Laat en zijn tweemaal continu differentieerbare scalaire functies van het vectorargument. Het is vereist om het uiterste van de functie te vinden, op voorwaarde dat het argument voldoet aan het systeem van beperkingen:

(laatste voorwaarde ook wel verbindingsvoorwaarde genoemd).

Meest eenvoudige methode Het vinden van een conditioneel extremum is het reduceren van het probleem tot het vinden van een onvoorwaardelijk extremum door de verbindingsvergelijking op te lossen met betrekking tot M variabelen en hun daaropvolgende vervanging in de objectieve functie.

Voorbeeld 3. Zoek het uiterste van de functie onder de voorwaarde .

Oplossing. Uit de verbindingsvergelijking die we uitdrukken x 2 door x 1 en vervang de resulterende uitdrukking in de functie bij:

Deze functie heeft één extremum (minimum). x 1=2. Respectievelijk, x 2=1. Dus het punt van conditioneel extremum (minimum) gegeven functie is het punt.

In het beschouwde voorbeeld is de koppelingsvergelijking gemakkelijk oplosbaar met betrekking tot een van de variabelen. In complexere gevallen is het echter niet altijd mogelijk om variabelen uit te drukken. Dienovereenkomstig is de hierboven beschreven aanpak niet op alle problemen toepasbaar.

Meer universele methode het oplossen van problemen bij het vinden van een conditioneel extremum is dat wel Lagrange-vermenigvuldigingsmethode. Het is gebaseerd op de toepassing van de volgende stelling. Als een punt een uiterste punt is van een functie in het gebied dat door de vergelijkingen wordt gedefinieerd, dan bestaat er (onder bepaalde aanvullende voorwaarden) een dergelijke M-dimensionale vector dat punt is een stationair punt van de functie

Algoritme voor de Lagrange-vermenigvuldigermethode

Stap 1. Stel de Lagrange-functie samen:

waar komt de Lagrange-vermenigvuldiger mee overeen i-de beperking.

Stap 2. Zoek de partiële afgeleiden van de Lagrange-functie en stel ze gelijk aan nul

Stap 3. Nadat ik het resulterende systeem heb opgelost N+M vergelijkingen, stationaire punten vinden.

Merk op dat op stationaire punten aan de noodzakelijke maar niet voldoende voorwaarde voor het uiterste van de functie wordt voldaan. Analyse van een stationair punt op de aanwezigheid van een extremum daarin in dit geval best ingewikkeld. Daarom wordt de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode voornamelijk gebruikt in gevallen waarin het bestaan ​​van een minimum of maximum van de onderzochte functie vooraf bekend is uit geometrische of inhoudelijke overwegingen.

Bij het oplossen van sommige economische taken Lagrange-vermenigvuldigers hebben een bepaalde semantische inhoud. Dus als - de winst van de onderneming volgens het productieplan N goederen, - kosten i-de bron dus ik- beoordeling van deze hulpbron, waarbij de mate van verandering van het optimale wordt gekenmerkt objectieve functie afhankelijk van verandering i-de bron.

Voorbeeld 4. Zoek de extrema van de functie onder de voorwaarde .

Oplossing. De functies zijn zowel continu als hebben continue partiële afgeleiden. Laten we de Lagrange-functie samenstellen:

Laten we de partiële afgeleiden vinden en deze gelijkstellen aan nul.

We krijgen twee stationaire punten:

Rekening houdend met de aard van de objectieve functie, waarvan de niveaulijnen vlakken zijn, en de functie (ellips), concluderen we dat de functie op het punt een minimumwaarde aanneemt, en op het punt een maximum.

Voorbeeld 5. Op het gebied van systeemoplossingen

vind de maximale en minimale waarde van de functie gegeven de voorwaarde.

Oplossing. Het snijpunt van het gebied van haalbare oplossingen en een rechte lijn is het segment MN: M(0,6), N(6,0). Daarom kan de functie extreme waarden aannemen, hetzij op stationaire punten, hetzij op punten M En N. Om een ​​stationair punt te vinden, passen we de Lagrange-methode toe. Laten we de Lagrange-functie samenstellen

Laten we de partiële afgeleiden van de Lagrange-functie vinden en deze gelijkstellen aan nul

Als we het systeem oplossen, verkrijgen we een stationair punt K(2,2;3,8). Laten we de waarden van de doelfunctie op de punten vergelijken K, M, N:

Vandaar,

Voorbeeld 6. Het is bekend dat de marktvraag naar een bepaald product 180 stuks bedraagt. Dit product kan worden vervaardigd door twee bedrijven van hetzelfde concern met behulp van verschillende technologieën. In de maak x 1 producten door de eerste onderneming, de kosten zullen zijn wrijven, en tijdens de productie x 2 producten van de tweede onderneming waaruit zij bestaan wrijven.

Bepaal hoeveel producten het bedrijf met elke technologie kan produceren, zodat de totale productiekosten minimaal zijn.

Oplossing. Wiskundig model van het probleem:

Om de minimumwaarde van de doelfunctie te vinden waaraan onderworpen is x 1+ x 2=180, d.w.z. Zonder rekening te houden met de vereiste van niet-negativiteit van variabelen, stellen we de Lagrange-functie samen:

Laten we de eerste afgeleiden van de Lagrange-functie vinden met betrekking tot x 1, x 2, l, en stel ze gelijk aan 0. We verkrijgen een systeem van vergelijkingen:

Als we dit systeem oplossen, vinden we de volgende wortels: , d.w.z. we verkrijgen de coördinaten van een punt waarvan wordt vermoed dat het een extremum is.

Om te bepalen of een punt ( ) lokaal minimum bestuderen we de Hessische determinant, waarvoor we de tweede partiële afgeleide van de objectieve functie berekenen:

Omdat

dan is de Hessische determinant positief definitief; daarom is de objectieve functie convex en op het punt ( ) we hebben een lokaal minimum:

Beschouw een beperkt optimalisatieprobleem dat alleen beperkingen bevat in de vorm van gelijkheden

min

bij beperkingen

,
.

Dit probleem kan in principe worden opgelost als een onbeperkt optimalisatieprobleem dat wordt verkregen door m onafhankelijke variabelen uit de doelfunctie te elimineren met behulp van gegeven gelijkheden. Door de aanwezigheid van beperkingen in de vorm van gelijkheid kun je de dimensie feitelijk verkleinen origineel probleem. Het nieuwe probleem kan worden opgelost met behulp van een geschikte, onbeperkte optimalisatiemethode.

Voorbeeld. Het is vereist om de functie te minimaliseren

wanneer beperkt

Door de variabele uit te sluiten met behulp van de vergelijking verkrijgen we een optimalisatieprobleem met twee variabelen zonder beperkingen:

minimaliseren,

die kunnen worden opgelost met behulp van een van de onvoorwaardelijke optimalisatiemethoden.

De methode voor het elimineren van variabelen is echter alleen toepasbaar in gevallen waarin de vergelijkingen die de beperkingen vertegenwoordigen, kunnen worden opgelost met betrekking tot een bepaalde reeks variabelen. Als er een groot aantal beperkingen is in de vorm van gelijkheden, wordt het proces van het elimineren van variabelen een zeer arbeidsintensieve procedure. Bovendien kunnen er situaties zijn waarin de vergelijking niet kan worden opgelost met betrekking tot een variabele. In dit geval is het raadzaam om de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode te gebruiken.

Met behulp van de Lagrange-vermenigvuldigermethode worden in wezen de noodzakelijke voorwaarden geschapen om de identificatie van optimale punten in optimalisatieproblemen met gelijkheidsbeperkingen mogelijk te maken.

