Universele methode Er is geen oplossing voor irrationele vergelijkingen, omdat hun klasse in hoeveelheid verschilt. Het artikel zal benadrukken karakteristieke soort vergelijkingen met substitutie met behulp van de integratiemethode.

Om de directe integratiemethode te gebruiken, is het noodzakelijk om onbepaalde integralen van het type ∫ k x + b p d x te berekenen, waarbij p een rationale breuk is, k en b reële coëfficiënten zijn.

voorbeeld 1

Vind en bereken primitieve functies y = 1 3 x - 1 3 .

Oplossing

Volgens de integratieregel is het noodzakelijk om de formule ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C toe te passen, en de tabel met primitieve woorden zegt dat er kant-en-klare oplossing deze functie. Dat snappen wij

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Antwoord:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Er zijn gevallen waarin het mogelijk is om de methode van het subsumeren van een differentieel teken te gebruiken. Dit wordt opgelost door het principe van het vinden van onbepaalde integralen van de vorm ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , wanneer de waarde van p als een rationale breuk wordt beschouwd.

Voorbeeld 2

Vind de onbepaalde integraal ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Oplossing

Merk op dat d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Dan is het noodzakelijk om het differentiaalteken onder te brengen met behulp van tabellen met primitieve woorden. We verkrijgen dat

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Antwoord:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Voor het oplossen van onbepaalde integralen is een formule van de vorm ∫ d x x 2 + p x + q nodig, waarbij p en q reële coëfficiënten zijn. Vervolgens moet je een volledig vierkant onder de wortel selecteren. Dat snappen wij

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Door de formule in de tabel met onbepaalde integralen toe te passen, verkrijgen we:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Vervolgens wordt de integraal berekend:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Voorbeeld 3

Vind de onbepaalde integraal van de vorm ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Oplossing

Om te berekenen, moet je het getal 2 eruit halen en voor de radicaal plaatsen:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Selecteer een compleet vierkant in radicale expressie. Dat snappen wij

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Dan verkrijgen we een onbepaalde integraal van de vorm 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Antwoord: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integratie irrationele functies op soortgelijke wijze geproduceerd. Toepasbaar voor functies van de vorm y = 1 - x 2 + p x + q.

Voorbeeld 4

Vind de onbepaalde integraal ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Oplossing

Eerst moet je het kwadraat van de noemer van de uitdrukking afleiden onder de wortel.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

De tabelintegraal heeft de vorm ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, dan verkrijgen we dat ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Antwoord:∫ d X - X 2 + 4 X + 5 = een r c zonde x - 2 3 + C .

Het proces van het vinden van primitieve irrationele functies van de vorm y = M x + N x 2 + p x + q, waarbij de bestaande M, N, p, q reële coëfficiënten zijn, en vergelijkbaar zijn met de integratie van eenvoudige breuken van het derde type . Deze transformatie kent verschillende fasen:

het optellen van het verschil onder de wortel, het isoleren van het volledige kwadraat van de uitdrukking onder de wortel, met behulp van tabelformules.

Voorbeeld 5

Vind de primitieve woorden van de functie y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Oplossing

Uit de voorwaarde volgt dat d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x en x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, dan (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Laten we de integraal berekenen: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x+1+C

Antwoord:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Het zoeken naar onbepaalde integralen van de functie ∫ x m (a + b x n) p d x wordt uitgevoerd met behulp van de substitutiemethode.

Om dit op te lossen is het noodzakelijk om nieuwe variabelen te introduceren:

1. Als p een geheel getal is, wordt rekening gehouden met x = z N, en is N de gemeenschappelijke noemer voor m, n.
2. Als m + 1 n een geheel getal is, dan is a + b x n = z N, en is N de noemer van p.
3. Als m + 1 n + p een geheel getal is, dan is de variabele a x - n + b = z N vereist, en is N de noemer van het getal p.

Vind de bepaalde integraal ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Oplossing

We krijgen dat ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Hieruit volgt dat m = - 1, n = 1, p = - 1 2, en dan is m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 een geheel getal. U kunt een nieuwe invoeren variabel zoals- 9 + 2x = z2. Het is noodzakelijk om x uit te drukken in termen van z. Als uitvoer krijgen we dat

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Het is noodzakelijk om een ​​vervanging te maken in de gegeven integraal. Dat hebben wij

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Antwoord:∫ d X X 2 X - 9 = 2 3 a r c c t g 2 X - 9 3 + C .

Om de oplossing van irrationele vergelijkingen te vereenvoudigen, worden basisintegratiemethoden gebruikt.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Definitie 1

De verzameling van alle primitieve woorden gegeven functie$y=f(x)$ gedefinieerd op een bepaald segment wordt de onbepaalde integraal van een gegeven functie $y=f(x)$ genoemd. De onbepaalde integraal wordt aangegeven met het symbool $\int f(x)dx $.

