“Als je wilt leren zwemmen, ga dan moedig het water in, en als je wilt leren om problemen op te lossen, Dat Ze oplossen.»
D. Polya (1887-1985)

(Wiskundige. Heeft een grote bijdrage geleverd aan de popularisering van de wiskunde. Heeft verschillende boeken geschreven over het oplossen van problemen en het leren oplossen van problemen.)

Beschouw de matrix

Laten we het benadrukken k-rijen En k-kolommen (k≤(min(m,n))). Uit de elementen die zich op het snijpunt van de geselecteerde rijen en kolommen bevinden, zullen we een determinant samenstellen kth volgorde. Al dergelijke determinanten worden genoemd minoren van deze matrix.

Laten we alle mogelijke minoren van de matrix bekijken A, verschillend van nul.

Matrix-rang A is de grootste orde van de niet-nul minor van deze matrix.

Als alle elementen van een matrix gelijk zijn aan nul, wordt de rangorde van deze matrix gelijk aan nul gesteld.

Een minderjarige waarvan de volgorde de rangorde van de matrix bepaalt, wordt gebeld eenvoudig.

Een matrix kan meerdere basisminoren hebben.

Matrix-rang A aangegeven door r(A). Als r(A)=r(B), dan de matrices A En IN worden genoemd equivalent. Zij schrijven A̴∼B.

Matrix-rangeigenschappen:

1. Wanneer een matrix wordt getransponeerd, verandert de rangorde ervan niet.
2. Als u de nulrij (kolom) uit de matrix verwijdert, verandert de rangorde van de matrix niet.
3. De rangorde van de matrix verandert niet tijdens elementaire matrixtransformaties.

Met elementaire transformaties bedoelen we:

• Herschikken van matrixrijen;
• Een string vermenigvuldigen met een ander getal dan nul;
• Aan de elementen van de ene regel worden de overeenkomstige elementen van een andere regel toegevoegd, vermenigvuldigd met een willekeurig getal.

Bij het berekenen van de rangorde van een matrix kunnen elementaire transformaties, de methode om de matrix terug te brengen tot een stapsgewijze vorm en de methode van het grenzen van minderjarigen worden gebruikt.

Werkwijze voor het reduceren van een matrix tot een stapsgewijze Het idee is dat met behulp van elementaire transformaties deze matrix wordt gereduceerd tot een stappenmatrix.

De matrix wordt genoemd stapte , als in elk van zijn lijnen het eerste element dat niet nul is, zich naar rechts bevindt dan in het vorige (dat wil zeggen, er worden stappen verkregen, de hoogte van elke stap moet gelijk zijn aan één).

Voorbeelden van stapmatrices:

Voorbeelden van niet-echelonmatrices:

VOORBEELD: Zoek de rangorde van de matrix:

OPLOSSING:

Laten we deze matrix reduceren tot een stapmatrix met behulp van elementaire transformaties.

1. Wissel de eerste en derde regel om.

2. We krijgen nullen onder één in de eerste kolom.

Door de eerste regel vermenigvuldigd met (-3) op te tellen bij de tweede regel, de eerste regel vermenigvuldigd met (-5) bij de derde regel, en de eerste regel vermenigvuldigd met (-3) bij de vierde regel, krijgen we

Om duidelijker te maken waar u nog meer nullen moet krijgen, gaan we stappen in de matrix tekenen. (De matrix wordt getrapt als er overal nullen onder de stappen staan)

3. Door de tweede regel vermenigvuldigd met (-1) op te tellen bij de derde regel, en de tweede regel vermenigvuldigd met (-1) bij de vierde regel, krijgen we nullen onder de stappen in de tweede kolom.

Als we de stappen opnieuw tekenen, zien we dat de matrix getrapt is.

Haar rang is r=3(het aantal rijen van de stapmatrix, waarbij in elk daarvan ten minste één element verschilt van nul). Daarom de rangorde van deze matrix r=3.

De oplossing kan als volgt worden geschreven:

(Romeinse cijfers geven regelnummers aan)

Antwoord: r=3.

Kleine bestelling k+1, met daarin een minderjarige van orde k genaamd grenzend aan de minderjarige.

Methode voor het grenzen van minderjarigen is gebaseerd op het feit dat de rangorde van een gegeven matrix gelijk is aan de orde van een minderjarige van deze matrix die niet nul is, en dat alle daaraan grenzende minderjarigen gelijk zijn aan nul.

Laten we een matrix geven:

.

