Onder de verschillende systemen van orthogonale functies die kunnen worden gebruikt als basis voor het weergeven van radiosignalen, nemen harmonische (sinus en cosinus) functies een uitzonderlijke plaats in. Het belang van harmonische signalen voor radiotechniek heeft een aantal redenen.

In het bijzonder:

1. Harmonische signalen zijn onveranderlijk met betrekking tot transformaties die worden uitgevoerd door stationaire lineaire elektrische circuits. Als een dergelijk circuit wordt bekrachtigd door een bron van harmonische oscillaties, blijft het signaal aan de uitgang van het circuit harmonisch met dezelfde frequentie en verschilt het alleen van het ingangssignaal in amplitude en initiële fase.

2. De techniek voor het genereren van harmonische signalen is relatief eenvoudig.

Als een signaal wordt gepresenteerd als een som van harmonische oscillaties met verschillende frequenties, dan zeggen ze dat spectrale ontbinding van dit signaal is uitgevoerd. De individuele harmonische componenten van een signaal vormen het spectrum ervan.

2.1. Periodieke signalen en Fourierreeksen

Een wiskundig model van een proces dat zich in de loop van de tijd herhaalt, is een periodiek signaal met de volgende eigenschap:

Hier is T de periode van het signaal.

De taak is om de spectrale ontbinding van een dergelijk signaal te vinden.

Fourier-serie.

Laten we uitgaan van het tijdsinterval dat in hoofdstuk 1 wordt besproken. I orthonormale basis gevormd door harmonische functies met meerdere frequenties;

Elke functie op deze basis voldoet aan de periodiciteitsvoorwaarde (2.1). Door daarom op deze basis een orthogonale ontleding van het signaal uit te voeren, d.w.z. door de coëfficiënten te berekenen

we krijgen de spectrale ontbinding

geldig gedurende de oneindigheid van de tijdas.

Een reeks van de vorm (2.4) wordt de Fourierreeks van een gegeven signaal genoemd. Laten we de fundamentele frequentie introduceren van de reeks die het periodieke signaal vormt. Door de uitzettingscoëfficiënten te berekenen met behulp van formule (2.3), schrijven we de Fourierreeks voor een periodiek signaal

met kansen

(2.6)

In het algemene geval bevat een periodiek signaal dus een tijdsonafhankelijke constante component en een oneindige reeks harmonische oscillaties, de zogenaamde harmonischen met frequenties die veelvouden zijn van de grondfrequentie van de reeks.

Elke harmonische kan worden beschreven aan de hand van zijn amplitude en initiële fase. Om dit te doen, moeten de coëfficiënten van de Fourier-reeks in de vorm worden geschreven

Door deze uitdrukkingen in (2.5) te vervangen, verkrijgen we een andere, equivalente vorm van de Fourierreeks:

wat soms handiger blijkt te zijn.

Spectraal diagram van een periodiek signaal.

Dit is wat gewoonlijk een grafische weergave wordt genoemd van de Fourier-reekscoëfficiënten voor een specifiek signaal. Er zijn amplitude- en fasespectrale diagrammen (Fig. 2.1).

Hier vertegenwoordigt de horizontale as de harmonische frequenties op een bepaalde schaal, en de verticale as vertegenwoordigt hun amplitudes en initiële fasen.

Rijst. 2.1. Spectrale diagrammen van een periodiek signaal: a - amplitude; b-fase

Ze zijn vooral geïnteresseerd in het amplitudediagram, waarmee je het percentage van bepaalde harmonischen in het spectrum van een periodiek signaal kunt beoordelen.

Laten we een paar specifieke voorbeelden bestuderen.

Voorbeeld 2.1. Fourierreeks van een periodieke reeks rechthoekige videopulsen met bekende parameters, zelfs ten opzichte van het punt t = 0.

In de radiotechniek wordt de verhouding de duty-cycle van de reeks genoemd. Met behulp van formules (2.6) vinden we

Het is handig om de uiteindelijke formule van de Fourierreeks in het formulier te schrijven

In afb. Figuur 2.2 toont de amplitudediagrammen van de beschouwde reeks in twee extreme gevallen.

Het is belangrijk op te merken dat een reeks korte pulsen, die elkaar vrij zelden opvolgen, een rijke spectrale samenstelling heeft.

Rijst. 2.2. Amplitudespectrum van een periodieke reeks rechthoekige videopulsen: a - met een grote werkcyclus; b - met lage inschakelduur

Voorbeeld 2.2. Fourierreeks van een periodieke reeks pulsen gevormd door een harmonisch signaal van de vorm beperkt tot het niveau (aangenomen wordt dat ).

Laten we een speciale parameter introduceren: de afsnijhoek, bepaald op basis van de relatie waar

In overeenstemming hiermee is de waarde gelijk aan de duur van één puls, uitgedrukt in hoekmaat:

De analytische registratie van de puls die de betreffende reeks genereert, heeft de vorm

Component met constante sequentie

Eerste harmonische amplitudefactor

Op soortgelijke wijze worden de amplitudes van de harmonische componenten berekend

De verkregen resultaten worden meestal als volgt geschreven:

waar de zogenaamde Berg functioneert:

Grafieken van enkele Berg-functies worden getoond in Fig. 2.3.

Rijst. 2.3. Grafieken van de eerste paar Berg-functies

Complexe vorm van de Fourierreeks.

De spectrale ontbinding van een periodiek signaal kan ook op een enigszins ionische manier worden uitgevoerd, met behulp van een systeem van basisfuncties bestaande uit exponentiële getallen met denkbeeldige exponenten:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functies van dit systeem periodiek zijn, met een orthonormale periode op het tijdsinterval sindsdien

De Fourierreeks van een willekeurig periodiek signaal heeft in dit geval de vorm

met kansen

Meestal wordt de volgende notatievorm gebruikt:

Uitdrukking (2.11) is een Fourierreeks in complexe vorm.

Het signaalspectrum bevat, in overeenstemming met formule (2.11), componenten op de negatieve frequentie-semi-as, en . In reeksen (2.11) worden termen met positieve en negatieve frequenties gecombineerd tot paren, bijvoorbeeld: en de sommen van vectoren worden geconstrueerd - in de richting van het vergroten van de fasehoek, terwijl de vectoren in de tegenovergestelde richting roteren. Het einde van de resulterende vector op elk tijdstip bepaalt de huidige waarde van het signaal.

