Het positionele getalsysteem verscheen voor het eerst in het oude Babylon. In India werkt het systeem als

positionele decimale nummering met nul, de Indiërs hebben dit nummersysteem

de Arabische natie leende, en de Europeanen namen op hun beurt van hen. In Europa werd dit systeem

noem het Arabisch.

Positioneel systeem - de betekenis van alle cijfers hangt af van de positie (cijfer) van een bepaald cijfer in een getal.

Het standaard 10e getallensysteem is bijvoorbeeld een positioneel systeem. Laten we zeggen dat het nummer 453 wordt gegeven.

Het getal 4 geeft honderden aan en komt overeen met het getal 400, 5 - het aantal tientallen en komt overeen met de waarde 50,

en 3 - eenheden en de waarde 3. Het is gemakkelijk op te merken dat naarmate het cijfer toeneemt, de waarde toeneemt.

We schrijven het gegeven getal dus als de som 400+50+3=453.

Binair getalsysteem.

Er zijn hier slechts 2 cijfers: 0 en 1. Basis van het binaire systeem- nummer 2.

Het getal helemaal aan de rechterkant geeft het aantal eenheden aan, het tweede getal geeft aan

In alle cijfers is slechts één cijfer mogelijk: nul of één.

Met behulp van het binaire getalsysteem is het mogelijk om elk natuurlijk getal te coderen door het te representeren

Dit getal is een reeks nullen en enen.

Voorbeeld: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Het binaire getalsysteem wordt, net als het decimale getallenstelsel, vaak gebruikt in de computerwereld

technologie. De computer slaat tekst en getallen in zijn geheugen op in binaire code en zet deze programmatisch om

in het beeld op het scherm.

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van binaire getallen.

Optellingstabel in binair getalsysteem:

		10 (overbrengen naar hogere rang)

Aftrekkingstabel in binair getalsysteem:

	(lening van senior categorie) 1

Voorbeeld van kolomtoevoeging (14 10 + 5 10 = 19 10 of 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
			1	0	1
	1	0	0	1	1

Tafel van vermenigvuldiging in binair getalsysteem:

Voorbeeld van kolomvermenigvuldiging (14 10 * 5 10 = 70 10 of 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Nummerconversie in het binaire getalsysteem.

Gebruik de volgende tabel met exponenten om van binair naar decimaal te converteren

basen 2:

Beginnend met het cijfer één, wordt elk cijfer vermenigvuldigd met 2. De punt na 1 wordt genoemd binair punt.

Converteer binaire getallen naar decimalen.

Laat er een binair getal 110001 2 zijn. Om naar decimaal te converteren, schrijven we het als een som door

rangschikt als volgt:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Een beetje anders:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Het is ook goed om de berekening in tabelvorm te schrijven:

Wij bewegen van rechts naar links. Onder alle binaire eenheden schrijven we het equivalent ervan in de onderstaande regel.

Converteer fractionele binaire getallen naar decimale getallen.

Oefening: converteer het getal 1011010, 101 2 naar het decimale systeem.

We schrijven het gegeven getal in deze vorm:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Een andere opnamemogelijkheid:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Of in tabelvorm:

								0.25	0.125
									0.125

Converteer decimale getallen naar binair.

Stel dat u het getal 19 naar binair moet converteren. We kunnen het op deze manier doen:

19 /2 = 9 met de rest 1

9 /2 = 4 met rest 1

4 /2 = 2 spoorloos 0

2 /2 = 1 spoorloos 0

1 /2 = 0 met de rest 1

Dat wil zeggen, elk quotiënt wordt gedeeld door 2 en de rest wordt aan het einde van de binaire notatie geschreven. Divisie

gaat door totdat er geen nul meer in het quotiënt staat. We schrijven het resultaat van rechts naar links. Die. lager

nummer (1) is het meest linkse, enzovoort. We hebben dus het getal 19 in binaire notatie: 10011.

Converteer fractionele decimale getallen naar binair.

