FUNCTIES VAN VERSCHILLENDE VARIABELEN
1. BASISCONCEPTEN
Laten we: z - een variabele waarde met een reeks veranderingen R; R - getallenlijn; D - gebied op het coördinatenvlak R2.
Elke afbeelding D->R wordt een functie van twee variabelen genoemd met domein D en geschreven als z = f(x;y).
Met andere woorden:
Als elk paar (x; y) van twee onafhankelijke variabelen uit domein D, volgens een bepaalde regel, geassocieerd is met één specifieke waarde z uit R, dan variabele waarde z wordt een functie genoemd van twee onafhankelijke variabelen x en y met domein D en geschreven
http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" breedte = "215" hoogte = "32 src = ">
Voorbeeld 1.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" breedte = "157" hoogte = "29 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">
Het definitiedomein is een deel van het vlak dat binnen een cirkel met straal r = 3 ligt, met het middelpunt in de oorsprong, zie figuur.
Voorbeeld 3. Zoek en teken het domein van een functie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" breedte = "86" hoogte = "32 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" breedte = "147" hoogte = "30 src = ">
2. GEOMETRISCHE INTERPRETATIE VAN DE FUNCTIE VAN TWEE
VARIABELEN
2.1.Grafiek van een functie van twee variabelen
Laten we eens kijken in de ruimte rechthoekig systeem coördinaten en gebied D op het xOy-vlak. Op elk punt M(x;y) uit dit gebied herstellen we een loodlijn op het xOy-vlak en plotten we daarop de waarde z = f(x;y). Geometrische locatie van de verkregen punten
http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" breedte = "106" hoogte = "23 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" breedte = "159" hoogte = "23 src = ">
Dit zijn cirkels gecentreerd op de oorsprong, straal R = C1/2 en vergelijking
x2 + y2 = R2, zie figuur.
Niveaulijnen stellen ons in staat het beschouwde oppervlak weer te geven, wat concentrische cirkels oplevert wanneer het wordt doorsneden door vlakken z = C.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> en zoek .
Oplossing. Laten we de sectiemethode gebruiken.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– in het vlak – een parabool.
– in het vlak – parabool.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cirkel.
Het vereiste oppervlak is een omwentelingsparaboloïde.
Afstand tussen twee willekeurige punten en (Euclidische) ruimte wordt een getal genoemd
http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> wordt aangeroepen open cirkel straal gecentreerd op punt r.
Een open cirkel met straal ε met middelpunt in punt A wordt genoemd - ε - omgeving punt A.
3taak
Zoek en geef grafisch het domein van de definitie van de functie weer:
Functieniveaulijnen tekenen:
3. LIMIET VAN EEN FUNCTIE VAN TWEE VARIABELEN
Basisconcepten wiskundige analyse, geïntroduceerd voor een functie van één variabele, breidt zich uit tot functies van meerdere variabelen.
Definitie:
Een constant getal A wordt de limiet genoemd van een functie van twee variabelen z = f(x;y) voor x -> x0, y -> y0, indien aanwezig
ε >0 er is δ >0 zodat |f(x; y) - A|< ε , как только
|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.
Dit feit wordt als volgt aangegeven:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" breedte = "160" hoogte = "39 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Voor een functie van twee variabelen: de neiging tot een limietpunt op het vlak kan gebeuren volgens oneindig getal richtingen (en niet noodzakelijkerwijs in een rechte lijn), en daarom is de vereiste voor het bestaan van een limiet voor een functie van twee (of meerdere) variabelen “strakker” vergeleken met een functie van één variabele.
Voorbeeld 1. Vinden .
Oplossing. Laat het verlangen om het grenspunt te bereiken http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> hangt af van.
Voorbeeld 2. Vinden .
Oplossing. Voor elke rechte lijn is de limiet hetzelfde:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Vervolgens
http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (de rest is naar analogie).
Definitie. Het nummer wordt gebeld begrenzing functioneert voor en , als voor zodanig dat de ongelijkheden en impliceren de ongelijkheid 
. Dit feit wordt kortweg als volgt geschreven:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" breedte = "124" hoogte = "48">.gif" breedte = "236" hoogte = "48 src = ">;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" breedte = "247" hoogte = "60 src = ">,
waar is het limietpunt http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> met het domein van definitie en let – limietpunt van de verzameling, d.w.z. het punt waarnaar de argumenten neigen X En bij.
Definitie 1. Ze zeggen dat de functie is continu in een punt als:
1) ;
2), d.w.z. 
.
Laten we de definitie van continuïteit in een gelijkwaardige vorm formuleren..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> is continu op een punt als de gelijkheid geldt
http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" breedte = "16" hoogte = "20 src = ">.gif" breedte = "15 hoogte = 16" hoogte = "16"> laten we een willekeurige verhoging geven. De functie krijgt een gedeeltelijke verhoging met X
http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> is een functie van één variabele.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> wordt genoemd continu op een punt boven een variabele (over een variabele) als
http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" breedte = "101" hoogte = "36">).
Stelling.Als de functiegedefinieerd is in een bepaalde omgeving van een punt en continu is op dit punt, dan is het continu op dit punt in elk van de variabelen.
De omgekeerde bewering is niet waar.
VOORBEELD Laten we bewijzen dat de functie
doorlopend op het punt http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > op het punt dat overeenkomt met de verhoging http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, wat betekent dat het continu is op een punt in de variabele.
Op dezelfde manier kan men continuïteit op een punt bewijzen met betrekking tot een variabele.
Laten we laten zien dat er geen grens is. Laat een punt een punt naderen langs een rechte lijn die door het punt gaat. Dan krijgen wij
.
Als we dus het punt http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20"> naderen, verkrijgen we verschillende grenswaarden. Hieruit volgt dat de limiet hiervan functie bestaat niet op het punt, wat betekent dat de functie http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">
Andere benamingen
http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" breedte = "389" hoogte = "55 src = ">
Andere benamingen
http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" breedte = "60" hoogte = "28 src = ">.
Oplossing. We hebben:
, 
Voorbeeld 2.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" breedte = "411" hoogte = "51 src = ">
Voorbeeld 3. Vind partiële afgeleiden van een functie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" breedte = "477" hoogte = "58 src = ">
Voorbeeld 4. Vind partiële afgeleiden van een functie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" breedte = "321" hoogte = "54 src = ">
5.2. Differentiëlen van de eerste orde van een functie van twee variabelen
De partiële verschillen van de functie z = f(x, y) met betrekking tot de variabelen x en y worden respectievelijk bepaald door de formules x(x;y) en f"y(x;y) die bestaan op het punt ( x0;y0) en in een deel van zijn omgeving en op dit punt continu zijn, wordt vervolgens, naar analogie met een functie van één variabele, een formule opgesteld voor de volledige toename van een functie van twee variabelen
http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" breedte = "364" hoogte = "57 src = ">
waar http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">
Met andere woorden, de functie z = f(x, y) is differentieerbaar op het punt (x, y) als de toename Δz equivalent is aan de functie: 
Uitdrukking
http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" breedte = "192" hoogte = "57 src = ">
Rekening houdend met het feit dat Δх = dx, Δy=dy:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> is op het punt differentieerbaar, maar is op dit punt continu.
De omgekeerde bewering is onjuist, dat wil zeggen dat continuïteit slechts een noodzakelijke, maar geen voldoende voorwaarde is voor de differentieerbaarheid van een functie. Laten we het laten zien.
VOORBEELD Laten we de gedeeltelijke afgeleiden van de functie http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src="> vinden.
