Vond je het leuk? Toevoegen aan bladwijzers

Problemen oplossen met de simplexmethode: online voorbeelden

Taak 1. Het bedrijf produceert badkamerplanken in twee maten: A en B. Verkoopagenten schatten dat er tot 550 planken per week op de markt kunnen worden verkocht. Voor elke plank van type A is 2 m2 materiaal nodig, voor elke plank van type B 3 m2 materiaal. Het bedrijf kan tot 1200 m2 materiaal per week ontvangen. Voor het vervaardigen van één plank van type A zijn 12 minuten machinetijd nodig, en voor de vervaardiging van één plank van type B - 30 minuten; De machine kan 160 uur per week worden gebruikt. Als de winst uit de verkoop van planken van type A 3 monetaire eenheden is, en uit planken van type B - 4 monetaire eenheden. eenheden, hoeveel planken van elk type moeten er dan per week worden geproduceerd?

Taak 2. Los een lineair programmeerprobleem op met behulp van de simplexmethode.

Taak 3. Het bedrijf produceert 3 soorten producten: A1, A2, A3, waarbij twee soorten grondstoffen worden gebruikt. Van elke soort grondstof zijn de kosten per productie-eenheid bekend, de grondstoffenvoorraden voor de planperiode en de winst uit een productie-eenheid van elke soort.

1. Hoeveel items van elk type moeten worden geproduceerd om de winst te maximaliseren?
2. Bepaal de status van elk type grondstof en de specifieke waarde ervan.
3. Bepaal het maximale interval voor voorraadwijzigingen van elk type grondstof, waarbinnen de structuur van het optimale plan, d.w.z. De productienomenclatuur zal niet veranderen.
4. Bepaal de hoeveelheid geproduceerde producten en de winst uit de productie bij het vergroten van de voorraad van een van de schaarse soorten grondstoffen tot de maximaal mogelijke waarde (binnen het gegeven outputbereik).
5. Bepaal de intervallen van verandering in de winst van een productie-eenheid van elk type waarbij het resulterende optimale plan niet zal veranderen.

Taak 4. Los een lineair programmeerprobleem op met behulp van de simplexmethode:

Taak 5. Los een lineair programmeerprobleem op met behulp van de simplexmethode:

Taak 6. Los het probleem op met behulp van de simplexmethode, waarbij u als aanvankelijk referentieplan het plan in de voorwaarde beschouwt:

Taak 7. Los het probleem op met behulp van de gewijzigde simplexmethode.
Om twee soorten producten A en B te produceren, worden drie soorten technologische apparatuur gebruikt. Om een ​​eenheid van product A te produceren, gebruikt apparatuur van het eerste type a1=4 uur, apparatuur van het tweede type a2=8 uur en apparatuur van het derde type a3=9 uur. Om een ​​eenheid van product B te produceren, gebruikt apparatuur van het eerste type b1=7 uur, apparatuur van het tweede type b2=3 uur en apparatuur van het derde type b3=5 uur.
Apparatuur van het eerste type mag maximaal t1=49 uur worden ingezet voor de productie van deze producten, apparatuur van het tweede type maximaal t2=51 uur, apparatuur van het derde type maximaal t3=45 uur.
De winst uit de verkoop van een eenheid eindproduct A is ALPHA = 6 roebel, en product B is BETTA = 5 roebel.
Stel een plan op voor de productie van producten A en B, zodat u maximale winst uit hun verkoop kunt halen.

Taak 8. Vind de optimale oplossing met behulp van de dual simplex-methode

Lineaire programmeerproblemen. Het bevindt zich in een sequentiële constructie die het beschouwde proces karakteriseert. De oplossing is verdeeld in drie hoofdfasen: selectie van variabelen, constructie van een systeem van beperkingen en zoeken naar een objectieve functie.

Op basis van deze indeling kan de probleemvoorwaarde als volgt worden geherformuleerd: extremum van de doelfunctie Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) en de bijbehorende variabelen, als bekend is dat ze voldoen aan het systeem van beperkingen: Φ_i ( x1, x2, … ,xn) = 0 voor i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 voor i = k+1, k+ 2, …, m.

