Сегодня нами будет рассмотрена катушка индуктивности в цепи переменного тока, узнаем, в чем бы была разница, если бы цепь питалась от постоянного тока, а также много интересных особенностей этого простого, но очень важного радиоэлемента.

Для начала давайте определим назначение этой детали, а также основные понятия и термины, связанные с ней.

Что такое катушка индуктивности

Катушка индуктивности – это радиоэлемент, применяющийся в разных схемах для следующего:

• Сглаживание биений;
• Подавление помех;
• Ограничение переменного тока;
• Накопление энергии и прочее.

Представляет собой данный элемент спиральную, винтовую или винтоспиральную катушку, сделанную из изолированного проводника. Деталь обладает относительно малой емкостью и малым активным сопротивлением, при этом у него имеет высокая индуктивность, то есть способность возникновения ЭДС (электродвижущей силы) в проводнике, при протекании в цепи электрического тока.

• Катушка индуктивности, в зависимости от места и цели применения может иметь и другие названия. Например, если элемент используется для изоляции по высокой частоте в разных частях схемы, накоплении энергии магнитного поля сердечника, сглаживания пульсаций и подавления помех, катушку называют дросселем либо реактором (второе название употребляется редко).
• Если говорить про силовую электротехнику, то там устоялось название ректор – его применяют при необходимости ограничения тока, например, если произошло замыкание на ЛЭП.

• Бывают также и цилиндрические катушки индуктивности, называемые соленоидами. Длина такого цилиндра в несколько раз превышает его диаметр.

Интересно знать! Магнитное поле внутри соленоида однородно. Данное магнитное поле может выполнять механическую работу, втягивая ферритовый сердечник.

• Применяются катушки индуктивности и в электромагнитных реле, где их называют обмоткой реле.
• Устанавливаются подобные элементы и в индукционные нагреватели – тут их называют нагревательными индукторами.

• Также можно услышать термины вроде индукционного накопителя или накопительного дросселя, если речь идет об устройствах импульсной стабилизации напряжения.

Конструкционные особенности

Конструкционно катушка индуктивности представляет собой намотанную по спирали или винтом изолированную одножильный или многожильный проводник (чаще, лакированная медная проволока), вокруг диэлектрического сердечника (каркаса). Форма сердечника может быть круглой, тороидальной, прямоугольной, квадратной. Материалы, применяемые для сердечника, имеют магнитную проницаемость выше, чем у воздуха, что дополнительно удерживает магнитное поле возле катушки, а значит, увеличивается и индуктивность.

Существуют и катушки, вовсе не имеющие сердечника, или же он является регулируемым, что позволяет менять индуктивность детали.

Намотка проводника может быть как однослойной, ее еще называют рядовой с шагом, или многослойной (применяются названия универсал, внавал, рядовая). Расстояние между витками называется шагом.

Применение

Используются катушки в схемах обработки сигналов и аналоговых схемах. В сочетании с конденсаторами и прочими радиокомпонентами могут формировать участки схем, которые усиливают или отфильтровывают определенные сигналы.

Широко применяются дроссели в источниках питания, где они вместе с конденсаторами фильтра призваны устранить остаточные помехи и прочие колебания, возникающие на выходе.

Если две катушки соединить одним магнитным полем, то получится трансформатор – устройство, способное передавать электричество от одной части цепи к другой, за счет электромагнитной индукции, попутно меняя величину напряжения.

Для справки! Трансформаторы способны функционировать только с переменным током.

Основные характеристики катушек индуктивности

Прежде чем разбираться с тем, как ведет себя ток, проходя в цепи через катушку индуктивности, давайте сначала узнаем главные характеристики этого элемента.

• Прежде всего, нас интересует индуктивность – значение, численно выражающаяся соотношением потока магнитного поля, которое создается протекающим током, к силе этого самого тока. Измеряется этот параметр в Генри (Гн).
• Если говорить более простым языком, то это явление можно описать так. При протекании тока через катушку индуктивности создается электромагнитное поле, которое напрямую связано с ЭДС, которая оказывает противодействие изменению переменного напряжения, то есть в цепи возникает ток, который течет в обратном направлении основному.
• Измерение силы тока на катушке индуктивности и переменного напряжения, противостоят данной силе, точнее наоборот. Это свойство элемента называется индуктивным сопротивлением, которое находится в противофазе реактивному емкостному сопротивлению конденсатора, включенному в цепь переменного тока.

Il = U / XL и IC = U / XC

Резонанс токов

Следовательно:

fрез = 1 / 2π√LC

Lрез = 1 / ω 2 С

Срез = 1 / ω 2 L

Резонанс напряжений

Когда источник ЭДС, емкость, индуктивность и сопротивление включены между собой последовательно, то резонанс в такой цепи называется последовательным резонансом или резонансом напряжений. Характерная черта резонанса напряжений - значительные напряжения на емкости и на индуктивности, по сравнению с ЭДС источника.

Причина появления такой картины очевидна. На активном сопротивлении по закону Ома будет напряжение Ur, на емкости Uc, на индуктивности Ul, и составив отношение Uc к Ur можно найти величину добротности Q. Напряжение на емкости будет в Q раз больше ЭДС источника, такое же напряжение окажется приложенным к индуктивности.

То есть резонанс напряжений приводит к возрастанию напряжения на реактивных элементах в Q раз, а резонансный ток будет ограничен ЭДС источника, его внутренним сопротивлением и активным сопротивлением цепи R. Таким образом, сопротивление последовательного контура на резонансной частоте минимально.

Резонанс токов

Когда источник ЭДС, емкость, индуктивность и сопротивление включены между собой параллельно, то резонанс в такой цепи называется параллельным резонансом или резонансом токов. Характерная черта резонанса токов - значительные токи через емкость и индуктивность, по сравнению с током источника.

Причина появления такой картины очевидна. Ток через активное сопротивление по закону Ома будет равен U/R, через емкость U/XC, через индуктивность U/XL, и составив отношение IL к I можно найти величину добротности Q. Ток через индуктивность будет в Q раз больше тока источника, такой же ток будет течь каждые пол периода в конденсатор и из него.

То есть резонанс токов приводит к возрастанию тока через реактивные элементы в Q раз, а резонансная ЭДС будет ограничена ЭДС источника, его внутренним сопротивлением и активным сопротивлением цепи R. Таким образом, на резонансной частоте сопротивление параллельного колебательного контура максимально.

Применение резонанса токов

Аналогично резонансу напряжений, резонанс токов применяется в различных фильтрах. Но включенный в цепь, параллельный контур действует наоборот, чем в случае с последовательным: установленный параллельно нагрузке, параллельный колебательный контур позволит току резонансной частоты контура пройти в нагрузку, поскольку сопротивление самого контура на собственной резонансной частоте максимально.

Установленный последовательно с нагрузкой, параллельный колебательный контур не пропустит сигнал резонансной частоты, поскольку все напряжение упадет на контуре, а на нагрузку придется мизерная доля сигнала резонансной частоты.

Так, основное применение резонанса токов в радиотехнике - создание большого сопротивления для тока определенной частоты в ламповых генераторах и усилителях высокой частоты.

