Hadi sasa tumezingatia rahisi zaidi mfano wa kazi, ambapo kazi inategemea kitu pekee hoja. Lakini tunaposoma matukio mbali mbali ya ulimwengu unaotuzunguka, mara nyingi tunakutana na mabadiliko ya wakati mmoja kwa zaidi ya idadi mbili, na michakato mingi inaweza kurasimishwa kwa ufanisi. kazi ya vigezo kadhaa, wapi - hoja au vigezo vya kujitegemea. Wacha tuanze kukuza mada na ile ya kawaida katika mazoezi. kazi za vigezo viwili .

Kazi ya vigezo viwili kuitwa sheria, kulingana na ambayo kila jozi ya maadili vigezo vya kujitegemea(hoja) kutoka uwanja wa ufafanuzi inalingana na thamani ya kutofautiana tegemezi (kazi).

Kazi hii imeonyeshwa kama ifuatavyo:

Ama au nyingine barua ya kawaida:

Kwa kuwa jozi iliyoamuru ya maadili "x" na "y" huamua uhakika kwenye ndege, basi kazi pia imeandikwa kupitia , ambapo ni hatua kwenye ndege na kuratibu. Dokezo hili linatumika sana katika baadhi ya kazi za vitendo.

Maana ya kijiometri ya kazi ya vigezo viwili rahisi sana. Ikiwa kazi ya kutofautiana moja inalingana na mstari fulani kwenye ndege (kwa mfano, parabola inayojulikana ya shule), basi grafu ya kazi ya vigezo viwili iko katika nafasi ya tatu-dimensional. Kwa mazoezi, mara nyingi tunapaswa kushughulika nayo uso, lakini wakati mwingine grafu ya chaguo za kukokotoa inaweza kuwa, kwa mfano, mstari wa anga au hata nukta moja.

Tunafahamu vizuri mfano wa kimsingi wa uso kutoka kwa kozi jiometri ya uchambuzi-Hii ndege. Kwa kudhani kuwa , equation inaweza kuandikwa upya kwa urahisi kama fomu ya kazi:

Sifa muhimu zaidi ya kazi ya vigeu 2 ni ile iliyotajwa tayari kikoa.

Kikoa cha kazi ya vigeu viwili inayoitwa seti kila mtu jozi ambazo thamani yake ipo.

Kielelezo, kikoa cha ufafanuzi ni ndege nzima au sehemu yake. Hivyo, uwanja wa ufafanuzi wa kazi ni ndege nzima ya kuratibu - kwa sababu hiyo kwa yoyote thamani ipo.

Lakini mpangilio kama huo wa uvivu haufanyiki kila wakati, kwa kweli:

Kama vigezo viwili?

Kuzingatia dhana mbalimbali kazi za anuwai kadhaa, ni muhimu kuteka mlinganisho na dhana zinazolingana za kazi za kutofautisha moja. Hasa, wakati wa kufikiria uwanja wa ufafanuzi tulilipa Tahadhari maalum kwa zile chaguo za kukokotoa ambazo zina sehemu, hata mizizi, logariti, n.k. Kila kitu ni sawa hapa!

Kazi ya kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa vigeu viwili vilivyo na uwezekano wa karibu 100% itapatikana katika kazi yako ya mada, kwa hivyo nitachambua idadi nzuri ya mifano:

Mfano 1

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: kwa kuwa denominator haiwezi kwenda kwa sifuri, basi:

Jibu: ndege nzima ya kuratibu isipokuwa pointi za mstari

Ndiyo, ndiyo, ni bora kuandika jibu kwa mtindo huu. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya vigeu viwili mara chache huonyeshwa na ishara yoyote; hutumiwa mara nyingi zaidi. maelezo ya maneno na/au kuchora.

Ikiwa kwa sharti inahitajika fanya kuchora, basi itakuwa muhimu kuonyesha ndege ya kuratibu na mstari wa nukta fanya mstari wa moja kwa moja. Mstari wa nukta unaonyesha kwamba mstari Isiyojumuishwa kwenye uwanja wa ufafanuzi.

Kama tutakavyoona baadaye, katika mifano ngumu zaidi huwezi kufanya bila kuchora hata kidogo.

Mfano 2

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: usemi mkali lazima siwe hasi:

Jibu: nusu-ndege

Uwakilishi wa picha hapa pia ni wa zamani: tunachora mfumo wa kuratibu wa Cartesian, imara chora mstari wa moja kwa moja na uweke kivuli juu nusu-ndege. Mstari thabiti unaonyesha ukweli kwamba pamoja kwenye uwanja wa ufafanuzi.

Makini! Iwapo huelewi LOLOTE kutoka kwa mfano wa pili, tafadhali soma/rudia somo kwa undani Ukosefu wa usawa wa mstari- bila yeye itakuwa ngumu sana!

Kijipicha cha uamuzi wa kujitegemea:

Mfano 3

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhu la mistari miwili na jibu mwishoni mwa somo.

Wacha tuendelee kuwasha moto:

Mfano 4

Na onyesha kwenye mchoro

Suluhisho: ni rahisi kuelewa kwamba hii ni uundaji wa tatizo inahitaji utekelezaji wa mchoro (hata kama kikoa cha ufafanuzi ni rahisi sana). Lakini kwanza, uchanganuzi: radical ya usemi lazima iwe isiyo hasi: na, kwa kuzingatia kwamba denominator haiwezi kwenda kwa sifuri, usawa unakuwa mkali:

Jinsi ya kuamua eneo ambalo usawa hufafanua? Ninapendekeza algorithm sawa ya vitendo kama kwenye suluhisho usawa wa mstari.

Kwanza tunachora mstari, ambayo imewekwa usawa unaolingana. Equation huamua mduara inayozingatia asili ya radius inayogawanya ndege ya kuratibu ndani mbili sehemu - "ndani" na "nje" ya duara. Kwa kuwa tuna usawa kali, basi mduara yenyewe hakika hautajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi na kwa hivyo lazima itolewe mstari wa nukta.