Laten we het probleem eens bekijken

min

onderworpen aan beperkingen

,
.

Van de cursus wiskundige analyse het is bekend dat het voorwaardelijke minimumpunt van de functie valt samen met het zadelpunt van de Lagrange-functie:

,

in dit geval moet het zadelpunt een minimum aan variabelen bieden en maximale parameters . Deze parameters worden Lagrange-vermenigvuldigers genoemd. Gelijkstellen van partiële afgeleiden van functies Door en bij naar nul, krijgen we de noodzakelijke voorwaarden stationair punt:

,
,

,
.

Systeem oplossing
vergelijkingen bepalen het stationaire punt van de Lagrange-functie. Voldoende voorwaarden voor het bestaan ​​van een minimum van het oorspronkelijke probleem omvatten, naast de hierboven genoemde, de positieve bepaaldheid van de Hessische matrix van de objectieve functie.

4.2. Coon-tucker-omstandigheden

Laten we het probleem niet overwegen lineair programmeren met beperkingen in de vorm van ongelijkheid

min

onder beperkingen

,
.

Laten we beperkingen in de vorm van ongelijkheid terugbrengen tot gelijkheidsbeperkingen door verzwakkende variabelen aan elk ervan toe te voegen ,
:

.

Laten we de Lagrange-functie vormen:

Vervolgens nemen de noodzakelijke voorwaarden voor een minimum de vorm aan

,
;

,
;

,
.

Je kunt de laatste vergelijking vermenigvuldigen met en vervang de verzwakkende variabelen door ze uit de tweede vergelijking uit te drukken. De tweede vergelijking kan worden getransformeerd door de verzwakkende variabelen weg te laten en over te gaan op ongelijkheidsbeperkingen. Er moet nog een voorwaarde worden toegevoegd
, waaraan moet worden voldaan op het voorwaardelijke minimumpunt.

Ten slotte verkrijgen we de noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan ​​van een minimum aan niet-lineair programmeerprobleem met ongelijkheidsbeperkingen, die de Kuhn-Tucker-voorwaarden worden genoemd:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
. (4)

Ongelijkheidsbeperking
op een gegeven moment actief genoemd , als het gelijkheid wordt
, en wordt inactief genoemd als
. Als het mogelijk is om, voordat het probleem direct wordt opgelost, beperkingen te detecteren die op het optimale punt inactief zijn, dan kunnen deze beperkingen uit het model worden uitgesloten en daardoor de omvang ervan verkleinen.

Vergelijking (3) betekent dat beide
, of
. Als
, Dat
en de beperking is actief en vertegenwoordigt een gelijkheidsbeperking. Aan de andere kant, als de beperking een strikte ongelijkheid is
, dan heeft de Lagrange-vermenigvuldiger de vorm
die. beperking
is inactief en kan worden genegeerd. Uiteraard is op voorhand niet bekend welke beperkingen verwaarloosd kunnen worden.

Stelling 1. Laat het punt het conditionele uiterste punt van de functie zijn als aan de verbindingsvergelijkingen (3) is voldaan. Dan bestaan ​​er dusdanige getallen dat op dat moment aan de voorwaarden wordt voldaan

Gevolg. Laten we

waar zijn de getallen gespecificeerd in de stelling. Functie (8) wordt de Lagrange-functie genoemd. Als een punt een voorwaardelijk uiterste punt is voor een functie, dan is het een stationair punt voor de Lagrange-functie, d.w.z. op dit punt

Bewijs van de stelling. Laat het voorwaardelijke uiterste punt voor de functie zijn en laat voor de zekerheid op dit punt aan voorwaarde (4) worden voldaan. Dan is het punt het punt van het gebruikelijke uiterste voor de functie, dus op het punt

vandaar, gebruikmakend van de invariantie van de vorm van het eerste differentieel, voor het punt dat we hebben

Door (5) te vervangen door (3) en de resulterende identiteit te differentiëren in een bepaalde buurt van het punt, en dus op het punt zelf, verkrijgen we

Zowel in formule (11) als in formule (10) zijn verschillen verschillen van onafhankelijke variabelen, en verschillen zijn verschillen van functies.

Wat de getallen ook zijn, door gelijkheid (11) op het punt voor de functie te vermenigvuldigen met, en ze bij elkaar op te tellen en met gelijkheid (10), krijgen we

Zo gekozen hebben dat de gelijkheid op dat punt behouden blijft

Dit is altijd mogelijk, aangezien (13) een stelsel vergelijkingen is die lineair zijn ten opzichte van de determinant

niet gelijk aan nul.

Met deze keuze hebben we

Hier zijn alle verschillen verschillen van onafhankelijke variabelen en daarom zelf onafhankelijke variabelen die elke waarde kunnen aannemen. Nemen, en alle andere verschillen opgenomen in formule (14), gelijk aan nul, we krijgen

We hebben dus het bestaan ​​ervan bewezen dat aan de voorwaarden (13) en (15) is voldaan, d.w.z. voorwaarden (7).

De stelling is bewezen.

Algoritme voor het vinden van het extremum van een functie met behulp van de Lagrange-vermenigvuldigermethode

Laat het nodig zijn om het uiterste te vinden van een functie van n variabelen f(x 1 ,x 2 ,…,x n) op voorwaarde dat de variabelen x 1 ,x 2 ,…,x n gerelateerd zijn door relaties (beperkingen)

waaronder het aantal m gelijkheidsbeperkingen kleiner is dan het aantal n variabelen, en het aantal en r van ongelijkheidsbeperkingen willekeurig kan zijn.

Om de waarden (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X te vinden, die noodzakelijkerwijs de extrema van de functie f(X) opleveren, kun je de Lagrange-methode van onbepaalde vermenigvuldigers gebruiken:

• 1. Ongelijkheidsbeperkingen g(X)0 worden gereduceerd tot de vorm (X)0, waarbij (X) = - g(X).
• 2. Verkregen ongelijkheidsbeperkingen

worden op hun beurt gereduceerd tot gelijkheidsbeperkingen door +r extra variabelen te introduceren

Als gevolg hiervan zal het probleem van het vinden van een voorwaardelijk extremum de canonieke vorm aannemen:

waarin de relatie m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. De Lagrange-functie is gecompileerd:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

waarin de aanvullende variabelen ( 1 ,…, m++r )= onbepaalde Lagrange-vermenigvuldigers worden genoemd.

Voor de geconstrueerde Lagrange-functie kunnen we het probleem stellen van het vinden van het onvoorwaardelijke extremum

waarvan het resultaat van de oplossing zal samenvallen met de gewenste oplossing voor het oorspronkelijke probleem van het vinden van een conditioneel extremum.

4. Voor de functie Ф(Х,) worden de noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan ​​van een extremum opgesteld:

5. Het resulterende stelsel vergelijkingen Ф(Х,) = 0 wordt opgelost en als resultaat van de oplossing worden de waarden gevonden

het voldoen aan de noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan ​​van een extremum.

6. Om de vraag op te lossen of er maxima of minima zijn op de gevonden punten, moet men voldoende voorwaarden gebruiken voor het bestaan ​​van extrema, die voor vloeiende functies Ф() als volgt zijn geformuleerd:

als op een gegeven moment de matrix van tweede afgeleiden positief definitief is, dan ligt het minimum van de functie f(X) op het geanalyseerde punt;

Stuur uw goede werk naar de kennisbank is eenvoudig. Gebruik onderstaand formulier

Goed werk naar de site">

Studenten, promovendi en jonge wetenschappers die de kennisbasis gebruiken in hun studie en werk zullen je zeer dankbaar zijn.

