Correlatie – wiskundige bewerking Met , vergelijkbaar met convolutie, kunt u uit twee signalen een derde signaal verkrijgen. Het gebeurt: autocorrelatie ( autocorrelatie functie), kruiscorrelatie (kruiscorrelatiefunctie, kruiscorrelatiefunctie). Voorbeeld:

[Kruiscorrelatiefunctie]

[Autocorrelatiefunctie]

Correlatie is een techniek voor het detecteren van eerder bekende signalen tegen een achtergrond van ruis, ook wel optimale filtering genoemd. Hoewel correlatie sterk lijkt op convolutie, worden ze anders berekend. Hun toepassingsgebieden zijn ook verschillend (c(t)=a(t)*b(t) - convolutie van twee functies, d(t)=a(t)*b(-t) - kruiscorrelatie).

Correlatie is hetzelfde als convolutie, slechts één van de signalen wordt van links naar rechts omgekeerd. Autocorrelatie (autocorrelatiefunctie) karakteriseert de mate van verbinding tussen een signaal en zijn kopie, verschoven met τ. De kruiscorrelatiefunctie karakteriseert de mate van verbinding tussen 2 verschillende signalen.

Eigenschappen van de autocorrelatiefunctie:

• 1) R(τ)=R(-τ). De functie R(τ) is even.
• 2) Als x(t) een sinusoïdale functie van de tijd is, dan is de autocorrelatiefunctie ervan een cosinusfunctie met dezelfde frequentie. Informatie over de beginfase gaat verloren. Als x(t)=A*sin(ωt+φ), dan is R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) De autocorrelatiefunctie en het vermogensspectrum zijn gerelateerd door de Fourier-transformatie.
• 4) Als x(t) een periodieke functie is, dan kan R(τ) daarvoor worden weergegeven als de som van autocorrelatiefuncties van een constante component en van een sinusoïdaal variërende component.
• 5) De R(τ)-functie bevat geen informatie over de beginfasen van de harmonische componenten van het signaal.
• 6) Voor een willekeurige functie van de tijd neemt R(τ) snel af met toenemende τ. Het tijdsinterval waarna R(τ) gelijk wordt aan 0 wordt het autocorrelatie-interval genoemd.
• 7) Een gegeven x(t) komt overeen met een goed gedefinieerde R(τ), maar voor dezelfde R(τ) kunnen verschillende functies x(t) corresponderen

Origineel signaal met ruis:

Autocorrelatiefunctie van het originele signaal:

Eigenschappen van de kruiscorrelatiefunctie (MCF):

• 1) VKF is noch een even noch een oneven functie, d.w.z. R xy (τ) is niet gelijk aan R xy (-τ).
• 2) De VCF blijft ongewijzigd wanneer de afwisseling van functies verandert en het teken van het argument verandert, d.w.z. Rxy(τ)=Rxy(-τ).
• 3) Als willekeurige functies x(t) en y(t) geen constante componenten bevatten en worden gemaakt onafhankelijke bronnen, dan neigt R xy (τ) voor hen naar 0. Dergelijke functies worden niet-gecorreleerd genoemd.

Origineel signaal met ruis:

Blokgolf met dezelfde frequentie:

Correlatie van het oorspronkelijke signaal en de meander:

Aandacht! Elke elektronische dictaat is het intellectuele eigendom van de auteur en wordt uitsluitend ter informatie op de website gepubliceerd.

In de vroege stadia van de ontwikkeling van radiotechniek was de kwestie van kiezen een kwestie van kiezen beste signalen voor bepaalde specifieke toepassingen was niet erg scherp. Dit was enerzijds te danken aan de relatief eenvoudige structuur van de verzonden berichten (telegraafpakketten, radio-uitzendingen); anderzijds, praktische uitvoering signalen van complexe vormen in combinatie met apparatuur om deze te coderen, moduleren en weer om te zetten in een boodschap bleken lastig te implementeren.

Momenteel is de situatie radicaal veranderd. In moderne radio-elektronische complexen de keuze van signalen wordt in de eerste plaats niet bepaald door het technische gemak van het genereren, converteren en ontvangen ervan, maar door de mogelijkheid om problemen waarin het ontwerp van het systeem voorziet optimaal op te lossen. Om te begrijpen hoe de behoefte aan signalen met speciaal geselecteerde eigenschappen ontstaat, kunt u het volgende voorbeeld overwegen.

Vergelijking van tijdverschoven signalen.

Laten we eens kijken naar het vereenvoudigde idee van de werking van een pulsradar, ontworpen om de afstand tot een nummer te meten. Hier is informatie over het meetobject vervat in de waarde: de tijdsvertraging tussen het sonderen en ontvangen signalen. De vormen van de indringende en ontvangen signalen zijn voor elke vertraging hetzelfde.

Het blokschema van een radarsignaalverwerkingsapparaat bedoeld voor afstandsmeting kan er uitzien zoals weergegeven in figuur 2. 3.3.

Het systeem bestaat uit een reeks elementen die het verzonden ‘referentie’-signaal gedurende bepaalde vaste perioden vertragen

Rijst. 3.3. Apparaat voor het meten van de signaalvertragingstijd

De vertraagde signalen worden samen met het ontvangen signaal naar vergelijkingsapparaten gevoerd, die volgens het principe werken: het uitgangssignaal verschijnt alleen als beide ingangsoscillaties “kopieën” van elkaar zijn. Als u het nummer kent van het kanaal waarin de gespecificeerde gebeurtenis plaatsvindt, kunt u de vertraging meten, en daarmee het bereik tot het doel.

Zo'n apparaat zal des te nauwkeuriger werken, hoe meer het signaal en de "kopie", verschoven in de tijd, van elkaar verschillen.

Zo hebben we een kwalitatief ‘idee’ gekregen van welke signalen als ‘goed’ kunnen worden beschouwd voor een bepaalde toepassing.

Laten we verder gaan met de exacte wiskundige formulering van het gestelde probleem en laten zien dat deze reeks problemen rechtstreeks verband houdt met de theorie van de energiespectra van signalen.

Autocorrelatiefunctie van het signaal.

Om de mate van verschil tussen een signaal en zijn in de tijd verschoven kopie te kwantificeren, is het gebruikelijk om een ​​autocorrelatiefunctie (ACF) van het signaal te introduceren die gelijk is aan het scalaire product van het signaal en de kopie:

In wat volgt zullen we aannemen dat het onderzochte signaal een gepulseerd karakter heeft, gelokaliseerd in de tijd, zodat er zeker een integraal van de vorm (3.15) bestaat.

Het is meteen duidelijk dat wanneer de autocorrelatiefunctie gelijk wordt aan de signaalenergie:

Een van de eenvoudigste eigenschappen van een ACF is de pariteit:

Als we variabelen in de integraal (3.15) veranderen, dan

Tenslotte is een belangrijke eigenschap van de autocorrelatiefunctie de volgende: voor elke waarde van de tijdverschuiving overschrijdt de ACF-modulus de signaalenergie niet:

Dit feit volgt rechtstreeks uit de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid (zie hoofdstuk 1):

De ACF wordt dus weergegeven door een symmetrische curve met een centraal maximum, dat altijd positief is. Bovendien kan de autocorrelatiefunctie, afhankelijk van het type signaal, een monotoon afnemend of oscillerend karakter hebben.

Voorbeeld 3.3. Zoek de ACF van een rechthoekige videopuls.

In afb. 3.4a toont een rechthoekige videopuls met amplitude U en duur. De “kopie” ervan wordt hier ook weergegeven, in de tijd verschoven in de richting van de vertraging met . Integraal (3.15) wordt in dit geval eenvoudigweg berekend op basis van een grafische constructie. Het product en en is alleen niet nul binnen het tijdsinterval waarin signalen elkaar overlappen. Vanaf afb. 3.4 is duidelijk dat dit tijdsinterval gelijk is als de verschuiving de pulsduur niet overschrijdt. Dus voor het signaal in kwestie

De grafiek van een dergelijke functie is de driehoek in figuur 1. 3.4, b. De breedte van de basis van de driehoek is tweemaal de duur van de puls.

Rijst. 3.4. Het vinden van de ACF van een rechthoekige videopuls

Voorbeeld 3.4. Zoek de ACF van een rechthoekige radiopuls.

We zullen een radiosignaal van de vorm overwegen

Omdat we van tevoren weten dat de ACF even is, berekenen we de integraal (3,15), instelling . Tegelijkertijd

waar we makkelijk komen

Uiteraard wanneer de waarde gelijk wordt aan de energie van deze puls (zie voorbeeld 1.9). Formule (3.21) beschrijft de ACF van een rechthoekige radiopuls voor alle verschuivingen die daarbinnen liggen. Als de absolute waarde van de verschuiving de pulsduur overschrijdt, verdwijnt de autocorrelatiefunctie op identieke wijze.

Voorbeeld 3.5. Bepaal de ACF van een reeks rechthoekige videopulsen.

Bij radar worden op grote schaal signalen gebruikt, dit zijn pakketten pulsen van dezelfde vorm die elkaar met hetzelfde tijdsinterval volgen. Om een ​​dergelijke burst te detecteren en om de parameters ervan te meten, bijvoorbeeld de positie in de tijd, worden apparaten gemaakt die hardware-algoritmen implementeren voor het berekenen van de ACF.