Wanneer een bepaald getal een geheel getal bevat, wordt het afzonderlijk van het breukgedeelte geconverteerd. Vertaling

het omzetten van een gebroken getal van het decimale getalsysteem naar het binaire systeem gaat als volgt:

• De breuk wordt vermenigvuldigd met de basis van het binaire getalsysteem (2);

• In het resulterende product wordt een heel onderdeel geïsoleerd, dat als leidend onderdeel wordt beschouwd.

cijfer van een getal in het binaire getalsysteem;

• Het algoritme eindigt als het fractionele deel van het resulterende product nul is of als

de vereiste rekennauwkeurigheid is bereikt. Anders gaan de berekeningen verder

fractioneel deel van het product.

Voorbeeld: U moet het fractionele decimale getal 206.116 omzetten in een fractioneel binair getal.

Als we het hele deel vertalen, krijgen we 206 10 =11001110 2. Het fractionele deel van 0,116 wordt vermenigvuldigd met grondtal 2,

We plaatsen de hele delen van het product in decimalen:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Resultaat: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Een algoritme voor het omzetten van getallen van het ene getalsysteem naar het andere.

1. Vanuit het decimale getalsysteem:

• deel het getal door de basis van het vertaalde getalsysteem;

• vind de rest bij het delen van het gehele deel van een getal;

• noteer alle restanten van de deling in omgekeerde volgorde;

2. Vanuit het binaire getalsysteem:

• om te converteren naar het decimale getalsysteem, vinden we de som van de producten van grondtal 2 door

passende mate van ontlading;

Laten we eens kijken naar een van de belangrijkste onderwerpen in de informatica: In het schoolcurriculum wordt het nogal ‘bescheiden’ onthuld, hoogstwaarschijnlijk vanwege het gebrek aan uren die eraan zijn toegewezen. Kennis over dit onderwerp, vooral over vertaling van getalsystemen, zijn een voorwaarde voor het succesvol behalen van het Unified State Exam en toelating tot universiteiten van de relevante faculteiten. Hieronder bespreken we in detail concepten zoals positionele en niet-positionele nummersystemen, voorbeelden van deze getalsystemen worden gegeven, regels worden gepresenteerd voor het converteren van hele decimale getallen, juiste decimale breuken en gemengde decimale getallen naar elk ander nummersysteem, het converteren van getallen van elk nummersysteem naar decimaal, het converteren van octale en hexadecimale getalsystemen naar het binaire nummer systeem. Er zijn veel problemen over dit onderwerp tijdens examens. Het vermogen om ze op te lossen is een van de vereisten voor aanvragers. Binnenkort beschikbaar: voor elk onderwerp van de sectie zullen, naast gedetailleerd theoretisch materiaal, bijna alle mogelijke opties worden gepresenteerd taken voor zelfstudie. Bovendien krijgt u de mogelijkheid om volledig gratis kant-en-klare gedetailleerde oplossingen voor deze problemen te downloaden van een bestandshostingservice, waarbij verschillende manieren worden geïllustreerd om het juiste antwoord te verkrijgen.

positionele nummersystemen.

Niet-positionele nummersystemen- getalsystemen waarin de kwantitatieve waarde van een cijfer niet afhankelijk is van de locatie ervan in het getal.

Niet-positionele getalsystemen omvatten bijvoorbeeld Romeins, waarbij in plaats van cijfers Latijnse letters voorkomen.

I	1 (één)
V	5 (vijf)
X	10 (tien)
L	50 (vijftig)
C	100 (honderd)
D	500 (vijfhonderd)
M	1000 (duizend)

Hier staat de letter V voor 5, ongeacht de locatie. Het is echter de moeite waard te vermelden dat, hoewel het Romeinse getallensysteem een ​​klassiek voorbeeld is van een niet-positioneel getalsysteem, het niet volledig niet-positioneel is, omdat Het kleinere getal vóór het grotere wordt ervan afgetrokken:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

positionele nummersystemen.

Positionele nummersystemen- getalsystemen waarin de kwantitatieve waarde van een cijfer afhangt van de locatie ervan in het getal.

Als we het bijvoorbeeld hebben over het decimale getallensysteem, dan betekent het getal 7 in het getal 700 "zevenhonderd", maar hetzelfde getal in het getal 71 betekent "zeven tientallen", en in het getal 7020 - "zevenduizend" .

Elk positioneel nummersysteem heeft zijn eigen baseren. Als basis wordt een natuurlijk getal groter dan of gelijk aan twee gekozen. Het is gelijk aan het aantal cijfers dat in een bepaald nummersysteem wordt gebruikt.