Sasa hebu tuchukue kiholela uwanja wa ndege, si mali ya mduara, na ubadilishe viwianishi vyake katika ukosefu wa usawa. Njia rahisi, kwa kweli, ni kuchagua asili:

Imepokelewa usawa wa uongo, hivyo, uhakika hairidhishi ukosefu wa usawa Zaidi ya hayo, usawa huu hauridhiki na hatua yoyote iliyo ndani ya mduara, na, kwa hiyo, uwanja unaohitajika wa ufafanuzi ni sehemu yake ya nje. Sehemu ya ufafanuzi imeundwa jadi:

Mtu yeyote anaweza kuchukua sehemu yoyote ya eneo lenye kivuli na kuhakikisha kuwa viwianishi vyake vinakidhi ukosefu wa usawa. Kwa njia, usawa wa kinyume unatoa mduara inayozingatia asili, radius .

Jibu: sehemu ya nje ya duara

Wacha turudi kwa maana ya kijiometri ya shida: tumepata kikoa cha ufafanuzi na tukaiweka kivuli, hii inamaanisha nini? Hii ina maana kwamba katika kila hatua ya eneo la kivuli kuna thamani "zet" na graphically kazi ni yafuatayo uso:

Mchoro wa mchoro unaonyesha wazi kuwa uso huu iko katika maeneo juu ndege (octants karibu na mbali kutoka kwetu), katika baadhi ya maeneo - chini ndege (oksidi za kushoto na kulia zinazohusiana na sisi). Uso pia hupita kupitia axes. Lakini tabia ya kazi kama hiyo haipendezi sana kwetu sasa - lililo muhimu ni hilo haya yote hutokea pekee katika uwanja wa ufafanuzi. Ikiwa tutachukua hatua yoyote ya mduara, basi hakutakuwa na uso hapo (kwa kuwa hakuna "zet"), kama inavyothibitishwa na nafasi ya pande zote katikati ya picha.

Tafadhali elewa vizuri mfano uliochambuliwa, kwani ndani yake nilielezea kwa undani kiini cha shida.

Kazi ifuatayo ni kwako kutatua peke yako:

Mfano 5

Suluhisho fupi na kuchora mwishoni mwa somo. Kwa ujumla, katika mada inayozingatiwa kati ya Mistari ya 2 ya utaratibu maarufu zaidi ni mduara, lakini, kama chaguo, wanaweza "kusukuma" kwenye tatizo duaradufu, hyperboli au parabola.

Hebu tusogee juu:

Mfano 6

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: usemi mkali lazima siwe hasi: na kipunguzo hakiwezi kuwa sawa na sufuri: . Kwa hivyo, kikoa cha ufafanuzi kinatajwa na mfumo.

Tunashughulikia hali ya kwanza kwa kutumia mpango wa kawaida unaojadiliwa katika somo. Ukosefu wa usawa wa mstari: chora mstari wa moja kwa moja na uamua nusu-ndege inayolingana na usawa. Kwa sababu usawa zisizo kali, basi mstari wa moja kwa moja yenyewe pia utakuwa suluhisho.

Kwa hali ya pili ya mfumo, kila kitu pia ni rahisi: equation inabainisha mhimili wa kuratibu, na tangu , basi inapaswa kutengwa na uwanja wa ufafanuzi.

Wacha tuchore mchoro, bila kusahau kuwa mstari thabiti unaonyesha kuingia kwake kwenye eneo la ufafanuzi, na mstari wa alama unaonyesha kutengwa kwake kutoka kwa eneo hili:

Ikumbukwe kwamba hapa tuko tayari kulazimishwa tengeneza mchoro. Na hali hii ni ya kawaida - katika kazi nyingi, maelezo ya maongezi ya eneo hilo ni ngumu, na hata ikiwa utaielezea, uwezekano mkubwa utaeleweka vibaya na kulazimishwa kuonyesha eneo hilo.

Jibu: kikoa:

Kwa njia, jibu kama hilo bila kuchora linaonekana kuwa unyevu.

Hebu turudia tena maana ya kijiometri ya matokeo yaliyopatikana: katika eneo la kivuli kuna grafu ya kazi, ambayo inawakilisha. uso wa nafasi tatu-dimensional. Uso huu unaweza kuwa juu / chini ya ndege, unaweza kuingiliana na ndege - ndani kwa kesi hii Tunayo haya yote sambamba. Ukweli kabisa wa kuwepo kwa uso ni muhimu, na ni muhimu kupata kwa usahihi kanda ambayo iko.

Mfano 7

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Mfano wa takriban wa kazi ya mwisho mwishoni mwa somo.

Sio kawaida kwa kazi zinazoonekana kuwa rahisi kutoa suluhisho la muda mrefu:

Mfano 8

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: kutumia formula tofauti ya mraba, wacha tubadilishe usemi mkali: .

Bidhaa ya mambo mawili sio hasi , Lini zote mbili vizidishi sio hasi: AU Lini zote mbili zisizo chanya:. Hii ni kipengele cha kawaida. Kwa hivyo, tunahitaji kutatua mbili mifumo ya usawa wa mstari Na UNGANISHA maeneo yaliyopokelewa. Katika hali kama hiyo, badala ya algorithm ya kawaida Njia ya kisayansi, au tuseme, poking ya vitendo inafanya kazi haraka zaidi =)

Tunatoa mistari ya moja kwa moja ambayo hugawanya ndege ya kuratibu katika "pembe" 4. Tunachukua hatua fulani ya "kona" ya juu, kwa mfano, hatua na kubadilisha kuratibu zake katika hesabu za mfumo wa 1: . Kukosekana kwa usawa sahihi kunapatikana, ambayo inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni zote juu "kona". Kuweka kivuli.

Sasa tunachukua hatua ya "kona" ya kulia. Mfumo wa 2 unabaki, ambao tunabadilisha kuratibu za hatua hii: . Kukosekana kwa usawa kwa pili sio kweli, kwa hivyo, na wote"kona" ya kulia sio suluhisho la mfumo.

Hadithi sawa iko na "kona" ya kushoto, ambayo pia haijajumuishwa katika upeo wa ufafanuzi.