Tsjeljabinsk Law College

Afdeling Wiskundige en Natuurwetenschappen

CURSUS WERK

in de discipline "Wiskundige methoden"

Lagrange-vermenigvuldigingsmethode

Student gr. PO-3-05, Afdeling Recht en Informatietechnologie

Leidinggevende

N.R. Khabibullina

Tsjeljabinsk

Invoering

1. Modelbouw

2. Lagrange-probleem. Onvoorwaardelijke en voorwaardelijke uitersten

3. Lagrange-probleem met één beperking

4. De betekenis van Lagrange-vermenigvuldigers

4.1. De stelling van Lagrange

4. 2. Lagrange-vermenigvuldigingsmethode

4.3. Lagrange's onbepaalde multipliermethode

4.4. Tweedimensionaal geval

Conclusie

Lijst met gebruikte literatuur

Invoering

De Lagrange-methode is gebaseerd op verschillende sleutelideeën. Eén daarvan is hoe je het minimum van een functie kunt vinden als er bepaalde beperkingen aan de functie worden opgelegd. Deze techniek wordt nu de “Lagrange-vermenigvuldigingsregel” genoemd

Dit onderwerp is relevant in de moderne tijd omdat de Lagrange-multipliermethode wordt gebruikt om niet-lineaire programmeerproblemen op te lossen die zich op veel gebieden voordoen (bijvoorbeeld in de economie).

Een belangrijke plaats in het wiskundige apparaat van de economie wordt ingenomen door optimale taken- problemen waarvoor in zekere zin de beste oplossing wordt gezocht. In de economische praktijk is het nodig om de beschikbare hulpbronnen op de meest winstgevende manier te gebruiken. IN economische theorie Eén van de uitgangspunten is het postulaat dat elke economische entiteit, die een zekere vrijheid heeft om haar gedrag te kiezen, vanuit haar gezichtspunt zoekt naar de beste optie. En optimalisatieproblemen dienen als middel om het gedrag van economische entiteiten te beschrijven, een hulpmiddel om de patronen van dit gedrag te bestuderen.

1. Modelbouw

Om het probleem te formuleren, is het noodzakelijk om het systeem te analyseren, de kenmerken ervan te bestuderen en mogelijke methoden systeem beheer. Het diagram dat als resultaat van een dergelijke analyse is opgebouwd, is een picturaal of een analoog model. De eerste fase van modelconstructie wordt dus uitgevoerd tijdens het proces van probleemformulering. Na een dergelijke analyse van het systeem wordt de lijst met verschillende opties voor oplossingen die moeten worden geëvalueerd verduidelijkt. Vervolgens worden maatstaven voor de algehele effectiviteit van deze opties bepaald. Daarom is de volgende stap het construeren van een model waarin de efficiëntie van het systeem kan worden uitgedrukt als een functie van de variabelen die het systeem definiëren. Sommige van deze variabelen in echt systeem kunnen worden gewijzigd, andere variabelen kunnen niet worden gewijzigd. We noemen de variabelen die kunnen worden gewijzigd ‘beheersbaar’. Diverse opties oplossingen voor het probleem moeten worden uitgedrukt met behulp van gecontroleerde variabelen.

De constructie van een wiskundig (symbolisch) model van een systeem kan beginnen door alle elementen van het systeem op te sommen die de efficiëntie van het systeem beïnvloeden. Als ‘totale verwachte kosten’ worden gebruikt als maatstaf voor de algehele efficiëntie, kan men beginnen met het onderzoeken van het picturale of analoge model dat is verkregen in de fase van probleemformulering. U kunt bewerkingen en materialen selecteren waaraan bepaalde kosten worden toegewezen. In dit geval krijgen we bijvoorbeeld de volgende initiële lijst:

Productie kosten:

a) aankoopprijs van grondstoffen;

b) kosten van transport van grondstoffen;

c) kosten voor het ontvangen van grondstoffen;

d) kosten voor de opslag van grondstoffen;

e) kosten van productieplanning;

f) de kosten van aanpassingswerkzaamheden in de werkplaats;

g) de kosten van het verwerkingsproces;

h) de kosten voor het opslaan van voorraden tijdens het productieproces;

i) de kosten voor het voltooien van de productie en het overbrengen van eindproducten naar het magazijn;

j) de kosten van het analyseren van de resultaten van het werk door de planningsgroep;

k) kosten voor de opslag van eindproducten.

Verkoopkosten.

Algemene kosten.

2. Lagrange-probleem . Onvoorwaardelijke en voorwaardelijke uitersten

Veel optimalisatieproblemen worden als volgt geformuleerd. De beslissing die het onderwerp moet nemen wordt beschreven door een reeks getallen x 1, x 2,..., x n (of punt X = (x 1, x 2,..., x n) van de n-dimensionale ruimte). De verdiensten van een bepaalde oplossing worden bepaald door de waarden van de functie f(X) = f(x 1, x 2,…,x n) -- objectieve functie. De beste oplossing-- dit is een punt X waar de functie f(X) aanneemt hoogste waarde. Het probleem bij het vinden van een dergelijk punt wordt als volgt beschreven:

f(X)max.

Als de functie f(X) de negatieve aspecten van de beslissing karakteriseert (schade, verliezen etc.), dan wordt gezocht naar het punt X waar de waarde van f(X) minimaal is:

f(X) min.

Het minimum en het maximum worden verenigd door het concept van extremum. Om specifiek te zijn, zullen we het alleen hebben over maximalisatieproblemen. Het vinden van het minimum vereist geen speciale aandacht, omdat je door de objectieve functie f(X) te vervangen door -f(X) altijd “nadelen in voordelen kunt omzetten” en minimalisatie kunt reduceren tot maximalisatie.

Uit welke opties moet de beste worden gekozen? Met andere woorden, tussen welke punten in de ruimte moeten we het optimale zoeken. Het antwoord op deze vraag houdt verband met een dergelijk element van het optimalisatieprobleem als reeks haalbare oplossingen. Bij sommige problemen is elke combinatie van getallen x 1, x 2,..., x n geldig, dat wil zeggen dat de reeks haalbare oplossingen de gehele beschouwde ruimte beslaat.

Bij andere problemen moet rekening worden gehouden met verschillende beperkingen, wat betekent dat niet alle punten in de ruimte beschikbaar zijn voor selectie. Bij zinvolle probleemformuleringen kan dit bijvoorbeeld te maken hebben met de beperkte hoeveelheid beschikbare middelen.

Beperkingen kunnen worden gepresenteerd in de vorm van gelijkheden van de vorm

of ongelijkheid

Als de voorwaarden een iets andere vorm hebben, bijvoorbeeld g 1 (X) = g 2 (X) of g (X) A, dan kunnen ze worden teruggebracht tot standaardweergave, overgaand in functies en constanten naar een van de delen van gelijkheid of ongelijkheid.

Een extremum dat zich in de gehele ruimte bevindt, zonder enige beperkende voorwaarden, wordt onvoorwaardelijk genoemd. Als de objectieve functie continu differentieerbaar is, dan is de noodzakelijke voorwaarde voor het onvoorwaardelijke extremum van de functie dat al zijn partiële afgeleiden gelijk zijn aan nul:

Als er beperkingen worden gespecificeerd, wordt het uiterste alleen gezocht bij punten die aan alle beperkingen van het probleem voldoen, aangezien alleen zulke punten toelaatbaar zijn. In dit geval wordt het extremum genoemd voorwaardelijk.

Beschouw het probleem van het vinden van een voorwaardelijk extremum:

onder voorwaarden (2)

g 1 (X) = 0; g 2 (X) = 0, ..., g n (X) = 0,

waarvan alle beperkingen gelijkheid zijn.