Bijvoorbeeld:
• Binair- positioneel nummersysteem met grondtal 2.
• Kwartair- positioneel nummersysteem met grondtal 4.
• Vijfvoudig- positioneel nummersysteem met grondtal 5.
• Octaal- positioneel nummersysteem met grondtal 8.
• Hexadecimaal- positioneel nummersysteem met grondtal 16.

Om problemen rond het onderwerp “Nummersystemen” succesvol op te lossen, moet de student de correspondentie van binaire, decimale, octale en hexadecimale getallen tot 16 10 uit het hoofd kennen:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Het is handig om te weten hoe getallen in deze nummersystemen worden verkregen. Je kunt dat raden in octaal, hexadecimaal, ternair en andere positionele nummersystemen alles gebeurt op dezelfde manier als het decimale systeem dat we gewend zijn:

Er wordt één aan het nummer toegevoegd en er wordt een nieuw nummer verkregen. Als de eenheidsplaats gelijk wordt aan de basis van het getalsysteem, verhogen we het aantal tientallen met 1, enz.

Deze ‘transitie van één’ is wat de meeste studenten bang maakt. Eigenlijk is alles vrij eenvoudig. De overgang vindt plaats als het cijfer van de eenheid gelijk wordt aan nummerbasis, verhogen we het aantal tientallen met 1. Velen, die zich het goede oude decimale systeem herinneren, zijn meteen in de war over de cijfers in deze overgang, omdat decimale en bijvoorbeeld binaire tientallen verschillende dingen zijn.

Van hieruit ontwikkelen vindingrijke studenten “hun eigen methoden” (verrassend genoeg... werkend) bij het invullen van bijvoorbeeld waarheidstabellen, waarvan de eerste kolommen (variabele waarden) in feite gevuld zijn met binaire getallen in oplopende volgorde.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar het invoeren van cijfers octaal systeem: We tellen 1 op bij het eerste getal (0), we krijgen 1. Dan tellen we 1 op bij 1, we krijgen 2, enz. tot 7. Als we één bij 7 optellen, krijgen we een getal dat gelijk is aan de basis van het getalsysteem, d.w.z. 8. Dan moet je de tientallen met één verhogen (we krijgen de octale tien - 10). Vervolgens volgen uiteraard de getallen 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Regels voor het omzetten van het ene nummersysteem naar het andere.

1 Gehele decimale getallen converteren naar een ander getalsysteem.

Het getal moet gedeeld worden door nieuwe nummersysteembasis. Het eerste restant van de deling is het eerste kleine cijfer van het nieuwe getal. Als het quotiënt van de deling kleiner is dan of gelijk is aan het nieuwe grondtal, dan moet het (het quotiënt) opnieuw worden gedeeld door het nieuwe grondtal. De deling moet worden voortgezet totdat we een quotiënt minder krijgen dan de nieuwe basis. Dit is het hoogste cijfer van het nieuwe getal (je moet onthouden dat er bijvoorbeeld in het hexadecimale systeem na 9 letters staan, d.w.z. als de rest 11 is, moet je dit als B schrijven).

Voorbeeld ("verdeling door hoek"): Laten we het getal 173 10 omzetten naar het octale getalsysteem.

Dus 173 10 =255 8

2 Reguliere decimale breuken omzetten naar een ander getalsysteem.

Het getal moet worden vermenigvuldigd met het nieuwe getallenstelsel. Het cijfer dat het gehele deel is geworden, is het hoogste cijfer van het fractionele deel van het nieuwe getal. om het volgende cijfer te verkrijgen, moet het fractionele deel van het resulterende product opnieuw worden vermenigvuldigd met een nieuwe basis van het getallensysteem totdat de overgang naar het hele deel plaatsvindt. We gaan door met vermenigvuldigen totdat het breukdeel nul wordt, of totdat we de nauwkeurigheid bereiken die in de opgave is gespecificeerd (“... berekenen met een nauwkeurigheid van bijvoorbeeld twee decimalen”).

Voorbeeld: Laten we het getal 0,65625 10 omzetten naar het octale getalsysteem.