Laten we in deze matrix selecteren willekeurige tekenreeksen en willekeurige kolommen
. Dan de bepalende factor e orde, samengesteld uit matrixelementen
, gelegen op het snijpunt van geselecteerde rijen en kolommen, wordt een minor genoemd de ordematrix
.

Definitie 1.13. Matrix-rang
is de grootste orde van de niet-nul minor van deze matrix.

Om de rangorde van een matrix te berekenen, moet men alle minderjarigen van de laagste orde in beschouwing nemen en, als minstens één daarvan verschillend is van nul, overgaan tot het beschouwen van de minderjarigen van de hoogste orde. Deze benadering voor het bepalen van de rangorde van een matrix wordt de grensmethode genoemd (of de methode om minderjarigen te grenzen).

Probleem 1.4. Bepaal met behulp van de methode van het grenzen van minderjarigen de rangorde van de matrix
.

.

Denk bijvoorbeeld aan eerste-orde randen,
. Vervolgens gaan we verder met het overwegen van een tweede orde rand.

Bijvoorbeeld,
.

Laten we tot slot de derde-orde grenzen analyseren.

.

Dus de hoogste orde van een minderjarige die niet nul is, is dus 2
.

Bij het oplossen van probleem 1.4 valt het je op dat een aantal aangrenzende minderjarigen van de tweede orde niet nul zijn. In dit verband is het volgende concept van toepassing.

Definitie 1.14. Een basisminor van een matrix is ​​elke niet-nulminor waarvan de volgorde gelijk is aan de rangorde van de matrix.

Stelling 1.2.(Basis kleine stelling). De basisrijen (basiskolommen) zijn lineair onafhankelijk.

Merk op dat de rijen (kolommen) van een matrix lineair afhankelijk zijn als en slechts als ten minste één ervan kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de andere.

Stelling 1.3. Het aantal lineair onafhankelijke matrixrijen is gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke matrixkolommen en is gelijk aan de rangorde van de matrix.

Stelling 1.4.(Noodzakelijke en voldoende voorwaarde dat de determinant gelijk is aan nul). Om de determinant -de bestelling gelijk was aan nul, is het noodzakelijk en voldoende dat de rijen (kolommen) lineair afhankelijk zijn.

Het berekenen van de rangorde van een matrix op basis van de definitie ervan is te omslachtig. Dit wordt vooral belangrijk voor matrices van hoge orde. In dit opzicht wordt in de praktijk de rangorde van een matrix berekend op basis van de toepassing van de stellingen 10.2 - 10.4, evenals het gebruik van de concepten van matrixequivalentie en elementaire transformaties.

Definitie 1.15. Twee matrixen
En worden gelijkwaardig genoemd als hun rangen gelijk zijn, d.w.z.
.

Als matrices
En gelijkwaardig zijn, let dan op
 .

Stelling 1.5. De rangorde van de matrix verandert niet als gevolg van elementaire transformaties.

We zullen elementaire matrixtransformaties noemen
een van de volgende bewerkingen op een matrix:

Rijen vervangen door kolommen en kolommen door overeenkomstige rijen;

Herschikken van matrixrijen;

Een lijn doorstrepen waarvan de elementen allemaal nul zijn;

Een string vermenigvuldigen met een ander getal dan nul;

Bij de elementen van de ene regel worden de overeenkomstige elementen van een andere regel opgeteld, vermenigvuldigd met hetzelfde getal
.

Uitvloeisel van Stelling 1.5. Als matrix
verkregen uit matrix met behulp van een eindig aantal elementaire transformaties, en vervolgens de matrix
En zijn gelijkwaardig.

Bij het berekenen van de rangorde van een matrix moet deze worden teruggebracht tot een trapeziumvorm met behulp van een eindig aantal elementaire transformaties.

Definitie 1.16. We zullen trapeziumvormig een vorm van representatie van een matrix noemen wanneer, in de aangrenzende mineur van de hoogste orde anders dan nul, alle elementen onder de diagonale verdwijnen. Bijvoorbeeld:

.

Hier
, matrixelementen
naar nul gaan. Dan zal de representatievorm van een dergelijke matrix trapeziumvormig zijn.

In de regel worden matrices gereduceerd tot een trapeziumvorm met behulp van het Gauss-algoritme. Het idee van het Gauss-algoritme is dat, door de elementen van de eerste rij van de matrix te vermenigvuldigen met de overeenkomstige factoren, wordt bereikt dat alle elementen van de eerste kolom die zich onder het element bevinden
, zou op nul uitkomen. Vervolgens vermenigvuldigen we de elementen van de tweede kolom met de overeenkomstige factoren en zorgen we ervoor dat alle elementen van de tweede kolom zich onder het element bevinden
, zou op nul uitkomen. Ga dan op dezelfde manier te werk.