Als de objectieve functie en alle beperkende functies continu differentieerbaar zijn, noemen we een dergelijk probleem Lagrange-probleem.

3. Lagrange-probleem met één beperking

Beschouw een probleem met de volgende structuur:

f(X)max

onderworpen aan (3)

g(X) = 0.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld. Er loopt een weg langs de berghelling, je moet het hoogste punt daarop vinden. In afb. 1 toont een kaart van het gebied met daarop gemarkeerde lijnen

gelijke hoogtes; de dikke lijn is de weg. Punt M, waar de weg één vlakke lijn raakt, is het hoogste punt van de weg.

Als X = (x 1, x 2) het dichtheidspunt is, en x 1 en x 2 de coördinaten zijn, dan kan het probleem gegeven worden het volgende formulier. Laat f(X) de hoogte van punt X boven zeeniveau zijn, en de vergelijking g(X) = 0 beschrijft de weg. Dan is het hoogste punt van de weg de oplossing voor probleem (3).

Als de weg door de top van een berg zou gaan, zou het hoogste punt het hoogste punt in het gebied zijn en zou de beperking genegeerd kunnen worden.

Als de weg niet door de top gaat, kan men door iets van de weg af te wijken hoger stijgen dan door strikt langs de weg te bewegen. Afwijking van de weg komt overeen met het raken van punten waar g(X) 0; bij kleine afwijkingen kan de haalbare hoogte bij benadering proportioneel worden geacht met de afwijking.

Het idee om het Lagrange-probleem op te lossen kan als volgt worden gepresenteerd: je kunt proberen het terrein te ‘corrigeren’ zodat afwijking van de weg geen voordeel oplevert bij het bereiken van hoogten. Om dit te doen, moet u de hoogte f(X) vervangen door een functie.

L(X) = f(X) - g(X),

waarbij de vermenigvuldiger zo wordt geselecteerd dat het gedeelte van de helling in de buurt van punt M horizontaal wordt (te klein elimineert de voordelen van afwijkingen van de weg niet, en te groot geeft een voordeel voor afwijkingen in de tegenovergestelde richting ).

Omdat het reliëf L(X) het gebied in de buurt van het optimale punt horizontaal maakt, voldoet dit punt aan de gelijkheden

en aangezien het punt op de weg ligt, is de beperking g(X) = 0.

Het voorbeeld van de berg en de weg is slechts een illustratie van het idee; op dezelfde manier wordt het tweedimensionale geval uitsluitend gebruikt voor de duidelijkheid. Op een soortgelijke manier Men zou ook kunnen redeneren in het algemene, n-dimensionale geval.

De volgende bewering is waar:

Als f(x 1 ,…,x n) en g(x 1 ,…,x n) continu differentieerbare functies zijn van al hun argumenten, dan is de oplossing van het probleem

f(x 1,…,x n) max

gezien dat

g(x 1,…,x n) = 0

voldoet aan de gelijkheden

L(x 1,...,x n;) = f(x 1,...,x n) - g(x 1,...,x n).

De functie L(X;) wordt aangeroepen Lagrange-functies(of Lagrangiaans) van probleem (3), en de coëfficiënt is Lagrange-vermenigvuldiger.

Merk op dat gelijkheid (5) de beperking g(X) = 0 is, gepresenteerd in een andere vorm.

Bovenstaande redenering is uiteraard geen bewijs voor de hier geformuleerde stelling; ze helpen alleen de essentie van de methode te begrijpen: de component g(X) als onderdeel van de Lagrange-functie moet de mogelijke toename in evenwicht brengen maximale waarde functie g(X) vanaf nul. Deze omstandigheid zal in de toekomst zeer nuttig zijn bij het bespreken van de betekenis van de Lagrange-multiplier.

Laten we eens naar een uiterst eenvoudig voorbeeld kijken. Met behulp van een touw met lengte A moet je een rechthoekig gebied van het grootste gebied aan de kust afschermen (de kust wordt als recht beschouwd).

Fig.3 Naar Dido's probleem

Laten we de zijden van de rechthoek x 1 en x 2 aangeven (zie figuur 3). Laten we eerst het probleem oplossen zonder de Lagrange-methode te gebruiken.

Het is duidelijk dat x 2 = A - 2 x 1 en de oppervlakte van de rechthoek S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1) is. Als we dit beschouwen als een functie van één argument x1, is het niet moeilijk om de waarde ervan te vinden waarbij de oppervlakte maximaal is: x 1 = A/4. Dus x 2 = A/2. Het maximale oppervlak is S* = A 2 /8.

Beschouw nu hetzelfde probleem in de vorm van het Lagrange-probleem:

gezien dat

2 x 1 + x 2 - A = 0

De Lagrangiaan van dit probleem is gelijk aan

L(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A),

en de extreme omstandigheden hebben de vorm

2 x 1 + x 2 = A

Door de waarden x 1 en x 2 van de eerste en tweede gelijkheid in de derde te vervangen, vinden we dat 4 = A, vandaar

A/4; x 1 = EEN/4; x 2 =A/2,

zoals in de eerste oplossing.

Dit voorbeeld toont een gebruikelijke manier om het Lagrange-probleem op te lossen. Relaties (4) en (5) vormen een stelsel vergelijkingen voor x 1,..., x n en,. Het systeem bestaat uit n + 1 vergelijkingen - n vergelijkingen van de vorm (4) en één vergelijking van de vorm (5). Het aantal vergelijkingen is gelijk aan het aantal onbekenden. Uit vergelijkingen van de vorm (4) kun je proberen elk van de onbekenden x 1,..., x 2 uit te drukken, dat wil zeggen, het op te lossen als een stelsel van n vergelijkingen, waarbij je het als een parameter beschouwt. Door de resulterende uitdrukkingen te vervangen door vergelijking (5) - we weten dat deze samenvalt met de beperking - verkrijgen we de relatieve vergelijking. Door het op te lossen vinden ze het, waarna de initiële onbekenden x 1,..., x n worden bepaald.

4. De betekenis van Lagrange-vermenigvuldigers

Bij het oplossen van het Lagrange-probleem waren we geïnteresseerd in de waarden van x 1,..., x n; bovendien zouden we geïnteresseerd kunnen zijn in de extreme waarde van de objectieve functie f(X). Maar tijdens het oplossingsproces werd tegelijkertijd de waarde van een andere grootheid bepaald: de Lagrange-vermenigvuldiger.

Het blijkt dat de Lagrange-multiplier een zeer belangrijk kenmerk is van het probleem dat wordt opgelost. Laten we, om de betekenis ervan duidelijker te maken, de bewoording van de beperking enigszins veranderen, zonder in essentie iets te veranderen.

Een typische economische situatie wordt gekenmerkt door het feit dat men met een beperkte hoeveelheid van een bepaalde hulpbron op zoek moet naar de meest winstgevende oplossing. Als r een gegeven hoeveelheid van een hulpbron is, en de functie h(X) karakteriseert de hoeveelheid die nodig is om punt X te bereiken, dan is het normaal om de beperking de vorm te geven

Gezien de aard van het probleem is het vaak duidelijk dat om het optimale te bereiken de hulpbron volledig moet worden benut, zodat de beperking kan worden geschreven als

Deze voorwaarde kan worden weergegeven in de vorm g(X) = h(X) - r = 0. Maar van aanzienlijk belang is het maximaal haalbare niveau van de functie f(x), afhankelijk van de beschikbare hoeveelheid hulpbron r. Laten we aanduiden

F(r) = max f(X) h(X) = r.

Aan de rechterkant - aanvaarde benaming conditioneel extremum: een voorwaarde wordt na de verticale lijn geschreven.