Met de rekenmachine kunt u hele en gebroken getallen van het ene getalsysteem naar het andere converteren. De basis van het getallensysteem kan niet minder dan 2 en meer dan 36 zijn (tenslotte 10 cijfers en 26 Latijnse letters). De lengte van cijfers mag niet langer zijn dan 30 tekens. Gebruik het symbool om breuken in te voeren. of, . Om een ​​getal van het ene naar het andere systeem te converteren, voert u het oorspronkelijke getal in het eerste veld in, de basis van het oorspronkelijke getalsysteem in het tweede en de basis van het getalsysteem waarnaar u het getal wilt converteren in het derde veld. Klik vervolgens op de knop "Opname ophalen".

Origineel nummer geschreven in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -de nummersysteem.

Ik wil een nummer laten inschrijven 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -de nummersysteem.

Krijg toegang

Voltooide vertalingen: 1237177

Nummersystemen

Nummersystemen zijn onderverdeeld in twee typen: positioneel En niet positioneel. We gebruiken het Arabische systeem, het is positioneel, maar er is ook het Romeinse systeem – het is niet positioneel. In positionele systemen bepaalt de positie van een cijfer in een getal op unieke wijze de waarde van dat getal. Dit is gemakkelijk te begrijpen door een getal als voorbeeld te bekijken.

Voorbeeld 1. Laten we het getal 5921 nemen in het decimale getalsysteem. Laten we het getal van rechts naar links nummeren, beginnend bij nul:

Het getal 5921 kan in de volgende vorm worden geschreven: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Het getal 10 is een kenmerk dat het getalsysteem definieert. De waarden van de positie van een bepaald getal worden als machten beschouwd.

Voorbeeld 2. Beschouw het echte decimale getal 1234.567. Laten we het nummeren vanaf de nulpositie van het getal vanaf de komma naar links en rechts:

Het getal 1234.567 kan in de volgende vorm worden geschreven: 1234.567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Getallen omzetten van het ene getalsysteem naar het andere

De eenvoudigste manier om een ​​getal van het ene getalsysteem naar het andere te converteren, is door eerst het getal naar het decimale getalsysteem te converteren en vervolgens het resulterende resultaat naar het vereiste getalsysteem te converteren.

Getallen van elk getalsysteem omzetten naar het decimale getallenstelsel

Om een ​​getal van een willekeurig getallensysteem naar decimaal te converteren, volstaat het om de cijfers ervan te nummeren, te beginnen met nul (het cijfer links van de komma), vergelijkbaar met voorbeelden 1 of 2. Laten we de som van de producten van de cijfers vinden van het getal met de basis van het getalsysteem tot de macht van de positie van dit cijfer:

1. Converteer het getal 1001101.1101 2 naar het decimale getalsysteem.
Oplossing: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Antwoord: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Converteer het getal E8F.2D 16 naar het decimale getalsysteem.
Oplossing: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Antwoord: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Getallen omzetten van het decimale getallenstelsel naar een ander getalstelsel

Om getallen van het decimale getalsysteem naar een ander getalsysteem te converteren, moeten de gehele en gebroken delen van het getal afzonderlijk worden geconverteerd.

Een geheel getal van een getal omzetten van een decimaal getalsysteem naar een ander getalsysteem

Een geheel getaldeel wordt geconverteerd van een decimaal getalsysteem naar een ander getalsysteem door het gehele getalgedeelte van een getal opeenvolgend te delen door de basis van het getalsysteem totdat een gehele rest wordt verkregen die kleiner is dan de basis van het getalsysteem. Het resultaat van de vertaling is een verslag van de rest, te beginnen met de laatste.

3. Converteer het getal 273 10 naar het octale getalsysteem.
Oplossing: 273 / 8 = 34 en rest 1. 34 / 8 = 4 en rest 2. 4 is minder dan 8, dus de berekening is voltooid. Het record uit de saldi ziet er als volgt uit: 421
Inspectie: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, het resultaat is hetzelfde. Dit betekent dat de vertaling correct is uitgevoerd.
Antwoord: 273 10 = 421 8

Laten we eens kijken naar de vertaling van reguliere decimale breuken in verschillende getalsystemen.

