Waar
zijn reële getallen, en - een speciaal karakter genaamd denkbeeldige eenheid . Voor een denkbeeldige eenheid wordt per definitie aangenomen dat
.

(4.1) – algebraïsche vorm complex getal, en
genaamd echt deel complex getal, en
-denkbeeldig deel .

Nummer
genaamd complex conjugaat naar het nummer
.

Laat twee complexe getallen gegeven worden
,
.

1. Hoeveelheid
complexe getallen En heet een complex getal

2. Door verschil
complexe getallen En heet een complex getal

3. Het werk
complexe getallen En heet een complex getal

4. Privé van het delen van een complex getal naar een complex getal
heet een complex getal

.

Opmerking 4.1. Dat wil zeggen dat bewerkingen op complexe getallen worden geïntroduceerd volgens de gebruikelijke regels van rekenkundige bewerkingen op letterlijke uitdrukkingen in de algebra.

Voorbeeld 4.1. Er worden complexe getallen gegeven. Vinden

.

Oplossing. 1) .

4) Als we de teller en de noemer vermenigvuldigen met het complexe conjugaat van de noemer, krijgen we

Trigonometrische vorm complex getal:

Waar
- modulus van een complex getal,
is het argument van een complex getal. Hoek niet uniek gedefinieerd, tot een term
:

,
.

- de hoofdwaarde van het argument, bepaald door de voorwaarde

, (of
).

Demonstratieve vorm complex getal:

.

Wortel
e macht van het getal heeft verschillende waarden, die worden gevonden door de formule

,

Waar
.

Punten die overeenkomen met waarden
, zijn de hoekpunten van het juiste
een vierkant ingeschreven in een cirkel met straal
met het middelpunt in de oorsprong.

Voorbeeld 4.2. Vind alle basiswaarden
.

Oplossing. Laten we ons een complex getal voorstellen
in trigonometrische vorm:

,

, waar
.

Dan
. Daarom volgens formule (4.2)
heeft vier betekenissen:

,
.

Geloven
, vinden wij

,
,

, .

Hier hebben we de waarden van het argument omgezet naar de hoofdwaarde.

Stelt zich in op het complexe vlak

Complex getal
afgebeeld op een vlak
punt
met coördinaten
. Module
en betoog
corresponderen met de poolcoördinaten van het punt
.

Het is nuttig om die ongelijkheid in gedachten te houden
definieert een cirkel met het middelpunt in een punt radius . Ongelijkheid
definieert een halfvlak rechts van de rechte lijn
en de ongelijkheid
- halfvlak boven de rechte lijn
. Daarnaast het systeem van ongelijkheid
stelt de hoek tussen de stralen in
En
, waarbij de oorsprong van de coördinaten overblijft.

Voorbeeld 4.3. Teken het gebied dat wordt gedefinieerd door de ongelijkheden:
.

Oplossing. De eerste ongelijkheid komt overeen met een ring met het middelpunt in het punt
en twee stralen 1 en 2, de cirkels zijn niet inbegrepen in het gebied (Fig. 4.1).

De tweede ongelijkheid komt overeen met de hoek tussen de stralen
(middellijn van de 4e coördinaathoek) en
(positieve asrichting
). De stralen zelf komen het gebied niet binnen (Fig. 4.2).

Het gewenste gebied is het snijpunt van de twee verkregen gebieden (Fig. 4.3)

4.2. Functies van een complexe variabele

Laat de functie met één waarde
gedefinieerd en continu in de regio
, A - stuksgewijs gladde gesloten of niet-gesloten georiënteerde curve liggend
. Laat, zoals gewoonlijk,
,, Waar
,
- echte functies van variabelen En .

De integraal van een functie berekenen
complexe variabele reduceert tot het berekenen van de gebruikelijke kromlijnige integralen, namelijk

.

Als de functie
analytisch in een eenvoudig verbonden domein
, met punten En , dan geldt de formule van Newton-Leibniz:

,

Waar
- een primitief voor de functie
, dat wil zeggen
in het gebied
.

Bij integralen van functies van een complexe variabele kan men de variabele wijzigen, en integratie in delen is vergelijkbaar met de manier waarop dit wordt gedaan bij het berekenen van integralen van functies van een echte variabele.

