Korte theorie

Lineair programmeren is een tak van wiskundig programmeren die wordt gebruikt bij het ontwikkelen van methoden voor het vinden van het uiterste van lineaire functies van verschillende variabelen voor lineair aanvullende beperkingen, opgelegd aan de variabelen. Afhankelijk van het soort opgeloste problemen, zijn zijn methoden onderverdeeld in universeel en speciaal. Door te gebruiken universele methoden elk probleem kan worden opgelost lineaire programmering(ZLP). Speciale methoden houden rekening met de kenmerken van het probleemmodel, de objectieve functie en het systeem van beperkingen. Een kenmerk van lineaire programmeerproblemen is dat de doelfunctie een extremum bereikt op de grens van het gebied van haalbare oplossingen.

Grafische methode het oplossen van lineaire programmeerproblemen maakt het mogelijk om hun structuur te visualiseren, kenmerken te identificeren en opent manieren om complexere eigenschappen te bestuderen. Een lineair programmeerprobleem met twee variabelen is altijd grafisch op te lossen. Reeds in de driedimensionale ruimte wordt een dergelijke oplossing echter ingewikkelder, en in ruimtes met afmetingen groter dan drie is een grafische oplossing in het algemeen onmogelijk. Het geval van twee variabelen heeft geen bijzonderheden praktische betekenis De overweging ervan verduidelijkt echter de eigenschappen van de beperkingen van het LLP, leidt tot het idee van de oplossing ervan, maakt geometrisch de oplossingsmethoden en de manieren van hun praktische implementatie duidelijk.

Als de beperkingen en de objectieve functie meer dan twee variabelen bevatten, dan is dit noodzakelijk (of door de methode van sequentiële verbetering van de oplossing) - het is universeel en kan worden gebruikt om elk probleem op te lossen. Voor sommige toegepaste lineaire programmeerproblemen, zoals , zijn speciale oplossingsmethoden ontwikkeld.

Voorbeeld van probleemoplossing

Probleemtoestand

Het bedrijf produceert twee soorten producten: Product 1 en Product 2. Voor de productie van een eenheid Product 1 is kg grondstoffen nodig eerste soort, kg grondstoffen van het tweede type, kg grondstoffen van het derde type. Om een ​​eenheid Product 2 te vervaardigen, is het noodzakelijk om kg van het eerste type, grondstoffen van het tweede type en grondstoffen van het derde type uit te geven. De productie wordt voorzien van grondstoffen van elk type in hoeveelheden van respectievelijk kg, kg, kg. De marktprijs van een eenheid van Product 1 bedraagt ​​duizend roebel, en een eenheid van Product 2 bedraagt ​​duizend roebel.

Vereist:

• Construeer een wiskundig model van het probleem.
• Stel een plan op voor de productie van producten die maximale inkomsten uit de verkoop garanderen, met behulp van een grafische methode voor het oplossen van een lineair programmeerprobleem.

Om ervoor te zorgen dat de oplossing voor een lineair programmeerprobleem zo nauwkeurig en correct mogelijk is, bestellen velen goedkoop proefwerk op deze site. Details (hoe u een aanvraag indient, prijzen, deadlines, betalingsmethoden) kunt u lezen op de pagina Koop een testpapier over lineair programmeren...

Probleem oplossing

Modelbouw

Laat en geef het aantal vervaardigde producten van het 1e en 2e type aan.

Vervolgens resourcebeperkingen:

Bovendien, afhankelijk van de betekenis van de taak

De doelfunctie van het economisch-wiskundige model, die de inkomsten uit verkopen uitdrukt:

We krijgen het volgende economische en wiskundige model:

Constructie van het domein van haalbare oplossingen

Laten we het resulterende lineaire programmeerprobleem grafisch oplossen:

Om een ​​gebied met haalbare oplossingen te construeren, construeren we grenslijnen die overeenkomen met deze ongelijkheden in het coördinatensysteem:

Laten we de punten vinden waar de lijnen doorheen gaan:

De oplossing voor elke ongelijkheid van het ZLP-beperkingssysteem is een halfvlak dat de grenslijn bevat en zich aan één kant ervan bevindt.

Om een ​​halfvlak te definiëren, neemt u bijvoorbeeld een punt dat niet tot lijn (1) behoort, en vervangt u de coördinaten (0;0) door de overeenkomstige ongelijkheid. Omdat de ongelijkheid is waar:

Het oplossingsgebied van de overeenkomstige eerste ongelijkheid komt overeen met het linker halfvlak

Laten we bijvoorbeeld een punt nemen dat niet tot lijn (2 behoort), en de coördinaten (0;0) vervangen door de overeenkomstige ongelijkheid. Omdat de ongelijkheid is waar:

Laten we bijvoorbeeld een punt nemen dat niet tot lijn (3 behoort) en de coördinaten (0;0) vervangen door de overeenkomstige ongelijkheid. Omdat de ongelijkheid is waar:

Het oplossingsgebied van de overeenkomstige tweede ongelijkheid komt overeen met het linker halfvlak

Het gebied van haalbare oplossingen is de figuur.

Het vinden van een oplossing voor het LP-probleem

We construeren een vector waarvan de coördinaten evenredig zijn met de coëfficiënten van de doelfunctie. Hier is de evenredigheidscoëfficiënt.

Teken een niveaulijn loodrecht op de geconstrueerde vector.

We verplaatsen de niveaulijn in de richting van de vector zodat deze het gebied van haalbare oplossingen op het uiterste punt raakt. De oplossing voor het maximum is het punt, waarvan de coördinaten worden gevonden als het snijpunt van de lijnen (2) en (1).

Antwoord

Het is dus noodzakelijk om 56 producten van het 1e type en 64 producten van het 2e type te produceren. In dit geval zijn de inkomsten uit de verkoop van producten maximaal en bedragen ze 5104 geldeenheden.

De grafische oplossingsmethode, als een probleem met twee variabelen lineaire beperkingen heeft en de objectieve functie kwadratisch is, wordt hier in detail besproken
De pagina bespreekt in detail de oplossing voor het lineaire programmeerprobleem simplex methode Bovendien wordt de constructie getoond dubbel probleem lineaire programmering en het vinden van de oplossing ervan door een direct probleem op te lossen.

Transportprobleem en mogelijke methode
Het transportprobleem, het wiskundig model en de oplossingsmethoden worden in detail besproken: het vinden van het referentieplan met behulp van de minimale elementenmethode en het zoeken naar de optimale oplossing met de potentiële methode.

Convex programmeren - grafische methode
Er wordt een voorbeeld gegeven van het oplossen van een kwadratisch convex programmeerprobleem met behulp van een grafische methode.