Deze visuele interpretatie van de spectrale ontleding van een periodiek signaal zal in de volgende paragraaf worden gebruikt.

Analyse van een circuit in het tijdsdomein volgens de methode van toestandsvariabelen onder constante invloeden

4.1 Fourier-serie-uitbreiding van een gegeven periodieke pulsreeks

Het elektrische schakelschema, rekening houdend met Tabel 1, wordt weergegeven in Fig. 7.

Elke periodieke functie f(t) die aan de Dirichlet-voorwaarden voldoet, kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks. Laten we de periode van de functie aangeven met T, en de fundamentele frequentie met _. De Fourierreeks kan op twee manieren worden geschreven.

Eerste deelnameformulier:

Tweede opnamevorm:

In beide vormen is A 0 een constante component van de reeks; En k is de amplitude van de k-de harmonische van de reeks; k is de beginfase van de k-de harmonische;

Uit de formule van Euler volgt dat. Vandaar,

Hiermee rekening houdend kunnen we de Fourierreeks in complexe vorm schrijven.

Laten we een uitdrukking maken voor de complexe amplitude.

Hiermee rekening houdend, verkrijgen we een uitdrukking voor de periodieke functie van de tijd:

Als we de resulterende uitdrukking vergelijken met formule (12), verkrijgen we:

In dit opzicht is het in ons geval mogelijk om coëfficiënten te verkrijgen voor de elektrische vorm van registratie van de Fourier-reeks uit de waarden van de amplitude- en fasespectra verkregen in het vorige deel. We zullen het aantal benaderingstermen kiezen, rekening houdend met de breedte van het ingangssignaalspectrum.

Discrete amplitude- en fasespectra worden weergegeven in figuren 25 en 26. Hun berekeningen zijn samengevat in tabel 5.

"rechts">Tabel 5.

Amplitudes en fasen bij overeenkomstige harmonischen

Harmonisch nr.

Rijst. 25. Discreet amplitudespectrum van het ingangssignaal

Andronov-Hopf-splitsing

We krijgen het systeem: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 Eerste variatie van de bifurcatiewaarde > > Tijdens de oplossing hebben we 4 singuliere punten verkregen, beschouw elk ervan en hun type bepalen. Eerste singuliere punt > > > > > We vonden dat op het punt (0...

Discrete wiskunde

Laat F een binaire functie zijn van n variabelen. Laten we aannemen dat F niet identiek nul is. Laat T1, T2,…, Tk alle punten van zijn definitie zijn waarbij F=1. Er kan worden bewezen dat de volgende formule geldig is: , waarbij, j=1,2,…, k...

Differentiële eigenschappen van hyperbolische functies

Laten we de uitbreiding van de belangrijkste hyperbolische functies in een Taylorreeks in de buurt van een punt vinden, d.w.z. in een serie van een type genaamd de Maclaurin-serie. Exponentiële en hyperbolische functies Laten we dan voor elke...

Wiskundige ontwerpmethoden

Het is vereist om ruismodellering uit te voeren met de Rayleigh-kansverdelingswet en spreiding D=12, waarbij y=. Om ruisrealisaties te verkrijgen met een gegeven verdelingswet, wordt de inverse functiemethode gebruikt...

Genormeerde ruimtes

Interpolatietheorie heeft talloze toepassingen in de theorie van de Fourierreeksen.

Definitie. Laat een periodieke functie zijn zodat. Een norm in de ruimte is een getal, en de Fourier-coëfficiënten van een functie zijn getallen...

Grondbeginselen van discrete wiskunde

Stelling 1. Elke logische functie kan worden weergegeven in een SDNF: , (1) waarbij m, en de disjunctie wordt overgenomen over alle 2m waardensets van de variabelen x1,...xm. De functie f wordt uitgebreid naar de eerste n-variabelen...

Fouriertransformatie en enkele van zijn toepassingen

(1) Fourier-integraalformule. Eerst introduceren we het concept van de hoofdwaarde van een integraal. Laat de functie integreerbaar zijn op elk segment van de getallenlijn. Definitie 1.1. Als er een eindige limiet is, (1...

Laten we het systeem eens bekijken. We zullen een systeem construeren met een gegeven even deel. Laat ons het even deel weten. Laten we de formule gebruiken en transformeren. Daarom kunnen we schrijven. Vanaf hier kunnen we weten waar de reflecterende functie van het systeem is...

Trigonometrische vergelijkingen

We reduceren de vergelijking tot de vorm f(x)=0 en stellen de linkerkant van de vergelijking voor als een product f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Vervolgens wordt deze vergelijking gereduceerd tot een reeks vergelijkingen: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Het moet onthouden worden...

Trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden

De factorisatiemethode is als volgt: als dan elke oplossing voor een vergelijking een oplossing is voor een reeks vergelijkingen. De omgekeerde bewering is over het algemeen onjuist: niet elke oplossing voor een reeks is een oplossing voor een vergelijking...

Elliptische Jacobi-functies

5. Lineaire elektrische circuits in de modus van periodieke niet-harmonische invloeden. Theorie van elektrische circuits

5. Lineaire elektrische circuits in de modus van periodieke niet-harmonische invloeden

5.1. Niet-harmonische periodieke signalen

Bij het verzenden van informatie via communicatiekanalen tijdens signaalconversie in verschillende apparaten, worden in de regel niet-harmonische oscillaties gebruikt, omdat puur harmonische oscillaties geen informatiedragers kunnen zijn. Om berichten te verzenden, moduleren ze een harmonische oscillatie in amplitude - amplitudemodulatie (AM), frequentie - frequentiemodulatie (FM) of fase - fasemodulatie (PM), of gebruiken ze pulssignalen gemoduleerd in amplitude - pulsamplitudemodulatie (PAM), breedte – pulsbreedtemodulatie (PWM), tijdpositie – tijdpulsmodulatie (TPM). Er zijn andere, complexere signalen die worden gegenereerd volgens speciale wetten. Een onderscheidend kenmerk van deze signalen is hun complexe niet-harmonische karakter. Stromen en spanningen die in verschillende puls- en digitale apparaten worden gegenereerd, hebben een niet-sinusvormige vorm (19. Discrete signalen en circuits), harmonische signalen die door verschillende niet-lineaire apparaten gaan, krijgen een niet-sinusoïdaal karakter (11. Niet-lineaire elektrische circuits onder harmonische invloeden), enz. Dit alles leidt tot de noodzaak om speciale methoden te ontwikkelen voor de analyse en synthese van elektrische circuits onder invloed van periodieke niet-sinusvormige en niet-periodieke stromen en spanningen. Deze methoden zijn gebaseerd op spectrale representaties van niet-sinusoïdale invloeden, gebaseerd op expansie in een reeks of Fourier-integraal.

