwa hali yoyote, utahitaji kuchambua kazi (kujibu maswali 2 - tazama hapo juu), iwasilishe katika umbo la jumla na urekebishe kwa uangalifu fomula sehemu za derivative. Unaweza kuchanganyikiwa kidogo sasa, lakini utaelewa kanuni ya ujenzi wao! Kwa sababu changamoto za kweli ndio zinaanza :)))

Mfano 7

Tafuta sehemu za sehemu na uunde tofauti kamili ya kazi changamano
, Wapi

Suluhisho: kazi ya "kuu" ina fomu na bado inategemea vigezo viwili - "x" na "y". Lakini ikilinganishwa na Mfano wa 4, chaguo jingine la kukokotoa lililowekwa kiota limeongezwa, na kwa hivyo fomula za sehemu ya derivative pia zimerefushwa. Kama ilivyo katika mfano huo, kwa taswira bora ya muundo, nitaangazia derivatives za sehemu "kuu" katika rangi tofauti:

Na tena, jifunze kwa uangalifu rekodi kutoka juu hadi chini na kutoka kushoto kwenda kulia.

Kwa kuwa tatizo limeundwa katika umbo la "nusu-jumla", kazi yetu yote ina ukomo wa kutafuta baadhi ya vipengele vya utendakazi vilivyopachikwa:

Mwanafunzi wa darasa la kwanza anaweza kushughulikia:

Na hata tofauti kamili iligeuka kuwa nzuri sana:

Kwa makusudi, sikukupa kazi yoyote maalum - ili msongamano usio wa lazima usiingiliane na uelewa mzuri wa mchoro wa mpangilio kazi.

Jibu:

Mara nyingi unaweza kupata uwekezaji wa "ukubwa mchanganyiko", kwa mfano:

Hapa kazi ya "kuu", ingawa ina fomu , bado inategemea "x" na "y". Kwa hivyo, fomula sawa hufanya kazi - baadhi tu ya derivatives ya sehemu itakuwa sawa na sifuri. Aidha, hii pia ni kweli kwa vipengele kama vile , ambayo kila "mjengo" inategemea kutofautiana moja.

Hali kama hiyo hutokea katika mifano miwili ya mwisho ya somo:

Mfano 8

Pata tofauti ya jumla ya chaguo za kukokotoa changamano katika hatua moja

Suluhisho: hali imeundwa kwa njia ya "bajeti", na ni lazima tuweke lebo ya vitendaji vilivyowekwa sisi wenyewe. Nadhani hii ni chaguo nzuri:

"Ingizo" lina ( TAZAMA!) HERUFI TATU ni za zamani nzuri "X-Y-Z", ambayo ina maana kwamba kazi ya "kuu" inategemea vigezo vitatu. Inaweza kuandikwa upya kama , na sehemu ya derivatives katika kesi hii imedhamiriwa na fomula zifuatazo:

Tunachanganua, tunachunguza, tunanasa….

Katika jukumu letu:

KAZI ZA VIGEZO KADHAA

1. DHANA ZA MSINGI

Hebu: z - thamani ya kutofautiana na anuwai ya mabadiliko R; R - mstari wa nambari; D - eneo kwenye ndege ya kuratibu R2.

Uchoraji wowote wa ramani D->R inaitwa kazi ya vigeu viwili vyenye kikoa D na kuandikwa z = f(x;y).

Kwa maneno mengine:

Ikiwa kila jozi (x; y) ya vigezo viwili huru kutoka kwa kikoa D, kulingana na sheria fulani, inahusishwa na thamani moja maalum z kutoka R, basi. thamani ya kutofautiana z inaitwa kazi ya viambishi viwili huru x na y vyenye kikoa D na kuandikwa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Mfano 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Kikoa cha ufafanuzi ni sehemu ya ndege iliyo ndani ya mduara wa radius r = 3, na katikati katika asili, angalia takwimu.