Merk ook op dat als het integratiepad deel uitmaakt van een lijn die uit een punt komt , of een deel van een cirkel, gecentreerd op een punt , dan is het handig om een ​​variabele vervanging van het formulier te maken
. In het eerste geval
, A - reële integratievariabele; in het tweede geval
, A - echte integratievariabele.

Voorbeeld 4.4. Berekenen
door parabool
van punt
tot het punt
(Figuur 4.4).

Oplossing. Laten we de integrand in de vorm herschrijven Dan , . Laten we formule (4.3) toepassen: Omdat , , Dat

. Dat is waarom
Voorbeeld 4.5. Bereken integraal
,
, Waar

Oplossing.- boog van een cirkel (Afb. 4.5) . , , Laten we zeggen

, Dan
.
Wij krijgen: Functie

, enkelwaardig en analytisch in de ring
genaamd , valt in deze ring uiteen in Laurent-serie
genaamd In formule (4.5) de reeks belangrijkste onderdeel

De serie van Laurent, en de serie het juiste deel Laurent-serie.Definitie 4.1. Punt
genaamd
geïsoleerd enkelvoudig punt .

functies
, als er een buurt van dit punt is waarin de functie overal analytisch, behalve op het punt zelf

1) Functie
, dat wil zeggen

in de buurt van een punt kan worden uitgebreid tot een Laurent-serie. In dit geval zijn er drie verschillende gevallen mogelijk bij de Laurent-serie: bevat geen termen met een negatief verschilvermogen Punt
;

2) (De serie van Laurent bevat niet het hoofddeel). In dit geval
, dat wil zeggen

,

genaamd
verwijderbaar enkelvoudig punt Laurent-serie. bevat een eindig aantal termen met negatieve verschilmachten Punt
;

3) En

.

. In dit geval het punt kan worden uitgebreid tot een Laurent-serie. In dit geval zijn er drie verschillende gevallen mogelijk bij de Laurent-serie: pool van orde Punt
.

bevat een oneindig aantal termen met negatieve machten:

1) In dit geval het punt
eigenlijk een bijzonder punt
Bij het bepalen van het karakter van een geïsoleerd singulier punt is het niet nodig om te zoeken naar een uitbreiding van de Laurentreeks. U kunt verschillende eigenschappen van geïsoleerde singuliere punten gebruiken. :

.

2) is een verwijderbaar singulier punt van de functie
, als er een eindige limiet van de functie is

.

3) is een in wezen enkelvoudig punt van de functie
, indien bij
een functie heeft geen limiet, noch eindig, noch oneindig.

Definitie 4.2. het juiste deel Laurent-serie.nul
eerste bestelling (of veelheid ) Punt
, als aan de volgende voorwaarden is voldaan:

…,

.

Opmerking 4.2. het juiste deel dan en slechts dan als nul is
eerste bestelling Punt
, terwijl in een bepaalde buurt van dit punt de gelijkheid geldt

,

waar is de functie
analytisch op een gegeven moment En

4) punt is de pool van orde (
) functies
, als dit punt nulde orde is voor functie
.

5) laat - geïsoleerd singulier punt van een functie
Voorbeeld 4.5.
- analytische functies op een punt . En laat het punt is nulde orde functies
en nul bestelling functies
.

Bij
punt is de pool van orde
functies
.

Bij
punt is een verwijderbaar singulier punt van de functie
.

Voorbeeld 4.6. Vind geïsoleerde punten en bepaal hun type voor een functie
.

Oplossing. Functies
En
- analytisch in het gehele complexe vlak. Dit betekent dat de singuliere punten van de functie
zijn de nulpunten van de noemer, dat wil zeggen de punten waar
. Er zijn oneindig veel van dergelijke punten. Allereerst is dit het punt
, evenals punten die aan de vergelijking voldoen
. Vanaf hier
En
.

Denk eens na over het punt
. Op dit punt krijgen we:

,
,

,
.

De orde van nul is
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Periode dus
is een pool van de tweede orde (
).

. Dan

,
.

De volgorde van de nulteller is
.

,
,
.

De orde van nul van de noemer is
. Daarom de punten
bij
zijn polen van de eerste orde ( eenvoudige palen ).

Stelling 4.1. (Stelling van Cauchy over residuen ). Als de functie
is analytisch op de grens regio
en overal binnen de regio, met uitzondering van een eindig aantal singuliere punten
, Dat

.