Opmerking

Definitie 2 kan als volgt worden geschreven:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Niet van iedereen rationele functie de integraal kan worden uitgedrukt in termen van elementaire functies. De meeste van deze integralen kunnen echter worden gereduceerd door middel van vervangingen door integralen van rationale functies, die kunnen worden uitgedrukt in termen van elementaire functies.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

Bij het vinden van een integraal van de vorm $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ is het noodzakelijk om de volgende substitutie uit te voeren:

Bij deze vervanging wordt elke fractionele macht van de variabele $x$ uitgedrukt via een gehele macht van de variabele $t$. Als resultaat wordt de integrandfunctie omgezet in een rationale functie van de variabele $t$.

voorbeeld 1

Integratie uitvoeren:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Oplossing:

$k=4$ is de gemeenschappelijke noemer van de breuken $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrix)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Bij het vinden van een integraal van de vorm $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ Het is noodzakelijk om de volgende vervanging uit te voeren:

waarbij $k$ de gemeenschappelijke noemer is van de breuken $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Als resultaat van deze substitutie wordt de integrandfunctie omgezet in een rationale functie van de variabele $t$.

Voorbeeld 2

Integratie uitvoeren:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Oplossing:

Laten we de volgende vervanging maken:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben uitgevoerd, krijgen we het eindresultaat:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Bij het vinden van een integraal van de vorm $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ wordt de zogenaamde Euler-substitutie uitgevoerd (een van de drie mogelijke substituties is gebruikt).

Euler's eerste wissel

Voor het geval $a>

Als we het “+” teken voor $\sqrt(a) $ nemen, krijgen we

Voorbeeld 3

Integratie uitvoeren:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Oplossing:

Laten we de volgende vervanging uitvoeren (geval $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben uitgevoerd, krijgen we het eindresultaat:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Euler's tweede wissel

Voor het geval $c>0$ is het noodzakelijk om de volgende vervanging uit te voeren:

Als we het “+” teken voor $\sqrt(c) $ nemen, krijgen we

Voorbeeld 4

Integratie uitvoeren:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Oplossing:

Laten we de volgende vervanging maken:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Nadat we het omgekeerde hebben gedaan vervanging, krijgen we het eindresultaat:

\[\begin(matrix)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrix)\]

Euler's derde wissel

De klasse van irrationele functies is zeer breed, dus er kan eenvoudigweg geen universele manier zijn om ze te integreren. In dit artikel zullen we proberen de meest karakteristieke typen irrationele integrandfuncties te identificeren en de integratiemethode daarmee te associëren.

Er zijn gevallen waarin het passend is om de methode van abonneren op het differentiële teken te gebruiken. Bijvoorbeeld bij het vinden van onbepaalde integralen van de vorm, waar P– rationele breuk.

Voorbeeld.

Vind de onbepaalde integraal .

Oplossing.

Het is niet moeilijk om dat op te merken. Daarom plaatsen we het onder het differentiaalteken en gebruiken we de tabel met primitieve woorden:

Antwoord:

.

13. Fractionele lineaire substitutie

Integralen van het type waarbij a, b, c, d reële getallen zijn, a, b,..., d, g natuurlijke getallen zijn, worden door substitutie gereduceerd tot integralen van een rationale functie, waarbij K het kleinste gemene veelvoud is van de noemers van de breuken

Uit de vervanging volgt inderdaad dat

dat wil zeggen x en dx worden uitgedrukt door middel van rationale functies van t. Bovendien wordt elke graad van de breuk uitgedrukt via een rationale functie van t.

Voorbeeld 33.4. Zoek de integraal

Oplossing: Het kleinste gemene veelvoud van de noemers van de breuken 2/3 en 1/2 is 6.

Daarom stellen we x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Daarom,

Voorbeeld 33.5. Specificeer de vervanging voor het vinden van integralen:

Oplossing: Voor I 1 vervanging x=t 2, voor I 2 vervanging

14. Trigonometrische vervanging

Integralen van het type worden gereduceerd tot integralen van functies die rationeel afhankelijk zijn van trigonometrische functies met behulp van de volgende trigonometrische substituties: x = een sint voor de eerste integraal; x=a tgt voor de tweede integraal; voor de derde integraal.

Voorbeeld 33.6. Zoek de integraal

Oplossing: Laten we stellen x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Dan

Hier is de integrand een rationale functie met betrekking tot x en Door een volledig vierkant onder de radicaal te selecteren en een substitutie uit te voeren, worden integralen van het aangegeven type gereduceerd tot integralen van het reeds beschouwde type, dat wil zeggen tot integralen van het type Deze integralen kunnen worden berekend met behulp van geschikte trigonometrische substituties.

