Het concept van de matrixrangschikking hangt nauw samen met het concept van lineaire afhankelijkheid (onafhankelijkheid) van de rijen of kolommen. In de toekomst zullen we het materiaal voor kolommen presenteren; de presentatie is vergelijkbaar.

In de matrix A Laten we de lijnen als volgt aanduiden:

, , …. ,

Er wordt gezegd dat twee rijen van een matrix gelijk zijn, als hun overeenkomstige elementen gelijk zijn: , if , .

Rekenkundige bewerkingen op matrixrijen (een rij vermenigvuldigen met een getal, rijen optellen) worden geïntroduceerd als bewerkingen die element voor element worden uitgevoerd:

Lijn e een lineaire combinatie van snaren genoemd..., matrix, als deze gelijk is aan de som van de producten van deze rijen door willekeurige reële getallen:

De rijen van de matrix worden genoemd lineair afhankelijk, als er getallen zijn die niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, zodat een lineaire combinatie van matrixrijen gelijk is aan de nulrij:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Stelling 3.3De rijen van een matrix zijn lineair afhankelijk als ten minste één rij van de matrix een lineaire combinatie is van de andere.

□ Laten we voor de duidelijkheid in formule (3.3) , Dan

De rij is dus een lineaire combinatie van de overige rijen. ■

Als een lineaire combinatie van rijen (3.3) gelijk is aan nul als en slechts als alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul, dan worden de rijen lineair onafhankelijk genoemd.

Stelling 3.4.(over de rangorde van de matrix) De rangorde van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen waardoor al zijn andere rijen (kolommen) lineair worden uitgedrukt.

□ Laat de matrix A maat m n heeft rang R(R minuten). Dit betekent dat er sprake is van een niet-nul minor R-de bestelling. Elke minderjarige die niet nul is R De e orde wordt de basisminor genoemd.

Laat voor de duidelijkheid de basis mineur zijn leidende of hoekmineur. Dan zijn de rijen van de matrix lineair onafhankelijk. Laten we aannemen dat het tegenovergestelde het geval is, dat wil zeggen dat een van deze strings bijvoorbeeld een lineaire combinatie is van de andere. Trek af van de elementen R- van de 1e rij, de elementen van de 1e rij, vermenigvuldigd met , vervolgens de elementen van de 2e rij, vermenigvuldigd met , ... en de elementen ( R- 1) - de rijen vermenigvuldigd met . Op basis van eigenschap 8 zal bij dergelijke transformaties van de matrix de determinant D niet veranderen, maar sindsdien R- de rij bestaat nu alleen uit nullen, dan is D = 0 een tegenstrijdigheid. Daarom is onze aanname dat de rijen van de matrix lineair afhankelijk zijn onjuist.

Laten we de lijnen bellen eenvoudig. Laten we aantonen dat alle (r+1) rijen van de matrix lineair afhankelijk zijn, d.w.z. elke string wordt uitgedrukt in termen van basisstrings.

Laten we een minor (r +1) van de eerste orde bekijken, die wordt verkregen door de betreffende minor aan te vullen met elementen van een andere rij i en kolom J. Deze minor is nul omdat de rang van de matrix dat is R, dus elke minor van hogere orde is nul.

Als we het uitbreiden volgens de elementen van de laatste (toegevoegde) kolom, krijgen we

Waar de modulus van het laatste algebraïsche complement samenvalt met de basismineur D en daarom verschillend van nul, d.w.z. 0.

waar zijn enkele getallen (sommige van deze getallen of zelfs allemaal kunnen gelijk zijn aan nul). Dit betekent dat er de volgende gelijkheden zijn tussen de elementen van de kolommen:

of , .

Uit (3.3.1) volgt dat

(3.3.2)

waar is de nulreeks.

Definitie. De rijen van matrix A zijn lineair afhankelijk als er getallen zijn die niet allemaal tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, zodat

(3.3.3)

Als gelijkheid (3.3.3) waar is als en slechts dan als , dan worden de rijen lineair onafhankelijk genoemd. Relatie (3.3.2) laat zien dat als een van de rijen lineair wordt uitgedrukt in termen van de andere, de rijen lineair afhankelijk zijn.