В электротехнике резонанс токов используется с целью достижения высокого коэффициента мощности нагрузок, обладающих значительными индуктивными и емкостными составляющими.

Например, установки компенсации реактивной мощности (КРМ) представляют собой конденсаторы, подключаемые параллельно обмоткам асинхронных двигателей и трансформаторов, работающих под нагрузкой ниже номинальной.

К таким решениям прибегают как раз с целью достижения резонанса токов (параллельного резонанса), когда индуктивное сопротивление оборудования делается равным емкостному сопротивлению подключаемых конденсаторов на частоте сети, чтобы реактивная энергия циркулировала между конденсаторами и оборудованием, а не между оборудованием и сетью; чтобы сеть отдавала энергию только тогда, когда оборудование нагружено и потребляет активную мощность.

Когда же оборудование работает в холостую, сеть оказывается подключена параллельно резонансному контуру (внешние конденсаторы и индуктивность оборудования), который представляет для сети очень большое комплексное сопротивление и позволяет снизитьсякоэффициенту мощности.

ЛитератураПравить

§ Власов В. Ф. Курс радиотехники. М.: Госэнергоиздат, 1962. С. 928.

§ Изюмов Н. М., Линде Д. П. Основы радиотехники. М.: Госэнергоиздат, 1959. С. 512.

Параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности в цепь переменного тока

Рассмотрим явления в цепи переменного тока, содержащей генератор, конденсатор и катушку индуктивности, соединенные параллельно. Предположим при этом, что активным сопротивлением цепь не обладает.

Очевидно, в такой цепи напряжение как на катушке, так и на конденсаторе в любой момент времени равно напряжению, развиваемому генератором.

Общий же ток в цепи слагается из токов в ее разветвлениях. Ток в индуктивной ветви отстает по фазе от напряжения на четверть периода, а ток в емкостной ветви опережает его на те же четверть периода. Поэтому токи в ветвях в любой момент времени оказываются сдвинутыми по фазе один относительно другого на полупериода, т. е. находятся в противофазе. Таким образом токи в ветвях в любой момент времени направлены навстречу один другому, а общий ток в неразветвленной части цепи равен разности их.

Это дает нам право написать равенство I = IL -IC

где I - действующее значение общего тока в цепи, IL и IC - действующие значения токов в.ветвях.

Пользуясь законом Ома для определения действующих значений тока в ветвях, получим:

Il = U / XL и IC = U / XC

Если в цепи преобладает индуктивное сопротивление, т. е. XL больше XC, ток в катушке меньше тока в конденсаторе; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи носит емкостный характер, и цепь в целом для генератора будет емкостной. И, наоборот, при ХC большем XL, ток в конденсаторе меньше тока в катушке; следовательно, ток в неразветвленном участке цепи имеет индуктивный характер, и цепь в целом для генератора будет индуктивной.

При этом не следует забывать, что в том и другом случае нагрузка реактивная, т. е. цепь не потребляет энергии генератора.

Резонанс токов

Рассмотрим теперь случай, когда у параллельно соединенных конденсатора и катушки оказались равными их реактивные сопротивления, т. е. XlL = XC.

Если мы, как и прежде, будем считать, что катушка и конденсатор не обладают активным сопротивлением, то при равенстве их реактивных сопротивлений (YL = YC) общий ток в неразветвленной части цепи окажется равным нулю, тогда как в ветвях будут протекать равные токи наибольшей величины. В цепи в этом случае наступает явление резонанса токов.

При резонансе токов действующие значения токов в каждом разветвлении, определяемые отношениями IL = U / XL и IC= U / XC будут равны между собой, так XL = ХC.

Вывод, к которому мы пришли, может показаться на первый взгляд довольно странным. Действительно, генератор нагружен двумя сопротивлениями, а тока в неразветвленной части цепи нет, тогда как в самих сопротивлениях протекают равные и притом наибольшие по величине токи.

Объясняется это поведением магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора. При резонансе токов, как и при резонансе напряжений, происходит колебание энергии между полем катушки и полем конденсатора. Генератор, сообщив однажды энергию цепи, сказывается как бы изолированным. Его можно было бы совсем отключить, и ток в разветвленной части цепи поддерживался бы без генератора энергией, которую в самом начале запасла цепь. Равно и напряжение на зажимах цепи оставалось бы точно таким, какое развивал генератор.

Таким образом, и при параллельном соединении катушки индуктивности и конденсатора мы получили колебательный контур, отличающийся от описанного выше только тем, что генератор, создающий колебания, не включен непосредственно в контур и контур получается замкнутым.

Графики токов, напряжения и мощности в цепи при резонансе токов: а - активное сопротивление равно нулю, цепь мощности не потребляет; б - цепь обладает активным сопротивлением, в неразветвленной части цепи появился ток, цепь потребляет мощность

Значения L, С и f, при которых наступает резонанс токов, определяются, как и при резонансе напряжений (если пренебречь активным сопротивлением контура), из равенства:

Следовательно:

fрез = 1 / 2π√LC

Lрез = 1 / ω 2 С

Срез = 1 / ω 2 L

Изменяя любую из этих трех величин, можно добиться равенства Xl = Xc, т. е. превратить цепь в колебательный контур.

Итак, мы получили замкнутый колебательный контур, в котором можно вызвать электрические колебания, т. е. переменный ток. И если бы не активное сопротивление, которым обладает всякий колебательный контур, в нем непрерывно мог бы существовать переменный ток. Наличие же активного сопротивления приводит к тому, что колебания в контуре постепенно затухают и, чтобы поддержать их, необходим источник энергии - генератор переменного тока.

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармоничных состовляющих.

Резонанс токов широко используется в практике. Явление резонанса токов используется в полосовых фильтрах как электрическая «пробка», задерживающая определенную частоту. Так как току с частотой f оказывается значительное сопротивление, то и падение напряжения на контуре при частоте f будет максимальным. Это свойство контура получило название избирательность, оно используется в радиоприемниках для выделения сигнала конкретной радиостанции. Колебательный контур, работающий в режиме резонанса токов, является одним из основных узловэлектронных генераторов.

Если в цепь переменного тока включены последовательно катушка индуктивности иконденсатор, то они по-своему воздействуют на генератор, питающий цепь, и на фазовые соотношения между током и напряжением.

Катушка индуктивности вносит сдвиг фаз, при котором ток отстает от напряжения на четверть периода, конденсатор же, наоборот, заставляет напряжение в цепи отставать по фазе от тока на четверть периода. Таким образом, действие индуктивного сопротивления на сдвиг фаз между током и напряжением в цепи противоположно действию емкостного сопротивления.

Это приводит к тому, что общий сдвиг фаз между током и напряжением в цепи зависит от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений.

Если величина емкостного сопротивления цепи больше индуктивного, то цепь носит емкостный характер, т. е. напряжение отстает по фазе от тока. Если же, наоборот, индуктивное сопротивление цепи больше емкостного, то напряжение опережает ток, и, следовательно, цепь носит индуктивный характер.

Общее реактивное сопротивление Хобщ рассматриваемой нами цепи определяется путем сложения индуктивного сопротивления катушки X L и емкостного сопротивления конденсатора Х С.

