Jiometri. Kazi na mazoezi kwenye michoro iliyotengenezwa tayari. 10-11 darasa. Rabinovich E.M.
M.: 2014. - 80 p.
Mwongozo umeundwa kwa namna ya meza na ina kazi zaidi ya 350. Kazi za kila meza zinahusiana na mada maalum katika kozi ya jiometri ya shule kwa darasa la 10-11 na ziko ndani ya meza kwa utaratibu wa kuongezeka kwa utata.
Mwalimu wa hisabati wa shule ya upili anajua vyema jinsi ilivyo vigumu kufundisha wanafunzi kutengeneza michoro inayoonekana na sahihi kwa matatizo ya sterometriki.
Kwa sababu ya ukosefu wa mawazo ya anga, kazi ya sterometric, ambayo unahitaji kufanya kuchora mwenyewe, mara nyingi inakuwa ngumu kwa mwanafunzi.
Ndiyo maana matumizi ya michoro zilizopangwa tayari kwa matatizo ya sterometri huongeza kwa kiasi kikubwa kiasi cha nyenzo zilizofunikwa kwenye somo na huongeza ufanisi wake.
Mwongozo uliopendekezwa ni mkusanyo wa ziada wa matatizo ya jiometri kwa wanafunzi wa darasa la 10-11 la shule ya elimu ya jumla na umejikita kwenye kitabu cha kiada cha A.V. Pogorelov "Jiometri 7-11". Ni mwendelezo wa mwongozo sawa kwa wanafunzi wa darasa la 7-9.
Umbizo: pdf(2014, 80 p.)
Ukubwa: 1.2 MB
Tazama, pakua:drive.google ; Mzuka
Umbizo: djvu(2006, 80 p.)
Ukubwa: 1.3 MB
Pakua: drive.google
Jedwali la yaliyomo
Dibaji 3
Kurudia kozi ya planimetry 5
Jedwali 1. Kutatua pembetatu 5
Jedwali 2. Eneo la pembetatu 6
Jedwali 3. Eneo la quadrilateral 7
Jedwali 4. Eneo la quadrilateral 8
Stereometry. Darasa la 10 la 9
Jedwali 10.1. Axioms ya stereometry na matokeo yake rahisi... 9
Jedwali 10.2. Axioms ya sterometry na matokeo yao rahisi. 10
Jedwali 10.3. Usambamba wa mistari katika nafasi. Kuvuka mistari 11
Jedwali 10.4. Usambamba wa mistari na ndege 12
Jedwali 10.5. Ishara za ndege zinazofanana 13
Jedwali 10.6. Sifa za ndege sambamba 14
Jedwali 10.7. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege 15
Jedwali 10.8. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege 16
Jedwali 10.9. Perpendicularity ya mstari na ndege 17
Jedwali 10.10. Perpendicularity ya mstari ulionyooka na ndege 18
Jedwali 10.11. Perpendicular na oblique 19
Jedwali 10.12. Perpendicular na oblique 20
Jedwali 10.13. Nadharia ya pembetatu tatu 21
Jedwali 10.14. Nadharia ya pembetatu tatu 22
Jedwali 10.15. Nadharia ya pembetatu tatu 23
Jedwali 10.16. Perpendicularity ya ndege 24
Jedwali 10.17. Perpendicularity ya ndege 25
Jedwali 10.18. Umbali kati ya mistari 26
Jedwali 10.19. Kuratibu za Cartesian katika nafasi 27
Jedwali 10.20. Pembe kati ya mistari ya kuvuka 28
Jedwali 10.21. Pembe kati ya mstari ulionyooka na ndege 29
Jedwali 10.22. Pembe kati ya ndege 30
Jedwali 10.23. Eneo la makadirio ya orthogonal ya poligoni 31
Jedwali 10.24. Vekta katika nafasi 32
Stereometry. darasa la 11 la 33
Jedwali 11.1. Pembe ya dihedral. Pembe ya pembetatu 33
Jedwali 11.2. Miche iliyonyooka 34
Jedwali 11.3. Mbegu sahihi 35
Jedwali 11.4. Mbegu sahihi 36
Jedwali 11.5. Prism iliyoinuliwa 37
Jedwali 11.6. Parallelepiped 38
Jedwali 11.7. Kuunda sehemu za prism 39