Het tegenovergestelde is gemakkelijk te zien: als de snaren lineair afhankelijk zijn, dan is er een string die een lineaire combinatie zal zijn van de overige snaren.

Laten we bijvoorbeeld in (3.3.3) dan .

Definitie. Laat een bepaalde minor kiezen in matrix A R e orde en laat kleine ( R De +1)de orde van dezelfde matrix bevat geheel de minor . We zullen zeggen dat in dit geval de minor grenst aan de minor (of grenst aan ).

Nu zullen we een belangrijk lemma bewijzen.

Lemmaover aangrenzende minderjarigen. Als de minderjarige van orde is R matrix A = verschillend is van nul, en alle aangrenzende minoren zijn gelijk aan nul, dan is elke rij (kolom) van matrix A een lineaire combinatie van de rijen (kolommen) waaruit .

Bewijs. Zonder de algemeenheid van de redenering uit het oog te verliezen, gaan we ervan uit dat het om een ​​minderjarige gaat dan nul R -de orde bevindt zich in de linkerbovenhoek van de matrix A=:

.

Voor de eerste k rijen van matrix A, de verklaring van het lemma ligt voor de hand: het is voldoende om in een lineaire combinatie dezelfde rij op te nemen met een coëfficiënt gelijk aan één, en de rest - met coëfficiënten gelijk aan nul.

Laten we nu bewijzen dat de resterende rijen van matrix A lineair worden uitgedrukt in termen van de eerste k lijnen. Om dit te doen, zullen we een minor ( R +1)de orde door toevoeging aan de minor k -de regel () en l e kolom():

.

De resulterende minor is voor iedereen gelijk aan nul k en l . Als , dan is het gelijk aan nul omdat het twee identieke kolommen bevat. Als , dan is de resulterende minor een randmineur voor en daarom gelijk aan nul volgens de voorwaarden van het lemma.

Laten we de mineur ontleden volgens de elementen van de laatstel e kolom:

(3.3.4)

waar zijn algebraïsche aanvullingen op de elementen. Het algebraïsche complement is daarom een ​​ondergeschikte waarde van de matrix A. Verdeel (3.3.4) door en druk het uit door:

(3.3.5)

Waar , .

Ervan uitgaande dat we krijgen:

(3.3.6)

Uitdrukking (3.3.6) betekent dat k De derde rij van matrix A wordt lineair uitgedrukt via de eerste r lijnen.

Omdat wanneer een matrix wordt getransponeerd, de waarden van zijn minderjarigen niet veranderen (vanwege de eigenschap van determinanten), geldt alles wat bewezen is ook voor de kolommen. De stelling is bewezen.

Gevolg ik . Elke rij (kolom) van een matrix is ​​een lineaire combinatie van de basisrijen (kolommen). De basismineur van de matrix is ​​inderdaad niet nul, en alle aangrenzende minderjarigen zijn gelijk aan nul.

Gevolg II. Bepalende factor n van de volgorde is gelijk aan nul als en slechts als het lineair afhankelijke rijen (kolommen) bevat. De toereikendheid van de lineaire afhankelijkheid van rijen (kolommen) om de determinant gelijk te laten zijn aan nul werd eerder bewezen als een eigenschap van determinanten.

Laten we de noodzaak bewijzen. Laat een vierkante matrix gegeven worden N e orde, waarvan de enige kleine nul is. Hieruit volgt dat de rangorde van deze matrix minder is N , d.w.z. er is ten minste één rij die een lineaire combinatie is van de basisrijen van deze matrix.

Laten we een andere stelling bewijzen over de rangorde van de matrix.

Stelling.Het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke kolommen en is gelijk aan de rangorde van deze matrix.

Bewijs. Laat de rangorde van matrix A= gelijk zijn aan R. Dan is een van zijn k basisrijen zijn lineair onafhankelijk, anders zou de basismineur nul zijn. Aan de andere kant: elke R +1 of meer rijen zijn lineair afhankelijk. Als we het tegendeel aannemen, zouden we een minderjarige van orde groter dan kunnen vinden R , verschillend van nul volgens gevolgtrekking 2 van het vorige lemma. Dit laatste is in tegenspraak met het feit dat de maximale orde van niet-nul minderjarigen gelijk is aan R . Alles wat voor rijen is bewezen, geldt ook voor kolommen.