Rijst. 3.5. ACF van een pakket van drie identieke videopulsen: a - pakket pulsen; b - ACF-grafiek

In afb. 3.5c toont een pakket bestaande uit drie identieke rechthoekige videopulsen. De autocorrelatiefunctie ervan, berekend met formule (3.15), wordt hier ook weergegeven (Fig. 3.5, b).

Het is duidelijk te zien dat de maximale ACF wordt bereikt bij. Als de vertraging echter een veelvoud is van de sequentieperiode (in ons geval), worden zijlobben van de ACF waargenomen, vergelijkbaar in hoogte met de hoofdlob. Daarom kunnen we praten over een zekere imperfectie van de correlatiestructuur van dit signaal.

Autocorrelatiefunctie van een oneindig uitgebreid signaal.

Als het nodig is om periodieke reeksen van onbeperkte tijdsduur te overwegen, moet de benadering voor het bestuderen van de correlatie-eigenschappen van signalen enigszins worden aangepast.

We zullen aannemen dat een dergelijke reeks wordt verkregen uit een tijdgelokaliseerd, dat wil zeggen gepulseerd signaal, wanneer de duur van dit laatste naar oneindig neigt. Om divergentie van de resulterende uitdrukkingen te voorkomen, definiëren we de ionische ACF als de gemiddelde waarde van het scalaire product van het signaal en zijn kopie:

Met deze benadering wordt de autocorrelatiefunctie gelijk aan het gemiddelde wederzijdse vermogen van deze twee signalen.

Als u bijvoorbeeld de ACF wilt vinden voor een cosinusgolf met een onbeperkte tijdsduur, kunt u formule (3.21) gebruiken die is verkregen voor een radiopuls met een duur en vervolgens naar de limiet gaan wanneer u rekening houdt met definitie (3.22). Als resultaat krijgen we

Deze ACF is zelf een periodieke functie; de waarde ervan is gelijk aan

Relatie tussen het energiespectrum van een signaal en zijn autocorrelatiefunctie.

Bij het bestuderen van het materiaal in dit hoofdstuk kan de lezer denken dat de methoden correlatie analyse fungeren als een aantal speciale technieken die geen verband houden met de principes van spectrale ontbindingen. Dit is echter niet waar. Het is gemakkelijk aan te tonen dat er een nauw verband bestaat tussen de ACF en het energiespectrum van het signaal.

In overeenstemming met formule (3.15) is de ACF inderdaad een scalair product: hier geeft het symbool een in de tijd verschoven kopie van het signaal aan, en

Als we ons wenden tot de gegeneraliseerde Rayleigh-formule (2.42), kunnen we de gelijkheid schrijven

Spectrale dichtheid van in de tijd verschoven signaal

Zo komen we tot het resultaat:

Het kwadraat van de spectrale dichtheidsmodulus vertegenwoordigt, zoals bekend, het energiespectrum van het signaal. Het energiespectrum en de autocorrelatiefunctie zijn dus gerelateerd door de Fourier-transformatie:

Het is duidelijk dat er ook een omgekeerd verband bestaat:

Deze resultaten zijn om twee redenen van fundamenteel belang. Ten eerste blijkt het mogelijk om de correlatie-eigenschappen van signalen te evalueren op basis van de verdeling van hun energie over het spectrum. Hoe breder de signaalfrequentieband, hoe smaller de hoofdlob van de autocorrelatiefunctie en hoe perfecter het signaal qua mogelijkheden nauwkeurige meting het moment dat het begon.

Ten tweede geven formules (3.24) en (3.26) de manier aan om experimenteel het energiespectrum te bepalen. Het is vaak handiger om eerst de autocorrelatiefunctie te verkrijgen en vervolgens, met behulp van de Fourier-transformatie, het energiespectrum van het signaal te vinden. Deze techniek is wijdverbreid geworden bij het bestuderen van de eigenschappen van signalen met behulp van snelle computers in realtime.

Hieruit volgt dat het correlatie-interval

kleiner blijkt te zijn, hoe hoger de bovengrensfrequentie van het signaalspectrum.

Beperkingen opgelegd aan de vorm van de autocorrelatiefunctie van het signaal.

Het gevonden verband tussen de autocorrelatiefunctie en het energiespectrum maakt het mogelijk een interessant en op het eerste gezicht niet voor de hand liggend criterium vast te stellen voor het bestaan ​​van een signaal met gegeven correlatie-eigenschappen. Het feit is dat het energiespectrum van elk signaal per definitie positief moet zijn [zie. formule (3.25)]. Aan deze voorwaarde zal bij geen enkele ACF-keuze worden voldaan. Als we bijvoorbeeld nemen

en bereken vervolgens de overeenkomstige Fourier-transformatie

Deze afwisselende functie kan niet het energiespectrum van welk signaal dan ook vertegenwoordigen.

Kruiscorrelatiefunctie (VKF) verschillende signalen(kruiscorrelatiefunctie, CCF) beschrijft zowel de mate van gelijkenis in de vorm van twee signalen als hun relatieve locatie ten opzichte van elkaar langs de coördinaat (onafhankelijke variabele). Door formule (6.1.1) van de autocorrelatiefunctie te generaliseren naar twee verschillende signalen s(t) en u(t), verkrijgen we het volgende scalaire product van de signalen:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

Kruiscorrelatie van signalen karakteriseert een bepaalde correlatie van verschijnselen en fysieke processen die door deze signalen worden weerspiegeld, en kan dienen als maatstaf voor de “stabiliteit” van deze relatie wanneer signalen afzonderlijk in verschillende apparaten worden verwerkt. Voor signalen met eindige energie is de VCF ook eindig, en:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

die volgt uit de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid en de onafhankelijkheid van de signaalnormen van de coördinatenverschuiving.

Wanneer we de variabele t = t- in formule (6.2.1) vervangen, verkrijgen we:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B ons (-).

Hieruit volgt dat niet aan de pariteitsvoorwaarde is voldaan voor de VCF, B su ()  B su (-), en dat de waarden van de VCF geen maximum hoeven te hebben op  = 0.

Rijst. 6.2.1. Signalen en VKF.

Dit is duidelijk te zien in Fig. 6.2.1, waar twee identieke signalen worden gegeven met middelpunten op de punten 0,5 en 1,5. Berekening volgens formule (6.2.1) met een geleidelijke toename van de waarden van  betekent opeenvolgende verschuivingen van het signaal s2(t) naar links langs de tijdas (voor elke waarde van s1(t) zijn de waarden ​​s2(t+) worden genomen voor de integrandvermenigvuldiging). Wanneer =0 zijn de signalen orthogonaal en is de waarde van B 12 ()=0. Er wordt maximaal B 12 () waargenomen als het signaal s2(t) met de waarde =1 naar links wordt verschoven, waarbij de signalen s1(t) en s2(t+) volledig worden gecombineerd.

Dezelfde waarden van de CCF volgens formules (6.2.1) en (6.2.1") worden waargenomen op dezelfde relatieve positie van de signalen: wanneer het signaal u(t) wordt verschoven met een interval  ten opzichte van s (t) naar rechts langs de ordinaat en signaal s(t) ten opzichte van signaal u(t) naar links, d.w.z. B su () = B us (-

Rijst. 6.2.2. Wederzijdse covariantiefuncties van signalen.

In afb. 6.2.2 toont voorbeelden van CCF voor een rechthoekig signaal s(t) en twee identieke driehoekige signalen u(t) en v(t). Alle signalen hebben dezelfde duur T, terwijl het signaal v(t) over het interval T/2 naar voren wordt geschoven.

De signalen s(t) en u(t) zijn qua tijdslocatie identiek en het “overlap”-gebied van de signalen is maximaal bij =0, wat wordt vastgelegd door de functie B su . Tegelijkertijd is de functie B su sterk asymmetrisch, omdat bij een asymmetrische signaalvorm u(t) voor een symmetrische vorm s(t) (ten opzichte van het midden van de signalen) het “overlap”-gebied van de signalen veranderen anders afhankelijk van de richting van de verschuiving (het teken van  naarmate de waarde  toeneemt vanaf nul). Wanneer gecompenseerd uitgangspositie signaal u(t) naar links langs de ordinaat (vóór het signaal s(t) - signaal v(t)), de vorm van de CCF blijft ongewijzigd en verschuift naar rechts met dezelfde verschuivingswaarde - functie B sv in afb. 6.2.2. Als we de functie-expressies in (6.2.1) omwisselen, dan nieuwe functie B vs zal een functie B sv zijn, gespiegeld ten opzichte van =0.

Rekening houdend met deze kenmerken wordt de totale CCF in de regel afzonderlijk berekend voor positieve en negatieve vertragingen:

B su () = s(t) u(t+) dt. B ons () = u(t) s(t+) dt. (6,2,1")

Kruiscorrelatie van luidruchtige signalen . Voor twee signalen met ruis u(t) = s1(t)+q1(t) en v(t) = s2(t)+q2(t), met behulp van de techniek van het afleiden van formules (6.1.13) met vervanging van de kopie van het signaal s(t ) met het signaal s2(t), is het eenvoudig om de kruiscorrelatieformule in de volgende vorm af te leiden:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 ().