Na mwishowe, tunabadilisha kuratibu za hatua ya majaribio ya "kona" ya chini kwenye mfumo wa 2: . Kukosekana kwa usawa ni kweli, ambayo inamaanisha kuwa suluhisho la mfumo ni na wote"kona" ya chini, ambayo inapaswa pia kuwa kivuli.

Kwa kweli, kwa kweli, hakuna haja ya kuielezea kwa undani kama hii - vitendo vyote vilivyotolewa maoni hufanywa kwa urahisi kwa mdomo!

Jibu: uwanja wa ufafanuzi ni Muungano ufumbuzi wa mfumo .

Kama unavyoweza kudhani, jibu kama hilo haliwezekani kufanya kazi bila kuchora, na hali hii inakulazimisha kuchukua mtawala na penseli, ingawa hali haikuhitaji.

Na hii ndio lishe yako:

Mfano 9

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Mwanafunzi mzuri hukosa logarithm kila wakati:

Mfano 10

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: hoja ya logarithm ni chanya kabisa, kwa hivyo kikoa cha ufafanuzi kinatolewa na mfumo.

Kukosekana kwa usawa kunaonyesha nusu-ndege sahihi na haijumuishi mhimili.

Kwa hali ya pili hali ni ngumu zaidi, lakini pia ni wazi. Hebu tukumbuke sinusoid. Hoja ni "Igrek", lakini hii haipaswi kunichanganya - Igrek, hivyo Igrek, Zyu, hivyo Zyu. Sini kubwa kuliko sifuri iko wapi? Sine ni kubwa kuliko sifuri, kwa mfano, kwa muda. Kwa kuwa chaguo la kukokotoa ni la mara kwa mara, kuna vipindi vingi sana na katika hali iliyoporomoka suluhu ya ukosefu wa usawa itaandikwa kama ifuatavyo:
, nambari kamili ya kiholela iko wapi.

Idadi isiyo na kikomo ya vipindi, kwa kweli, haiwezi kuonyeshwa, kwa hivyo tutajiwekea kikomo kwa muda. na majirani zake:

Wacha tukamilishe mchoro, bila kusahau kuwa kulingana na hali ya kwanza, uwanja wetu wa shughuli ni mdogo kwa nusu ya ndege inayofaa:

hmm...iligeuka kuwa aina fulani ya mchoro wa roho...uwakilishi mzuri wa hisabati ya juu...

Jibu:

Logarithm ifuatayo ni yako:

Mfano 11

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Wakati wa suluhisho, itabidi ujenge parabola, ambayo itagawanya ndege katika sehemu 2 - "ndani" iko kati ya matawi, na sehemu ya nje. Njia ya kupata sehemu inayohitajika imeonekana mara kwa mara katika makala Ukosefu wa usawa wa mstari na mifano iliyotangulia katika somo hili.

Suluhisho, kuchora na jibu mwishoni mwa somo.

Nati za mwisho za aya zimetolewa kwa "matao":

Mfano 12

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho: Hoja ya arcsine lazima iwe ndani ya mipaka ifuatayo:

Kisha kuna mbili uwezo wa kiufundi: wasomaji walioandaliwa zaidi sawa na mifano ya mwisho ya somo Kikoa cha kitendakazi cha kigeu kimoja wanaweza "kusonga" usawa mara mbili na kuacha "Y" katikati. Kwa dummies, ninapendekeza kubadilisha "locomotive" kuwa sawa mfumo wa usawa:

Mfumo unatatuliwa kama kawaida - tunaunda mistari iliyonyooka na kupata nusu-ndege muhimu. Matokeo yake:

Tafadhali kumbuka kuwa hapa mipaka imejumuishwa katika eneo la ufafanuzi na mistari ya moja kwa moja hutolewa kama mistari thabiti. Hii lazima daima kufuatiliwa kwa makini ili kuepuka kosa kubwa.

Jibu: kikoa cha ufafanuzi kinawakilisha suluhisho la mfumo

Mfano 13

Tafuta kikoa cha chaguo za kukokotoa

Suluhisho la sampuli hutumia mbinu ya hali ya juu - kubadilisha usawa mara mbili.

Katika mazoezi, sisi pia wakati mwingine hukutana na matatizo yanayohusisha kupata kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya vigezo vitatu. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya vigezo vitatu inaweza kuwa Wote nafasi ya pande tatu, au sehemu yake. Katika kesi ya kwanza kazi inaelezwa kwa yoyote pointi katika nafasi, kwa pili - tu kwa pointi hizo ambazo ni za kitu fulani cha anga, mara nyingi - mwili. Inaweza kuwa parallelepiped ya mstatili, ellipsoid, "ndani" silinda ya kimfano na kadhalika. Kazi ya kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya vigezo vitatu kawaida inajumuisha kutafuta mwili huu na kufanya mchoro wa tatu-dimensional. Walakini, mifano kama hiyo ni nadra sana. (Nilipata vipande kadhaa tu), na kwa hivyo nitajizuia kwa aya hii ya muhtasari tu.

Mistari ya kiwango

Ili kuelewa vizuri neno hili, tutalinganisha mhimili na urefu: thamani ya "Z" ya juu, urefu wa juu, thamani ndogo"Z" - chini ya urefu. Urefu unaweza pia kuwa mbaya.

Chaguo za kukokotoa katika kikoa chake cha ufafanuzi ni grafu ya anga; kwa uhakika na uwazi zaidi, tutachukulia kuwa hii ni sehemu ndogo. Mistari ya ngazi ni nini? Kwa kusema kwa mfano, mistari ya ngazi ni "vipande" vya usawa vya uso kwa urefu mbalimbali. "Vipande" hivi au, kwa usahihi zaidi, sehemu unaofanywa na ndege, baada ya hapo wanaonyeshwa kwenye ndege .

Ufafanuzi: mstari wa kiwango cha utendakazi ni mstari kwenye ndege katika kila sehemu ambayo kitendakazi hudumisha thamani ya mara kwa mara: .