Tot slot zullen we een andere methode schetsen om de rangorde van een matrix te vinden. De rangorde van een matrix kan worden bepaald door een minor van de maximale orde te vinden die verschilt van nul.

Op het eerste gezicht vereist dit de berekening van een eindig, maar wellicht zeer groot aantal minoren van deze matrix.

De volgende stelling maakt het echter mogelijk hierin aanzienlijke vereenvoudigingen aan te brengen.

Stelling.Als de minor van matrix A niet nul is, en alle aangrenzende minoren gelijk zijn aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan R.

Bewijs. Het is voldoende om aan te tonen dat elk subsysteem van matrixrijen met S>r zal lineair afhankelijk zijn onder de voorwaarden van de stelling (hieruit volgt dat r het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen van de matrix is ​​of een van zijn minderjarigen van orde groter dan k gelijk is aan nul).

Laten we het tegenovergestelde aannemen. Laat de rijen lineair onafhankelijk zijn. Volgens het lemma over aangrenzende minderjarigen zal elk van hen lineair worden uitgedrukt via de regels die de minderjarige bevatten en die, vanwege het feit dat ze verschillend zijn van nul, lineair onafhankelijk zijn:

(3.3.7)

Beschouw de matrix K uit de coëfficiënten van lineaire uitdrukkingen (3.3.7):

.

De rijen van deze matrix worden aangegeven met . Ze zullen lineair afhankelijk zijn, aangezien de rangorde van de matrix K, d.w.z. het maximale aantal lineair onafhankelijke lijnen is niet groter dan R< S . Daarom zijn er getallen die niet allemaal gelijk zijn aan nul

Laten we verder gaan met de gelijkheid van componenten

(3.3.8)

Beschouw nu de volgende lineaire combinatie:

of

Laten

Dimensiematrixkolommen. Lineaire combinatie van matrixkolommen wordt een kolommatrix genoemd, waarbij enkele reële of complexe getallen worden genoemd lineaire combinatiecoëfficiënten. Als we in een lineaire combinatie alle coëfficiënten gelijk aan nul nemen, dan is de lineaire combinatie gelijk aan de nulkolommatrix.

De kolommen van de matrix worden genoemd lineair onafhankelijk , als hun lineaire combinatie alleen gelijk is aan nul als alle coëfficiënten van de lineaire combinatie gelijk zijn aan nul. De kolommen van de matrix worden genoemd lineair afhankelijk , als er een reeks getallen is waarvan er minstens één niet nul is, en de lineaire combinatie van kolommen met deze coëfficiënten gelijk is aan nul

Op soortgelijke wijze kunnen de definities van lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van matrixrijen worden gegeven. In wat volgt worden alle stellingen geformuleerd voor de kolommen van de matrix.

Stelling 5

Als er een nul tussen de matrixkolommen staat, zijn de matrixkolommen lineair afhankelijk.

Bewijs. Beschouw een lineaire combinatie waarin alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul voor alle kolommen die niet nul zijn, en één voor alle nulkolommen. Het is gelijk aan nul, en onder de coëfficiënten van de lineaire combinatie is er een coëfficiënt die niet nul is. Daarom zijn de kolommen van de matrix lineair afhankelijk.

Stelling 6

Als matrixkolommen zijn lineair afhankelijk, dat is alles matrixkolommen zijn lineair afhankelijk.

Bewijs. Voor de zekerheid gaan we ervan uit dat de eerste kolommen van de matrix lineair afhankelijk. Dan is er volgens de definitie van lineaire afhankelijkheid een reeks getallen, waarvan er minstens één niet nul is, en de lineaire combinatie van kolommen met deze coëfficiënten is gelijk aan nul

Laten we een lineaire combinatie maken van alle kolommen van de matrix, inclusief de overige kolommen met nulcoëfficiënten

Maar . Daarom zijn alle kolommen van de matrix lineair afhankelijk.

Gevolg. Van de lineair onafhankelijke matrixkolommen zijn alle lineair onafhankelijk. (Deze bewering kan gemakkelijk worden bewezen door tegenspraak.)