Bij het berekenen van integralen is het de moeite waard om zorgvuldig alle singuliere punten van de functie te vinden
, teken vervolgens een contour en singuliere punten, en selecteer daarna alleen die punten die binnen de integratiecontour vallen. Zonder foto de juiste keuze maken is vaak lastig.

Wijze van berekening van de aftrek
hangt af van het type singulier punt. Voordat u het residu berekent, moet u daarom het type singulier punt bepalen.

1) residu van een functie op een punt gelijk aan de coëfficiënt voor minus de eerste graad in de Laurent-expansie
in de buurt van een punt :

.

Deze bewering geldt voor alle soorten geïsoleerde punten, en daarom is het in dit geval niet nodig om het type van een enkelvoudig punt te bepalen.

2) het residu op een verwijderbaar singulier punt is gelijk aan nul.

3) als is een eenvoudige pool (pool van de eerste orde), en de functie
kan in de vorm worden weergegeven
Voorbeeld 4.5.
,
(Let op in dit geval
), dan het residu op het punt gelijk aan

.

In het bijzonder, als
, Dat
.

4) als - simpele paal dus

5) als - paal
e-ordefunctie
, Dat

Voorbeeld 4.7. Dat is waarom
.

Oplossing. Het vinden van singuliere punten van de integrand . Functie En heeft twee bijzondere punten Slechts één punt valt binnen de contour (Afb. 4.6). Punt - pool van de tweede orde, sindsdien .

Vervolgens vinden we met behulp van formule (4.7) het residu op dit punt:

Door Stelling 4.1 vinden we

Federaal Agentschap voor Onderwijs

___________________________________

Staat Sint-Petersburg

Elektrotechnische Universiteit "LETI"

_______________________________________

Theorie van functies van een complexe variabele

Richtlijnen

naar praktijklessen

in de hogere wiskunde

Sint-Petersburg

Uitgeverij SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: Methodologische instructies voor het oplossen van problemen / samengesteld door: V.G Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Petersburg: Uitgeverij van de St. Petersburg State Electrotechnical University "LETI", 2010.

Goedgekeurd

Redactie- en publicatieraad van de universiteit

als richtlijnen

© SPbSETU "LETI", 2010

Functies van een complexe variabele verschillen in het algemeen van afbeeldingen van het echte vlak
op zichzelf alleen door de vorm van opname. Een belangrijk en uiterst nuttig object is de klasse van functies van een complexe variabele,

met dezelfde afgeleide als functies van één variabele. Het is bekend dat functies van verschillende variabelen gedeeltelijke afgeleiden en directionele afgeleiden kunnen hebben, maar in de regel vallen de afgeleiden in verschillende richtingen niet samen, en het is niet mogelijk om op een bepaald moment over de afgeleide te praten. Voor functies van een complexe variabele is het echter mogelijk de omstandigheden te beschrijven waaronder ze differentiatie mogelijk maken. De studie van de eigenschappen van differentieerbare functies van een complexe variabele is de inhoud van methodologische instructies. De instructies zijn bedoeld om te demonstreren hoe de eigenschappen van dergelijke functies kunnen worden gebruikt om een ​​verscheidenheid aan problemen op te lossen. Succesvolle beheersing van het gepresenteerde materiaal is onmogelijk zonder basisvaardigheden in berekeningen met complexe getallen en bekendheid met de eenvoudigste geometrische objecten gedefinieerd in termen van ongelijkheden die de reële en imaginaire delen van een complex getal verbinden, evenals de modulus en argumentatie ervan. Een samenvatting van alle informatie die hiervoor nodig is, vindt u in de richtlijnen.

Het standaardapparaat voor wiskundige analyse: limieten, afgeleiden, integralen, reeksen wordt veel gebruikt in de tekst van de richtlijnen. Waar deze concepten hun eigen bijzonderheden hebben, in vergelijking met functies van één variabele, wordt passende verklaring gegeven, maar in de meeste gevallen is het voldoende om de reële en imaginaire delen te scheiden en daarop het standaardapparaat van reële analyse toe te passen.