De resulterende formules verliezen hun betekenis op het punt http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> heeft op dat punt geen partiële afgeleiden. In werkelijkheid, 
. Deze functie van één variabele heeft, zoals bekend, geen afgeleide op het punt http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> wel bestaat op dit punt niet. Op dezelfde manier is er geen partiële afgeleide. 
, is uiteraard continu op het punt.
We hebben dus aangetoond dat een continue functie mogelijk geen partiële afgeleiden heeft. Rest ons nog het verband vast te stellen tussen differentiatie en het bestaan van partiële afgeleiden.
5.4. Verband tussen differentieerbaarheid en het bestaan van partiële afgeleiden.
Stelling 1. Een noodzakelijke voorwaarde voor differentiatie.
Als de functie z = f(x, y) differentieerbaar is op het punt M(x, y), dan heeft deze partiële afgeleiden met betrekking tot elke variabele en op het punt M.
De omgekeerde stelling is niet waar, dat wil zeggen dat het bestaan van partiële afgeleiden noodzakelijk is, maar geen voldoende voorwaarde voor de differentieerbaarheid van een functie.
Stelling 2. Voldoende voorwaarde voor differentiatie. Als de functie z = f(x, y) continue partiële afgeleiden heeft op het punt, dan is deze differentieerbaar op het punt (en het totale verschil op dit punt wordt uitgedrukt door de formule http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" breedte = "101 hoogte = 29" hoogte = "29">
Voorbeeld 2. Bereken 3.021,97
3taak
Bereken ongeveer met behulp van differentieel:
5.6. Regels voor het onderscheiden van complexe en impliciete functies. Volledige afgeleide.
Zaak 1.
z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)
De functies u en v zijn continue functies van de argumenten x, y.
De functie z is dus een complexe functie van de argumenten x en y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))
Laten we aannemen dat de functies f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) continue partiële afgeleiden hebben met betrekking tot al hun argumenten.
Laten we de taak instellen om http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src="> te berekenen.
Laten we het argument x een verhoging Δx geven, waarmee de waarde van het argument y wordt vastgelegd. Dan zijn de functies van twee variabelen u= φ(x, y) en
v= φ(x, y) krijgt gedeeltelijke verhogingen Δxu en Δxv. Bijgevolg krijgt z=f(u, v) de volledige verhoging zoals gedefinieerd in paragraaf 5.2 (eerste-orde differentiëlen van een functie van twee variabelen):
http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" breedte = "293" hoogte = "43 src = ">
Als xu → 0, dan Δxu → 0 en Δxv → 0 (vanwege de continuïteit van de functies u en v). Als we de limiet bereiken bij Δx → 0, verkrijgen we:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)
VOORBEELD
Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;
http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" breedte = "81" hoogte = "41 src = ">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.
Met behulp van formule (*) krijgen we dan:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" breedte = "219" hoogte = "44 src = ">.
Om het eindresultaat te verkrijgen, is het in de laatste twee formules nodig om, in plaats van u en v, respectievelijk еx+y² en x2+y te vervangen.
Geval 2.
De functies x en y zijn continue functies.
De functie z=f(x, y) hangt dus via x en y af van één onafhankelijke variabele t, d.w.z. laten we aannemen dat x en y geen onafhankelijke variabelen zijn, maar functies van de onafhankelijke variabele t, en de afgeleide http: / definiëren /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" breedte = "235" hoogte = "44 src = ">
Laten we beide zijden van deze gelijkheid delen door Δt:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" breedte = "145" hoogte = "44 src = "> (**)
Geval 3.
Laten we nu aannemen dat de rol van de onafhankelijke variabele t wordt gespeeld door de variabele x, dat wil zeggen dat de functie z = f(x, y) afhangt van de onafhankelijke variabele x, zowel rechtstreeks als via de variabele y, die een continue functie van x.
Rekening houdend met het feit dat http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)
Afgeleide x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.
Partiële afgeleiden vinden
http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" breedte = "72" hoogte = "48 src = ">.gif" breedte = "383" hoogte = "48 src = ">
De beproefde regel voor het differentiëren van complexe functies wordt toegepast om de afgeleide van een impliciete functie te vinden.
Afgeleide van een impliciet gespecificeerde functie.
Laten we aannemen dat de vergelijking
definieert y als een impliciete functie van x met afgeleide
y' = φ'(x)_
Als we y = φ(x) vervangen door de vergelijking F(x, y) = 0, zouden we de identiteit 0 = 0 moeten verkrijgen, aangezien y = φ(x) een oplossing is voor deze vergelijking. We zien daarom dat het constante nulpunt kan worden beschouwd als een complexe functie van x, die zowel rechtstreeks als via y =φ(x) van x afhangt.
De afgeleide naar x van deze constante moet nul zijn; regel (***) toepassen, krijgen we
F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" breedte = "64" hoogte = "41 src = ">
Vandaar,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> geldt voor zowel de ene als de andere functie.
5.7. Totaal verschil van de eerste orde. Invariantie van de vorm van een differentiaal van de eerste orde
Laten we de expressies vervangen door http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> gedefinieerd door gelijkheden (*) (zie geval 1 in clausule 5.6 "Regels voor differentiatie van complexe en impliciete functies. Totale afgeleide") in de totale differentiaalformule.
Gif" breedte = "33" hoogte = "19 src = ">.gif" breedte = "33" hoogte = "19 src = ">.gif" breedte = "140" hoogte = "44 src = ">
Dan heeft de formule voor het totale verschil van de eerste orde van een functie van twee variabelen de vorm
http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" breedte = "139" hoogte = "41 src = ">
Als we de laatste gelijkheid vergelijken met de formule voor het eerste differentieel van een functie van twee onafhankelijke variabelen, kunnen we zeggen dat de uitdrukking voor het volledige eerste-orde differentieel van een functie van meerdere variabelen dezelfde vorm heeft als wanneer u en v waren onafhankelijke variabelen.
Met andere woorden, de vorm van het eerste differentieel is invariant, dat wil zeggen dat het niet afhankelijk is van de vraag of de variabelen u en v onafhankelijke variabelen zijn of afhankelijk zijn van andere variabelen.
VOORBEELD
Vind het volledige differentieel van de eerste orde complexe functie
z=u2v3, u=x2 zonde j, v=x3·ey.
Oplossing Met behulp van de formule voor het totale verschil van de eerste orde hebben we:
dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =
2uv3 (2x zonde j·dx+x2·cos j·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).
Deze uitdrukking kan als volgt worden herschreven
dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 gezellig+3u2v2x3 ey) dy=
De invariantie-eigenschap van een differentiaal stelt ons in staat de regel voor het vinden van het differentieel van een som, product en quotiënt uit te breiden tot het geval van een functie van meerdere variabelen:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" breedte = "409" hoogte = "46 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Dit
de functie zal homogeen zijn van de derde graad voor alle reële x, y en t. Dezelfde functie zal elk homogeen polynoom in x en y van de derde graad zijn, dat wil zeggen een dergelijk polynoom in elke term waarvan de som van de exponenten xn gelijk is aan drie:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" breedte = "229" hoogte = "47 src = ">
zijn homogene functies van respectievelijk graden 1, 0 en (- 1)..jpg" width="36" height="15">.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" breedte = "363" hoogte = "29 src = ">
Aangenomen dat t=1, vinden we
http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" breedte = "95" hoogte = "22 src = ">
Gedeeltelijke afgeleiden http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), in het algemeen
Met andere woorden, het zijn functies van de variabelen x en y. Daarom kunnen er weer gedeeltelijke afgeleiden van worden gevonden. Bijgevolg zijn er vier partiële afgeleiden van de tweede orde van een functie van twee variabelen, aangezien elk van de functies kan worden gedifferentieerd met betrekking tot zowel x als y.