Stelling 7

Om ervoor te zorgen dat de kolommen van een matrix lineair afhankelijk zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat ten minste één kolom van de matrix een lineaire combinatie van de andere is.

Bewijs.

Noodzaak. Laat de kolommen van de matrix lineair afhankelijk zijn, dat wil zeggen, er is een reeks getallen waarvan er minstens één verschillend is van nul, en de lineaire combinatie van kolommen met deze coëfficiënten is gelijk aan nul

Laten we voor de zekerheid aannemen dat . Dat wil zeggen dat de eerste kolom een ​​lineaire combinatie is van de rest.

Geschiktheid. Laat ten minste één kolom van de matrix een lineaire combinatie van de andere zijn, bijvoorbeeld waar enkele getallen staan.

Dan is de lineaire combinatie van kolommen gelijk aan nul, en van de getallen in de lineaire combinatie is er minstens één (at) verschillend van nul.

Laat de rangorde van de matrix . Elke minderjarige die niet nul is van orde 1 wordt geroepen eenvoudig . Rijen en kolommen op het snijpunt waarvan er een basisminor is, worden genoemd eenvoudig .

De concepten lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid worden voor rijen en kolommen gelijk gedefinieerd. Daarom zijn de eigenschappen die verband houden met deze concepten die voor kolommen zijn geformuleerd, uiteraard ook geldig voor rijen.

1. Als een kolomsysteem een ​​nulkolom bevat, is het lineair afhankelijk.

2. Als een kolommensysteem twee gelijke kolommen heeft, is het lineair afhankelijk.

3. Als een kolomsysteem twee proportionele kolommen heeft, is het lineair afhankelijk.

4. Een kolommenstelsel is lineair afhankelijk dan en slechts dan als ten minste één van de kolommen een lineaire combinatie is van de andere.

5. Alle kolommen in een lineair onafhankelijk systeem vormen een lineair onafhankelijk subsysteem.

6. Een kolomsysteem dat een lineair afhankelijk subsysteem bevat, is lineair afhankelijk.

7. Als een systeem van kolommen lineair onafhankelijk is, en nadat er een kolom aan is toegevoegd, het lineair afhankelijk blijkt te zijn, dan kan de kolom worden ontleed in kolommen, en bovendien op een unieke manier, d.w.z. de uitzettingscoëfficiënten zijn uniek te vinden.

Laten we bijvoorbeeld de laatste eigenschap bewijzen. Omdat het kolommenstelsel lineair afhankelijk is, zijn er getallen die niet allemaal gelijk zijn aan 0

In deze gelijkheid. Sterker nog: als, dan

Dit betekent dat een niet-triviale lineaire combinatie van kolommen gelijk is aan de nulkolom, wat in tegenspraak is met de lineaire onafhankelijkheid van het systeem. Daarom, en dan, d.w.z. een kolom is een lineaire combinatie van kolommen. Rest ons nog het unieke karakter van een dergelijke representatie aan te tonen. Laten we het tegenovergestelde aannemen. Stel dat er twee uitbreidingen zijn en , en niet alle coëfficiënten van de uitbreidingen zijn respectievelijk gelijk aan elkaar (bijvoorbeeld ). Dan vanuit de gelijkheid

We krijgen (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

opeenvolgend is de lineaire combinatie van kolommen gelijk aan de nulkolom. Omdat niet alle coëfficiënten (tenminste) gelijk zijn aan nul, is deze combinatie niet triviaal, wat in tegenspraak is met de voorwaarde van lineaire onafhankelijkheid van de kolommen. De resulterende tegenstrijdigheid bevestigt het unieke karakter van de uitbreiding.

Voorbeeld 3.2. Bewijs dat twee niet-nul kolommen lineair afhankelijk zijn als en slechts als ze proportioneel zijn, d.w.z. .

Oplossing. Als de kolommen lineair afhankelijk zijn, zijn er in feite getallen die niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, zodat . En in deze gelijkheid. Als we aannemen dat we een tegenstrijdigheid verkrijgen, aangezien de kolom ook niet nul is. Middelen, . Daarom is er een getal zodanig dat . De noodzaak is bewezen.