Het fractionele deel van een getal omzetten van het decimale getalsysteem naar een ander getalsysteem

Bedenk dat een juiste decimale breuk wordt genoemd reëel getal met een geheel getal van nul. Om zo'n getal om te zetten naar een getalsysteem met grondtal N, moet je het getal opeenvolgend vermenigvuldigen met N totdat het breukgedeelte naar nul gaat of het vereiste aantal cijfers is verkregen. Als tijdens de vermenigvuldiging een getal met een ander geheel getal dan nul wordt verkregen, wordt het gehele getal niet verder in aanmerking genomen, omdat het opeenvolgend in het resultaat wordt ingevoerd.

4. Converteer het getal 0,125 10 naar het binaire getalsysteem.
Oplossing: 0,125·2 = 0,25 (0 is het gehele getal, dat het eerste cijfer van het resultaat wordt), 0,25·2 = 0,5 (0 is het tweede cijfer van het resultaat), 0,5·2 = 1,0 (1 is het derde cijfer van het resultaat, en aangezien het fractionele deel nul is, is de vertaling voltooid).
Antwoord: 0.125 10 = 0.001 2

Voor computerchips is maar één ding belangrijk. Er is óf een signaal (1) óf er is geen signaal (0). Maar het schrijven van programma's in binaire code is niet eenvoudig. Op papier krijg je hele lange combinaties van nullen en enen. Het is moeilijk voor een mens.

Het gebruik van het bekende decimale systeem bij computerdocumentatie en -programmering is erg lastig. Conversies van binaire naar decimale systemen en omgekeerd zijn zeer arbeidsintensieve processen.

De oorsprong van het octale systeem, evenals het decimale systeem, houdt verband met het tellen op de vingers. Maar het zijn niet de vingers die moeten worden geteld, maar de ruimtes ertussen. Er zijn er maar acht.

De oplossing voor het probleem was octaal. In ieder geval aan het begin van de computertechnologie. Toen de processorcapaciteit klein was. Het octale systeem maakte het gemakkelijk om beide binaire getallen in octaal om te zetten en omgekeerd.

Het octale getalsysteem is een getalsysteem met grondtal 8. Het gebruikt de getallen 0 tot en met 7 om getallen weer te geven.

Conversie

Om een ​​getal naar een binair getal te converteren, moet je elk cijfer van het octale getal vervangen door een drietal binaire cijfers. Het is alleen belangrijk om te onthouden welke binaire combinatie overeenkomt met de cijfers van het getal. Er zijn er maar heel weinig. Slechts acht!

In alle getalsystemen, behalve decimalen, worden de cijfers één voor één gelezen. In het octale systeem wordt het getal 610 bijvoorbeeld uitgesproken als 'zes, één, nul'.

Video over het onderwerp

De componenten van elektronische machines, waaronder computers, hebben slechts twee te onderscheiden toestanden: er is stroom en er is geen stroom. Ze worden respectievelijk aangeduid met "1" en "0". Omdat er slechts twee van dergelijke toestanden zijn, kunnen veel processen en bewerkingen in de elektronica worden beschreven met behulp van binaire getallen.

Instructies

Deel het decimale getal door twee totdat je een rest krijgt die ondeelbaar is door twee. Bij de stap krijgen we de rest 1 (als het getal oneven was) of 0 (als het deeldeelbaar is door twee zonder rest). Met al deze saldi moet rekening worden gehouden. Het laatste quotiënt dat als resultaat van een dergelijke stapsgewijze deling wordt verkregen, zal altijd één zijn.
We schrijven de laatste eenheid in het meest significante cijfer van het gewenste binaire getal, en schrijven de tijdens het proces verkregen resten na deze eenheid in omgekeerde volgorde. Hier moet je voorzichtig zijn en geen nullen overslaan.
Het getal 235 in binaire code komt dus overeen met het getal 11101011.

Laten we nu het fractionele deel van het decimale getal omzetten in het binaire getalsysteem. Om dit te doen, vermenigvuldigen we het fractionele deel van het getal opeenvolgend met 2 en fixeren we de gehele getallen van de resulterende getallen. We voegen deze gehele delen toe aan het getal dat we in de vorige stap hebben verkregen, na het binaire getal, in directe volgorde.
Dan komt de decimale breuk 235,62 overeen met de binaire breuk 11101011,100111.