Grafische methoden worden voornamelijk geassocieerd met geometrisch beeld functionele afhankelijkheid met behulp van lijnen in een vlak. Grafieken worden gebruikt om snel de waarde van functies te vinden op basis van de overeenkomstige waarde van het argument, voor een visuele weergave functionele afhankelijkheden.
Bijna alle soorten grafieken worden gebruikt in economische analyses: vergelijkingsgrafieken, tijdreeksgrafieken, distributiecurves, correlatieveldgrafieken, statistische cartogrammen. Vergelijkingsdiagrammen zijn vooral wijdverspreid in analyses - voor het vergelijken van rapportage-indicatoren met geplande indicatoren, eerdere perioden en toonaangevende ondernemingen van binnenlandse of buitenlandse ondernemingen. Voor een visuele weergave van de dynamiek van economische verschijnselen (en in de analyse met tijdreeksen waar we heel vaak mee te maken krijgen) worden tijdreeksdiagrammen gebruikt.
Met behulp van een coördinatenraster worden ook grafieken gemaakt van de afhankelijkheid van bijvoorbeeld het kostenniveau van het volume geproduceerde en verkochte producten. grafieken waarop u correlaties tussen indicatoren kunt weergeven. In een systeem van coördinatenassen toont het beeld de invloed van verschillende factoren op een bepaalde indicator.
De grafische methode wordt veel gebruikt om productieprocessen, organisatiestructuren, programmeerprocessen, enz. te bestuderen. Om bijvoorbeeld de efficiëntie van het gebruik van productieapparatuur te analyseren, worden berekeningsgrafieken gemaakt, inclusief grafieken van meerdere factoren.

Notatie: elke cirkel wordt beschouwd als een van de hoekpunten van de grafiek; het nummer in de bovenste sector van elk hoekpunt betekent het serienummer; Op basis van de nummers van twee aangrenzende hoekpunten wordt de werkcode gevormd; het cijfer in de onderste sector van elk hoekpunt is serienummer het vorige hoekpunt, en de lijn die deze twee hoekpunten verbindt, betekent bepaald werk. Onder de streep staat de geplande duur van deze werkzaamheden; het getal in de linkersector van elk hoekpunt betekent de totale duur van al het voorgaande werk, het getal in de rechtersector verschilt van het getal aan de linkerkant door de hoeveelheid reserve (tijdreserve). Voor hoekpunten die op het kritieke pad liggen, vallen de getallen in de linker- en rechtersector van het hoekpunt dus samen, aangezien de tijdmarge 0 is.

In een wiskundig geformaliseerd systeem van analyse, planning en beheer nemen netwerkdiagrammen een bijzondere plaats in. Ze bieden een groot economisch effect bij de bouw en installatie van industriële en andere ondernemingen.
Met het netwerkdiagram (Fig. 6.1) kunt u de belangrijkste uit het hele complex van werken identificeren, die zich op het kritieke pad bevinden, en de belangrijkste middelen van bouworganisaties daarop concentreren, relaties tot stand brengen tussen verschillende gespecialiseerde organisaties en hun werk. Activiteiten op het kritieke pad vereisen de langste wachttijd tot de volgende gebeurtenis arriveert. In het stadium operationele analyse en beheer maakt de netwerkplanning het mogelijk om de voortgang van de bouw effectief te monitoren en tijdig corrigerende maatregelen te nemen. mogelijke vertragingen op het werk.
Sollicitatie netwerk grafieken Analyse, planning en beheer zorgen, zoals uit vele voorbeelden blijkt, voor een verkorting van de bouwtijd met 20-30% en een toename van de arbeidsproductiviteit met 15-20%.
Bij analyse rechtstreeks op bouwplaatsen, het materiaalgebruik netwerkplanning en het management draagt ​​bij juiste definitie redenen die van invloed zijn op de voortgang van de bouw, en het identificeren van bedrijven die niet zorgen voor de voltooiing van de hun toegewezen werkzaamheden of de levering van apparatuur binnen de door het schema vastgestelde termijnen.
De ontwikkeling van een netwerkschema in de bouw wordt uitgevoerd in aanwezigheid van: normen voor de duur van de bouw en de inbedrijfstellingsperiode van een object of complex van objecten, ontwerp- en schattingsdocumentatie, een project voor het organiseren van de bouw en productie van werk, standaard technologische kaarten, actuele normen voor arbeidskosten, materialen en machinebediening. Daarnaast wordt bij het opstellen van de planning gebruik gemaakt van implementatie-ervaring individuele werken, evenals gegevens over de productiebasis van bouw- en installatieorganisaties.
Op basis van al deze gegevens wordt een tabel met werken en middelen samengesteld, waarin de technologische volgorde van de werkproductie hun kenmerken, volume, arbeidsintensiteit in mandagen, uitvoerder (organisatie en team), aantal werknemers, ploegendiensten, behoefte aan mechanismen en materialen, bronnen van hun aanbod, de totale duur van het werk in dagen, evenals de vorige taak, waarna u kunt beginnen dit werk. Op basis van de indicatoren van een dergelijke tabel wordt een netwerkdiagram opgesteld, dat verschillende mate van detail kan hebben, afhankelijk van het aangenomen productieschema.
management van werk en managementniveau; behalve algemeen schema artiesten ontwikkelen een schema voor het werk dat ze uitvoeren.
De belangrijkste elementen van een netwerkdiagram: gebeurtenis, werk, wachten, afhankelijkheid.
Bij het analyseren van de voortgang van de bouw van een object moet worden vastgesteld of de netwerkplanning correct is opgesteld, of het kritieke pad niet is overschat, of bij het optimaliseren van de planning rekening is gehouden met alle mogelijkheden om deze te verkorten, of elk werk kan parallel worden uitgevoerd of de tijd die eraan wordt besteed kan worden verminderd door de mechanisatiemiddelen te vergroten, enz. Dit is vooral belangrijk in gevallen waarin de duur van het werk volgens het schema niet garandeert dat de bouw op tijd wordt voltooid.
Het belangrijkste materiaal voor netwerkplanning dat in de analyse wordt gebruikt, is informatie over de voortgang van de werkzaamheden volgens het schema, dat gewoonlijk minstens één keer per decennium wordt opgesteld. Als voorbeeld wordt een kaart van de taak gegeven en informatie over de voortgang van de werkzaamheden aan een bouwproject uitgevoerd volgens het netwerkschema (Tabel 6.1). Volgens de kaart werden aan het begin van de maand kritieke werkzaamheden eerder dan gepland uitgevoerd, maar daarna mocht de installatie van kraanbalken langs rij B achterblijven en werden de daaropvolgende werkzaamheden - installatie van kraanbalken langs rij A - voltooid. één dag achter op schema.
Optimalisatie van netwerkschema's wordt uitgevoerd in de planningsfase door het kritieke pad te verkorten, dat wil zeggen het minimaliseren van de timing van bouwwerkzaamheden op bepaalde niveaus van middelen, het minimaliseren van het verbruik van materiaal, arbeid en financiële middelen op vaste deadlines voor het voltooien van bouwwerkzaamheden. Een gemengde aanpak is ook mogelijk: voor het ene deel van het werk (duurder) - om het niveau van het hulpbronnenverbruik te minimaliseren met een vaste deadline voor het voltooien van het werk, voor het andere - om de deadline voor een vast niveau van hulpbronnen te minimaliseren.
Het oplossen van optimalisatieproblemen wordt enorm vergemakkelijkt door de beschikbaarheid van pakketten applicatieprogramma's(PPP), aangepast om optimale netwerkdiagrammen op een computer samen te stellen.
In de buitenlandse praktijk systeem analyse Een grafo-wiskundige methode die een ‘beslissingsboom’ wordt genoemd, wordt veel gebruikt. De essentie van deze methode is als volgt.
Door voorlopige beoordeling behoeften, een voorlopige analyse van mogelijke organisatorische, technische of technologische omstandigheden, alle mogelijke opties om dit probleem op te lossen worden geschetst. Eerst ontwikkeld