Het systeem van beperkingen moet in een canonieke vorm worden gebracht, d.w.z. naar een systeem van lineaire vergelijkingen, waarbij het aantal variabelen groter is dan het aantal vergelijkingen (m > k). In dit systeem zullen er zeker variabelen zijn die via andere variabelen kunnen worden uitgedrukt, en als dit niet het geval is, kunnen ze kunstmatig worden geïntroduceerd. In dit geval worden de eerste een basis of een kunstmatige basis genoemd, en de laatste worden gratis genoemd.

Het is handiger om de simplexmethode te beschouwen aan de hand van een specifiek voorbeeld. Laten we een lineaire functie f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 en een systeem van beperkingen geven: 5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25; waarde van de functie f(x).

Oplossing Specificeer in de eerste fase op absoluut willekeurige wijze de initiële (referentie)oplossing van het stelsel vergelijkingen, die aan het gegeven stelsel van beperkingen moet voldoen. In dit geval is de introductie van kunstmatige vereist, d.w.z. basisvariabelen x4, x5 en x6 als volgt: 5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25;

Zoals je kunt zien, zijn de ongelijkheden omgezet in gelijkheden dankzij de toegevoegde variabelen x4, x5, x6, die niet-negatieve grootheden zijn. Zo heb je het systeem naar zijn canonieke vorm gebracht. De variabele x4 is opgenomen in de eerste vergelijking met een coëfficiënt van 1, en in de tweede vergelijking met een coëfficiënt van 0 geldt hetzelfde voor de variabelen x5, x6 en de bijbehorende vergelijkingen, wat overeenkomt met de definitie van de basis.

U hebt het systeem voorbereid en de initiële referentieoplossing gevonden – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Presenteer nu de coëfficiënten van de variabelen en de vrije termen van de vergelijkingen (de getallen rechts van het “=” teken) in de vorm van een tabel om verdere berekeningen te optimaliseren (zie figuur).

De essentie van de simplexmethode is om deze tabel in een vorm te brengen waarin alle getallen in rij L niet-negatieve waarden zijn. Als blijkt dat dit niet mogelijk is, heeft het systeem helemaal geen optimale oplossing. Selecteer eerst het kleinste element van deze regel, namelijk -9. Het nummer staat in de derde kolom. Converteer de overeenkomstige x3-variabele naar een basisvariabele. Om dit te doen, deelt u de lijn door 3, zodat de cel op 1 uitkomt.

Nu heb je de cellen nodig en ga je naar 0. Om dit te doen, trek je 3 af van de overeenkomstige getallen van de derde rij. Van de elementen van de tweede rij - de elementen van de derde, vermenigvuldigd met 2. En ten slotte van de elementen van de L-rij - vermenigvuldigd met (-9). Je hebt de tweede referentieoplossing verkregen: f(x) = L = 54 met x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).

Laten we eens overwegen simplex methode voor het oplossen van lineaire programmeerproblemen (LP). Het is gebaseerd op de overgang van het ene referentieplan naar het andere, waarbij de waarde van de doelfunctie toeneemt.

Het simplexmethode-algoritme is als volgt:

1. We transformeren het oorspronkelijke probleem in een canonieke vorm door aanvullende variabelen te introduceren. Voor ongelijkheden van de vorm ≤ worden aanvullende variabelen geïntroduceerd met een teken (+), maar als ze de vorm ≥ hebben, dan met een teken (-). Extra variabelen worden in de doelfunctie geïntroduceerd met overeenkomstige tekens met een coëfficiënt gelijk aan 0 , omdat de doelfunctie mag de economische betekenis ervan niet veranderen.
2. Vectoren zijn uitgeschreven P ik uit de coëfficiënten van de variabelen en de kolom met vrije termen. Deze actie bepaalt het aantal eenheidsvectoren. De regel is dat er net zoveel eenheidsvectoren moeten zijn als er ongelijkheden zijn in het systeem van beperkingen.
3. Hierna worden de brongegevens in een simplextabel ingevoerd. Eenheidsvectoren worden in de basis geïntroduceerd en door ze uit de basis uit te sluiten, wordt de optimale oplossing gevonden. De coëfficiënten van de doelfunctie worden met het tegenovergestelde teken geschreven.
4. Een optimaliteitsteken voor een LP-probleem is dat de oplossing optimaal is als deze aanwezig is F– in de rij zijn alle coëfficiënten positief. Regel voor het vinden van de activeringskolom - bekeken F– een string en uit de negatieve elementen ervan wordt de kleinste geselecteerd. Vector P ik het bevatten ervan wordt tolerant. De regel voor het selecteren van een oplossend element - de verhoudingen van de positieve elementen van de oplossende kolom tot de elementen van de vector worden samengesteld P0 en het getal dat de kleinste verhouding oplevert, wordt het oplossende element ten opzichte waarvan de simplextabel opnieuw zal worden berekend. De regel die dit element bevat, wordt de enable-regel genoemd. Als er geen positieve elementen in de resolutiekolom staan, heeft het probleem geen oplossing. Nadat ze het oplossende element hebben bepaald, gaan ze verder met de herberekening van een nieuwe simplextabel.
5. Regels voor het invullen van een nieuwe simplextabel. Eenheid wordt in plaats van het oplossende element geplaatst en er wordt aangenomen dat andere elementen gelijk zijn 0 . De oplossende vector wordt toegevoegd aan de basis, waarvan de overeenkomstige nulvector wordt uitgesloten, en de resterende basisvectoren worden zonder wijzigingen geschreven. De elementen van de resolutielijn worden gedeeld door het resolutie-element, en de overige elementen worden opnieuw berekend volgens de rechthoekregel.
6. Dit wordt gedaan tot F– alle elementen van de string worden niet positief.