De tweede partiële afgeleiden worden als volgt aangegeven:
is de afgeleide van de nde orde; hier werd de functie z eerst p keer gedifferentieerd ten opzichte van x, en vervolgens n - p keer ten opzichte van y.
Voor een functie van een willekeurig aantal variabelen worden partiële afgeleiden van hogere orde op dezelfde manier bepaald.
P R En M e r 1. Bereken partiële afgeleiden van de tweede orde van een functie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" breedte = "600" hoogte = "87 src = ">
Voorbeeld 2. Bereken en http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">
Voorbeeld 3. Bereken of
http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" breedte = "129" hoogte = "36 src = ">
x, f"y, f"xy en f"yx zijn gedefinieerd en continu op het punt M(x, y) en in een deel van de omgeving ervan, en vervolgens op dit punt
http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" breedte = "50 hoogte = 28" hoogte = "28">.jpg" breedte = "523" hoogte = "128 src = ">
Vandaar,
http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" breedte = "130" hoogte = "30 src = ">
Oplossing.
Gemengde derivaten zijn gelijk.
5.10. Differentiëlen van hogere orde van een functieNvariabelen.
Totaal verschil d u functies van verschillende variabelen zijn op hun beurt een functie van dezelfde variabelen, en we kunnen het totale verschil van deze laatste functie bepalen. We zullen dus een differentiaal van de tweede orde d2u verkrijgen van de oorspronkelijke functie en, die ook een functie zal zijn van dezelfde variabelen, en het volledige differentieel ervan zal ons leiden naar een differentiaal van de derde orde d3u van de oorspronkelijke functie, enz.
Laten we het geval van de functie u=f(x, y) van twee variabelen x en y nader bekijken en aannemen dat de variabelen x en y onafhankelijke variabelen zijn. A-priorij
http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" breedte = "463" hoogte = "186 src = ">
Als we d3u op precies dezelfde manier berekenen, krijgen we:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-
Bovendien moet deze formule als volgt worden opgevat: de som tussen haakjes moet worden verheven tot de macht n, met behulp van de binominale formule van Newton, waarna de exponenten y en http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> met richting cosinus cos α, cos β (α + β = 90°). Beschouw op de vector het punt M1(x + Δx; y + Δy). Bij het verplaatsen van punt M naar punt M1 krijgt de functie z = f(x; y) een volledige verhoging
http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> neigt naar nul (zie figuur).
http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" breedte = "324" hoogte = "54 src = ">
waar http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, en daarom krijgen we:
http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> bij Δs->0 wordt de productie genoemd
waterfunctie z = f(x; y) op het punt (x; y) in de richting van de vector en wordt aangegeven
http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)
Dus de partiële afgeleiden van de functie kennen
z = f(x; y) je kunt de afgeleide van deze functie in elke richting vinden, en elke partiële afgeleide is een speciaal geval van de richtingsafgeleide.
VOORBEELD Zoek de afgeleide van een functie
http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" breedte = "287" hoogte = "56 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" breedte = "227" hoogte = "59 src = ">
http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" breedte = "253 hoogte = 62" hoogte = "62">
Daarom is de functie z = f(x;y) in in deze richting neemt toe.
5. 12 . Verloop
De gradiënt van een functie z = f(x; y) is een vector waarvan de coördinaten de overeenkomstige partiële afgeleiden van deze functie zijn
http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" breedte = "205" hoogte = "56 src = ">
d.w.z. jpg" breedte = "89" hoogte = "33 src = ">
op punt M(3;4).
Oplossing.
http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" breedte = "213" hoogte = "56 src = ">
Bij het bestuderen van veel patronen in de natuurwetenschappen en economie kom je functies tegen van twee (of meer) onafhankelijke variabelen.
Definitie (voor een functie van twee variabelen).Laten X , Y En Z - menigten. Als elk koppel (X, j) elementen uit sets respectievelijk X En Y op grond van een of andere wet F komt overeen met één en slechts één element z van velen Z , dan zeggen ze dat er wordt een functie van twee variabelen gegeven z = F(X, j) .
In het algemeen domein van een functie van twee variabelen geometrisch kan worden weergegeven door een bepaalde reeks punten ( X; j) vliegtuig xOj .
De basisdefinities met betrekking tot functies van verschillende variabelen zijn een generalisatie van de overeenkomstige definities voor een functie van één variabele .
Een stelletje D genaamd domein van de functie z, en het stel E – zijn vele betekenissen. Variabelen X En j in relatie tot de functie z worden de argumenten genoemd. Variabel z de afhankelijke variabele genoemd.
Privéwaarden van argumenten
komt overeen met de privéwaarde van de functie
Domein van een functie van meerdere variabelen
Als functie van meerdere variabelen (bijvoorbeeld twee variabelen) gegeven door de formule z = F(X, j) , Dat gebied van de definitie ervan is de verzameling van al deze punten van het vlak x0y, waarvoor de uitdrukking F(X, j) is logisch en accepteert echte waarden. De algemene regels voor het domein van een functie van meerdere variabelen zijn afgeleid van de algemene regels voor domein van de definitie van een functie van één variabele. Het verschil is dat voor een functie van twee variabelen gebied definitie is een bepaalde reeks punten op het vlak, en niet een rechte lijn, zoals bij een functie van één variabele. Voor een functie van drie variabelen is het definitiedomein de overeenkomstige reeks punten in de driedimensionale ruimte, en voor een functie N variabelen - de overeenkomstige reeks punten van de samenvatting N-dimensionale ruimte.
Domein van een functie van twee variabelen met een wortel N e graad
In het geval dat een functie van twee variabelen wordt gegeven door de formule en N - natuurlijk nummer :
Als N een even getal is, dan is het domein van de definitie van de functie de reeks punten van het vlak die overeenkomen met alle waarden van de radicale uitdrukking die groter zijn dan of gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen
Als N een oneven getal is, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling van alle waarden, dat wil zeggen het hele vlak x0y .
Domein van een machtsfunctie van twee variabelen met een gehele exponent
:
Als A- positief, dan is het definitiedomein van de functie het hele vlak x0y ;
Als A- negatief, dan is het domein van de definitie van de functie de reeks waarden die verschillen van nul: .
Domein van een machtsfunctie van twee variabelen met een fractionele exponent
In het geval dat de functie wordt gegeven door de formule 
:
als positief is, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling van die punten in het vlak waarop waarden groter dan of gelijk aan nul worden aangenomen: ;
als - negatief is, dan is het definitiedomein van de functie de verzameling van die punten in het vlak waarop waarden groter dan nul worden aangenomen: .
Domein van definitie van een logaritmische functie van twee variabelen
Logaritmische functie van twee variabelen 
wordt gedefinieerd op voorwaarde dat het argument positief is, dat wil zeggen dat het domein van de definitie de verzameling punten in het vlak is waarop waarden groter dan nul worden aangenomen: .
Domein van definitie van trigonometrische functies van twee variabelen
Functie Domein 
- het hele vliegtuig x0y
.
Functie Domein 
- het hele vliegtuig x0y
.
Het domein van de definitie van de functie is het hele vlak x0y
Functie Domein 
- het hele vliegtuig x0y, behalve voor getallenparen waarvoor waarden nodig zijn.
Domein van definitie van inverse trigonometrische functies van twee variabelen
Functie Domein 
.