	Oefening					Informatie				Tijdreservering voor werk		Nummer ty
Naam werken	cijfer	datum begonnen	datum na afwerking	gepland voortgezet	Met betrekking tot reserveren tijd	% die-	tijd voor nodig	bij rang	werkelijke datum	vinden huidig	niet gelegen	reserveer tijd met
	werken	werken (plan)	nia werken (plan)	inwoner ness, dagen	mij	hoi klaar ness	na afwerking nia werken, dagen	Zader vrouwen	na afwerking nia werken	op het kritieke pad	een kritisch pad	begin van de maand, dagen
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Bodemontwikkeling	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
Betonfunderingen voor ketels	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
Betonneren van funderingen volgens rij A	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
Hetzelfde voor rij B	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
Pijpdistributieapparaat	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
Opvulapparaat	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
Installatie van prefab betonconstructies
Lon: langs rij B	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
langs rij A	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

Aanleg van kraanbanen en installatie van torenkraan 7-10
Installatie van steunframes op de fundering voor apparatuur 7-16 Installatie van kraanbalken:
langs rij B 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

langs rij A 10-12 25/IV 26/IV
Montage van het eerste deel balken en afdekplaten 12-13 27/IV 4/V
Installatie van kraanbanen voor brug lt;3 kranen 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	voor-	27/IV	-2

27/IV-1
ondersteuning bij levering van gewapende betonconstructies

1. 100 -

vergrote opties. Dan, zoals je introduceert aanvullende voorwaarden elk van hen is onderverdeeld in een aantal opties. Met een grafische weergave van deze opties kunt u de minder winstgevende opties uitsluiten en de meest acceptabele kiezen.
Deze methode kan worden gebruikt bij het bepalen van de verwerkingsvolgorde van bepaalde onderdelen op meerdere machines om de totale verwerkingstijd te minimaliseren; bij het bepalen van de omvang van hulpbronnen om de totale productiekosten te minimaliseren; bij het verdelen van kapitaalinvesteringen en andere middelen industriële faciliteiten; bij het oplossen van transport- en andere problemen.

Een lineair programmeerprobleem (LPP) oplossen met behulp van een grafische methode

Algemene formulering van de plot

Vind de waarden van n variabelen x 1 , x 2 , …, x n die een extremum opleveren (minimum of maximum) lineaire functie Z=C 1 x 1 ,+ C 2 x 2+…+ C n x n

en tegelijkertijd voldoen aan m beperkingen van de vorm

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +…+a 1,n x n£ =≥b 1 ,

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +…+a 2.n x n£ = ≥b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

een m,1 x 1 +een m,2 x 2 +…+een m,n x n£ = ≥b m ,

voor gegeven a i,j , b i, C j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Het relatieteken kan elk van de drie gegeven waarden aannemen.

Voorbeeld van een lineair programmeerprobleem

Laten we het volgende probleem eens bekijken. De manager van een bedrijf dat twee soorten verf produceert, beschreef aan een operationeel onderzoeker de situatie bij de productie en marketing van verf. Het bleek dat de fabriek twee soorten verven produceert: voor interieur en externe werken. Beide verven zijn verkrijgbaar voor de groothandel. Voor de productie van verven worden twee initiële producten gebruikt: A en B. De maximaal mogelijke dagelijkse reserves van deze producten zijn respectievelijk 6 en 8 ton. De ervaring heeft geleerd dat de dagelijkse vraag naar buitenverf nooit meer dan 1 ton groter is dan de vraag naar binnenverf. Bovendien blijkt dat de vraag naar buitenverf nooit groter is dan 2 ton per dag. Groothandelsprijzen voor één ton verf zijn als volgt: 3000 roebel voor externe verf en 2000 roebel voor interne verf. Hoeveel van elk type verf moet de fabriek produceren om de verkoopopbrengsten te maximaliseren?

Om het probleem voor de onderzoeker op te lossen, is het eerst nodig om een ​​wiskundig model van de beschreven situatie te ontwikkelen.

Bij het construeren van een wiskundig model stelt de operationeel onderzoeker zichzelf drie vragen.

• Voor welke hoeveelheden moet het model gebouwd worden? Met andere woorden, u moet de taakvariabelen identificeren.
• Welke beperkingen moeten aan de variabelen worden gesteld, zodat aan de voorwaarden wordt voldaan die kenmerkend zijn voor het systeem dat wordt gemodelleerd?
• Wat is het doel, om te bereiken dat het, uit alle mogelijke (toelaatbare) waarden van variabelen, noodzakelijk is om die waarden te selecteren die overeenkomen met de optimale (beste) oplossing voor het probleem?

Laten we de variabelen introduceren:

x 1 – dagelijks productievolume van externe verf (in ton),

x 2 – dagelijks productievolume van interieurverf (in ton).

Overwegende groothandelsprijzen per ton van elk type verf wordt het dagelijkse inkomen uit de verkoop van vervaardigde producten gegeven door de lineaire objectieve functie Z = 3x 1 + 2x 2.

Het doel van de productie is het verkrijgen van maximale winst, wat betekent dat het noodzakelijk is om de waarden van x 1 en x 2 te vinden die maximaliseren doelfunctie Z.

Omdat de verffabrikant niet willekeurig over de waarden van de variabelen kan beschikken, is het noodzakelijk om een ​​reeks mogelijke waarden van deze variabelen te identificeren, die worden bepaald door de specifieke productie- en verkoopomstandigheden. Deze verzameling wordt een regio genoemd aanvaardbare waarden.

Het eerste type beperking wordt bepaald door de voorraden van producten A en B waaruit verven worden geproduceerd. Uit de productietechnologie is bekend dat twee delen van product A worden gebruikt om een ​​ton externe verf te produceren, en één deel wordt gebruikt om een ​​ton interne verf te produceren. Voor product B is de relatie omgekeerd. Deze technologische omstandigheden worden beschreven door ongelijkheden

2x 1 + x 2 € 6 (6 ton product A op voorraad),

x 1 + 2x 2 € 8 (er is 8 ton product B op voorraad).