Laten we overwegen het probleem op te lossen met behulp van het hierboven besproken algoritme.
Gegeven:

We brengen het probleem naar een canonieke vorm:

We stellen de vectoren samen:

Vul de simplextabel in:

:
Laten we het eerste element van de vector herberekenen P0, waarvoor we een rechthoek van getallen maken: en we krijgen: .

We voeren soortgelijke berekeningen uit voor alle andere elementen van de simplextabel:

In het ontvangen plan F– de lijn bevat één negatief element – ​​​​(-5/3), vector P1. Het bevat in zijn kolom één enkel positief element, dat het faciliterende element zal zijn. Laten we de tabel met betrekking tot dit element opnieuw berekenen:

Geen negatieve elementen erin F– lijn betekent gevonden optimaal plan:
F* = 36/5, X = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).

• Ashmanov SA Lineaire programmering, M: Nauka, 1998,
• Ventzel E.S. Operations Research, M: Sovjet-radio, 2001,
• Kuznetsov Yu.N., Kuzubov VI, Voloshenko AB Wiskundig programmeren, M: Higher School, 1986.

Aangepaste lineaire programmeeroplossing

Op onze website kunt u alle opdrachten in dit vakgebied bestellen. U kunt bestanden bijvoegen en deadlines opgeven op

Hier is een handmatige (geen applet) oplossing van twee problemen met behulp van de simplex-methode (vergelijkbaar met de applet-oplossing) met gedetailleerde uitleg om het algoritme te begrijpen voor het oplossen van problemen met behulp van de simplex-methode. Het eerste probleem bevat alleen ongelijkheidstekens “≤” (probleem met een initiële basis), het tweede kan tekens “≥”, “≤” of “=” bevatten (probleem met een kunstmatige basis), ze worden op een andere manier opgelost.

Simplexmethode, een probleem oplossen met een initiële basis

1)Simplex-methode voor een probleem met een initiële basis (alle tekenen van ongelijkheidsbeperkingen " ≤ ").

Laten we het probleem opschrijven canoniek vorm, d.w.z. we herschrijven de ongelijkheidsbeperkingen in de vorm van gelijkheid, en voegen eraan toe balans variabelen:

Dit systeem is een systeem met een basis (basis s 1, s 2, s 3, elk is opgenomen in slechts één vergelijking van het systeem met een coëfficiënt van 1), x 1 en x 2 zijn vrije variabelen. Problemen die met de simplexmethode moeten worden opgelost, moeten de volgende twee eigenschappen hebben: - het stelsel van beperkingen moet een stelsel van vergelijkingen met een basis zijn; -vrije termen van alle vergelijkingen in het systeem moeten niet-negatief zijn.