Jedwali 11.8. Piramidi ya kawaida 40
Jedwali 11.9. Piramidi 41
Jedwali 11.10. Piramidi 42
Jedwali 11.11. Piramidi. Piramidi iliyokatwa 43
Jedwali 11.12. Kujenga sehemu za piramidi 44
Jedwali 11.13. Silinda 45
Jedwali 11.14. Koni 46
Jedwali 11.15. Koni. Koni iliyokatwa 47
Jedwali 11.16. Mpira 48
Jedwali 11.17. Mpira ulioandikwa na kuzungushwa 49
Jedwali 11.18. Kiasi cha parallelepiped 50
Jedwali 11.19. Prism kiasi cha 51
Jedwali 11.20. Kiasi cha piramidi 52
Jedwali 11.21. Kiasi cha piramidi 53
Jedwali 11.22. Kiasi cha piramidi. Kiasi cha piramidi iliyopunguzwa 54
Jedwali 11.23. Kiasi na eneo la upande wa silinda..55
Jedwali 11.24. Kiasi na eneo la uso la pembeni la koni 56
Jedwali 11.25. Kiasi cha koni. Kiasi cha koni iliyopunguzwa. Eneo la uso wa pembeni wa koni. Sehemu ya uso wa pembeni ya koni iliyokatwa 57
Jedwali 11.26. Kiasi cha mpira. Sehemu ya uso wa mpira 58
Majibu, maelekezo, ufumbuzi 59
, Mashindano "Uwasilishaji wa somo"
Darasa: 10
Uwasilishaji kwa somo
Rudi mbele
Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.
Malengo ya somo:
- Kielimu:
- kujifunza kifaa cha mnemonic;
- pata fomula za mpito wa pembe kuu katika piramidi za kawaida;
- jifunze kutumia mbinu za mnemonic ili kuthibitisha uhusiano kati ya pembe kwenye piramidi ya kawaida na kutatua matatizo.
- Kimaendeleo:
- kukuza shauku ya utambuzi kupitia ukuzaji wa ustadi wa utafiti wa wanafunzi;
- kuendeleza kumbukumbu ya mfano, kufikiri kufikirika na kimantiki;
- kukuza ujuzi wa kompyuta wa wanafunzi.
- Kielimu:
- ongeza ustadi wa mawasiliano, ustadi wa kufanya kazi na nyenzo za didactic (takriban, rasilimali za elektroniki);
- kuunda utekelezaji wazi wa vitendo wakati wa kufanya kazi ya vitendo na wakati wa kufanya kazi kwa vikundi.
Vifaa:
- kompyuta,
- projekta,
- skrini,
- Bodi ya SMART inayoingiliana,
- Kijitabu
WAKATI WA MADARASA
I. Wakati wa shirika
- Tafadhali fungua madaftari yako na uandike tarehe na mada ya somo: Kutatua matatizo kwenye mada "Piramidi." Leo katika somo tutajifunza wakati wa kutatua matatizo kuomba mbinu isiyo ya kawaida, ambayo iliitwa mnemonic, tutapata fomula za mpito wa pembe kuu katika piramidi za kawaida na kujifunza jinsi ya kuzitumia wakati wa kutatua matatizo.
- Ili kufanya hivyo, tunahitaji kurudia maswali kadhaa kutoka kwa kozi ya jiometri.
II. Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu <Kiambatisho cha 1 >
Kazi ya mdomo (maswali ya mbele).
Imepewa pembetatu ya kulia ABC.
Wacha tukumbuke mambo kuu ya Piramidi.
- Ni polihedron gani inaitwa piramidi?
- Sehemu ya juu ya piramidi ni nini? Msingi?
- Ni piramidi gani inaitwa sahihi?
- Urefu wa piramidi ya kawaida unakadiriwa wapi?
- Taja pembe kati ya makali ya upande wa piramidi na msingi; Kati ya makali ya upande na msingi; pembe kati ya nyuso za upande wa piramidi?
Wacha tufikirie kutatua shida kutoka kwa kitabu cha maandishi. Tahadhari kwa bodi.
№ 255. Katika piramidi ya kawaida ya triangular, upande wa msingi ni 8 cm, na pembe ya ndege kwenye kilele ni sawa na kupata urefu wa piramidi.