De laatste twee beperkingen betekenen een voor de hand liggende omstandigheid: je kunt voor de productie van verven niet meer producten A en B gebruiken dan er daadwerkelijk op voorraad zijn.

De situatie met de verkoop van verven op de markt leidt tot de volgende beperkingen: x 1 – x 2 £ 1 (externe verf wordt niet meer dan één ton meer verkocht dan interne verf), x 1 £ 2 (externe verf wordt niet meer verkocht dan twee ton per dag).

Samenvattend kan een wiskundig model dat de huidige productiesituatie beschrijft, in de volgende vorm worden gespecificeerd:

vinden® max( Z=2× x 1 + 3× x 2 ) met de volgende beperkingen op de waarden van de variabelen x 1 en x 2

2 × x 1 + x 2 € 6 beperking (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 beperking (2),

X 1 - x 2 € 1 beperking (3),

X 1 £ 2 beperking (4)

en de vereiste dat de variabelen x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6) niet-negatief zijn.

Ontvangen wiskundig model is een lineair programmeerprobleem.

Grafische methode voor het oplossen van problemen

De grafische methode voor het oplossen van het probleem kan alleen in het tweedimensionale geval worden geïmplementeerd.

Wiskundig model verkregen voor de geformuleerde typische taak, vergt onderzoek, omdat niet vooraf bekend is of dat zo is (hoe). wiskunde probleem) oplossing. We zullen het onderzoek uitvoeren met behulp van grafische constructies. Gelijktijdig met dergelijk onderzoek zullen we (als die er is) een oplossing vinden.

Fase 1. Constructie van het domein van haalbare oplossingen

Het doel is om een ​​regio te construeren waarin elk punt aan alle beperkingen voldoet.

Elk van de zes beperkingen definieert geometrisch een halfvlak. Om het te bouwen, heb je nodig:

• · vervang het ongelijkheidsteken in de beperking door gelijkheid (we krijgen de vergelijking van een rechte lijn);

• · construeer een rechte lijn met behulp van twee punten;

• · bepaal welk halfvlak wordt aangegeven door het ongelijkheidsteken. Om dit te doen, vervangt u een punt in de ongelijkheid (bijvoorbeeld de oorsprong van coördinaten). Als het aan de ongelijkheid voldoet, schilderen we het halve vlak waarin het zich bevindt.

Wij voeren deze acties uit voor alle beperkingen. We geven elk van de regels aan met de nummers die zijn gebruikt bij het nummeren van de beperkingen (zie afbeelding).

Gebied van haalbare oplossingen (dat aan alle beperkingen voldoet) is de reeks punten van het eerste kwadrant van het coördinatenvlak (x 1, x 2), dat het snijpunt is van alle halve vlakken gedefinieerd door de ongelijkheden van de beperkingen.

De reeks punten die aan alle zes beperkingen van het probleem voldoet, is de polygoon AFEDCB.

Fase 2: Constructie van doelfunctieniveaulijnen en bepaling van het maximale punt

Het doel is om in de geconstrueerde veelhoek A te vindenFEDCB is het punt waarop de doelfunctie Z=2x 1 + 3x 2 zijn maximale waarde aanneemt.

Laten we een rechte lijn 2x 1 + 3x 2 = Const (niveaulijn) tekenen, zodat deze de polygoon AFEDCB snijdt (bijvoorbeeld Const = 10). Deze niveaulijn is in de figuur als stippellijn weergegeven.

Als we de waarden van de lineaire objectieve functie Z beschouwen op een reeks punten (x 1, x 2) die behoren tot een segment van de stippellijn binnen de zeshoek, dan zijn ze allemaal gelijk aan dezelfde waarde (Const = 10).

Laten we de richting van de toename van de functie bepalen. Om dit te doen, zullen we een niveaulijn met een grotere waarde construeren. Dit zal een rechte lijn zijn, evenwijdig aan de gebouwde lijn, maar aan de rechterkant. Dit betekent dat in een bepaalde richting de waarde van de objectieve functie toeneemt, en het is in ons belang om deze zo ver mogelijk in deze richting te bewegen.

De verschuiving kan doorgaan zolang de bewegende rechte lijn de veelhoek van haalbare oplossingen snijdt. De laatste positie van de lijn, wanneer deze één gemeenschappelijk punt heeft met de polygoon AFEDCB (punt C), komt overeen met maximale waarde objectieffunctie Z en wordt bereikt op punt C met coördinaten x 1 = 4/3 (» 1,333), x 2 = 10/3 (» 3,333). In dit geval Z = 38/3 (» 12,667).

De taak was volledig opgelost. Uit de uitgevoerde geometrische redenering blijkt duidelijk dat de oplossing uniek is. Laten we enkele generalisaties maken die voortkomen uit de geometrische interpretatie van het probleem.

Eerst. Het gebied van haalbare oplossingen is een convexe veelhoek ( Waarom convex? Kan de regio van haalbare oplossingen een lege verzameling zijn? Periode? Een segment? Straal? Direct? Zo ja, geef een voorbeeld van een beperkingssysteem).

Seconde. Het maximum van de doelfunctie wordt bereikt op de top van de veelhoek van haalbare oplossingen ( Maar misschien is er niet maar één oplossing? Zou er geen oplossing mogelijk zijn?)

Taak 1 (in de klas voltooien, aan de leraar laten zien)

Grafisch oplossen

A) F =2 x 1 +3 x 2 è max Met beperkingen x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	B ) F =4 x 1 +6 x 2 è min Met beperkingen 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 +6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0
C ) F =3 x 1 +3 x 2 è max Met beperkingen x 1 + x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	D ) F =2 x 1 -3 x 2 en min Met beperkingen x 1 + x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

A) x1=6 x2=4 F=24

B) x1=2 x2=3 F=26

C) x1О x2=8-x1 F=24

Taak 2 (in de klas voltooien, aan de leraar laten zien)

Beantwoord de cursief gedrukte vragen.

Taak 3 (huiswerk)

Schrijf een programma.

Dan tekstbestand type

2 3 (objectieve functiecoëfficiënten)

4 (aantal beperkingen)

2 2 12 (beperkingen)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Construeer rechte lijnen zodat de polygoon van haalbare oplossingen volledig op het scherm te zien is (voor de definitie van schaal, zie het boek van Onegov). Rechte lijnen kunnen parallel lopen aan de assen!

Construeer meerdere lijnen op het niveau van de doelfunctie (druk op de toets - de rechte lijn beweegt, de waarde van de doelfunctie wordt weergegeven). Toon schaal.