(6.2.2) De laatste drie termen aan de rechterkant van (6.2.2) vervallen naar nul naarmate  toeneemt. Bij grote intervallen

signaaltoewijzingsexpressie kan in de volgende vorm worden geschreven:
+
+
. (6.2.3)

B uv () = B s 1 s 2 () +

Bij nulgemiddelde ruiswaarden en statistische onafhankelijkheid van signalen gebeurt het volgende:

B uv () → B s 1 s 2 (). VKF. discrete signalen Alle eigendommen van VKF analoge signalen

zijn ook geldig voor de CCF van discrete signalen, terwijl de kenmerken van discrete signalen die hierboven zijn beschreven voor discrete ACF ook daarvoor gelden (formules 6.1.9-6.1.12). In het bijzonder met t ​​= const =1 voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K:
Bxy(n) =

x k y k-n .

zijn ook geldig voor de CCF van discrete signalen, terwijl de kenmerken van discrete signalen die hierboven zijn beschreven voor discrete ACF ook daarvoor gelden (formules 6.1.9-6.1.12). In het bijzonder met t ​​= const =1 voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K: (6.2.4)
. (6.2.5)

Wanneer genormaliseerd in krachteenheden: x k y k-n  Cijfer periodieke signalen

in het lawaai . Een signaal met ruis kan worden geschat door kruiscorrelatie met het “referentie”-signaal met behulp van vallen en opstaan, waarbij de kruiscorrelatiefunctie op de maximale waarde wordt aangepast.

Voor een signaal u(k)=s(k)+q(k) met statistische onafhankelijkheid van ruis en .

→ 0 de kruiscorrelatiefunctie (6.2.2) met het signaalpatroon p(k) bij q2(k)=0 heeft de vorm: → 0 naarmate N toeneemt, dan B omhoog (k) → B sp (k). Het is duidelijk dat de functie Bup (k) een maximum zal hebben als p(k) = s(k). Door de vorm van het sjabloon p(k) te veranderen en de functie Bup (k) te maximaliseren, kan men een schatting van s(k) verkrijgen in de vorm van de optimale vorm p(k).

Kruiscorrelatiecoëfficiëntfunctie (VKF) is een kwantitatieve indicator van de mate van gelijkenis van de signalen s(t) en u(t). Vergelijkbaar met de functie van autocorrelatiecoëfficiënten, wordt deze berekend via de gecentreerde waarden van de functies (om de kruiscovariantie te berekenen is het voldoende om slechts één van de functies te centreren), en wordt deze genormaliseerd naar het product van de waarden van de standaardfuncties s(t) en v(t):

 su () = C su ()/ s  v .

(6.2.6)

Het interval voor het wijzigen van de waarden van correlatiecoëfficiënten met verschuivingen  kan variëren van –1 (volledige omgekeerde correlatie) tot 1 (volledige gelijkenis of honderd procent correlatie). Bij verschuivingen , waarbij nulwaarden van  su () worden waargenomen, zijn de signalen onafhankelijk van elkaar (niet gecorreleerd). Met de kruiscorrelatiecoëfficiënt kunt u de aanwezigheid van een verband tussen signalen vaststellen, ongeacht de fysieke eigenschappen van de signalen en hun grootte.

Bij het berekenen van de CCF van discrete signalen met ruis van beperkte lengte met behulp van formule (6.2.4), bestaat de kans op het verschijnen van waarden  su (n)| > 1.

Voor periodieke signalen wordt het concept van CCF meestal niet toegepast, behalve voor signalen met dezelfde periode, bijvoorbeeld ingangs- en uitgangssignalen bij het bestuderen van de kenmerken van systemen. De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd T De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd En

+t, waarbij t de vertraging is. Vervolgens wordt de statistische relatie tussen fading gegeven door de correlatiefunctie, die als volgt wordt gedefinieerd. De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd Laten we aannemen dat het beschouwde proces stationair is. Dit betekent dat de statistische parameters, zoals gemiddelde, variantie en kruiscorrelatie, niet afhankelijk zijn van de tijd

. Voor het smalbandproces (2.3.37) verkrijgen we de correlatiefunctie in de vorm

Laten we de correlatiefuncties van kwadratuursignalen introduceren:

Nu transformeren we uitdrukking (2.3.61) naar de vorm

(2.3.64)

Voor verdere transformatie (2.3.63) zullen we trigonometrische relaties gebruiken.

Omdat het proces stationair is, mag de correlatiefunctie niet afhankelijk zijn van de tijd. Aan deze eis kan worden voldaan als de tweede en vierde term in (2.3.65) gelijk zijn aan nul, wat op zijn beurt mogelijk is als de correlatiefuncties van de kwadratuursignalen aan de volgende relaties voldoen:

De correlatiefunctie van een stationair normaal smalbandsignaal is dus gelijk aan

Laten we aantonen dat de correlatiefunctie een oneven functie is van t. Hierbij houden wij er rekening mee

Laten we (2.3.68) vervangen door de tweede formule in (2.3.66) en dat vinden

. (2.3.69)

De kruiscorrelatiefunctie van de kwadratuursignalen is dus vreemd. Hieruit volgt een belangrijk resultaat: op hetzelfde moment zijn de kwadratuursignalen dus niet gecorreleerd .

Laten we nu de correlatie van de complexe amplitude bekijken

Door de definitie van de correlatiefunctie kunnen we dat schrijven

. (2.3.71)

De functie is complex en heeft de eigenschap van symmetrie, d.w.z.

. (2.3.72)

Laten we (2.3.70) vervangen door (2.3.71) en rekening houden met (2.3.62). Vervolgens neemt (2.3.71) de vorm aan

Als we rekening houden met (2.3.66), dan is deze formule aanzienlijk vereenvoudigd:

De correlatiefunctie (2.3.67) van een smalbandsignaal en de correlatiefunctie (2.3.74) van zijn complexe amplitude zijn met elkaar verbonden. Dit verband blijkt gemakkelijk uit een vergelijking van (2.3.67) en (2.3.74). Als gevolg hiervan zullen we hebben

De correlatie-eigenschappen van een signaal hangen nauw samen met het signaal spectrale eigenschappen. In het bijzonder wordt de spectrale vermogensdichtheid gevonden met behulp van de Fourier-transformatie van de correlatiefunctie en is gelijk aan

. (2.3.76)

Laten we laten zien dat dit een echte functie is, terwijl de correlatiefunctie complex is. Om dit te doen nemen we het complexe conjugaat uit uitdrukking (2.3.76) en houden we rekening met de symmetrie-eigenschap (2.3.72) van de correlatiefunctie. Als gevolg hiervan krijgen we dat

Als we (2.3.77) met (2.3.76) vergelijken, hebben we dat . Dit bewijst dat het complexe amplitudespectrum een ​​echte functie is.

Hieronder zal worden getoond dat het spectrum van de complexe amplitude van het signaal dat fading beschrijft in een meerpadkanaal is zelfs echt functie van frequentie, d.w.z. . Dan wordt de correlatiefunctie geldig. Om dit te bewijzen schrijven we de correlatiefunctie als de inverse Fourier-transformatie van de spectrale vermogensdichtheid in de vorm

. (2.3.78)

Laten we de complexe conjugatie van uitdrukking (2.3.78) nemen en rekening houden met de pariteit van de functie. Dat snappen wij

Als we (2.3.79) vergelijken met (2.3.78), hebben we dat . Dit bewijst dat de correlatiefunctie van de complexe amplitude met het reële spectrum in de vorm van een even functie een reële functie is.

Rekening houdend met de realiteit van de correlatiefunctie, vinden we dat uit (2.3.74).

. (2.3.80)

Met behulp van (2.3.75) verkrijgen we de correlatiefunctie van het smalbandsignaal in de vorm

Laten we nu de taak instellen om in te vinden uitdrukkelijk spectrum- en correlatiefunctie die signaalfading in een multipath-kanaal beschrijven. Denk nog eens aan twee momenten in de tijd De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd T De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd+t. Als gedurende de tijd t de zender, ontvanger en re-reflectoren hun locatie niet veranderen en hun parameters behouden, verandert het totale signaal in de ontvanger niet. Om signaalfading te laten optreden is onderlinge beweging van zender, ontvanger en (of) reflectoren noodzakelijk. Alleen in dit geval vindt er een verandering plaats in de amplitudes en fasen van de signalen die zijn opgeteld aan de ingang van de ontvangstantenne. Hoe sneller deze beweging plaatsvindt, hoe meer hogere snelheid Er treedt signaalvervaging op en daarom moet het spectrum breder zijn.

We gaan ervan uit dat de ontvanger met een bepaalde snelheid beweegt v en de zender blijft stationair. Als de zendantenne een harmonisch signaal van een bepaalde frequentie uitzendt F, dan registreert de ontvanger vanwege het Doppler-effect een signaal met een andere frequentie. Het verschil tussen deze frequenties wordt de Doppler-frequentieverschuiving genoemd. Om de frequentieverschuivingswaarde te vinden, bekijkt u Fig. 2.16, die de zender, ontvanger en golfvector toont k vlakke golf en vector v ontvanger snelheid.

Rijst. 2.16. Op weg naar de bepaling van de Doppler-frequentieverschuiving

We schrijven de vergelijking van de uniforme beweging van de ontvanger in de vorm

De fase van het ontvangen signaal zal dan een functie van de tijd zijn

waarbij q de hoek is tussen de snelheidsvector en de golfvector.