Но так как действие этих сопротивлений в цепи противоположно, то одному из них, а именно Хс приписывается знак минус, и общее реактивное сопротивление определяется по формуле:

Применив к этой цепи закон Ома, получим:

Формулу эту можно преобразовать следующим образом:

В полученном равенстве IX L -действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление индуктивного сопротивления цепи, а IХ С -действующее значение слагающей общего напряжения цепи, идущей на преодоление емкостного сопротивления.

Таким образом, общее напряжение цепи, состоящей из последовательного соединения катушки и конденсатора, можно рассматривать как состоящее из двух слагаемых, величины которых зависят от величин индуктивного и емкостного сопротивлений цепи.

Мы считали, что такая цепь не обладает активным сопротивлением. Однако в тех случаях, когда активное сопротивление цепи не настолько уже мало, чтобы им можно было пренебречь, общее сопротивление цепи определяется следующей формулой:

где R - общее активное сопротивление цепи, X L -Х С - ее общее реактивное сопротивление. Переходя к формуле закона Ома, мы вправе написать:

Переменный ток

Как известно, сила тока в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока (закон Ома для полной цепи). Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный ток.

Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания или переменный ток.

Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника

Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:

u=Um⋅sinωt u=Um⋅sin⁡ωt или u=Um⋅cosωt u=Um⋅cos⁡ωt ,

где u – мгновенное значение напряжения, U m – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае

i=Im⋅sin(ωt+φc) i=Im⋅sin⁡(ωt+φc) ,

где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.

Резистор в цепи переменного тока

Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R , которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением . В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, только на нем выделяется энергия, т.е.

Сопротивление элемента электрической цепи (резистора), в котором происходит превращение электрической энергии во внутреннюю энергию, называют активным сопротивлением .

Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R , а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 1).

Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону

u=Um⋅sinωt u=Um⋅sin⁡ωt .

Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:

i=UR=Um⋅sinωtR=Im⋅sinωt i=UR=Um⋅sin⁡ωtR=Im⋅sin⁡ωt .

Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 2), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:

При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.

Применение: Постоянный ток широко используется в технике: подавляющее большинство электронных схем в качестве питания используют постоянный ток. Переменный ток используется преимущественно для более удобной передачи от генератора до потребителя. Иногда в некоторых устройствах постоянный ток преобразуют в переменный ток преобразователями (инверторами).

ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Всякое движение электрических зарядов называют электрическим током. В металлах могут свободно перемещаться электроны, в проводящих растворах - ионы, в газах могут существовать в подвижном состоянии и электроны, и ионы.

Условно за направление тока считают направление движения положительных частиц, поэтому металлахнаправление тивоположно направлению движения электронов.

Плотность тока - величина заряда, проходящего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к линиям тока. Эта величина обозначается j и рассчитывается следующим образом:

Здесь n - концентация заряженных частиц, e - заряд каждой из частиц, v - их скорость.

Сила тока i - величина заряда, проходящего в единицу времени через полное сечение проводника. Если за время dt через полное сечение проводника прошел заряд dq, то

По другому, сила тока находится интегрированием плотности тока по всей поверхности любого сечения проводника. Единица измерения силы тока - Ампер. Если состояние проводника (его температура и др.) стабильно, то между приложенным к его концам напряжением и возникающим при этом током существует однозначная связь. Она называется Закон Ома и записывается так:

R - электрическое сопротивление проводника, зависящее от рода вещества и от его геометрических размеров. Единичным сопротивлением обладает проводник, в котором возникает ток 1 А при напряжении 1 В. Эта единица сопротивления называется Ом.

Закон Ома в дифференциальной форме:

где j - плотность тока, Е - напряженность поля,  - проводимость. В этой записи закон Ома содержит величины, характеризующие состояние поля в одной и той же точке.

Различают последовательное и параллельное соединения проводников.
При последовательном соединении ток, протекающий по всем участкам цепи, одинаков, а напряжение на концах цепи складывается как алгебраическая сумма напряжений на всех участках

При параллельном соединении проводников постоянным остается напряжение, а ток складывается из суммы токов, протекающих по всем ветвям. В этом случае складываются величины, обратные сопротивлению:

Для получения постоянного тока на заряды в электрической цепи должны действовать силы, отличные от сил электростатического поля; их называют сторонними силами.

Если рассматривать полную электрическую цепь, необходимо включить в нее действие этих сторонних сил и внутренне сопротивление источника тока r. В этом случае закон Ома для полной цепи примет вид

Е - электродвижущая сила (ЭДС) источника. Она измеряется в тех же единицах, что и напряжение. Величину (R+r) называют иногда полным сопротивлением цепи.

Сформулируем правила Киркгофа :

Первое правило: алгебраическая сумма сил токов в участках цепи, сходящихся в одной точке разветвления, равна нулю.

Второе правило: для любого замкнутого контура сумма всех падений напряжения равна сумме всех ЭДС в этом контуре.

Мощность тока рассчитывается по формуле

Закон Джоуля-Ленца. Работа электрического тока (тепловое действие тока)

A=Q=UIt=I2Rt=U2t/R.

Электрический ток в металлах есть движение электронов, ионы металла участия в переносе электрического заряда не принимают. Другими словами, в металлах есть электроны, способные перемещаться по металлу. Они получили название электронов проводимости. Положительные заряды в металле представляют собой ионы, образующие кристаллическую решетку. В отсутствии внешнего поля электроны в металле движутся хаотично, претерпевая соударения с ионами решетки. Под воздействием внешнего электрического поля электроны начинают упорядоченное движение, накладывающееся на их прежние хаотические флуктуации. В процессе упорядоченного движения электроны по-прежнему сталкиваются с ионами кристаллической решетки. Именно этим и обусловлено электрическое сопротивление.

В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической механики. Взаимодействием электронов между собой пренебрегают, взаимодействие электронов с ионами сводят только к соударениям. Можно сказать, что электроны проводимости рассматривают как электронный газ, подобный идеальному атомарному газу в молекулярной физике. Поскольку средняя кинетическая энергия на одну степень свободы для такого газа равна kT/2, а свободный электрон обладает тремя степенями свободы, то

где v2t - среднее значение квадрата скорости теплового движения.
На каждый электрон действует сила, равная еЕ, в результате чего он приобретает ускорение еЕ/m. Скорость к концу свободного пробега равна

где t - среднее время между соударениями.

Поскольку электрон движется равноускоренно, его средняя скорость равна половине максимальной:

Среднее время между соударениями есть отношение длины свободного пробега к средней скорости:

Поскольку обычно скорость упорядоченного движения много меньше тепловой скорости, то скоростью упорядоченного движения пренебрегли.

Окончательно, имеем

Коэффициент пропорциональности между vc и Е называется подвижность электронов.

С помощью классической электронной теории газов могут быть объяснены многие закономерности - закон Ома, закон Джоуля-Ленца и другие явления, однако эта теория не может объяснить, например, явления сверхпроводимости:

При определенной температуре удельное сопротивление для некоторых веществ скачком уменьшается практически до нуля. Это сопротивление настолько мало, что однажды возбужденный в сверхпроводнике электрический ток существует длительное время без источника тока. Несмотря на скачкообразное изменение сопротивления, другие характеристики сверхпроводника (теплопроводность, теплоемкость и др.) не меняются либо меняются мало.