Probleem 1.5. Bepaal de rangorde van een matrix door deze terug te brengen tot een trapeziumvorm.

.

Om het gebruik van het Gauss-algoritme eenvoudiger te maken, kunt u de eerste en derde regel omwisselen.








.

Het is duidelijk dat hier
. Om het resultaat echter in een elegantere vorm te brengen, kunt u doorgaan met het transformeren van de kolommen.










.

Een getal r wordt de rangorde van matrix A genoemd als:
1) in de matrix A is er een minor van orde r, verschillend van nul;
2) alle minderjarigen van orde (r+1) en hoger, als ze bestaan, zijn gelijk aan nul.
Anders is de rangorde van een matrix de hoogste lagere orde, behalve nul.
Benamingen: rangA, r A of r.
Uit de definitie volgt dat r een positief geheel getal is. Voor een nulmatrix wordt de rangorde als nul beschouwd.

Doel van de dienst. De online calculator is ontworpen om te vinden matrix rang. In dit geval wordt de oplossing opgeslagen in Word- en Excel-formaat. zie voorbeeld oplossing.

Instructies. Selecteer de matrixdimensie en klik op Volgende.

Selecteer matrixdimensie 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Definitie . Laat een matrix met rang r gegeven worden. Elke minor van een matrix die verschilt van nul en orde r heeft, wordt basis genoemd, en de rijen en kolommen van de componenten ervan worden basisrijen en -kolommen genoemd.
Volgens deze definitie kan een matrix A meerdere basisminoren hebben.

De rangorde van de identiteitsmatrix E is n (het aantal rijen).

Voorbeeld 1. Gegeven twee matrices, en hun minderjarigen , . Welke van hen kan als de basis worden beschouwd?
Oplossing. Minor M 1 =0, dus het kan geen basis zijn voor een van de matrices. Minor M 2 =-9≠0 en heeft orde 2, wat betekent dat deze kan worden genomen als de basis van matrices A of / en B, op voorwaarde dat ze een rangorde hebben die gelijk is aan 2. Omdat detB=0 (als determinant met twee proportionele kolommen), kan rangB=2 en M 2 worden genomen als de basisminor van matrix B. De rangorde van matrix A is 3, vanwege het feit dat detA=-27≠ 0 en daarom moet de volgorde van de basismineur van deze matrix gelijk zijn aan 3, dat wil zeggen dat M 2 geen basis is voor de matrix A. Merk op dat de matrix A een enkele basisminor heeft, gelijk aan de determinant van matrix A.

Stelling (over de basis minor). Elke rij (kolom) van een matrix is ​​een lineaire combinatie van de basisrijen (kolommen).
Gevolgen van de stelling.

1. Elke (r+1) kolom(rij)matrix van rang r is lineair afhankelijk.
2. Als de rangorde van een matrix kleiner is dan het aantal rijen (kolommen), dan zijn de rijen (kolommen) lineair afhankelijk. Als rangA gelijk is aan het aantal rijen (kolommen), dan zijn de rijen (kolommen) lineair onafhankelijk.
3. De determinant van een matrix A is gelijk aan nul als en slechts als de rijen (kolommen) lineair afhankelijk zijn.
4. Als u nog een rij (kolom) toevoegt aan een rij (kolom) van een matrix, vermenigvuldigd met een ander getal dan nul, verandert de rangorde van de matrix niet.
5. Als u een rij (kolom) in een matrix doorstreept, wat een lineaire combinatie is van andere rijen (kolommen), verandert de rangorde van de matrix niet.
6. De rangorde van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen (kolommen).
7. Het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen is hetzelfde als het maximale aantal lineair onafhankelijke kolommen.

Voorbeeld 2. Zoek de rangorde van een matrix .
Oplossing. Op basis van de definitie van de matrixrang gaan we op zoek naar een minor van de hoogste orde, verschillend van nul. Laten we eerst de matrix naar een eenvoudiger vorm transformeren. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de eerste rij van de matrix met (-2) en voegt u deze toe aan de tweede, vermenigvuldigt u deze vervolgens met (-1) en voegt u deze toe aan de derde.

Definitie. Matrix-rang is het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen dat als vectoren wordt beschouwd.

Stelling 1 over de rangorde van de matrix. Matrix-rang wordt de maximale orde van een niet-nul minor van een matrix genoemd.