Kwa hivyo, mistari ya kiwango husaidia kujua uso fulani unaonekanaje - na husaidia bila kuunda mchoro wa pande tatu! Hebu tuzingatie kazi maalum:

Mfano 14

Tafuta na upange mistari kadhaa ya kiwango cha grafu ya kazi

Suluhisho: Tunachunguza sura ya uso uliopewa kwa kutumia mistari ya ngazi. Kwa urahisi, wacha tupanue kiingilio "nyuma mbele":

Kwa wazi, katika kesi hii "zet" (urefu) ni wazi haiwezi kuchukua maadili hasi (kwa kuwa jumla ya miraba sio hasi). Hivyo, uso iko katika nafasi ya juu ya nusu (juu ya ndege).

Kwa kuwa hali hiyo haisemi ni kwa urefu gani mistari ya kiwango inahitaji "kukatwa," tuko huru kuchagua maadili kadhaa ya "Z" kwa hiari yetu.

Tunachunguza uso kwa urefu wa sifuri, kufanya hivyo tunaweka thamani katika usawa :

Suluhisho la equation hii ni uhakika. Hiyo ni, wakati mstari wa ngazi unawakilisha hatua.

Tunapanda kwa urefu wa kitengo na "kukata" uso wetu ndege (badala katika mlinganyo wa uso):

Hivyo, kwa urefu, mstari wa ngazi ni mduara unaozingatia hatua ya radius ya kitengo.

Nakukumbusha hilo "vipande" vyote vinaonyeshwa kwenye ndege, na ndiyo sababu ninaandika mbili, sio tatu, kuratibu kwa pointi!

Sasa tunachukua, kwa mfano, ndege na "kukata" uso unaojifunza nayo (badalakwenye equation ya uso):

Hivyo, kwa urefumstari wa ngazi ni mduara unaozingatia hatua ya radius.

Na, hebu tujenge mstari mwingine wa kiwango, sema :

–mduara uliowekwa katikati kwenye sehemu ya radius 3.

Mistari ya kiwango, kama nilivyosisitiza tayari, iko kwenye ndege, lakini kila mstari umesainiwa - ni urefu gani unalingana na:

Si vigumu kuelewa kwamba mistari mingine ya ngazi ya uso inayozingatiwa pia ni miduara, na juu tunapanda (tunaongeza thamani ya "Z"), radius inakuwa kubwa. Hivyo, uso yenyewe Ni bakuli isiyo na mwisho na chini ya ovoid, ambayo juu yake iko kwenye ndege. "Bakuli" hili, pamoja na mhimili, "hutoka kwako" kutoka kwenye skrini ya kufuatilia, yaani, unatazama chini yake =) Na hii sio bila sababu! Ni mimi tu ninaimwaga barabarani sana =) =)

Jibu: mistari ya ngazi ya uso uliopewa ni miduara ya kuzingatia ya fomu

Kumbuka : wakati mduara ulioharibika wa radius ya sifuri (uhakika) unapatikana

Wazo lenyewe la mstari wa ngazi linatokana na upigaji ramani. Ili kufafanua usemi uliowekwa wa kihesabu, tunaweza kusema hivyo mstari wa ngazi ni eneo la kijiografia pointi za urefu sawa. Fikiria mlima fulani na mistari ya kiwango cha mita 1000, 3000 na 5000:

Takwimu inaonyesha wazi kwamba mteremko wa juu wa kushoto wa mlima ni mwingi zaidi kuliko mteremko wa chini wa kulia. Kwa hivyo, mistari ya ngazi inakuwezesha kutafakari ardhi ya eneo kwenye ramani "gorofa". Kwa njia, hapa maadili hasi ya urefu pia hupata maana maalum - baada ya yote, baadhi ya maeneo ya uso wa Dunia iko chini ya kiwango cha sifuri cha bahari ya dunia.

Kwa

kazi kadhaa

chati ya upakuaji

Kuchora kipengele mtandaoni

papo hapo.

Huduma ya mtandaoni papo hapo huchota grafu

Imeungwa mkono kabisa Wote kazi za hisabati

Kazi za Trigonometric
				Cosecant	Cotangent	arcsine	arc cosine	Arctangent	Arcsecant	Arccosecant	Arccotangent
Vitendaji vya hyperbolic
Nyingine
Logarithm ya asili		Logarithm		Kipeo				Zungusha chini		Zungusha
Kiwango cha chini						Upeo wa juu
min(maneno1, usemi2,...)						max(maneno1, usemi2,...)

Kitendaji cha grafu

Ujenzi wa uso wa 3D

Ingiza mlinganyo

Wacha tuunde uso unaofafanuliwa na equation f(x, y, z) = 0, ambapo a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Mifano mingine:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = dhambi((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Mtazamo wa kisheria wa curve na uso

Unaweza kuamua aina ya curve na uso wa mpangilio wa 2 mtandaoni kwa suluhisho la kina:

Sheria za kuingiza misemo na kazi

Semi zinaweza kujumuisha vitendaji (nukuu hutolewa kwa mpangilio wa alfabeti):

kabisa(x) Thamani kamili x
(moduli x au |x|) arccos(x) Kazi - arc cosine ya xarccosh(x) Safu cosine hyperbolic kutoka xarcsin(x) Arcsine kutoka xarcsinh(x) Arcsine hyperbolic kutoka xarctan(x) Kazi - arctangent ya xarctgh(x) Arctangent hyperbolic kutoka xee nambari ambayo ni takriban sawa na 2.7 exp(x) Kazi - kipeo cha x(kama e^x) logi(x) au ln(x) Logarithm ya asili ya x
(Kupata log7(x), unahitaji kuingia log(x)/log(7) (au, kwa mfano, kwa log10(x)=logi(x)/logi(10)) pi Nambari ni "Pi", ambayo ni takriban sawa na 3.14 dhambi(x) Kazi - Sine ya xcos(x) Kazi - Cosine ya xsinh(x) Kazi - Hyperbolic sine ya xcosh(x) Kazi - Kosine ya hyperbolic ya xsqrt(x) Kazi - Kipeo kutoka xsqr(x) au x^2 Kazi - Mraba xtan(x) Kazi - Tangent kutoka xtgh(x) Kazi - Tangent hyperbolic kutoka xcbrt(x) Kazi - mizizi ya mchemraba kutoka xsakafu(x) Kazi - kuzunguka x chini (mfano wa sakafu(4.5)==4.0) ishara(x) Kazi - Ishara xerf(x) Hitilafu ya kukokotoa (Laplace au uwezekano muhimu)

Operesheni zifuatazo zinaweza kutumika katika misemo:

Nambari halisi ingia kama 7.5 , Hapana 7,5 2*x- kuzidisha 3/x- mgawanyiko x^3- udhihirisho x+7- nyongeza x - 6- kutoa

Jinsi ya kuchora kazi mtandaoni kwenye tovuti hii?