Voorbeeld 33.7. Zoek de integraal

Oplossing: Omdat x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, dan x+1=t, x=t-1, dx=dt. Daarom Laten we

Opmerking: Integraaltype Het is handig om de substitutie x=1/t te gebruiken.

15. Bepaalde integraal

Laat een functie op een segment worden gedefinieerd en er een primitief op hebben. Het verschil wordt genoemd bepaalde integraal functies langs het segment en duiden aan. Dus,

Het verschil wordt dan in de vorm geschreven . Er worden nummers gebeld grenzen van de integratie .

Bijvoorbeeld een van de primitieve woorden voor een functie. Daarom

16 . Als c een constant getal is en de functie ƒ(x) integreerbaar is op , dan

dat wil zeggen, de constante factor c kan uit het teken van de bepaalde integraal worden gehaald.

▼Laten we de integrale som voor de functie met ƒ(x) samenstellen. We hebben:

Hieruit volgt dat de functie c ƒ(x) integreerbaar is op [a; b] en formule (38.1) is geldig.▲

2. Als de functies ƒ 1 (x) en ƒ 2 (x) integreerbaar zijn op [a;b], dan integreerbaar op [a; b] hun som u

dat wil zeggen, de integraal van de som is gelijk aan de som van de integralen.

▼
▲

Eigenschap 2 is van toepassing op de som van een eindig aantal termen.

3.

Deze eigenschap kan per definitie worden aanvaard. Deze eigenschap wordt ook bevestigd door de Newton-Leibniz-formule.

4. Als de functie ƒ(x) integreerbaar is op [a; b] en een< с < b, то

dat wil zeggen, de integraal over het gehele segment is gelijk aan de som van de integralen over de delen van dit segment. Deze eigenschap wordt de additiviteit van een bepaalde integraal genoemd (of de additiviteitseigenschap).

Wanneer we segment [a;b] in delen verdelen, nemen we punt c op in het aantal deelpunten (dit kan gedaan worden vanwege de onafhankelijkheid van de limiet van de integrale som van de methode voor het delen van segment [a;b] in delen). Als c = x m, kan de integrale som in twee sommen worden verdeeld:

Elk van de geschreven sommen is respectievelijk integraal voor de segmenten [a; b], [a; s] en [s; B]. Als we naar de limiet gaan in de laatste gelijkheid als n → ∞ (λ → 0), verkrijgen we gelijkheid (38.3).

Eigenschap 4 is geldig voor elke locatie van punten a, b, c (we nemen aan dat de functie ƒ (x) integreerbaar is op het grootste van de resulterende segmenten).

Dus als bijvoorbeeld een< b < с, то

(eigenschappen 4 en 3 werden gebruikt).

5. "Stelling over gemiddelde waarden." Als de functie ƒ(x) continu is op het interval [a; b], dan is er een tonka met є [a; b] zodanig dat

▼Volgens de formule van Newton-Leibniz die we hebben

waarbij F"(x) = ƒ(x). Door de stelling van Lagrange (de stelling over de eindige toename van een functie) toe te passen op het verschil F(b)-F(a), verkrijgen we

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Eigenschap 5 (“de stelling van de gemiddelde waarde”) voor ƒ (x) ≥ 0 heeft een eenvoudige geometrische betekenis: de waarde van de definitieve integraal is voor sommige c є (a; b) gelijk aan de oppervlakte van een rechthoek met hoogte ƒ (c) en basis b-a (zie afb. 170). Nummer

heet de gemiddelde waarde van de functie ƒ(x) op het interval [a; B].

6. Als de functie ƒ (x) zijn teken op het segment [a; b], waarbij a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Door de “gemiddelde-waardestelling” (eigenschap 5)

waar c є [a; B]. En aangezien ƒ(x) ≥ 0 voor alle x О [a; b], dan

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Daarom is ƒ(с) (b-а) ≥ 0, d.w.z. ▲

7. Ongelijkheid tussen continue functies op het interval [a; b], (een

▼Sinds ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, en wanneer een< b, согласно свойству 6, имеем

Of, volgens eigenschap 2,

Merk op dat het onmogelijk is om ongelijkheden te differentiëren.

8. Schatting van de integraal. Als m en M respectievelijk de kleinste en grootste waarden zijn van de functie y = ƒ (x) op het segment [a; b], (een< b), то

▼Aangezien we voor elke x є [a;b] m≤ƒ(x)≤M hebben, hebben we volgens eigenschap 7

Door eigenschap 5 toe te passen op de extreme integralen, verkrijgen we

▲

Als ƒ(x)≥0, dan wordt eigenschap 8 geometrisch geïllustreerd: het gebied van een kromlijnig trapezium is ingesloten tussen de gebieden van rechthoeken waarvan de basis is en waarvan de hoogten m en M zijn (zie figuur 171).