Het concept van een minor hebben we al besproken in de les over determinanten, en nu gaan we het generaliseren. Laten we een bepaald aantal rijen en een bepaald aantal kolommen in de matrix nemen, en dit “hoeveel” zou kleiner moeten zijn dan het aantal rijen en kolommen van de matrix, en voor rijen en kolommen zou dit “hoeveel” het aantal moeten zijn het zelfde nummer. Dan zal er op het snijpunt van hoeveel rijen en hoeveel kolommen een matrix van lagere orde zijn dan onze oorspronkelijke matrix. De determinant is een matrix en zal een minor van de k-de orde zijn als het genoemde “sommige” (het aantal rijen en kolommen) wordt aangegeven met k.

Definitie. Minderjarige ( R+1)de orde, waarbinnen de gekozen minor ligt R-de orde wordt grenzend genoemd voor een bepaalde minderjarige.

De twee meest gebruikte methoden zijn het vinden van de rangorde van de matrix. Dit manier om minderjarigen te omringen En methode van elementaire transformaties(Gauss-methode).

Bij gebruik van de aangrenzende minderjarigenmethode wordt de volgende stelling gebruikt.

Stelling 2 over de rangorde van de matrix. Of een minor kan worden samengesteld uit matrixelementen R e orde, niet gelijk aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan R.

Bij gebruik van de elementaire transformatiemethode wordt de volgende eigenschap gebruikt:

Als door elementaire transformaties een trapeziumvormige matrix wordt verkregen die equivalent is aan de originele, dan rang van deze matrix is het aantal regels daarin, behalve de regels die volledig uit nullen bestaan.

De rangorde van een matrix vinden met behulp van de methode van aangrenzende minderjarigen

Een omsluitende minor is een minor van een hogere orde ten opzichte van de gegeven minor, indien deze minor van hogere orde de gegeven minor bevat.

Gegeven de matrix bijvoorbeeld

Laten we een minor nemen

De aangrenzende minderjarigen zijn:

Algoritme voor het vinden van de rangorde van een matrix volgende.

1. Zoek minderjarigen van de tweede orde die niet gelijk zijn aan nul. Als alle tweedegraads minoren gelijk zijn aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan één ( R =1 ).

2. Als er tenminste één minor van de tweede orde is die niet gelijk is aan nul, dan stellen we de aangrenzende minoren van de derde orde samen. Als alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde gelijk zijn aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan twee ( R =2 ).

3. Indien tenminste één van de aangrenzende minderjarigen van de derde orde niet gelijk is aan nul, dan stellen wij de aangrenzende minderjarigen samen. Als alle aangrenzende minderjarigen van de vierde orde gelijk zijn aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan drie ( R =2 ).

4. Ga zo door zolang de matrixgrootte dit toelaat.

Voorbeeld 1. Zoek de rangorde van een matrix

.

Oplossing. Minor van de tweede orde .

Laten we het grenzen. Er zullen vier aangrenzende minderjarigen zijn:

,

,

Alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde zijn dus gelijk aan nul, daarom is de rangorde van deze matrix gelijk aan twee ( R =2 ).

Voorbeeld 2. Zoek de rangorde van een matrix

Oplossing. De rangorde van deze matrix is ​​gelijk aan 1, aangezien alle tweede-orde minoren van deze matrix gelijk zijn aan nul (hierin, zoals in het geval van aangrenzende minderjarigen in de twee volgende voorbeelden, worden beste studenten uitgenodigd om te verifiëren of zelf, misschien met behulp van de regels voor het berekenen van determinanten), en onder de minderjarigen van de eerste orde, dat wil zeggen, onder de elementen van de matrix, zijn er niet-nul.

Voorbeeld 3. Zoek de rangorde van een matrix

Oplossing. De tweede orde minor van deze matrix is, en alle derde orde minoren van deze matrix zijn gelijk aan nul. Daarom is de rangorde van deze matrix twee.

Voorbeeld 4. Zoek de rangorde van een matrix

Oplossing. De rangorde van deze matrix is ​​3, aangezien de enige minor van de derde orde van deze matrix 3 is.

De rangorde van een matrix vinden met behulp van de methode van elementaire transformaties (Gauss-methode)

Reeds in voorbeeld 1 is het duidelijk dat de taak van het bepalen van de rangorde van een matrix met behulp van de methode van grensoverschrijdende minderjarigen de berekening van een groot aantal determinanten vereist. Er is echter een manier om de hoeveelheid berekeningen tot een minimum te beperken. Deze methode is gebaseerd op het gebruik van elementaire matrixtransformaties en wordt ook wel de Gauss-methode genoemd.