Uit wiskundige analyse is bekend dat de periodieke niet-harmonische functie f(t), die voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden, kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks:
(5.1)
Waar een k,b k - uitzettingscoëfficiënten bepaald door de vergelijkingen
(5.2)

Grootte vertegenwoordigt de gemiddelde waarde van de functie over de periode f(t) en wordt de constante component genoemd.

In theoretische studies gebruiken ze in plaats van formule (5.1) meestal een andere, gebaseerd op het vervangen van de onafhankelijke variabele:
(5.3)
Waar
(5.4)

Vergelijking (5.3) is de trigonometrische vorm van de Fourierreeks. Bij het analyseren van circuits is het vaak handiger om de complexe vorm van de Fourierreeks te gebruiken, die kan worden verkregen uit (5.3) met behulp van de formules van Euler:
(5.5)

Door (5.5) in vergelijking (5.3) te vervangen, verkrijgen we na eenvoudige transformaties de complexe vorm van de Fourierreeks:
(5.6)
Waar A k- complexe amplitude k e harmonischen:
(5.7)
Waar – amplitude; – beginfase k e harmonischen.

De waarden vervangen een k En b k van (5.4) tot (5.7) verkrijgen we:
(5.8)

Amplitude ingesteld op 0,5 Een k = 0,5A –k vormt bij expansie (5.6), uitgezet tegen de overeenkomstige positieve en negatieve frequenties, symmetrisch ten opzichte van de coördinatenas (vanwege de pariteit van de coëfficiënten en k) lijnamplitudespectrum.

Set coördinaten k = – –k uit (5.7), opgenomen in expansie (5.6) en uitgezet tegen de overeenkomstige positieve en negatieve frequenties, vormt een symmetrische verhouding ten opzichte van de oorsprong van de coördinatenas (vanwege de onevenheid van de coëfficiënten b k)lijnfase spectrum.

Uitbreiding (5.3) kan in een andere vorm worden gepresenteerd. Gezien dat en k = Een k want k En b k= Een k zonde k, dan krijgen we na substitutie in (5.3):
(5.9)

Als we de constante component a 0/2 beschouwen als een nulharmonische met een beginfase 0 = 0, dan zal expansie (5.9) de vorm aannemen
(5.10)

In het speciale geval waarin de functie F(a) symmetrisch rond de ordinaatas (Fig. 5.1, A), zal uitbreiding (5.3) alleen even (cosinus) harmonischen bevatten:

(5.11)

en met symmetrie F(a) ten opzichte van de oorsprong (Fig. 5.1, B) oneven harmonischen
(5.12)

Bij het verschuiven van de oorsprong van de functie F(a) het amplitudespectrum verandert niet, maar alleen het fasespectrum verandert. Laten we inderdaad de functie verleggen F(a) langs de tijdas naar links door T 0 en geef aan.

Vervolgens zal uitbreiding (5.9) de vorm aannemen
(5.13)

Voorbeeld. Breid rechthoekige trillingen uit tot een Fourier-reeks (Fig. 5.1, B). Gezien dat F(a) is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong van de coördinaten in expansie (5.3) alleen sinusoïdale harmonischen (5.12) zullen overblijven, waarbij b k wordt bepaald volgens (5.4):

Vervanging b k in (5.12) verkrijgen we de uitbreiding van de Fourierreeks:
(5.14)

Vervolgens gaan we verhuizen F(a) p/2 naar links (zie figuur 5.1, A). Dan verkrijgen we volgens (5.13).

(5.15)

Dat wil zeggen, we hebben een uitbreiding van de cosinuscomponenten verkregen, zoals deze zou moeten zijn voor een signaal dat symmetrisch is ten opzichte van de ordinaat.

In een aantal gevallen is er sprake van een periodieke functie F(a) is grafisch weergegeven en heeft een complexe vorm; de uitbreiding ervan naar een Fourierreeks kan worden uitgevoerd met behulp van een grafisch-analytische methode. De essentie is dat de signaalperiode T(Fig. 5.2) zijn onderverdeeld in M intervallen gelijk aan en de breekpunten F a) mag niet in het midden van de scheidingsvlakken vallen; bepaal de signaalwaarde F(A N) in het midden van elke partitiesectie.

Zoek uitzettingscoëfficiënten en k En b k door de integraal in (5.2) te vervangen door een eindige som
(5.16)

Vergelijking (5.16) is eenvoudig te programmeren tijdens het berekenen en k En b k, kan door een computer worden gebruikt.

5.2. RMS, gemiddelde waarde en vermogen van een periodiek niet-harmonisch signaal

Laten we dat voor de zekerheid even aannemen F(T) heeft de betekenis van stroom i(T). Vervolgens wordt de effectieve waarde van de periodieke niet-harmonische stroom bepaald volgens (3.5), waarbij i(T) wordt bepaald door vergelijking (5.10):
(5.17)

Door deze huidige waarde in te vullen in (3.5), verkrijgen we na integratie
(5.18)

dat wil zeggen de effectieve waarde van de periodieke niet-harmonische stroom I wordt volledig bepaald door de effectieve waarden van zijn harmonischen Ik en is niet afhankelijk van hun beginfasen k.