Mfano 3. Tafuta na chora kikoa cha chaguo za kukokotoa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. TAFSIRI YA KIJIOMETRICAL YA KAZI YA WAWILI

VIGEZO

2.1.Grafu ya kazi ya vigezo viwili

Wacha tufikirie katika nafasi mfumo wa mstatili kuratibu na eneo D kwenye ndege ya xOy. Katika kila hatua M (x;y) kutoka eneo hili tunarejesha perpendicular kwa ndege ya xOy na kupanga thamani z = f (x;y) juu yake. Eneo la kijiometri la pointi zilizopatikana

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Hizi ni miduara inayozingatia asili, radius R = C1/2 na mlinganyo

x2 + y2 = R2, angalia takwimu.

Mistari ya kiwango huturuhusu kuwakilisha uso unaozingatiwa, ambao hutoa miduara makini wakati imegawanywa na ndege z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> na upate.

Suluhisho. Wacha tutumie njia ya sehemu.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– katika ndege - parabola.

- katika ndege - parabola.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – mduara.

Uso unaohitajika ni paraboloid ya mapinduzi.

Umbali kati ya pointi mbili za kiholela na nafasi ya (Euclidean) inaitwa nambari

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> inaitwa mduara wazi radius inayozingatia hatua r.

Mduara wazi wa radius ε na kituo katika hatua A inaitwa - ε - mazingira uhakika A.

3 kazi

Tafuta na uonyeshe kwa taswira kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa:

Chora mistari ya kiwango cha utendakazi:

3. KIKOMO CHA KAZI YA AINA MBILI

Dhana za kimsingi za uchanganuzi wa hisabati zilizoletwa kwa kazi ya kigezo kimoja hupanua hadi kazi za vigeu kadhaa.

Ufafanuzi:

Nambari ya mara kwa mara A inaitwa kikomo cha kazi ya vigeu viwili z = f(x;y) kwa x -> x0, y -> y0, ikiwa kwa yoyote.

ε >0 kuna δ >0 vile |f(x; y) - A|< ε , как только

| x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Ukweli huu unaonyeshwa kama ifuatavyo:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Kwa kazi ya vigeu viwili, mwelekeo wa kufikia kikomo kwenye ndege. inaweza kutokea kulingana na nambari isiyo na kikomo maelekezo (na si lazima katika mstari wa moja kwa moja), na kwa hiyo mahitaji ya kuwepo kwa kikomo kwa kazi ya vigezo viwili (au kadhaa) ni "kali" ikilinganishwa na kazi ya kutofautiana moja.

Mfano 1. Tafuta .

Suluhisho. Acha hamu ya kufikia kikomo http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Kisha

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> inategemea.

Mfano 2. Tafuta .

Suluhisho. Kwa mstari wowote ulio sawa kikomo ni sawa:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Kisha

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (mengine ni kwa mlinganisho).

Ufafanuzi. Nambari inaitwa kikomo kazi kwa na, ikiwa kwa hivyo kwamba ukosefu wa usawa na kuashiria ukosefu wa usawa . Ukweli huu umeandikwa kwa ufupi kama ifuatavyo:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

kiko wapi kikomo http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> na kikoa cha ufafanuzi na kuruhusu - hatua ya kikomo ya seti, i.e. hatua ambayo hoja huelekea X Na katika.

Ufafanuzi 1. Wanasema kazi inaendelea katika hatua ikiwa:

1) ;

2) , i.e. .

Hebu tutengeneze ufafanuzi wa mwendelezo kwa njia inayolingana..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> inaendelea katika hatua ikiwa usawa unashikilia

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> tutoe nyongeza kiholela. Chaguo la kukokotoa litapokea nyongeza ya sehemu kwa X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> ni kazi ya kigezo kimoja. Vile vile,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> inaitwa inayoendelea kwa hatua juu ya kutofautisha (juu ya kutofautisha) ikiwa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Nadharia.Ikiwa kaziinafafanuliwa katika kitongoji fulani cha uhakika na inaendelea katika hatua hii, basi ni kuendelea katika hatua hii katika kila moja ya vigezo.

Taarifa ya kinyume si kweli.

MFANO Hebu tuthibitishe kwamba kazi hiyo

kuendelea katika hatua http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > katika hatua inayolingana na nyongeza http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, ambayo ina maana kwamba ni endelevu katika hatua ya kutofautisha.

Vile vile, mtu anaweza kuthibitisha mwendelezo katika hatua kwa heshima na kutofautiana.