Laten we ons herinneren dat we bij het bespreken van de structuur van de Lagrangiaan g(X) hebben geïnterpreteerd als een component die de mogelijke toename van de maximale f(X) in evenwicht brengt wanneer g(X) afwijkt van nul. Maar de afwijking van g(X) van nul is de afwijking van h(X) van r. Als de beschikbare hoeveelheid van een hulpbron met r toeneemt, dan mogen we verwachten dat het maximum van de functie f(X) met r toeneemt.

In werkelijkheid is deze verhouding bij benadering. We zouden het exacte resultaat krijgen in de limiet bij r 0:

De Lagrange-vermenigvuldiger karakteriseert dus de mate van verandering in het maximum van de objectieve functie wanneer de beperkende constante r in de beperking van de vorm (6) verandert.

In de versie van het Dido-probleem die in de vorige paragraaf werd besproken beperkte hulpbron was de lengte van touw A. De maximale oppervlakte bleek gelijk te zijn aan S(A) = A 2 /8. Dus dS(A)/dA = A/4, wat precies overeenkomt met de gevonden waarde in de oplossing.

Laten we nog een redenering geven. Voor alle mogelijke punten X vinden we de waarden van f(X) en h(X) en plotten deze waarden in de vorm van punten in Cartesiaanse coördinaten(Afb. 4). Als er voor elke waarde van h(X) een maximum is van de functie f(X), dan zullen alle punten zich onder een bepaalde curve bevinden, in de figuur weergegeven met een dikke lijn.

We zijn geïnteresseerd in punten die overeenkomen met de voorwaarde h(X) = r. Het maximum van f(X) wordt gemarkeerd door het punt M*; Laten we de helling van de curve op dit punt aangeven. Als we niet f(X) als ordinaat nemen, maar L(X;) = f(X) - , dan zou de nieuwe bovengrens een horizontale raaklijn hebben in het punt M*. Dit betekent dat in de oorspronkelijke n-dimensionale ruimte het corresponderende punt M een stationair punt is van de functie L (X;) met een gegeven parameterwaarde. Dit is dus de Lagrange-vermenigvuldiger.

Maar de dikke zwarte curve is een grafiek van de functie F(r), en is de helling ervan, wat gelijkheid impliceert (7).

4.1 Stelling van Lagrange

Stel dat een functie?(x) op het vlak wordt gegeven en een kromme g(x) = 0. Als de functie?, beperkt tot een bepaalde kromme, op een bepaald punt zijn minimum of maximum bereikt, dan zijn de vectoren?() en g"() zijn collineair (op voorwaarde dat beide functies op een punt afgeleiden hebben).

In de algemene stelling van Lagrange is de functie? hangt niet af van twee, maar van n variabelen, en er zijn verschillende functies g(x) die de beperkingen specificeren (x)=0, i=l,..., m. We zullen deze stelling zonder bewijs laten; dit zou ons te ver in de richting van wiskundige analyse leiden. Laten we eens kijken hoe goed het werkt bij het vinden van maxima en minima.

Stelling (Wet van Snell over de breking van licht). Twee media worden gescheiden door een rechte lijn, in de eerste is de voortplantingssnelheid van het licht gelijk, en in de tweede -. Als een lichtstraal het eerste medium onder een hoek met de normaal verlaat en het tweede onder een hoek binnenkomt, dan

Bewijs. Een rechte lijn in een vlak wordt gegeven door de vergelijking

waar is een willekeurig punt op een lijn,

een n is een vector loodrecht op een lijn. Laten we een willekeurig punt op de binnenkomende lichtbundel kiezen en een punt op de gebroken lichtbundel (Fig. 30). Licht reist altijd langs het pad dat de minste tijd in beslag neemt. Dit betekent dat we een punt x moeten vinden op de grens van de media waarvoor de hoeveelheid?(x) = de kleinste waarde aanneemt. Wij krijgen de taak:

?(x)=-min onder de voorwaarde g(x) = n (x--) = 0.

Volgens het principe van Lagrange zijn de vectoren "(x) en g"(x) op het minimumpunt collineair. De afgeleide?(x) is gelijk aan de som van een vector met lengte 1/ en codirectioneel met de vector x--, en een vector met lengte 1/, codirectioneel met de vector x--. En de afgeleide g"(x) is gelijk aan de vector n. De collineariteitsvoorwaarde betekent dat de som + loodrecht op de lijn staat, dat wil zeggen dat de projecties van de vectoren en op de lijn gelijk zijn. Dus wat was vereist.

Welnu, nu zijn we klaar om de beloofde oplossingen te presenteren voor de problemen van de minimale som van afstanden tot een punt op een rechte lijn en tot een punt op een vlak.

66. Probleem over minimale hoeveelheid afstanden van k punten van het vlak tot een punt op de lijn. Op een vlak zijn een lijn en k punten gegeven. Vind (of karakteriseer) de positie van een punt op een lijn waarvoor de som van de afstanden tot deze punten minimaal is.

Oplossing. Laat l de gegeven lijn zijn en laat de gegeven punten zijn. Laten we het probleem tot het minimum oplossen:

?(x) = |x--|+...+|x--|^min mits g(x) = n (x--) = 0,

waarbij een willekeurig punt op de lijn l is, en n een vector loodrecht op deze lijn is. Laten we dit aanduiden met een vector met eenheidslengte, in dezelfde richting als de vector x--. Dan?"(x)=+...+, een g"(x)=n. Volgens de stelling van Lagrange is de vector?(x) op het minimumpunt collineair met n, dat wil zeggen loodrecht op de rechte lijn l. Dus: De oplossing voor het probleem is een punt op de lijn l waarvoor de som van de projecties op de lijn k van eenheidsvectoren die van daaruit naar de gegeven punten zijn gericht gelijk is aan nul.

Als er van de gegeven k punten er minstens één is die niet op lijn l ligt, dan heeft het probleem een ​​unieke oplossing. Dit is vrij eenvoudig te bewijzen als je de techniek uit Opgave 62 gebruikt. Als k?3, dan kan een dergelijk punt over het algemeen niet worden geconstrueerd met behulp van een kompas en een liniaal (het berekenen van de coördinaten leidt tot de vergelijking hoge graad). Daarom hebben we in het algemene geval niets beters dan de beschrijving van het minimumpunt dat we hebben gegeven.

Het probleem van de minimale som van afstanden van k punten in de ruimte tot een punt op een bepaald vlak. In de ruimte zijn een vlak en k punten gegeven. Vind (of karakteriseer) de positie van een punt op het vlak waarvoor de som van de afstanden tot deze punten minimaal is.

De oplossing voor dit probleem verschilt niet van het vorige en leidt tot een soortgelijk antwoord:

Het minimum wordt bereikt op punt x van het vlak, waarvoor de som van de projecties op het vlak van k eenheidsvectoren gericht van x naar deze punten gelijk is aan nul.

4.2 Lagrange-vermenigvuldigingsmethode

Methode voor het vinden van het voorwaardelijke extremum van een functie F(X), waar relatief M beperkingen i(X) = 0, i varieert van één tot M.

Laat het NP-probleem gegeven worden onder gelijkheidsbeperkingen van de vorm

Minimaliseren (4.2.1)

onder beperkingen

Laten we aannemen dat alle functies differentieerbaar zijn. Laten we een reeks variabelen introduceren (waarvan het aantal gelijk is aan het aantal beperkingen), die we noemen Lagrange-vermenigvuldigers, en stel een Lagrange-functie samen van deze vorm:

Deze bewering is waar: om een ​​vector een oplossing te laten zijn voor probleem (4.2.1) onder beperkingen (5.2.2), is het noodzakelijk dat er een vector bestaat zodat een paar vectoren aan het stelsel van vergelijkingen zou voldoen.