De momentane frequentie wordt gedefinieerd als de afgeleide van de fase. Daarom zullen we differentiëren (2.3.83) en rekening houdend met het golfnummer

. (2.3.84)

Bij een uniforme beweging van de ontvanger, zoals volgt uit (2.3.84), is een frequentieverschuiving gelijk aan

Laten we bijvoorbeeld aannemen dat de snelheid v=72 km/u = 20 m/s, zenderfrequentie F=900 MHz, en hoek q=0. Golflengte l en frequentie F verbonden door de snelheid van het licht Met verhouding Met=fl. Vanaf hier hebben we dat l= C/F=0,33 m. Nu vinden we uit (2.3.85) dat de Doppler-frequentie verschuift f d=60Hz.

De Doppler-frequentieverschuiving (2.3.85) neemt, afhankelijk van de hoek, zowel positieve als negatieve waarden aan Q tussen de snelheidsvector en de golfvector. De grootte van de Dopplerverschuiving overschrijdt de maximale waarde gelijk aan niet f max=v/l. Formule (2.3.85) kan gemakkelijk in het formulier worden weergegeven

. (2.3.86)

Als er veel re-reflectoren zijn, is het logisch om aan te nemen dat deze gelijkmatig rond de ontvanger zijn geplaatst, bijvoorbeeld in een cirkel, zoals weergegeven in figuur 1. 2.17. Dit model reflectoren wordt het Clark-model genoemd.

Rijst. 2.17. Locatie van reflectoren in het Clark-model

De spectrale vermogensdichtheid in het geval van het Clark-model wordt op de volgende manier bepaald. Laten we het frequentie-interval selecteren df d dichtbij frequentie f d. Het ontvangen vermogen in dit interval is gelijk aan . Dit vermogen is te wijten aan de Doppler-frequentieverschuiving (2.3.86). Gedissipeerd vermogen gerelateerd aan hoekafstand D q, is gelijk aan , waarbij de hoekdichtheid van het gedissipeerde vermogen is. Merk op dat dezelfde Dopplerverschuiving plaatsvindt f d waargenomen voor re-reflectoren met hoekcoördinaten ±q. Dit impliceert de volgende gelijkheid van bevoegdheden

We gaan ervan uit dat het totale gedissipeerde vermogen gelijk is aan één en gelijkmatig verdeeld is over het interval.

Rijst. 2.18. Jakes Doppler-spectrum voor f max=10Hz

Om de correlatiefunctie (2.3.71) van de complexe amplitude te bepalen, is het noodzakelijk om de uitdrukking (2.3.90) verkregen voor de spectrale vermogensdichtheid te vervangen door (2.3.78). Als gevolg hiervan krijgen we dat

Modulus van de correlatiefunctie (2.3.91) van de complexe amplitude voor twee maximale frequenties Doppler f max=10 Hz (ononderbroken curve) en f max=30 Hz (stippellijn) worden getoond in Fig. 2.19. Als we de correlatietijd van signaalfading in een kanaal schatten op een niveau van 0,5, dan is deze gelijk aan . Dit geeft 24 ms voor f max=10 Hz en 8 ms voor f max=30Hz.

Rijst. 2.19. Correlatiefunctiemodule voor f max=10 en 30 Hz (doorgetrokken en gestippelde curven,
respectievelijk).

Over het algemeen kan het Doppler-spectrum verschillen van het Jakes-spectrum (2.3.90). Waardebereik D f d, waarin het significant van nul afwijkt, wordt genoemd Doppler-verstrooiing in het kanaal. Omdat het verband houdt met de Fourier-transformatie coherentie tijd T Ko kanaal is de waarde t Ko"1/D f d, wat de snelheid van verandering in kanaaleigenschappen karakteriseert.

Bij het afleiden van (2.3.90) en (2.3.91) is aangenomen dat het gemiddelde vermogen van het verstrooide signaal gelijk is aan één. Dit volgt ook uit (2.3.91) en (2.3.71), sindsdien

De correlatiecoëfficiënt is gelijk aan de verhouding van de correlatiefunctie tot het gemiddelde vermogen. Daarom geeft uitdrukking (2.3.91) in dit geval ook de correlatiecoëfficiënt.

Uit (2.3.81) vinden we dat de correlatiefunctie van het smalbandsignaal gelijk is aan

In de praktijk zijn de correlatie-eigenschappen van willekeurige variabelen zoals de amplitude A en onmiddellijke kracht P=A 2. Deze grootheden worden doorgaans bijvoorbeeld geregistreerd aan de uitgang van een lineaire of kwadratische detector. Hun correlatie-eigenschappen zijn op een bepaalde manier gerelateerd aan de correlatie-eigenschappen van de complexe amplitude Z(De Rayleigh- en Rice-verdelingen kenmerken de signaalvervaging niet volledig. Ze geven met name geen idee hoe het signaalvervagingsproces in de loop van de tijd plaatsvindt. Laten we aannemen dat het proces op twee tijdstippen wordt beschouwd).

De momentane vermogenscorrelatiecoëfficiënt is gerelateerd aan de complexe amplitudecorrelatiecoëfficiënt door een eenvoudige relatie van de vorm:

. (2.3.94)

Laten we een bewijs van deze formule geven. Op basis van de definitie van de correlatiecoëfficiënt kunnen we dat schrijven

, (2.3.95)

waar is de machtscorrelatiefunctie.

Laten we aannemen dat er geen deterministische component is van het signaal en de amplitude A heeft een Rayleigh-verdeling. Dan<P>=<A 2 >=2σ 2 . De hoeveelheid opgenomen in (2.3.95) . Met behulp van de Rayleigh-distributiewet vinden we dat

. (2.3.96)

Rekening houdend met (2.3.96) vinden we de machtscorrelatiefunctie uit (2.3.95) met behulp van eenvoudige algebraïsche transformaties. Dat snappen wij

. (2.3.97)

We kunnen de machtscorrelatiefunctie ook uitdrukken in termen van kwadratuurcomponenten in de vorm

Door vermenigvuldiging en middeling uit te voeren aan de rechterkant van gelijkheid (2.3.98), verkrijgen we termen die de volgende momenten van de vierde orde vertegenwoordigen:

We moeten dus de momenten van de vierde orde berekenen. Laten we er rekening mee houden dat de kwadratuurcomponenten I T Q zijn Gaussiaanse willekeurige variabelen met een gemiddelde van nul en een identieke variantie σ 2 en we gebruiken de bekende regel voor het ontsluiten van momenten van de vierde orde. Volgens het, als er vier willekeurige variabelen zijn A, B, C, En D, dan is de volgende formule geldig:

Door deze regel toe te passen, berekenen we de momenten van de vierde orde in (2.3.99). Als gevolg hiervan zullen we hebben

(2.3.101)

Als we rekening houden met (2.3.96), (2.3.66) en (2.3.74), dan kan (2.3.98) worden geschreven als

Nu is het noodzakelijk om daar rekening mee te houden . Als resultaat verkrijgen we de volgende uitdrukking voor de machtscorrelatiefunctie:

Als we de resulterende formule vergelijken met (2.3.97), zijn we overtuigd van de geldigheid van (2.3.94).

Voor kanaalmodel Clark hebben we ontdekt dat de correlatiecoëfficiënt wordt bepaald door (2.3.91). Rekening houdend met (2.3.94) zal de machtscorrelatiecoëfficiënt in het geval van het Clark-model gelijk zijn aan

. (2.3.104)

Correlatie-eigenschappen van amplitude A worden onderzocht met behulp van een veel complexer wiskundig apparaat en worden hier buiten beschouwing gelaten. Er moet echter worden opgemerkt dat de amplitudecorrelatiecoëfficiënt A voldoet aan de volgende geschatte gelijkheid.

SIGNALEN En LINEAIR SYSTEMEN

Signalen en lineaire systemen. Correlatie van signalen

Onderwerp 6. SIGNAALCORRELATIE

Zowel extreme angst als extreme moed verstoren de maag en veroorzaken diarree.

Michel Montaigne. Franse jurist-denker, 16e eeuw.

Dit is het nummer! De twee functies hebben een 100% correlatie met de derde en zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar. Welnu, de Almachtige maakte grappen tijdens de schepping van de wereld.

Anatoly Pysjmintsev. Geofysicus uit Novosibirsk van de Oeralschool, 20e eeuw.

1. Autocorrelatiefuncties van signalen. Het concept van autocorrelatiefuncties (ACF's). ACF van in de tijd beperkte signalen. ACF van periodieke signalen. Autocovariantiefuncties (ACF). ACF van discrete signalen. ACF van luidruchtige signalen. ACF van codesignalen.

2. Signaalkruiscorrelatiefuncties (CSF's). Kruiscorrelatiefunctie (CCF). Kruiscorrelatie van luidruchtige signalen. VCF van discrete signalen. Schatting van periodieke signalen in ruis. Functie van onderlinge correlatiecoëfficiënten.