III. Uundaji wa maarifa mapya
Wakati wa kutatua tatizo, tulishughulika na pembetatu ambazo hazilala kwenye ndege moja, na, zaidi ya hayo, katika kila mmoja wao hakuna zaidi ya vipengele viwili vilivyojulikana. Je, unafikiri kuna njia rahisi ya kutatua tatizo katika hisabati? Nathibitisha kuwa ipo! Kwa kweli, kuna njia kama hiyo. Na ina jina: mbinu ya mnemonic ya kutatua matatizo ya kijiometri. Ni pamoja naye kwamba nitakutambulisha leo. Hivyo…
Mnemoniki (kutoka Kigiriki - kumbukumbu) ni aina mbalimbali za mbinu zinazokuza ukariri bandia. Kwa maneno mengine, ni sanaa ya kukariri. Tayari watu wa kale na washenzi tayari walijua mfululizo mzima wa mbinu ambazo zilitoa pointi za usaidizi kwa kumbukumbu. Pia unajua baadhi ya mbinu za mnemonic, kama vile kukumbuka rangi ya upinde wa mvua, kuamua bisector, na wengine.
Kwa hivyo, kifaa cha Mnemonic <Kiambatisho cha 3 >
kwa uhusiano kati ya pembe kwenye piramidi ya kawaida:
Ujanja wa Mnemonic:
1. Andika majina ya pembetatu ambayo pembe isiyojulikana iko.
2. Kutoka kwa herufi tatu S, A, O tutafanya jozi tofauti. Tulipata sehemu tatu.
3. Vuta moja ambayo si ya kawaida kwa pembetatu na pembe zinazojulikana.
4. Ongeza herufi moja baada ya nyingine ili kupata jina la pembetatu inayojumuisha mojawapo ya pembe hizi:
5. Tafuta sehemu inayojumuisha barua za kawaida.
6. Ili kupata uhusiano unaohitajika, gawanya nambari na denominator kwa sehemu iliyopatikana.
- Sasa, kwa kutumia kifaa hiki cha mnemonic, nitapata utegemezi kati ya pembe kwenye piramidi ya kawaida.
1. Uhusiano kati ya pembe bapa kwenye kipeo cha piramidi ya kawaida na pembe iliyo kwenye ukingo wa msingi (piramidi ya quadrangular)
2. Uhusiano kati ya pembe bapa kwenye kipeo cha piramidi ya kawaida na pembe kwenye ukingo wa pembeni.
IV. Uundaji wa ujuzi wa msingi
Ndugu wanafunzi wa darasa la 10. Sasa, katika kazi ya vitendo, utachunguza utegemezi kati ya pembe kwenye piramidi ya kawaida, kama matokeo ambayo kila kikundi kitalazimika kupata fomula ya mpito. Kila kundi lina kazi yake. Kuna karatasi za kazi kwenye meza yako. <Kiambatisho 2 > na kanuni ya mnemonic <Kiambatisho cha 3 > , ambayo itawawezesha kupata haraka utegemezi muhimu.
Wanafunzi hufanya kazi kwa vikundi. Mwishoni mwa kazi, mwakilishi wa kikundi huingiza fomula ya mpito kwenye jedwali kwenye slaidi.
Kila kikundi kilipokea kadi nyekundu kwenye meza. <Kiambatisho cha 4 > Ukitumia, unaweza kuangalia usahihi wa hoja zako.
Kama matokeo ya kazi ya vitendo, tulipokea meza ya uhusiano kati ya pembe kwenye piramidi ya kawaida. Katika hatua inayofuata ya somo letu, tutatumia fomula zilizopatikana wakati wa kutatua shida, na njiani tutatathmini jinsi fomula hizi hurahisisha maisha yetu.
Wacha turudi kwenye shida ambayo ilitatuliwa mwanzoni mwa somo. (Kwenye skrini kuna slaidi iliyo na suluhisho na nyuma ya pazia kuna suluhisho kwa kutumia fomula za mpito)
Suluhisho lingine
Ni dhahiri kwamba kwa msaada wa kanuni za mpito, matatizo katika kutatua matatizo yanaweza kushinda kwa urahisi. Una meza iliyo na fomula za mpito kwenye dawati lako. <Kiambatisho cha 5 > si tu kwa piramidi za triangular na quadrangular, lakini pia kwa hexagonal na n-gonal. Njia hizi zinaweza na zinapaswa kutumika wakati wa kutatua matatizo.