Functie Domein 
- de reeks punten op het vlak waarvoor .
Functie Domein 
- het hele vliegtuig x0y
.
Functie Domein 
- het hele vliegtuig x0y
.
Het domein van de definitie van een breuk als functie van twee variabelen
Als een functie wordt gegeven door de formule, dan bestaat het definitiedomein van de functie uit alle punten van het vlak waarin .
Domein van een lineaire functie van twee variabelen
Als de functie wordt gegeven door een formule van de vorm z = bijl + door + C , dan is het definitiedomein van de functie het hele vlak x0y .
Voorbeeld 1.
Oplossing. Volgens de regels voor het definitiedomein stellen we een dubbele ongelijkheid samen
We vermenigvuldigen de gehele ongelijkheid met en krijgen
De resulterende uitdrukking specificeert het definitiedomein van deze functie van twee variabelen.
Voorbeeld 2. Zoek het domein van een functie van twee variabelen.
Functies van verschillende variabelen. Geometrische weergave van een functie van twee variabelen. Horizontale lijnen en oppervlakken. Limiet en continuïteit van functies van verschillende variabelen, hun eigenschappen. Gedeeltelijke afgeleiden, hun eigenschappen en geometrische betekenis.
Definitie 1.1. Variabel z(met wisselruimte Z) wordt genoemd functie van twee onafhankelijke variabelen x,y in overvloed M, als elk paar ( x,y) van velen M z van Z.
Definitie 1.2. Een stelletje M, waarin de variabelen worden gespecificeerd x,y, genaamd domein van de functie, en zichzelf x,y- haar argumenten.
Benamingen: z = f(x,y), z = z(x,y).
Opmerking. Sinds een paar cijfers ( x,y) kunnen worden beschouwd als de coördinaten van een bepaald punt op het vlak, zullen we vervolgens de term “punt” gebruiken voor een paar argumenten voor een functie van twee variabelen, evenals voor een geordende reeks getallen die argumenten zijn voor een functie van meerdere variabelen.
Definitie 1.3. . Variabel z(met wisselruimte Z) wordt genoemd functie van verschillende onafhankelijke variabelen in overvloed M, als elke set getallen uit de set M volgens een bepaalde regel of wet wordt één specifieke waarde toegekend z van Z. De concepten argumenten en domein worden op dezelfde manier geïntroduceerd als voor een functie van twee variabelen.
Benamingen: z = f , z = z .
Geometrische weergave van een functie van twee variabelen.
Denk aan de functie z = f(x,y), (1.1)
Op een bepaald gebied gedefinieerd M op het O-vlak xy. Vervolgens de reeks punten in de driedimensionale ruimte met coördinaten ( x,y,z), waarbij , de grafiek is van een functie van twee variabelen. Omdat vergelijking (1.1) een bepaald oppervlak in de driedimensionale ruimte definieert, zal dit ook zo zijn geometrisch beeld de functie in kwestie.
z = f(x,y)
Voorbeelden hiervan zijn de vlakvergelijkingen die in het voorgaande semester zijn bestudeerd
z = bijl + bij + c
en tweede orde oppervlakken:
z = x² + j² (paraboloïde van revolutie),
(kegel), enz.
Opmerking. Voor een functie van drie of meer variabelen gebruiken we de term ‘surface in’ N-dimensionale ruimte”, hoewel het onmogelijk is zo’n oppervlak weer te geven.
Horizontale lijnen en oppervlakken.
Voor een functie van twee variabelen gegeven door vergelijking (1.1), kunnen we een reeks punten beschouwen ( x,y) O vliegtuig xy, waarvoor z neemt dus dezelfde constante waarde aan z= const. Deze punten vormen een lijn in het zogenaamde vlak vlakke lijn.
Zoek de waterpaslijnen voor het oppervlak z = 4 – X² - j². Hun vergelijkingen zien er zo uit X² + j² = 4 – C(C=const) – vergelijkingen van concentrische cirkels met een middelpunt in de oorsprong en met stralen. Wanneer bijvoorbeeld Met=0 we krijgen een cirkel X² + j² = 4 .
Voor een functie van drie variabelen u = u(x, y, z) de vergelijking u(x, y, z) = c definieert een oppervlak in een driedimensionale ruimte, dat wordt genoemd vlakke ondergrond.
Voor functie jij = 3X + 5j – 7z–12 vlakke oppervlakken zullen een familie van parallelle vlakken zijn, gegeven door vergelijking 3 X + 5j – 7z –12 + Met = 0.
Partiële afgeleiden van een functie van drie variabelen
We gaan verder met ieders favoriete onderwerp: wiskundige analyse: derivaten. In dit artikel leren we hoe we kunnen vinden partiële afgeleiden van een functie van drie variabelen: eerste afgeleiden en tweede afgeleiden. Wat moet je weten en kunnen om de stof onder de knie te krijgen? Geloof het of niet, in de eerste plaats moet je 'gewone' afgeleiden van een functie van één variabele kunnen vinden - op een hoog of op zijn minst gemiddeld niveau. Als het echt moeilijk voor ze is, begin dan met een les Hoe vind je de afgeleide? Ten tweede is het erg belangrijk om het artikel te lezen en de, zo niet alle, dan de meeste voorbeelden te begrijpen en op te lossen. Als dit al is gedaan, loop dan zelfverzekerd met mij mee, het zal interessant zijn, je zult er zelfs van genieten!
Methoden en principes van vinden partiële afgeleiden van een functie van drie variabelen lijken eigenlijk erg op gedeeltelijke afgeleiden van functies van twee variabelen. Ik wil u eraan herinneren dat een functie van twee variabelen de vorm heeft, waarbij “x” en “y” onafhankelijke variabelen zijn. Geometrisch gezien is een functie van twee variabelen meestal enkele oppervlak in onze driedimensionale ruimte.
Een functie van drie variabelen heeft de vorm en de variabelen worden aangeroepen onafhankelijke variabelen of argumenten, wordt de variabele aangeroepen afhankelijke variabele of functie. Bijvoorbeeld: – functie van drie variabelen
En nu een beetje over sciencefictionfilms en buitenaardse wezens. Je kunt vaak horen over vierdimensionaal, vijfdimensionaal, tiendimensionaal, enz. ruimtes. Onzin of niet?
Een functie van drie variabelen impliceert immers een vierdimensionale ruimte
(en inderdaad, er zijn drie variabelen + de functie zelf). De grafiek van een functie van drie variabelen is de zogenaamde hyperoppervlak. Het is onmogelijk je het voor te stellen, omdat we in een driedimensionale ruimte leven (lengte/breedte/hoogte). Zodat je je bij mij niet gaat vervelen, bied ik een quiz aan. Ik zal een paar vragen stellen, en iedereen die geïnteresseerd is, kan proberen deze te beantwoorden:
– Is er een vierde, vijfde, enz. in de wereld? metingen in de zin van het kleinburgerlijke begrip van de ruimte (lengte/breedte/hoogte)?
– Is het mogelijk om een vierdimensionaal, vijfdimensionaal, enz. te bouwen? ruimte erin breed begrepen dit woord? Dat wil zeggen: geef een voorbeeld van zo'n ruimte in ons leven.
– Is het mogelijk om naar het verleden te reizen?
– Is het mogelijk om naar de toekomst te reizen?
– Bestaan buitenaardse wezens?