3. Spectrale dichtheden van correlatiefuncties. Spectrale dichtheid van ACF. Signaalcorrelatie-interval. Spectrale dichtheid van VKF. Berekening van correlatiefuncties met behulp van FFT.

invoering

Correlatie, en zijn speciaal geval voor gecentreerde signalen - covariantie, is een signaalanalysemethode. We presenteren een van de opties voor het gebruik van de methode. Laten we aannemen dat er een signaal s(t) is, dat wel (of niet) een reeks x(t) met eindige lengte T kan bevatten, waarvan de temporele positie ons interesseert. Om deze reeks te zoeken in een tijdvenster met lengte T dat langs het signaal s(t) glijdt, worden de scalaire producten van de signalen s(t) en x(t) berekend. We passen dus het gewenste signaal x(t) toe op het signaal s(t), glijdend langs zijn argument, en op basis van de waarde van het scalaire product schatten we de mate van gelijkenis van de signalen op de vergelijkingspunten.

Correlatieanalyse maakt het mogelijk om in signalen (of in reeksen digitale gegevens van signalen) de aanwezigheid vast te stellen van een bepaald verband tussen veranderingen in signaalwaarden op een onafhankelijke variabele, dat wil zeggen wanneer grote waarden van één signaal (relatief aan de gemiddelde signaalwaarden) worden geassocieerd met grote waarden van een ander signaal (positieve correlatie), of, omgekeerd, kleine waarden van het ene signaal worden geassocieerd met grote waarden van een ander signaal (negatieve correlatie), of de gegevens van twee signalen zijn op geen enkele manier gerelateerd (nulcorrelatie).

In de functionele ruimte van signalen kan deze mate van verbinding worden uitgedrukt in genormaliseerde eenheden van de correlatiecoëfficiënt, d.w.z. in de cosinus van de hoek tussen de signaalvectoren, en zal dienovereenkomstig waarden aannemen van 1 (volledige samenvallen van signalen) tot -1 (helemaal het tegenovergestelde) en is niet afhankelijk van de waarde (schaal) van meeteenheden.

In de autocorrelatieversie wordt een soortgelijke techniek gebruikt om het scalaire product van het signaal s(t) te bepalen, waarbij zijn eigen kopie langs het argument schuift. Met autocorrelatie kunt u de gemiddelde statistische afhankelijkheid van huidige signaalmonsters op hun vorige en volgende waarden schatten (de zogenaamde correlatieradius van signaalwaarden), en ook de aanwezigheid van periodiek herhalende elementen in het signaal identificeren.

Correlatiemethoden zijn van bijzonder belang bij de analyse van willekeurige processen om niet-willekeurige componenten te identificeren en de niet-willekeurige parameters van deze processen te evalueren.

Merk op dat er enige verwarring bestaat over de termen "correlatie" en "covariantie". In de wiskundige literatuur wordt de term 'covariantie' toegepast op gecentreerde functies, en 'correlatie' op willekeurige functies. In de technische literatuur, en vooral in de literatuur over signalen en methoden voor de verwerking ervan, wordt vaak precies de tegenovergestelde terminologie gebruikt. Dit is niet van fundamenteel belang, maar als u vertrouwd raakt met literaire bronnen, is het de moeite waard aandacht te besteden aan het geaccepteerde doel van deze termen.

6.1. Autocorrelatiefuncties van signalen.

Het concept van autocorrelatiefuncties van signalen . De autocorrelatiefunctie (CF - correlatiefunctie) van een signaal s(t), eindig in energie, is een kwantitatief integraal kenmerk van de signaalvorm en identificeert in het signaal de aard en parameters van de onderlinge temporele relatie van monsters, die altijd voorkomt voor periodieke signalen, evenals het interval en de mate van afhankelijkheid van de leeswaarden op actuele tijdstippen van de prehistorie huidige moment. De ACF wordt bepaald door de integraal van het product van twee kopieën van het signaal s(t), ten opzichte van elkaar verschoven op tijdstip t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cosj(t). (6.1.1)

Zoals uit deze uitdrukking volgt, is de ACF het scalaire product van het signaal en de kopie ervan functionele afhankelijkheid van variabele grootte verschuivingswaarden t. Dienovereenkomstig heeft de ACF de fysieke dimensie van energie, en op t = 0 is de waarde van de ACF direct gelijk aan de signaalenergie en is deze het maximaal mogelijke (de cosinus van de interactiehoek van het signaal met zichzelf is gelijk aan 1 ):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF verwijst naar even functies, wat eenvoudig te verifiëren is door de variabele t = t-t in uitdrukking (6.1.1) te vervangen:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

De maximale ACF, gelijk aan de signaalenergie op t=0, is altijd positief, en de ACF-module overschrijdt bij geen enkele waarde van de tijdverschuiving de signaalenergie. Dit laatste volgt rechtstreeks uit de eigenschappen van het scalaire product (net als de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 bij t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

omdat j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Als voorbeeld in afb. 6.1.1 toont twee signalen - een rechthoekige puls en een radiopuls van dezelfde duur T, en de vormen van hun ACF die overeenkomen met deze signalen. De amplitude van de radiopulsoscillaties wordt gelijkgesteld aan de amplitude van de rechthoekige puls, terwijl de signaalenergieën ook hetzelfde zullen zijn, wat wordt bevestigd door de gelijke waarden van de centrale maxima van de ACF. Voor eindige pulsduur is de ACF-duur ook eindig, en gelijk aan het dubbele van de pulsduur (wanneer een kopie van een eindige puls met een interval van zijn duur zowel naar links als naar rechts wordt verschoven, is het product van de puls waarbij de kopie gelijk wordt aan nul). De frequentie van de oscillaties van de ACF van een radiopuls is gelijk aan de frequentie van de oscillaties van de vulling van de radiopuls (laterale minima en maxima van de ACF treden elke keer op met opeenvolgende verschuivingen van een kopie van de radiopuls met de helft van de periode van trillingen van de vulling).

Rekening houdend met de pariteit, grafische weergave ACF wordt meestal alleen uitgevoerd voor positieve waarden van t. In de praktijk worden signalen meestal gespecificeerd in het interval van positieve argumentwaarden van 0-T. Het +t-teken in uitdrukking (6.1.1) betekent dat naarmate de waarden van t toenemen, een kopie van het signaal s(t+t) naar links verschuift langs de t-as en verder gaat dan 0. Voor digitale signalen geldt dit vereist een overeenkomstige uitbreiding van de gegevens naar het gebied met negatieve argumentwaarden. En aangezien bij berekeningen het interval voor het specificeren van t doorgaans veel kleiner is dan het interval voor het specificeren van het signaal, is het praktischer om de kopie van het signaal naar links te verschuiven langs de argumentas, d.w.z. in plaats daarvan de functie s(t-t) te gebruiken. van s(t+t) in uitdrukking (6.1.1) ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Voor eindige signalen neemt de tijdelijke overlap van het signaal met zijn kopie af naarmate de waarde van de verschuiving t toeneemt, en dienovereenkomstig neigt de cosinus van de interactiehoek en het scalaire product als geheel naar nul:

De ACF berekend uit de gecentreerde signaalwaarde s(t) is autocovariantie signaalfunctie:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

waarbij ms de gemiddelde signaalwaarde is. Covariantiefuncties zijn gerelateerd aan correlatiefuncties via een vrij eenvoudige relatie:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF van in de tijd beperkte signalen. In de praktijk worden signalen die over een bepaald interval worden gegeven meestal bestudeerd en geanalyseerd. Om de ACF van signalen die op verschillende tijdsintervallen zijn gespecificeerd te vergelijken, praktische toepassing vindt een wijziging van de ACF, genormaliseerd op basis van de lengte van het interval. Dus bijvoorbeeld bij het specificeren van een signaal op het interval:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

De ACF kan ook worden berekend voor zwak gedempte signalen met oneindige energie, als de gemiddelde waarde van het scalaire product van het signaal en de kopie ervan wanneer het signaalinstelinterval naar oneindig neigt:

Bs(t) = . (6.1.4)

ACF heeft volgens deze uitdrukkingen een fysieke vermogensdimensie en is gelijk aan het gemiddelde wederzijdse vermogen van het signaal en zijn kopie, functioneel afhankelijk van de verschuiving van de kopie.

ACF van periodieke signalen. De energie van periodieke signalen is oneindig, daarom wordt de ACF van periodieke signalen berekend over één periode T, waarbij het scalaire product van het signaal en zijn verschoven kopie binnen de periode wordt gemiddeld:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Een wiskundig strengere uitdrukking:

Bs(t) = .

Op t=0 is de waarde van de ACF, genormaliseerd naar de periode, gelijk aan het gemiddelde vermogen van de signalen binnen de periode. In dit geval is de ACF van periodieke signalen een periodieke functie met dezelfde periode T. Voor het signaal s(t) = A cos(w0t+j0) bij T=2p/w0 geldt dus:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Het verkregen resultaat is niet afhankelijk van de beginfase van het harmonische signaal, wat typisch is voor periodieke signalen en een van de eigenschappen van de ACF is. Met behulp van autocorrelatiefuncties kunt u controleren op periodieke eigenschappen in willekeurige signalen. Een voorbeeld van de autocorrelatiefunctie van een periodiek signaal wordt getoond in Fig. 6.1.2.