Fomula za mpito
Wacha tufikirie kutumia fomula kwa shida nyingine kutoka kwa kitabu cha maandishi
Je, hilo si suluhisho zuri?
V. Tafakari
- Leo umefahamiana na mbinu ya mnemonic ambayo hukuruhusu kupata utegemezi kati ya pembe kwenye piramidi za kawaida, na kwa kutumia mbinu ya mnemonic, ulipata utegemezi kadhaa kama huo na ukaitumia wakati wa kutatua shida.
Wakati wa kutatua matatizo magumu ya sterometri, matatizo mara nyingi hutokea. Wanaweza kutokea, haswa, kwa sababu vipengee vya mstari vilivyotolewa katika hali sio vya ndege moja, na, kwa hiyo, hakuna pembetatu sahihi ambayo inaweza kuanza kutatua. Walakini, kwa msaada wa vifaa vya mnemonic na fomula za mpito, shida zinashindwa kwa urahisi.
VI. Muhtasari wa somo
Wanafunzi wafuatao hupokea alama za kazi zao darasani...
VII. Kazi ya nyumbani
Kama kazi ya nyumbani, ninapendekeza utatue tatizo la 254 (b, d, e) kwa njia mbili: za kitamaduni na kutumia kifaa cha mnemonic (fomula za mpito).
- Asante kila mtu kwa somo
Piramidi ya mara kwa mara ya triangular Kutatua matatizo kwa kutumia michoro zilizopangwa tayari Shule ya Sekondari ya MBOU Verkhnyakovskaya Mwalimu wa hisabati: Martynenko L.N. DABC ni piramidi ya kawaida, DO ┴ (ABC),CK ┴ AB AM ┴ BC BN ┴ AC. Kazi #1: Tafuta FANYA
- Vidokezo:
- Tafuta DK
- Tumia mali ya wapatanishi wa pembetatu
- Tumia nadharia ya Pythagorean kupata DO
- Vidokezo:
- Tumia sheria ya cosines
- Vidokezo:
- Fikiria pembetatu KDM na DO1O2
- Tafuta KM
- Kutumia mali ya mstari wa kati wa pembetatu, pata upande wa pembetatu
- Vidokezo:
- Tumia mali ya wapatanishi wa pembetatu
- Tumia nadharia ya Pythagorean kupata urefu
- Vidokezo:
- Tumia mali ya bisector ya pembetatu
- Vidokezo:
- Ni kipengele gani kinahitaji kupatikana ili kuhesabu DO?
- Tumia mali ya wastani wa pembetatu na uwiano katika pembetatu ya kulia
- Vidokezo:
- Tumia sifa ya wastani wa pembetatu ili kupata OM
- Vidokezo:
- Tumia mali ya wastani wa pembetatu na uwiano katika pembetatu ya kulia
- Vidokezo:
- Tumia mali ya wastani katika pembetatu na uwiano katika pembetatu ya kulia
- Vidokezo:
- Tafuta FANYA
- Vidokezo:
- Andika formula ya eneo la pembetatu
- Pata PL kutoka kwa kufanana kwa pembetatu ABC na APL
- Pata QL kutoka kwa ufanano wa pembetatu ADC na AQL
- Pata urefu wa pembetatu PQL kwa kutumia nadharia ya Pythagorean
- Vidokezo:
- Andika formula ya eneo la pembetatu
- Tafuta CK
- Tumia sifa ya wastani wa pembetatu kupata CO
- Pata urefu wa pembetatu CDK
Jiometri. Kazi na mazoezi kwenye michoro iliyotengenezwa tayari. Darasa la 10-11. Rabinovich E.M.