Op dezelfde manier vinden we de effectieve waarde van de periodieke niet-sinusvormige spanning:
(5.19)

De gemiddelde stroomwaarde wordt bepaald volgens de algemene uitdrukking (3.9). Bovendien nemen ze meestal de gemiddelde waarde i(T) in absolute waarde
(5.20)

Op dezelfde manier gedefinieerd U zie(2) .

Vanuit het oogpunt van de circuittheorie zijn het gemiddelde actieve vermogen van een niet-harmonisch signaal en de verdeling ervan tussen individuele harmonischen van groot belang.

Gemiddeld actief vermogen van een periodiek niet-sinusvormig signaal
(5.21)
Waar
(5.22)

k- faseverschuiving tussen stroom en spanning k e harmonischen.

Waarden vervangen i(T) En u(T) van (5.22) in vergelijking (5.21), na integratie verkrijgen we:
(5.23)
dat wil zeggen dat het gemiddelde actieve vermogen van een periodiek niet-harmonisch signaal over een periode gelijk is aan de som van de vermogens van individuele harmonischen. Formule (5.23) is een van de algemeen bekende vormen Parsevals gelijkheid.

Op dezelfde manier vinden we reactief vermogen
(5.24)
en volle kracht
(5.25)

Benadrukt moet worden dat, in tegenstelling tot harmonische signalen, het ook om niet-harmonische signalen gaat
(5.26)

Grootte P bewering = wordt genoemd vervormingskracht en karakteriseert de mate van verschil in huidige vormen i(T) en spanning u(T).

Naast de kracht van vervorming worden periodieke niet-harmonische signalen gekenmerkt door een aantal andere kenmerken: coëfficiënten:vermogen, km = P/S; vormen Kf = U/U cf(2); amplitudes Ka = U m /U; vervorming k en = U 1 /U; harmonischen k g = enz.

Voor een sinusoïdaal signaal k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spectra van periodieke niet-harmonische signalen

Beschouw de reeks rechthoekige pulsen getoond in Fig. 5.3, A. Signalen van deze vorm worden op grote schaal gebruikt in de radiotechniek en telecommunicatie: telegrafie, digitale transmissiesystemen, meerkanaalscommunicatiesystemen met tijdverdeling, verschillende puls- en digitale apparaten, enz. (zie hoofdstuk 19). De pulssequentie wordt gekenmerkt door de volgende hoofdparameters: pulsamplitude A en en kan de betekenis hebben van zowel spanning als stroom.">, de duur ervan T en en de volgende periode T. Periode verhouding T naar duur T en wordt gebeld dutycycle van pulsen en wordt aangeduid met q = T/t en. Normaal gesproken variëren de puls-dutycycle-waarden van verschillende eenheden (in meettechnologie, discrete transmissie- en informatieverwerkingsapparatuur) tot enkele honderden of duizenden (in radar).

Om het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen te vinden, gebruiken we de Fourierreeks in complexe vorm (5.6). Complexe amplitude k de e harmonische is gelijk volgens (5.8) na terugkeer naar de oorspronkelijke variabele T.

(5.27)

De waarde vervangen A k in vergelijking (5.6) verkrijgen we de uitbreiding van de Fourierreeks:
(5.28)

In afb. 5.4 toont het spectrum van complexe amplitudes voor Q= 2 en Q= 4. Zoals uit de figuur blijkt, is het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen een discreet spectrum met een omhullende (stippellijn in figuur 5.4), die wordt beschreven door de functie
(5.29)
wordt de samplingfunctie genoemd (zie hoofdstuk 19). Het aantal spectraallijnen tussen het referentiepunt langs de frequentie-as en de eerste nul van de omhullende is gelijk aan Q- 1. DC-component van het signaal (gemiddelde waarde) en de effectieve waarde A= , d.w.z. hoe hoger de duty-cycle, hoe lager het niveau van de DC-component en de effectieve waarde van het signaal. Met toenemende inschakelduur Q het aantal discrete componenten neemt toe - het spectrum wordt dichter (zie figuur 5.4, B), en de harmonische amplitude neemt langzamer af. Benadrukt moet worden dat, in overeenstemming met (5.27), het spectrum van de beschouwde reeks rechthoekige pulsen reëel is.

Uit het spectrum van complexe amplitudes (5.27) kunnen we de amplitude onderscheiden Een k = |A k| en fasespectrum k= arg A k, weergegeven in afb. 5,5 voor geval Q= 4. Uit de figuren blijkt duidelijk dat het amplitudespectrum een ​​even en het fasespectrum een ​​oneven functie van de frequentie is. Bovendien nemen de fasen van individuele harmonischen ofwel een nulwaarde aan tussen knooppunten, waar de sinus positief is, of ±, waar de sinus negatief is (Fig. 5.5, B)

Op basis van formule (5.28) verkrijgen we de trigonometrische vorm van de uitbreiding van de Fourierreeks in even harmonischen (vergelijk met (5.15)):
(5.30)

Wanneer de pulssequentie langs de tijdas wordt verschoven (Fig. 5.2, B) in overeenstemming met (5.13) zal het amplitudespectrum hetzelfde blijven, maar het fasespectrum zal veranderen:
(5.31)

In het geval dat de periodieke reeks een andere polariteitsvorm heeft (zie figuur 5.1), zal er geen constante component in het spectrum zijn (vergelijk (5.30) en (5.31) met (5.14) en (5.15)).

Op een vergelijkbare manier kun je de spectrale samenstelling van periodieke niet-harmonische signalen met een andere vorm bestuderen. Tabel 5.1 toont de uitbreiding van de Fourierreeks van enkele van de meest voorkomende signalen.

Tabel 5.1

	Signaaltypen	Uitbreiding van de Fourier-serie
1
2
3
4
5
6

5.4. Berekening van circuits onder periodieke niet-harmonische invloeden

De berekening van lineaire elektrische circuits onder invloed van periodieke niet-harmonische signalen is gebaseerd op het principe van superpositie. De essentie ervan, toegepast op niet-harmonische invloeden, is om een ​​niet-harmonisch periodiek signaal uit te breiden naar een van de vormen van de Fourier-serie (zie 5.1. Niet-harmonische periodieke signalen. Uitbreiding van de Fourier-serie) en de respons van het circuit te bepalen van elke harmonische afzonderlijk. De resulterende reactie wordt gevonden door superpositie (oplegging) van de resulterende gedeeltelijke reacties. De berekening van circuits onder periodieke niet-harmonische invloeden omvat dus de taak van het analyseren van de spectrale samenstelling van het signaal (uitbreiden naar een Fourier-reeks), het berekenen van het circuit op basis van elke harmonische component en de taak van synthese, waardoor het resulterende uitgangssignaal wordt bepaald als een functie van de tijd (frequentie) of de effectieve waarde ervan (amplitudewaarde).