Omgekeerd, als , dan . We hebben een niet-triviale lineaire combinatie van kolommen verkregen die gelijk is aan de nulkolom. Dit betekent dat de kolommen lineair afhankelijk zijn.

Voorbeeld 3.3. Overweeg allerlei soorten systemen gevormd uit kolommen

Onderzoek elk systeem op lineaire afhankelijkheid.
Oplossing. Laten we vijf systemen bekijken die elk één kolom bevatten. Volgens paragraaf 1 van Opmerking 3.1 zijn systemen lineair onafhankelijk, en is een systeem bestaande uit één nulkolom lineair afhankelijk.

Laten we systemen bekijken die twee kolommen bevatten:

– elk van de vier systemen is lineair afhankelijk, omdat het een nulkolom bevat (eigenschap 1);

– het systeem is lineair afhankelijk, aangezien de kolommen proportioneel zijn (eigenschap 3): ;

– elk van de vijf systemen is lineair onafhankelijk, omdat de kolommen onevenredig zijn (zie de verklaring van voorbeeld 3.2).

Overweeg systemen met drie kolommen:

– elk van de zes systemen is lineair afhankelijk, omdat het een nulkolom bevat (eigenschap 1);

– systemen zijn lineair afhankelijk, omdat ze een lineair afhankelijk subsysteem bevatten (eigenschap 6);

– systemen en zijn lineair afhankelijk, aangezien de laatste kolom lineair wordt uitgedrukt via de rest (eigenschap 4): en, respectievelijk.

Tenslotte zijn systemen van vier of vijf kolommen lineair afhankelijk (door eigenschap 6).

Matrix-rang

In deze sectie zullen we een ander belangrijk numeriek kenmerk van een matrix beschouwen, gerelateerd aan de mate waarin de rijen (kolommen) van elkaar afhankelijk zijn.

Definitie 14.10 Laat een matrix van maten en een getal dat het kleinste getal niet overschrijdt, gegeven worden: . Laten we de matrixrijen en -kolommen willekeurig kiezen (de rijnummers kunnen verschillen van de kolomnummers). De determinant van een matrix die is samengesteld uit elementen op het snijpunt van geselecteerde rijen en kolommen wordt de matrixvolgorde minor genoemd.

Voorbeeld 14.9 Laten .

Een minor van de eerste orde is elk element van de matrix. Dus 2, , zijn minderjarigen van de eerste orde.

Tweede orde minoren:

1. neem rijen 1, 2, kolommen 1, 2, we krijgen een minor ;

2. neem rijen 1, 3, kolommen 2, 4, we krijgen een minor ;

3. neem rijen 2, 3, kolommen 1, 4, we krijgen minor

Minoren van de derde orde:

rijen hier kunnen slechts op één manier worden geselecteerd,

1. neem kolommen 1, 3, 4, we krijgen minor ;

2. neem kolommen 1, 2, 3, we krijgen minor .

Voorstel 14.23 Als alle minoren van een ordematrix gelijk zijn aan nul, dan zijn alle minoren van orde, als ze bestaan, ook gelijk aan nul.

Bewijs. Laten we een willekeurige minor van orde nemen. Dit is de bepalende factor voor de ordermatrix. Laten we het langs de eerste regel opsplitsen. Dan zal in elke term van de uitbreiding een van de factoren klein zijn in de orde van de oorspronkelijke matrix. Per voorwaarde zijn de volgorde van minderjarigen gelijk aan nul. Daarom zal de minor van de bestelling gelijk zijn aan nul.

Definitie 14.11 De rang van een matrix is ​​de grootste orde van de matrixminoren anders dan nul. De rangorde van een nulmatrix wordt als nul beschouwd.

Er is geen enkele standaardaanduiding voor de matrixrang. Volgens het leerboek zullen we het aanduiden.

Voorbeeld 14.10 De matrix van Voorbeeld 14.9 heeft rang 3 omdat er een andere minor van de derde orde is dan nul, maar er zijn geen minoren van de vierde orde.

Matrix-rang is gelijk aan 1, aangezien er een niet-nul eerste-orde minor is (matrixelement) en alle tweede-orde minors gelijk zijn aan nul.