Bij elke vraag kunt u één van de vier antwoorden kiezen:
Ja / Nee (de wetenschap verbiedt dit) / De wetenschap verbiedt dit niet / Ik weet het niet
Degene die alle vragen juist beantwoordt, heeft hoogstwaarschijnlijk een item ;-)
Naarmate de les vordert, zal ik geleidelijk antwoorden op vragen geven, mis de voorbeelden niet!
Eigenlijk vlogen ze. En meteen goed nieuws: voor een functie van drie variabelen zijn de differentiatieregels en de tabel met afgeleiden geldig. Daarom moet je goed zijn in het omgaan met ‘gewone’ afgeleiden van functieséén variabele. Er zijn heel weinig verschillen!
voorbeeld 1
Oplossing: Het is niet moeilijk te raden - voor een functie zijn er drie variabelen drie partiële afgeleiden van de eerste orde, die als volgt worden aangegeven:
Of – partiële afgeleide naar “x”;
of – gedeeltelijke afgeleide naar “y”;
of – partiële afgeleide naar “zet”.
Het symbool met een priemgetal komt vaker voor, maar de samenstellers van verzamelingen en trainingshandleidingen gebruiken graag omslachtige symbolen voor problemen - verdwaal dus niet! Misschien weet niet iedereen hoe hij deze “gevreesde breuken” correct hardop moet lezen. Voorbeeld: moet als volgt worden gelezen: “de u po de x.”
Laten we beginnen met de afgeleide naar "x": . Wanneer we de partiële afgeleide vinden met betrekking tot, dan de variabelen enworden als constanten beschouwd (constante getallen). En de afgeleide van elke constante, o genade, is gelijk aan nul:
Let onmiddellijk op het subscript - niemand verbiedt je om te markeren dat het constanten zijn. Het is nog handiger; ik raad beginners aan om precies zo'n plaat te gebruiken, er is minder risico op verwarring.
(1) We gebruiken de lineariteitseigenschappen van de afgeleide, in het bijzonder nemen we alle constanten buiten het teken van de afgeleide. Houd er rekening mee dat het in de tweede term niet nodig is om de constante te verwijderen: aangezien “Y” een constante is, is het ook een constante. In de term worden de “gewone” constante 8 en de constante “zet” uit het afgeleide teken gehaald.
(2) We vinden de eenvoudigste afgeleiden, waarbij we niet vergeten dat het constanten zijn. Vervolgens kammen we het antwoord.
Gedeeltelijke afgeleide. Als we de partiële afgeleide vinden met betrekking tot “y”, dan zijn de variabelen enworden als constanten beschouwd:
(1) We gebruiken de eigenschappen van lineariteit. En nogmaals, merk op dat de termen constanten zijn, wat betekent dat er niets uit het afgeleide teken hoeft te worden gehaald.
(2) Zoek afgeleiden en vergeet niet dat het constanten zijn. Vervolgens vereenvoudigen we het antwoord.
En tenslotte de partiële afgeleide. Als we de partiële afgeleide vinden met betrekking tot “zet”, dan zijn de variabelen enworden als constanten beschouwd:
Algemene regel duidelijk en pretentieloos: Wanneer we de partiële afgeleide vinden om welke reden dan ook onafhankelijke variabele dus twee anderen onafhankelijke variabelen worden als constanten beschouwd.
Wanneer u deze taken uitvoert, moet u uiterst voorzichtig zijn, in het bijzonder: Abonnementen kun je niet kwijtraken(die aangeven welke variabele wordt gebruikt om te differentiëren). Het verliezen van de index zou een grove wantoestand zijn. Hmmm…. Het is grappig als ik ze na zo'n intimidatie ergens mis)
Voorbeeld 2
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde van een functie van drie variabelen
Dit is een voorbeeld voor onafhankelijke beslissing. Volledige oplossing en het antwoord aan het einde van de les.
De twee besproken voorbeelden zijn vrij eenvoudig en, na het oplossen van verschillende soortgelijke problemen, zal zelfs een theepot eraan wennen om er mondeling mee om te gaan.
Laten we, om de stress te verlichten, terugkeren naar de eerste vraag van de quiz: Is er een vierde, vijfde, enz. in de wereld? metingen in de zin van het kleinburgerlijke begrip van de ruimte (lengte/breedte/hoogte)?
Goed antwoord: De wetenschap verbiedt dit niet. Alle fundamentele wiskundige axiomatiek, stellingen en wiskundige apparaten zijn mooi en consistent werk in een ruimte van elke afmeting. Het is mogelijk dat er ergens in het heelal hyperoppervlakken bestaan die buiten de controle van onze geest liggen, bijvoorbeeld een vierdimensionaal hyperoppervlak, dat wordt gedefinieerd door een functie van drie variabelen. Of misschien bevinden de hyperoppervlakken zich naast ons of zitten we er zelfs midden in; het is gewoon zo dat onze visie, andere zintuigen en bewustzijn slechts drie dimensies kunnen waarnemen en begrijpen.
Laten we terugkeren naar de voorbeelden. Ja, als iemand zwaar belast is met de quiz, is het beter om de antwoorden op de volgende vragen te lezen nadat je hebt geleerd hoe je de partiële afgeleiden van een functie van drie variabelen kunt vinden, anders zal ik je versteld doen staan in de loop van het artikel =)
Naast de eenvoudigste voorbeelden 1 en 2 zijn er in de praktijk taken die een kleine puzzel kunnen worden genoemd. Dergelijke voorbeelden vielen, tot mijn ergernis, uit het zicht toen ik de les maakte Partiële afgeleiden van een functie van twee variabelen. Laten we bijpraten:
Voorbeeld 3
Oplossing: Het lijkt hier “alles eenvoudig”, maar de eerste indruk is bedrieglijk. Bij het vinden van gedeeltelijke afgeleiden zullen velen naar de theebladeren raden en fouten maken.
Laten we het voorbeeld consequent, duidelijk en begrijpelijk bekijken.
Laten we beginnen met de partiële afgeleide naar "x". Wanneer we de partiële afgeleide met betrekking tot “x” vinden, worden de variabelen als constanten beschouwd. Daarom is de exponent van onze functie ook een constante. Voor dummies raad ik de volgende oplossing aan: verander in het concept de constante in een specifiek positief geheel getal, bijvoorbeeld "vijf". Het resultaat is een functie van één variabele:
of je kunt het ook zo schrijven:
Dit stroom functie met een complexe basis (sinus). Door :
Nu herinneren we ons dat, dus:
In de laatste fase moet de oplossing natuurlijk als volgt worden geschreven:
We vinden de partiële afgeleide met betrekking tot de “y”, deze worden als constanten beschouwd. Als “x” een constante is, dan is het ook een constante. Bij de draft doen we dezelfde truc: vervang bijvoorbeeld door 3, "Z" - vervang door dezelfde "vijf". Het resultaat is opnieuw een functie van één variabele:
Dit indicatief functie met een complexe exponent. Door regel voor differentiatie van complexe functies:
Laten we nu onze vervanging onthouden:
Dus:
Op de laatste pagina moet het ontwerp er natuurlijk mooi uitzien:
En het spiegelkast met de partiële afgeleide met betrekking tot “zet” ( – constanten):
Met enige ervaring kan de analyse mentaal worden uitgevoerd.
Laten we het tweede deel van de taak voltooien: een differentieel van de eerste orde samenstellen. Het is heel eenvoudig: naar analogie van een functie van twee variabelen wordt een differentiaal van de eerste orde geschreven met behulp van de formule:
IN in dit geval:
En dat is zakendoen. Ik noteer dat bij praktische problemen Een volledig differentieel van de eerste orde voor een functie van drie variabelen vereist veel minder frequente compilatie dan voor een functie van twee variabelen.