Более точным методом, объясняющим такие явления в металлах, является подход с использованием квантовой статистики.

Электрический ток в газах

В обычном состоянии газы не проводят электричества. Однако под влиянием различных внешних факторов (высокая температура, различные излучения) газы становятся электропроводящими. Это происходит вследствие того, что от нейтральных атомов отделяются электроны и образуются проводящие частицы - положительные ионы и свободные электроны. Часть свободных электронов может быть захвачена нейтральными атомами и образуются отрицательные ионы. Этот процесс называется ионизацией. Ионизация атома (отрыв электрона) требует определенной энергии, величина которой зависит от строения атома и называется энергией ионизации.

Если ионизацию не поддерживать, например, бомбардируя атомы электронами, ускоренными во внешнем электрическом поле, то со временем происходит рекомбинация ионов - положительный и отрицательный ион в результате теплового движения сталкиваются и избыточный электрон переходит к положительному иону. В результате образуется два нейтральных атома. Рассмотрим принципиальную схему, изображенную на рисунке:

Пусть на отрицательный электрод падают ультрафиолетовые лучи, обеспечивающие ионизацию газа. Если увеличивать напряжение между электродами (например, плавно уменьшая сопротивление r) то сила тока будет увеличиваться, пока не достигнет максимума (тока насыщения), при котором все свободные электроны достигают противоположного электрода.

Сила тока насыщения зависит только от интенсивности процесса ионизации (в нашем случае, от интенсивности ультрафиолетовых лучей). Если снять внешнюю ионизацию, разряд между электродами исчезнет. Такие разряды называются несамостоятельными. Если же продолжать уменьшать сопротивление (увеличивая тем самым напряжение) произойдет резкое (в сотни раз) увеличение силы тока, в газе появятся световые и тепловые эффекты. Если прекратить действие ионизатора, то разряд будет продолжаться. Это значит, что новые ионы для поддержания разряда образуются благодаря процессам в самом разряде. Такие разряды называют самостоятельными.

Дело в том, что с увеличением напряжения возрастает скорость и кинетическая энергия электрона, и он при столкновении с атомом сам способен произвести его ионизацию - высвободить еще один электрон. На следующем этапе два электрона образуют уже четыре и т.д. Происходит лавинообразное увеличение количества носителей. Это явление получило название электронной (или ионной) лавины, а напряжение, при котором это происходит - напряжением пробоя газового промежутка (напряжением зажигания газового разряда).

В зависимости от свойств и внешнего вида разрядов различают коронный, искровой, дуговой, тлеющий и другие разряды.

В различных формах газового разряда иногда образуется сильно ионизированный газ, в котором концентрация электронов приблизительно равна концентрации положительных ионов. Такая система получила название ионной плазмы.

Ток в вакууме

Как известно, в металлах имеются электроны проводимости, образующие "электронный газ" и участвующие в тепловом движении. Для того, чтобы свободный электрон мог выйти из металла, должна быть совершена определенная работа, различная для разных металлов и названная работой выхода.

Существование работы выхода показывает, что в поверхностном слое металла существует электрическое поле, значит, электрический потенциал при переходе через этот слой изменяется на некоторую величину, также специфичную для разных металлов. Эта поверхностная разность потенциалов связана с работой выхода соотношением:

Поскольку выйти из металла могут только "самые быстрые" электроны, то можно записать условие выхода так mv 2 /2>ef

В обычных условиях работа выхода в сотни раз больше энергии теплового движения электронов, поэтому подавляющее большинство их остается в металле. Но если сообщить электронам дополнительную энергию, можно наблюдать явление испускания электронов или электронной эмиссии. В зависимости от того, каким образом сообщена дополнительная энергия, различают термоэлектронную эмиссию, фотоэмиссию, вторичную электронную эмиссию и др.

Для наблюдения термоэлектронной эмиссии используется принципиальная схема, содержащая вакуумный диод (см. рис.).

В такой цепи возникнет ток, только если катод раскалить до высокой температуры. Вольт-амперная характеристика диода показывает, что при нулевой разности потенциалов ток очень мал. В дальнейшем, при увеличении потенциала на аноде, увеличивается и ток, пока не достигнет некоторого постоянного значения - тока насыщения Is. Его значение увеличивается с увеличением температуры катода. Также с увеличением температуры растет и напряжение Us, при котором достигается ток насыщения.

По графику наглядно видно, что зависимость между током и напряжением для диода носит нелинейный характер, то есть диод не подчиняется закону Ома. Богуславский и Лэнгмюр независимо друг от друга показали, что зависимость тока диода от потенциала анода имеет вид:

Где С зависит от формы и размеров электродов.

Зависимость плотности тока насыщения от температуры известна под названием формулы Ричардсона:Js=CT 1/2 exp(-ef/kT),

где С - константа, различная для разных металлов. Эта формула выведена на основании классической электронной теории. Квантовая теория металлов дает следующее соотношение:Js=АT 2 exp(-ef/kT)

Заметим, что это различие не существенно, так как зависимость плотности тока от температуры определяется главным образом экспоненциальным множителем exp(-e/kT).

Соединение в звезду

На рис. 6 приведена трехфазная система при соединении фаз генератора и нагрузки в звезду. Здесь провода АА’, ВВ’ и СС’ – линейные провода.

Линейным называется провод, соединяющий начала фаз обмотки генератора и приемника. Точка, в которой концы фаз соединяются в общий узел, называется нейтральной (на рис. 6 N и N’ – соответственно нейтральные точки генератора и нагрузки).

Провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называется нейтральным (на рис. 6 показан пунктиром). Трехфазная система при соединении в звезду без нейтрального провода называется трехпроводной, с нейтральным проводом – четырехпроводной.

Все величины, относящиеся к фазам, носят название фазных переменных, к линии - линейных. Как видно из схемы на рис. 6, при соединении в звезду линейные токи и равны соответствующим фазным токам. При наличии нейтрального провода ток в нейтральном проводе

.

Если система фазных токов симметрична, то . Следовательно, если бы симметрия токов была гарантирована, то нейтральный провод был бы не нужен. Как будет показано далее, нейтральный провод обеспечивает поддержание симметрии напряжений на нагрузке при несимметрии самой нагрузки.

Поскольку напряжение на источнике противоположно направлению его ЭДС, фазные напряжения генератора (см. рис. 6) действуют от точек А,В и С к нейтральной точке N; - фазные напряжения нагрузки.

Линейные напряжения действуют между линейными проводами. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для линейных напряжений можно записать

; (1)

; (2)

. (3)

Отметим, что всегда - как сумма напряжений по замкнутому контуру.

На рис. 7 представлена векторная диаграмма для симметричной системы напряжений. Как показывает ее анализ (лучи фазных напряжений образуют стороны равнобедренных треугольников с углами при основании, равными 300), в этом случае

Обычно при расчетах принимается . Тогда для случая прямого чередования фаз , (при обратном чередовании фаз фазовые сдвиги у и меняются местами). С учетом этого на основании соотношений (1) …(3) могут быть определены комплексы линейных напряжений. Однако при симметрии напряжений эти величины легко определяются непосредственно из векторной диаграммы на рис. 7. Направляя вещественную ось системы координат по вектору (его начальная фаза равна нулю), отсчитываем фазовые сдвиги линейных напряжений по отношению к этой оси, а их модули определяем в соответствии с (4). Так для линейных напряжений и получаем:

;

.