Kwa panga kipengele mtandaoni, unahitaji tu kuingiza kazi yako katika uwanja maalum na ubofye mahali fulani nje yake. Baada ya hayo, grafu ya kazi iliyoingia itatolewa moja kwa moja. Hebu tuseme unataka kuunda grafu ya kawaida ya kitendakazi cha "x mraba". Ipasavyo, unahitaji kuingiza "x^2" kwenye uwanja.

Ikiwa unahitaji kupanga njama kazi kadhaa wakati huo huo, kisha bonyeza kitufe cha bluu"Ongeza zaidi". Baada ya hayo, shamba lingine litafungua ambalo utahitaji kuingiza kazi ya pili. Ratiba yake pia itajengwa kiotomatiki.

Unaweza kurekebisha rangi ya mistari ya grafu kwa kubofya mraba ulio upande wa kulia wa sehemu ya ingizo ya chaguo za kukokotoa. Mipangilio iliyobaki iko moja kwa moja juu ya eneo la grafu. Kwa msaada wao, unaweza kuweka rangi ya asili, uwepo na rangi ya gridi ya taifa, uwepo na rangi ya axes, kuwepo kwa alama, pamoja na kuwepo na rangi ya hesabu ya makundi ya grafu. Ikiwa ni lazima, unaweza kuongeza grafu ya kazi kwa kutumia gurudumu la panya au icons maalum kwenye kona ya chini ya kulia ya eneo la kuchora.

Baada ya kupanga grafu na kufanya mabadiliko muhimu kwa mipangilio, unaweza chati ya upakuaji kwa kutumia kitufe kikubwa cha kijani cha "Pakua" chini kabisa. Utaombwa kuhifadhi grafu ya chaguo la kukokotoa kama picha ya PNG.

Kwa nini unahitaji kuchora utendaji?

Katika ukurasa huu unaweza kujenga chati ya mwingiliano kazi za mtandaoni.

Kitendaji cha grafu mtandaoni

Kupanga grafu ya utendakazi hukuruhusu kuona taswira ya kijiometri ya kipengele fulani cha kihesabu. Ili iwe rahisi kwako kujenga grafu kama hiyo, tumeunda maalum maombi ya mtandaoni. Ni bure kabisa, hauhitaji usajili, na inaweza kutumika moja kwa moja kwenye kivinjari chako bila usumbufu wowote. mipangilio ya ziada na ghiliba. Kuunda grafu kwa ajili ya utendaji mbalimbali mara nyingi huhitajika na wanafunzi wa shule ya kati na ya upili wanaosoma aljebra na jiometri, pamoja na wanafunzi wa mwaka wa kwanza na wa pili wanaochukua kozi za juu za hisabati. Kwa kawaida, mchakato huu inachukua muda mwingi na inahitaji vifaa vingi vya ofisi kuchora shoka za grafu kwenye karatasi, kuweka alama za kuratibu, na kuzichanganya. mstari wa moja kwa moja na kadhalika. Kwa kutumia hii huduma ya mtandaoni unaweza kuhesabu na kuunda picha ya mchoro kazi papo hapo.

Kikokotoo cha graphing hufanyaje kazi kwa kazi za graphing?

Huduma ya mtandaoni Inafanya kazi kwa urahisi sana. Kazi (yaani equation yenyewe, grafu ambayo inahitaji kupangwa) imeingia kwenye shamba juu sana. Mara baada ya kuingia kwenye programu papo hapo huchota grafu katika eneo chini ya uwanja huu. Kila kitu hufanyika bila kuonyesha upya ukurasa. Ifuatayo, unaweza kuingiza anuwai mipangilio ya rangi, pamoja na kuficha/onyesha baadhi ya vipengele vya grafu ya chaguo za kukokotoa. Baada ya hayo, chati iliyokamilishwa inaweza kupakuliwa kwa kubofya kitufe kinachofaa chini kabisa ya programu. Mchoro utapakuliwa kwenye kompyuta yako katika umbizo la .png, ambalo unaweza kuchapisha au kuhamisha kwenye daftari la karatasi.

Je, mjenzi wa grafu anaauni vipengele gani?

Imeungwa mkono kabisa kazi zote za hisabati, ambayo inaweza kuwa muhimu wakati wa kupanga grafu. Ni muhimu kusisitiza hapa kwamba, tofauti na lugha ya classical ya hisabati iliyopitishwa katika shule na vyuo vikuu, ishara ya shahada ndani ya maombi inaonyeshwa na ishara ya kimataifa "^". Hii ni kutokana na ukosefu wa uwezo wa kuandika shahada katika muundo wa kawaida kwenye kibodi cha kompyuta. Chini ni meza na orodha kamili kazi zinazoungwa mkono.

Programu inasaidia kazi zifuatazo:

Kazi za Trigonometric
				Cosecant	Cotangent	arcsine	arc cosine	Arctangent	Arcsecant	Arccosecant	Arccotangent
Vitendaji vya hyperbolic
Nyingine
Logarithm ya asili		Logarithm		Kipeo				Zungusha chini		Zungusha
Kiwango cha chini						Upeo wa juu
min(maneno1, usemi2,...)						max(maneno1, usemi2,...)