De eenvoudigste en meest visuele methode voor het oplossen van een lineair programmeerprobleem (LPP) is de grafische methode. Het is gebaseerd op de geometrische interpretatie van het lineaire programmeerprobleem en wordt gebruikt om de ZLP met twee onbekenden op te lossen:

We zullen de oplossing van dit probleem in een vliegtuig overwegen. Elke ongelijkheid van het systeem van functionele beperkingen definieert geometrisch een halfvlak met een grenslijn een p x, + + a j2 x 2 = b n ik = 1, T. Niet-negativiteitsomstandigheden definiëren halve vlakken met grenslijnen X (= 0, x 2= 0 dienovereenkomstig. Als het systeem consistent is, vormen de halve vlakken die elkaar snijden een gemeenschappelijk deel, dat een convexe verzameling is en een verzameling punten vertegenwoordigt; de coördinaten van elk van deze punten zijn een oplossing voor dit systeem. De verzameling van deze punten wordt genoemd oplossing veelhoek. Het kan een punt, een segment, een straal, een begrensde of onbegrensde veelhoek zijn.

Geometrisch gezien is de ZLP dat wel het vinden van een hoekpunt van de oplossingspolygoon waarvan de coördinaten de maximale (minimale) waarde van de lineaire objectieve functie opleveren, Bovendien zijn alle punten van de oplossingspolygoon toelaatbare oplossingen.

Een lineaire vergelijking beschrijft een reeks punten die op dezelfde lijn liggen. Lineaire ongelijkheid beschrijft een gebied in het vliegtuig.

Laten we bepalen welk deel van het vlak de ongelijkheid beschrijft 2x (+ 3x 2 12.

Laten we eerst een rechte lijn 2x construeren, + Zx 2 = 12. Het gaat door de punten (6; 0) en (0; 4). Ten tweede bepalen we welk halfvlak aan de ongelijkheid voldoet. Om dit te doen, selecteert u een punt in de grafiek dat niet bij de lijn hoort en vervangt u de coördinaten ervan in de ongelijkheid. Als de ongelijkheid blijft bestaan, dan gegeven punt is een toelaatbare oplossing en het halve vlak dat het punt bevat, voldoet aan de ongelijkheid. Het is handig om de oorsprong van coördinaten te gebruiken om de ongelijkheid te vervangen. Laten we vervangen x( = x2 = 0 tot ongelijkheid 2x, + 3x 2 12. We krijgen 2 0 + 3 0

Op dezelfde manier kunt u alle beperkingen van een lineair programmeerprobleem grafisch weergeven.

De oplossing voor elke ongelijkheid van het ZLP-beperkingssysteem is een halfvlak dat de grenslijn bevat en zich aan één kant ervan bevindt. Het snijpunt van halve vlakken, waarvan elk wordt bepaald door de overeenkomstige ongelijkheid van het systeem, wordt genoemd gebied van haalbare oplossingen(ODR) of domein van definitie.

Er moet aan worden herinnerd dat de regio van haalbare oplossingen voldoet aan de voorwaarden van niet-negativiteit (Xj > 0, j = 1, P). De coördinaten van elk punt dat tot het definitiedomein behoort, zijn een geldige oplossing voor het probleem.

Gebruik om de extreme waarde van de doelfunctie te vinden bij het grafisch oplossen van de ZLP gradiëntvector, waarvan de coördinaten gedeeltelijke afgeleiden zijn van de objectieve functie:

Deze vector toont de richting van de snelste verandering in de doelfunctie. Direct c [ x l + c 2 x 2 = f(x 0), loodrecht op de gradiëntvector is vlakke lijn doelfunctie (Fig. 2.2.2). Op elk punt op de niveaulijn neemt de doelfunctie dezelfde waarde aan. Laten we de doelfunctie gelijkstellen aan een constante waarde A. Het veranderen van de betekenis A, we krijgen een familie van parallelle lijnen, die elk een niveaulijn zijn van de objectieve functie.

Rijst. 2.2.2.

Een belangrijke eigenschap van de niveaulijn van een lineaire functie is dat wanneer de lijn evenwijdig naar één kant wordt verschoven, het niveau alleen neemt toe en wanneer het naar de andere kant wordt verschoven - alleen neemt af.

Grafische methode PPP-besluiten bestaat uit vier fasen:

• 1. De regio van toelaatbare oplossingen (ADA) van de PLP wordt gebouwd.
• 2. De gradiëntvector van de objectieffunctie (TF) wordt geconstrueerd met het begin op het punt x 0(0; 0): V = (s, vanaf 2).
• 3. Niveaulijn CjXj + c 2 x 2 = een (een - constante waarde) - een rechte lijn loodrecht op de gradiëntvector V, - beweegt in de richting van de gradiëntvector in het geval van het maximaliseren van de objectieve functie f(x v x 2) totdat het de ODR verlaat. Bij het minimaliseren van /(*, x2) de niveaulijn beweegt in de richting tegengesteld aan de gradiëntvector. Het uiterste punt (of punten) van de ODR tijdens deze beweging is het maximale (minimale) punt f(x p jc 2).

Als de rechte lijn die overeenkomt met de niveaulijn de ODR tijdens zijn beweging niet verlaat, dan is het minimum (maximum) van de functie f(x p x 2) bestaat niet.

Als de doelfunctieniveaulijn parallel loopt aan de functionele beperking van de taak waarbij optimale waarde CF, dan zal de optimale CF-waarde worden bereikt op elk punt van deze beperking dat tussen twee optimale hoekpunten ligt, en dienovereenkomstig is elk van deze punten optimale oplossing ZLP.

4. De coördinaten van het maximale (minimale) punt worden bepaald. Om dit te doen, volstaat het om een ​​systeem van vergelijkingen van lijnen op te lossen die een maximum (minimum) punt op het snijpunt opleveren. Betekenis f(x(,x2), gevonden op het resulterende punt is de maximale (minimale) waarde van de objectieve functie.

Mogelijke situaties van een grafische oplossing van de ZLP worden weergegeven in de tabel. 2.2.1.

Tabel 2.2.1

Type ODR	Type optimale oplossing
Beperkt	De enige oplossing
	Eindeloze oplossingen
Onbeperkt	CF is niet van onderaf beperkt
	CF is niet van bovenaf beperkt
	De enige oplossing
	Eindeloze oplossingen
	De enige oplossing
	Eindeloze oplossingen

Voorbeeld 2.2.1. Planning van de productie van een naaibedrijf (probleem met pakken).

Het is de bedoeling om twee soorten pakken uit te brengen: heren- en damespakken. Voor een damespak is 1 m wol, 2 m lavasan en 1 mandag arbeid nodig; voor mannen - 3,5 m wol, 0,5 m lavsan en 1 mandag arbeid. In totaal zijn er 350 m wol, 240 m lavsan en 150 mandagen arbeid.

Het is noodzakelijk om te bepalen hoeveel pakken van elk type er moeten worden genaaid om dit te garanderen maximale winst, als de winst uit de verkoop van een damespak 10 den bedraagt. eenheden, en van mannen - 20 den. eenheden Houd er rekening mee dat het noodzakelijk is om minimaal 60 herenpakken te naaien.

