Wale wanaofanya Mtihani wa Jimbo la Umoja na zaidi...
Inashangaza kwamba katika masomo ya sayansi ya kompyuta shuleni huwaonyesha wanafunzi njia ngumu zaidi na isiyofaa ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine. Njia hii inajumuisha kugawanya nambari asili kwa msingi na kukusanya mabaki kutoka kwa mgawanyiko kwa mpangilio wa nyuma.
Kwa mfano, unahitaji kubadilisha nambari 810 10 hadi mfumo wa binary:
Tunaandika matokeo kwa utaratibu wa reverse kutoka chini hadi juu. Inageuka 81010 = 11001010102
Ikiwa unahitaji kubadilisha kwa mfumo wa binary, kabisa idadi kubwa, basi ngazi ya mgawanyiko inachukua ukubwa wa jengo la hadithi nyingi. Na unawezaje kukusanya zote na zero na usikose hata moja?
Programu ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika sayansi ya kompyuta inajumuisha kazi kadhaa zinazohusiana na kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine. Kwa kawaida, huu ni ubadilishaji kati ya mifumo ya octal na hexadecimal na binary. Hizi ni sehemu A1, B11. Lakini pia kuna shida na mifumo mingine ya nambari, kama vile katika sehemu ya B7.
Kuanza, acheni tukumbuke meza mbili ambazo zingefaa kujua kwa moyo kwa wale wanaochagua sayansi ya kompyuta kama taaluma yao ya baadaye.
Jedwali la nguvu la nambari 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Inapatikana kwa urahisi kwa kuzidisha nambari iliyotangulia na 2. Kwa hivyo, ikiwa hukumbuki nambari hizi zote, zingine sio ngumu kupata akilini mwako kutoka kwa zile unazokumbuka.
Jedwali la nambari za binary kutoka 0 hadi 15 na uwakilishi wa hexadecimal:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Thamani zinazokosekana pia ni rahisi kuhesabu kwa kuongeza 1 kwa maadili yanayojulikana.
Uongofu kamili
Kwa hiyo, hebu tuanze kwa kubadilisha moja kwa moja kwenye mfumo wa binary. Wacha tuchukue nambari sawa 810 10. Tunahitaji kutenganisha nambari hii kwa masharti sawa na nguvu za mbili.
- Tunatafuta nguvu ya mbili karibu na 810 na sio kuzidi. Hii ni 2 9 = 512.
- Ondoa 512 kutoka 810, tunapata 298.
- Rudia hatua ya 1 na 2 hadi kusiwe na sekunde 1 au 0 iliyobaki.
- Tulipata kama hii: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Mbinu 1: Panga 1 kulingana na safu za viashiria vya masharti. Katika mfano wetu, hizi ni 9, 8, 5, 3 na 1. Sehemu zilizobaki zitakuwa na zero. Kwa hivyo, tulipata uwakilishi wa binary wa nambari 810 10 = 1100101010 2. Vitengo vimewekwa katika sehemu za 9, 8, 5, 3 na 1, kuhesabu kutoka kulia kwenda kushoto kutoka sifuri.
Mbinu 2: Wacha tuandike masharti kama mamlaka ya wawili chini ya kila mmoja, tukianza na kubwa zaidi.
810 =
Sasa hebu tuongeze hatua hizi pamoja, kama vile kukunja feni: 1100101010.
Ni hayo tu. Wakati huo huo, shida "ni vitengo ngapi vilivyo kwenye nukuu ya nambari ya 810?" pia hutatuliwa kwa urahisi.
Jibu ni kama vile kuna masharti (nguvu za wawili) katika uwakilishi huu. 810 ina 5 kati yao.
Sasa mfano ni rahisi zaidi.
Wacha tubadilishe nambari 63 hadi mfumo wa nambari 5. Nguvu ya karibu ya 5 hadi 63 ni 25 (mraba 5). Mchemraba (125) tayari utakuwa mwingi. Hiyo ni, 63 iko kati ya mraba wa 5 na mchemraba. Kisha tutachagua mgawo wa 5 2. Hii ni 2.
Tunapata 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Na, hatimaye, tafsiri rahisi sana kati ya mifumo 8 na heksadesimali. Kwa kuwa msingi wao ni nguvu ya mbili, tafsiri inafanywa moja kwa moja, kwa kubadilisha tu nambari na uwakilishi wao wa binary. Kwa mfumo wa octal, kila tarakimu inabadilishwa na tarakimu tatu za binary, na kwa mfumo wa hexadecimal, nne. Katika kesi hii, zero zote zinazoongoza zinahitajika, isipokuwa kwa tarakimu muhimu zaidi.
Wacha tubadilishe nambari 547 8 kuwa ya binary.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Moja zaidi, kwa mfano 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Wacha tubadilishe nambari 7368 hadi mfumo wa hexadecimal. Kwanza, andika nambari katika sehemu tatu, na kisha uzigawanye katika sehemu nne kutoka mwisho: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Wacha tubadilishe nambari C25 16 kuwa mfumo wa octal. Kwanza, tunaandika nambari kwa nne, na kisha tugawanye katika tatu kutoka mwisho: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Sasa hebu tuangalie kugeuza kurudi kwenye desimali. Si vigumu, jambo kuu si kufanya makosa katika mahesabu. Tunapanua nambari kuwa polynomial kwa nguvu za msingi na coefficients kwao. Kisha tunazidisha na kuongeza kila kitu. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Kubadilisha Nambari Hasi
Hapa unahitaji kuzingatia kwamba nambari itawasilishwa nambari ya ziada. Ili kubadilisha nambari kuwa nambari ya ziada, unahitaji kujua saizi ya mwisho ya nambari, ambayo ni, tunataka kuiweka ndani - kwa baiti, kwa ka mbili, kwa nne. Nambari muhimu zaidi ya nambari inamaanisha ishara. Ikiwa kuna 0, basi nambari ni chanya, ikiwa 1, basi ni hasi. Kwa upande wa kushoto, nambari inaongezewa na nambari ya ishara. Hatuzingatii nambari ambazo hazijatiwa saini; huwa chanya kila wakati, na sehemu muhimu zaidi ndani yao hutumiwa kama habari.