Laten we de noodzaak van voorwaarden (4.2.4), (4.2.5) aantonen aan de hand van een eenvoudig voorbeeld:

minimaliseren (4.2.6)

onder beperkingen

Beperkingen (5.2.7) definiëren het haalbare gebied, dat een kromme in de ruimte is en het resultaat is van het snijpunt van en.

Laten we aannemen dat het beschouwde probleem een ​​minimumpunt heeft op: , de functies hebben continue eerste-orde afgeleiden op sommige open verzamelingen en gradiënten

lineair onafhankelijk.

Als twee variabelen in vergelijkingen (4.2.7) kunnen worden uitgedrukt via een derde in de vorm, en ze vervolgens vervangen door de objectieve functie (5.2.6), transformeren we het oorspronkelijke probleem zonder beperkingen in het volgende probleem, dat slechts één bevat variabele:

minimaliseren. (4.2.8)

Omdat de gradiënten continu en lineair onafhankelijk zijn, kunnen we de bekende stelling van de wiskundige analyse toepassen op de impliciete functie en het stationaire punt vinden, en dan.

De bovenstaande benadering kan in principe worden uitgebreid tot het geval van een functie van variabelen in aanwezigheid van gelijkheidsbeperkingen:

Als de functies voldoen aan de voorwaarden van de impliciete functiestelling, kunnen de variabelenvergelijkingen (4.2.9) worden uitgedrukt in termen van de resterende variabelen, deze vervangen door het beperkte minimalisatieprobleem en zo transformeren in een onvoorwaardelijk minimalisatieprobleem met variabelen. Deze aanpak is echter in de praktijk moeilijk te implementeren, omdat het erg moeilijk is om vergelijkingen (4.2.9) op te lossen met betrekking tot sommige variabelen. In het algemene geval is dit volkomen onmogelijk.

Laten we daarom een ​​andere benadering overwegen, die is gebaseerd op de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode.

Laat dit het minimumpunt zijn dat wordt gedefinieerd door uitdrukking (4.2.8). In overeenstemming met de bekende stelling van de wiskundige analyse over de impliciete functie kunnen we schrijven

We verkrijgen vergelijkbare relaties voor de beperkingen

Laten we vergelijkingen (4.2.10), (4.2.11) samen in de vorm schrijven

Omdat de vector niet nul is, volgt uit (4.2.12) dat. Hieruit volgt dat de rijvectoren
de matrices A moeten lineair afhankelijk zijn. Daarom zijn er drie van dergelijke scalaires die niet allemaal gelijk zijn aan 0, zodat

Scalair A kunnen niet gelijk zijn aan 0, omdat ze volgens de aanname lineair onafhankelijk zijn. Daarom krijgen we, na het delen van (5.2.13) door

Voor een minimalisatieprobleem met beperkingen (4.2.6) zijn er dus problemen waarvoor vergelijking (4.2.14) geldig is en die tegelijkertijd niet verdwijnen. Zo wordt de geldigheid van voorwaarden (4.2.4) voor het geval n=3 getoond.

Om het minimum (4.2.6) onder voorwaarden (4.2.7) te vinden, is het dus noodzakelijk om het stationaire punt van de Lagrange-functie te vinden:

Om de vereiste waarden te vinden, is het noodzakelijk om het stelsel vergelijkingen (4.2.14), (4.2.5) gezamenlijk op te lossen. Vanuit geometrisch oogpunt betekent voorwaarde (4.2.14) dat deze in het vlak ligt dat wordt opgespannen door de vectoren

Laten we nu eens kijken naar het algemene geval van willekeurige gevallen. Laat het NP-probleem worden gegeven in de vorm (4.2.1), (4.2.2), alle functies hebben continue partiële afgeleiden op de verzameling. Laat een subset zijn van de set waarop alle functies functioneren, dat wil zeggen: Dan is de volgende stelling over Lagrange-vermenigvuldigers geldig.

Stelling. Laten we zeggenDooh, er is zo'n punt , waarin het relatieve extremum van het NP-probleem (5.2.1) wordt bereikt onder omstandigheden (4.2.2). Als rangmatrices bij het punt gelijk aan , dan zijn er cijfers , die niet allemaal tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, waarvoor

Deze stelling rechtvaardigt de Lagrange-vermenigvuldigermethode, die uit de volgende stappen bestaat.

Stel de Lagrange-functie samen

Vind partiële afgeleiden

Los een stelsel vergelijkingen op

en vind punten die voldoen aan systeem (4.2.16).

4.3 Lagrange's methode van onbepaalde vermenigvuldigers

Het wordt gebruikt om problemen op te lossen met een analytische uitdrukking voor het optimaliteitscriterium en in de aanwezigheid van beperkingen voor het onafhankelijke type variabelen gelijk aan Om een ​​analytische oplossing te verkrijgen, is het vereist dat de beperkingen een analytische vorm hebben. Het gebruik van onbepaalde Lagrange-vermenigvuldigers stelt ons in staat het optimalisatieprobleem met beperkingen terug te brengen tot een probleem dat wordt opgelost door methoden voor het bestuderen van functies van klassieke analyse. In dit geval neemt de volgorde van het systeem van vergelijkingen dat wordt opgelost om het uiterste van het optimalisatiecriterium te vinden toe met het aantal beperkingen. De methode is effectief als het aantal variabelen drie of minder bedraagt. De methode wordt ook gebruikt als het aantal variabelen meer dan drie bedraagt, als het proces wordt beschreven door eindige vergelijkingen.

Laat het nodig zijn om het uiterste te vinden van een functie die afhangt van n variabelen, die op hun beurt met elkaar verbonden zijn door relaties. Het extreme dat door een functie wordt bereikt, rekening houdend met de vervulling van voorwaarden, wordt relatief of voorwaardelijk genoemd. Als het aantal variabelen gelijk is aan het aantal relaties (), dan worden de vereiste onbekenden gevonden door het stelsel vergelijkingen op te lossen dat door de relaties wordt beschreven. Het oplossen van het optimalisatieprobleem komt erop neer dat de waarden van de op deze manier gevonden variabelen worden vergeleken met de functies. Het extreme probleem kan dus worden opgelost door simpelweg variabelen op te sommen die aan de voorwaarden voldoen.

Als M< n , dan kunnen we de afhankelijkheid vinden uit de koppelingsvergelijkingen M variabelen uit n - m resterende variabelen, d.w.z.

De functie kan worden verkregen door de resulterende variabelen in de functie te vervangen. Dan zal het alleen afhangen van variabelen die geen verband houden aanvullende voorwaarden. Door het wegnemen van de beperkingen is het dus mogelijk om de dimensie van het oorspronkelijke optimalisatieprobleem te verkleinen. Vaak is het probleem op deze manier analytisch niet op te lossen. Om problemen bij het vinden van het uiterste van een functie van veel variabelen op te lossen, wordt daarom gewoonlijk de Lagrange-methode van onbepaalde vermenigvuldigers gebruikt.

Bij het introduceren van nieuwe variabelen, genaamd onbepaalde Lagrange-vermenigvuldigers, wordt het mogelijk om een ​​nieuwe functie te introduceren

die. functie m+n variabelen, waarin de beperkingen opgelegd door het systeem van functies integraal onderdeel zijn.

Een extreme waarde van een functie valt samen met een extreme waarde van een functie als aan de beperkingsvoorwaarde wordt voldaan. Een noodzakelijke voorwaarde voor het uiterste van een functie van veel variabelen is dat het differentieel van deze functie op het uiterste punt gelijk is aan nul, d.w.z.