Een grappig voorbeeld om het zelf op te lossen:
Voorbeeld 4
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde van een functie van drie variabelen en construeer een volledig differentieel van de eerste orde 
Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les. Als u problemen ondervindt, gebruik dan het besproken ‘Chaynikovsky’-algoritme, het helpt gegarandeerd. En verder behulpzaam advies – haast je niet. Zelfs ik kan dergelijke voorbeelden niet snel oplossen.
Laten we afdwalen en naar de tweede vraag kijken: is het mogelijk om een vierdimensionaal, vijfdimensionaal, enz. te bouwen? ruimte in de brede zin van het woord? Dat wil zeggen: geef een voorbeeld van zo'n ruimte in ons leven.
Goed antwoord: Ja. Bovendien is het heel gemakkelijk. We voegen bijvoorbeeld een vierde dimensie toe aan de lengte/breedte/hoogte - tijd. Populaire vierdimensionale ruimte-tijd en de bekende relativiteitstheorie, zorgvuldig samengesteld door Einstein op basis van de werken van Lobatsjevski, Poincaré, Lorentz en Minkowski. Ook niet iedereen weet het. Waarom kreeg hij de Nobelprijs? Er was een ernstig schandaal in de wetenschappelijke wereld en het Nobelcomité formuleerde de verdienste van de C-student Einstein ongeveer als volgt: "Voor zijn algehele bijdrage aan de ontwikkeling van de natuurkunde." Verder, zoals ze zeggen, promotie en PR.
Het is gemakkelijk om een vijfde dimensie toe te voegen aan de beschouwde vierdimensionale ruimte, bijvoorbeeld: Atmosfeer druk. Enzovoort, enzovoort, zoveel dimensies als u opgeeft in uw model - dat is het aantal dat er zal zijn. IN in brede zin woorden, we leven in een multidimensionale ruimte.
Laten we er nog een paar bekijken typische taken:
Voorbeeld 5
Oplossing: Een taak in deze formulering komt vaak voor in de praktijk en omvat het uitvoeren van de volgende twee acties:
– je moet partiële afgeleiden van de eerste orde vinden;
– je moet op dit punt de waarden van de partiële afgeleiden van de eerste orde berekenen.
Wij bepalen:
(1) Voor ons ligt een complexe functie, en in de eerste stap moeten we de afgeleide van de boogtangens nemen. In dit geval gebruiken we in feite rustig de tabelformule voor de afgeleide van de boogtangens 
. Door regel voor differentiatie van complexe functies het resultaat moet worden vermenigvuldigd met de afgeleide van de interne functie (inbedding): .
(2) We gebruiken de eigenschappen van lineariteit.
(3) En we nemen de overige afgeleiden, waarbij we niet vergeten dat dit constanten zijn.
Volgens de taakvoorwaarden is het noodzakelijk om de waarde van de gevonden partiële afgeleide te vinden 
op punt. Laten we de coördinaten van het punt vervangen door de gevonden afgeleide:
Voordeel van deze opdracht is het feit dat andere partiële afgeleiden een zeer vergelijkbaar patroon volgen:
Zoals u kunt zien, is de oplossingssjabloon vrijwel hetzelfde.
Laten we de waarde van de gevonden partiële afgeleide berekenen 
op punt:
En tenslotte de afgeleide met betrekking tot “zet”:
Klaar. De oplossing had op een andere manier kunnen worden geformuleerd: zoek eerst alle drie de partiële afgeleiden en bereken vervolgens hun waarden op het punt. Maar het lijkt mij dat de bovenstaande methode handiger is: zoek gewoon de gedeeltelijke afgeleide en bereken onmiddellijk, zonder de kassa te verlaten, de waarde ervan op dat punt.
Het is interessant om op te merken dat een punt geometrisch gezien een heel reëel punt is in onze driedimensionale ruimte. De waarden van de functie, afgeleiden 
– is al de vierde dimensie, en niemand weet waar deze zich geometrisch bevindt. Zoals ze zeggen, kroop niemand met een meetlint door het heelal of controleerde het.
Omdat het filosofische onderwerp weer in opkomst is, laten we eens kijken naar de derde vraag: is het mogelijk om naar het verleden te reizen?
Goed antwoord: Nee. Reizen naar het verleden is in tegenspraak met de tweede wet van de thermodynamica over de onomkeerbaarheid van fysische processen (entropie). Duik dus alsjeblieft niet in een zwembad zonder water, de gebeurtenis kan alleen in een video worden afgespeeld =) Niet voor niets kwam de volkswijsheid met de tegenovergestelde alledaagse wet: “Twee keer meten, één keer knippen.” Hoewel het trieste is dat de tijd eenzijdig en onomkeerbaar is, zal niemand van ons morgen jonger zijn. En verschillende sciencefictionfilms zoals ‘The Terminator’ zijn vanuit wetenschappelijk oogpunt complete onzin. Vanuit filosofisch oogpunt is het ook absurd wanneer het gevolg, dat terugkeert naar het verleden, zijn eigen oorzaak kan vernietigen.
Voorbeeld 6
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde in een punt
Voorbeeld 7
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde in een punt 
Dit zijn twee eenvoudige voorbeelden die u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.
Maar wees niet boos over de tweede wet van de thermodynamica, nu zal ik iedereen meer aanmoedigen complexe voorbeelden:
Voorbeeld 8
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde van een functie van drie variabelen 
Oplossing: Laten we de partiële afgeleiden van de eerste orde vinden: 
(1) Wanneer u begint met het vinden van de afgeleide, moet u dezelfde aanpak volgen als voor een functie van één variabele. We gebruiken de eigenschappen van lineariteit, in dit geval halen we het uit het teken van de afgeleide constante.
(2) Onder het afgeleide teken hebben we werk twee functies, waarvan elk afhankelijk is van onze “live” variabele “x”. Daarom is het noodzakelijk om de productdifferentiatieregel te gebruiken 
.
(3) Er zijn geen problemen met de afgeleide, maar met de afgeleide 
is de afgeleide van een complexe functie: eerst moet je in wezen een logaritme in tabelvorm vinden en deze vermenigvuldigen met de afgeleide van de inbedding.
(4) Ik denk dat iedereen al gewend is geraakt aan de eenvoudigste voorbeelden, zoals - hier hebben we alleen een 'levend' voorbeeld, waarvan de afgeleide gelijk is aan
Het geval met de afgeleide met betrekking tot de “y” is bijna een spiegelbeeld; ik zal het kort en zonder commentaar opschrijven: 
Het is interessanter met de “zet”-afgeleide, hoewel deze nog steeds vrijwel hetzelfde is: 
(1) We halen de constanten uit het teken van de afgeleide.
(2) Ook hier is het product van twee functies, waarvan elk afhankelijk is van de “live” variabele “zet”. In principe kun je de formule gebruiken voor de afgeleide van een quotiënt, maar het is gemakkelijker om de andere kant op te gaan: zoek de afgeleide van het product.
(3) De afgeleide is een afgeleide in tabelvorm. De tweede term bevat de reeds bekende afgeleide van een complexe functie.
Voorbeeld 9
Vind partiële afgeleiden van de eerste orde van een functie van drie variabelen 
Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Denk na over hoe je op een meer rationele manier deze of gene gedeeltelijke afgeleide kunt vinden. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.
Voordat we verder gaan met de laatste voorbeelden van de les en kijken naar Partiële afgeleiden van de tweede orde functies van drie variabelen, ik zal iedereen weer opvrolijken met de vierde vraag:
Is het mogelijk om naar de toekomst te reizen?