1. Elementaire functies van een complexe variabele

Het is normaal om een ​​discussie over de voorwaarden voor differentieerbaarheid van functies van een complexe variabele te beginnen door uit te zoeken welke elementaire functies deze eigenschap hebben. Van de voor de hand liggende relatie

Hieruit volgt dat elk polynoom differentieerbaar is. En aangezien een machtreeks binnen zijn convergentiecirkel term voor term kan worden gedifferentieerd,

dan is elke functie differentieerbaar op punten in de buurt waarvan deze kan worden uitgebreid in een Taylorreeks. Dit is een voldoende voorwaarde, maar zoals spoedig duidelijk zal worden, is het ook noodzakelijk. Het is handig om de studie van functies van één variabele met betrekking tot hun afgeleide te ondersteunen door het gedrag van de functiegrafiek te volgen. Dit is niet mogelijk voor functies van een complexe variabele. De grafiekpunten liggen in een ruimte met dimensie 4, .

Er kan echter een grafische weergave van de functie worden verkregen door de afbeeldingen van vrij eenvoudige verzamelingen in het complexe vlak te bekijken
, ontstaan ​​onder invloed van een bepaalde functie. Laten we vanuit dit oogpunt bijvoorbeeld verschillende eenvoudige functies bekijken.

Lineaire functie

Deze eenvoudige functie is erg belangrijk, omdat elke differentieerbare functie lokaal vergelijkbaar is met een lineaire functie. Laten we de actie van de functie zo gedetailleerd mogelijk bekijken

Hier
-- modulus van een complex getal En -- zijn betoog. De lineaire functie voert dus uitrekking, rotatie en translatie uit. Daarom brengt een lineaire mapping elke set naar een vergelijkbare set. Met name onder invloed van een lineaire afbeelding veranderen rechte lijnen in rechte lijnen en cirkels in cirkels.

, Dan

Deze functie is na lineair de meest complexe. Het is moeilijk te verwachten dat het elke lijn in een rechte lijn zal veranderen, en een cirkel in een cirkel laat zien dat dit niet gebeurt. Er kan echter worden aangetoond dat deze functie de verzameling van alle lijnen en cirkels in een cirkel omzet; zelf. Om dit te verifiëren is het handig om naar de echte (coördinaten)beschrijving van de mapping te gaan

Het bewijs vereist een beschrijving van de inverse mapping

Beschouw de vergelijking als
, dan krijgen we de algemene vergelijking van de lijn. Als
, Dat

Daarom, wanneer
de vergelijking van een willekeurige cirkel wordt verkregen.

Merk op dat als
En
, dan gaat de cirkel door de oorsprong. Als
En
, dan krijg je een rechte lijn die door de oorsprong gaat.

Onder invloed van inversie zal de beschouwde vergelijking in de vorm worden herschreven

, (
)

of . Het is duidelijk dat dit ook een vergelijking is die cirkels of rechte lijnen beschrijft. Het feit dat de coëfficiënten in de vergelijking En
verwisselde plaatsen betekent dat tijdens de inversie rechte lijnen die door 0 gaan, in cirkels zullen veranderen, en cirkels die door 0 gaan, in rechte lijnen zullen veranderen.

Machtsfuncties

Het belangrijkste verschil tussen deze functies en de eerder besproken functies is dat ze niet één-op-één zijn (
). We kunnen zeggen dat de functie
transformeert een complex vlak in twee kopieën van hetzelfde vlak. Een nauwkeurige behandeling van dit onderwerp vereist het gebruik van het omslachtige apparaat van Riemann-oppervlakken en valt buiten het bestek van de hier besproken kwesties. Het is belangrijk om te begrijpen dat het complexe vlak in sectoren kan worden verdeeld, die elk één-op-één op het complexe vlak worden afgebeeld. Dit is de uitsplitsing voor de functie
ziet er zo uit. Het bovenste halfvlak wordt bijvoorbeeld één-op-één door de functie op het complexe vlak afgebeeld
. Geometrische vervormingen bij dergelijke afbeeldingen zijn moeilijker te beschrijven dan bij inversie. Als oefening kunt u nagaan waar het raster van rechthoekige coördinaten van het bovenste halfvlak in verandert wanneer het wordt weergegeven

Het is te zien dat het raster van rechthoekige coördinaten verandert in een familie van parabolen die een systeem van kromlijnige coördinaten in het vlak vormen.
. De partitie van het hierboven beschreven vlak is zodanig dat de functie
toont elk van sectoren over het hele vlak. De beschrijving van voorwaartse en achterwaartse mapping ziet er als volgt uit

De functie dus
heeft verschillende inverse functies,

gespecificeerd in verschillende sectoren van het vliegtuig

In dergelijke gevallen wordt gezegd dat de mapping uit meerdere vellen bestaat.

