De serie "Entertaining Mathematics" is bedoeld voor kinderen die geïnteresseerd zijn in wiskunde en ouders die tijd besteden aan de ontwikkeling van hun kinderen, waardoor ze interessante en vermakelijke problemen en puzzels "krijgen".

Het eerste artikel in deze serie is gewijd aan de heerschappij van Gauss.

Een beetje geschiedenis

De beroemde Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855) was vanaf zijn vroege jeugd anders dan zijn leeftijdsgenoten. Ondanks het feit dat hij uit een arm gezin kwam, leerde hij al vrij vroeg lezen, schrijven en rekenen. Er wordt zelfs in zijn biografie vermeld dat hij op 4-5-jarige leeftijd de fout in de onjuiste berekeningen van zijn vader kon corrigeren door simpelweg naar hem te kijken.

Een van zijn eerste ontdekkingen deed hij op 6-jarige leeftijd tijdens een wiskundeles. De leraar moest de kinderen lange tijd boeien en stelde het volgende probleem voor:

Bereken de som van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 100.

De jonge Gauss voltooide deze taak vrij snel en ontdekte een interessant patroon dat wijdverspreid is geworden en tot op de dag van vandaag nog steeds wordt gebruikt in mentale berekeningen.

Laten we proberen dit probleem mondeling op te lossen. Maar laten we eerst de getallen 1 tot en met 10 nemen:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Kijk goed naar dit bedrag en probeer te raden wat voor ongewoon ding Gauss kon zien? Om te antwoorden moet je een goed inzicht hebben in de samenstelling van de cijfers.

Gauss groepeerde de getallen als volgt:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Zo ontving de kleine Karl 5 paar getallen, die elk individueel optellen tot 11. Om vervolgens de som van de natuurlijke getallen van 1 tot 10 te berekenen, heb je nodig

Laten we terugkeren naar het oorspronkelijke probleem. Gauss merkte op dat het vóór het optellen nodig is om getallen in paren te groeperen en heeft daarom een ​​algoritme uitgevonden waarmee je snel getallen van 1 tot 100 kunt optellen:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Zoek het aantal paren in een reeks natuurlijke getallen. In dit geval zijn het er 50.

Laten we het eerste en het laatste getal van deze serie samenvatten. In ons voorbeeld zijn dit 1 en 100. We krijgen 101.

We vermenigvuldigen de resulterende som van de eerste en laatste termen van de reeks met het aantal paren van deze reeks. We krijgen 101 * 50 = 5050

Daarom is de som van de natuurlijke getallen van 1 tot 100 5050.

Problemen met het gebruik van de regel van Gauss

En nu presenteren wij onder uw aandacht problemen waarbij de regel van Gauss in een of andere mate wordt gebruikt. Een vierdeklasser is heel goed in staat deze problemen te begrijpen en op te lossen.

Je kunt het kind de kans geven om voor zichzelf te redeneren, zodat hij deze regel zelf 'uitvindt'. Of je kunt het samen uit elkaar halen en kijken hoe hij het kan gebruiken. Onder de onderstaande problemen vindt u voorbeelden waarin u moet begrijpen hoe u de regel van Gauss kunt wijzigen om deze op een bepaalde reeks toe te passen.

Om een ​​kind hiermee in zijn berekeningen te kunnen laten werken, is inzicht in het Gauss-algoritme in ieder geval noodzakelijk, dat wil zeggen het vermogen om correct in paren te verdelen en te tellen.

Belangrijk! Als een formule zonder begrip uit het hoofd wordt geleerd, zal deze zeer snel worden vergeten.

Probleem 1

Zoek de som van getallen:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Oplossing.

Ten eerste kunt u het kind de kans geven het eerste voorbeeld zelf op te lossen en aanbieden een manier te vinden waarop dit gemakkelijk in zijn hoofd kan worden gedaan. Analyseer vervolgens dit voorbeeld met het kind en laat zien hoe Gauss het deed. Voor de duidelijkheid kun je het beste een reeks opschrijven en paren getallen verbinden met lijnen die opgeteld hetzelfde getal vormen. Het is belangrijk dat het kind begrijpt hoe paren worden gevormd - we nemen de kleinste en grootste van de resterende getallen, op voorwaarde dat het aantal getallen in de reeks even is.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Taak2

Er zijn 9 gewichten met een gewicht van 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g. Is het mogelijk om deze gewichten in drie stapels van gelijk gewicht te verdelen?

Oplossing.

Met behulp van de regel van Gauss vinden we de som van alle gewichten:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Dit betekent dat als we de gewichten zo kunnen groeperen dat elke stapel gewichten bevat met een totaalgewicht van 15 g, het probleem is opgelost.