3. Соединение источника энергии и приемника по схеме треугольник .В связи с тем, что значительная часть приемников, включаемых в трехфазные цепи, бывает несимметричной, очень важно на практике, например, в схемах с осветительными приборами, обеспечивать независимость режимов работы отдельных фаз. Кроме четырехпроводной, подобными свойствами обладают и трехпроводные цепи при соединении фаз приемника в треугольник. Но в треугольник также можно соединить и фазы генератора (см. рис. 8).

Для симметричной системы ЭДС имеем

.

Таким образом, при отсутствии нагрузки в фазах генератора в схеме на рис. 8 токи будут равны нулю. Однако, если поменять местами начало и конец любой из фаз, то и в треугольнике будет протекать ток короткого замыкания. Следовательно, для треугольника нужно строго соблюдать порядок соединения фаз: начало одной фазы соединяется с концом другой.

Схема соединения фаз генератора и приемника в треугольник представлена на рис. 9.

Очевидно, что при соединении в треугольник линейные напряжения равны соответствующим фазным. По первому закону Кирхгофа связь между линейными и фазными токами приемника определяется соотношениями

Аналогично можно выразить линейные токи через фазные токи генератора.

На рис. 10 представлена векторная диаграмма симметричной системы линейных и фазных токов. Ее анализ показывает, что при симметрии токов

Помимо рассмотренных соединений «звезда - звезда» и «треугольник - треугольник» на практике также применяются схемы «звезда - треугольник» и «треугольник - звезда».

Явление резонанса

Явление резонанса относится к наиболее важным с практической точки зрения свойствам электрических цепей. Оно заключается в том, что электрическая цепь, имеющая реактивные элементы обладает чисто резистивным сопротивлением.

Общее условие резонанса для любого двухполюсника можно сформулировать в виде Im[Z]=0 или Im[Y]=0, где Z и Y комплексное сопротивление и проводимость двухполюсника. Следовательно, режим резонанса полностью определяется параметрами электрической цепи и не зависит от внешнего воздействия на нее со стороны источников электрической энергии.

Для определения условий возникновения режима резонанса в электрической цепи нужно:

найти ее комплексное сопротивление или проводимость;

выделить мнимую часть и приравнять нулю.

Все параметры электрической цепи, входящие в полученное уравнение, будут в той или иной степени влиять на характеристики явления резонанса.

Уравнение Im[Z]=0 может иметь несколько корней решения относительно какого-либо параметра. Это означает возможность возникновения резонанса при всех значениях этого параметра, соответствующих корням решения и имеющих физический смысл.

В электрических цепях резонанс может рассматриваться в задачах:

анализа этого явления при вариации параметров цепи;

синтеза цепи с заданными резонансными параметрами.

Электрические цепи с большим количеством реактивных элементов и связей могут представлять значительную сложность при анализе и почти никогда не используются для синтеза цепей с заданными свойствами, т.к. для них не всегда возможно получить однозначное решение. Поэтому на практике исследуются простейшие двухполюсники и с их помощью создаются сложные цепи с требуемыми параметрами.

Сдвиг фаз между током и напряжением. Понятие двухполюсника

Простейшими электрическими цепями, в которых может возникать резонанс, являются последовательное и параллельное соединения резистора, индуктивности и емкости. Соответственно схеме соединения, эти цепи называются последовательным и параллельным резонансным контуром . Наличие резистивного сопротивления в резонансном контуре по определению не является обязательным и оно может отсутствовать как отдельный элемент (резистор). Однако при анализе резистивным сопротивлением следует учитывать по крайней мере сопротивления проводников.

Последовательный резонансный контур представлен на рис. 1 а). Комплексное сопротивление цепи равно

Условием резонанса из выражения (1) будет

Таким образом, резонанс в цепи наступает независимо от значения резистивного сопротивления R когда индуктивное сопротивление xL = wL равно емкостному xC = 1/(wC) . Как следует из выражения (2), это состояние может быть получено вариацией любого их трех параметров - L, C и w , а также любой их комбинацией. При вариации одного из параметров условие резонанса можно представить в виде

Все величины, входящие в выражение (3) положительны, поэтому эти условия выполнимы всегда, т.е. резонанс в последовательном контуре можно создать

изменением индуктивности L при постоянных значениях C и w ;

изменением емкости C при постоянных значениях L и w ;

изменением частоты w при постоянных значениях L и C.

Наибольший интерес для практики представляет вариация частоты. Поэтому рассмотрим процессы в контуре при этом условии.

При изменении частоты резистивная составляющая комплексного сопротивления цепи Z остается постоянной, а реактивная изменяется. Поэтому конец вектора Z на комплексной плоскости перемещается по прямой параллельной мнимой оси и проходящей через точку R вещественной оси (рис. 1 б)). В режиме резонанса мнимая составляющая Z равна нулю и Z = Z = Zmin = R , j = 0 , т.е. полное сопротивление при резонансе соответствует минимальному значению .

Индуктивное и емкостное сопротивления изменяются в зависимости от частоты так, как показано на рис. 2. При частоте стремящейся к нулю xC®µ , xL® 0 , и j® - 90° (рис. 1 б)). При бесконечном увеличении частоты - xL®µ , xC ® 0 , а j® 90° . Равенство сопротивлений xLи xC наступает в режиме резонанса при частоте w0 .

Рассмотрим теперь падения напряжения на элементах контура. Пусть резонансный контур питается от источника, обладающего свойствами источника ЭДС, т.е. напряжение на входе контура u = const, и пусть ток в контуре равен i=Imsinwt. Падение напряжения на входе уравновешивается суммой напряжений на элементах

Переходя от амплитудных значений к действующим, из выражения (4) получим напряжения на отдельных элементах контура

а при резонансной частоте

величина, имеющая размерность сопротивления и называемая волновым или характеристическим сопротивлением контура.

Следовательно, при резонансе

напряжение на резисторе равно напряжению на входе контура;

напряжения на реактивных элементах одинаковы и пропорциональны волновому сопротивлению контура;

соотношение напряжения на входе контура (на резисторе) и напряжений на реактивных элементах определяется соотношением резистивного и волнового сопротивлений.

Отношение волнового сопротивления к резистивному r /R = Q, называется добротностью контура , а величина обратная D=1/Q - затуханием . Таким образом, добротность числено равна отношению напряжения на реактивном элементе контура к напряжению на резисторе или на входе в режиме резонанса. Добротность может составлять несколько десятков единиц и во столько же раз напряжение на реактивных элементах контура будет превышать входное. Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений .

Рассмотрим зависимости напряжений и тока в контуре от частоты. Для возможности обобщенного анализа перейдем в выражениях (5) к относительным единицам, разделив их на входное напряжение при резонансе

где i =I/I0, uk=Uk/U, v = w /w0 - соответственно ток, напряжение и частота в относительных единицах, в которых в качестве базовых величин приняты ток I0, напряжение на входе U и частота w0 в режиме резонанса.