Zhukovsky-functie

De functie heeft een eigen naam, omdat deze de basis vormde van de theorie van de vliegtuigvleugel van Zhukovsky (een beschrijving van dit ontwerp is te vinden in het boek). De functie heeft een aantal interessante eigenschappen, laten we ons op één daarvan concentreren: ontdek op welke sets deze functie één-op-één werkt. Denk aan de gelijkheid

, waar
.

Bijgevolg is de Zjoekovski-functie één-op-één in elk domein waarin voor wie dan ook En hun product is niet gelijk aan één. Dit zijn bijvoorbeeld de open eenheidscirkel
en het complement van de gesloten eenheidscirkel
.

Beschouw dan de actie van de Zjoekovski-functie op een cirkel

Door de reële en denkbeeldige delen te scheiden, verkrijgen we de parametrische vergelijking van de ellips

,
.

Als
, dan vullen deze ellipsen het hele vlak. Op een vergelijkbare manier kan worden geverifieerd dat de afbeeldingen van segmenten hyperbolen zijn

.

Exponentiële functie

De functie kan worden uitgebreid tot een machtreeks die absoluut convergent is in het gehele complexe vlak en daarom overal differentieerbaar is. Laten we de sets beschrijven waarop de functie één-op-één is. Duidelijke gelijkheid
laat zien dat het vlak kan worden verdeeld in een familie van stroken, die elk één-op-één door een functie op het gehele complexe vlak worden afgebeeld. Deze partitie is essentieel om te begrijpen hoe de inverse functie, of preciezer gezegd, inverse functies, werkt. Op elk van de strepen bevindt zich een natuurlijk gedefinieerde inverse mapping

De inverse functie is in dit geval ook multivalent en het aantal inverse functies is oneindig.

De geometrische beschrijving van de mapping is vrij eenvoudig: rechte lijnen
veranderen in stralen
, segmenten

veranderen in cirkels
.

Functies van een complexe variabele.
Differentiatie van functies van een complexe variabele.

Dit artikel opent een reeks lessen waarin ik typische problemen zal beschouwen die verband houden met de theorie van functies van een complexe variabele. Om de voorbeelden succesvol onder de knie te krijgen, moet je basiskennis van complexe getallen hebben. Bezoek de pagina om het materiaal te consolideren en te herhalen. Je hebt ook de vaardigheden nodig om te vinden Partiële afgeleiden van de tweede orde. Hier zijn ze dan, deze gedeeltelijke afgeleiden... zelfs nu was ik een beetje verrast hoe vaak ze voorkomen...

Het onderwerp dat we beginnen te onderzoeken levert geen bijzondere problemen op, en in de functies van een complexe variabele is in principe alles duidelijk en toegankelijk. Het belangrijkste is om je te houden aan de basisregel, die ik experimenteel heb afgeleid. Lees verder!

Concept van een functie van een complexe variabele

Laten we eerst onze kennis over de schoolfunctie van één variabele opfrissen:

Enkele variabele functie is een regel volgens welke elke waarde van de onafhankelijke variabele (uit het definitiedomein) overeenkomt met slechts één waarde van de functie. Uiteraard zijn “x” en “y” reële getallen.

In het complexe geval wordt de functionele afhankelijkheid op dezelfde manier gespecificeerd:

Enkelwaardige functie van een complexe variabele- dit is de regel volgens welke iedereen uitgebreid de waarde van de onafhankelijke variabele (uit het definitiedomein) komt overeen met één en slechts één uitgebreid functie waarde. De theorie houdt ook rekening met meerwaardige en enkele andere soorten functies, maar voor de eenvoud zal ik me concentreren op één definitie.

Wat is het verschil tussen een complexe variabelefunctie?

Het belangrijkste verschil: complexe getallen. Ik ben niet ironisch. Dergelijke vragen laten mensen vaak in verdoving achter; aan het einde van het artikel zal ik je een grappig verhaal vertellen. In de klas Complexe getallen voor dummies we hebben een complex getal in de vorm beschouwd. Sindsdien is de letter "z" geworden variabel, dan zullen we het als volgt aanduiden: , terwijl “x” en “y” verschillend kunnen zijn geldig betekenissen. Grofweg gezegd hangt de functie van een complexe variabele af van de variabelen en , die “gewone” waarden aannemen. Uit dit feit volgt logischerwijs het volgende punt:

De functie van een complexe variabele kan worden geschreven als:
, waarbij en twee functies van twee zijn geldig variabelen.