Om aan deze uitdrukking te voldoen voor alle waarden van de onafhankelijke verschillen, is het noodzakelijk dat de coëfficiënten van deze verschillen gelijk zijn aan nul, wat een stelsel van vergelijkingen oplevert

In dit geval worden nieuwe onafhankelijke waarden bepaald op basis van de voorwaarde

De combinatie van systemen (4.3.1) en (4.3.2) kan worden verkregen

Het probleem in formulier (4.3.3) wordt dus gereduceerd tot de taak: vinden

Afzonderlijk moet worden opgemerkt dat in het algemene geval de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode het mogelijk maakt alleen de noodzakelijke voorwaarden te vinden voor het bestaan ​​van een voorwaardelijk extremum voor continue functies die continue afgeleiden hebben. Echter, van fysieke betekenis het probleem dat wordt opgelost weet meestal of we het over het maximum of het minimum van de functie hebben; bovendien is bij ontwerpproblemen in de regel de functie op het betreffende segment unimodaal. Daarom is het bij ontwerpproblemen niet nodig om de waarden van gevonden variabelen te controleren bij het oplossen van de beschouwde stelsels van vergelijkingen voor extremum met behulp van de analyse van afgeleiden van hogere orde.

4.4 Tweedimensionaal geval

Stel dat we het uiterste van een functie van twee variabelen moeten vinden F(X,j) onder de voorwaarde gespecificeerd door de vergelijking w( X,j) = 0. We nemen aan dat alle functies continu differentieerbaar zijn, en deze vergelijking definieert een vloeiende curve S op oppervlak ( X,j). Vervolgens wordt het probleem gereduceerd tot het vinden van het uiterste van de functie F op de bocht S. Dat zullen wij ook aannemen S gaat niet door punten waar het verloop ligt F verandert naar 0.

Niveaulijnen f(x,y) en curve S

Laten we op het vlak tekenen ( X,j) functieniveaulijnen F(dat wil zeggen, bochten F(X,j) = constant). Uit geometrische overwegingen is het duidelijk dat het uiterste van de functie is F op de bocht S er kunnen alleen punten zijn waar raaklijnen aan liggen S en de overeenkomstige niveaulijn vallen samen. Inderdaad, als de curve S de niveaulijn overschrijdt F op een punt ( X 0 ,j 0) transversaal (dat wil zeggen onder een hoek die niet nul is) en vervolgens langs de curve bewegen S vanaf punt ( X 0 ,j 0) kunnen we de niveaulijnen bereiken die overeenkomen met een grotere waarde F, en minder. Daarom kan een dergelijk punt geen extreem punt zijn.

Een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum zal in ons geval dus het samenvallen van de raaklijnen zijn. Om het in analytische vorm te schrijven, moet u er rekening mee houden dat het equivalent is aan het parallellisme van de gradiënten van de functies F en w op dit punt, aangezien de gradiëntvector loodrecht staat op de raaklijn aan de niveaulijn. Deze voorwaarde wordt uitgedrukt in de volgende vorm:

waarbij l een getal is dat niet nul is en dat een Lagrange-vermenigvuldiger is.

Laten we nu eens overwegen Lagrange-functie, afhankelijk van X,j en ik:

L(X,j,l) = F(X,j)? lsh( X,j)

Een noodzakelijke voorwaarde voor het extremum is dat de gradiënt gelijk is aan nul. In overeenstemming met de differentiatieregels is het in de vorm geschreven

We hebben een systeem verkregen waarvan de eerste twee vergelijkingen equivalent zijn aan de noodzakelijke voorwaarde voor een lokaal extremum (1), en de derde equivalent is aan de vergelijking w( X,j) = 0. Hieruit kunnen we vinden ( X 0 ,j 0 ,l 0). Bovendien omdat anders de gradiënt van de functie F verdwijnt op een punt dat in tegenspraak is met onze aannames. Opgemerkt moet worden dat de punten die op deze manier worden gevonden ( X 0 ,j 0) zijn mogelijk niet de gewenste punten van het voorwaardelijke extremum - de beschouwde voorwaarde is noodzakelijk, maar niet voldoende. Het vinden van een voorwaardelijk extremum met behulp van hulpfunctie L en vormt de basis van de Lagrange-vermenigvuldigermethode, hier toegepast voor het eenvoudigste geval van twee variabelen. Het blijkt dat de bovenstaande redenering generaliseert naar het geval elk nummer variabelen en vergelijkingen die voorwaarden specificeren

Conclusie

Het gebruik van wiskundige modellen is nu een zeer urgente kwestie geworden in verband met de zich voortdurend ontwikkelende economie.

De constructie van een wiskundig (symbolisch) model van een systeem kan beginnen door alle elementen van het systeem op te sommen die de efficiëntie van het systeem beïnvloeden. Als ‘totale verwachte kosten’ worden gebruikt als maatstaf voor de algehele efficiëntie, kan men beginnen met het onderzoeken van het picturale of analoge model dat is verkregen in de fase van probleemformulering.

Met de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode kunt u het maximum of minimum van een functie vinden onder gelijkheidsbeperkingen. Het hoofdidee van de methode is om van het probleem van het vinden van een voorwaardelijk extremum over te gaan naar het probleem van het vinden van het onvoorwaardelijke extremum van een geconstrueerde Lagrange-functie.

De methode van Lagrange-vermenigvuldigers speelt dus een belangrijke rol bij de ontwikkeling, voorspelling, constructie van de optimale optie, het menselijke werkterrein.

. Lijst met gebruikte literatuur

1. V.I. Varfolomeev “Modellering van elementen van economische systemen.” Moskou 2000

2. Buslenko N.P. “Modellering van complexe systemen” Moskou, 1999.

3. W. Churchman, R. Akof, L. Artof. "Inleiding tot operationeel onderzoek." Wetenschap: Moskou, 1968.

4. A. Budylin “Elementaire problemen”. Moskou, 2002

5. Vanko VI, Ermoshina OV, Kuvyrkin G.N. Variatie "Calculus en optimale controle". Moskou, 1999

6. Ashmanov S.A., Timokhov A.V. “Optimalisatietheorie in problemen en oefeningen.” Moskou, 1991

7. “Laboratoriumworkshop over optimalisatiemethoden.” A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev. - Samara, 1998

Soortgelijke documenten

Een methode voor het oplossen van een probleem waarbij de coëfficiënten a[i] worden bepaald door het systeem rechtstreeks op te lossen - de methode van onbepaalde coëfficiënten. De interpolatieformule van Newton en zijn varianten. Constructie van een Lagrange-interpolatiepolynoom voor een gegeven functie.

laboratoriumwerk, toegevoegd 16-11-2015


Toepassing van de Lagrange-functie in convexe en lineaire programmering. Het eenvoudigste probleem van Boltz en de klassieke variatierekening. De Euler-Lagrange-vergelijking gebruiken om het isoperimetrische probleem op te lossen. Randvoorwaarden voor het vinden van constanten.

cursuswerk, toegevoegd op 16-01-2013


Het vinden van het extremum van een functie van verschillende variabelen, niet over het hele definitiedomein, maar over een verzameling die aan een bepaalde voorwaarde voldoet. Casestudy het vinden van de maximale en minimale punten van de functie. Belangrijkste kenmerken van de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode.

presentatie, toegevoegd op 17-09-2013


Methoden voor voorwaardelijke en onvoorwaardelijke niet-lineaire optimalisatie. Studie van een functie voor een onvoorwaardelijk extremum. Numerieke methoden voor het minimaliseren van een functie. Minimalisatie met gemengde beperkingen. Zadelpunten van de Lagrange-functie. Gebruik van MS Excel- en Matlab-pakketten.