Ili kubadilisha nambari hasi hadi nambari inayosaidia ya binary, unahitaji kubadilisha nambari chanya kwenye mfumo wa binary, kisha ubadilishe sufuri hadi moja na zile kuwa sufuri. Kisha ongeza 1 kwa matokeo.
Kwa hivyo, wacha tubadilishe nambari -79 kuwa mfumo wa binary. Nambari itatuchukua byte moja.
Tunabadilisha 79 kwenye mfumo wa binary, 79 = 1001111. Tunaongeza zero upande wa kushoto kwa ukubwa wa byte, bits 8, tunapata 01001111. Tunabadilisha 1 hadi 0 na 0 hadi 1. Tunapata 10110000. Tunaongeza 1 hadi matokeo, tunapata jibu 10110001. Njiani, tunajibu swali la Mtihani wa Jimbo la Umoja "ni vitengo ngapi uwakilishi wa binary nambari -79?" Jibu ni 4.
Kuongeza 1 kwa kinyume cha nambari huondoa tofauti kati ya uwakilishi +0 = 00000000 na -0 = 11111111. Katika nambari mbili za kukamilisha zitaandikwa sawa na 00000000.
Kubadilisha nambari za sehemu
Nambari za sehemu zinabadilishwa kwa njia ya nyuma ya kugawanya nambari nzima na msingi, ambayo tuliangalia mwanzoni kabisa. Hiyo ni, kutumia kuzidisha kwa mtiririko kwa msingi mpya na mkusanyiko wa sehemu nzima. Sehemu kamili zilizopatikana wakati wa kuzidisha zinakusanywa, lakini hazishiriki katika shughuli zifuatazo. Sehemu tu ndizo zinazidishwa. Ikiwa nambari ya asili ni kubwa kuliko 1, basi sehemu kamili na za sehemu hutafsiriwa kando na kisha kuunganishwa pamoja.
Wacha tubadilishe nambari 0.6752 kuwa mfumo wa binary.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Mchakato unaweza kuendelea kwa muda mrefu hadi tupate zero zote katika sehemu ya sehemu au usahihi unaohitajika unapatikana. Hebu tusimame kwenye ishara ya 6 kwa sasa.
Inageuka 0.6752 = 0.101011.
Ikiwa nambari ilikuwa 5.6752, basi binary itakuwa 101.101011.
2.3. Kubadilisha nambari kutoka kwa nambari moja hadi nyingine
2.3.1. Kubadilisha nambari kamili kutoka kwa mfumo mmoja wa nambari hadi mwingine
Inawezekana kuunda algorithm ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa radix uk kwenye mfumo wenye msingi q :
1. Eleza msingi wa mfumo mpya wa nambari kwa kutumia nambari za mfumo wa nambari asilia na fanya vitendo vyote vifuatavyo katika mfumo wa asili Kuhesabu.
2. Gawa mara kwa mara nambari uliyopewa na nambari kamili zinazotokana na msingi wa mfumo mpya wa nambari hadi tupate mgawo ambao ni mdogo kuliko kigawanyaji.
3. Masalio yanayotokana, ambayo ni tarakimu za nambari ndani mfumo mpya nambari, zilete kwenye mstari na alfabeti ya mfumo mpya wa nambari.
4. Tunga nambari katika mfumo mpya wa nambari, ukiandika kuanzia salio la mwisho.
Mfano 2.12. Badilisha nambari ya desimali 173 10 kuwa mfumo wa octal nukuu:
Tunapata: 173 10 =255 8
Mfano 2.13. Badilisha nambari ya desimali 173 10 kuwa mfumo wa nambari ya heksadesimali:
Tunapata: 173 10 = AD 16.
Mfano 2.14. Badilisha nambari ya desimali 11 10 kuwa mfumo wa nambari ya binary. Ni rahisi zaidi kuonyesha mlolongo wa vitendo vilivyojadiliwa hapo juu (algorithm ya tafsiri) kama ifuatavyo:
Tunapata: 11 10 =1011 2.
Mfano 2.15. Wakati mwingine ni rahisi zaidi kuandika algorithm ya tafsiri katika fomu ya meza. Wacha tubadilishe nambari ya desimali 363 10 hadi nambari ya binary.
|
Kigawanyaji |
|||||||||
Tunapata: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Kubadilisha nambari za sehemu kutoka kwa nambari moja hadi nyingine
Inawezekana kuunda algorithm ya kubadilisha sehemu sahihi na msingi uk katika sehemu iliyo na msingi q:
1. Eleza msingi wa mfumo mpya wa nambari na nambari kutoka kwa mfumo wa nambari asilia na fanya vitendo vyote vinavyofuata katika mfumo wa nambari asilia.
2. Kuzidisha mara kwa mara nambari ulizopewa na sehemu za sehemu zinazotokana za bidhaa kwa msingi wa mfumo mpya hadi sehemu ya sehemu ya bidhaa iwe sawa na sifuri au usahihi unaohitajika wa uwakilishi wa nambari ufikiwe.