De functie wordt aangeroepen echt deel functies
De functie wordt aangeroepen denkbeeldig deel functies

Dat wil zeggen, de functie van een complexe variabele hangt af van twee reële functies en . Om alles eindelijk te verduidelijken, laten we eens kijken naar praktische voorbeelden:

Voorbeeld 1

Oplossing: De onafhankelijke variabele “zet”, zoals u zich herinnert, is daarom in de vorm geschreven:

(1) Wij hebben vervangen.

(2) Voor de eerste term werd de verkorte vermenigvuldigingsformule gebruikt. In de term zijn de haakjes geopend.

(3) Zorgvuldig in het kwadraat, en niet te vergeten

(4) Herschikking van termen: eerst herschrijven we de termen , waarin geen denkbeeldige eenheid bestaat(eerste groep), daarna de termen waar die aanwezig zijn (tweede groep). Opgemerkt moet worden dat het schudden van de termen niet nodig is en dat deze stap kan worden overgeslagen (door dit daadwerkelijk mondeling te doen).

(5) Voor de tweede groep halen we het tussen haakjes.

Het resultaat was dat onze functie in de vorm werd weergegeven

Antwoord:
– reëel deel van de functie.
– denkbeeldig deel van de functie.

Wat voor functies zijn dit geworden? De meest gewone functies van twee variabelen die je zo populair kunt vinden gedeeltelijke afgeleiden. Zonder genade zullen we het vinden. Maar iets later.

In het kort kan het algoritme voor het opgeloste probleem als volgt worden geschreven: we vervangen , in de oorspronkelijke functie, voeren vereenvoudigingen uit en verdelen alle termen in twee groepen - zonder een denkbeeldige eenheid (reëel deel) en met een denkbeeldige eenheid (denkbeeldig deel) .

Voorbeeld 2

Zoek het reële en imaginaire deel van de functie

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Voordat je met getrokken schijven de strijd aangaat in het complexe vlak, wil ik je het belangrijkste advies over dit onderwerp geven:

WEES VOORZICHTIG! Je moet natuurlijk overal voorzichtig zijn, maar in complexe getallen moet je voorzichtiger zijn dan ooit! Houd er rekening mee dat u de beugels voorzichtig opent en niets verliest. Volgens mijn observaties is de meest voorkomende fout het verliezen van een bord. Haast je niet!

Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Nu de kubus. Met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformule leiden we af:
.

Formules zijn in de praktijk erg handig in gebruik, omdat ze het oplossingsproces aanzienlijk versnellen.

Differentiatie van functies van een complexe variabele.

Ik heb twee nieuws: goed en slecht. Ik zal beginnen met de goede. Voor een functie van een complexe variabele zijn de differentiatieregels en de tabel met afgeleiden van elementaire functies geldig. De afgeleide wordt dus op precies dezelfde manier genomen als in het geval van een functie van een reële variabele.

Het slechte nieuws is dat er voor veel complexe variabele functies helemaal geen afgeleide bestaat, en dat je dit moet uitzoeken is het differentieerbaar een of andere functie. En ‘uitzoeken’ hoe uw hart voelt, gaat gepaard met extra problemen.

Laten we eens kijken naar de functie van een complexe variabele. Om deze functie differentieerbaar te maken is het noodzakelijk en voldoende:

1) Er bestaan ​​dus partiële afgeleiden van de eerste orde. Vergeet deze notaties meteen, want in de theorie van de functies van een complexe variabele wordt traditioneel een andere notatie gebruikt: .

2) Het uitvoeren van de zogenaamde Cauchy-Riemann-omstandigheden:

Alleen in dit geval zal de afgeleide bestaan!

Voorbeeld 3

Oplossing is verdeeld in drie opeenvolgende fasen:

1) Laten we de reële en denkbeeldige delen van de functie vinden. Deze taak is in eerdere voorbeelden besproken, dus ik zal het zonder commentaar opschrijven:

Sindsdien:

Dus:

– denkbeeldig deel van de functie.

Ik wil nog een technisch punt aanroeren: in welke volgorde schrijf de termen in de reële en denkbeeldige delen? Ja, in principe maakt het niet uit. Het reële deel kan bijvoorbeeld als volgt worden geschreven: , en de denkbeeldige – zoals deze: .