De rangorde van een niet-singuliere vierkante matrix van orde is gelijk aan , aangezien de determinant ervan een ondergeschikte waarde is van de orde en niet nul is voor een niet-singuliere matrix.

Voorstel 14.24 Wanneer een matrix wordt getransponeerd, verandert de rangorde ervan niet, dat wil zeggen: .

Bewijs. Een getransponeerde minor van de originele matrix zal een minor zijn van de getransponeerde matrix, en omgekeerd: elke minor is een getransponeerde minor van de originele matrix. Bij transponeren verandert de determinant (minor) niet (Stelling 14.6). Als dus alle minors van een orde in de oorspronkelijke matrix gelijk zijn aan nul, dan zijn alle minors van dezelfde orde in ook gelijk aan nul. Als de minor van de orde in de oorspronkelijke matrix verschillend is van nul, dan is er een minor van dezelfde orde, verschillend van nul. Vandaar, .

Definitie 14.12 Laat de rangorde van de matrix . Vervolgens wordt elke minor van orde, anders dan nul, een basisminor genoemd.

Voorbeeld 14.11 Laten . De determinant van de matrix is ​​nul, aangezien de derde rij gelijk is aan de som van de eerste twee. De tweede orde minor, gelegen in de eerste twee rijen en eerste twee kolommen, is gelijk aan . Bijgevolg is de rangorde van de matrix twee en is de beschouwde minderjarige eenvoudig.

Een basisminor is ook een minor die zich bijvoorbeeld in de eerste en derde rij, eerste en derde kolom bevindt: . De minor is basis in de tweede en derde rij, eerste en derde kolom: .

De minor in de eerste en tweede rij en de tweede en derde kolom is nul en zal dus geen basis vormen. De lezer kan zelfstandig nagaan welke andere tweedegraadsminoren basis zullen zijn en welke niet.

Omdat de kolommen (rijen) van een matrix kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd met getallen en lineaire combinaties kunnen worden gevormd, is het mogelijk om definities van lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van een systeem van kolommen (rijen) van een matrix te introduceren. Deze definities zijn vergelijkbaar met dezelfde definities 10.14, 10.15 voor vectoren.

Definitie 14.13 Een systeem van kolommen (rijen) wordt lineair afhankelijk genoemd als er een zodanige reeks coëfficiënten is, waarvan er minstens één verschillend is van nul, dat de lineaire combinatie van kolommen (rijen) met deze coëfficiënten gelijk zal zijn aan nul.

Definitie 14.14 Een systeem van kolommen (rijen) is lineair onafhankelijk als de gelijkheid aan nul van een lineaire combinatie van deze kolommen (rijen) impliceert dat alle coëfficiënten van deze lineaire combinatie gelijk zijn aan nul.

De volgende stelling, vergelijkbaar met stelling 10.6, is ook waar.

Zin 14.25 Een systeem van kolommen (rijen) is lineair afhankelijk dan en slechts dan als een van de kolommen (een van de rijen) een lineaire combinatie is van andere kolommen (rijen) van dit systeem.

Laten we een stelling formuleren genaamd basis kleine stelling.

Stelling 14.2 Elke matrixkolom is een lineaire combinatie van de kolommen die door de basisminor gaan.

Het bewijs is te vinden in leerboeken voor lineaire algebra, bijvoorbeeld in.

Voorstel 14.26 De rangorde van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal kolommen dat een lineair onafhankelijk systeem vormt.

Bewijs. Laat de rangorde van de matrix . Laten we de kolommen nemen die door de basismineur gaan. Laten we aannemen dat deze kolommen een lineair afhankelijk systeem vormen. Dan is een van de kolommen een lineaire combinatie van de andere. Bij een basisminor zal één kolom dus een lineaire combinatie zijn van de andere kolommen. Volgens de stellingen 14.15 en 14.18 moet deze basisminor gelijk zijn aan nul, wat in tegenspraak is met de definitie van een basisminor. Daarom is de veronderstelling dat de kolommen die door de basismineur gaan lineair afhankelijk zijn niet waar. Het maximale aantal kolommen dat een lineair onafhankelijk systeem vormt, is dus groter dan of gelijk aan .