Het resulterende systeem is een systeem met een basis en de vrije voorwaarden ervan zijn niet-negatief, dus we kunnen het toepassen simplex methode. Laten we de eerste simplextabel (Iteratie 0) maken om het probleem op te lossen simplex methode, d.w.z. een tabel met coëfficiënten van de objectieve functie en een systeem van vergelijkingen voor de overeenkomstige variabelen. Hier betekent “BP” de kolom met basisvariabelen, “Oplossing” betekent de kolom met de rechterkant van de systeemvergelijkingen. De oplossing is niet optimaal, omdat er zijn negatieve coëfficiënten in de z-rij.

simplex-methode iteratie 0

							Houding

Om de oplossing te verbeteren, gaan we verder met de volgende iteratie simplex methode, krijgen we de volgende simplextabel. Om dit te doen, moet u selecteren kolom inschakelen, d.w.z. een variabele die in de basis zal worden opgenomen bij de volgende iteratie van de simplexmethode. Het wordt geselecteerd op basis van de grootste absoluut negatieve coëfficiënt in de z-rij (in het maximale probleem) - in de initiële iteratie van de simplexmethode is dit kolom x 2 (coëfficiënt -6).

Selecteer vervolgens tekenreeks inschakelen, d.w.z. een variabele die de basis zal verlaten bij de volgende iteratie van de simplexmethode. Het wordt geselecteerd door de kleinste verhouding van de kolom "Besluit" tot de overeenkomstige positieve elementen van de resolutiekolom (kolom "Ratio") - in de initiële iteratie is dit rij s 3 (coëfficiënt 20).

Permissief element bevindt zich op het snijpunt van de oplossingskolom en de oplossingsrij, de cel is in kleur gemarkeerd en is gelijk aan 1. Daarom zal bij de volgende iteratie van de simplexmethode de variabele x 2 s 1 in de basis vervangen. Merk op dat er niet naar de relatie wordt gezocht in de z-string; daar wordt een streepje “-” geplaatst. Als er identieke minimale relaties zijn, wordt een van deze relaties geselecteerd. Als alle coëfficiënten in de resolutiekolom kleiner dan of gelijk aan 0 zijn, is de oplossing voor het probleem oneindig.

Laten we de volgende tabel “Iteratie 1” invullen. We halen het uit de tabel "Iteratie 0". Het doel van verdere transformaties is om van de x2-resolutiekolom een ​​eenheidskolom te maken (met een één in plaats van het resolutie-element en nullen in plaats van de overige elementen).

1) Bereken rij x 2 van de tabel “Iteratie 1”. Eerst delen we alle leden van de oplossende rij s 3 van de tabel "Iteratie 0" door het oplossende element (in dit geval is dit gelijk aan 1) van deze tabel, we krijgen rij x 2 in de tabel "Iteratie 1" . Omdat het oplossende element is in dit geval gelijk aan 1, dan zal rij s 3 van de tabel “Iteratie 0” samenvallen met rij x 2 van de tabel “Iteratie 1”. Rij x 2 van de Iteratie 1-tabel hebben we 0 1 0 0 1 20, de resterende rijen van de Iteratie 1-tabel worden als volgt uit deze rij en de rijen van de Iteratie 0-tabel gehaald:

2) Berekening van de z-rij van de tabel “Iteratie 1”. In plaats van -6 in de eerste rij (z-rij) in de x2-kolom van de Iteratie 0-tabel, moet er een 0 staan ​​in de eerste rij van de Iteratie 1-tabel. Om dit te doen, vermenigvuldigt u alle elementen van rij x 2 van de tabel "Iteratie 1" 0 1 0 0 1 20 met 6, krijgt u 0 6 0 0 6 120 en voegt u deze rij toe aan de eerste rij (z - rij) van de tabel "Iteratie 0" -4 -6 0 0 0 0, we krijgen -4 0 0 0 6 120. Er verschijnt een nul 0 in de x 2-kolom, het doel is bereikt. Elementen van de resolutiekolom x 2 zijn rood gemarkeerd.

3) Berekening van rij s 1 van de tabel “Iteratie 1”. In plaats van 1 in s 1 rij van de tabel “Iteratie 0” zou er een 0 moeten staan ​​in de tabel “Iteratie 1”. Om dit te doen, vermenigvuldigt u alle elementen van rij x 2 van de tabel "Iteratie 1" 0 1 0 0 1 20 met -1, krijgt u 0 -1 0 0 -1 -20 en voegt u deze rij toe met s 1 - rij van de tabel "Iteratie 0" 2 1 1 0 0 64, we krijgen de rij 2 0 1 0 -1 44. In de x 2 kolom krijgen we de vereiste 0.