3. Sehemu kamili zinazotokana za bidhaa, ambazo ni tarakimu za nambari katika mfumo mpya wa nambari, zinapaswa kuletwa kulingana na alfabeti ya mfumo mpya wa nambari.
4. Tunga sehemu ya sehemu ya nambari katika mfumo mpya wa nambari, kuanzia sehemu kamili ya bidhaa ya kwanza.
Mfano 2.17. Badilisha nambari 0.65625 10 kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Tunapata: 0.65625 10 =0.52 8
Mfano 2.17. Badilisha nambari 0.65625 10 hadi mfumo wa nambari ya heksadesimali.
|
x 16 |
|
Tunapata: 0.65625 10 =0.A8 1
Mfano 2.18. Badilisha sehemu ya desimali 0.5625 10 kuwa mfumo wa nambari ya binary.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Tunapata: 0.5625 10 =0.1001 2
Mfano 2.19. Badilisha sehemu ya desimali 0.7 10 kuwa mfumo wa nambari ya binary.
Ni wazi, mchakato huu unaweza kuendelea kwa muda usiojulikana, kutoa ishara zaidi na zaidi katika picha ya nambari ya binary sawa na nambari 0.7 10. Kwa hivyo, katika hatua nne tunapata nambari 0.1011 2, na katika hatua saba nambari 0.1011001 2, ambayo ni uwakilishi sahihi zaidi wa nambari 0.7 10 kwenye binary. mfumo wa nambari, na nk. Utaratibu huo usio na mwisho umesitishwa kwa hatua fulani, wakati inachukuliwa kuwa usahihi unaohitajika wa uwakilishi wa nambari umepatikana.
2.3.3. Tafsiri ya nambari za kiholela
Tafsiri ya nambari za kiholela, i.e. nambari zilizo na sehemu kamili na sehemu zinafanywa katika hatua mbili. Imetafsiriwa tofauti sehemu nzima, tofauti - sehemu. Katika rekodi ya mwisho ya nambari inayotokana, sehemu kamili hutenganishwa na sehemu ya sehemu na koma (nukta).
Mfano 2.20. Badilisha nambari 17.25 10 kuwa mfumo wa nambari ya binary.
Tunapata: 17.25 10 =1001.01 2
Mfano 2.21. Badilisha nambari 124.25 10 kuwa mfumo wa octal.
Tunapata: 124.25 10 =174.2 8
2.3.4. Kubadilisha nambari kutoka msingi 2 hadi msingi 2 n na kinyume chake
Tafsiri ya nambari kamili. Ikiwa msingi wa mfumo wa nambari ya q-ary ni nguvu ya 2, basi ubadilishaji wa nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya q-ary hadi mfumo wa nambari 2 na nyuma unaweza kufanywa kwa kutumia zaidi. sheria rahisi. Ili kuandika nambari kamili ya binary katika mfumo wa nambari na msingi q=2 n, unahitaji:
1. Gawanya nambari ya jozi kutoka kulia kwenda kushoto katika vikundi vya nambari n kila moja.
2. Ikiwa kikundi cha mwisho cha kushoto kina tarakimu chini ya n, basi lazima iongezwe upande wa kushoto na zero kwa nambari inayotakiwa ya tarakimu.
Mfano 2.22. Nambari 101100001000110010 2 itabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Tunagawanya nambari kutoka kulia kwenda kushoto kuwa triads na chini ya kila mmoja wao andika nambari ya octal inayolingana:
Tunapata uwakilishi wa octal wa nambari ya asili: 541062 8 .
Mfano 2.23. Nambari 1000000000111110000111 2 itabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal.
Tunagawanya nambari kutoka kulia kwenda kushoto kuwa tetradi na chini ya kila mmoja wao andika nambari inayolingana ya hexadecimal:
Tunapata uwakilishi wa hexadecimal wa nambari asilia: 200F87 16.
Kubadilisha nambari za sehemu. Ili kuandika nambari ya binary ya sehemu katika mfumo wa nambari na msingi q=2 n, unahitaji:
1. Gawanya nambari ya jozi kutoka kushoto kwenda kulia katika vikundi vya nambari n kila moja.
2. Ikiwa kikundi cha mwisho cha kulia kina tarakimu chini ya n, basi lazima iongezwe upande wa kulia na zero kwa nambari inayotakiwa ya tarakimu.
3. Fikiria kila kikundi kama nambari ya binary ya n-bit na uiandike na tarakimu inayolingana katika mfumo wa nambari na msingi q=2 n.
Mfano 2.24. Nambari 0.10110001 2 itabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Tunagawanya nambari kutoka kushoto kwenda kulia kuwa triads na chini ya kila mmoja wao tunaandika nambari inayolingana ya octal:
Tunapata uwakilishi wa octal wa nambari ya asili: 0.542 8 .
Mfano 2.25. Nambari 0.100000000011 2 itabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal. Tunagawanya nambari kutoka kushoto kwenda kulia kuwa tetradi na chini ya kila moja andika nambari inayolingana ya hexadecimal:
Tunapata uwakilishi wa hexadecimal wa nambari asilia: 0.803 16
Tafsiri ya nambari za kiholela. Ili kuandika nambari ya binary ya kiholela katika mfumo wa nambari na msingi q=2 n, unahitaji:
1. Gawanya sehemu kamili ya nambari ya jozi uliyopewa kutoka kulia kwenda kushoto, na sehemu ya sehemu kutoka kushoto kwenda kulia katika vikundi vya nambari n kila moja.