Economisch en wiskundig model van het probleem

Variabelen: X, - aantal damespakken; x 2 - aantal herenpakken.

Objectieve functie:

Beperkingen:

De eerste beperking (op wol) heeft de vorm x(+ 3,5x 2 x (+ 3,5x 2 = 350 gaat door de punten (350; 0) en (0; 100). De tweede beperking (volgens lavsan) heeft de vorm 2x (+ 0,5x 2 2x x + 0,5x 2 = 240 gaat door de punten (120; 0) en (0; 480). De derde beperking (op arbeid) heeft de vorm x y + x 2 150. Direct x (+ x 2 = 150 gaat door de punten (150; 0) en (0; 150). De vierde beperking (op het aantal herenpakken) heeft de vorm x 2> 60. De oplossing voor deze ongelijkheid is het halfvlak dat boven de rechte lijn ligt x 2 = 60.

Als resultaat van de kruising van de geconstrueerde vier halve vlakken verkrijgen we een polygoon, het gebied van haalbare oplossingen voor ons probleem. Elk punt op deze polygoon voldoet aan alle vier functionele ongelijkheden, en voor elk punt buiten deze polygoon zal minstens één ongelijkheid worden geschonden.

In afb. 2.2.3 De regio van haalbare oplossingen (ADA) is gearceerd. Om de bewegingsrichting naar het optimale te bepalen, construeren we een gradiëntvector V, waarvan de coördinaten gedeeltelijke afgeleiden zijn van de objectieve functie:

Om zo'n vector te construeren, moet je het punt (10; 20) met de oorsprong verbinden. Voor het gemak kun je een vector construeren die evenredig is met de vector V. Dus in Fig. 2.2.3 toont de vector (30; 60).

Vervolgens bouwen we een niveaulijn 10xj + 20x 2 = A. Laten we de doelfunctie gelijkstellen aan een constante waarde A. Het veranderen van de betekenis A, verkrijgen we een familie van parallelle lijnen, die elk een niveaulijn zijn van de objectieve functie.

Een belangrijke methode voor wetenschappelijke analyse van statistisch materiaal zijn grafische afbeeldingen. De eerste pogingen om grafische methoden te gebruiken in economisch onderzoek begonnen in de jaren 1780. De grafische methode werd later echter breder gebruikt - in het midden van de 18e eeuw, vooral na het rapport van de vertegenwoordiger van het Berlijnse statistische bureau Schwabe, "Theory", voor het eerst in de geschiedenis van de statistiek. grafische afbeeldingen"op het 8e Internationale Statistische Congres (St. Petersburg, 1872). Volgens de bekende uitdrukking van de Duitse natuurkundige F. Auerbach werd de 20e eeuw gekenmerkt door de "triomfantelijke opmars van de grafische methode in de wetenschap."

Wat is een schema? Een grafiek is een formulier visuele representatie statistische gegevens over sociaal-economische verschijnselen en processen door middel van geometrische afbeeldingen, tekeningen of schematische geografische kaarten en uitleg daarvoor.

De grafiek heeft vijf hoofdelementen van het algemene ontwerp: een veld, een coördinatenraster, grafische tekens en hun plaatsing in het grafiekveld, schaal en legenda (Fig. 10.3).

Rijst. 10.3. Basiselementen van een diagram

Elk van deze elementen heeft zijn eigen doel en speelt een overeenkomstige rol bij de constructie en interpretatie. Het grafische veld is de ruimte waarop de geometrische en andere tekens waaruit het grafische beeld bestaat, worden geplaatst.

Een grafisch beeld is een reeks verschillende symbolische tekens met behulp waarvan statistische gegevens worden weerspiegeld. Deze tekens kunnen in de volgende vormen worden weergegeven: lijnen, punten, geometrische, grafische en soms niet-geometrische figuren.

Het coördinatenraster is rechthoekig systeem coördinaten, waarbij de tijd wordt uitgezet op de abscis-as, en kwantitatieve schaalindicatoren worden uitgezet op de ordinaat-as.

Schaal is een voorwaardelijke maatstaf voor het omzetten van de numerieke waarde van een statistisch fenomeen in een grafisch fenomeen en omgekeerd. Het wordt gebruikt om te installeren numerieke waarden verschijnselen uitgedrukt in de grafiek.

Explicatie van een grafiek is een mondelinge uitleg van de specifieke inhoud ervan, die doorgaans het volgende omvat:

1) titel met de nodige aanvullende uitleg;

2) een exacte uitleg van de essentie, voorwaardelijk voorzien in deze grafiek de grafische tekens (geometrisch, picturaal, achtergrond, puur conventioneel)

3) overige toelichtingen, opmerkingen, enz.

Bovendien kun je er een paar plaatsen aanvullende informatie bijvoorbeeld numerieke gegevens die worden weerspiegeld in sommige grafische tekens en deze in digitale vorm herhalen exacte waarden, grafisch uitgedrukt.

Vooral grafieken spelen een rol belangrijke rol in de studie van complexe onderlinge relaties van sociaal-economische verschijnselen en processen, het identificeren van trends, patronen en veranderingen in dynamische indicatoren, evenals in huidige analyse. De belangrijkste verschillen en voordelen van de grafische methode ten opzichte van andere zijn: betere zichtbaarheid; het vermogen om in het algemeen de gegevens van degenen die worden bestudeerd te dekken; het vermogen om enkele analytische afhankelijkheden uit te drukken die niet erg duidelijk zijn en moeilijk te identificeren met andere methoden voor gegevenspresentatie.

Met behulp van planningen kunt u operationele controle uitoefenen over de productie, de verkoop van producten, het nakomen van contractuele verplichtingen en toegewezen taken. De schema's worden dus toegewezen:

Gegevens samenvatten en analyseren;

Afbeelding van datadistributie;

Identificatie van ontwikkelingspatronen van de bestudeerde verschijnselen en processen in de dynamiek;

Reflectie van de relaties tussen indicatoren;

Controle van de productie, uitvoering van verkoopcontracten, enz.

Er zijn verschillende classificaties van grafieken - afhankelijk van de vorm van grafische afbeeldingen, afhankelijk van de inhoud en de aard van de taken.

Op basis van de vorm van grafische afbeeldingen worden ze onderscheiden volgende typen grafieken:

1) punt;

2) lineair;

3) vlak;

4) volumetrisch;

5) artistiek (visueel, conventioneel).

In spreidingsdiagrammen wordt het volume van een populatie uitgedrukt door één enkel punt of door een opeenstapeling van punten. Eén punt kan één geval of meerdere gevallen betekenen (bijvoorbeeld één fabriek, 500 werknemers).