9. De modulus van een bepaalde integraal overschrijdt niet de integraal van de modulus van de integrand:

▼Door eigenschap 7 toe te passen op de voor de hand liggende ongelijkheden -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, verkrijgen we

Het volgt dat

▲

10. De afgeleide van een bepaalde integraal naar een bovengrens van een variabele is gelijk aan de integrand waarin de integratievariabele door deze limiet wordt vervangen, d.w.z.

Het berekenen van de oppervlakte van een figuur is een van de moeilijkste problemen in de gebiedstheorie. In de cursus geometrie op school leerden we de gebieden van geometrische basisvormen vinden, bijvoorbeeld een cirkel, driehoek, ruit, enz. Veel vaker heb je echter te maken met het berekenen van de oppervlakten van complexere figuren. Bij het oplossen van dergelijke problemen moet men zijn toevlucht nemen tot integraalrekening.

In dit artikel zullen we het probleem van het berekenen van het gebied van een kromlijnige trapezium beschouwen, en we zullen het in geometrische zin benaderen. Hierdoor kunnen we het directe verband ontdekken tussen de definitieve integraal en het gebied van een kromlijnige trapezium.

In deze sectie wordt de methode voor het integreren van rationale functies besproken. 7.1. Korte informatie over rationale functies De eenvoudigste rationale functie is een polynoom van de tiende graad, d.w.z. een functie van de vorm waarbij reële constanten zijn, en a0 Ф 0. De polynoom Qn(x) waarvan de coëfficiënt a0 = 1 gereduceerd wordt genoemd. Een reëel getal b wordt de wortel van het polynoom Qn(z) genoemd als Q„(b) = 0. Het is bekend dat elk polynoom Qn(x) met reële coëfficiënten op unieke wijze wordt ontleed in reële factoren van de vorm waarin p, q zijn echte coëfficiënten, en de kwadratische factoren hebben geen echte wortels en kunnen daarom niet worden ontleed in echte lineaire factoren. Door identieke factoren (indien aanwezig) te combineren en, voor de eenvoud, aan te nemen dat de polynoom Qn(x) wordt gereduceerd, kunnen we de factorisatie ervan schrijven in de vorm waarin natuurlijke getallen zijn. Omdat de graad van de polynoom Qn(x) gelijk is aan n, is de som van alle exponenten a, /3,..., A, opgeteld bij de dubbele som van alle exponenten ω,..., q, gelijk tot n: De wortel a van een polynoom wordt enkelvoudig of enkelvoudig genoemd als a = 1, en meervoudig als a > 1; het getal a wordt de veelheid van de wortel a genoemd. Hetzelfde geldt voor andere wortels van de polynoom. Een rationale functie f(x) of een rationale breuk is de verhouding van twee polynomen, en er wordt aangenomen dat de polynomen Pm(x) en Qn(x) geen veel voorkomende factoren. Een rationale breuk wordt juist genoemd als de graad van de polynoom in de teller kleiner is dan de graad van de polynoom in de noemer, d.w.z. Als m n, dan wordt de rationale breuk een onechte breuk genoemd, en in dit geval, door de teller te delen door de noemer volgens de regel voor het delen van polynomen, kan deze worden weergegeven in de vorm waarin enkele polynomen voorkomen, en ^^ een goede breuk is. rationele breuk. Voorbeeld 1. Een rationale breuk is een onechte breuk. Als we delen door een "hoek", hebben we Daarom. Hier. en het is een behoorlijke breuk. Definitie. De eenvoudigste (of elementaire) breuken zijn rationale breuken van de volgende vier typen: waar zijn reële getallen, k is een natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 2, en de vierkante trinominaal x2 + px + q heeft geen echte wortels, dus -2 _2 is zijn discriminant. In de algebra wordt de volgende stelling bewezen. Stelling 3. Een echte rationale breuk met reële coëfficiënten, waarvan de noemer Qn(x) de vorm heeft de enige manier voor de som van de eenvoudigste breuken volgens de regel Integratie van rationale functies Korte informatie over rationale functies Integratie van de eenvoudigste breuken Algemeen geval Integratie van irrationele functies Eerste Euler-substitutie Tweede Euler-substitutie Derde Euler-substitutie In deze uitbreiding zijn er enkele reële constanten, sommige waarvan gelijk aan nul kan zijn. Om deze constanten te vinden, wordt de rechterkant van gelijkheid (I) naar een gemeenschappelijke noemer gebracht, en vervolgens worden de coëfficiënten met dezelfde machten van x in de tellers