Wacha tuonyeshe kuwa hakuna kikomo. Acha jambo lifikie hatua kwa mstari ulionyooka kupita kwenye hatua. Kisha tunapata

Kwa hivyo, tukikaribia hatua http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, tunapata maadili tofauti ya kikomo. Inafuata kwamba kikomo cha hii kitendakazi hakipo kwa uhakika, ambayo inamaanisha kazi http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Majina mengine

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Majina mengine

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Suluhisho. Tuna:

Mfano 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Mfano 3. Tafuta sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Mfano 4. Tafuta sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Agizo la kwanza la tofauti za kazi ya vigeu viwili

Tofauti za sehemu za chaguo za kukokotoa z = f(x, y) kuhusiana na vigezo x na y hubainishwa, mtawalia, na fomula x(x;y) na f"y(x;y) zipo katika uhakika ( x0;y0) na katika baadhi ya ujirani wake na zinaendelea katika hatua hii, basi, kwa mlinganisho na kazi ya kigezo kimoja, fomula imeanzishwa kwa ajili ya uongezaji kamili wa kazi ya vigezo viwili.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

ambapo http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Kwa maneno mengine, kazi z = f(x, y) inaweza kutofautishwa katika hatua (x, y) ikiwa nyongeza yake Δz ni sawa na chaguo la kukokotoa:

Kujieleza

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Kwa kuzingatia ukweli kwamba Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> inaweza kutofautishwa kwa uhakika, basi ni endelevu katika hatua hii.

Taarifa ya mazungumzo ni ya uwongo, yaani, kuendelea ni muhimu tu, lakini si hali ya kutosha kwa utofautishaji wa chaguo la kukokotoa. Hebu tuonyeshe.

MFANO Hebu tutafute viasili vya sehemu vya kazi http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Fomula zinazotokana hupoteza maana yake katika uhakika http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> haina baadhi ya baadhi ya sehemu katika uhakika. Kwa kweli, . Utendaji huu wa kigezo kimoja, kama unavyojulikana, hauna derivative katika sehemu ambayo http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> haina Vile vile , hakuna derivative ya sehemu, na chaguo la kukokotoa , ni dhahiri kuendelea katika hatua hiyo.

Kwa hivyo, tumeonyesha kuwa chaguo la kukokotoa linaloendelea huenda lisiwe na viasili vya sehemu. Inabakia kuanzisha uhusiano kati ya kutofautisha na kuwepo kwa derivatives ya sehemu.

5.4. Uhusiano kati ya kutofautisha na kuwepo kwa derivatives ya sehemu.

Nadharia 1. Hali ya lazima kwa kutofautisha.

Ikiwa kazi ya kukokotoa z = f(x, y) inaweza kutofautishwa katika hatua ya M(x, y), basi ina viasili vya sehemu kuhusiana na kila kigezo na kwa uhakika M.

Nadharia ya mwongozo si ya kweli, yaani, kuwepo kwa viasili vya sehemu ni muhimu, lakini si hali ya kutosha kwa utofautishaji wa chaguo za kukokotoa.

Nadharia 2. Hali ya kutosha kwa kutofautisha. Ikiwa kazi z = f(x, y) ina derivatives ya sehemu inayoendelea kwenye hatua, basi inaweza kutofautishwa kwa uhakika (na tofauti yake kamili katika hatua hii inaonyeshwa na formula http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Mfano 2. Hesabu 3,021.97

3 kazi

Kuhesabu takriban kwa kutumia tofauti:

5.6. Sheria za kutofautisha kazi ngumu na zisizo wazi. Derivative kamili.

Kesi ya 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Vitendaji u na v ni utendakazi endelevu wa hoja x, y.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa z ni kazi changamano ya hoja x na y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Wacha tuchukue kwamba chaguo za kukokotoa f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) zina viambajengo vinavyoendelea vya sehemu kuhusiana na hoja zao zote.