Lineaire grafieken bestaan ​​alleen uit lijnen: rechte segmenten, onderbroken lijnen, getrapte, vloeiende lijnen (voornamelijk om de dynamiek van de bevolking weer te geven). Vaak worden rechte segmenten vervangen door stroken van dezelfde breedte, die ook als grafische tekens fungeren, maar met één afmeting (lengte). In dergelijke gevallen worden grafieken staafdiagrammen genoemd als de strepen verticaal zijn geplaatst, of lintgrafieken als de strepen horizontaal zijn geplaatst.

Kolomgrafieken zijn op hun beurt onderverdeeld in kolomdiagrammen: eenvoudig en solide, uit groepen kolommen, enz., En stripdiagrammen zijn verdeeld in stripdiagrammen: eenvoudig en stapsgewijs, componentsgewijs, glijdend, bilateraal gericht (bijvoorbeeld een " leeftijdspiramide” van de bevolkingssamenstelling).

NAAR speciale soorten lineaire grafieken omvatten spiraaldiagrammen (voor verschijnselen die zich voor onbepaalde tijd en in toenemende omvang ontwikkelen), radiale diagrammen (voor het weergeven van patronen van periodiek herhalende verschijnselen, hun ritmiek en seizoensinvloeden).

Planaire grafieken zijn grafieken van twee dimensies in de vorm van vlakken met verschillende geometrische vormen. Afhankelijk hiervan kunnen ze vierkant, cirkelvormig of sectoraal zijn. Het is raadzaam om deze grafieken te gebruiken om verschijnselen te vergelijken die worden weergegeven door absolute en relatieve waarden.

Belangrijke kenmerken van vlakke kaarten zijn het tweedimensionale "Warzar-teken", de strip- of stroomkaart en de balanskaart.

Het tweedimensionale “Varzar-teken” (genoemd naar de uitvinder, de Russische statisticus V.E. Varzar) is een rechthoek met een basis a, hoogte b en oppervlakte Sab, wat handig is voor het grafisch uitdrukken van vrij algemene vergelijkbare relaties tussen de drie grootheden a, door S.

Een strip- of stroomdiagram wordt gebruikt om het volume en de samenstelling van vrachtstromen tussen twee punten in de ene en de tweede richting schematisch uit te drukken.

Een balansdiagram is een dubbelzijdig stripdiagram, waarvan de linten zich in twee richtingen vertakken in smallere stroken, waarbij hun breedte de overeenkomstige waarden van inkomsten- en uitgavenposten, activa- en passivaposten en dergelijke weergeeft.

Volumetrisch - 3D-afbeeldingen, die zelden worden gebruikt omdat ze minder expressief zijn in vergelijking met lineaire en vlakke.

Artistiek (visueel, conventioneel) - grafieken met conventionele grafische tekens die het geheel of de individuele betekenissen ervan weerspiegelen in de vorm van menselijke figuren, dierencontouren, schematische tekeningen van objecten, enz.

De classificatie van grafieken op basis van hun inhoud is van groot belang. Hiermee rekening houdend, zijn grafieken onderverdeeld in twee klassen: diagrammen en statistische kaarten.

Een diagram is een grafische weergave van de volumes en kenmerken van een of meer aggregaten met behulp van kwantitatieve grafische symbolen (geometrisch, artistiek, achtergrond, puur conventioneel).

Het diagram geeft dit echter niet grafische weergave o territoriale plaatsing van afgebeelde populaties of territoriale veranderingen in hun kenmerken. Voor dit doel worden statistische kaarten gebruikt, ontworpen om de territoriale verdeling van populaties of territoriale veranderingen in hun kenmerken weer te geven. Ze zijn onderverdeeld in twee klassen: cartogrammen en kaartdiagrammen.

Cartogrammen zijn geografische contourkaarten waarop de kwantitatieve territoriale kenmerken van een populatie worden weergegeven met behulp van grafische symbolen.

Kaartdiagrammen zijn geografische contourkaarten, waarop individuele gebieden (regio's, punten) van een territorium worden uitgezet met hetzelfde type diagram (een of meer), dat het volume en de territoriale kenmerken van vergelijkbare populaties in deze gebieden weergeeft. Zo worden bijvoorbeeld de goederenstroom, vervoerde passagiers, migratie van de bevolking en dergelijke in beeld gebracht.

Grafieken en statistische kaarten doen het volgende: belangrijke taken voor bevolkingsonderzoek:

Algemene vergelijking ervan;

Studie van structuur;

Studie van de dynamiek;

Het bestuderen van de relaties tussen hun kenmerken;

Het meten van de mate van implementatie van economische plannen en contractuele verplichtingen in de economische planningspraktijk.

Op hun beurt zijn zowel diagrammen als cartogrammen, afhankelijk van hun doel, onderverdeeld in subklassen, groepen en vormen (tabel 10.27).

Bij het maken van grafieken moeten de volgende vereisten in acht worden genomen:

1) vertrouw op betrouwbare numerieke gegevens;

2) grafieken moeten betekenisvol zijn qua ontwerp en interessant qua inhoud;

3) moet worden gebouwd in overeenstemming met de toegewezen taken en hun praktische doel;

4) uiterst zuinig zijn - een maximum aan informatie en ideeën bevatten met een minimum aan grafische expressiemiddelen, eenvoudig, duidelijk en begrijpelijk;

5) technisch goed uitgevoerd.

Laten we de belangrijkste typen en vormen van diagrammen en statistische kaarten die het vaakst worden gebruikt in de praktijk van analytisch werk eens nader bekijken.

Een lijndiagram is een van de meest voorkomende soorten grafieken, die dient om de dynamiek van de onderzochte verschijnselen weer te geven. Om het te construeren wordt een rechthoekig coördinatensysteem gebruikt. Op de abscis-as worden gelijke segmenten uitgezet - tijdsperioden (dagen, maanden, jaren, enz.), en op de ordinaat-as wordt een schaal aangenomen die de meeteenheden karakteriseert. Op het coördinatenveld worden punten getekend die gelijk zijn aan de waarde van de indicator aan bepaalde periode. Vervolgens worden alle punten met elkaar verbonden door rechte lijnen, wat resulteert in een onderbroken lijn die de verandering karakteriseert in het fenomeen dat over een bepaalde periode wordt bestudeerd (tabel 10.28, figuur 10.4).