Video over het onderwerp

Let op

Het binaire deel van een getal zal alleen eindig zijn als het breukdeel van het oorspronkelijke getal eindig is en eindigt op 5. Het eenvoudigste geval: 0,5 x 2 = 1, dus 0,5 in het decimale systeem is 0,1 in het binaire systeem.

Bronnen:

• Decimale getallen omzetten naar binair in 2019

Tip 4: Hoe binaire getallen naar decimalen te converteren

Het binaire of binaire getalsysteem wordt gebruikt om elektronische informatie weer te geven. Elk getal kan in binaire vorm worden geschreven. Het binaire systeem wordt op alle computers gebruikt. Elke invoer daarin is gecodeerd volgens bepaalde regels met behulp van een set van twee tekens: 0 en 1. U kunt een binair getal converteren naar de decimale weergave, wat handiger is voor de gebruiker, met behulp van het ontwikkelde algoritme.

Instructies

Stel je het getal voor als machten van 2. Om dit te doen, worden alle acht cijfers opeenvolgend vermenigvuldigd met het getal 2, verhoogd tot . De graad moet overeenkomen met de cijfercategorie. Het cijfer wordt geteld vanaf nul, beginnend bij het minst significante, meest rechtse symbool van het binaire getal cijfers. Schrijf alle acht gecomponeerde werken in .

Tip 5: Hoe schrijf je een decimaal getal in het binaire getalsysteem?

Decimaal systeem gegist bestek– een van de meest voorkomende in de wiskundige theorie. Met de komst van de informatietechnologie is het binaire systeem echter niet minder wijdverspreid geworden, omdat het de belangrijkste manier is om informatie in het computergeheugen weer te geven.

Instructies

Conversie van decimaal naar binair wordt geïmplementeerd voor zowel gehele getallen als breuken. De conversie van een decimaal getal met gehele getallen wordt uitgevoerd door het opeenvolgend te delen door 2. In dit geval neemt het aantal iteraties (acties) toe totdat het quotiënt nul wordt en het uiteindelijke binaire getal nummer wordt geschreven als de resulterende residuen van rechts naar links.

De transformatie van het getal 19 ziet er bijvoorbeeld als volgt uit: 19/2 = 18/2 + 1 = 9, de rest is 1, we schrijven 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, de rest is 1 , we schrijven 1;4/ 2 = 2, er is geen rest, we schrijven 0;2/2 = 1, er is geen rest, we schrijven 0;1/2 = 0 + 1, de rest is 1, we schrijven 1. Dus na de methode van opeenvolgende deling tot het getal 19 kregen we binair nummer 10011.

De uitdrukking dat al het nieuwe niets meer is dan het goed vergeten oude, is volledig van toepassing. Het blijkt dat ze zelfs in het oude China al iets gebruikten dat doet denken aan onze 'één en nul', hoewel niet voor rekenen, maar voor het schrijven van teksten uit het boek van veranderingen. De Inca's waren het dichtst bij het begrijpen van verschillende getalsystemen: ze gebruikten zowel decimale als binaire systemen, hoewel de laatste alleen voor tekst en gecodeerde berichten. Er kan worden aangenomen dat de Inca's zelfs toen, vierduizend jaar geleden, wisten hoe ze van het binaire naar het decimale systeem moesten converteren.

De moderne versie werd pas ongeveer driehonderd jaar geleden door Leibniz voorgesteld, en na nog eens anderhalve eeuw liet hij zijn naam in de herinnering van het nageslacht achter met zijn werk over de algebra van de logica. Binaire rekenkunde werd, samen met de algebra van de logica, de basis van de moderne digitale technologie. Het begon allemaal in 1937, toen een methode voor symbolische analyse van relais- en schakelcircuits werd voorgesteld. Dit werk van Claude Chenon werd de 'moeder' voor de relaiscomputer, die al in 1937 binaire optelling uitvoerde. En natuurlijk was een van de taken van deze ‘overgrootvader’ van moderne computers de conversie van binair naar decimaal systeem.

Slechts drie jaar gingen voorbij en het volgende model van een relais-"computer" stuurde opdrachten naar de rekenmachine met behulp van een telefoonlijn en een teletype - nou ja, gewoon het oude internet in actie.

Wat zijn binaire, decimale, hexadecimale en, in het algemeen gesproken, elk N-air systeem? Niets ingewikkelds. Laten we een getal van drie cijfers nemen in ons favoriete decimale systeem; het wordt weergegeven met 10 tekens - van 0 tot 9, rekening houdend met hun locatie. Laten we vaststellen dat de cijfers van dit nummer zich op de posities 0, 1, 2 bevinden (de volgorde gaat van het laatste cijfer naar het eerste). Elke positie kan elk van de getallen in het systeem bevatten, maar de grootte van dit getal wordt niet alleen bepaald door de omtrek, maar ook door de locatie. Voor het getal 365 (respectievelijk positie 0 is cijfer 5, positie 1 is cijfer 6 en positie 2 is cijfer 3) is de waarde van het getal op de nulpositie eenvoudigweg 5, in de eerste positie - 6*10 , en in de tweede - 3* 10*10. Het is hier interessant dat het getal, beginnend vanaf de eerste positie, een significant cijfer bevat (van 0 tot 9) en de basis van het systeem tot een macht gelijk aan het positienummer, d.w.z. we kunnen schrijven dat 345 = 3*10*10 + 6*10 +3 = 3*102 + 6*101 + 5*100.

Nog een voorbeeld:

260974 = 2*105 + 6*104 + 0*103 + 9*102 + 7*101 + 4*100.

Zoals we kunnen zien bevat elke positionele plaats een significant getal uit de verzameling van een bepaald systeem, en een vermenigvuldiger vanaf de basis van het systeem tot een macht gelijk aan de positie van het gegeven getal (de cijfercapaciteit van een getal is het getal van posities, maar +1 meer).

Vanuit het oogpunt van het weergeven van een getal is de binaire vorm ervan raadselachtig in zijn eenvoud - er zijn slechts 2 getallen in het systeem - 0 en 1. Maar het mooie van de wiskunde is dat zelfs in een afgeknotte vorm, zoals het lijkt, binaire getallen zijn net zo vol en gelijk als hun "langere kameraden". Maar hoe zijn ze bijvoorbeeld te vergelijken met een decimaal getal? Als alternatief moet u, en langzaam, een conversie uitvoeren van binair naar decimaal. De taak kan niet moeilijk worden genoemd, maar dit moeizame werk vereist aandacht. Dus laten we beginnen.

Gebaseerd op wat hierboven is gezegd over de volgorde van representatie van getallen in elk systeem, en rekening houdend met de eenvoudigste daarvan: binair, laten we elke reeks "enen en nullen" nemen. Laten we dit getal VO noemen (in het Russisch VO), en laten we proberen erachter te komen wat het is: converteren van binair naar decimaal systeem. Laat het VO = 11001010010 zijn. Op het eerste gezicht is het getal slechts een getal. Laten we eens kijken!

In de eerste regel zullen we het getal zelf in een uitgebreide vorm rangschikken, en de tweede schrijven als de som van elke positie in de vorm van factoren - een significant cijfer (hier is de keuze klein - 0 of 1) en het getal 2 tot de macht gelijk aan het positionele getal in het decimale systeem, we doen de vertaling van binair naar decimaal. Nu hoeft de tweede regel alleen nog maar de berekeningen uit te voeren. Voor de duidelijkheid kun je ook een derde regel toevoegen met tussenberekeningen.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1*210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20;

VO=1*1024 + 1*512+0*256+0*128+ 1*64 + 0*32 + 1*16 + 0*8 +0*4 + 1*2 + 0*1.

We berekenen de ‘rekenkunde’ in de derde regel en we hebben wat we zochten: VO = 1618. Wat is daar zo geweldig aan? En het feit dat dit getal het beroemdste is van alles wat mensen kennen: de verhoudingen van de Egyptische piramides, de beroemde Mona Lisa, muzieknoten en het menselijk lichaam worden ermee geassocieerd, maar... Maar met een beetje verduidelijking - wetende dat er veel goeds zou moeten zijn, heeft Zijne Majesteit een geval ons dit aantal gegeven dat 1000 keer groter is dan de werkelijke waarde - 1.618. Waarschijnlijk zodat iedereen ervan kan genieten. En gaandeweg hielp de conversie van het binaire systeem naar het decimale systeem om het meest opmerkelijke uit de eindeloze zee van getallen te 'vangen' - het wordt ook wel de 'gouden proportie' genoemd.