van de linker- en rechterkant aan elkaar gelijkgesteld. Dit geeft het systeem lineaire vergelijkingen, waaruit de vereiste constanten worden gevonden. . Deze methode voor het vinden van onbekende constanten wordt de methode van onbepaalde coëfficiënten genoemd. Soms is het handiger om een ​​andere methode te gebruiken om onbekende constanten te vinden, die erin bestaat dat na het gelijkstellen van de tellers een identiteit wordt verkregen met betrekking tot x, waarbij het argument x enkele waarden krijgt, bijvoorbeeld de waarden van de wortels, resulterend in vergelijkingen voor het vinden van de constanten. Het is vooral handig als de noemer Q„(x) alleen maar heel eenvoudige wortels heeft. Voorbeeld 2. Ontbind de rationele breuk in eenvoudiger breuken. Deze breuk is juist. We ontleden de noemer in vermenigvuldigingen: Omdat de wortels van de noemer reëel en verschillend zijn, zal de ontleding van de breuk in de eenvoudigste vorm, gebaseerd op formule (1), de vorm hebben: het reduceren van de juiste eer “van die gelijkheid tot de gemeenschappelijke noemer en door de tellers aan de linker- en rechterkant gelijk te stellen, verkrijgen we de identiteit of We vinden onbekende coëfficiënten A. 2?, C op twee manieren. Eerste manier Het gelijkstellen van de coëfficiënten voor dezelfde machten van x, t.v. met (vrije term), en de linker- en rechterkant van de identiteit, krijgen we lineair systeem vergelijkingen voor het vinden van onbekende coëfficiënten A, B, C: Dit systeem heeft een unieke oplossing C De tweede methode. Omdat de wortels van de noemer worden gescheurd op i 0, krijgen we 2 = 2A, vandaar A * 1; g i 1, we krijgen -1 * -B, waarvan 5 * 1; x i 2, we krijgen 2 = 2C. vandaar C» 1, en de vereiste uitbreiding heeft de vorm 3. Rehlozhnt niet de eenvoudigste breuken rationale breuk 4 We ontleden de polynoom, die in de tegenovergestelde richting is, in factoren: . De noemer heeft twee verschillende reële wortels: x\ = 0 veelheid van veelheid 3. Daarom is de ontbinding van deze breuk niet de eenvoudigste en heeft deze de vorm Gegeven rechter zijde naar een gemeenschappelijke noemer, zullen we vinden of De eerste methode. Het gelijkstellen van de coëfficiënten voor dezelfde machten van x aan de linker- en rechterkant van de laatste identiteit. we verkrijgen een lineair systeem van vergelijkingen. Dit systeem heeft een unieke oplossing en de vereiste uitbreiding zal de tweede methode zijn. In de resulterende identiteit, waarbij x = 0 wordt gesteld, verkrijgen we 1 a A2, of A2 = 1; veld* gay x = -1, we krijgen -3 i B), of Bj i -3. Bij het vervangen van de gevonden waarden van de coëfficiënten A\ en B) en de identiteit zal de vorm aannemen of x = 0 zetten, en dan x = -I. we vinden dat = 0, B2 = 0 en. dit betekent B\ = 0. We verkrijgen dus opnieuw Voorbeeld 4. Breid de rationale breuk 4 uit naar eenvoudiger breuken. De noemer van de breuk heeft geen reële wortels, aangezien de functie x2 + 1 voor geen enkele reële waarde gelijk is aan nul. van x. Daarom zou de ontbinding in eenvoudige breuken de vorm moeten hebben. Vanaf hier krijgen we of. Door de coëfficiënten van de synaxmachten van x aan de linker- en rechterkant van de laatste gelijkheid gelijk te stellen, zullen we hebben waar we vinden en daarom moet worden opgemerkt dat in sommige gevallen ontbindingen in eenvoudige breuken sneller en gemakkelijker kunnen worden verkregen door te handelen op een andere manier, zonder de methode van onbepaalde coëfficiënten te gebruiken Om bijvoorbeeld de ontbinding van de breuk in voorbeeld 3 te verkrijgen, kunt u in de teller 3x2 optellen en aftrekken en delen zoals hieronder aangegeven. 