	Subklasse		Rassen en grafische vormen, meest voorkomende
Diagrammen	I. Diagrammen algemene vergelijking aggregaten	1. homogene populaties	Kolom, lint, artistiek
		2. Heterogene populaties	Kolom, tape, vlak
	II. Structuurdiagrammen	1. Bevolkingsverdelingsdiagrammen	Veelhoek, histogram, cumulatief, ogive, verdelingscurve, Lorenz-plot, correlatieveld
		2. Diagrammen voor groepen	Grafieken van staven, strips, verdeeld in absolute of procentuele delen, sector, balansgrafieken, “leeftijdspiramide”, enz.
	III. Dynamische diagrammen	1. Diagrammen van volumedynamiek	Kolom-, lineaire, cumulatieve, spiraalvormige, artistieke grafieken
		2. Structuurdynamiekdiagrammen	Kolomdiagrammen met procentuele verdeling, cirkeldiagrammen met verdeling in sectoren, etc.
		3. Seizoensgrafieken	Lijn-, staaf- en radiale grafieken
	IV. Diagrammen onderlinge relaties tekenen	1. Bevolkingsconfiguratiediagrammen	Vlek, achtergrond
		2. Communicatievormdiagrammen	Diagrammen met gebroken of vloeiende rondingen
		3. Diagrammen van de mate van verbindingsnabijheid	Gesloten contouren van het correlatieveld in de vorm van getrapte onderbroken of elliptische curven, enz.
	V. Planimplementatiediagrammen	1. Huidige uitvoeringsdiagrammen	Lijndiagrammen, Gantt-diagrammen
		2. Prestatiediagrammen vanaf het begin van de periode	Cumuleert, cumulatieve Gantt-diagrammen, Lorenz-diagrammen
Statistische kaarten	VI. Cartogrammen	1. Cartogrammen van de plaatsing van bevolkingseenheden	Ontdek cartogrammen
		2. Cartogrammen van de plaatsing van het totale volume aan functies	Ontdek cartogrammen
		3. Cartogrammen van veranderingen in samenvattende kenmerken	Vlek, achtergrondcartogrammen
		4. Isoline-cartogrammen	Lineaire cartogrammen
		5. Centrogrammen	Ontdek cartogrammen

Tabel 10.28. Investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp., in werkelijke prijzen, miljoen UAH

Uit de grafiekgegevens blijkt dat het volume van de investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in werkelijke prijzen is gegroeid van 2000 tot 2005

Rijst. 10.4. Dynamiek van het volume van de investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005, in werkelijke prijzen, miljoen UAH

Geplande lijngrafieken zijn gebouwd op een speciaal ontworpen raster, waarbij tijdseenheden horizontaal worden uitgezet en onderzoeksobjecten verticaal worden geplaatst. Bovendien komt elk horizontaal segment overeen met een 100% voltooiing van de geplande taak. Deze segmenten zijn deelbaar door 5 gelijke delen, die elk overeenkomen met 20% van de geplande doelstelling.

De mate van planimplementatie in de grafiek wordt weergegeven door twee lijnen: een dunne stippellijn – per tijdseenheid (dag, decennium) en een ononderbroken vetgedrukte lijn – voor de rapportageperiode als geheel.

Laten we eens kijken naar de procedure voor het construeren van een geplande lineaire grafiek aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld. Bouwen lijngrafiek uitvoering van de geplande taak door een team van werknemers van bouw- en installatiewerkzaamheden, met behulp van de gegevens in de tabel. 10.29.

Tabel 10.29. Vervulling van de geplande taak door een team van werknemers uit de bouw- en installatiewerkzaamheden

Het schema voor het voltooien van de geplande taak door het bouwteam voor bouw- en installatiewerkzaamheden wordt weergegeven in Fig. 10.5.

De dunne ononderbroken lijn van de eerste dag komt overeen met 90% van het plan en beslaat vier en een halve cel, en de lijn van de tweede dag - 80% en beslaat vier cellen, de lijn van de derde dag strekt zich precies vijf uit, en de lijn van de vierde - vijf cellen (100%) plus een extra cel in het onderliggende segment, dat 20% beslaat, enz.

Om het niveau van planimplementatie op transactiebasis weer te geven, zijn enkele aanvullende berekeningen nodig. Dus op de eerste dag zal de ononderbroken dikke lijn dezelfde lengte hebben als de dunne, doorlopende lijn - 90% en vier en een halve cel in beslag nemen. Vervolgens moeten de volgende berekeningen worden gemaakt: in twee dagen tijd is daadwerkelijk 513 m2 (225 + 288) gerealiseerd. Van dit bedrag wordt 250 m2 toegekend aan de uitvoering van het plan voor de eerste dag. Dan blijft er op de tweede dag 263 m2 over, wat volgens plan op deze dag 91% is (263.288).

Volgens de vetgedrukte lijn beslaat het vijf cellen van de eerste dag en 91% van de tweede. In drie dagen tijd werd daadwerkelijk 923 m2 (225 + 288 + 410) opgeleverd. Voor de eerste twee dagen wordt 610 m2 geregistreerd voor de voltooiing van het plan en voor de derde dag 313 m2, wat volgens het plan voor deze dag 76% is (313: 410). De dikke lijn beslaat 5 cellen van de eerste en tweede dag en 76% van de derde. Alle verdere berekeningen worden op dezelfde manier uitgevoerd. De mate van uitvoering van het plan wordt per dag aangegeven met stippen op de dikke lijn.

Kolomdiagram- een veel voorkomend type grafieken in één dimensie vanwege hun duidelijkheid en eenvoud. Statistische gegevens daarin worden weergegeven in de vorm van rechthoeken van dezelfde breedte, verticaal gelegen langs een horizontale lijn (Fig. 10.6).

De hoogte van de kolommen moet overeenkomen met de omvang van de afgebeelde verschijnselen. Als de staven horizontaal worden geplaatst, wordt zo'n grafiek een stripgrafiek genoemd (Fig. 10.7).

Met kolom- en stripdiagrammen kunt u waarden vergelijken verschillende betekenissen karakteriseren hetzelfde fenomeen in de dynamiek; kenmerken de bevolking.

Cirkeldiagrammen (of cirkeldiagrammen) zijn diagrammen die zijn ontworpen om de structuur weer te geven van de verschijnselen en processen die worden bestudeerd. Ze zijn afgebeeld in de vorm van een cirkel verdeeld in sectoren, waarvan de afmetingen overeenkomen met de afmetingen van de afgebeelde verschijnselen (Fig. 10.8).

Zoals blijkt uit de grafiekgegevens (Fig. 10.8), is de belangrijkste financieringsbron voor leasingactiviteiten in Oekraïne bankleningen(80,9%), vervolgens - eigen vermogen (16,1%). Geleende gelden rechtspersonen slechts 3,6% uitmaken.

Rijst. 10.6. Dynamiek van het volume van de investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp., in werkelijke prijzen, miljoen UAH

Rijst. 10.7. Dynamiek van het volume van de investeringen in vaste activa in de woningbouw in Oekraïne in 2000-2005 pp., in werkelijke prijzen, miljoen UAH

IN moderne omstandigheden Door de ontwikkeling van informatie- en computersystemen werd het mogelijk om met behulp van pakketten grafieken te bouwen computerprogramma's, inclusief elektronisch EXCEL-tabellen, "Statistica-6", enz. Ze zijn gemakkelijk te gebruiken en vereenvoudigen dit werk aanzienlijk.

Rijst. 10.8. Structuur van de financieringsbronnen voor leasingactiviteiten in Oekraïne begin 2005 p.,%