Laten we aannemen dat de kolommen een lineair onafhankelijk systeem vormen. Laten we er een matrix van maken. Alle matrixminoren zijn matrixminoren. Daarom heeft de basismineur van de matrix een orde van niet groter dan . Volgens de basis-minor-stelling is een kolom die niet door de basis-minor van een matrix gaat een lineaire combinatie van de kolommen die door de basis-minor gaan, dat wil zeggen dat de matrixkolommen een lineair afhankelijk systeem vormen. Dit is in strijd met de keuze van de kolommen die de matrix vormen. Bijgevolg kan het maximale aantal kolommen dat een lineair onafhankelijk systeem vormt, niet groter zijn dan . Dit betekent dat het gelijk is aan wat er staat.

Voorstel 14.27 De rangorde van een matrix is ​​gelijk aan het maximale aantal rijen die een lineair onafhankelijk systeem vormen.

Bewijs. Volgens Stelling 14.24 verandert de rangorde van de matrix niet tijdens de transpositie. De rijen van de matrix worden de kolommen ervan. Het maximale aantal nieuwe kolommen van de getransponeerde matrix (voormalige rijen van het origineel) die een lineair onafhankelijk systeem vormen, is gelijk aan de rangorde van de matrix.

Voorstel 14.28 Als de determinant van een matrix nul is, dan is een van de kolommen (een van de rijen) een lineaire combinatie van de overige kolommen (rijen).

Bewijs. Laat de matrixvolgorde gelijk zijn aan . De determinant is de enige minor van een vierkante matrix die orde heeft. Omdat het gelijk is aan nul, dan . Bijgevolg is een systeem van kolommen (rijen) lineair afhankelijk, dat wil zeggen dat een van de kolommen (een van de rijen) een lineaire combinatie is van de andere.

De resultaten van de stellingen 14.15, 14.18 en 14.28 geven de volgende stelling.

Stelling 14.3 De determinant van een matrix is ​​gelijk aan nul als en slechts als een van de kolommen (een van de rijen) een lineaire combinatie is van de overige kolommen (rijen).

Het vinden van de rangorde van een matrix door alle minoren te berekenen vereist te veel rekenwerk. (De lezer kan controleren of er 36 minderjarigen van de tweede orde zijn in een vierkante matrix van de vierde orde.) Daarom wordt een ander algoritme gebruikt om de rangorde te vinden. Om het te beschrijven, is een aantal aanvullende informatie vereist.

Definitie 14.15 Laten we de volgende acties hierop elementaire transformaties van matrices noemen:

1) herschikking van rijen of kolommen;
2) het vermenigvuldigen van een rij of kolom met een ander getal dan nul;
3) het toevoegen aan een van de rijen van een andere rij vermenigvuldigd met een getal of het toevoegen aan een van de kolommen van een andere kolom vermenigvuldigd met een getal.

Voorstel 14.29 Tijdens elementaire transformaties verandert de rangorde van de matrix niet.

Bewijs. Laat de rangorde van de matrix gelijk zijn aan , - de matrix die resulteert uit het uitvoeren van een elementaire transformatie.

Laten we de permutatie van snaren eens bekijken. Laten we een minor van de matrix zijn, dan heeft de matrix een minor die ermee samenvalt of ervan verschilt door de rijen te herschikken. En andersom kan elke matrixminor worden geassocieerd met een matrixminor die er in rijvolgorde mee samenvalt of ervan afwijkt. Uit het feit dat alle minoren van een orde in een matrix gelijk zijn aan nul, volgt dus dat in de matrix alle minoren van deze orde ook gelijk zijn aan nul. En aangezien de matrix een kleine orde heeft, verschillend van nul, heeft de matrix ook een kleine orde, verschillend van nul, dat wil zeggen.

Overweeg een tekenreeks te vermenigvuldigen met een ander getal dan nul. Een minor uit een matrix komt overeen met een minor uit een matrix die er in slechts één rij mee samenvalt of ervan verschilt, die wordt verkregen uit de secundaire rij door te vermenigvuldigen met een ander getal dan nul. In het laatste geval. In alle gevallen zijn en tegelijkertijd gelijk aan nul, of tegelijkertijd verschillend van nul. Vandaar, .