Hebu tuweke kazi ya kukokotoa http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Hebu tupe hoja x nyongeza Δx, tukirekebisha thamani ya hoja y. Kisha kazi za vigezo viwili u= φ(x, y) na

v= φ(x, y) itapokea nyongeza za sehemu Δxu na Δxv. Kwa hivyo, z=f(u, v) itapokea nyongeza kamili iliyofafanuliwa katika aya ya 5.2 (tofauti za mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa za vigeu viwili):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Ikiwa xu→ 0, basi Δxu → 0 na Δxv → 0 (kutokana na kuendelea kwa kazi u na v). Kupita hadi kikomo kwa Δx→ 0, tunapata:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

MFANO

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Kisha kwa kutumia formula (*) tunapata:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Ili kupata matokeo ya mwisho, katika fomula mbili za mwisho, badala ya u na v, ni muhimu kubadilisha еx+y² na x2+y, mtawalia.

Kesi ya 2.

Vitendaji vya x na y ni vitendaji endelevu.

Kwa hivyo, kazi z=f(x, y) inategemea kupitia x na y kwenye kigezo kimoja huru t, yaani, wacha tuchukue kwamba x na y sio vigeu vinavyojitegemea, lakini kazi za tofauti huru t, na kufafanua derivative http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa huu na Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Kesi ya 3.

Wacha sasa tufikirie kuwa jukumu la kigezo huru cha t linachezwa na kutofautisha x, ambayo ni, kwamba kazi z = f(x, y) inategemea utofauti huru x moja kwa moja na kwa njia ya y, ambayo ni a. kazi endelevu ya x.

Kwa kuzingatia kwamba http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivative x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Kutafuta derivatives sehemu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Kanuni iliyothibitishwa ya kutofautisha vipengele vya kukokotoa changamano inatumika kupata kitokeo cha chaguo la kukokotoa lisilo wazi.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizobainishwa kwa njia isiyo dhahiri.

Wacha tufikirie kuwa equation

inafafanua y kama kazi kamili ya x kuwa na derivati

y' = φ'(x)_

Kubadilisha y = φ(x) kwenye mlinganyo F(x, y) = 0, itabidi tupate utambulisho 0 = 0, kwa kuwa y = φ(x) ni suluhisho la mlingano huu. Tunaona, kwa hiyo, kwamba sifuri mara kwa mara inaweza kuchukuliwa kama kazi ngumu kwa x, ambayo inategemea x moja kwa moja na kupitia y =φ(x).

Derivative kwa heshima ya x ya mara kwa mara hii lazima iwe sifuri; kutumia sheria (***), tunapata

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Kwa hivyo,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> ni kweli kwa kitendakazi kimoja na kingine.

5.7. Agizo la kwanza tofauti kabisa. Tofauti ya fomu ya tofauti ya utaratibu wa kwanza

Hebu tubadilishe misemo ya http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> inavyofafanuliwa kwa usawa (*) (angalia kisa cha 1 katika kifungu. 5.6 "Kanuni za upambanuzi wa utendakazi changamano na zilizofichwa. Jumla ya derivative") katika fomula jumla ya tofauti

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Kisha fomula ya utofautishaji wa jumla wa mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa za viambishi viwili ina fomu

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Kwa kulinganisha usawa wa mwisho na fomula ya tofauti ya kwanza ya kazi ya vigeu viwili huru, tunaweza kusema kwamba usemi wa tofauti kamili ya mpangilio wa kwanza wa kazi ya vigeu kadhaa ina umbo sawa na ungekuwa nayo ikiwa u na v. vilikuwa vigeu vya kujitegemea.

Kwa maneno mengine, aina ya tofauti ya kwanza ni isiyobadilika, yaani, haitegemei ikiwa vigezo u na v ni vijitegemea vinavyojitegemea au hutegemea vigezo vingine.

MFANO

Pata tofauti kamili ya agizo la kwanza la chaguo la kukokotoa changamano

z=u2v3, u=x2 dhambi y, v=x3·ey.