2. Ikiwa makundi ya mwisho ya kushoto na / au ya kulia yana tarakimu chini ya n, basi lazima ziongezwe upande wa kushoto na / au kulia na zero kwa idadi inayotakiwa ya tarakimu;
3. Fikiria kila kikundi kama nambari ya binary ya n-bit na uiandike na nambari inayolingana katika mfumo wa nambari na msingi q = 2 n.
Mfano 2.26. Wacha tubadilishe nambari 111100101.0111 2 kuwa mfumo wa nambari ya octal.
Tunagawanya sehemu kamili na za sehemu za nambari kuwa tatu na chini ya kila moja andika nambari ya octal inayolingana:
Tunapata uwakilishi wa octal wa nambari ya asili: 745.34 8 .
Mfano 2.27. Nambari 11101001000,11010010 2 itabadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal.
Tunagawanya sehemu kamili na za sehemu za nambari kwenye daftari na chini ya kila moja andika nambari inayolingana ya hexadecimal:
Tunapata uwakilishi wa hexadecimal wa nambari asilia: 748,D2 16.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mifumo ya nambari na msingi q=2n kwa binary. Ili nambari ya kiholela, iliyoandikwa katika mfumo wa nambari na msingi q=2 n, iliyobadilishwa kuwa mfumo wa nambari ya binary, unahitaji kubadilisha kila tarakimu ya nambari hii na nambari yake ya n-tarakimu katika mfumo wa nambari ya binary.
Mfano 2.28 Hebu tutafsiri nambari ya hexadecimal 4AC35 16 mfumo wa nambari ya binary.
Kulingana na algorithm:
Tunapata: 1001010110000110101 2 .
Kazi za kukamilika kwa kujitegemea (Majibu)
2.38. Jaza jedwali, katika kila safu ambayo nambari sawa lazima iandikwe katika mifumo tofauti ya nambari.
|
Nambari |
Octal |
Nukta |
Hexadecimal |
2.39. Jaza jedwali na kitu sawa katika kila safu nambari ya sehemu lazima iandikwe katika mifumo tofauti ya nambari.
|
Nambari |
Octal |
Nukta |
Hexadecimal |
2.40. Jaza jedwali, katika kila safu ambayo nambari ya kiholela sawa (nambari inaweza kuwa na nambari kamili na sehemu ya sehemu) lazima iandikwe katika mifumo tofauti ya nambari.
|
Nambari |
Octal |
Nukta |
Hexadecimal |
|
59.B |
Malengo ya somo:
- kurudia nyenzo zilizosomwa juu ya mada ya mfumo wa nambari;
- jifunze kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari ya nafasi na kinyume chake;
- bwana kanuni za kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja hadi mwingine;
- kuendeleza kufikiri kimantiki.
Wakati wa madarasa
Mwanzoni mwa somo, mapitio mafupi na kuangalia kazi za nyumbani.
Maelezo ya nambari yanawasilishwa katika kumbukumbu ya kompyuta kwa namna gani?
Mifumo ya nambari inatumika kwa nini?
Je! Unajua aina gani za mifumo ya nambari? Toa mifano yako mwenyewe.
Mifumo ya nafasi inatofautiana vipi na mifumo isiyo ya msimamo?
Lengo la somo letu ni kujifunza jinsi ya kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari ya nafasi na kinyume chake. Lakini kwanza tutaangalia jinsi unaweza
wakilisha nambari yoyote isiyo hasi:
KATIKA mifumo ya msimamo thamani ya kuandika nambari kamili imedhamiriwa na kanuni inayofuata: acha n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 iwe rekodi ya nambari A, na mimi ni nambari, basi
ambapo p ni nambari kamili zaidi ya 1, ambayo inaitwa msingi wa mfumo wa nambari
Ili, kwa p iliyotolewa, nambari yoyote isiyo hasi inaweza kuandikwa kulingana na fomula (1) na, zaidi ya hayo, kwa njia ya kipekee, maadili ya nambari tarakimu tofauti lazima ziwe tarakimu tofauti zinazomilikiwa na sehemu kutoka 0 hadi p-1.
1) Mfumo wa decimal
nambari: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
nambari 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Mfumo wa Ternary
nambari: 0,1,2
nambari 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Kumbuka: usajili katika nambari unaonyesha msingi wa mfumo wa nambari ambayo nambari imeandikwa. Kwa mfumo wa nambari ya desimali, faharisi haifai kuandikwa.
Uwakilishi wa nambari hasi na za sehemu:
Katika mifumo yote ya nafasi, ishara ya ‘–’ inatumiwa kuandika nambari hasi, kama ilivyo katika mfumo wa desimali. Koma hutumika kutenganisha sehemu kamili ya nambari na sehemu ya sehemu. Thamani ya ingizo a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m ya nambari A huamuliwa na fomula, ambayo ni jumla ya fomula (1):
75.6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2.314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari kiholela hadi desimali:
Inapaswa kueleweka kuwa wakati wa kutafsiri nambari kutoka kwa mfumo wa nambari moja hadi nyingine, thamani ya nambari haibadilika, lakini tu aina ya kuandika nambari inabadilika, kama vile wakati wa kutafsiri jina la nambari, kwa mfano, kutoka. Kirusi hadi Kiingereza.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari kiholela hadi desimali hufanywa kwa hesabu ya moja kwa moja kwa kutumia fomula (1) ya nambari kamili na fomula (2) ya sehemu.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya desimali hadi mfumo wa nambari wa kiholela.