Een van de opties:

• 9g, 6g
• 8g, 7g
• 5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Zoek zelf samen met uw kind naar andere mogelijke opties.

Vestig de aandacht van uw kind op het feit dat het bij het oplossen van soortgelijke problemen beter is om altijd te beginnen met groeperen met een groter gewicht (getal).

Probleem 3

Is het mogelijk om de wijzerplaat van een horloge door een rechte lijn in twee delen te verdelen, zodat de som van de cijfers in elk deel gelijk is?

Oplossing.

Pas eerst de regel van Gauss toe op de reeks getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: bepaal de som en kijk of deze deelbaar is door 2:

Het kan dus verdeeld worden. Laten we nu eens kijken hoe.

Daarom is het noodzakelijk om een ​​lijn op de wijzerplaat te tekenen, zodat 3 paren in de ene helft vallen en drie in de andere.

Antwoord: de lijn loopt tussen de cijfers 3 en 4, en vervolgens tussen de cijfers 9 en 10.

Taak4

Is het mogelijk om twee rechte lijnen op de wijzerplaat van een klok te tekenen, zodat de som van de cijfers in elk deel hetzelfde is?

Oplossing.

Pas om te beginnen de regel van Gauss toe op de reeks getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: bepaal de som en kijk of deze deelbaar is door 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 is deelbaar door 3 zonder rest, wat betekent dat het deelbaar is. Laten we nu eens kijken hoe.

Volgens de regel van Gauss krijgen we 6 paar getallen, die elk opgeteld 13 zijn:

1 en 12, 2 en 11, 3 en 10, 4 en 9, 5 en 8, 6 en 7.

Daarom is het noodzakelijk om lijnen op de wijzerplaat te tekenen, zodat elk onderdeel 2 paren bevat.

Antwoord: de eerste regel loopt tussen de cijfers 2 en 3, en vervolgens tussen de cijfers 10 en 11; de tweede lijn ligt tussen de cijfers 4 en 5, en vervolgens tussen 8 en 9.

Probleem 5

Er vliegt een zwerm vogels. Er staat één vogel (de leider) vooraan, twee erachter, dan drie, vier, enz. Hoeveel vogels zitten er in de kudde als er twintig in de laatste rij staan?

Oplossing.

We ontdekken dat we getallen van 1 tot en met 20 moeten optellen. En om zo’n som te berekenen kunnen we de regel van Gauss toepassen:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Probleem 6

Hoe plaats je 45 konijnen in 9 kooien, zodat alle kooien een verschillend aantal konijnen hebben?

Oplossing.

Als het kind de voorbeelden uit taak 1 met begrip heeft besloten en begrepen, herinnert hij zich onmiddellijk dat 45 de som is van de getallen van 1 tot en met 9. Daarom planten we de konijnen als volgt:

• eerste cel - 1,
• tweede - 2,
• derde - 3,
• achtste - 8,
• negende - 9.

Maar als het kind er niet meteen achter komt, probeer hem dan het idee te geven dat dergelijke problemen met bruut geweld kunnen worden opgelost en dat je met het minimumaantal moet beginnen.

Probleem 7

Bereken de som met behulp van de Gauss-techniek:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Oplossing.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Probleem 8

Er is een set van 12 gewichten met een gewicht van 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. Uit de set zijn 4 gewichten verwijderd waarvan de totale massa gelijk is aan een derde van de totale massa van de gehele set gewichten. Is het mogelijk om de overige gewichten op twee weegschalen te plaatsen, 4 stuks op elke schaal, zodat ze in balans zijn?

Oplossing.

We passen de regel van Gauss toe om de totale massa van de gewichten te vinden:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

We berekenen de massa van de verwijderde gewichten:

Daarom moeten de resterende gewichten (met een totale massa van 78-26 = 52 g) op elke schaal op 26 g worden geplaatst, zodat ze in evenwicht zijn.

We weten niet welke gewichten zijn verwijderd, dus we moeten alle mogelijke opties overwegen.

Met behulp van de regel van Gauss kun je de gewichten verdelen in 6 paren van gelijk gewicht (elk 13 gram):

1g en 12g, 2g en 11g, 3g en 10, 4g en 9g, 5g en 8g, 6g en 7g.

Dan is de beste optie wanneer u 4 gewichten verwijdert, twee paren van de bovenstaande gewichten verwijdert. In dit geval hebben we nog 4 paar over: 2 paar op de ene schaal en 2 paar op de andere.

Het slechtste scenario is wanneer 4 verwijderde gewichten 4 paren breken. We houden dan 2 ongebroken paren over met een totaalgewicht van 26 gram, wat betekent dat we ze op één pan van de weegschaal plaatsen, en de overige gewichten kunnen op de andere pan van de weegschaal worden geplaatst en ze zullen ook 26 gram wegen.