Bij het oplossen van een analyseprobleem gebruiken ze meestal de trigonometrische (5.3) of complexe (5.6) vorm van de Fourierreeks met een beperkt aantal uitbreidingstermen, wat leidt tot enige fouten bij de benadering van het ware signaal. Uitbreidingscoëfficiënten een k En b k in (5.3) of Een k En k in (5.6) worden bepaald met behulp van vergelijkingen (5.4), (5.7) en (5.8). In dit geval het ingangssignaal F(a) moet analytisch worden gegeven. Als het signaal grafisch wordt gespecificeerd, bijvoorbeeld in de vorm van een oscillogram, dan zijn de uitzettingscoëfficiënten te vinden een k En b k je kunt de grafisch-analytische methode gebruiken (zie (5.16)).

Circuitberekeningen op basis van individuele harmonischen worden meestal uitgevoerd met behulp van een symbolische methode. Hierbij moet echter rekening worden gehouden k de harmonische inductieve reactantie XL(k) = kl en capaciteit X C(k) = 1/(kС), d.w.z. aan k e harmonische inductieve reactantie in k keer meer, en capacitief in k keer minder dan bij de eerste harmonische. Dit verklaart in het bijzonder het feit dat hoge harmonischen meer uitgesproken zijn in capaciteit, en minder uitgesproken in inductie, dan in de spanning die erop wordt aangelegd. Actief verzet R bij lage en middenfrequenties kan als onafhankelijk van de frequentie worden beschouwd.

Na het bepalen van de vereiste stromen en spanningen uit individuele harmonischen, wordt de resulterende reactie van het circuit op een niet-harmonische periodieke invloed gevonden door middel van de superpositiemethode. In dit geval wordt de momentane waarde van het resulterende signaal bepaald op basis van de berekening van de amplitudes en fasen van individuele harmonischen, of de amplitude of effectieve waarden ervan volgens vergelijkingen (5.18), (5.19). Bij het bepalen van de resulterende reactie moet er rekening mee worden gehouden dat, in overeenstemming met de weergave van periodieke niet-harmonische oscillaties op het complexe vlak, de vectoren van verschillende harmonischen met verschillende hoekfrequenties roteren.

Voorbeeld. Naar het circuit getoond in Fig. 5.6, spanning toegepast u(T) in de vorm van rechthoekige pulsen met een herhalingsperiode T= 2T en en amplitude A en = 1V (zie Afb. 5.3, B). Bepaal de momentane en effectieve spanningswaarden over de capaciteit.

De uitbreiding van deze spanning naar een Fourierreeks wordt bepaald door formule (5.31). Laten we ons beperken tot de eerste drie termen van expansie (5.31): de k-de harmonische is de toestand van een elektrisch circuit bestaande uit verschillende reactieve elementen waarin de faseverschuiving tussen de ingangsstroom en de aangelegde spanning k-x harmonischen is nul. Het fenomeen resonantie kan worden gebruikt om individuele harmonischen te isoleren van een periodiek niet-sinusvormig signaal. Benadrukt moet worden dat een circuit tegelijkertijd stroomresonantie bij de ene frequentie en spanningsresonantie bij een andere frequentie kan bereiken.

Voorbeeld. Voor het circuit getoond in Fig. 5.7, voor een gegeven 1, L 1 vind waarde C 1 en C 2, waarbij spanningsresonantie gelijktijdig optreedt bij de 1e harmonische en stroomresonantie bij de 5e harmonische.

Uit de voorwaarde van spanningsresonantie blijkt dat de ingangsreactantie van het circuit bij de eerste harmonische nul moet zijn:
(5.32)

en op de vijfde - oneindig (de ingangsreactantie op de vijfde harmonische moet nul zijn):
(5.33)

Uit de voorwaarden (5.32) en (5.33) vinden we de gewenste waarde van de capaciteiten:

Inleidende opmerkingen

In deze sectie wordt de representatie van periodieke signalen onderzocht met behulp van de Fourier-reeks. Fourierreeksen vormen de basis van de theorie van spectrale analyse omdat, zoals we later zullen zien, de Fourier-transformatie van een niet-periodiek signaal kan worden verkregen door de Fourierreeks tot het uiterste te drijven bij een oneindige herhalingsperiode. Als gevolg hiervan zijn de eigenschappen van de Fourier-reeks ook geldig voor de Fourier-transformatie van niet-periodieke signalen.

We zullen uitdrukkingen van de Fourierreeks in trigonometrische en complexe vorm beschouwen, en ook aandacht besteden aan de Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourierreeks. Daarnaast zullen we gedetailleerd stilstaan ​​bij de uitleg van een dergelijk concept als de negatieve frequentie van het signaalspectrum, wat vaak problemen veroorzaakt bij het vertrouwd raken met de theorie van spectrale analyse.

Periodiek signaal. Trigonometrische Fourier-reeks

Laat er een periodiek signaal zijn met een continue tijd, dat zich herhaalt met een periode c, d.w.z. , waarbij een willekeurig geheel getal is.

Als voorbeeld toont Figuur 1 een reeks rechthoekige pulsen met een duur c, herhaald met een periode van c.

Figuur 1. Periodieke reeks

Rechthoekige pulsen

Uit de loop van de wiskundige analyse is bekend dat het systeem van trigonometrische functies bestaat

met meerdere frequenties, waarbij rad/s een geheel getal is, vormt een orthonormale basis voor de ontbinding van periodieke signalen met een periode die voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden.

De Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourier-reeks vereisen dat een periodiek signaal op het segment wordt gespecificeerd en dat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan:

Bijvoorbeeld de periodieke functie voldoet niet aan de Dirichlet-voorwaarden omdat de functie heeft discontinuïteiten van de tweede soort en neemt oneindige waarden aan, waarbij een willekeurig geheel getal is. De functie dus kan niet worden weergegeven door een Fourierreeks. Je kunt ook een voorbeeld van de functie geven , die beperkt is, maar ook niet voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden, omdat het een oneindig aantal extreme punten heeft als het nul nadert. Grafiek van een functie weergegeven in Figuur 2.

Figuur 2. Functiegrafiek :

A - twee herhalingsperioden; b - in de buurt

Figuur 2a toont twee herhalingsperioden van de functie , en in figuur 2b - het gebied in de buurt van . Het is duidelijk dat naarmate deze nul nadert, de oscillatiefrequentie oneindig toeneemt, en een dergelijke functie kan niet worden weergegeven door een Fourierreeks, omdat deze niet stuksgewijs monotoon is.

Opgemerkt moet worden dat er in de praktijk geen signalen zijn met oneindige stroom- of spanningswaarden. Functies met een oneindig aantal extremen van het type komen ook niet voor bij toegepaste problemen. Alle echte periodieke signalen voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden en kunnen worden weergegeven door een oneindige trigonometrische Fourier-reeks van de vorm:

In uitdrukking (2) specificeert de coëfficiënt de constante component van het periodieke signaal.

Op alle punten waar het signaal continu is, convergeert de Fourier-reeks (2) naar de waarden van het gegeven signaal, en op punten van discontinuïteit van de eerste soort - naar de gemiddelde waarde , waar en zijn de grenzen naar links en rechts van het discontinuïteitpunt.

Uit de loop van de wiskundige analyse is ook bekend dat het gebruik van een afgeknotte Fourierreeks, die alleen de eerste termen bevat in plaats van een oneindige som, leidt tot een benaderende weergave van het signaal:

wat een minimum van de gemiddelde kwadratische fout garandeert. Figuur 3 illustreert de benadering van een periodieke blokgolftrein en een periodieke hellingsgolf bij gebruik van verschillende aantallen termen uit de Fourier-reeks.

Figuur 3. Benadering van signalen met behulp van een afgeknotte Fourier-reeks:

A - rechthoekige pulsen; b - zaagtandsignaal

Fourierreeksen in complexe vorm

In de vorige sectie hebben we de trigonometrische Fourier-reeks onderzocht op de uitbreiding van een willekeurig periodiek signaal dat voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden. Met behulp van de formule van Euler kunnen we laten zien:
Vervolgens de trigonometrische Fourierreeks (2), rekening houdend met (4):

Een periodiek signaal kan dus worden weergegeven door de som van een constante component en complexe exponentiële waarden die op frequenties roteren met coëfficiënten voor positieve frequenties, en voor complexe exponentiële waarden die op negatieve frequenties draaien.

Laten we eens kijken naar de coëfficiënten voor complexe exponentiële waarden die met positieve frequenties roteren:

Uitdrukkingen (6) en (7) vallen samen; bovendien kan de constante component ook worden geschreven via een complexe exponentiele frequentie nul:

Dus (5), rekening houdend met (6)-(8), kan worden weergegeven als een enkele som wanneer geïndexeerd van min oneindig tot oneindig:

Uitdrukking (9) is een Fourierreeks in complexe vorm. De coëfficiënten van de Fourierreeks in complexe vorm zijn gerelateerd aan de coëfficiënten van de reeks in trigonometrische vorm, en worden bepaald voor zowel positieve als negatieve frequenties. Het subscript in de frequentieaanduiding geeft het nummer van de discrete harmonische aan, waarbij negatieve subscripts overeenkomen met negatieve frequenties.

Uit uitdrukking (2) volgt dat voor een reëel signaal de coëfficiënten van reeks (2) ook reëel zijn. (9) associeert een reëel signaal echter met een reeks complexe conjugaatcoëfficiënten die verband houden met zowel positieve als negatieve frequenties.

Enkele verklaringen van de Fourierreeks in complexe vorm

In de vorige paragraaf hebben we de overgang gemaakt van de trigonometrische Fourierreeks (2) naar de Fourierreeks in complexe vorm (9). Als gevolg hiervan ontvingen we, in plaats van periodieke signalen te ontbinden op basis van echte trigonometrische functies, een uitbreiding op de basis van complexe exponentiële waarden, met complexe coëfficiënten, en zelfs negatieve frequenties verschenen in de uitbreiding! Omdat deze kwestie vaak verkeerd wordt begrepen, is enige verduidelijking nodig.

Ten eerste is het werken met complexe exponenten in de meeste gevallen eenvoudiger dan het werken met goniometrische functies. Bij het vermenigvuldigen en delen van complexe exponenten volstaat het bijvoorbeeld om alleen de exponenten op te tellen (af te trekken), terwijl de formules voor het vermenigvuldigen en delen van goniometrische functies omslachtiger zijn.

Het differentiëren en integreren van exponentiële functies, zelfs complexe, is ook gemakkelijker dan trigonometrische functies, die voortdurend veranderen wanneer ze worden gedifferentieerd en geïntegreerd (sinus verandert in cosinus en omgekeerd).

Als het signaal periodiek en reëel is, lijkt de trigonometrische Fourierreeks (2) duidelijker, omdat alle uitzettingscoëfficiënten reëel blijven. Vaak heeft men echter te maken met complexe periodieke signalen (bij het moduleren en demoduleren wordt bijvoorbeeld gebruik gemaakt van een kwadratuurrepresentatie van de complexe omhullende). In dit geval zullen bij gebruik van de trigonometrische Fourier-reeks alle coëfficiënten en uitbreidingen (2) complex worden, terwijl bij gebruik van de Fourier-reeks in complexe vorm (9) dezelfde uitbreidingscoëfficiënten zullen worden gebruikt voor zowel reële als complexe ingangssignalen. .