7.2. Integratie van eenvoudige breuken. Zoals hierboven vermeld, kan elke oneigenlijke rationale breuk worden weergegeven als de som van een polynoom en een echte rationale breuk (§7), en deze representatie is uniek. Het integreren van een polynoom is niet moeilijk, dus denk eens na over de vraag hoe je een goede rationale breuk kunt integreren. Aangezien elke echte rationale breuk kan worden weergegeven als een som van eenvoudige breuken, wordt de integratie ervan gereduceerd tot de integratie van eenvoudige breuken. Laten we nu eens kijken naar de kwestie van hun integratie. III. Om de integraal van de eenvoudigste breuk van het derde type te vinden, isoleren we het volledige kwadraat van de binomiale van de vierkante trinominale: aangezien de tweede term gelijk is aan a2, waar en dan voeren we de vervanging uit. Vervolgens gegeven lineaire eigenschappen integraal vinden we: Voorbeeld 5. Vind de integraal 4 De integrand is de eenvoudigste breuk van het derde type, aangezien de vierkante trinominaal x1 + Ax + 6 geen echte wortels heeft (de discriminant is negatief: , en de teller bevat een polynoom van de eerste graad Daarom gaan we als volgt te werk: 1) selecteer een perfect vierkant in de noemer 2) voer een vervanging uit (hier 3) voor * één integraal. Om de integraal van de eenvoudigste breuk van het vierde type te vinden, plaatsen we als. boven, . Dan krijgen we de Integraal aan de rechterkant, aangegeven met A, en transformeren deze als volgt: Integraal aan de rechterkant wordt geïntegreerd door delen, ervan uitgaande van waar of Integratie van rationale functies Korte informatie over rationale functies Integratie van eenvoudige breuken Algemeen geval Integratie van irrationele functies Euler's eerste substitutie Tweede Euler-substitutie Derde substitutie Euler We hebben de zogenaamde recurrente formule verkregen, waarmee we de integraal Jk kunnen vinden voor elke k = 2, 3,.... De integraal J\ is inderdaad in tabelvorm: als we de herhalingsformule invoeren, vinden we. Als we A = 3 kennen, kunnen we gemakkelijk Jj vinden, enzovoort. In het eindresultaat, door overal hun uitdrukkingen in termen van x en coëfficiënten p en q te vervangen in plaats van t en a, verkrijgen we voor de oorspronkelijke integraal zijn uitdrukking in termen van x en gegeven cijfers M, LG, p, q. Voorbeeld 8. Nieuwe integraal “De integrandfunctie is de eenvoudigste breuk van het vierde type, aangezien de discriminant van een vierkante trinominaal negatief is, d.w.z. Dit betekent dat de noemer geen echte wortels heeft en dat de teller een polynoom van de eerste graad is. 1) We selecteren een compleet vierkant in de noemer 2) We voeren een substitutie uit: de integraal zal de vorm aannemen: door de herhalingsformule in te voeren * = 2, a3 = 1. We zullen hebben, en daarom is de vereiste integraal gelijk Als we terugkeren naar de variabele x, krijgen we uiteindelijk 7,3. Algemeen geval Uit de resultaten van paragrafen. 1 en 2 van deze sectie volgen onmiddellijk een belangrijke stelling. Stelling! 4. De onbepaalde integraal van elke rationale functie bestaat altijd (op intervallen waarin de noemer van de breuk Q„(x) φ 0) en wordt uitgedrukt door een eindig aantal elementaire functies, namelijk: het is een algebraïsche som, de termen waarvan alleen vermenigvuldigbaar is, rationele breuken, natuurlijke logaritmes en boogtangenten. Dus, om te vinden onbepaalde integraal vanuit een fractioneel-rationele functie moet men op de volgende manier te werk gaan: 1) als de rationale breuk oneigenlijk is, kan men door de teller te delen door de noemer isoleren hele deel, d.w.z. deze functie weergegeven als de som van een polynoom en een echte rationale breuk; 2) vervolgens wordt de noemer van de resulterende eigen breuk ontleed in het product van lineaire en kwadratische factoren; 3) deze eigen breuk wordt ontleed in de som van enkelvoudige breuken; 4) Met behulp van de lineariteit van de integraal en de formules van stap 2 worden de integralen van elke term afzonderlijk gevonden. Voorbeeld 7. Vind de integraal M Omdat de noemer een polynoom van de derde orde is, is de integrandfunctie een onechte breuk. We benadrukken het hele deel ervan: daarom zullen we dat doen. De noemer van een echte breuk heeft phi verschillende reële wortels: en daarom heeft de ontbinding ervan in eenvoudige breuken de vorm Vandaar die we vinden. Als we het argument x-waarden geven die gelijk zijn aan de wortels van de noemer, vinden we uit deze identiteit dat: Daarom zal de vereiste integraal gelijk zijn aan Voorbeeld 8. Vind de integraal 4. De integrand is een echte breuk, waarvan de noemer twee verschillende reële wortels: x - O veelheid van 1 en x = 1 van veelheid 3. Daarom heeft de uitbreiding van de integrand in eenvoudige breuken de vorm. De rechterkant van deze gelijkheid naar een gemeenschappelijke noemer brengen en beide zijden van de gelijkheid verkleinen door deze noemer