Jedwali la yaliyomo
Dibaji 3
Kurudia kozi ya planimetry 5
Jedwali 1. Kutatua pembetatu 5
Jedwali 2. Eneo la pembetatu 6
Jedwali 3. Eneo la quadrilateral 7
Jedwali 4. Eneo la quadrilateral 8
Stereometry. Darasa la 10 la 9
Jedwali 10.1. Axioms ya stereometry na matokeo yake rahisi... 9
Jedwali 10.2. Axioms ya sterometry na matokeo yao rahisi. 10
Jedwali 10.3. Usambamba wa mistari katika nafasi. Kuvuka mistari 11
Jedwali 10.4. Usambamba wa mistari na ndege 12
Jedwali 10.5. Ishara za ndege zinazofanana 13
Jedwali 10.6. Sifa za ndege sambamba 14
Jedwali 10.7. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege 15
Jedwali 10.8. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege 16
Jedwali 10.9. Perpendicularity ya mstari na ndege 17
Jedwali 10.10. Perpendicularity ya mstari ulionyooka na ndege 18
Jedwali 10.11. Perpendicular na oblique 19
Jedwali 10.12. Perpendicular na oblique 20
Jedwali 10.13. Nadharia ya pembetatu tatu 21
Jedwali 10.14. Nadharia ya pembetatu tatu 22
Jedwali 10.15. Nadharia ya pembetatu tatu 23
Jedwali 10.16. Perpendicularity ya ndege 24
Jedwali 10.17. Perpendicularity ya ndege 25
Jedwali 10.18. Umbali kati ya mistari 26
Jedwali 10.19. Kuratibu za Cartesian katika nafasi 27
Jedwali 10.20. Pembe kati ya mistari ya kuvuka 28
Jedwali 10.21. Pembe kati ya mstari ulionyooka na ndege 29
Jedwali 10.22. Pembe kati ya ndege 30
Jedwali 10.23. Eneo la makadirio ya orthogonal ya poligoni 31
Jedwali 10.24. Vekta katika nafasi 32
Stereometry. darasa la 11 la 33
Jedwali 11.1. Pembe ya dihedral. Pembe ya pembetatu 33
Jedwali 11.2. Miche iliyonyooka 34
Jedwali 11.3. Mbegu sahihi 35
Jedwali 11.4. Mbegu sahihi 36
Jedwali 11.5. Prism iliyoinuliwa 37
Jedwali 11.6. Parallelepiped 38
Jedwali 11.7. Kuunda sehemu za prism 39
Jedwali 11.8. Piramidi ya kawaida 40
Jedwali 11.9. Piramidi 41
Jedwali 11.10. Piramidi 42
Jedwali 11.11. Piramidi. Piramidi iliyokatwa 43
Jedwali 11.12. Kujenga sehemu za piramidi 44
Jedwali 11.13. Silinda 45
Jedwali 11.14. Koni 46
Jedwali 11.15. Koni. Koni iliyokatwa 47
Jedwali 11.16. Mpira 48
Jedwali 11.17. Mpira ulioandikwa na kuzungushwa 49
Jedwali 11.18. Kiasi cha parallelepiped 50
Jedwali 11.19. Prism kiasi cha 51
Jedwali 11.20. Kiasi cha piramidi 52
Jedwali 11.21. Kiasi cha piramidi 53
Jedwali 11.22. Kiasi cha piramidi. Kiasi cha piramidi iliyopunguzwa 54
Kichwa: Jiometri. Kazi na mazoezi kwenye michoro iliyotengenezwa tayari. 10-11 daraja.
Mwalimu wa hisabati wa shule ya upili anajua vyema jinsi ilivyo vigumu kufundisha wanafunzi kutengeneza michoro inayoonekana na sahihi kwa matatizo ya sterometriki.
Kwa sababu ya ukosefu wa mawazo ya anga, kazi ya sterometric, ambayo unahitaji kufanya kuchora mwenyewe, mara nyingi inakuwa ngumu kwa mwanafunzi.
Ndiyo maana matumizi ya michoro zilizopangwa tayari kwa matatizo ya sterometri huongeza kwa kiasi kikubwa kiasi cha nyenzo zilizofunikwa kwenye somo na huongeza ufanisi wake.
Mwongozo uliopendekezwa ni mkusanyo wa ziada wa matatizo ya jiometri kwa wanafunzi wa darasa la 10-11 la shule ya elimu ya jumla na umejikita kwenye kitabu cha kiada cha A.V. Pogorelova "Jiometri 7-11. Ni mwendelezo wa mwongozo sawa kwa wanafunzi katika darasa la 7-9.