Autocovariantiefuncties (ACF) worden op dezelfde manier berekend, met behulp van gecentreerde signaalwaarden. Een opmerkelijk kenmerk van deze functies is hun eenvoudige relatie met de spreiding ss2 van signalen (het kwadraat van de standaard - de standaardafwijking van de signaalwaarden van de gemiddelde waarde). Zoals bekend is de spreidingswaarde gelijk aan het gemiddelde signaalvermogen, dat volgt:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

FAC-waarden genormaliseerd naar de variantiewaarde zijn een functie van autocorrelatiecoëfficiënten:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Deze functie wordt ook wel de "echte" autocorrelatiefunctie genoemd. Vanwege normalisatie zijn de waarden ervan niet afhankelijk van de eenheden (schaal) van representatie van signaalwaarden s(t) en karakteriseren ze de mate van lineaire relatie tussen signaalwaarden, afhankelijk van de grootte van de verschuiving t tussen signaal monsters. De waarden van rs(t) º cos j(t) kunnen variëren van 1 (volledige directe correlatie van metingen) tot -1 (inverse correlatie).

In afb. 6.1.3 toont een voorbeeld van signalen s(k) en s1(k) = s(k)+ruis met de FAK-coëfficiënten die overeenkomen met deze signalen - rs en rs1. Zoals te zien is in de grafieken, onthulde FAK vol vertrouwen de aanwezigheid van periodieke oscillaties in de signalen. De ruis in het signaal s1(k) verminderde de amplitude van de periodieke oscillaties zonder de periode te veranderen. Dit wordt bevestigd door de grafiek van de Cs/ss1-curve, d.w.z. de FAC van het signaal s(k) met normalisatie (ter vergelijking) naar de waarde van de signaalspreiding s1(k), waar duidelijk te zien is dat ruispulsen , met volledige statistische onafhankelijkheid van hun metingen, veroorzaakte een toename van de waarde Cs1(0) in verhouding tot de waarde van Cs(0) en enigszins “vervaagde” de functie van de autocovariantiecoëfficiënten. Dit komt door het feit dat de waarde van rs(t) van ruissignalen neigt naar 1 bij t ® 0 en rond nul schommelt bij t ≠ 0, terwijl de fluctuatieamplitudes statistisch onafhankelijk zijn en afhankelijk zijn van het aantal signaalmonsters (ze neigen naar nul naarmate het aantal monsters toeneemt).

ACF van discrete signalen. Wanneer het gegevensbemonsteringsinterval Dt = const is, wordt de ACF-berekening uitgevoerd over de intervallen Dt = Dt en wordt deze gewoonlijk geschreven als een discrete functie van de getallen n van de bemonsteringsverschuiving nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Discrete signalen worden meestal gespecificeerd in het formulier numerieke arrays van een bepaalde lengte met nummering van monsters k = 0,1,...K bij Dt=1, en de berekening van discrete ACF in energie-eenheden wordt uitgevoerd in een eenzijdige versie, rekening houdend met de lengte van de arrays. Als de gehele signaalarray wordt gebruikt en het aantal ACF-samples gelijk is aan het aantal array-samples, wordt de berekening uitgevoerd volgens de formule:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

De K/(K-n)-vermenigvuldiger in deze functie is een correctiefactor voor geleidelijke afname het aantal vermenigvuldigde en opgetelde waarden naarmate de verschuiving n toeneemt. Zonder deze correctie voor niet-gecentreerde signalen verschijnt er een trend van optelling van gemiddelde waarden in de ACF-waarden. Bij metingen in eenheden van signaalvermogen wordt de vermenigvuldiger K/(K-n) vervangen door de vermenigvuldiger 1/(K-n).

Formule (6.1.10) wordt vrij zelden gebruikt, voornamelijk voor deterministische signalen met een klein aantal telt. Voor willekeurige signalen en signalen met ruis leidt een afname van de noemer (K-n) en het aantal vermenigvuldigde monsters naarmate de verschuiving toeneemt, tot een toename van statistische fluctuaties in de ACF-berekening. Een grotere betrouwbaarheid onder deze omstandigheden wordt verkregen door de ACF in eenheden signaalvermogen te berekenen met behulp van de formule:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 bij k-n< 0, (6.1.11)

d.w.z. met normalisatie naar een constante factor 1/K en met het signaal uitgebreid met nulwaarden (naar links wanneer verschuivingen k-n of binnen rechterkant bij gebruik van k+n-verschuivingen). Deze schatting is vertekend en heeft een iets kleinere spreiding dan volgens formule (6.1.10). Het verschil tussen normalisaties volgens formules (6.1.10) en (6.1.11) is duidelijk te zien in Fig. 6.1.4.

Formule (6.1.11) kan worden beschouwd als het middelen van de som van producten, dat wil zeggen als een schatting van de wiskundige verwachting:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

In de praktijk heeft discrete ACF dezelfde eigenschappen als continue ACF. Het is ook even, en de waarde ervan bij n = 0 is gelijk aan de energie of het vermogen van het discrete signaal, afhankelijk van de normalisatie.

ACF van luidruchtige signalen . Het signaal met ruis wordt geschreven als de som v(k) = s(k)+q(k). Over het algemeen hoeft ruis geen gemiddelde waarde van nul te hebben, en de vermogensgenormaliseerde autocorrelatiefunctie van een digitaal signaal dat N monsters bevat, wordt als volgt geschreven:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Met statistische onafhankelijkheid nuttig signaal s(k) en ruis q(k), rekening houdend met de uitbreiding van de wiskundige verwachting

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

de volgende formule kan worden gebruikt:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Een voorbeeld van een signaal met ruis en zijn ACF in vergelijking met een signaal zonder ruis wordt getoond in Fig. 6.1.5.

Uit formules (6.1.13) volgt dat de ACF van een signaal met ruis bestaat uit de ACF van de signaalcomponent van het nuttige signaal met een gesuperponeerde ruisfunctie die vervalt naar een waarde van 2+. Voor grote waarden van K, wanneer → 0, Bv(n) »Bs(n). Dit maakt het niet alleen mogelijk om periodieke signalen van de ACF te identificeren die vrijwel volledig verborgen zijn in de ruis (het ruisvermogen is veel groter dan het signaalvermogen), maar ook hoge nauwkeurigheid bepaal hun periode en vorm binnen de periode, en voor een enkele frequentie harmonische signalen– en hun amplitude met behulp van uitdrukking (6.1.6).

	Barker-signaal	ACF van signaal
	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Codeer signalen zijn een soort discrete signalen. Op een bepaald codewoordinterval M×Dt kunnen ze er slechts twee hebben amplitude waarden: 0 en 1 of 1 en –1. Bij het identificeren van codes bij een aanzienlijk ruisniveau is de vorm van de ACF van het codewoord van bijzonder belang. Vanuit dit oogpunt zijn de beste codes die waarvan de ACF-zijlobwaarden minimaal zijn over de gehele lengte van het codewoordinterval met de maximale waarde van de centrale piek. Dergelijke codes omvatten de Barker-code die wordt weergegeven in Tabel 6.1. Zoals uit de tabel blijkt, is de amplitude van de centrale piek van de code numeriek gelijk aan de waarde van M, terwijl de amplitude van de laterale oscillaties bij n ¹ 0 niet groter is dan 1.

6.2. Kruiscorrelatiefuncties van signalen.

Kruiscorrelatiefunctie (CCF) van verschillende signalen (kruiscorrelatiefunctie, CCF) beschrijft zowel de mate van gelijkenis in de vorm van twee signalen als hun relatieve positie ten opzichte van elkaar langs de coördinaat (onafhankelijke variabele). Door formule (6.1.1) van de autocorrelatiefunctie te generaliseren naar twee verschillende signalen s(t) en u(t), verkrijgen we het volgende scalaire product van de signalen:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Kruiscorrelatie van signalen karakteriseert een bepaalde correlatie van verschijnselen en fysieke processen die door deze signalen worden weerspiegeld, en kan dienen als maatstaf voor de “stabiliteit” van deze relatie wanneer signalen afzonderlijk in verschillende apparaten worden verwerkt. Voor signalen met eindige energie is de VCF ook eindig, en:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

die volgt uit de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid en de onafhankelijkheid van de signaalnormen van de coördinatenverschuiving.

Wanneer we de variabele t = t-t in formule (6.2.1) vervangen, verkrijgen we:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Hieruit volgt dat aan de pariteitsvoorwaarde, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), niet is voldaan voor de CCF, en dat de CCF-waarden geen maximum hoeven te hebben op t = 0.

Dit is duidelijk te zien in Fig. 6.2.1, waar twee identieke signalen worden gegeven met middelpunten op de punten 0,5 en 1,5. Berekening met formule (6.2.1) met een geleidelijke toename van t-waarden betekent opeenvolgende verschuivingen van het signaal s2(t) naar links langs de tijdas (voor elke waarde van s1(t), de waarden s2( t+t) worden genomen voor integrandvermenigvuldiging). Op t=0 zijn de signalen orthogonaal en de waarde van B12(t)=0. Het maximum B12(t) wordt waargenomen wanneer het signaal s2(t) met de waarde t=1 naar links wordt verschoven, waarbij de signalen s1(t) en s2(t+t) volledig worden gecombineerd.

Dezelfde waarden van de CCF volgens formules (6.2.1) en (6.2.1") worden waargenomen op dezelfde relatieve positie van de signalen: wanneer het signaal u(t) wordt verschoven met een interval t ten opzichte van s (t) naar rechts langs de ordinaat en signaal s(t) ten opzichte van signaal u(t) naar links, d.w.z. Bsu(t) = Bus(-t).