Абсолютный и относительный ток в контуре равен

Из выражений (7) и (8) следует, что характер изменения всех величин при изменении частоты зависит только от добротности контура. Графическое представление их при Q=2 приведено на рис. 3 в логарифмическом (а) и линейном (б) масштабах оси абсцисс.

На рис. 3 кривые A(v), B(v) и C(v) соответствуют напряжению на индуктивности, емкости и резисторе или току в контуре. Кривые A(v)=uL(v) и B(v)=uC(v) имеют максимумы, напряжения в которых определяются выражением

, (9)

а относительные частоты максимумов равны

(10)

При увеличении добротности Q ®µAmax = Bmax®Q,

С уменьшением добротности максимумы кривых uL(v) и uС(v) смещаются от резонансной частоты, а при Q2 < 1/2 исчезают, и кривые относительных напряжений становятся монотонными.

Напряжение на резисторе и ток в контуре имеют при резонансной частоте максимум равный 1,0. Если на оси ординат отложить абсолютные значения тока или напряжения на резисторе, то для различных значений добротности они будут иметь вид, показанный на рис. 4. В целом они дают представлние о характере изменения величин, но удобнее делать сопоставление в относительных единицах.

На рис. 5 представлены кривые рис. 4 в относительных единицах. Здесь видно, что увеличение добротности влияет на скорость изменения тока при изменении частоты.

Можно показать, что разность относительных частот, соответствующих значениям относительного тока , равна затуханию контура D=1/Q =v2-v1.

Перейдем теперь к анализу зависимости фазового сдвига между током и напряжением на входе контура от частоты. Из выражения (1) угоj j равен

Как и следовало ожидать, значение j определяется добротностью контура. Графически эта зависимость для двух значений добротности показана на рис. 6 .

При уменьшении частоты значение фазового сдвига стремится к значению - 90° , а при увеличении к +90° , проходя через нулевое значение при частоте резонанса. Скорость изменения функции j (v) определяется добротностью контура.

Последовательный резонансный контур может питаться также от источника электрической энергии, обладающего свойствами источника тока, т.е. обеспечивающего постоянный ток в нагрузке. Выражения (5) остаются справедливыми и в этом случае, но ток в них будет константой. Поэтому постоянным будет падение напряжения на резисторе UR = RI = const. Разделив все напряжения на это базовое значение, В выражении (12) добротность также есть отношение волнового сопротивления к резистивному Q=r /R .

Общее относительное падение напряжения на входе контура является гипотенузой прямоугольного еугольника напряжений, поэтому

Функции uL(v) и uС(v) монотонны, а u(v) имеет минимум u =1.0 при резонансной частоте, когда uL(v) -uС(v) = 0. В случае стремления относительной частоты к бесконечности и к нулю, напряжения на одном из реактивных элементов стремится к бесконечности. При резонансной частоте они одинаковы и их отношение ко входному напряжению равно добротности.

Графическое представление функций uL(v)=A(v), uС(v)=B(v) и u(v)=С(v) при добротности Q=2 дано на рис. 7 в логарифмическом (а) и линейном (б) масштабах оси частот.

Для функции u (v)=С(v) можно показать, что разность относительных частот v1 и v2 , соответствующих значениям , равна затуханию контура D=1/Q=v2-v1.

Фазовые характеристики контура при питании от источника тока ничем не отличаются от характеристик режима питания от источника ЭДС (рис. 6).

Сопоставляя частотные характеристики при питании последовательного резонансного контура от источника тока с характеристиками при питании его от источника ЭДС, можно сделать следующие выводы:

частотные характеристики напряжений и тока контура принципиально отличаются друг от друга, т.к. при питании от источника ЭДС сумма напряжений остается постоянной и происходит только их перераспределение между элементами, а при питании от источника тока падения напряжения на каждом элементе формируются независимо;

режимы резонанса для обоих случаев полностью идентичны;

фазовые частотные характеристики для обоих случаев также идентичны.

Режим резонанса можно создать также при параллельном соединении R, L и C (рис. 8а)). Такая цепь называется параллельным резонансным контуром . В этом случае условие резонанса удобнее сформулировать для мнимой части комплексной проводимости в виде

Следовательно, для параллельного контура возможны те же вариации параметров, что и для последовательного и выражения для них будут идентичным

900+

При изменении частоты питания изменяется только мнимая составляющая вектора комплексной проводимости Y , поэтому его конец перемещается на комплексной плоскости по прямой параллельной мнимой оси и проходящей через точку G=1/R , соответствующую вещественной составляющей проводимости (рис. 8 б)). При частоте резонанса модуль вектора минимален, а при стремлении частоты к нулю и бесконечности, его значение стремится к бесконечности. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением j на входе контура стремится к 90° при w® 0 и к - 90° при w®µ .

Для параллельного соединения токи в отдельных элементах можно представить через проводимости и общее падение напряжения U в витщ
Пусть в режиме резонанса падение напряжения на входе контура равно U0, тогда токи в отдельных элементах будут

волновая или характеристическая проводимость контура. Как следует из выражений (17), при резонансе токи в реактивных элементах одинаковы, а входной ток равен току в резисторе R. Отношение Q=g /G называется добротностью, а величина обратная D=1/Q - затуханием параллельного резонансного контура. Таким образом, добротность равна отношению токов в реактивных элементах контура к току на входе или в резисторе. В электрических цепях добротность может достигать значений в несколько десятков единиц и во столько же раз токи в индуктивности и емкости будут превышать входной ток. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов .

Падение напряжения на входе контура U при питании его от источника, обладающего свойствами источника тока и формирующего ток с действующим значением I, будет равно

Для включения ваттметра его генераторные зажимы (зажимы, обозначенные *I и *V), соединяются накоротко одним проводником. Для правильного показания ваттметра оба генераторных зажима должны быть присоединены к одному проводу со стороны генератора источника тока, а не нагрузки. Затем другим проводом включается последовательно в цепь неподвижная катушка; при этом в зависимости от предела тока этот провод подключается к зажиму 1А – при измеряемом токе не превышающем 1А, или 5А при токе, не превышающем 5А.

Затем включается параллельно цепи рамки; для этого предварительно к зажиму подключается одно из дополнительных сопротивлений (в зависимости от предела напряжения: 30V – до 30В, 150V – до 150В и 300V – 300В).

В передний паз крышки прибора устанавливается рабочая шкала так, чтобы лицевая сторона прибора была обращена к шкале с пределом измерения, равным произведению предела по току на предел по напряжению.

Опыты с ваттметром

Ниже описаны только отдельные опыты, характеризующие возможности демонстрационного ваттметра.

Опыт 1. Измерение мощности в цепи однофазного переменного тока с активной нагрузкой.

Для выполнения этого опыта собирают электрическую цепь по схеме, приведённой на рисунке 3.

При проведении опыта целесообразно иметь возможность плавного изменения напряжения, поэтому следует провода А, Б подключить к зажимам регулируемого напряжения школьного распределительного щита или воспользоваться школьным регулятором напряжения (или иным трансформатором), допускающим плавное или ступенчатое регулирование напряжения.

Рис. 6 Схема электрической цепи в опыте 1.