Goed antwoord: De wetenschap verbiedt dit niet. Paradoxaal genoeg bestaat er geen wiskundige, natuurkundige, chemische of andere natuurwetenschappelijke wet die reizen naar de toekomst zou verbieden! Lijkt onzin? Maar bijna iedereen in het leven heeft een voorgevoel gehad (en niet ondersteund door logische argumenten) dat deze of gene gebeurtenis zal gebeuren. En het gebeurde! Waar kwam de informatie vandaan? Uit de toekomst? Sciencefictionfilms over reizen naar de toekomst, en trouwens, de voorspellingen van allerlei waarzeggers en paranormaal begaafden kunnen dus niet zulke onzin worden genoemd. De wetenschap heeft dit tenminste niet weerlegd. Alles is mogelijk! Dus toen ik op school zat, cd's en platte monitoren uit de films leek mij een ongelooflijke fantasie.
De beroemde komedie “Ivan Vasilyevich Changes His Profession” is (hooguit) halve fictie. Geen enkele wetenschappelijke wet verbiedt Ivan de Verschrikkelijke om in de toekomst te zijn, maar het is onmogelijk dat twee pepers in het verleden terechtkomen en de taken van een koning vervullen.
Partiële afgeleiden van de tweede orde van een functie van drie variabelen
Het algemene principe van het vinden van partiële afgeleiden van de tweede orde van een functie van drie variabelen is vergelijkbaar met het principe van het vinden van partiële afgeleiden van de tweede orde van een functie van twee variabelen. Dus als je de les goed hebt doorgewerkt Partiële afgeleiden van een functie van twee variabelen, dan zal alles heel eenvoudig zijn.
Om partiële afgeleiden van de tweede orde te vinden, moet je eerst partiële afgeleiden van de eerste orde vinden, of in een andere notatie: .
Er zijn negen partiële afgeleiden van de tweede orde.
De eerste groep zijn de tweede afgeleiden met betrekking tot dezelfde variabelen:
of – de tweede afgeleide naar “x”;
of – de tweede afgeleide met betrekking tot “Y”;
of – de tweede afgeleide naar “zet”.
De tweede groep is gemengd Partiële afgeleiden van de 2e orde, er zijn er zes:
of - gemengd afgeleide van “x bij y”;
of - gemengd afgeleide “yy door x”;
of - gemengd afgeleide "x bij z";
of - gemengd afgeleide van “Z bij X”;
of - gemengd afgeleide van “Igrek door Z”;
of - gemengd afgeleide van “zet by igrek”.
) zijn we al herhaaldelijk gedeeltelijke afgeleiden van complexe functies tegengekomen, zoals en moeilijkere voorbeelden. Dus waar kun je nog meer over praten?! ...En alles is zoals in het leven - er is geen complexiteit die niet ingewikkeld kan zijn =) Maar wiskunde is waar wiskunde voor is, om de diversiteit van onze wereld in een strikt raamwerk te passen. En soms kan dit met één enkele zin worden gedaan:
Over het algemeen heeft de complexe functie de vorm 
, Waar, minstens een van letters vertegenwoordigt functie, waarvan het kan afhangen willekeurig aantal variabelen.
De minimale en eenvoudigste optie is de al lang bekende complexe functie van één variabele, waarvan de afgeleide we hebben afgelopen semester geleerd hoe we kunnen vinden. Ook beschik je over de vaardigheden om functies te differentiëren (kijk eens naar dezelfde functies 
)
.
Dus nu zullen we alleen in het geval geïnteresseerd zijn. Vanwege de grote verscheidenheid aan complexe functies zijn de algemene formules voor hun afgeleiden erg omslachtig en moeilijk te verteren. In dit opzicht zal ik mij beperken concrete voorbeelden, waaruit u het kunt begrijpen algemeen principe het vinden van deze derivaten:
voorbeeld 1
Gegeven een complexe functie waar 
. Vereist:
1) vind de afgeleide ervan en noteer het totale verschil van de eerste orde;
2) bereken de waarde van de afgeleide op .
Oplossing: Laten we eerst eens kijken naar de functie zelf. We krijgen een functie aangeboden afhankelijk van en , die op zijn beurt zijn functieséén variabele: 
Ten tweede, laten we goed letten op de taak zelf: we moeten vinden derivaat, dat wil zeggen, we hebben het niet over partiële afgeleiden, die we gewend zijn te vinden! Sinds de functie 
eigenlijk van slechts één variabele afhangt, dan betekent het woord ‘afgeleide’ totale afgeleide. Hoe kun je haar vinden?
Het eerste dat in je opkomt is directe vervanging en verdere differentiatie. Laten we vervangen 
functioneren: 
, waarna er geen problemen zijn met de gewenste afgeleide:
En dienovereenkomstig het totale verschil: 
Deze oplossing is wiskundig correct, maar een kleine nuance is dat wanneer het probleem is geformuleerd zoals het is geformuleerd, niemand zo'n barbarij van je verwacht =) Maar serieus, je kunt hier echt fouten vinden. Stel je voor dat een functie de vlucht van een hommel beschrijft, en dat de geneste functies veranderen afhankelijk van de temperatuur. Een directe vervanging uitvoeren 
, wij krijgen alleen prive informatie
, wat kenmerkend is voor vluchten, bijvoorbeeld alleen bij warm weer. Bovendien, als iemand die geen kennis heeft van hommels het eindresultaat te zien krijgt en zelfs wordt verteld wat deze functie is, zal hij nooit iets leren over de fundamentele wet van het vliegen!
Dus geheel onverwacht hielp onze bruisende broer ons de betekenis en het belang van de universele formule te begrijpen: 
Wen aan de "twee verdiepingen"-notatie voor afgeleiden - in de taak die wordt overwogen, zijn dit degenen die in gebruik zijn. In dit geval zou dat wel zo moeten zijn heel netjes in de invoer: derivaten met directe symbolen “de” zijn volledige derivaten, en derivaten met afgeronde pictogrammen zijn dat wel gedeeltelijke afgeleiden. Laten we beginnen met de laatste: 
Welnu, met de "staarten" is alles over het algemeen elementair:
Laten we de gevonden afgeleiden vervangen door onze formule:
Wanneer een functie aanvankelijk op een ingewikkelde manier wordt voorgesteld, zal deze logisch zijn (en dit wordt hierboven uitgelegd!) laat de resultaten zoals ze zijn: 
Tegelijkertijd is het bij ‘verfijnde’ antwoorden beter om zelfs maar minimale vereenvoudigingen achterwege te laten (hier smeekt het bijvoorbeeld om 3 minnen te verwijderen)- en je hebt minder werk, en je harige vriend vindt het leuk om de taak gemakkelijker te beoordelen.
Een ruwe controle is echter niet overbodig. Laten we vervangen 
in de gevonden afgeleide en vereenvoudigingen uitvoeren: 
(bij de laatste stap die we gebruikten trigonometrische formules 
, 
)
Als resultaat werd hetzelfde resultaat verkregen als bij de “barbaarse” oplossingsmethode.