Mwongozo umeundwa kwa namna ya meza na ina kazi zaidi ya 350. Kazi za kila meza zinahusiana na mada maalum ya kozi ya jiometri ya shule kwa darasa la 10-11 na ziko ndani ya meza kwa utaratibu wa kuongezeka kwa utata.
Jedwali la yaliyomo
Dibaji
Kurudia kozi ya planimetry
Jedwali 1. Kutatua pembetatu
Jedwali 2. Eneo la pembetatu
Jedwali 3. Eneo la quadrilateral
Jedwali 4. Eneo la quadrilateral
Stereometry. Daraja la 10
Jedwali 10.1 Axioms ya stereometry na matokeo yao rahisi zaidi
Jedwali 10.2. Axioms ya sterometry na matokeo yao rahisi
Jedwali 10.3. Usambamba wa mistari katika nafasi. Kuvuka mistari
Jedwali 10.4. Usambamba wa mistari na ndege
Jedwali 10.5. Ishara ya ndege sambamba
Jedwali 10.6. Mali ya ndege sambamba
Jedwali 10.7. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege
Jedwali 10.8. Picha ya takwimu za anga kwenye ndege
Jedwali 10.9. Perpendicularity ya mstari na ndege
Jedwali 10.10. Perpendicularity ya mstari na ndege
Jedwali 10.11. Perpendicular na oblique
Jedwali 10.12. Perpendicular na oblique
Jedwali 10.13. Nadharia tatu za Perpendicular
Jedwali 10.14. Nadharia tatu za Perpendicular
Jedwali 10.15. Nadharia tatu za Perpendicular
Jedwali 10.16. Perpendicularity ya ndege
Jedwali 10.17. Perpendicularity ya ndege
Jedwali 10.18. Umbali kati ya mistari ya kuvuka
Jedwali 10.19. Kuratibu za Cartesian katika nafasi
Jedwali 10.20. Pembe kati ya mistari inayokatiza
Jedwali 10.21. Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege
Jedwali 10.22. Pembe kati ya ndege
Jedwali 10.23. Eneo la makadirio ya orthogonal ya poligoni
Jedwali 10.24. Vectors katika nafasi
Stereometry. Daraja la 11
Jedwali 11.1. Pembe ya dihedral. Pembe ya pembetatu
Jedwali 11.2. Prism moja kwa moja
Jedwali 11.3. Prism sahihi
Jedwali 11.4. Prism sahihi
Jedwali 11.5. Prism ya oblique
Jedwali 11.6. Parallelepiped
Jedwali 11.7. Kuunda sehemu za prism
Jedwali 11.8. Piramidi sahihi
Jedwali 11.9. Piramidi
Jedwali 11.10. Piramidi
Jedwali 11.11. Piramidi. Piramidi iliyokatwa
Jedwali 11.12. Kuunda sehemu za piramidi
Jedwali 11.13. Silinda
Jedwali 11.14. Koni
Jedwali 11.15. Koni. Frustum
Jedwali 11.16. Mpira
Jedwali 11.17. Mpira ulioandikwa na kuzungushwa
Jedwali 11.18. Kiasi cha parallelepiped
Jedwali 11.19. Kiasi cha prism
Jedwali 11.20. Kiasi cha piramidi
Jedwali 11.21. Kiasi cha piramidi
Jedwali 11.22. Kiasi cha piramidi. Kiasi cha piramidi iliyopunguzwa
Jedwali 11.23. Kiasi na eneo la uso la upande wa silinda
Jedwali 11.24. Kiasi na eneo la uso la pembeni la koni
Jedwali 11.25. Kiasi cha koni. Kiasi cha koni iliyopunguzwa. Eneo la uso wa pembeni wa koni. Sehemu ya uso wa pembeni ya koni iliyokatwa
Jedwali 11.26. Kiasi cha mpira. Eneo la uso wa tufe
Majibu, maelekezo, ufumbuzi
Pakua e-kitabu bila malipo katika umbizo linalofaa, tazama na usome:
Pakua kitabu cha Jiometri. Kazi na mazoezi kwenye michoro iliyotengenezwa tayari. 10-11 daraja. Rabinovich E.M. 2006 - fileskachat.com, upakuaji wa haraka na wa bure.