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa desimali hadi mfumo wenye msingi wa p kunamaanisha kupata hesabu katika fomula (2). Wakati mwingine ni rahisi kufanya uteuzi rahisi. Kwa mfano, hebu sema unahitaji kubadilisha nambari 23.5 kuwa mfumo wa octal. Ni rahisi kuona kwamba 23.5 = 16+7+0.5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27.48. Ni wazi kwamba jibu sio wazi kila wakati. Kwa ujumla, njia ya kubadilisha sehemu kamili na ya sehemu ya nambari tofauti hutumiwa.
Ili kubadilisha nambari kamili, algorithm ifuatayo inatumiwa (iliyopatikana kulingana na fomula (1)):
1. Tafuta mgawo na salio unapogawanya nambari kwa uk. Salio itakuwa tarakimu ai inayofuata (j=0,1,2...) ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
2. Ikiwa mgawo ni sawa na sifuri, basi tafsiri ya nambari imekamilika, vinginevyo tunatumia hatua ya 1 kwa mgawo.
Kumbuka 1. Nambari ai katika nukuu ya nambari zimepewa nambari kutoka kulia kwenda kushoto.
Kumbuka 2. Ikiwa p>10, basi ni muhimu kuanzisha nukuu kwa nambari zilizo na nambari kubwa kuliko au sawa na 10.
Badilisha nambari 165 kuwa mfumo wa nambari ya septal.
165:7 = 23 (salio 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (salio 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (salio 3) => a 2 = 3
Hebu tuandike matokeo: a 2 a 1 a 0, i.e. 3247.
Baada ya kuangalia kwa kutumia fomula (1), tutahakikisha kuwa tafsiri ni sahihi:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Ili kubadilisha sehemu za nambari, algorithm iliyopatikana kulingana na formula (2) hutumiwa:
1. Zidisha sehemu ya nambari kwa uk.
2. Sehemu kamili ya matokeo itakuwa tarakimu inayofuata am (m = -1, -2, -3 ...) ya kuandika nambari katika mfumo mpya wa nambari. Ikiwa sehemu ya sehemu ya matokeo ni sifuri, basi tafsiri ya nambari imekamilika, vinginevyo tunatumia hatua ya 1 kwake.
Kumbuka 1. Nambari a m katika nukuu ya nambari zimepangwa kutoka kushoto kwenda kulia kwa mpangilio wa kupanda thamani kamili m.
Kumbuka 2. Kwa kawaida idadi ya tarakimu za sehemu ndani ingizo jipya idadi ni mdogo mapema. Hii hukuruhusu kufanya tafsiri ya takriban kwa usahihi fulani. Katika kesi ya sehemu zisizo na kipimo, kizuizi kama hicho kinahakikisha ukomo wa algorithm.
Badilisha nambari 0.625 kuwa mfumo wa nambari ya binary.
0.625 2 = 1.25 (sehemu kamili 1) => a -1 =1
0.25 2 = 0.5 (sehemu kamili 0) => a- 2 = 0
0.5 2 = 1.00 (sehemu kamili 1) => a- 3 = 1
Hivyo 0.62510 = 0.1012
Baada ya kuangalia kwa kutumia fomula (2), tutahakikisha kuwa tafsiri ni sahihi:
0.1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625.
Badilisha nambari 0.165 kuwa mfumo wa nambari za quaternary, ukiiweka kwa nambari nne za quaternary.
0.165 4 = 0.66 (sehemu kamili 0) => a -1 =0
0.66 4 = 2.64 (sehemu kamili ya 2) => a -2 = 2
0.64 4 = 2.56 (sehemu kamili ya 2) => a -3 = 2
0.56 4 = 2.24 (sehemu kamili ya 2) => a -4 = 2
Kwa hivyo 0.16510" 0.02224
Wacha tufanye tafsiri ya nyuma ili kuhakikisha kuwa kosa kamili halizidi 4–4:
0.02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo mmoja wa kiholela hadi mwingine
Katika kesi hii, lazima kwanza ubadilishe nambari kuwa mfumo wa desimali, na kisha kutoka kwa desimali hadi inayohitajika.
Njia maalum hutumiwa kubadilisha nambari kwa mifumo iliyo na besi nyingi.
Acha p na q iwe misingi ya mifumo miwili ya nambari. Tutaita mifumo hii ya nambari ya mifumo yenye besi nyingi ikiwa p = qn au q = pn, ambapo n ni nambari asilia. Kwa hivyo, kwa mfano, mifumo ya nambari iliyo na besi 2 na 8 ni mifumo ya nambari za msingi nyingi.
Acha p = qn na unahitaji kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari na msingi q hadi mfumo wa nambari na msingi p. Hebu tugawanye sehemu kamili na za sehemu za nambari katika vikundi vya n tarakimu zilizoandikwa kwa mfuatano upande wa kushoto na kulia wa nukta ya desimali. Ikiwa nambari ya nambari katika sehemu kamili ya nambari sio nyingi ya n, basi unahitaji kuongeza nambari inayolingana ya zero upande wa kushoto. Ikiwa nambari ya nambari katika sehemu ya sehemu ya nambari sio nyingi ya n, basi sufuri huongezwa kulia. Kila kikundi kama hicho cha nambari ni nambari ndani mfumo wa zamani nambari italingana na nambari moja ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
Wacha tubadilishe 1100001.111 2 kuwa mfumo wa nambari za quaternary.