De volgende bewerkingen worden opgevat als elementaire matrixtransformaties:

1) het vermenigvuldigen van een rij of kolom van een matrix met een ander getal dan nul;

2) het toevoegen aan de elementen van een rij of kolom van de matrix van de overeenkomstige elementen van een andere rij of kolom, vermenigvuldigd met hetzelfde getal;

3) het verwisselen van twee rijen of kolommen van de matrix;

4) het verwijderen van “null”-rijen, dat wil zeggen rijen waarvan de elementen allemaal gelijk zijn aan nul;

5) het verwijderen van alle proportionele lijnen behalve één.

Stelling. Tijdens een elementaire transformatie verandert de rangorde van de matrix niet. Met andere woorden, als we elementaire transformaties uit de matrix gebruiken A ging naar de matrix B, Dat .

Laat A een matrix zijn met afmetingen m\maal n en k een natuurlijk getal dat m en n niet overschrijdt: k\leqslant\min\(m;n\). Kleine k-de bestelling matrix A is de determinant van een matrix van de k-de orde gevormd door de elementen op het snijpunt van willekeurig gekozen k rijen en k kolommen van de matrix A. Bij het aanduiden van minderjarigen geven we de nummers van de geselecteerde rijen aan als bovenste indices, en de nummers van de geselecteerde kolommen als lagere indices, waarbij we ze in oplopende volgorde rangschikken.

Voorbeeld 3.4. Schrijf minoren van verschillende ordes van de matrix

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Oplossing. Matrix A heeft afmetingen 3\times4 . Het heeft: 12 minors van de 1e orde, bijvoorbeeld minor M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2e orde minoren, bijvoorbeeld M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minors van de derde orde, bijvoorbeeld

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

In een matrix A met dimensies m\maal n wordt de r-de orde minor genoemd eenvoudig, als het niet nul is en alle minderjarigen van de (r+1)-ro-orde gelijk zijn aan nul of helemaal niet bestaan.

Matrix-rang heet de orde van de basismineur. Er is geen basisminor in een nulmatrix. Daarom is de rangorde van de nulmatrix per definitie gelijk aan nul. De rangorde van matrix A wordt aangegeven met \operatornaam(rg)A.

Voorbeeld 3.5. Vind alle basisminoren en matrixrang

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Oplossing. Alle minoren van de derde orde van deze matrix zijn gelijk aan nul, aangezien deze determinanten een derde rij nul hebben. Daarom kan alleen een minor van de tweede orde die zich in de eerste twee rijen van de matrix bevindt, basisch zijn. Als we zes mogelijke minors doorlopen, selecteren we niet-nul

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Elk van deze vijf minoren is een basisminor. Daarom is de rangorde van de matrix 2.

Opmerkingen 3.2

1. Als in een matrix alle minors van de k-de orde gelijk zijn aan nul, dan zijn minors van hogere orde ook gelijk aan nul. Als we de minor van de (k+1)-ro-orde over een willekeurige rij uitbreiden, verkrijgen we de som van de producten van de elementen van deze rij door de minoren van de k-de orde, en deze zijn gelijk aan nul.

2. De rang van een matrix is ​​gelijk aan de hoogste orde van de niet-nul minor van deze matrix.

3. Als een vierkante matrix niet-singulier is, is de rangorde gelijk aan de volgorde ervan. Als een vierkante matrix enkelvoud is, is de rangorde lager dan de volgorde.

4. Benamingen worden ook gebruikt voor rang \operatornaam(Rg)A,~ \operatornaam(rang)A,~ \operatornaam(rang)A.

5. Blokmatrixrang wordt gedefinieerd als de rangorde van een reguliere (numerieke) matrix, d.w.z. ongeacht de blokstructuur. In dit geval is de rangorde van een blokmatrix niet minder dan de rangorde van zijn blokken: \operatornaam(rg)(A\mid B)\geqslant\operatornaam(rg)A En \operatornaam(rg)(A\mid B)\geqslant\operatornaam(rg)B, aangezien alle minoren van de matrix A (of B ) ook minoren zijn van de blokmatrix (A\mid B) .

Stellingen over de basis minor en de rangorde van de matrix

Laten we de belangrijkste stellingen bekijken die de eigenschappen van lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van kolommen (rijen) van een matrix uitdrukken.

Stelling 3.1 over de basis minor. In een willekeurige matrix A is elke kolom (rij) een lineaire combinatie van de kolommen (rijen) waarin de basisminor zich bevindt.

Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat in een matrix A met een grootte m\maal n de basismineur zich in de eerste r rijen en eerste r kolommen bevindt. Denk eens aan de bepalende factor

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

die wordt verkregen door de overeenkomstige elementen van de s-de rij en k-de kolom toe te wijzen aan de basismineur van de matrix A. Houd er rekening mee dat voor elk 1\leqschuin s\leqschuin m en deze determinant is gelijk aan nul. Als s\leqslant r of k\leqslant r , dan bevat de determinant D twee identieke rijen of twee identieke kolommen. Als s>r en k>r, dan is de determinant D gelijk aan nul, aangezien deze een minor is van de orde (r+l)-ro. Als we de determinant langs de laatste regel uitbreiden, krijgen we

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

waarbij D_(r+1\,j) de algebraïsche complementen zijn van de elementen van de laatste rij. Merk op dat D_(r+1\,r+1)\ne0 aangezien dit een basis minor is. Daarom

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Waar \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Als we de laatste gelijkheid voor s=1,2,\ldots,m schrijven, krijgen we

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

die. k-de kolom (voor elke 1\leqschuin k\leqschuin n) is een lineaire combinatie van de kolommen van de basismineur, wat we moesten bewijzen.

De basis kleine stelling dient om de volgende belangrijke stellingen te bewijzen.

Voorwaarde dat de determinant nul is

Stelling 3.2 (noodzakelijke en voldoende voorwaarde dat de determinant nul is). Om ervoor te zorgen dat een determinant gelijk is aan nul, is het noodzakelijk en voldoende dat een van zijn kolommen (een van zijn rijen) een lineaire combinatie is van de overige kolommen (rijen).

De noodzaak volgt inderdaad uit de kleine basisstelling. Als de determinant van een vierkante matrix van orde n gelijk is aan nul, dan is de rangorde ervan kleiner dan n, d.w.z. minimaal één kolom is niet opgenomen in de basisminor. Dan is deze gekozen kolom, volgens Stelling 3.1, een lineaire combinatie van de kolommen waarin de basisminor zich bevindt. Door, indien nodig, aan deze combinatie andere kolommen met nulcoëfficiënten toe te voegen, verkrijgen we dat de geselecteerde kolom een ​​lineaire combinatie is van de overige kolommen van de matrix. Toereikendheid volgt uit de eigenschappen van de determinant. Als bijvoorbeeld de laatste kolom A_n van de determinant \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineair uitgedrukt door de rest

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

vervolgens toevoegen aan A_n kolom A_1 vermenigvuldigd met (-\lambda_1), en vervolgens kolom A_2 vermenigvuldigd met (-\lambda_2), enz. kolom A_(n-1) vermenigvuldigd met (-\lambda_(n-1)) krijgen we de determinant \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) met een nulkolom die gelijk is aan nul (eigenschap 2 van de determinant).

Invariantie van matrixrang onder elementaire transformaties

Stelling 3.3 (over de invariantie van rang onder elementaire transformaties). Tijdens elementaire transformaties van de kolommen (rijen) van een matrix verandert de rangorde niet.

Laat het inderdaad zo zijn. Laten we aannemen dat we als resultaat van één elementaire transformatie van de kolommen van matrix A matrix A hebben verkregen. Als een transformatie van type I werd uitgevoerd (permutatie van twee kolommen), dan zou elke kleine (r+l)-ro van de orde van matrix A" is ofwel gelijk aan de overeenkomstige kleine (r+l)-ro van de orde van matrix A, ofwel verschilt ervan in teken (eigenschap 3 van de determinant). Als er een type II-transformatie werd uitgevoerd (waarbij de kolom wordt vermenigvuldigd met het getal \lambda\ne0 ), dan is elke kleine (r+l)-ro van de orde van de matrix A" gelijk aan de overeenkomstige kleine (r+l) -ro van de volgorde van matrix A of een andere factor \lambda\ne0 (eigenschap 6 van de determinant). Als een type III-transformatie werd uitgevoerd (aan de ene kolom een ​​andere kolom toevoegen vermenigvuldigd met het getal \Lambda), dan is elke minor van de (r+1)de orde van de matrix A" is ofwel gelijk aan de overeenkomstige minor. (r+1)-de orde van de matrix A (eigenschap 9 van de determinant), ofwel is gelijk aan de som van twee minoren (r+l)-ro van de orde van matrix A (eigenschap 8 van de determinant). Daarom zijn onder een elementaire transformatie van welk type dan ook, alle minors (r+l)-ro van de orde van matrix A" gelijk aan nul, aangezien alle minors (r+l)-ro van de orde van matrix A gelijk zijn aan nul. gelijk aan nul Het is dus bewezen dat onder elementaire transformaties van kolommen de rangmatrix niet kan toenemen. Omdat transformaties die omgekeerd zijn aan elementaire transformaties elementair zijn, kan de rang van de matrix niet afnemen onder elementaire transformaties van de kolommen, dat wil zeggen dat deze op dezelfde manier is. bewees dat de rangorde van de matrix niet verandert onder elementaire transformaties van de rijen.