Veel succes met de ontwikkeling van uw kinderen.

Vandaag zullen we kijken naar een van de wiskundige problemen die mijn neef en ik moesten oplossen. En dan implementeren we het via PHP. En laten we eens kijken naar verschillende opties om dit probleem op te lossen.

Probleemtoestand:

Je moet snel alle getallen van 1 tot 100 achter elkaar optellen en de som van alle getallen achterhalen.

Oplossing voor het probleem:

Sterker nog, de eerste keer dat we dit probleem hebben opgelost, hebben we het verkeerd opgelost! Maar we zullen niet schrijven over de onjuiste oplossing voor dit probleem.

En de oplossing is zo eenvoudig en triviaal: je moet 1 en 100 optellen en vermenigvuldigen met 50. (Karl Gaus had deze oplossing toen hij nog heel klein was...)

(1 + 100)*50.

Hoe kan ik dit probleem oplossen met PHP?

Bereken de som van alle getallen van 1 tot 100 met behulp van PHP.

Toen we dit probleem al hadden opgelost, besloten we om te kijken wat ze op internet over dit probleem schreven! En ik vond een vorm waarin jonge talenten dit probleem niet konden oplossen en probeerde het via een cyclus te doen.

Als er geen speciale voorwaarde is om het via een lus te doen, dan heeft het geen zin om het via een lus te doen!

En ja! Vergeet niet dat je in PHP een probleem op veel manieren kunt oplossen!

1.

Deze code kan elke reeks getallen van één tot oneindig optellen.

Laten we onze oplossing in de eenvoudigste vorm implementeren:

$end = $_POST["changenaya"];

$res = $end/2*($i + $end);

KLIK HIER

Resultaat:

2.

Bereken de som van alle getallen van elk getal tot elk getal met behulp van PHP.

En laten we de verzonden gegevens voor het nummer controleren...

$two = strip_tags($_POST["peremennaya_2"]);

$tree = strip_tags($_POST["peremennaya_3"]);

if((is_numeriek($twee)) en (is_numeriek($boom)))

$res = $boom/2*($twee + $boom); echo "

Resultaat: ". $res;

$res = $end/2*($i + $end);

echo "Je hoeft geen onzin in het formulier te stoppen...";< $end;), которое будет оправлено через форму.

De eerste parameter is nul ($i=1), de tweede parameter is kleiner dan of gelijk aan dit getal ($i

Laten we de reeks laten zien hoe deze zal toenemen bij elke nieuwe draai van de cyclus.

$end = strip_tags($_POST["peremennaya"]);< $end; $i++) {

voor ($i=1; $i

$res = $res +$i;
";

$res = $end/2*($i + $end);

echo $res."

Ik was lui. Om de kinderen lang bezig te houden, en om zelf een dutje te doen, vroeg hij hen om getallen van 1 tot en met 100 op te tellen.

Gauss gaf snel het antwoord: 5050. Zo snel? De leraar geloofde het niet, maar het jonge genie bleek gelijk te hebben. Het optellen van alle getallen van 1 tot 100 is voor zwakkelingen! Gauss vond de formule:

$$\sum_(1)^(n)=\frac(n(n+1))(2)$$

$$\sum_(1)^(100)=\frac(100(100+1))(2)=50\cdot 101=5050$$

Hoe deed hij het? Laten we proberen dit uit te zoeken aan de hand van het voorbeeld van een som van 1 tot 10.

De eerste manier: verdeel de getallen in paren

$$\left(\begin(matrix)(c)1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end(matrix)\right)$$

Ik vraag me af of de som van elke kolom 11 of $n+1$ is. En er zijn 5 van zulke getallenparen of $\frac(n)(2)$. We krijgen onze formule:

$$Aantal\van\kolommen\cdotSom\van\getallen\in\kolommen=\frac(n)(2)\cdot(n+1)$$

Wat als er een oneven aantal termen is?

Wat als je de cijfers 1 tot en met 9 optelt? We missen één getal om vijf paren te maken, maar we kunnen er nul nemen:

$$\left(\begin(matrix)(c)0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end(matrix)\right)$$

De som van de kolommen is nu 9 of precies $n$. Hoe zit het met het aantal kolommen? Er zijn nog steeds vijf kolommen (dankzij nul!), maar nu is het aantal kolommen gedefinieerd als $\frac(n+1)(2)$ (we hebben $n+1$ getallen en half zoveel kolommen).

$$Aantal\van\kolommen\cdotSom\van\getallen\in\kolommen=\frac(n+1)(2)\cdot n$$

Tweede methode: verdubbel het en schrijf het in twee regels

In deze twee gevallen berekenen we de som van de getallen iets anders.
Misschien is er een manier om de som gelijk te berekenen voor even en oneven aantallen termen?