Kwa kuongeza sifuri na kuchagua jozi za nambari, tunapata 01100001.11102.
Sasa hebu tutafsiri kila jozi ya tarakimu tofauti, kwa kutumia sehemu ya Kutafsiri nambari kutoka kwa mfumo mmoja wa kiholela hadi mwingine.
Kwa hiyo, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Hebu sasa tufikiri kwamba tunahitaji kuhamisha kutoka kwa mfumo na msingi mkubwa q hadi mfumo na msingi mdogo p, i.e. q = pn. Katika kesi hii, nambari moja ya nambari katika mfumo wa nambari ya zamani inalingana na nambari n ya nambari katika mfumo mpya wa nambari.
Mfano: Hebu tuangalie tafsiri ya awali ya nambari.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Katika mfumo wa hexadecimal kuna nambari zilizo na nambari za nambari 10,11,12, 13,14,15. Ili kuzitaja, tumia herufi sita za kwanza za alfabeti ya Kilatini A, B, C, D, E, F.
Hapa kuna jedwali la nambari kutoka 0 hadi 16, iliyoandikwa katika mifumo ya nambari na besi 10, 2, 8 na 16.
| Nambari katika mfumo wa desimali | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Katika octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Katika binary | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Katika hexadecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Kuandika tarakimu za heksadesimali, unaweza pia kutumia herufi ndogo za Kilatini a-f.
Mfano: Wacha tubadilishe nambari 110101001010101010100.11 2 kuwa mfumo wa nambari ya hexadecimal.
Wacha tutumie wingi wa besi za mifumo ya nambari (16=2 4). Wacha tupange nambari kwa nne, na kuongeza nambari inayohitajika ya zero kushoto na kulia
000110101001010101010100,1100 2
na, tukiangalia jedwali, tunapata: 1A9554,C 16
Hitimisho:
Mfumo gani wa nambari ni bora kuandika nambari ni suala la urahisi na mila. Kwa mtazamo wa kiufundi, ni rahisi kutumia mfumo wa binary kwenye kompyuta, kwani hutumia nambari mbili tu 0 na 1 kurekodi nambari, ambayo inaweza kuwakilishwa na majimbo mawili yanayoweza kutofautishwa kwa urahisi "hakuna ishara" na "kuna ishara.”
Kinyume chake, ni vigumu kwa mtu kushughulika na nukuu za binary za nambari kwa sababu ni ndefu kuliko zile za desimali na kuna nambari nyingi zinazojirudia. Kwa hiyo, ikiwa ni lazima, fanya kazi na uwakilishi wa mashine ya namba, tumia mifumo ya nambari ya octal au hexadecimal. Misingi ya mifumo hii ni nguvu kamili za mbili, na kwa hivyo nambari hubadilishwa kwa urahisi kutoka kwa mifumo hii hadi ya binary na kinyume chake.
Andika kazi ya nyumbani:
a) Andika tarehe ya kuzaliwa kwa wanafamilia wote katika mifumo tofauti ya nambari.
b) Badilisha nambari kutoka kwa binary hadi octal na hexadecimal, na kisha angalia matokeo kwa kufanya mabadiliko ya kinyume:
a) 100111110111.011 2;
Maagizo
Video kwenye mada
Katika mfumo wa kuhesabu ambao tunatumia kila siku, kuna tarakimu kumi - kutoka sifuri hadi tisa. Ndio maana inaitwa decimal. Hata hivyo, katika mahesabu ya kiufundi, hasa yale yanayohusiana na kompyuta, nyingine mifumo, haswa binary na hexadecimal. Kwa hivyo unahitaji kuwa na uwezo wa kutafsiri nambari kutoka kwa mmoja mifumo kuhesabu kwa mwingine.
Utahitaji
- - kipande cha karatasi;
- - penseli au kalamu;
- - kikokotoo.
Maagizo
Mfumo wa binary ndio rahisi zaidi. Ina tarakimu mbili tu - sifuri na moja. Kila tarakimu ya binary nambari, kuanzia mwisho, inalingana na nguvu ya mbili. Mbili ni sawa na moja, ya kwanza - mbili, ya pili - nne, ya tatu - nane, na kadhalika.
Tuseme umepewa nambari ya binary 1010110. Vitengo ndani yake viko katika nafasi ya pili, ya tatu, ya tano na ya saba. Kwa hiyo, katika mfumo wa desimali nambari hii ni 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.
Tatizo kinyume- Nukta nambari mfumo. Wacha tuseme unayo nambari 57. Ili kuipata, lazima ugawanye nambari hiyo kwa 2 na uandike iliyobaki. Nambari ya binary itajengwa kutoka mwisho hadi mwanzo.
Hatua ya kwanza itakupa tarakimu ya mwisho: 57/2 = 28 (salio 1).
Kisha unapata ya pili kutoka mwisho: 28/2 = 14 (salio 0).
Hatua zaidi: 14/2 = 7 (salio 0);
7/2 = 3 (salio 1);
3/2 = 1 (salio 1);
1/2 = 0 (salio 1).
Hii ni hatua ya mwisho kwa sababu matokeo ya mgawanyiko ni sawa na sifuri. Kama matokeo, ulipata nambari ya binary 111001.
Angalia jibu lako: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.
Ya pili, inayotumiwa katika masuala ya kompyuta, ni hexadecimal. Haina tarakimu kumi, lakini kumi na sita. Ili usiwe mpya alama, tarakimu kumi za kwanza za heksadesimali mifumo huteuliwa na nambari za kawaida, na sita zilizobaki ni na herufi za Kilatini: A, B, C, D, E, F. Zinalingana na nukuu ya desimali nambari m kutoka 10 hadi 15. Ili kuepuka kuchanganyikiwa, nambari iliyoandikwa kwa hexadecimal inatanguliwa na ishara # au alama 0x.