In afb. 6.2.2 toont voorbeelden van CCF voor een rechthoekig signaal s(t) en twee identieke driehoekige signalen u(t) en v(t). Alle signalen hebben dezelfde duur T, terwijl het signaal v(t) over het interval T/2 naar voren wordt geschoven.

De signalen s(t) en u(t) zijn qua tijdslocatie identiek en het “overlap”-gebied van de signalen is maximaal op t=0, wat wordt vastgelegd door de Bsu-functie. Tegelijkertijd is de Bsu-functie sterk asymmetrisch, omdat bij een asymmetrische signaalvorm u(t) voor een symmetrische vorm s(t) (ten opzichte van het midden van de signalen) het “overlap”-gebied van de signalen verandert anders afhankelijk van de richting van de verschuiving (het teken van t naarmate de waarde van t toeneemt vanaf nul). Wanneer de beginpositie van het signaal u(t) langs de ordinaat naar links wordt verschoven (vóór het signaal s(t) - signaal v(t)), blijft de vorm van de CCF onveranderd en verschuift naar rechts door dezelfde verschuivingswaarde - functie Bsv in Fig. 6.2.2. Als we de uitdrukkingen van de functies in (6.2.1) omwisselen, dan zal de nieuwe functie Bvs een functie Bsv zijn, gespiegeld ten opzichte van t=0.

Rekening houdend met deze kenmerken wordt de totale CCF in de regel afzonderlijk berekend voor positieve en negatieve vertragingen:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6,2,1")

Kruiscorrelatie van luidruchtige signalen . Voor twee signalen met ruis u(t) = s1(t)+q1(t) en v(t) = s2(t)+q2(t), met behulp van de techniek van het afleiden van formules (6.1.13) met vervanging van de kopie van het signaal s(t ) met het signaal s2(t), is het eenvoudig om de kruiscorrelatieformule in de volgende vorm af te leiden:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

De laatste drie termen aan de rechterkant van (6.2.2) vervallen naar nul naarmate t toeneemt. Voor grote signaalinstelintervallen kan de uitdrukking in de volgende vorm worden geschreven:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Bij nulgemiddelde ruiswaarden en statistische onafhankelijkheid van signalen gebeurt het volgende:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VCF van discrete signalen. Alle eigenschappen van de VCF van analoge signalen zijn ook geldig voor de VCF van discrete signalen, terwijl de kenmerken van discrete signalen die hierboven zijn geschetst voor discrete ACF ook daarvoor gelden (formules 6.1.9-6.1.12). In het bijzonder, met Dt = const =1 voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Wanneer genormaliseerd in krachteenheden:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Schatting van periodieke signalen in ruis . Een signaal met ruis kan worden geschat door kruiscorrelatie met het “referentie”-signaal met behulp van vallen en opstaan, waarbij de kruiscorrelatiefunctie op de maximale waarde wordt aangepast.

Voor een signaal u(k)=s(k)+q(k) met statistische onafhankelijkheid van ruis en → 0, de kruiscorrelatiefunctie (6.2.2) met het signaalpatroon p(k) met q2(k)= 0 heeft de vorm:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

En aangezien → 0 naarmate N toeneemt, dan Bup(k) → Bsp(k). Het is duidelijk dat de functie Bup(k) een maximum zal hebben als p(k) = s(k). Door de vorm van het sjabloon p(k) te veranderen en de functie Bup(k) te maximaliseren, kunnen we een schatting van s(k) verkrijgen in de vorm van de optimale vorm p(k).

Kruiscorrelatiecoëfficiëntfunctie (VKF) is een kwantitatieve indicator van de mate van gelijkenis van de signalen s(t) en u(t). Vergelijkbaar met de functie van autocorrelatiecoëfficiënten, wordt deze berekend via de gecentreerde waarden van de functies (om de kruiscovariantie te berekenen is het voldoende om slechts één van de functies te centreren), en wordt deze genormaliseerd naar het product van de waarden van de standaardfuncties s(t) en v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Het interval voor het wijzigen van de waarden van correlatiecoëfficiënten met verschuivingen t kan variëren van –1 (volledige omgekeerde correlatie) tot 1 (volledige gelijkenis of honderd procent correlatie). Bij verschuivingen t waarbij nulwaarden van rsu(t) worden waargenomen, zijn de signalen onafhankelijk van elkaar (ongecorreleerd). Met de kruiscorrelatiecoëfficiënt kunt u de aanwezigheid van een verband tussen signalen vaststellen, ongeacht de fysieke eigenschappen van de signalen en hun grootte.

Bij het berekenen van de CCF van discrete signalen met ruis van beperkte lengte met behulp van formule (6.2.4), is er een kans op het optreden van waarden |rsu(n)| > 1.

Voor periodieke signalen wordt het concept van CCF meestal niet toegepast, behalve voor signalen met dezelfde periode, bijvoorbeeld ingangs- en uitgangssignalen bij het bestuderen van de kenmerken van systemen.

6.3. Spectrale dichtheden van correlatiefuncties.

ACF spectrale dichtheid kan worden bepaald op basis van de volgende eenvoudige overwegingen.

In overeenstemming met uitdrukking (6.1.1) is de ACF een functie van het scalaire product van het signaal en zijn kopie, verschoven over het interval t, op -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Het puntproduct kan worden gedefinieerd in termen van de spectrale dichtheden van het signaal en zijn kopieën, waarvan het product de wederzijdse spectrale vermogensdichtheid is:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

De verplaatsing van het signaal langs de abscis-as over interval t wordt in de spectrale weergave weergegeven door het signaalspectrum te vermenigvuldigen met exp(-jwt), en voor het geconjugeerde spectrum met de factor exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Hiermee rekening houdend krijgen we:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Maar de laatste uitdrukking is omgekeerde conversie Fourier-energiespectrum van het signaal (spectrale energiedichtheid). Bijgevolg zijn het energiespectrum van het signaal en zijn autocorrelatiefunctie gerelateerd door de Fourier-transformatie:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

De spectrale dichtheid van de ACF is dus niets meer dan de spectrale vermogensdichtheid van het signaal, die op zijn beurt kan worden bepaald door de directe Fourier-transformatie via de ACF:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Deze laatste uitdrukking legt bepaalde beperkingen op aan de vorm van ACF en de methode om de duur ervan te beperken.

Rijst. 6.3.1. Spectrum van een niet-bestaande ACF

Het energiespectrum van signalen is altijd positief; het signaalvermogen kan niet negatief zijn. Bijgevolg kan de ACF niet de vorm hebben van een rechthoekige puls, aangezien de Fourier-transformatie van een rechthoekige puls een wisselende integrale sinus is. Er mogen geen discontinuïteiten van de eerste soort (sprongen) op de ACF voorkomen, aangezien, rekening houdend met de pariteit van de ACF, elke symmetrische sprong langs de ±t-coördinaat een "scheiding" van de ACF in de som van een bepaalde continue functie genereert. en een rechthoekige puls met een duur van 2t met de overeenkomstige verschijning van negatieve waarden in het energiespectrum Een voorbeeld van dit laatste is te zien in Fig. 6.3.1 (grafieken van functies worden, zoals gebruikelijk voor even functies, alleen met hun rechterkant weergegeven).

ACF's met voldoende uitgebreide signalen zijn doorgaans beperkt in omvang (beperkte datacorrelatie-intervallen van –T/2 tot T/2 worden bestudeerd). Afknotting van de ACF is echter de vermenigvuldiging van de ACF met een rechthoekige selectiepuls met duur T, die in het frequentiedomein wordt gereflecteerd door convolutie van het feitelijke vermogensspectrum met een alternerende integrale sinusfunctie sinc(wT/2). Enerzijds zorgt dit voor een zekere afvlakking van het vermogensspectrum, wat bijvoorbeeld vaak handig is bij het bestuderen van signalen met een aanzienlijk ruisniveau. Maar aan de andere kant kan een aanzienlijke onderschatting van de omvang van energiepieken optreden als het signaal harmonische componenten bevat, evenals het optreden van negatieve vermogenswaarden aan de rand van pieken en sprongen. Een voorbeeld van de manifestatie van deze factoren wordt getoond in Fig. 6.3.2.

Rijst. 6.3.2. Berekening van het energiespectrum van een signaal met behulp van ACF's van verschillende lengtes.

Zoals bekend hebben signaalvermogenspectra geen fasekarakteristiek en is het onmogelijk om hieruit signalen te reconstrueren. Bijgevolg heeft de ACF van signalen, als tijdelijke representatie van vermogensspectra, ook geen informatie over de fasekarakteristieken van de signalen en is reconstructie van signalen met behulp van de ACF onmogelijk. Signalen met dezelfde vorm, verschoven in de tijd, hebben dezelfde ACF. Bovendien kunnen signalen met verschillende vormen vergelijkbare ACF's hebben als ze vergelijkbare vermogensspectra hebben.

Laten we vergelijking (6.3.1) in de volgende vorm herschrijven

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

en vervang de waarde t=0 in deze uitdrukking. De resulterende gelijkheid is bekend en wordt genoemd Parsevals gelijkheid

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Hiermee kunt u de signaalenergie berekenen, zowel in het tijd- als in het frequentiedomein van de signaalbeschrijving.