Gevolg 1. Als één rij (kolom) van een matrix een lineaire combinatie is van de andere rijen (kolommen), dan kan deze rij (kolom) uit de matrix worden verwijderd zonder de rangorde ervan te veranderen.

Zo'n string kan inderdaad nul worden gemaakt met behulp van elementaire transformaties, en een nulstring kan niet worden opgenomen in de basis-minor.

Gevolg 2. Als de matrix wordt teruggebracht tot de eenvoudigste vorm (1.7), dan

\operatornaam(rg)A=\operatornaam(rg)\Lambda=r\,.

De matrix van de eenvoudigste vorm (1.7) heeft inderdaad een basismineur van de r-de orde.

Gevolg 3. Elke niet-singuliere vierkante matrix is ​​elementair, met andere woorden, elke niet-singuliere vierkante matrix is ​​gelijkwaardig aan een identiteitsmatrix van dezelfde orde.

Als A een niet-singuliere vierkante matrix van de n-de orde is, dan \operatornaam(rg)A=n(zie paragraaf 3 van commentaar 3.2). Door de matrix A door elementaire transformaties naar de eenvoudigste vorm (1.7) te brengen, verkrijgen we daarom de identiteitsmatrix \Lambda=E_n , aangezien \operatornaam(rg)A=\operatornaam(rg)\Lambda=n(zie Gevolg 2). Daarom is matrix A equivalent aan de identiteitsmatrix E_n en kan daaruit worden verkregen als resultaat van een eindig aantal elementaire transformaties. Dit betekent dat matrix A elementair is.

Stelling 3.4 (over de rangorde van de matrix). De rangorde van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen van deze matrix.

Sterker nog, laat \operatornaam(rg)A=r. Dan heeft de matrix A r lineair onafhankelijke rijen. Dit zijn de lijnen waarin de basismineur zich bevindt. Als ze lineair afhankelijk zouden zijn, zou deze minor volgens Stelling 3.2 gelijk zijn aan nul, en zou de rangorde van de matrix A niet gelijk zijn aan r. Laten we laten zien dat r het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen is, d.w.z. alle p-rijen zijn lineair afhankelijk voor p>r. Uit deze p-rijen vormen we inderdaad de matrix B. Omdat matrix B deel uitmaakt van matrix A, dus \operatornaam(rg)B\leqslant \operatornaam(rg)A=r

Dit betekent dat minimaal één rij uit matrix B niet is opgenomen in de basisminor van deze matrix. Vervolgens is het volgens de basismineurstelling gelijk aan een lineaire combinatie van de rijen waarin de basisminor zich bevindt. Daarom zijn de rijen van matrix B lineair afhankelijk. De matrix A heeft dus maximaal r lineair onafhankelijke rijen.

Gevolg 1. Het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen in een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke kolommen:

\operatornaam(rg)A=\operatornaam(rg)A^T.

Deze stelling volgt uit Stelling 3.4 als we deze toepassen op de rijen van een getransponeerde matrix en er rekening mee houden dat de minderjarigen niet veranderen tijdens de transpositie (eigenschap 1 van de determinant).

Gevolg 2. Tijdens elementaire transformaties van de rijen van een matrix blijft de lineaire afhankelijkheid (of lineaire onafhankelijkheid) van elk systeem van kolommen van deze matrix behouden.

Laten we in feite willekeurige k kolommen van een gegeven matrix A kiezen en daaruit de matrix B samenstellen. Stel dat de matrix A" wordt verkregen als resultaat van elementaire transformaties van de rijen van matrix A, en dat matrix B" wordt verkregen als resultaat van dezelfde transformaties van de rijen van matrix B. Volgens Stelling 3.3 \operatornaam(rg)B"=\operatornaam(rg)B. Daarom, als de kolommen van matrix B lineair onafhankelijk zouden zijn, d.w.z. k=\operatornaam(rg)B(zie Gevolg 1), dan zijn de kolommen van de matrix B" ook lineair onafhankelijk, aangezien k=\operatornaam(rg)B". Als de kolommen van matrix B lineair afhankelijk waren (k>\operatornaam(rg)B), dan zijn de kolommen van matrix B" ook lineair afhankelijk (k>\operatornaam(rg)B"). Bijgevolg blijft voor alle kolommen van matrix A de lineaire afhankelijkheid of lineaire onafhankelijkheid behouden onder elementaire rijtransformaties.