Badilisha ubadilishaji kutoka desimali mifumo kwa hexadecimal inafanywa kwa kutumia njia sawa ya mabaki kama kwa binary. Kwa mfano, chukua nambari 10000. Ukiigawanya kwa 16 na kuandika masalio, unapata:
10000/16 = 625 (salio 0).
625/16 = 39 (salio 1).
39/16 = 2 (salio 7).
2/16 = 0 (salio 2).
Matokeo ya hesabu itakuwa nambari ya hexadecimal #2710.
Angalia jibu lako: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.
Uhamisho nambari kutoka hexadecimal mifumo Ni rahisi zaidi kubadilisha kwa binary. Nambari 16 ni mbili: 16 = 2^4. Kwa hivyo, kila tarakimu ya heksadesimali inaweza kuandikwa kama nambari ya binary yenye tarakimu nne. Ikiwa una chini ya tarakimu nne katika nambari ya jozi, ongeza sufuri zinazoongoza.
Kwa mfano, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Angalia jibu: zote mbili nambari kwa nukuu ya desimali ni sawa na 8062.
Ili kutafsiri, unahitaji kuvunja nambari ya binary katika vikundi vya tarakimu nne, kuanzia mwisho, na kuchukua nafasi ya kila kikundi kama hicho na tarakimu ya hexadecimal.
Kwa mfano, 11000110101001 inakuwa (0011)(0001)(1010)(1001), ambayo katika nukuu ya heksadesimali ni sawa na #31A9. Usahihi wa jibu unathibitishwa na ubadilishaji hadi nukuu ya desimali: zote mbili nambari ni sawa na 12713.
Kidokezo cha 5: Jinsi ya kubadilisha nambari kuwa binary
Kwa sababu ya utumiaji mdogo wa alama, mfumo wa binary unafaa zaidi kwa matumizi ya kompyuta na zingine vifaa vya digital. Kuna alama mbili tu: 1 na 0, kwa hivyo hii mfumo kutumika katika uendeshaji wa rejista.
Maagizo
Binary ni nafasi, i.e. Msimamo wa kila tarakimu katika nambari inafanana na tarakimu fulani, ambayo ni sawa na mbili kwa nguvu zinazofaa. Digrii huanza na sifuri na huongezeka unaposonga kutoka kulia kwenda kushoto. Kwa mfano, nambari 101 ni sawa na 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.
Fikiria nambari ya desimali hadi binary mfumo kwa mgawanyiko unaofuatana kwa 2. Kubadilisha desimali nambari 25 kwenye msimbo, unahitaji kugawanya kwa 2 hadi mabaki 0. Salio zilizopatikana katika kila hatua ya mgawanyiko zimeandikwa kwa mstari kutoka kulia kwenda kushoto, baada ya kuandika tarakimu ya salio ya mwisho hii itakuwa ya mwisho.
Hebu tuangalie mmoja wao mada muhimu zaidi katika sayansi ya kompyuta - . KATIKA mtaala wa shule inafunuliwa badala ya "kiasi," uwezekano mkubwa kutokana na ukosefu wa saa zilizotengwa kwake. Ujuzi juu ya mada hii, haswa tafsiri ya mifumo ya nambari, ni sharti kwa kufaulu vizuri Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa vyuo vikuu katika vyuo husika. Hapo chini tunajadili kwa undani dhana kama vile mifumo ya nambari ya nafasi na isiyo ya nafasi, mifano ya mifumo hii ya nambari hutolewa, sheria za kubadilisha integers zinawasilishwa nambari za desimali, sahihi desimali na nambari za desimali zilizochanganywa hadi mfumo mwingine wowote wa nambari, ubadilishaji wa nambari kutoka kwa mfumo wowote wa nambari hadi desimali, ubadilishaji kutoka mifumo ya nambari ya octal na hexadecimal hadi mfumo wa nambari ya binary. Kwenye mitihani katika kiasi kikubwa Kuna matatizo juu ya mada hii. Uwezo wa kuyatatua ni moja ya mahitaji kwa waombaji. Inakuja hivi karibuni: Kwa kila mada ya sehemu, pamoja na nyenzo za kinadharia, karibu zote chaguzi zinazowezekana kazi Kwa kujisomea. Kwa kuongeza, utakuwa na fursa ya kupakua zilizopangwa tayari kutoka kwa huduma ya mwenyeji wa faili bila malipo kabisa. ufumbuzi wa kina kwa kazi hizi, kwa mfano njia mbalimbali kupata jibu sahihi.
mifumo ya nambari ya nafasi.
Mifumo ya nambari isiyo ya msimamo- mifumo ya nambari ambayo thamani ya kiasi cha tarakimu haitegemei eneo lake katika nambari.
Mifumo ya nambari isiyo ya nafasi ni pamoja na, kwa mfano, Kirumi, ambapo badala ya nambari kuna herufi za Kilatini.
| I | 1 (moja) |
| V | 5 (tano) |
| X | 10 (kumi) |
| L | 50 (hamsini) |
| C | 100 (mia moja) |
| D | 500 (mia tano) |
| M | 1000 (elfu) |
Hapa herufi V inasimama kwa 5 bila kujali eneo lake. Walakini, inafaa kutaja kwamba ingawa mfumo wa nambari za Kirumi ni mfano mzuri wa mfumo wa nambari zisizo za msimamo, sio wa msimamo kabisa, kwa sababu. Nambari ndogo mbele ya ile kubwa hutolewa kutoka kwake:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
mifumo ya nambari ya nafasi.