laboratoriumwerk, toegevoegd 07/06/2009


Voordelen van Lagrange-vergelijkingen en hun toepassingen. Classificatie van verbindingen binnen mechanisch systeem. Mogelijke bewegingen van het mechanische systeem en het aantal vrijheidsgraden. Toepassing van Lagrange-vergelijkingen van de tweede soort op de studie van een mechanisch systeem.

cursuswerk, toegevoegd op 21-08-2009


Toepassing van de stelling van Lagrange bij het oplossen van problemen. Het wordt gebruikt bij het oplossen van ongelijkheden en vergelijkingen, bij het vinden van het aantal wortels van een vergelijking. Problemen oplossen met behulp van de monotoniciteitsvoorwaarde. Relaties tussen toenemende of afnemende functies.

samenvatting, toegevoegd op 14-03-2013


Bewijs van het bestaan ​​en het unieke karakter van het Lagrange-interpolatiepolynoom. Het concept van Lagrangiaanse coëfficiënten. Methoden voor het specificeren van de hellingen van een interpolerende kubieke spline, het gebruik ervan voor het benaderen van functies over grote intervallen.

presentatie, toegevoegd op 29-10-2013


Het vinden van extremen van functies met behulp van de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode. Uitgebreide objectieve functie-expressie. Schema van het algoritme voor de numerieke oplossing van het probleem door de methode van straffuncties in combinatie met de methode van onvoorwaardelijke minimalisatie. Constructie van beperkingslijnen.

cursuswerk, toegevoegd op 05/04/2011


Vorming van de Lagrange-functie, Kuhn- en Tucker-omstandigheden. Numerieke optimalisatiemethoden en stroomdiagrammen. Toepassing van straffunctiemethoden, extern punt, coördineer de afdaling, conjugeer gradiënten om voorwaardelijke optimalisatieproblemen terug te brengen tot onvoorwaardelijke.

cursuswerk, toegevoegd op 27-11-2012


Een grafiek van een continue functie plotten. Definitie van de Lagrange-vermenigvuldiger. Kritieke punten zijn waarden van het argument uit het domein van de definitie van de functie waarbij de afgeleide van de functie verdwijnt. De grootste en kleinste waarde functies op een segment.

Korte theorie

De Lagrange-vermenigvuldigingsmethode is een klassieke methode voor het oplossen van wiskundige programmeerproblemen (in het bijzonder convexe problemen). Helaas, wanneer praktische toepassing De methode kan aanzienlijke rekenproblemen tegenkomen, waardoor de reikwijdte van het gebruik ervan wordt beperkt. We beschouwen de Lagrange-methode hier vooral omdat het een apparaat is dat actief wordt gebruikt ter onderbouwing van verschillende moderne numerieke methoden die in de praktijk veel worden gebruikt. Wat de Lagrange-functie en de Lagrange-vermenigvuldigers betreft, ze spelen een onafhankelijke en exclusieve rol belangrijke rol in theorie en toepassingen, niet alleen in wiskundig programmeren.

Beschouw een klassiek optimalisatieprobleem:

Onder de beperkingen van dit probleem zijn er geen ongelijkheden, er zijn geen voorwaarden voor de niet-negativiteit van de variabelen, hun discretie en de functies, en ze zijn continu en hebben partiële afgeleiden met betrekking tot ten minste tweede bestelling.

De klassieke benadering voor het oplossen van het probleem biedt een systeem van vergelijkingen (noodzakelijke voorwaarden) waaraan moet worden voldaan door het punt dat de functie voorziet van een lokaal extremum op de reeks punten die aan de beperkingen voldoen (voor een convex programmeerprobleem het gevonden punt zal ook het mondiale uiterste punt zijn).

Laten we aannemen dat op een punt de functie (1) een lokaal conditioneel extremum heeft en dat de rangorde van de matrix gelijk is aan . Vervolgens worden de noodzakelijke voorwaarden in de vorm geschreven:

er is een Lagrange-functie; – Lagrange-vermenigvuldigers.

Er zijn ook voldoende omstandigheden waaronder de oplossing van het stelsel vergelijkingen (3) het uiterste punt van de functie bepaalt. Deze vraag wordt opgelost op basis van de studie van het teken van het tweede differentiaal van de Lagrange-functie. Voldoende voorwaarden zijn echter vooral van theoretisch belang.

U kunt de volgende procedure specificeren voor het oplossen van probleem (1), (2) met behulp van de Lagrange-vermenigvuldigingsmethode:

1) stel de Lagrange-functie (4) samen;

2) vind de partiële afgeleiden van de Lagrange-functie met betrekking tot alle variabelen en stel ze gelijk

nul. Zo krijg je een systeem (3), bestaande uit vergelijkingen. Los het resulterende systeem op (als dit mogelijk blijkt!) en vind zo alle stationaire punten van de Lagrange-functie;

3) Selecteer vanuit stationaire punten zonder coördinaten punten waarop de functie voorwaardelijke lokale extrema heeft in de aanwezigheid van beperkingen (2). Deze keuze wordt bijvoorbeeld gemaakt onder gebruikmaking van voldoende voorwaarden voor een lokaal extremum. Vaak wordt het onderzoek vereenvoudigd als er gebruik wordt gemaakt van specifieke omstandigheden van het probleem.

Voorbeeld van probleemoplossing

De taak

Het bedrijf produceert twee soorten goederen in hoeveelheden en . De bruikbare kostenfunctie wordt bepaald door de relatie. De prijzen van deze goederen op de markt zijn gelijk en dienovereenkomstig.

Bepaal bij welke outputvolumes wordt bereikt maximale winst en waar is het aan gelijk als de totale kosten niet hoger zijn dan

Heeft u problemen met het begrijpen van de voortgang van een beslissing? De website biedt een dienst Problemen oplossen met behulp van methoden voor optimale oplossingen om te bestellen

De oplossing van het probleem

Economisch en wiskundig model van het probleem

Winstfunctie:

Kostenbeperkingen:

We krijgen het volgende economische en wiskundige model:

Bovendien, afhankelijk van de betekenis van de taak

Lagrange-vermenigvuldigingsmethode

Laten we de Lagrange-functie samenstellen:

We vinden de partiële afgeleiden van de eerste orde:

Laten we een stelsel vergelijkingen maken en oplossen:

Sindsdien

Maximale winst:

Antwoord

Het is dus noodzakelijk om voedsel vrij te geven. goederen van het 1e type en eenheden. goederen van het 2e type. In dit geval zal de winst maximaal zijn en 270 bedragen.
Er wordt een voorbeeld gegeven van het oplossen van een kwadratisch convex programmeerprobleem met behulp van een grafische methode.

Een lineair probleem oplossen met een grafische methode
Beschouwd grafische methode het oplossen van een lineair programmeerprobleem (LPP) met twee variabelen. Er wordt een voorbeeld van de taak gegeven gedetailleerde beschrijving een tekening maken en een oplossing vinden.

Wilsons voorraadbeheermodel
Aan de hand van het voorbeeld van het oplossen van het probleem wordt het basismodel van voorraadbeheer (Wilson-model) beschouwd. De volgende modelindicatoren zijn berekend: optimale maat bestelhoeveelheden, jaarlijkse opslagkosten, leveringsintervallen en bestelpunt.

Directe kostenratiomatrix en input-outputmatrix
Aan de hand van het voorbeeld van het oplossen van een probleem wordt het intersectorale model van Leontiev overwogen. Getoond wordt de berekening van de coëfficiëntenmatrix van directe materiaalkosten, de input-outputmatrix en de coëfficiëntenmatrix indirecte kosten, vectoren van eindconsumptie en bruto-productie.