Laten we de afgeleide op het punt berekenen. Eerst is het handig om de "transit" -waarden te achterhalen (functiewaarden 
)
:
Nu maken we de definitieve berekeningen, die in dit geval op verschillende manieren kunnen worden uitgevoerd. Ik gebruik een interessante techniek waarbij de 3e en 4e "verdiepingen" niet volgens de gebruikelijke regels worden vereenvoudigd, maar worden getransformeerd als het quotiënt van twee getallen:
En het is natuurlijk zonde om dit niet te controleren met een compactere notatie 
:
Antwoord: 
Het komt voor dat het probleem in een “semi-algemene” vorm wordt voorgesteld:
"Vind de afgeleide van de functie waar 
»
Dat wil zeggen, de "hoofd" -functie wordt niet gegeven, maar de "inserts" zijn vrij specifiek. Het antwoord moet in dezelfde stijl worden gegeven:
Bovendien kan de voorwaarde enigszins gecodeerd zijn:
"Vind de afgeleide van de functie 
»
In dit geval heb je nodig op zichzelf wijs geneste functies aan met enkele geschikte letters, bijvoorbeeld through 
en gebruik dezelfde formule:
Trouwens, o letteraanduidingen. Ik heb er herhaaldelijk op aangedrongen om niet “aan brieven vast te houden” alsof ze een levensredder zouden zijn, en nu is dit vooral relevant! Analyseren verschillende bronnen over dit onderwerp kreeg ik over het algemeen de indruk dat de auteurs "gek werden" en studenten genadeloos in de stormachtige afgrond van de wiskunde begonnen te gooien =) Dus vergeef me :))
Voorbeeld 2
Zoek de afgeleide van een functie 
, Als 
Andere benamingen mogen niet verwarrend zijn! Elke keer dat u een taak als deze tegenkomt, moet u twee eenvoudige vragen beantwoorden:
1) Waar is de “hoofd”-functie van afhankelijk? In dit geval is de functie “zet” afhankelijk van twee functies (“y” en “ve”).
2) Van welke variabelen zijn geneste functies afhankelijk? In dit geval zijn beide “inserts” alleen afhankelijk van de “X”.
Het zou dus geen probleem moeten zijn om de formule aan deze taak aan te passen!
Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de les.
Aanvullende voorbeelden van het eerste type zijn te vinden in Het probleemboek van Rjaboesjko (IDZ 10.1), nou ja, we gaan erheen functie van drie variabelen:
Voorbeeld 3
Gegeven een functie waarbij .
Bereken de afgeleide op een punt
De formule voor de afgeleide van een complexe functie heeft, zoals velen raden, een verwante vorm: 
Beslis zodra je het geraden hebt =)
Voor het geval dat, ik geef het je algemene formule voor functie:
, hoewel je in de praktijk waarschijnlijk niets langer zult zien dan Voorbeeld 3.
Bovendien is het soms nodig om een "ingekorte" versie te onderscheiden - in de regel een functie van de vorm of. Ik laat deze vraag aan jou over om zelf te bestuderen - bedenk enkele eenvoudige voorbeelden, denk na, experimenteer en leid verkorte formules af voor afgeleiden.
Als er nog steeds iets onduidelijk is, lees dan langzaam het eerste deel van de les opnieuw en begrijp het, want nu wordt de taak ingewikkelder:
Voorbeeld 4
Zoek de partiële afgeleiden van een complexe functie, waarbij 
Oplossing: deze functie heeft de vorm , en na directe vervanging en we krijgen bekende functie twee variabelen: 
Maar dergelijke angst wordt niet alleen niet geaccepteerd, maar men wil ook geen onderscheid meer maken =) Daarom zullen we kant-en-klare formules gebruiken. Om je te helpen het patroon snel te begrijpen, zal ik enkele aantekeningen maken: 
Kijk goed naar de foto van boven naar beneden en van links naar rechts….
Laten we eerst de partiële afgeleiden van de "hoofd" -functie vinden:
Nu vinden we de “X”-derivaten van de “liners”:
en noteer de uiteindelijke “X”-afgeleide:
Hetzelfde geldt voor het “spel”:
En
Je kunt je aan een andere stijl houden - vind alle "staarten" in één keer 
en schrijf vervolgens beide derivaten op.
Antwoord:
Over vervanging 
op de een of andere manier denk ik er helemaal niet over na =) =), maar je kunt de resultaten een beetje aanpassen. Hoewel, nogmaals, waarom? – het voor de docent alleen maar lastiger maken om te controleren.
Desnoods dan volledig differentieel hier is het geschreven volgens de gebruikelijke formule, en trouwens, gewoon door deze stap Lichte cosmetica wordt geschikt: 
Dit is... ...een kist op wielen.
Vanwege de populariteit van het type complexe functie dat wordt overwogen, zijn er een aantal taken voor onafhankelijke oplossing. Een eenvoudiger voorbeeld in een “semi-algemene” vorm is voor het begrijpen van de formule zelf;-):
Voorbeeld 5
Zoek de partiële afgeleiden van de functie, waar 
En ingewikkelder - met de toevoeging van differentiatietechnieken:
Voorbeeld 6
Zoek het volledige differentieel van een functie 
, Waar 
Nee, ik probeer je helemaal niet “naar de bodem te sturen” - alle voorbeelden zijn overgenomen echt werk, en “op volle zee” kun je alle letters tegenkomen. In ieder geval moet u de functie analyseren (beantwoording van 2 vragen – zie hierboven), presenteer het algemeen beeld en zorgvuldig partiële afgeleide formules aanpassen. Je bent nu misschien een beetje in de war, maar je zult het principe van hun constructie begrijpen! Omdat de echte uitdagingen nog maar net beginnen :)))
Voorbeeld 7
Vind partiële afgeleiden en creëer de volledige differentiaal van een complexe functie
, Waar
Oplossing: de “main”-functie heeft de vorm en is nog steeds afhankelijk van twee variabelen – “x” en “y”. Maar vergeleken met voorbeeld 4 is er nog een geneste functie toegevoegd, en daarom zijn de partiële afgeleide formules ook verlengd. Net als in dat voorbeeld zal ik, voor een betere visualisatie van het patroon, de “belangrijkste” gedeeltelijke afgeleiden in verschillende kleuren markeren: 
En nogmaals, bestudeer de plaat zorgvuldig van boven naar beneden en van links naar rechts.
Omdat het probleem in een ‘semi-algemene’ vorm is geformuleerd, is al ons werk in wezen beperkt tot het vinden van gedeeltelijke afgeleiden van ingebedde functies: 
Een eersteklasser kan omgaan met: 
En zelfs het volledige differentieel bleek best aardig:
Ik heb je bewust geen specifieke functie aangeboden, zodat onnodige rommel een goed begrip ervan niet in de weg zou staan schematisch diagram taken.
Antwoord: 
Heel vaak kunt u beleggingen van “gemengde grootte” tegenkomen, bijvoorbeeld:
Hier is de “main”-functie, hoewel deze de vorm heeft, nog steeds afhankelijk van zowel “x” als “y”. Daarom werken dezelfde formules: slechts enkele partiële afgeleiden zijn gelijk aan nul. Bovendien geldt dit ook voor functies zoals 
, waarin elke “liner” afhankelijk is van één variabele.
Een soortgelijke situatie doet zich voor in de laatste twee voorbeelden van de les:
Voorbeeld 8
Zoek het totale verschil van een complexe functie op een punt
Oplossing: de voorwaarde is op een “budgettaire” manier geformuleerd en we moeten de geneste functies zelf labelen. Ik denk dat dit een goede optie is:
De “inserts” bevatten ( AANDACHT!) DRIE letters zijn de goede oude “X-Y-Z”, wat betekent dat de “hoofd”-functie feitelijk afhankelijk is van drie variabelen. Het kan formeel worden herschreven als , en de partiële afgeleiden worden in dit geval bepaald door de volgende formules: 
We scannen, we verdiepen ons, we leggen vast….
In onze taak: 