4) Bereken rij s 2 van de tabel “Iteratie 1”. Op plaats 3 in rij s 2 van de tabel "Iteratie 0" moet er 0 staan ​​in de tabel "Iteratie 1". Om dit te doen, vermenigvuldigt u alle elementen van rij x 2 van de tabel "Iteratie 1" 0 1 0 0 1 20 met -3, krijgt u 0 -3 0 0 -3 -60 en voegt u deze rij toe met s 1 - rij van de tabel “Iteratie 0” 1 3 0 1 0 72, we krijgen de rij 1 0 0 1 -3 12. In de x 2-kolom wordt de vereiste 0-kolom in de tabel “Iteratie 1” een eenheid geworden , het bevat één 1 en de rest 0.

De rijen van de tabel “Iteratie 1” worden verkregen volgens de volgende regel:

Nieuwe rij = Oude rij – (Kolomcoëfficiënt oude rijresolutie)*(Nieuwe resolutierij).

Voor een z-string hebben we bijvoorbeeld:

Oude z-string (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Nieuwe oplossingsstring -(0 -6 0 0 -6 -120) =Nieuwe z-string (-4 0 0 0 6 120).

Voor de volgende tabellen gebeurt de herberekening van tabelelementen op een vergelijkbare manier, dus laten we dit achterwege.

simplex-methode iteratie 1

							Houding

Kolom x 1 oplossen, rij s 2 oplossen, s 2 verlaat de basis, x 1 komt de basis binnen. Op precies dezelfde manier verkrijgen we de resterende simplextabellen totdat we een tabel verkrijgen met alle positieve coëfficiënten in de z-rij. Dit is een teken van een optimale tafel.

simplex-methode iteratie 2

							Houding

Het oplossen van kolom s 3, het oplossen van rij s 1, s 1 verlaat de basis, s 3 komt de basis binnen.

simplex-methode-iteratie 3

							Houding

In de z-rij zijn alle coëfficiënten niet-negatief, daarom wordt de optimale oplossing x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192 verkregen.

Simplex-methode is een iteratief proces van gerichte oplossing van een systeem van vergelijkingen in stappen, dat begint met een referentieoplossing en, op zoek naar de beste optie, langs de hoekpunten van het haalbare oplossingsgebied beweegt, waardoor de waarde van de objectieve functie wordt verbeterd totdat de objectieve functie bereikt de optimale waarde.

Doel van de dienst. De service is ontworpen voor het online oplossen van lineaire programmeerproblemen (LPP) met behulp van de simplex-methode in de volgende notatievormen:

• in de vorm van een simplextabel (Jordaanse transformatiemethode); basisregistratieformulier;
• gemodificeerde simplex-methode; in kolomvorm; in lijnvorm.

Instructies. Selecteer het aantal variabelen en het aantal rijen (aantal beperkingen). De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word- en Excel-bestand.

Aantal variabelen 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aantal rijen (aantal beperkingen) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Houd in dit geval geen rekening met beperkingen zoals x i ≥ 0. Als er voor bepaalde x i geen beperkingen in de taak zijn, moet de ZLP worden geconverteerd naar de KZLP of deze service gebruiken. De oplossing bepaalt automatisch het verbruik M-methode(simplexmethode met kunstmatige basis) en tweetraps simplexmethode.

Het volgende wordt ook gebruikt met deze rekenmachine:
Grafische methode voor het oplossen van ZLP
Oplossing van het transportprobleem
Een matrixspel oplossen
Met behulp van de online service kunt u de prijs van een matrixspel bepalen (onder- en bovengrens), controleren op de aanwezigheid van een zadelpunt, een oplossing vinden voor een gemengde strategie met behulp van de volgende methoden: minimax, simplex-methode, grafisch (geometrisch ) methode, Brown's methode.
Extremum van een functie van twee variabelen
Dynamische programmeerproblemen
Verdeel 5 homogene partijen goederen over drie markten om een ​​maximaal inkomen uit de verkoop ervan te verkrijgen. De inkomsten uit verkopen in elke markt G(X) zijn afhankelijk van het aantal verkochte partijen van product X en worden weergegeven in de tabel.