Signaalcorrelatie-interval is een numerieke parameter voor het beoordelen van de breedte van de ACF en de mate van significante correlatie van signaalwaarden per argument.

Als we aannemen dat het signaal s(t) een ongeveer uniform energiespectrum heeft met een waarde van W0 en met een bovengrensfrequentie tot wв (de vorm van een gecentreerde rechthoekige puls, zoals signaal 1 in figuur 6.3.3 met fв = 50 Hz in eenzijdige weergave), dan wordt de ACF van het signaal bepaald door de uitdrukking:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

Het signaalcorrelatie-interval tk wordt beschouwd als de breedte van de centrale piek van de ACF vanaf het maximum tot het eerste snijpunt van de nullijn. In dit geval komt voor een rechthoekig spectrum met een bovengrensfrequentie wв de eerste nuldoorgang overeen met sinc(wвt) = 0 bij wвt = p, waaruit:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Hoe hoger de bovengrensfrequentie van het signaalspectrum, hoe kleiner het correlatie-interval. Voor signalen met een vloeiende afsnijding bij de bovengrensfrequentie wordt de rol van de parameter wв gespeeld door de gemiddelde spectrumbreedte (signaal 2 in figuur 6.3.3).

De spectrale vermogensdichtheid van statistische ruis in een enkele meting is willekeurige functie Wq(w) met gemiddelde waarde Wq(w) Þ sq2, waarbij sq2 de ruisvariantie is. In de limiet, met een uniforme spectrale verdeling van ruis van 0 tot ¥, neigt de ruis ACF naar de waarde Bq(t) Þ sq2 op t Þ 0, Bq(t) Þ 0 op t ¹ 0, d.w.z. statistische ruis is dat niet. gecorreleerd (tk Þ 0).

Praktische berekeningen van de ACF van eindige signalen zijn meestal beperkt tot het schuifinterval t = (0, (3-5)tk), waarin in de regel de belangrijkste informatie over de autocorrelatie van signalen geconcentreerd is.

Spectrale dichtheid VKF kan worden verkregen op basis van dezelfde overwegingen als voor AFC, of ​​rechtstreeks uit formule (6.3.1) door de spectrale dichtheid van het signaal S(w) te vervangen door de spectrale dichtheid van het tweede signaal U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Of, bij het wijzigen van de volgorde van de signalen:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Het product S*(w)U(w) representeert het onderlinge energiespectrum Wsu(w) van de signalen s(t) en u(t). Dienovereenkomstig is U*(w)S(w) = Wus(w). Daarom zijn, net als de ACF, de kruiscorrelatiefunctie en de spectrale dichtheid van het wederzijdse vermogen van de signalen aan elkaar gerelateerd door Fourier-transformaties:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6,3,6")

In het algemene geval, met uitzondering van de spectra van even functies, volgt uit de voorwaarde van niet-naleving van de pariteit voor de CCF-functies dat de wederzijdse energiespectra complexe functies zijn:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

In afb. 6.3.4 Je kunt duidelijk de kenmerken van de vorming van de CCF zien aan de hand van het voorbeeld van twee signalen met dezelfde vorm, verschoven ten opzichte van elkaar.

Rijst. 6.3.4. Oprichting van de VKF.

De vorm van de signalen en hun relatieve positie worden weergegeven in formulier A. De module en argumentatie van het spectrum van het signaal s(t) worden weergegeven in formulier B. De spectrummodule u(t) is identiek aan de module S(w ). Hetzelfde aanzicht toont de modulus van het wederzijdse signaalvermogensspectrum S(w)U*(w). Zoals bekend wordt, worden bij het vermenigvuldigen van complexe spectra de moduli van de spectra vermenigvuldigd en worden de fasehoeken opgeteld, terwijl voor het geconjugeerde spectrum U*(w) de fasehoek van teken verandert. Als het eerste signaal in de formule voor het berekenen van de CCF (6.2.1) het signaal s(t) is, en het signaal u(t-t) op de ordinaat vóór s(t) ligt, dan zijn de fasehoeken S(w ) stijgen naar negatieve waarden naarmate de frequentie de hoeken vergroot (zonder rekening te houden met periodieke reset van waarden met 2p), en fasehoeken U*(w) volgens absolute waarden kleiner dan fasehoeken s(t) en toenemen (als gevolg van conjugatie) naar positieve waarden. Het resultaat van het vermenigvuldigen van de spectra (zoals te zien is in figuur 6.3.4, aanzicht C) is het aftrekken van de hoekwaarden U*(w) van de fasehoeken S(w), terwijl de fasehoeken van de spectrum S(w)U*(w) blijft in het gebied van negatieve waarden, wat zorgt voor een verschuiving van de gehele CCF-functie (en de piekwaarden ervan) naar rechts vanaf nul langs de t-as met een bepaalde hoeveelheid (voor identieke signalen - door de hoeveelheid verschil tussen de signalen langs de ordinaat). Wanneer de beginpositie van het signaal u(t) wordt verschoven naar het signaal s(t), nemen de fasehoeken S(w)U*(w) af, in de limiet tot nulwaarden met volledige uitlijning van de signalen, terwijl de functie Bsu(t) verschuift naar nul waarden t, in de limiet vóór conversie naar ACF (voor identieke signalen s(t) en u(t)).

Zoals bekend is voor deterministische signalen, zijn dergelijke signalen orthogonaal ten opzichte van elkaar als de spectra van twee signalen elkaar niet overlappen en dienovereenkomstig de wederzijdse energie van de signalen nul is. Het verband tussen energiespectra en correlatiefuncties van signalen laat een andere kant van de interactie van signalen zien. Als de signaalspectra elkaar niet overlappen en hun wederzijdse energiespectrum gelijk aan nul bij alle frequenties, en voor elke tijdsverschuiving t ten opzichte van elkaar, is hun CCF ook nul. Dit betekent dat dergelijke signalen niet gecorreleerd zijn. Dit geldt voor zowel deterministische als willekeurige signalen en processen.

Correlatiefuncties berekenen met FFT is, vooral voor lang nummerreeks, tientallen en honderden keren meer snelle methode dan door opeenvolgende verschuivingen in het tijdsdomein met grote correlatie-intervallen. De essentie van de methode volgt uit formules (6.3.2) voor de ACF en (6.3.6) voor de VCF. Gezien het feit dat de ACF kan worden beschouwd als een speciaal geval van de CCF voor hetzelfde signaal, zullen we het berekeningsproces overwegen met behulp van het voorbeeld van de CCF voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K. omvat:

1. Berekening van de FFT-spectra van de signalen x(k) → X(k) en y(k) → Y(k). Bij verschillende hoeveelheden monsters, wordt de kortere rij opgevuld met nullen ter grootte van de grotere rij.

2. Berekening van vermogensdichtheidsspectra Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverse FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Laten we enkele kenmerken van de methode noteren.

Inverse FFT berekent, zoals bekend, de cyclische convolutie van functies x(k) ③ y(k). Als het aantal functiemonsters gelijk is aan K, is het aantal complexe monsters van functiespectra ook gelijk aan K, evenals het aantal monsters van hun product Wxy(k). Dienovereenkomstig is het aantal monsters Bxy(k) tijdens de inverse FFT ook gelijk aan K en wordt het cyclisch herhaald met een periode gelijk aan K. Ondertussen, met lineaire convolutie van volledige reeksen signalen volgens formule (6.2.5), wordt de De grootte van slechts de helft van de ICF is K punten, en de volledige dubbelzijdige grootte is 2K punten. Bijgevolg zullen bij de inverse FFT, rekening houdend met de cycliciteit van de convolutie, de zijperioden ervan over de hoofdperiode van de CCF worden gesuperponeerd, zoals bij de gebruikelijke cyclische convolutie van twee functies.

In afb. 6.3.5 toont een voorbeeld van twee signalen en de VCF-waarden berekend door lineaire convolutie (B1xy) en cyclische convolutie via FFT (B2xy). Om het effect van overlappende zijperioden te elimineren, is het noodzakelijk om de signalen binnen de limiet aan te vullen met nullen, tot een verdubbeling van het aantal samples, terwijl het FFT-resultaat (B3xy-grafiek in figuur 6.3.5) het resultaat van lineaire metingen volledig herhaalt. convolutie (rekening houdend met normalisatie voor een toename van het aantal monsters).

In de praktijk hangt het aantal signaaluitbreidingsnullen af ​​van de aard van de correlatiefunctie. Er wordt gewoonlijk aangenomen dat het minimum aantal nullen gelijk is aan het significante informatiegedeelte van de functies, dat wil zeggen ongeveer (3-5) correlatie-intervallen.

literatuur

1. Baskakov-circuits en signalen: leerboek voor universiteiten. - M.: Hogere school, 1988.

19. Otnes R., Enokson L. Toegepaste analyse tijdreeksen. – M.: Mir, 1982. – 428 p.

25. Sergienko-signaalverwerking. / Leerboek voor universiteiten. – Sint-Petersburg: Peter, 203. – 608 p.

33. Ayficher E., Jervis B. Digitale verwerking signalen. Praktische aanpak. / M., "Williams", 2004, 992 p.

Over opgemerkte typefouten, fouten en suggesties voor aanvullingen: *****@***ru.

Copyright©2008DavydovA.V.