Suluhisho. Kwa kutumia fomula ya tofauti kamili ya agizo la kwanza, tunayo

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (dhambi mara 2 y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Usemi huu unaweza kuandikwa upya hivi

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Sifa ya kutofautisha ya tofauti inaturuhusu kupanua sheria ya kupata tofauti ya jumla, bidhaa, na mgawo kwa kesi ya kazi ya anuwai kadhaa:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">.

kazi itakuwa homogeneous ya shahada ya tatu kwa wote halisi x, y na t. Chaguo hili la kukokotoa litakuwa polinomia yoyote yenye homogeneous katika x na y ya shahada ya tatu, yaani, polynomia kama hiyo katika kila neno ambalo jumla ya vipeo vya xn ni sawa na tatu:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

ni utendakazi wenye usawa wa digrii 1, 0 na (- 1) mtawalia..jpg" width="36" height="15">. Hakika,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Kwa kudhani t=1, tunapata

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Viingilio kwa sehemu http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), kwa ujumla

Kwa maneno mengine, ni kazi za viambishi x na y. Kwa hiyo, derivatives ya sehemu inaweza tena kupatikana kutoka kwao. Kwa hivyo, kuna viingilio vinne vya mpangilio wa pili vya chaguo za kukokotoa za vigeu viwili, kwa kuwa kila kitendakazi na kinaweza kutofautishwa kwa heshima na x na y.

Sehemu ya pili ya derivatives imeonyeshwa kama ifuatavyo:

ni derivative ya mpangilio wa nth; hapa kazi z ilitofautishwa kwanza nyakati za p kwa heshima na x, na kisha n - p mara kwa heshima na y.

Kwa kazi ya idadi yoyote ya vigezo, derivatives ya sehemu ya maagizo ya juu imedhamiriwa sawa.

P R Na m e r 1. Kokotoa sehemu ya sehemu ya mpangilio wa pili wa chaguo za kukokotoa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Mfano 2. Kokotoa na http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Mfano 3. Piga hesabu ikiwa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy na f"yx zimefafanuliwa na kuendelea katika sehemu ya M(x, y) na katika baadhi ya vitongoji vyake, basi katika hatua hii.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Kwa hivyo,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Suluhisho.

Mchanganyiko wa derivatives ni sawa.

5.10. Tofauti za mpangilio wa juu wa chaguo za kukokotoanvigezo.

Jumla ya tofauti d u kazi za vigeu kadhaa kwa upande wake ni kazi ya vigeu sawa, na tunaweza kuamua tofauti kamili ya chaguo hili la kukokotoa la mwisho. Kwa hivyo, tutapata tofauti ya pili ya d2u ya kazi ya awali na, ambayo pia itakuwa kazi ya vigezo sawa, na tofauti yake kamili itatuongoza kwa tofauti ya tatu ya d3u ya kazi ya awali, nk.

Hebu tuchunguze kwa undani zaidi kesi ya utendakazi u=f(x, y) ya vigeu viwili x na y na tuchukulie kuwa vigeuzo x na y ni vigeu vinavyojitegemea. A-kipaumbele

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Kuhesabu d3u kwa njia sawa, tunapata

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Zaidi ya hayo, fomula hii lazima ieleweke kama ifuatavyo: jumla katika mabano lazima iongezwe kwa nguvu n, kwa kutumia Mfumo wa Binomial wa Newton, baada ya hapo wawakilishi y na http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> yenye mwelekeo cosines cos α, cos β (α + β = 90°). Kwenye vekta, fikiria uhakika M1(x + Δx; y + Δy). Wakati wa kusonga kutoka kwa uhakika M hadi M1, chaguo la kukokotoa z = f(x; y) kitapokea nyongeza kamili.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> inaelekea sifuri (angalia takwimu).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

ambapo http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, na kwa hivyo tunapata:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> kwa Δs->0 inaitwa bidhaa

kazi ya maji z = f(x; y) katika hatua (x; y) katika mwelekeo wa vekta na inaashiria

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Kwa hivyo, kujua derivatives ya sehemu ya kazi

z = f(x; y) unaweza kupata derivative ya chaguo hili la kukokotoa katika mwelekeo wowote, na kila derivative ya sehemu ni kesi maalum ya derivative katika mwelekeo.

MFANO Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa z = f(x;y) huongezeka katika mwelekeo fulani.

5. 12 . Gradient

Upinde rangi ya chaguo za kukokotoa z = f(x; y) ni vekta ambayo viwianishi vyake ni viambishi vya sehemu vinavyolingana vya chaguo hili la kukokotoa.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

yaani..jpg" width="89" height="33 src=">

kwa uhakika M(3;4).

Suluhisho.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">