Productvolume X (in partijen)	Inkomen G(X)
	1	2	3
0	0	0	0
1	28	30	32
2	41	42	45
3	50	55	48
4	62	64	60
5	76	76	72

Simplex-methode-algoritme omvat de volgende stappen:

1. Opstellen van het eerste basisplan. Overgang naar de canonieke vorm van het lineaire programmeringsprobleem door niet-negatieve aanvullende balansvariabelen te introduceren.
2. Het controleren van het plan op optimaliteit. Als er ten minste één indexlijncoëfficiënt kleiner is dan nul, is het plan niet optimaal en moet het worden verbeterd.
3. Bepalen van de leidende kolom en rij. Uit de negatieve coëfficiënten van de indexlijn wordt de grootste in absolute waarde geselecteerd. Vervolgens worden de elementen van de kolom met vrije leden van de simplextabel verdeeld in elementen met hetzelfde teken van de leidende kolom.
4. Het bouwen van een nieuw referentieplan. De overgang naar een nieuw plan wordt uitgevoerd als resultaat van de herberekening van de simplextabel met behulp van de Jordan-Gauss-methode.

Als het nodig is om het uiterste van de doelfunctie te vinden, dan hebben we het over het vinden van de minimumwaarde (F(x) → min, zie het voorbeeld van een oplossing voor het minimaliseren van een functie) en de maximumwaarde ((F(x) ) → max, zie het voorbeeld van een oplossing voor het maximaliseren van een functie)

Een extreme oplossing wordt bereikt op de grens van het gebied van haalbare oplossingen op een van de hoekpunten van de hoekpunten van de veelhoek, of op het segment tussen twee aangrenzende hoekpunten.

Fundamentele stelling van lineaire programmering. Als de ZLP-doelfunctie op een bepaald punt in de regio van haalbare oplossingen een extreme waarde bereikt, dan neemt deze deze waarde op het hoekpunt. Als de ZLP-doelfunctie op meer dan één hoekpunt een extreme waarde bereikt, neemt deze dezelfde waarde aan op elk van de convexe lineaire combinaties van deze punten.

De essentie van de simplexmethode. Verplaatsing naar het optimale punt wordt uitgevoerd door van het ene hoekpunt naar het aangrenzende punt te gaan, wat X opt dichterbij en sneller brengt. Een dergelijk schema voor het opsommen van punten, de simplexmethode genoemd, voorgesteld door R. Danzig.
Hoekpunten worden gekenmerkt door m basisvariabelen, dus de overgang van het ene hoekpunt naar een aangrenzend hoekpunt kan worden bereikt door slechts één basisvariabele in de basis te veranderen in een variabele van een niet-basis.
De implementatie van de simplexmethode kent, vanwege verschillende kenmerken en formuleringen van LP-problemen, verschillende wijzigingen.

De constructie van simplextafels gaat door totdat de optimale oplossing is verkregen. Hoe kun je een simplextabel gebruiken om te bepalen dat de oplossing voor een lineair programmeerprobleem optimaal is?
Als de laatste regel (waarden van de doelfunctie) geen negatieve elementen bevat, zal deze het optimale plan vinden.

Opmerking 1. Als een van de basisvariabelen gelijk is aan nul, dan is het uiterste punt dat overeenkomt met zo'n basisoplossing gedegenereerd. Er is sprake van degeneratie als er onduidelijkheid bestaat over de keuze van de richtlijn. Het kan zijn dat u de ontaarding van het probleem helemaal niet opmerkt als u een andere lijn als leidraad kiest. In geval van onduidelijkheid moet de rij met de laagste index worden geselecteerd om herhaling te voorkomen.

Opmerking 2. Laat op een bepaald extreem punt alle simplexverschillen niet-negatief zijn D k ³ 0 (k = 1..n+m), d.w.z. er wordt een optimale oplossing verkregen en er bestaat A k - een niet-basisvector waarvoor D k = 0. Dan wordt het maximum op minstens twee punten bereikt, d.w.z. er is een alternatief optimaal. Als we deze variabele x k in de basis introduceren, verandert de waarde van de doelfunctie niet.

Opmerking 3. De oplossing voor het duale probleem staat in de laatste simplextabel. De laatste m componenten van de vector van simplexverschillen (in de kolommen met balansvariabelen) zijn de optimale oplossing voor het dubbele probleem. De waarden van de objectieve functies van de directe en dubbele problemen op optimale punten vallen samen.

Opmerking 4. Bij het oplossen van het minimalisatieprobleem wordt de vector met het grootste positieve simplexverschil in de basis geïntroduceerd. Vervolgens wordt hetzelfde algoritme toegepast als voor het maximalisatieprobleem.

Als de voorwaarde ‘Het is noodzakelijk dat grondstoffen van type III volledig worden verbruikt’ is gespecificeerd, dan is de overeenkomstige voorwaarde een gelijkheid.