Mifumo ya nambari za nafasi- mifumo ya nambari ambayo thamani ya kiasi cha tarakimu inategemea eneo lake katika nambari.
Kwa mfano, ikiwa tunazungumza juu ya mfumo wa nambari ya decimal, basi katika nambari 700 nambari 7 inamaanisha "mia saba", lakini nambari sawa katika nambari 71 inamaanisha "kumi saba", na kwa nambari 7020 - "elfu saba" .
Kila moja mfumo wa nambari ya nafasi ina yake msingi. Nambari asilia kubwa kuliko au sawa na mbili huchaguliwa kama msingi. Ni sawa na idadi ya tarakimu zinazotumiwa katika mfumo fulani wa nambari.
- Kwa mfano:
- Nambari- mfumo wa nambari za nafasi na msingi 2.
- Quaternary- mfumo wa nambari za nafasi na msingi 4.
- Mara tano- mfumo wa nambari za nafasi na msingi 5.
- Octal- mfumo wa nambari za nafasi na msingi 8.
- Hexadecimal- mfumo wa nambari za nafasi na msingi 16.
Ili kutatua kwa mafanikio shida kwenye mada "Mifumo ya nambari", mwanafunzi lazima ajue kwa moyo mawasiliano ya nambari za binary, decimal, octal na hexadecimal hadi 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Ni muhimu kujua jinsi nambari zinavyopatikana katika mifumo hii ya nambari. Unaweza kudhani kuwa katika octal, hexadecimal, ternary na wengine mifumo ya nambari ya nafasi kila kitu hufanyika kwa njia sawa na mfumo wa decimal tuliozoea:
Moja huongezwa kwa nambari na nambari mpya hupatikana. Ikiwa sehemu ya vitengo inakuwa sawa na msingi wa mfumo wa nambari, tunaongeza idadi ya makumi kwa 1, nk.
Hii "mpito ya moja" ndiyo inayotisha wanafunzi wengi. Kwa kweli, kila kitu ni rahisi sana. Mpito hutokea ikiwa tarakimu ya vitengo inakuwa sawa na msingi wa nambari, tunaongeza idadi ya makumi kwa 1. Wengi, kukumbuka mfumo mzuri wa decimal wa zamani, wanachanganyikiwa mara moja kuhusu tarakimu katika mpito huu, kwa sababu decimal na, kwa mfano, makumi ya binary ni mambo tofauti.
Kwa hivyo, wanafunzi mbunifu wana "mbinu zao wenyewe" (kwa kushangaza ... kufanya kazi) wakati wa kujaza, kwa mfano, meza za ukweli, safu wima za kwanza (thamani zinazobadilika) ambazo kwa kweli zimejazwa. nambari za binary kwa mpangilio wa kupanda.
Kwa mfano, hebu tuangalie jinsi ya kupata nambari mfumo wa octal: Tunaongeza 1 kwa nambari ya kwanza (0), tunapata 1. Kisha tunaongeza 1 hadi 1, tunapata 2, nk. hadi 7. Ikiwa tunaongeza moja hadi 7, tunapata nambari sawa na msingi wa mfumo wa nambari, i.e. 8. Kisha unahitaji kuongeza mahali pa kumi kwa moja (tunapata octal kumi - 10). Ifuatayo, ni wazi, ni nambari 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Sheria za kubadilisha kutoka kwa nambari moja hadi nyingine.
1 Kubadilisha nambari kamili ya desimali hadi mfumo mwingine wowote wa nambari.
Nambari lazima igawanywe na mfumo mpya wa nambari. Salio la kwanza la mgawanyiko ni tarakimu ndogo ya kwanza ya nambari mpya. Ikiwa mgawo wa mgawanyiko ni chini ya au sawa na msingi mpya, basi (mgawo) lazima ugawanywe tena na msingi mpya. Mgawanyiko lazima uendelee hadi tupate mgawo chini ya msingi mpya. Hii ndio nambari ya juu zaidi ya nambari mpya (unahitaji kukumbuka kuwa, kwa mfano, katika mfumo wa hexadecimal, baada ya 9 kuna herufi, i.e. ikiwa iliyobaki ni 11, unahitaji kuiandika kama B).
Mfano ("mgawanyiko kwa kona"): Wacha tubadilishe nambari 173 10 hadi mfumo wa nambari ya octal.
Hivyo, 173 10 =255 8
2 Kubadilisha sehemu za desimali za kawaida kuwa mfumo mwingine wowote wa nambari.
Nambari lazima iongezwe na msingi mpya wa mfumo wa nambari. Nambari ambayo imekuwa sehemu kamili ni tarakimu ya juu zaidi ya sehemu ya sehemu ya nambari mpya. ili kupata tarakimu inayofuata, sehemu ya sehemu ya bidhaa inayotokana lazima iongezwe tena na msingi mpya wa mfumo wa nambari mpaka mpito kwa sehemu nzima hutokea. Tunaendelea kuzidisha hadi sehemu ya sehemu iwe sawa na sifuri, au hadi tufikie usahihi uliobainishwa kwenye tatizo (“... hesabu kwa usahihi wa, kwa mfano, sehemu mbili za desimali”).
Mfano: Wacha tubadilishe nambari 0.65625 10 hadi mfumo wa nambari ya octal.