Mifano. Tengeneza mistari ya kiwango cha utendakazi inayolingana na maadili

Tengeneza mistari ya kiwango cha utendakazi inayolingana na maadili .

Kwa kudhani , tunapata milinganyo ya mistari ya ngazi inayolingana:

Kwa kuunda mistari hii ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu xOy, tunapata mistari ya moja kwa moja sambamba na sehemu mbili za pembe za kuratibu za pili na nne (Mchoro 1)

Wacha tuandike hesabu za mistari ya kiwango:

, , , Na .

Kwa kuziunda kwenye ndege ya xOy, tunapata miduara ya umakini na kituo kwenye asili ya kuratibu (Mchoro 2)

Mistari ya ngazi ya kazi hii , , , na ni parabolas linganifu kwa heshima na Oy yenye vertex ya kawaida kwenye asili (Mchoro 3).

2. Derivative ya mwelekeo

Tabia muhimu ya uwanja wa scalar ni kiwango cha mabadiliko ya uwanja katika mwelekeo fulani.

Ili kuashiria kiwango cha mabadiliko ya shamba katika mwelekeo wa vector, dhana ya derivative ya shamba katika mwelekeo huletwa.

Fikiria kazi kwa uhakika na kwa uhakika.

Wacha tuchore kupitia alama na vekta. Pembe za mwelekeo wa vector hii kwa mwelekeo wa axes za kuratibu x, y, z hebu tuashiria a, b, g, mtawalia. Cosines ya pembe hizi huitwa mwelekeo cosines vekta

∙ hupitia sehemu moja kwenye ndege sambamba na mstari sambamba na ndege hiyo.

Mfano wa kujenga mstari wa moja kwa moja kwenye ndege (Mchoro 3.12):
Mchele. 3.12 Kazi: tengeneza mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya ABC, iliyotolewa
		makadirio ya mbele

3.4 Mistari kuu ya ndege

Ili kutatua matatizo mengi ya jiometri ya maelezo, mistari ya nafasi fulani hutumiwa - mistari ya ngazi.

Mistari ya ngazi ni mistari kwenye ndege sambamba na PP. Mstari unaofanana na PP ya usawa ni ya usawa, Mbele ni ya mbele, Profaili PP ni mstari wa wasifu.

Kwa kuwa mistari ya ngazi ni sawa na ndege zao za makadirio, kwenye PP nyingine makadirio yao yatakuwa sawa na shoka za kuratibu. Kwa mfano, makadirio ya mbele ya mlalo ni sambamba na mhimili wa x 12.

Mifano ya kujenga mistari ya ngazi: ∙ Mlalo h (Mchoro 3.13);

h 11 1

Mchele. 3.13 Mlalo kwenye ndege

Ikiwa ndege inafafanuliwa kwa ufuatiliaji, mistari ya kiwango cha h na f itakuwa sawa na ufuatiliaji kwenye ndege zao za makadirio: ufuatiliaji wa usawa hadi usawa, ufuatiliaji wa mbele hadi wa mbele, nk. (Mchoro 3.14). Kimsingi, ufuatiliaji wa ndege ni mstari wa kiwango karibu sana na ndege ya makadirio.

			f 1≡ h 2

Mchele. 3.14 Mistari ya kiwango cha ndege iliyofafanuliwa kwa athari

3.5 Elekeza kwenye ndege

Hoja iko kwenye ndege ikiwa ni ya mstari wowote kwenye ndege hii. Kwa hivyo, ili kuunda hatua kwenye ndege, ni muhimu kwanza kuunda mstari wa msaidizi kwenye ndege ili ipitishe makadirio fulani ya hatua inayotakiwa na, kisha, kupata uhakika kwenye mstari wa msaidizi uliojengwa kando ya mstari wa uunganisho. .

Mifano ya kujenga uhakika kwenye ndege (Mchoro 3.15):

		D1 -?
	D1 -?

Mchele. 3.15 Point kwenye ndege

Kuunda hatua kwenye ndege iliyofafanuliwa kwa athari.

Ikiwa ndege imeainishwa na athari, mistari ya kiwango hutumiwa kama mistari ya ndege, kwa msaada wa ambayo sehemu ya ndege inakaguliwa, ambayo ni rahisi kuunda kwa kuchora sambamba na athari zilizopewa (Mtini. 3.16). Ikumbukwe kwamba makadirio ya hatua inayomilikiwa na ufuatiliaji wa ndege kwenye ndege nyingine ya makadirio itakuwa kwenye mhimili unaotenganisha ndege za makadirio (ona (.)1).

				f 1≡ h 2

Mchele. 3.16 Kutumia mistari ya usawa kuunda miwani kwenye ndege iliyoainishwa na nyimbo

Mada ya 4 Msimamo wa jamaa wa takwimu za kijiometri: mstari wa moja kwa moja na ndege, ndege mbili.

Mstari wa moja kwa moja na ndege, pamoja na ndege mbili, inaweza kuwa:

∙ sambamba kwa kila mmoja

∙ vuka,

∙ perpendicular kwa kila mmoja.

4.1 Takwimu sambamba

4.1.1 Mstari wa moja kwa moja sambamba na ndege

Mfano 1 (Mchoro 4.1). Kuna ndege Σ(a Ç b).

Imepewa (.) A na makadirio ya mbele 2 moja kwa moja. Chora mstari kupitia (.)Sambamba na ndege Σ

A 2l 2

Mchele. 4.1 Ujenzi wa mstari wa moja kwa moja sambamba na ndege

Mfano 2. Kupitia (.)Chora mstari mlalo sambamba na ndege

Σ(ABC) (Mchoro 4.2).