2) Laten we de vervulling van de Cauchy-Riemann-voorwaarden controleren. Er zijn er twee.

Laten we beginnen met het controleren van de toestand. Wij vinden gedeeltelijke afgeleiden:

Er is dus voldaan aan de voorwaarde.

Het goede nieuws is natuurlijk dat gedeeltelijke afgeleiden bijna altijd heel eenvoudig zijn.

We controleren de vervulling van de tweede voorwaarde:

Het resultaat is hetzelfde, maar met tegengestelde tekens, dat wil zeggen dat ook aan de voorwaarde is voldaan.

Er is voldaan aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden, dus de functie is differentieerbaar.

3) Laten we de afgeleide van de functie vinden. De afgeleide is ook heel eenvoudig en wordt gevonden volgens de gebruikelijke regels:

De denkbeeldige eenheid wordt tijdens differentiatie als een constante beschouwd.

Antwoord: – echt deel, – denkbeeldig deel.
Er is voldaan aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden.

Er zijn nog twee manieren om de afgeleide te vinden. Deze worden uiteraard minder vaak gebruikt, maar de informatie zal nuttig zijn om de tweede les te begrijpen: Hoe vind je een functie van een complexe variabele?

De afgeleide kan worden gevonden met behulp van de formule:

In dit geval:

Dus

We moeten het omgekeerde probleem oplossen: in de resulterende uitdrukking moeten we isoleren. Om dit te doen, is het noodzakelijk in de voorwaarden en buiten de haakjes:

De omgekeerde actie is, zoals velen hebben opgemerkt, iets moeilijker uit te voeren; het is altijd beter om de uitdrukking op een concept over te nemen of de haakjes mondeling terug te openen, om er zeker van te zijn dat het resultaat precies is;

Spiegelformule voor het vinden van de afgeleide:

In dit geval: , Daarom:

Voorbeeld 4

Bepaal de reële en imaginaire delen van een functie . Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan. Als aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden is voldaan, bepaal dan de afgeleide van de functie.

Een korte oplossing en een voorbeeld van het uiteindelijke ontwerp bij benadering aan het einde van de les.

Wordt altijd voldaan aan de voorwaarden van Cauchy-Riemann? Theoretisch gezien worden ze niet vaker vervuld dan dat ze worden vervuld. Maar in praktische voorbeelden kan ik me geen geval herinneren waarin ze niet zijn vervuld =) Dus als je partiële afgeleiden "niet convergeren", dan kun je met een zeer grote waarschijnlijkheid zeggen dat je ergens een fout hebt gemaakt.

Laten we onze functies ingewikkelder maken:

Voorbeeld 5

Bepaal de reële en imaginaire delen van een functie . Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan. Berekenen

Oplossing: Het oplossingsalgoritme blijft volledig behouden, maar aan het eind wordt er een nieuw punt toegevoegd: het vinden van de afgeleide in een punt. Voor de kubus is de benodigde formule al afgeleid:

Laten we de reële en denkbeeldige delen van deze functie definiëren:

Aandacht en nog eens aandacht!

Sindsdien:


Dus:
– reëel deel van de functie;
– denkbeeldig deel van de functie.

Controle van de tweede voorwaarde:

Het resultaat is hetzelfde, maar met tegengestelde tekens, dat wil zeggen dat ook aan de voorwaarde is voldaan.

Er is voldaan aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden, daarom is de functie differentieerbaar:

Laten we de waarde van de afgeleide op het vereiste punt berekenen:

Antwoord:,,Er is voldaan aan de voorwaarden van Cauchy-Riemann,

Functies met kubussen komen vaak voor, dus hier is een voorbeeld om te versterken:

Voorbeeld 6

Bepaal de reële en imaginaire delen van een functie . Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan. Berekenen.

Oplossing en voorbeeld van afwerking aan het einde van de les.

De theorie van complexe analyse definieert ook andere functies van een complex argument: exponent, sinus, cosinus, enz. Deze functies hebben ongebruikelijke en zelfs bizarre eigenschappen - en dit is echt interessant! Ik wil het je heel graag vertellen, maar hier is het namelijk geen naslagwerk of leerboek, maar een boek met oplossingen, dus ik zal hetzelfde probleem overwegen met enkele veel voorkomende functies.