В качестве нагрузки следует включить ползунковый реостат сопротивлением до 20 Ом (с допустимым током 5А).

Ваттметр включают в цепь через добавочное сопротивление 150V и через зажим 5А (см. схему).

Остановив ползунок реостата так, что в цепь включается все сопротивления реостата, устанавливается напряжение на нагрузку 50В, и наблюдают показания ваттметра, вольтметра и амперметра. Затем повышают напряжение на нагрузку, устанавливая последовательно 60, 80, 100В наблюдая каждый раз показания всех приборов.

Результаты этого опыта подтверждают, что мощность равна произведению напряжения на силу тока.

Опыт 2. Измерение мощности в цепи трёхфазного тока с активной симметричной нагрузкой.

С помощью одного демонстрационного ваттметра можно произвести опыт по измерению активной мощности трёхфазного тока при равномерной нагрузке всех фаз (т.е. когда в каждую фазу включены одинаковые нагрузки).

Для проведения этого опыта собирают электрическую цепь, как показано на рисунке 7.

В каждую фазу в качестве нагрузки включают по одной электрической лампе одинакового сопротивления.

Измерительные приборы используются те же, что и в предыдущем опыте.

Пределы ваттметра (по току и напряжению) устанавливаются в зависимости от напряжения и мощности электрических ламп.

Р
ис. 7 Схема электрической цепи в опыте 2.

По показаниям приборов устанавливают, что мощность одной фазы равна произведению фазного напряжения на ток в фазе.

Учитывая полную симметрию цепи трёхфазного тока, приведённой на рисунке 4, высчитывают мощность всей цепи, умножив показания ваттметра на 3.

Основы > Задачи и ответы

Однофазные цепи переменного тока (страница 2)

12. Конденсатор емкостью С = 8,36 мкФ включен на синусоидальное напряжение U=380 В частотой f =50 Гц.
Определить ток в цепи конденсатора.

Решение:
Емкостное сопротивление

Ток в цепи конденсатора при синусоидальном напряжении 380 В

Для получения ббльших токов требуются при данной частоте большие значения емкости.

13. При включении конденсатора на синусоидальное напряжение U=220 В частотой f =50 Гц в цепи установился ток I =0,5 А.
Какую емкость имеет конденсатор?

Решение:

Из формулы емкостного сопротивления емкость

Метод определения емкости конденсатора, рассмотренный в данной задаче, является наименее точным, но он прост и не требует больших затрат для применения на практике.

14. При включении разомкнутого на конце кабеля на напряжение U=6600 В частотой f =50 Гц в цепи установился ток I=2 А.
Пренебрегая электрическим сопротивлением кабеля, определить приближенно емкость кабеля на 1 км его длины, если длина кабеля 10 км.

Решение:
Изолированные друг от друга жилы кабеля представляют собой конденсатор. Если пренебречь сопротивлением жил кабеля, то ток холостой работы кабеля, т. е. ток в кабеле, разомкнутом на конце, можно считать чисто емкостным. В этом случае действительно соотношение

где - емкостная проводимость.
Отсюда

При частоте f =50 Гц угловая частота , следовательно,

Емкость кабеля на 1 км его длины

Описанный способ определения емкости кабеля на 1 км его длины является очень приближенным (в нем пренебрегают активным сопротивлением жил кабеля и активной проводимостью утечки от жилы к жиле вследствие несовершенства изоляции; допускается равномерное распределение емкости по длине кабеля).

15. Какая емкость батареи конденсаторов требуется для получения реактивной (емкостной) мощности 152 ВАР при напряжении U=127 В и частоте f= 50 Гц.

Решение:
При частоте f= 50 Гц угловая частота . Так как ток батареи считается чисто
реактивным (опережающим по фазе напряжение на 1 / 4 периода), то реактивная мощность равна произведению напряжения и тока:

Емкостный ток равен произведению напряжения на емкостную проводимость, поэтому

Емкость батареи конденсаторов

Реактивную (емкостную) мощность можно представить в виде , выразив ток через напряжение и емкостную проводимость; отсюда следует, что при данном напряжении и частоте реактивная (емкостная) мощность пропорциональна емкости. Если изоляция пластин батареи конденсаторов допускает повышение напряжения (например, в раз), то реактивная (емкостная) мощность увеличится пропорционально квадрату напряжения (т. е. в 3 раза). Таким образом, в рассматриваемом случае важное значение имеет отнонение напряжения от номинального.

16. В катушке (см. задачу 10), включенной на переменное напряжение U=12 В частотой f=50 Гц установился ток 1,2 А.
Определить индуктивность катушки.

Решение:
Отношение переменного напряжения, приложенного к катушке, к току, устанавливающемуся в ней, называется полным сопротивлением z катушки;

В задаче 10 было определено, что активное сопротивление катушки r =2,8 Ом. Сопротивление катушки при перееденном токе больше сопротивления г при постоянном токе вследствие наличия э. д. с. самоиндукции, препятствующей изменению переменного тока. Это равносильно появлению в катушке сопротивления, называемого индуктивным:

где L - индуктивность, Гн
f - частота, Гц.
Связь между полным сопротивлением z , индуктивным сопротивлением и активным сопротивлением r такая же, как между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике:


откуда индуктивное сопротивление

Индуктивность катушки

В рассматриваемой катушке ток отстает по фазе от напряжения, причем тангенс угла сдвига фаз .

17. В схеме (рис. 23) вольтметр показывает 123 В, амперметр 3 А и ваттметр 81 Вт, частота сети 50 Гц.
Oпределить параметры катушки.

Решение:
Отношение напряжения к току равно полному сопротивлению катушки:

Ваттметр измеряет активную мощность цепи, которая в данной задаче является потерей мощноста в сопротивлении r , поэтому сопротивление катушки

Полное сопротивление z , активное сопротивление r и индуктивное сопротивление катушки связаны между собой таким же соотношением, как гипотенуза и катеты в прямоугольном треугольнике.

Следовательно,

При частоте f =50 Гц угловая частота

Индуктивное сопротивление равно произведению угловой частоты w и индуктивности L; следовательно,

Коэффициент мощности катушки . .
18. Катушка без стального сердечника включена на постоянное напряжение 2,1 В, ток которой равен 0,3 А. При включении этой же катушки на синусоидальное напряжение частотой 50 Гц с действующим значением 50 В ток имеет действующее значение 2 А.
Определить параметры катушки, активную и полную мощности.

Решение:
Отношение постоянного напряжения к постоянному току в катушке практически равно (если пренебречь увеличением сопротивления из-за вытеснения переменного тока на поверхность провода) активному сопротивлению:

Это один из параметров катушки. Отношение этих же величин при переменном токе в катушке равно полному сопротивлению:

Индуктивное сопротивление:

Индуктивность катушки - второй ее параметр:

Коэффициент мощности катушки:

Из таблиц тригонометрических величин .
Активная мощность

Полная мощность

Коэффициент мощности

В задачах 17 и 18 рассмотрены два различных способа определения параметров катушки.

19. Батарея конденсаторов емкостью С=50 мкФ соединена последовательно с реостатом сопротивлением r= 29,1 Ом.
Определить напряжения на батарее конденсаторов и реостате, а также ток в цепи и мощность, если приложенное напряжение U=210 В и частота сети f =50 Гц.