verkrijgen we of. We stellen de coëfficiënten voor dezelfde machten van x aan de linker- en rechterkant van deze identiteit gelijk: Vanaf hier vinden we. Door de gevonden waarden van de coëfficiënten in de uitbreiding te vervangen, zullen we integreren. We vinden: Voorbeeld 9. Vind de integraal 4 De noemer van de breuk heeft geen echte wortels. Daarom heeft de uitbreiding van de integrand in eenvoudige breuken de vorm Vandaar of gelijkstellen van de coëfficiënten voor dezelfde machten van x aan de linker- en rechterkant van deze identiteit, we zullen hebben waar we vinden en daarom Opmerking. In het gegeven voorbeeld kan de integrand worden weergegeven als een som van eenvoudige breuken van meer dan op een eenvoudige manier , namelijk in de teller van de breuk selecteren we de binomiale waarde die in de noemer staat, en vervolgens voeren we deling per term uit: §8. Integratie van irrationele functies Een functie van de vorm waarin Pm en £?„ respectievelijk polynomen van het graadtype zijn in de variabelen uub2,... wordt een rationale functie van ubu2j genoemd... Bijvoorbeeld een polynoom van de tweede graad in twee variabelen u\ en u2 heeft de vorm waarin - enkele reële constanten, en Voorbeeld 1: De functie is een rationale functie van de variabelen r en y, aangezien deze de verhouding vertegenwoordigt van een polynoom van de derde graad en een polynoom van de vijfde graad, maar is geen taxusfunctie. In het geval dat de variabelen op hun beurt functies zijn van de variabele x: dan wordt de functie ] een rationale functie van de functies van het voorbeeld genoemd. Een functie is een rationele functie van r en rvdikvlv Pryaivr 3. Een functie van de vorm is geen rationele functie van x en de radicaal y/r1 + 1, maar het is een rationele functie van functies, zoals voorbeelden laten zien, integralen van irrationeel functies worden niet altijd uitgedrukt via elementaire functies. Integralen die vaak in toepassingen voorkomen, worden bijvoorbeeld niet uitgedrukt in termen van elementaire functies; deze integralen worden respectievelijk elliptische integralen van de eerste en tweede soort genoemd. Laten we die gevallen bekijken waarin de integratie van irrationele functies, met behulp van enkele substituties, kan worden teruggebracht tot de integratie van rationele functies. 1. Laat het nodig zijn om de integraal te vinden waarbij R(x, y) een rationale functie is van zijn argumenten x en y; m £ 2 - natuurlijk getal; a, 6, c, d zijn reële constanten die voldoen aan de voorwaarde ad - bc ^ O (voor ad - be = 0 zijn de coëfficiënten a en b evenredig met de coëfficiënten c en d, en daarom is de relatie niet afhankelijk van x dit betekent dat in dit geval de integrandfunctie een rationale functie zal zijn van de variabele x, waarvan de integratie eerder werd besproken). Laten we een verandering van variabele in deze integraal aanbrengen, waardoor we de variabele x uitdrukken via een nieuwe variabele. We hebben x = - een rationale functie van t. Vervolgens vinden we of, na vereenvoudiging, Daarom, waarbij A1 (t) een rationele functie is van *, aangezien de rationele funadia van een rationele functie, evenals het product van rationele functies, rationele functies zijn. We weten hoe we rationele functies kunnen integreren. Laat dan de vereiste integraal gelijk zijn aan At. IvYti integraal 4 Een integrand*-functie is een rationale functie van. Daarom stellen we t = Dan Integratie van rationale functies Korte informatie over rationale functies Integratie van eenvoudige breuken Algemeen geval Integratie van irrationele functies Eerste Euler-substitutie Tweede Euler-substitutie Derde Euler-substitutie Zo verkrijgen we Primar 5. Vind de integraal De gemeenschappelijke noemer van de fractionele exponenten van x is 12, dus de integrand kan worden weergegeven als 1 _ 1_, wat aantoont dat het een rationale functie is van: Laten we dit in aanmerking nemen. Dientengevolge, 2. Beschouw intephs van de vorm waarbij de subintefale functie zodanig is dat door het vervangen van de radicaal \/ax2 + bx + c daarin door y, we een functie R(x) y) verkrijgen - rationeel met betrekking tot beide argumenten x en j. Deze integraal reduceert tot de integraal van een rationele functie van een ander variabele vervangingen Euler. 8.1. De eerste substitutie van Euler Laat de coëfficiënt a > 0 zijn. Laten we of stellen. Daarom vinden we x als een rationale functie van u, wat betekent dat de aangegeven substitutie dus rationeel wordt uitgedrukt in termen van *. Daarom zullen wij een opmerking maken. De eerste Euler-substitutie kan ook in de vorm worden genomen. Voorbeeld 6. Laten we de integraal vinden. Daarom hebben we de dx Euler-substitutie, laat zien dat Y 8,2. De tweede substitutie van Euler Laat de trinomiale ax2 + bx + c verschillende reële wortels R] en x2 hebben (de coëfficiënt kan elk teken hebben). In dit geval nemen we aan dat we sindsdien verkrijgen Omdat x,dxn y/ax2 + be + c rationeel worden uitgedrukt in termen van t, wordt de oorspronkelijke integraal gereduceerd tot de integraal van een rationale functie, d.w.z. waarbij Probleem. Laat met behulp van de eerste substitutie van Euler zien dat dit een rationale functie is van t. Voorbeeld 7. Zoek de integrale dx M-functie ] - x1 heeft verschillende reële wortels. Daarom passen we de tweede Euler-substitutie toe. Vanaf hier vinden we het vervangen van de gevonden uitdrukkingen in de gegeven?v*gyvl; wij krijgen een 8,3. Derde Euler-substascom Laat de coëfficiënt c > 0. We veranderen de variabele door te zetten. Merk op dat om de integraal terug te brengen tot de integraal van een rationale functie, de eerste en tweede Euler-substituties voldoende zijn. Als de discriminant b2 -4ac > 0 is, dan zijn de wortels van de kwadratische trinomiale ax + bx + c reëel, en in dit geval is de tweede Euler-substitutie van toepassing. Als het teken van de trinominaal ax2 + bx + c samenvalt met het teken van de coëfficiënt a, en aangezien de trinominaal positief moet zijn, dan is a > 0. In dit geval is de eerste substitutie van Euler van toepassing. Om integralen van het hierboven aangegeven type te vinden, is het niet altijd raadzaam om de substituties van Euler te gebruiken, omdat het voor hen mogelijk is om andere integratiemethoden te vinden die sneller tot het doel leiden. Laten we enkele van deze integralen bekijken. 1. Om integralen van de vorm te vinden, selecteer je een perfect vierkant uit het kwadraat van de e trinominaal: waarbij. Voer hierna een substitutie uit en zoek waar de coëfficiënten a en P zijn verschillende tekens of ze zijn allebei positief. Voor, en ook voor a > 0, wordt de integraal gereduceerd tot een logaritme, en als dat zo is, tot de boogsinus. Bij. Zoek dan integrale 4 Sokak. Ervan uitgaande dat we Prmmar 9 krijgen. Vind. Ervan uitgaande dat x -, hebben we 2. De integraal van de vorm wordt als volgt gereduceerd tot de integraal y uit stap 1. Gezien het feit dat de afgeleide ()" = 2, markeren we deze in de teller: 4 We identificeren de afgeleide van de worteluitdrukking in de teller. Omdat (x, dan zullen we hebben, rekening houdend met het resultaat van voorbeeld 9, 3. Integralen van de vorm waarin P„(x) een polynoom n-de graad is, kunnen worden gevonden met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten, die uit het volgende bestaat. Laten we aannemen dat de gelijkheid gelijk is aan Voorbeeld 10. Machtige integraal waarbij Qn-i (s) is een polynoom van graad (n - 1) met onbepaalde coëfficiënten: Om onbekenden te vinden coëfficiënten |. differentiëren we beide zijden van (1): Vervolgens reduceren we de rechterkant van gelijkheid (2) tot een gemeenschappelijke noemer gelijk aan de noemer van de linkerkant, d.w.z. y/ax2 + bx + c, waarbij we beide zijden van (2) reduceren, waardoor we de identiteit verkrijgen aan beide zijden waarvan polynomen van graad n gelijk zijn linker- en rechterzijde van (3), verkrijgen we n + 1 vergelijkingen, waaruit we de vereiste coëfficiënten j4*(fc = 0,1,2,..., n ) vinden van (1) en door de integraal + c te vinden, krijgen we het antwoord voor deze integraal. Voorbeeld 11. Zoek de integraal Laten we het differentiëren van beide kleuren van de gelijkheid hebben. Door de rechterkant naar een gemeenschappelijke noemer te brengen en beide zijden daarmee te reduceren, krijgen we de identiteit of. Door de coëfficiënten bij dezelfde machten van x gelijk te stellen, komen we tot een systeem van vergelijkingen waaruit we vinden: Dan vinden we de integraal aan de rechterkant van gelijkheid (4): Bijgevolg zal de vereiste integraal gelijk zijn aan