Eerst over de zogenaamde Formules van Euler:

Voor iedereen geldig getallen zijn de volgende formules geldig:

U kunt het ook als referentiemateriaal naar uw notitieboekje kopiëren.

Strikt genomen is er maar één formule, maar meestal schrijven ze voor het gemak ook een speciaal geval met een minteken in de exponent. De parameter hoeft geen enkele letter te zijn; het kan een complexe uitdrukking of functie zijn; het is alleen belangrijk dat ze worden geaccepteerd alleen geldig betekenissen. Eigenlijk zullen we dit nu zien:

Voorbeeld 7

Zoek de afgeleide.

Oplossing: De algemene lijn van de partij blijft onwrikbaar: het is noodzakelijk om de echte en denkbeeldige delen van de functie te onderscheiden. Ik zal hieronder een gedetailleerde oplossing geven en commentaar geven op elke stap:

Sindsdien:

(1) Vervang in plaats daarvan “z”.

(2) Na vervanging moet je de reële en denkbeeldige delen selecteren eerst in de indicator exposanten. Open hiervoor de haakjes.

(3) We groeperen het denkbeeldige deel van de indicator en plaatsen de denkbeeldige eenheid tussen haakjes.

(4) We gebruiken de schoolactie met graden.

(5) Voor de vermenigvuldiger gebruiken we de formule van Euler, en .

(6) Open de haakjes, wat resulteert in:

– reëel deel van de functie;
– denkbeeldig deel van de functie.

Verdere acties zijn standaard; laten we controleren of aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden is voldaan:

Voorbeeld 9

Bepaal de reële en imaginaire delen van een functie . Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan. Het zij zo: we zullen de afgeleide niet vinden.

Oplossing: Het oplossingsalgoritme lijkt erg op de vorige twee voorbeelden, maar er zijn zeer belangrijke punten, dus ik zal stap voor stap opnieuw commentaar geven op de beginfase:

Sindsdien:

1) Vervang in plaats daarvan “z”.

(2) Eerst selecteren we de reële en denkbeeldige delen in de sinus. Voor deze doeleinden openen we de haakjes.

(3) We gebruiken de formule, en .

(4) Gebruik pariteit van de hyperbolische cosinus: En eigenaardigheid van hyperbolische sinus: . Hoewel hyperbolen niet van deze wereld zijn, doen ze in veel opzichten denken aan vergelijkbare trigonometrische functies.

Als resultaat:
– reëel deel van de functie;
– denkbeeldig deel van de functie.

Aandacht! Het minteken verwijst naar het denkbeeldige deel, en we mogen het in geen geval verliezen! Voor een duidelijke illustratie kan het hierboven verkregen resultaat als volgt worden herschreven:

Laten we eens kijken of aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden is voldaan:

Er is voldaan aan de voorwaarden van Cauchy-Riemann.

Antwoord:,,Er is voldaan aan de voorwaarden van Cauchy-Riemann.

Dames en heren, laten we het zelf uitzoeken:

Voorbeeld 10

Bepaal de reële en imaginaire delen van de functie. Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan.

Ik heb bewust voor moeilijkere voorbeelden gekozen, omdat iedereen wel ergens tegen lijkt te kunnen, zoals gepelde pinda's. Tegelijkertijd train je je aandacht! Notenkraker aan het einde van de les.

Tot slot zal ik naar een ander interessant voorbeeld kijken waarin een complex argument in de noemer staat. Het is in de praktijk een paar keer gebeurd, laten we naar iets eenvoudigs kijken. Ehm, ik word oud...

Voorbeeld 11

Bepaal de reële en imaginaire delen van de functie. Controleer of aan de Cauchy-Riemann voorwaarden is voldaan.

Oplossing: Opnieuw is het noodzakelijk om onderscheid te maken tussen de reële en denkbeeldige delen van de functie.
Als, dan

De vraag rijst: wat te doen als "Z" in de noemer staat?

Alles is eenvoudig - de standaard zal helpen methode voor het vermenigvuldigen van de teller en de noemer met de geconjugeerde uitdrukking, het is al gebruikt in de voorbeelden van de les Complexe getallen voor dummies. Laten we de schoolformule onthouden. We hebben al in de noemer gezet, wat betekent dat de geconjugeerde uitdrukking . Je moet dus de teller en de noemer vermenigvuldigen met: