Antwoord: de reeks divergeert.

Voorbeeld nr. 3

Bereken de som van de reeks $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Omdat de ondergrens van de optelling 1 is, wordt de algemene term van de reeks geschreven onder het somteken: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Laten we de n-de deelsom van de reeks maken, d.w.z. Laten we de eerste $n$-termen van een bepaalde getallenreeks optellen:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Waarom ik precies $\frac(2)(3\cdot 5)$ schrijf, en niet $\frac(2)(15)$, zal duidelijk worden uit de verdere vertelling. Het opschrijven van een deelbedrag heeft ons echter geen jota dichter bij ons doel gebracht. We moeten $\lim_(n\to\infty)S_n$ vinden, maar als we gewoon schrijven:

$$ \lim_(n\naar\infty)S_n=\lim_(n\naar\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

dan zal dit verslag, dat qua vorm volledig correct is, ons in wezen niets opleveren. Om de limiet te vinden, moet eerst de uitdrukking voor de deelsom vereenvoudigd worden.

Hiervoor bestaat een standaardtransformatie, die bestaat uit het ontleden van de breuk $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, die de algemene term van de reeks vertegenwoordigt, in elementaire breuken. Een apart onderwerp is gewijd aan de kwestie van het ontbinden van rationale breuken in elementaire breuken (zie bijvoorbeeld voorbeeld nr. 3 op deze pagina). Als we de breuk $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ uitbreiden naar elementaire breuken, krijgen we:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

We stellen de tellers van de breuken aan de linker- en rechterkant van de resulterende gelijkheid gelijk:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Er zijn twee manieren om de waarden van $A$ en $B$ te vinden. U kunt de haakjes openen en de termen herschikken, of u kunt eenvoudigweg enkele geschikte waarden vervangen in plaats van $n$. Ter afwisseling gaan we in dit voorbeeld de eerste weg, en in de volgende vervangen we de privéwaarden $n$. Als we de haakjes openen en de termen herschikken, krijgen we:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Aan de linkerkant van de gelijkheid wordt $n$ voorafgegaan door een nul. Voor de duidelijkheid kan de linkerkant van de gelijkheid worden weergegeven als $0\cdot n+ 2$. Omdat aan de linkerkant van de gelijkheid $n$ wordt voorafgegaan door nul, en aan de rechterkant van de gelijkheid $n$ wordt voorafgegaan door $2A+2B$, hebben we de eerste vergelijking: $2A+2B=0$. Laten we beide zijden van deze vergelijking onmiddellijk door 2 delen, waarna we $A+B=0$ krijgen.

Omdat aan de linkerkant van de gelijkheid de vrije term gelijk is aan 2, en aan de rechterkant van de gelijkheid de vrije term gelijk is aan $3A+B$, dan is $3A+B=2$. We hebben dus een systeem:

$$ \left\(\begin(uitgelijnd) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(uitgelijnd)\rechts. $$

We zullen het bewijs uitvoeren met behulp van de methode van wiskundige inductie. Bij de eerste stap moet u controleren of de gelijkheid die wordt bewezen waar is $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ voor $n=1$. We weten dat $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, maar zal de uitdrukking $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ de waarde $\frac( geven? 2 )(15)$, als we er $n=1$ in vervangen? Laten we eens kijken:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Voor $n=1$ is dus voldaan aan de gelijkheid $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Hiermee is de eerste stap van de methode van wiskundige inductie voltooid.

Laten we aannemen dat voor $n=k$ aan de gelijkheid is voldaan, d.w.z. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Laten we bewijzen dat aan dezelfde gelijkheid zal worden voldaan voor $n=k+1$. Om dit te doen, overweeg $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Omdat $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, dan is $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Volgens de bovenstaande veronderstelling $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, daarom de formule $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ zal de vorm aannemen:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Conclusie: de formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ is correct voor $n=k+1$. Daarom is, volgens de methode van wiskundige inductie, de formule $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ waar voor elke $n\in N$. Gelijkheid is bewezen.

In een standaardcursus hogere wiskunde zijn ze meestal tevreden met het “doorhalen” van termen die ze willen schrappen, zonder dat daarvoor enig bewijs nodig is. We hebben dus de uitdrukking voor de n-de gedeeltelijke som: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Laten we de waarde van $\lim_(n\to\infty)S_n$ vinden:

Conclusie: de gegeven reeks convergeert en de som ervan is $S=\frac(1)(3)$.

De tweede manier om de formule voor een gedeeltelijke som te vereenvoudigen.

Eerlijk gezegd geef ik zelf de voorkeur aan deze methode :) Laten we het gedeeltelijke bedrag in een verkorte versie opschrijven:

$$ S_n=\som\limieten_(k=1)^(n)u_k=\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

We hebben eerder vastgesteld dat $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, dus:

$$ S_n=\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\som\limieten_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\rechts). $$

De som $S_n$ bevat een eindig aantal termen, dus we kunnen ze naar wens herschikken. Ik wil eerst alle termen van de vorm $\frac(1)(2k+1)$ bij elkaar optellen, en pas daarna overgaan naar termen van de vorm $\frac(1)(2k+3)$. Dit betekent dat wij het deelbedrag als volgt presenteren:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Natuurlijk is de uitgebreide notatie buitengewoon lastig, dus de bovenstaande gelijkheid kan compacter worden geschreven:

$$ S_n=\som\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Laten we nu de uitdrukkingen $\frac(1)(2k+1)$ en $\frac(1)(2k+3)$ in één vorm transformeren. Ik denk dat het handig is om het terug te brengen tot een grotere fractie (hoewel het mogelijk is om een ​​kleinere fractie te gebruiken, dit is een kwestie van smaak). Omdat $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk), geven we de breuk $\frac(1)(2k+ 3) $ naar de vorm $\frac(1)(2k+1)$.

Ik zal de uitdrukking in de noemer van de breuk $\frac(1)(2k+3)$ als volgt weergeven:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

En de som $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ kan nu als volgt worden geschreven:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\som\limieten_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Als de gelijkheid $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ roept geen vragen op, laten we verder gaan. Als u vragen heeft, kunt u de notitie uitbreiden.

Hoe hebben wij het omgerekende bedrag verkregen? toon\verberg

We hadden een reeks $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Laten we een nieuwe variabele introduceren in plaats van $k+1$, bijvoorbeeld $t$. Dus $t=k+1$.

Hoe is de oude variabele $k$ veranderd? En het veranderde van 1 naar $n$. Laten we eens kijken hoe de nieuwe variabele $t$ zal veranderen. Als $k=1$, dan is $t=1+1=2$. Als $k=n$, dan is $t=n+1$. Dus de uitdrukking $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ wordt nu: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\som\limieten_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

We hebben de som $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Vraag: maakt het uit welke letter in dit bedrag wordt gebruikt? :) Door simpelweg de letter $k$ te schrijven in plaats van $t$, krijgen we het volgende:

$$ \som\limieten_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\som\limieten_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Dit is hoe we de gelijkheid krijgen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

De gedeeltelijke som kan dus als volgt worden weergegeven:

$$ S_n=\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\som\limieten_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Merk op dat de sommen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ en $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ verschillen alleen in de sommatielimieten. Laten we deze limieten hetzelfde maken. Als we het eerste element uit de som $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ wegnemen, krijgen we:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

Als we het laatste element “wegnemen” van de som $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, krijgen we:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\som\limieten_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Dan zal de uitdrukking voor de deelsom de vorm aannemen:

$$ S_n=\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\som\limieten_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Als u alle uitleg overslaat, zal het proces van het vinden van een verkorte formule voor de n-de gedeeltelijke som de volgende vorm aannemen:

$$ S_n=\som\limieten_(k=1)^(n)u_k =\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Laat me je eraan herinneren dat we de breuk $\frac(1)(2k+3)$ hebben teruggebracht tot de vorm $\frac(1)(2k+1)$. Natuurlijk kunt u het tegenovergestelde doen, d.w.z. representeer de breuk $\frac(1)(2k+1)$ als $\frac(1)(2k+3)$. De uiteindelijke uitdrukking voor de deelsom verandert niet. In dit geval verberg ik het proces voor het vinden van het gedeeltelijke bedrag onder een notitie.

Hoe vind je $S_n$ als je het omzet naar een andere breuk? toon\verberg

$$ S_n =\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\som\limieten_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\som\limieten_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Dus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Zoek de limiet $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\naar\infty)S_n=\lim_(n\naar\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

De gegeven reeks convergeert en de som ervan $S=\frac(1)(3)$.

Antwoord: $S=\frac(1)(3)$.

De voortzetting van het onderwerp van het vinden van de som van een reeks zal in het tweede en derde deel worden besproken.

Som van een rekenkundige progressie.

De som van een rekenkundige progressie is eenvoudig. Zowel qua betekenis als qua formule. Maar er zijn allerlei taken over dit onderwerp. Van basic tot behoorlijk stevig.

Laten we eerst de betekenis en formule van het bedrag begrijpen. En dan beslissen wij. Voor je eigen plezier.) De betekenis van het bedrag is zo simpel als een loei. Om de som van een rekenkundige reeks te vinden, hoeft u alleen maar alle termen zorgvuldig op te tellen. Als er maar weinig termen zijn, kunt u zonder formules toevoegen. Maar als er veel is, of veel... toevoeging is vervelend.) In dit geval komt de formule te hulp.

De formule voor het bedrag is eenvoudig:

Laten we eens kijken wat voor soort letters er in de formule zijn opgenomen. Dit zal een hoop ophelderen.

Sn - de som van een rekenkundige progressie. Toevoeging resultaat iedereen leden, met Eerst Door laatst. Dit is belangrijk. Ze kloppen precies Alle leden op een rij, zonder over te slaan of over te slaan. En precies, vanaf Eerst. Bij problemen zoals het vinden van de som van de derde en achtste term, of de som van de vijfde tot en met twintigste term, zal directe toepassing van de formule teleurstellen.)

een 1 - Eerst lid van de progressie. Alles is hier duidelijk, het is eenvoudig Eerst rij nummer.

een- laatst lid van de progressie. Het laatste nummer uit de serie. Geen erg bekende naam, maar toegepast op de hoeveelheid is het zeer toepasselijk. Dan zul je het zelf zien.

N - nummer van het laatste lid. Het is belangrijk om te begrijpen dat dit nummer in de formule staat komt overeen met het aantal toegevoegde termen.

Laten we het concept definiëren laatst lid een. Lastige vraag: welk lid wordt de laatste indien gegeven eindeloos rekenkundige progressie?)

Om zelfverzekerd te kunnen antwoorden, moet je de elementaire betekenis van een rekenkundige reeks begrijpen en... de taak aandachtig lezen!)

Bij het vinden van de som van een rekenkundige progressie verschijnt altijd de laatste term (direct of indirect), wat beperkt moet worden. Anders een definitief, specifiek bedrag bestaat simpelweg niet. Voor de oplossing maakt het niet uit of de voortgang gegeven is: eindig of oneindig. Het maakt niet uit hoe het wordt gegeven: een reeks getallen of een formule voor de n-de term.

Het belangrijkste is om te begrijpen dat de formule werkt vanaf de eerste term van de progressie tot de term met getal N. Eigenlijk ziet de volledige naam van de formule er als volgt uit: de som van de eerste n termen van een rekenkundige progressie. Het aantal van deze allereerste leden, d.w.z. N, wordt uitsluitend bepaald door de taak. Bij een taak wordt al deze waardevolle informatie vaak gecodeerd, ja... Maar dat maakt niet uit, in de onderstaande voorbeelden onthullen we deze geheimen.)

Voorbeelden van taken op de som van een rekenkundige progressie.

Allereerst nuttige informatie:

De grootste moeilijkheid bij taken waarbij de som van een rekenkundige progressie betrokken is, ligt in de juiste bepaling van de elementen van de formule.

De taakschrijvers coderen deze elementen met een grenzeloze verbeeldingskracht.) Het belangrijkste hier is niet bang te zijn. Als je de essentie van de elementen begrijpt, volstaat het om ze eenvoudigweg te ontcijferen. Laten we een paar voorbeelden in detail bekijken. Laten we beginnen met een taak gebaseerd op een echte GIA.

1. De rekenkundige progressie wordt gegeven door de voorwaarde: a n = 2n-3,5. Bereken de som van de eerste tien termen.

Goed gedaan. Makkelijk.) Wat moeten we weten om het bedrag met behulp van de formule te bepalen? Eerste lid een 1, laatste termijn een, ja het nummer van het laatste lid N.

Waar kan ik het laatste lidnummer opvragen? N? Ja, daar, op voorwaarde! Er staat: zoek de som eerste 10 leden. Welk nummer zal het zijn? laatst, tiende lid?) Je zult het niet geloven, zijn nummer is tiende!) Daarom, in plaats van een we zullen dit in de formule vervangen een 10, en in plaats daarvan N- tien. Ik herhaal, het nummer van het laatste lid valt samen met het aantal leden.

Het valt nog te bepalen een 1 En een 10. Dit kan eenvoudig worden berekend met behulp van de formule voor de n-de term, die in de probleemstelling wordt gegeven. Weet je niet hoe je dit moet doen? Woon de vorige les bij, zonder deze is er geen mogelijkheid.

een 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

een 10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S 10.

We hebben de betekenis van alle elementen van de formule voor de som van een rekenkundige progressie ontdekt. Het enige dat overblijft is om ze te vervangen en te tellen:

Dat is het. Antwoord: 75.

Een andere taak gebaseerd op de GIA. Iets ingewikkelder:

2. Gegeven een rekenkundige progressie (a n), waarvan het verschil 3,7 bedraagt; een 1 =2,3. Bereken de som van de eerste vijftien termen.

We schrijven onmiddellijk de somformule:

Met deze formule kunnen we de waarde van elke term vinden aan de hand van het getal. We zoeken naar een eenvoudige vervanging:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Het enige dat overblijft is om alle elementen in de formule voor de som van een rekenkundige progressie te vervangen en het antwoord te berekenen:

Antwoord: 423.

Trouwens, als in de somformule in plaats van een We vervangen eenvoudigweg de formule voor de n-de term en krijgen:

Laten we soortgelijke formules presenteren en een nieuwe formule verkrijgen voor de som van de termen van een rekenkundige progressie:

Zoals u kunt zien, is de n-de term hier niet vereist een. Bij sommige problemen helpt deze formule veel, ja... Je kunt deze formule onthouden. Of je kunt het gewoon op het juiste moment weergeven, zoals hier. Je moet immers altijd de formule voor de som en de formule voor de n-de term onthouden.)

Nu de taak in de vorm van een korte codering):

3. Zoek de som van alle positieve getallen van twee cijfers die een veelvoud zijn van drie.

Wauw! Noch je eerste lid, noch je laatste, en helemaal geen vooruitgang... Hoe te leven!?

Je zult met je hoofd moeten nadenken en alle elementen van de som van de rekenkundige progressie uit de voorwaarde moeten halen. We weten wat tweecijferige getallen zijn. Ze bestaan ​​uit twee cijfers.) Welk tweecijferig nummer zal zijn Eerst? 10, vermoedelijk.) A laatst dubbelcijferig nummer? 99, natuurlijk! De driecijferige cijfers zullen hem volgen...

Veelvouden van drie... Hm... Dit zijn getallen die deelbaar zijn door drie, hier! Tien is niet deelbaar door drie, 11 is niet deelbaar... 12... is deelbaar! Er is dus iets aan het ontstaan. U kunt al een reeks opschrijven volgens de omstandigheden van het probleem:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Zal deze reeks een rekenkundige progressie zijn? Zeker! Elke term verschilt strikt van de vorige met drie termen. Als je 2 of 4 optelt bij een term, bijvoorbeeld het resultaat, d.w.z. het nieuwe getal is niet meer deelbaar door 3. Je kunt meteen het verschil in de rekenkundige progressie bepalen: d = 3. Het zal van pas komen!)

We kunnen dus veilig enkele progressieparameters opschrijven:

Wat zal het nummer zijn? N laatste lid? Wie denkt dat 99 zich vergist, vergist zich... De getallen staan ​​altijd op een rij, maar onze leden springen over de drie heen. Ze komen niet overeen.

Er zijn hier twee oplossingen. Eén manier is voor de superhardwerkende mensen. Je kunt de voortgang en de hele reeks getallen opschrijven en het aantal leden tellen met je vinger.) De tweede manier is voor nadenkende mensen. U moet de formule voor de n-de term onthouden. Als we de formule op ons probleem toepassen, ontdekken we dat 99 de dertigste term van de progressie is. Die. n = 30.

Laten we eens kijken naar de formule voor de som van een rekenkundige progressie:

We kijken en verheugen ons.) We haalden uit de probleemstelling al het nodige om het bedrag te berekenen:

een 1= 12.

een 30= 99.

Sn = S 30.

Het enige dat overblijft is elementaire rekenkunde. We vervangen de getallen in de formule en berekenen:

Antwoord: 1665

Een ander type populaire puzzel:

4. Gegeven een rekenkundige progressie:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Zoek de som van de termen van de twintigste tot en met vierendertig.

We kijken naar de formule voor het bedrag en... we raken van streek.) De formule, laat me je eraan herinneren, berekent het bedrag vanaf de eerste lid. En in het probleem moet je de som berekenen sinds de twintigste... De formule zal niet werken.

Je kunt natuurlijk de hele voortgang in een reeks uitschrijven en termen van 20 tot 34 toevoegen. Maar... het is op de een of andere manier stom en duurt lang, toch?)

Er is een elegantere oplossing. Laten we onze serie in twee delen verdelen. Het eerste deel zal zijn van de eerste termijn tot en met de negentiende. Tweede deel - van twintig tot vierendertig. Het is duidelijk dat als we de som van de termen van het eerste deel berekenen S 1-19, laten we het toevoegen met de som van de termen van het tweede deel S 20-34, krijgen we de som van de voortgang van de eerste termijn naar de vierendertigste S 1-34. Zoals dit:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Hieruit kunnen we zien dat de som wordt gevonden S 20-34 kan worden gedaan door eenvoudig aftrekken

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Er wordt rekening gehouden met de beide bedragen aan de rechterkant vanaf de eerste lid, d.w.z. de standaard somformule is heel goed op hen van toepassing. Laten we beginnen?

We halen de voortgangsparameters uit de probleemstelling:

d=1,5.

een 1= -21,5.

Om de som van de eerste 19 en de eerste 34 termen te berekenen, hebben we de 19e en 34e term nodig. We berekenen ze met behulp van de formule voor de n-de term, zoals in probleem 2:

een 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

een 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Er is niets meer over. Trek van de som van 34 termen de som van 19 termen af:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwoord: 262,5

Eén belangrijke opmerking! Er is een zeer nuttige truc om dit probleem op te lossen. In plaats van directe berekening wat je nodig hebt (S 20-34), wij telden iets dat niet nodig lijkt te zijn - S 1-19. En toen bepaalden ze S 20-34, waarbij het onnodige uit het volledige resultaat wordt weggegooid. Dit soort ‘schijnbewegingen met je oren’ bespaart je vaak ernstige problemen.)

In deze les hebben we gekeken naar problemen waarvoor het voldoende is om de betekenis van de som van een rekenkundige progressie te begrijpen. Nou, je moet een paar formules kennen.)

Praktisch advies:

Bij het oplossen van een probleem waarbij de som van een rekenkundige reeks betrokken is, raad ik aan om onmiddellijk de twee belangrijkste formules uit dit onderwerp op te schrijven.

Formule voor de nde term:

Deze formules vertellen je meteen waar je op moet letten en in welke richting je moet denken om het probleem op te lossen. Helpt.

En nu de taken voor een onafhankelijke oplossing.

5. Bereken de som van alle tweecijferige getallen die niet deelbaar zijn door drie.

Cool?) De hint zit verborgen in de opmerking bij probleem 4. Nou, probleem 3 zal helpen.

6. De rekenkundige progressie wordt gegeven door de voorwaarde: a 1 = -5,5; een n+1 = een n+0,5. Bereken de som van de eerste 24 termen.

Ongebruikelijk?) Dit is een terugkerende formule. Je kunt erover lezen in de vorige les. Negeer de link niet; dergelijke problemen worden vaak aangetroffen bij de Staatsacademie van Wetenschappen.

7. Vasya spaarde geld voor de vakantie. Maar liefst 4550 roebel! En ik besloot mijn favoriete persoon (ikzelf) een paar dagen geluk te gunnen). Leef mooi zonder jezelf iets te ontzeggen. Geef de eerste dag 500 roebel uit en geef op elke volgende dag 50 roebel meer uit dan de vorige! Tot het geld op is. Hoeveel dagen van geluk had Vasya?

Moeilijk?) Een aanvullende formule uit probleem 2 zal helpen.

Antwoorden (in wanorde): 7, 3240, 6.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Voordat we beginnen met beslissen rekenkundige progressieproblemen Laten we eens kijken wat een getallenreeks is, aangezien een rekenkundige progressie een speciaal geval is van een getallenreeks.

Een nummerreeks is een getallenset, waarvan elk element een eigen serienummer heeft. De elementen van deze set worden leden van de reeks genoemd. Het serienummer van een sequentie-element wordt aangegeven door een index:

Het eerste element van de reeks;

Vijfde element van de reeks;

- het “n-de” element van de reeks, d.w.z. element "in wachtrij staan" op nummer n.

Er bestaat een relatie tussen de waarde van een reekselement en zijn volgnummer. Daarom kunnen we een reeks beschouwen als een functie waarvan het argument het rangtelwoord is van het element van de reeks. Met andere woorden: we kunnen dat zeggen de reeks is een functie van het natuurlijke argument:

De volgorde kan op drie manieren worden ingesteld:

1 . De volgorde kan worden gespecificeerd met behulp van een tabel. In dit geval stellen we eenvoudigweg de waarde van elk lid van de reeks in.

Iemand besloot bijvoorbeeld persoonlijk tijdmanagement te gaan doen en om te beginnen te tellen hoeveel tijd hij gedurende de week aan VKontakte besteedt. Door de tijd in de tabel vast te leggen, krijgt hij een reeks die uit zeven elementen bestaat:

De eerste regel van de tabel geeft het nummer van de dag van de week aan, de tweede - de tijd in minuten. We zien dat, dat wil zeggen, op maandag iemand 125 minuten op VKontakte heeft doorgebracht, dat wil zeggen op donderdag - 248 minuten, en dat wil zeggen op vrijdag slechts 15.

2 . De reeks kan worden gespecificeerd met behulp van de n-de termformule.

In dit geval wordt de afhankelijkheid van de waarde van een reekselement van zijn aantal rechtstreeks uitgedrukt in de vorm van een formule.

Bijvoorbeeld als , dan

Om de waarde van een reekselement met een bepaald getal te vinden, vervangen we het elementnummer in de formule van de n-de term.

We doen hetzelfde als we de waarde van een functie moeten vinden als de waarde van het argument bekend is. We vervangen de waarde van het argument in de functievergelijking:

Als je bijvoorbeeld , Dat

Ik wil nogmaals opmerken dat in een reeks het argument, in tegenstelling tot een willekeurige numerieke functie, alleen een natuurlijk getal kan zijn.

3 . De reeks kan worden gespecificeerd met behulp van een formule die de afhankelijkheid uitdrukt van de waarde van het reekslidnummer n van de waarden van de voorgaande leden.

In dit geval is het niet voldoende dat we alleen het nummer van het lid van de reeks kennen om de waarde ervan te vinden. We moeten het eerste lid of de eerste paar leden van de reeks specificeren. ,

Denk bijvoorbeeld eens aan de volgorde We kunnen de waarden van reeksleden vindenéén voor één

, vanaf de derde: Dat wil zeggen dat we elke keer dat we de waarde van de n-de term van de reeks willen vinden, terugkeren naar de vorige twee. Deze methode voor het specificeren van een reeks wordt genoemd terugkerend , van het Latijnse woord terugkerend

- kom terug.

Nu kunnen we een rekenkundige progressie definiëren. Een rekenkundige progressie is een eenvoudig speciaal geval van een getallenreeks. Rekenkundige progressie

is een numerieke reeks waarvan elk lid, beginnend bij het tweede, gelijk is aan het vorige opgeteld bij hetzelfde getal. Het nummer wordt gebeld verschil in rekenkundige progressie

. Het verschil van een rekenkundige progressie kan positief, negatief of gelijk aan nul zijn.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Als title="d>0.

toenemend

Bijvoorbeeld 2; 5; 8; 11;... Als , dan is elke term van een rekenkundige progressie kleiner dan de vorige, en de progressie is dat ook.

afnemend

Bijvoorbeeld 2; -1; -4; -7;... Als , dan zijn alle termen van de progressie gelijk aan hetzelfde getal, en de progressie is dat ook.

stationair

Bijvoorbeeld 2;2;2;2;...

De belangrijkste eigenschap van een rekenkundige progressie:

Laten we naar de foto kijken.

Wij zien dat

, en tegelijkertijd

.

Als we deze twee gelijkheden optellen, krijgen we:

Laten we beide zijden van de gelijkheid delen door 2:

Dus elk lid van de rekenkundige progressie, beginnend bij de tweede, is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de twee aangrenzende:

Wij zien dat

Bovendien, sinds

, Dat

, en daarom">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Elke term van een rekenkundige progressie, beginnend met title="k>l

Formule van de e term.

We zien dat de voorwaarden van de rekenkundige progressie aan de volgende relaties voldoen:

en tenslotte Wij hebben

formule van de nde term. BELANGRIJK!

Elk lid van een rekenkundige progressie kan worden uitgedrukt via en. Als u de eerste term en het verschil van een rekenkundige reeks kent, kunt u alle termen ervan vinden.

De som van n termen van een rekenkundige progressie.

In een willekeurige rekenkundige progressie zijn de sommen van termen op gelijke afstand van de extremen gelijk aan elkaar:

Beschouw een rekenkundige progressie met n termen. Laat de som van n termen van deze progressie gelijk zijn aan .

Laten we de voorwaarden van de voortgang eerst in oplopende volgorde van getallen rangschikken en vervolgens in aflopende volgorde:

De som tussen elke haak is , het aantal paren is n.

Wij krijgen:

Dus, de som van n termen van een rekenkundige progressie kan worden gevonden met behulp van de formules:

Laten we eens overwegen het oplossen van rekenkundige progressieproblemen.

1 . De reeks wordt gegeven door de formule van de n-de term: . Bewijs dat deze rij een rekenkundige progressie is.

Laten we bewijzen dat het verschil tussen twee aangrenzende termen van de reeks gelijk is aan hetzelfde getal.

We ontdekten dat het verschil tussen twee aangrenzende leden van de reeks niet afhankelijk is van hun aantal en een constante is. Daarom is deze reeks per definitie een rekenkundige progressie.

2 . Gegeven een rekenkundige progressie -31; -27;...

a) Zoek 31 termen van de progressie.

b) Bepaal of het getal 41 in deze reeks is opgenomen.

A) Wij zien dat;

Laten we de formule voor de n-de term voor onze voortgang opschrijven.

In het algemeen

In ons geval , Daarom