In plaats van een soort ‘lus’ van getallen te maken, schrijven we ze in twee regels en vermenigvuldigen we het aantal getallen met twee:

$$\left(\begin(matrix)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end(matrix)\right)$$

Voor het vreemde geval:

$$\left(\begin(matrix)(c)1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end(matrix)\right)$$

Het is te zien dat in beide gevallen de som van de kolommen $n+1$ is, en het aantal kolommen $n$.

$$Aantal\van\kolommen\cdotSom\van\getallen\in\kolommen=n\cdot(n+1)$$

Maar we hebben alleen de som van één rij nodig, dus:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Derde manier: maak een rechthoek

Er is nog een andere verklaring, laten we proberen kruisjes toe te voegen, laten we aannemen dat we kruisjes hebben:

Het lijkt gewoon een andere weergave van de tweede methode: elke volgende rij van de piramide heeft meer kruisjes en minder nullen. Het aantal kruisjes en nullen is de oppervlakte van de rechthoek.

$$Area=Hoogte\cdotBreedte=n\cdot(n+1)$$

Maar we hebben de som van de kruisen nodig, dus:

$$\frac(n\cdot(n+1))(2)$$

Vierde methode: rekenkundig gemiddelde

Het is bekend: $Mean\ rekenkundig=\frac(Sum)(Aantal\ leden)$
Dan: $Som = gemiddelde\rekenkunde\cdotAantal\van termen$

We weten het aantal leden - $n$. Hoe het rekenkundig gemiddelde uit te drukken?

Merk op dat de cijfers gelijkmatig verdeeld zijn. Voor elk groot getal is er een klein getal aan de andere kant.

1 2 3, gemiddeld 2

1 2 3 4, gemiddeld 2,5

In dit geval is het rekenkundig gemiddelde het rekenkundig gemiddelde van de getallen 1 en $n$, dat wil zeggen: $Rekenkundig gemiddelde=\frac(n+1)(2)$

$$Som = \frac(n+1)(2)\cdot n$$

Vijfde methode: integraal

We weten allemaal dat een bepaalde integraal een som berekent. Laten we de som van 1 tot 100 berekenen met behulp van een integraal? Ja, maar laten we eerst in ieder geval de som van 1 tot 3 vinden. Laat onze getallen een functie zijn van y(x). Laten we een tekening maken:

De hoogten van de drie rechthoeken zijn precies de cijfers van 1 tot en met 3. Laten we een rechte lijn door het midden van de “kappen” trekken:

Het zou leuk zijn om de vergelijking van deze lijn te vinden. Het gaat door de punten (1.5;1) en (2.5;2). $y=k\cdot x+b$.

$$\begin(cases)2,5k + b = 2\\1,5k + b = 1\end(cases)\Rechtspijl k=1; b=-0,5$$

De vergelijking van de rechte lijn waarmee we onze rechthoeken kunnen benaderen is dus $y=x-0,5$

Ze snijdt de gele driehoeken van de rechthoeken af, maar ‘voegt’ er blauwe driehoeken bovenop. Geel is gelijk aan blauw. Laten we er eerst voor zorgen dat het gebruik van de integraal leidt tot de Gauss-formule:

$$\int_(1)^(n+1) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2 ))(|)^(n+1)_(1)=\frac((n+1)^(2))(2)-\frac(n+1)(2)=\frac(n^( 2)+2n+1-n-1)(2)=\frac(n^(2)+n)(2)$$

Laten we nu de som van 1 tot 3 berekenen, met behulp van X nemen we van 1 tot 4, zodat al onze drie rechthoeken in de integraal vallen:

$$\int_(1)^(4) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(4)_(1)=\frac(4^(2))(2)-2-(0,5-0,5)=6$$

$$\int_(1)^(101) (x-\frac(1)(2)) \, dx = (\frac(x^(2))(2)-\frac(x)(2)) (|)^(101)_(1)=\frac(101^(2))(2)-50,5-(0,5-0,5)=5100,5-50,5=5050$$

En waarom is dit allemaal nodig?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)$$

Op de eerste dag bezocht één persoon uw site, op de tweede dag twee... Elke dag nam het aantal bezoeken met 1 toe. Hoeveel bezoeken zal de site in totaal ontvangen aan het einde van de 1000ste dag?

$$\frac(n(n+1))(2)=\frac(n^(2))(2)+\frac(n)(2)=\frac(1000^(2))(2) +\frac(1000)(2) = 500000+500=500500$$