Mchele. 4.2 Mlalo sambamba na ndege

4.1.2 Ndege zinazofanana

Ndege mbili zinafanana ikiwa mistari miwili inayoingiliana ya ndege moja ni sawa na mistari miwili inayoingiliana ya ndege nyingine (Mchoro 4.3).

				a // d
							ý Þ a // d
				a 2// d 2þ
				b // c				Þ b// c
				b 2// c 2þ
				pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )

Mchele. 4.3 Ndege zinazofanana

Mistari inaweza kuchaguliwa kama mistari ya kukatiza
hali ya kibinafsi. Kutoka hapa:
Ikiwa athari za jina moja la ndege mbili ni sawa. Hiyo
ndege zenyewe ziko sambamba.
				pl .S (f Ç h ) //pl .T (f "Ç h ")
			h'
Mchele. 4.4 Ndege sambamba,
	iliyotolewa na athari
Mfano 4.3: Kupitia (.)Chora ndege Θ sambamba na ndege
Γ hufafanuliwa na mistari miwili inayofanana (Mchoro 4.5).
	Mchele. 4.5 Ndege sambamba

Mbinu ya ujenzi:

1. Kwenye ndege Г, kwa kutumia mstari wa moja kwa moja, hatua ya msaidizi ya kiholela inachaguliwa.

2. Kupitia (.) 1, chora mistari miwili ya moja kwa moja ya kiholela l na k ili waweze kuingiliana na mstari mwingine wa moja kwa moja, kufafanua ndege - mstari b.

3. Kupitia hatua fulani Na kuchora mistari miwili m na n, sambamba na mistari ya msaidizi l na k, kwa mtiririko huo. Wawili hawa

mistari ya kuingiliana l na k itafafanua ndege inayotakiwa Q, sambamba na ndege iliyotolewa Г.

Mfano 4.4: Chora kupitia (.)A

ndege

sambamba

ndege inayoonyesha mbeleΣ (m ||n) (Mchoro 4.6).

≡ l 2

Mchele. 4.6 Ndege sambamba

Mbinu ya ujenzi:

1. Kwenye PP ya mbele kupitia makadirio ya mbele Na pointi 2 ikipewa A, mstari ulionyooka umechorwa A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Mstari huu ulionyooka utakuwa alama ya mbele ya ndege inayotakikana D. Ndege inayofanana na ile ya mbele ni lazima iwe ndiyo ndege ya mbele yenyewe!

2. Pointi mbili zimechaguliwa kwa nasibu kwenye PP ya usawa Saa 1 na

C1.

3. Makadirio ya mbele Katika 2 na C pointi 2 B na C hutafutwa kwenye njia za mawasiliano kwenye ufuatiliaji ulioundwa wa ndege D.

NB! Licha ya ukweli kwamba pointi B na C zilichaguliwa kwa kiholela kwenye PP ya usawa, ndege iliyofafanuliwa na pointi АВС itakuwa sawa na ndege ya mbele-ya mbele kwa sababu kwenye PP ya mbele pointi АВС ziko kwenye mstari sawa sawa na ufuatiliaji wa mbele wa ndege uliyopewaΣ.

4.2 Makutano ya mstari na ndege. Sehemu ya makutano

Hebu tuzingatie kesi maalum, wakati ni muhimu kupata (.)K makutano ya mstari msimamo wa jumla l na ndege inayoonyesha mlaloΣ.

Mfano 4.9: Tengeneza sehemu ya makutano ya mstari wa moja kwa moja l na ndege ya makadirio ya mlalo Σ (Mchoro 4.7):

	^ uk 1

Mchele. 4.7 Makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege inayojitokeza

Ujenzi ni rahisi sana. Kwa kuwa ndege inayoonyesha Σ ina mali ya pamoja, hatua ya makutano yake na mstari

iko kama sehemu ya makutano ya ufuatiliaji mlalo Σ 1 wa ndege na makadirio ya mlalo ya mstari 1. Makadirio ya mbele ya hatua ya makutano hupatikana kando ya mstari wa mawasiliano.

Ili kuunda sehemu ya makutano ya mstari wa moja kwa moja wa kiholela na ndege ya jumla, ndege za usaidizi za makadirio zinapaswa kutumika kama kipengele cha msaidizi.

Mfano 4.10: Jenga hatua ya makutano ya mstari m na ndege

(a Ç b) (Mchoro 4.8).

å ^ P 2; na m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Mchele. 4.8 Makutano ya mstari na ndege

Kwa ajili ya ujenzi, ndege ya mbele ya msaidizi Σ, kupita kwenye mstari wa m, ilitumiwa.

Mstari wa l wa makutano ya ndege Σ Ç iko kwenye ndege moja na mstari wa moja kwa moja m, kwa kuwa ndege ya msaidizi ilitolewa hasa kupitia mstari wa moja kwa moja. Kwa hivyo, kuwa katika ndege moja, mistari iliyonyooka l na m, ikiwa inaingiliana, itatoa hatua ambayo itakuwa sehemu inayohitajika ya makutano ya mstari wa moja kwa moja m na ndege.

Ikiwa mistari l na m itageuka kuwa sawa, hii itamaanisha kuwa mstari uliopewa m na ndege ni sawa.

	Makutano ya ndege mbili.
Ili kujenga mstari wa makutano ya ndege mbili, inatosha
pata nukta zozote mbili za mstari huu, au nukta moja na mwelekeo
mistari ya makutano.
Ikiwa unatafuta mstari wa makutano ya ndege mbili, moja ambayo
projecting, mstari wa makutano ni kuamua na rahisi
ujenzi.
Mfano 4.5: Tengeneza mstari wa makutano ya ndege				kupewa
mistari miwili iliyonyooka l ||m na ndege ya kiwango cha mlalo Σ (Mtini.
			S 2≡ S 2
	Mchele. 4.9 Makutano ya ndege

NB! Mstari wa makutano ni wa ndege ya usawa ya ngazi Σ, kwa hiyo ni ya usawa.

Urahisi wa kujenga mstari wa makutano ya ndege za jumla na ndege fulani hutoa chombo cha mkono kujenga mstari wa makutano ya ndege mbili katika nafasi ya jumla.

Mchele. 4.10 Ndege za kukata msaidizi

Chombo hicho ni ndege za kukata msaidizi wa nafasi fulani, kwa mfano, ndege za ngazi (Mchoro 4.10).