Opmerkingen 3.3

1. Volgens Gevolg 1 van Stelling 3.4 geldt de eigenschap van kolommen aangegeven in Gevolg 2 ook voor elk systeem van matrixrijen als elementaire transformaties alleen op de kolommen ervan worden uitgevoerd.

2. Gevolg 3 van Stelling 3.3 kan als volgt worden verfijnd: elke niet-singuliere vierkante matrix, die elementaire transformaties van alleen de rijen (of alleen de kolommen) gebruikt, kan worden gereduceerd tot een identiteitsmatrix van dezelfde orde.

Door alleen elementaire rijtransformaties te gebruiken, kan elke matrix A in feite worden gereduceerd tot de vereenvoudigde vorm \Lambda (Fig. 1.5) (zie Stelling 1.1). Omdat de matrix A niet-singulier is (\det(A)\ne0), zijn de kolommen ervan lineair onafhankelijk. Dit betekent dat de kolommen van de matrix \Lambda ook lineair onafhankelijk zijn (Gevolg 2 van Stelling 3.4). Daarom valt de vereenvoudigde vorm \Lambda van een niet-singuliere matrix A samen met zijn eenvoudigste vorm (Fig. 1.6) en is de identiteitsmatrix \Lambda=E (zie Gevolg 3 van Stelling 3.3). Door alleen de rijen van een niet-singuliere matrix te transformeren, kan deze dus worden gereduceerd tot de identiteitsmatrix. Een soortgelijke redenering geldt voor elementaire transformaties van de kolommen van een niet-singuliere matrix.

Rang van product en som van matrices

Stelling 3.5 (over de rangorde van het product van matrices). De rangorde van het product van matrices overschrijdt de rangorde van factoren niet:

\operatornaam(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatornaam(rg)A,\operatornaam(rg)B\).

Stel dat matrices A en B de afmetingen m\times p en p\times n hebben. Laten we aan matrix A de matrix toekennen C=AB\dubbele\,(A\midden C). Natuurlijk \operatornaam(rg)C\leqslant\operatornaam(rg)(A\mid C), aangezien C deel uitmaakt van de matrix (A\mid C) (zie paragraaf 5 van opmerking 3.2). Merk op dat elke kolom C_j, volgens deg, een lineaire combinatie van kolommen is A_1,A_2,\ldots,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Zo'n kolom kan uit de matrix (A\mid C) worden verwijderd zonder de rangorde ervan te veranderen (Gevolg 1 van Stelling 3.3). Als we alle kolommen van matrix C doorstrepen, krijgen we: \operatornaam(rg)(A\mid C)=\operatornaam(rg)A. Vanaf hier, \operatornaam(rg)C\leqslant\operatornaam(rg)(A\mid C)=\operatornaam(rg)A. Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat tegelijkertijd aan de voorwaarde is voldaan \operatornaam(rg)C\leqslant\operatornaam(rg)B, en trek een conclusie over de geldigheid van de stelling.

Gevolg. Als A is dus een niet-singuliere vierkante matrix En \operatornaam(rg)(AB)= \operatornaam(rg)B, d.w.z. de rangorde van een matrix verandert niet wanneer deze van links of rechts wordt vermenigvuldigd met een niet-singuliere vierkante matrix.

Stelling 3.6 over de rangorde van sommen van matrices. De rangorde van de som van de matrices overschrijdt niet de som van de rangschikkingen van de termen:

\operatornaam(rg)(A+B)\leqslant \operatornaam(rg)A+\operatornaam(rg)B.

Laten we inderdaad een matrix maken (A+B\midden A\midden B). Merk op dat elke kolom van matrix A+B een lineaire combinatie is van kolommen van matrices A en B. Daarom \operatornaam(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatornaam(rg)(A\mid B). Gezien het feit dat het aantal lineair onafhankelijke kolommen in de matrix (A\mid B) niet groter is dan \operatornaam(rg)A+\operatornaam(rg)B,A \operatornaam(rg)(A+B)\leqslant \operatornaam(rg)(A+B\mid A\mid B)(zie sectie 5 van Opmerking 3.2), verkrijgen we dat de ongelijkheid wordt bewezen.