Решение:
Частоте 50 Гц и емкости 50 мкФ соответствует емкостное сопротивление, в 50 раз меньшее, чем емкости в 1 мкФ. Следовательно,

Здесь 3185 Ом - сопротивление конденсатора емкостью 1 мкФ.
По условию, сопротивление реостата r =29,1 Ом. Полное сопротивление цепи связано с активным и емкостным сопротивлениями таким же соотношением, как гипотенуза и катет прямоугольного треугольника:

Напряжение на реостате

Напряжение на батарее конденсаторов

В силу последовательного соединения большее напряжение оказалось на элементе цепи, имеющем большее сопротивление.
Коэффициент мощности

Из таблиц тригонометрических величин угол сдвига фаз .
Активная мощность цепи

Полная мощность цепи равна произведению действующих значений напряжения и тока:

Полная мощность намного больше активной мощности, так как коэффициент мощности мал, т. е. полное сопротивление цепи во много раз превышает активное сопротивление.

20. Электрическую лампу мощностью Р=60 Вт при напряжении необходимо подсоединить к сети с переменным напряжением U=220 В и частотой 50 Гц. Для компенсации части этого напряжения последовательно с лампой включается конденсатор.
Какой емкости необходимо взять конденсатор?

Решение:
Напряжение на лампе будет активной составляющей приложенного напряжения сети, а напряжение на конденсаторе - его реактивной (емкостной) составляющей. Эти напряжения связаны соотношением

Напряжение на конденсаторе

Ток в конденсаторе тот же, что и в лампе, т. е.

На основании закона Ома емкостное сопротивление

Так как при частоте f=50 Гц емкости С=1 мкФ соответствует емкостное сопротивление , то емкость рассматриваемого конденсатора приблизительно равна 8,7 мкФ.
Избыточное напряжение можно было бы скомпенсировать и путем последовательного включения реостата с лампой. Так как реостат, как и электрическая лампа, представляет чисто активное сопротивление, то напряжения на этих элементах цепи совпадают по фазе с общим током, а следовательно, и между собой. В этом случае будет действительно соотношение

где - напряжение на реостате, равное

При токе лампы 0,5 А сопротивление реостата должно составлять

В реостате будет расходоваться энергия, переходящая в тепло, причем потери мощности в реостате

В случае включения емкости «погашение» напряжения происходит без потерь энергии.

21. В случае электрической сварки дугой тонких листов при переменном токе в ней развивается мощность при токе I =20 A . Напряжение источника U =120 В, частота сети f =50 Гц (рис. 24). Чтобы иметь необходимое напряжение на дуге, последовательно с ней включили индуктивную катушку, сопротивление которой r =1 Ом.
Определить индуктивность катушки; сопротивление реостата, который можно было бы включить вместо катушки; к.п.д. схемы при наличии в ней катушки и реостата.

Решение:
Полное сопротивление схемы

Полная мощность на входе схемы

Потери мощности в обмотке катушки

Активная мощность схемы

Коэффициент мощности схемы

Из таблиц тригонометрических величин .
Активное сопротивление схемы

сопротивление дуги

Индуктивное сопротивление цепи представлено индуктивным сопротивлением катушки:

Эту же величину можно определить из треугольника сопротивлении (рис. 25, масштаб )

Искомая индуктивность катушки

Если бы вместо катушки был включен реостат, то сопротивление схемы имело бы ту же величину 6 Ом, но было бы чисто активным:

Потери мощности в катушке

Потери мощности в реостате

Отсюда ясно, что к. п. д. схемы выше при «погашении» избытка напряжения индуктивной катушкой. Действительно, к. п. д. при наличии катушки

к. п. д. при наличии реостата

Не следует забывать, что «погашение» избытка напряжения катушкой (или конденсатором) ухудшает коэффициент мощности (в данном примере при наличии катушки и при наличии реостата).

22. Последовательно с катушкой, параметры которой и L=15,92 мГн, включен реостат сопротивлением, . Цепь включена на напряжение U=130 В при частоте f=50 Гц.
Определить ток в цепи; напряжение на катушке и реостате; коэффициент мощности цепи и катушки.

Решение:
Индуктивное сопротивление катушки

Полное сопротивление катушки

Активное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных катушки и реостата,

Полное сопротивление цепи

На основании закона Ома ток в цепи

Напряжение на катушке

Напряжение на реостате

Арифметическая сумма много больше приложенного напряжения U=130 В. Коэффициент мощности цепи

Коэффициент мощности катушки

Следовательно, реостат увеличивает коэффициент мощности и сопротивление цепи, но уменьшает ток, увеличивает потребление энергии схемой.
Действительно, активная мощность катушки

активная мощность реостата

Так как цепь неразветвленная и ток один, то с него целесообразно начать построение векторной диаграммы (рис. 26).
Напряжение на реостате, представляющем собой чисто активное сопротивление, совпадает по фазе с током; на диаграмме вектор этого напряжения совпадает по направлению с вектором тока. Из конца вектора в сторону опережения вектора тока I , под углом в сторону, противоположную вращению стрелки часов, откладываем вектор напряжения на катушке . Векторы построены так с целью сложения по правилу многоугольника.

Решение:
Индуктивное сопротивление первой катушки

т. е. оно численно равно активному сопротивлению , что обусловливает отставание тока по фазе от напряжения на 1 / 8 периода (на 45°).
Действительно, тангенс угла сдвига фаз

Индуктивное сопротивление второй катушки

Так как ее активное сопротивление то тангенс угла сдвига фаз

Построим в масштабе треугольник сопротивлений для рассматриваемой цепи. Для этого зададимся масштабом сопротивлений . Тогда на диаграмме сопротивление 1,57 Ом будет изображено отрезком 15,7 мм, сопротивление 2,7 Ом - отрезком 27 мм и т. д. На рис. 27 отрезок, изображающий активное сопротивление , отложен в горизонтальном направлении, а отрезок, изображающий индуктивное сопротивление , - в вертикальном направлении под прямым углом к .

Полное сопротивление первой катушки является гипотенузой прямоугольного треугольника. Из вершины с этого треугольника в горизонтальном направлении отложен отрезок, изображающий сопротивление , и под прямым углом к нему вверх - отрезок, изображающий сопротивление . Гипотенуза се прямоугольного треугольника означает полное сопротивление второй катушки.
Из рис. 27 видно, что отрезок ае , изображающий полное сопротивление z неразветвленной цепи из двух катушек, не равен сумме отрезков ас и се , т. е. . Чтобы определить полное сопротивление z рассматриваемой цепи, следует сложить отдельно активные (, отрезок аf ) и индуктивные (, отрезок ef ) сопротивления катушек.
Гипотенуза ае , означающая полное сопротивление z цепи, определяется по теореме Пифагора:

Ток в цепи определяется по закону Ома:

Напряжение на первой катушке

Напряжение на второй катушке

Строим векторную диаграмму (рис. 28), приняв масштабы:
а) для тока ; тогда вектор тока изобразится отрезком длиной 25 мм;
б) для напряжения ; при этом вектор напряжения