Ili kujenga mstari wa makutano ya ndege Φ na Θ, ndege mbili za usawa Г na Г" zilitumiwa. Sehemu za makutano M na N.

jozi za mistari a"

S "X lX m

Mchele. 4.11 Ujenzi wa mstari wa makutano ya ndege

Kwa ajili ya ujenzi, ndege za usawa Σ" na Σ"" zilitumiwa.

Mfano 4.7: Tengeneza mstari wa makutano ya ndege Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Mchele. 4.12 Ujenzi wa mstari wa makutano ya ndege

Kwa ajili ya ujenzi, ndege za msaidizi wa mbele "na" hutumiwa, ambazo kwenye PP ya mbele hupita kando ya makadirio ya mbele ya mistari ya moja kwa moja ya l na m, inayofafanua ndege T. Ndege ya msaidizi "inaingiliana na ndege iliyotolewa Φ (ABC) kando ya mstari wa 12. Makadirio ya mlalo ya mstari huu yanakatiza makadirio ya mlalo ya mstari katika hatua ya E 1. Hatua hii inatafutwa kwenye PP ya mbele kando ya mstari wa mawasiliano. Pointi E ni ya kawaida kwa ndege Φ(ABC) na Τ(l ||m). Kwa hivyo, hatua hii ni mojawapo ya pointi kwenye mstari wa makutano ya ndege Φ(ABC) na Τ(l ||m). Hatua F ya makutano ya ndege "" yenye mstari m pia ilipatikana. Pointi F pia ni sehemu ya mstari wa makutano ya ndege Φ(ABC) na Τ(l ||m). Kuunganisha pointi zilizopatikana E na

h"1 M 1 h 1

Mchele. 4.13 Ujenzi wa mstari wa makutano ya ndege

Pointi za mstari wa makutano ni (.)M makutano ya tracesh mlalo na h" ya ndege zilizotolewa na (.)N makutano ya tracesf ya mbele na f" . Kuunganisha pointi hizi kwenye ndege zinazofanana za makadirio hutoa makadirio ya mstari wa makutano ya ndege zilizopewa.

Ili kuunda ramani ya mstari wa kiwango:

• Bainisha mkusanyiko wa maadili ambayo ungependa kuonyesha kwa njia ya picha. Mathcad huchukulia kuwa safu mlalo na safu wima zinawakilisha thamani za hoja za chaguo la kukokotoa, zikiwa zimepangwa kwa usawa pamoja na shoka za kuratibu. Kisha Mathcad hutafsiri kwa mstari thamani za tumbo hili ili kuunda mistari ya kiwango sawa. Isolini kama hizo zinaweza kuwakilisha isotherms, isobars, mistari ya usawa, uboreshaji, au kuwa na maana nyingine ya kimwili.
• Chagua Ramani ya mstari wa kiwango kutoka kwa menyu ya amri ya Unda Contour Plot Sanaa za picha. Mathcad itaonyesha mstatili ulio na sehemu moja ya kuingiza data, kama ilivyo kwenye Mchoro 1.
• Andika jina la matrix katika uga wa ingizo. Kama ilivyo kwa usemi, Mathcad haitaunda ramani ya mistari ya kiwango hadi ubofye , au ndani mode otomatiki, usibofye nje ya eneo la grafu.

Kielelezo 1: Sehemu tupu ya ingizo imetolewa kwa jina la matrix.

Grafu iliyojengwa inaonyesha mistari ambayo kazi, maadili ambayo yanawakilishwa na vipengele vya matrix, huchukua maadili ya mara kwa mara. Kwa kuwa mistari tofauti inalingana maana tofauti, basi hazikatiki. Wakati wa kuunda grafu, matrix inaelekezwa kwa njia ambayo kipengele chake (0.0) kinalingana na kona ya chini ya kushoto ya grafu, safu za matrix zinahusiana na maadili ya mara kwa mara kando ya mhimili wa kuratibu, na nguzo. yanahusiana na maadili ya mara kwa mara kando ya mhimili wa abscissa.

Kwa kupangilia mchoro, unaweza kuamua ikiwa maadili ya kazi yanapaswa kuonekana kwenye mistari inayolingana ya kiwango, inapaswa kuwa mara kwa mara, na ni lebo gani na mistari ya gridi ya taifa inaonekana kwenye shoka. Haya yote yamefafanuliwa hapa chini katika sehemu " Kuunda Ramani ya Mstari wa Kiwango ”.

Mistari ya kiwango cha kazi ya vigezo viwili

Chini ni hatua za kawaida katika kuunda ramani ya kiwango cha kazi ya vigeu viwili, iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 2:

• Bainisha utendakazi wa vigeu viwili.
• Amua ni alama ngapi zinahitajika kupangwa kando ya shoka za kuratibu. Ingiza hoja tofauti i Na j kuashiria pointi hizi. Kwa mfano, ikiwa unataka kutumia alama 10 kwa kila mwelekeo, ingiza:

i:= 0 ..9 j:= 0 ..9

• Bainisha x mimi na y j kama pointi zilizopangwa kwa usawa kwenye shoka x Na y.
• Jaza matrix M thamani f ( x mimi, y j).
• Onyesho M kwa namna ya ramani ya mistari ya ngazi.

Kielelezo cha 2: Ramani ya mstari wa kiwango cha kazi ya vigeu viwili.

Tafadhali kumbuka kuwa katika kesi hii mhimili x graphics huenda kulia na mhimili y kuelekezwa juu. Kwa kuwa ramani ya mstari wa kiwango imeundwa kwa kuweka maadili ya kazi kwenye tumbo, Mathcad haijui maadili ya kweli. x Na y. Kwa sababu hii, shoka katika ramani ya mstari wa kiwango hurekebishwa kwa chaguo-msingi ili viwianishi vitofautiane kutoka -1 hadi 1. Unaweza kuweka mipaka kwenye shoka badala ya maadili haya chaguomsingi kwa kuchagua. Muundo wa michoro ya 3D kutoka kwa menyu Sanaa za picha na ramani ya kiwango kilichochaguliwa, au bonyeza mara mbili kwenye chati. Kisha weka maadili yanayotakiwa katika sehemu za "Min" na "Max" kwenye ukurasa wa "Axes".