En ten slotte is het noodzakelijk om stil te staan ​​bij de verklaring van de negatieve frequenties die in (9) verschenen. Deze vraag veroorzaakt vaak misverstanden. In het dagelijks leven komen we geen negatieve frequenties tegen. Wij stemmen onze radio bijvoorbeeld nooit af op een negatieve frequentie. Laten we de volgende analogie uit de mechanica eens bekijken. Laat er een mechanische veerslinger zijn die vrij oscilleert met een bepaalde frequentie. Kan een slinger oscilleren met een negatieve frequentie? Natuurlijk niet. Net zoals er geen radiostations zijn die op negatieve frequenties uitzenden, kan de frequentie van de trillingen van een slinger niet negatief zijn. Maar een veerslinger is een eendimensionaal object (de slinger beweegt langs één rechte lijn).

We kunnen ook een andere analogie uit de mechanica geven: een wiel dat draait met een frequentie van . Het wiel draait, in tegenstelling tot de slinger, d.w.z. een punt op het oppervlak van het wiel beweegt in een vlak en oscilleert niet eenvoudigweg langs één rechte lijn. Om de rotatie van het wiel uniek te specificeren, is het instellen van de rotatiesnelheid daarom niet voldoende, omdat het ook nodig is om de rotatierichting in te stellen. Dit is precies waarom we het frequentieteken kunnen gebruiken.

Dus als het wiel met een frequentie rad/s tegen de klok in draait, gaan we ervan uit dat het wiel met een positieve frequentie draait, en als het met de klok mee draait, zal de rotatiefrequentie negatief zijn. Voor een rotatiecommando is een negatieve frequentie dus niet langer onzin en geeft deze de draairichting aan.

En nu het belangrijkste dat we moeten begrijpen. De oscillatie van een eendimensionaal object (bijvoorbeeld een veerslinger) kan worden weergegeven als de som van de rotaties van twee vectoren, weergegeven in figuur 4.

Figuur 4. Oscillatie van een veerslinger

Als de som van de rotaties van twee vectoren

op het complexe vlak

De slinger oscilleert langs de reële as van het complexe vlak met een frequentie volgens de harmonische wet. De beweging van de slinger wordt weergegeven als een horizontale vector. De bovenste vector roteert op het complexe vlak met een positieve frequentie (tegen de klok in), en de onderste vector roteert met een negatieve frequentie (met de klok mee). Figuur 4 illustreert duidelijk de bekende relatie uit de cursus trigonometrie:

De Fourierreeks in complexe vorm (9) vertegenwoordigt dus periodieke eendimensionale signalen als een som van vectoren op het complexe vlak dat met positieve en negatieve frequenties roteert. Laten we tegelijkertijd opmerken dat in het geval van een reëel signaal, volgens (9), de expansiecoëfficiënten voor negatieve frequenties complex zijn geconjugeerd met de overeenkomstige coëfficiënten voor positieve frequenties. In het geval van een complex signaal geldt deze eigenschap van de coëfficiënten niet vanwege het feit dat en ook complex zijn.

Spectrum van periodieke signalen

De Fourierreeks in complexe vorm is de ontleding van een periodiek signaal in een som van complexe exponentiële waarden die op positieve en negatieve frequenties roteren in veelvouden van rad/c met overeenkomstige complexe coëfficiënten die het spectrum van het signaal bepalen. Complexe coëfficiënten kunnen worden weergegeven met behulp van de Euler-formule als: waarbij het amplitudespectrum is en a het fasespectrum.

Omdat periodieke signalen alleen in een rij op een vast frequentieraster worden weergegeven, is het spectrum van periodieke signalen gelinieerd (discreet).

Figuur 5. Spectrum van een periodieke reeks

Rechthoekige pulsen:

A - amplitudespectrum; b - fasespectrum

Figuur 5 toont een voorbeeld van de amplitude en het fasespectrum van een periodieke reeks rechthoekige pulsen (zie figuur 1) bij c, pulsduur c en pulsamplitude B.

Het amplitudespectrum van het oorspronkelijke reële signaal is symmetrisch ten opzichte van de nulfrequentie, en het fasespectrum is antisymmetrisch. Tegelijkertijd merken we op dat de waarden van het fasespectrum en corresponderen met hetzelfde punt in het complexe vlak.

We kunnen concluderen dat alle expansiecoëfficiënten van het gereduceerde signaal puur reëel zijn, en het fasespectrum komt overeen met negatieve coëfficiënten.

Houd er rekening mee dat de afmeting van het amplitudespectrum samenvalt met de afmeting van het signaal. Als het de verandering in spanning in de loop van de tijd beschrijft, gemeten in volt, dan zullen de amplitudes van de spectrumharmonischen ook de dimensie van volt hebben.

Conclusies

In deze sectie wordt de weergave van periodieke signalen besproken met behulp van de Fourier-reeks. Er worden uitdrukkingen gegeven voor de Fourierreeks in trigonometrische en complexe vormen. We hebben speciale aandacht besteed aan de Dirichlet-voorwaarden voor de convergentie van de Fourierreeks en gaven voorbeelden van functies waarvoor de Fourierreeks divergeert.

We hebben gedetailleerd stilgestaan ​​bij de uitdrukking van de Fourierreeks in complexe vorm en hebben aangetoond dat periodieke signalen, zowel reëel als complex, worden weergegeven door een reeks complexe exponentiële waarden met positieve en negatieve frequenties. In dit geval zijn de expansiecoëfficiënten ook complex en karakteriseren ze het amplitude- en fasespectrum van het periodieke signaal.

In de volgende sectie zullen we meer in detail kijken naar de eigenschappen van de spectra van periodieke signalen.

Software-implementatie in de DSPL-bibliotheek

Dotsch, G. Een gids voor de praktische toepassing van de Laplace-transformatie. Moskou, Nauka, 1965, 288 p.

Vormen voor het opnemen van de Fourier-serie. Het signaal wordt gebeld periodiek, als de vorm zich cyclisch in de tijd herhaalt Periodiek signaal jij(t) over het algemeen wordt het als volgt geschreven:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Hier is de T-periode van het signaal. Periodieke signalen kunnen eenvoudig of complex zijn.

Voor de wiskundige weergave van periodieke signalen met een punt T Vaak wordt serie (2.2) gebruikt, waarbij harmonische (sinus en cosinus) oscillaties van meerdere frequenties als basisfuncties worden gekozen

yo (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=kosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y4(t)=cos2w 1t; ..., (2.3)

waarbij w 1 =2p/T de hoofdhoekfrequentie van de reeks is

functies. Voor harmonische basisfuncties verkrijgen we uit reeks (2.2) de Fourierreeks (Jean Fourier - Franse wiskundige en natuurkundige uit de 19e eeuw).

Harmonische functies van de vorm (2.3) in de Fourierreeks hebben de volgende voordelen: 1) eenvoudige wiskundige beschrijving; 2) onveranderlijkheid van lineaire transformaties, d.w.z. als er een harmonische oscillatie is aan de ingang van een lineair circuit, dan zal er aan de uitgang ook een harmonische oscillatie zijn, die alleen qua amplitude en initiële fase verschilt van de ingang; 3) net als een signaal zijn harmonische functies periodiek en hebben ze een oneindige duur; 4) de techniek voor het genereren van harmonische functies is vrij eenvoudig.

Uit een wiskundecursus is bekend dat om een ​​periodiek signaal uit te breiden tot een reeks in harmonische functies (2.3), aan de Dirichlet-voorwaarden moet worden voldaan. Maar alle echte periodieke signalen voldoen aan deze voorwaarden en kunnen worden weergegeven in de vorm van een Fourierreeks, die in een van de volgende vormen kan worden geschreven:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

waar zijn de coëfficiënten

Een 0 =

Een mn ”= (2.5)

u(t)=A0 /2+ (2.6)

Een mn = (2.7)

of in complexe vorm

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

Uit (2.4) - (2.9) volgt dat in het algemene geval het periodieke signaal u(t) een constante component A 0 /2 bevat en een reeks harmonische oscillaties van de grondfrequentie w 1 =2pf 1 en zijn harmonischen met frequenties w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Elk van de harmonische

Oscillaties uit de Fourier-serie worden gekenmerkt door amplitude en initiële fase y n .nn

Spectraaldiagram en spectrum van een periodiek signaal. Als een signaal wordt gepresenteerd als een som van harmonische oscillaties met verschillende frequenties, dan wordt dat gezegd spectrale ontbinding signaal.

Spectraal diagram signaal wordt gewoonlijk een grafische weergave van de coëfficiënten van de Fourier-reeks van dit signaal genoemd. Er zijn amplitude- en fasediagrammen. In afb. 2.6 worden op een bepaalde schaal de waarden van harmonische frequenties uitgezet langs de horizontale as, en hun amplitudes A mn en fasen y n worden uitgezet langs de verticale as. Bovendien kunnen de harmonische amplitudes alleen positieve waarden aannemen, de fasen kunnen zowel positieve als negatieve waarden aannemen in het interval -p£y n £p

Signaal spectrum- dit is een reeks harmonische componenten met specifieke waarden van frequenties, amplitudes en beginfasen, die samen een signaal vormen. In technische toepassingen worden spectrale diagrammen in de praktijk korter genoemd: amplitudespectrum, fasespectrum. Meestal zijn mensen geïnteresseerd in het amplitudespectrale diagram. Het kan worden gebruikt om het percentage harmonischen in het spectrum te schatten.

Voorbeeld 2.3. Breid een periodieke reeks rechthoekige videopulsen uit tot een Fourier-reeks Met bekende parameters (U m, T, tz), zelfs "Ten opzichte van punt t=0. Construeer een spectraal diagram van amplitudes en fasen bij U m =2B, T=20ms, S=T/t en =2 en 8.

Een gegeven periodiek signaal met een interval van één periode kan worden geschreven als

u(t) =

Om dit signaal weer te geven, zullen we de Fourierreeksvorm gebruiken V formulier (2.4). Omdat het signaal gelijk is, blijven er alleen cosinuscomponenten over in de expansie.

Rijst. 2.6. Spectrale diagrammen van een periodiek signaal:

a - amplitude; B- fase

De integraal van een oneven functie over een periode is gelijk aan nul. Met behulp van formules (2.5) vinden we de coëfficiënten

waardoor we de Fourierreeks kunnen schrijven:

Om spectrale diagrammen voor specifieke numerieke gegevens te construeren, stellen we i=0, 1, 2, 3, ... in en berekenen we de harmonische coëfficiënten. De resultaten van de berekening van de eerste acht componenten van het spectrum zijn samengevat in de tabel. 2.1. In een serie (2.4) A" mn =0 en volgens (2.7) A mn =|A' mn |, de hoofdfrequentie f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Het amplitudespectrum in Fig.

2.7 is hiervoor gebouwd N, waarbij En mn meer dan 5% van de maximale waarde.

Uit het gegeven voorbeeld 2.3 volgt dat bij toenemende duty-cycle het aantal spectrale componenten toeneemt en hun amplitude afneemt. Zo'n signaal zou een rijk spectrum hebben. Opgemerkt moet worden dat het voor veel praktisch gebruikte signalen niet nodig is om de amplitudes en fasen van harmonischen te berekenen met behulp van de eerder gegeven formules.

Tabel 2.1. Amplitudes van de componenten uit de Fourier-serie van een periodieke reeks rechthoekige pulsen

Rijst. 2.7. Spectrale diagrammen van een periodieke pulsreeks: A- met inschakelduur S-2; - b-met inschakelduur S=8

Wiskundige naslagwerken bevatten tabellen met signaaluitbreidingen in Fourier-reeksen. Eén van deze tabellen is opgenomen in de bijlage (Tabel A.2).

De vraag rijst vaak: hoeveel spectrale componenten (harmonischen) moeten worden genomen om een ​​reëel signaal in een Fourierreeks weer te geven? De serie is immers strikt genomen eindeloos. Een definitief antwoord is hier niet te geven. Het hangt allemaal af van de vorm van het signaal en de nauwkeurigheid van de weergave ervan door de Fourier-reeks. Soepeler signaalverandering - minder harmonischen vereist. Als het signaal sprongen (discontinuïteiten) vertoont, is het noodzakelijk om een ​​groter aantal harmonischen op te tellen om dezelfde fout te bereiken. In veel gevallen, bijvoorbeeld bij telegrafie, wordt echter aangenomen dat drie harmonischen voldoende zijn voor het verzenden van rechthoekige pulsen met steile fronten.