Equivalente matrices

Zoals hierboven vermeld, is de minor van een matrix van orde s de determinant van een matrix die is gevormd uit elementen van de oorspronkelijke matrix die zich bevinden op het snijpunt van geselecteerde s-rijen en s-kolommen.

Definitie. In een matrix van orde mn wordt een minor van orde r basisch genoemd als deze niet gelijk is aan nul, en alle minoren van orde r+1 en hoger gelijk zijn aan nul of helemaal niet bestaan, d.w.z. r komt overeen met de kleinste van m of n.

De kolommen en rijen van de matrix waarop de basismineur staat, worden ook wel basis genoemd.

Een matrix kan meerdere basisminoren hebben die dezelfde volgorde hebben.

Definitie. De volgorde van de basisminor van een matrix wordt de rangorde van de matrix genoemd en wordt aangegeven met Rg A.

Een zeer belangrijke eigenschap van elementaire matrixtransformaties is dat ze de rangorde van de matrix niet veranderen.

Definitie. Matrices verkregen als resultaat van een elementaire transformatie worden equivalent genoemd.

Opgemerkt moet worden dat gelijke matrices en equivalente matrices totaal verschillende concepten zijn.

Stelling. Het grootste aantal lineair onafhankelijke kolommen in een matrix is ​​gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke rijen.

Omdat elementaire transformaties veranderen de rangorde van de matrix niet, waardoor het proces van het vinden van de rangorde van de matrix aanzienlijk kan worden vereenvoudigd.

Voorbeeld. Bepaal de rangorde van de matrix.

2. Voorbeeld: Bepaal de rangorde van de matrix.

Als het met behulp van elementaire transformaties niet mogelijk is om een ​​matrix te vinden die gelijkwaardig is aan de originele, maar van een kleinere omvang, dan moet het vinden van de rangorde van de matrix beginnen met het berekenen van de minderjarigen van de hoogst mogelijke orde. In bovenstaand voorbeeld zijn dit minoren van orde 3. Als minimaal één daarvan niet gelijk is aan nul, dan is de rangorde van de matrix gelijk aan de orde van deze minor.

De stelling op de basis minor.

Stelling. In een willekeurige matrix A is elke kolom (rij) een lineaire combinatie van de kolommen (rijen) waarin de basisminor zich bevindt.

De rangorde van een willekeurige matrix A is dus gelijk aan het maximale aantal lineair onafhankelijke rijen (kolommen) in de matrix.

Als A een vierkante matrix is ​​en det A = 0, dan is ten minste één van de kolommen een lineaire combinatie van de overige kolommen. Hetzelfde geldt voor snaren. Deze verklaring volgt uit de eigenschap van lineaire afhankelijkheid wanneer de determinant gelijk is aan nul.

Willekeurige stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen

Zoals hierboven vermeld, zijn de matrixmethode en de methode van Cramer alleen toepasbaar op die systemen van lineaire vergelijkingen waarin het aantal onbekenden gelijk is aan het aantal vergelijkingen. Vervolgens beschouwen we willekeurige systemen van lineaire vergelijkingen.

Definitie. Een systeem van m vergelijkingen met n onbekenden in algemene vorm wordt als volgt geschreven:

waarbij aij coëfficiënten zijn en bi constanten. De oplossingen van het systeem zijn n getallen, die, wanneer ze in het systeem worden gesubstitueerd, elk van zijn vergelijkingen in een identiteit veranderen.

Definitie. Als een systeem ten minste één oplossing heeft, wordt dit gezamenlijk genoemd. Als een systeem geen enkele oplossing heeft, wordt het inconsistent genoemd.

Definitie. Een systeem heet bepaald als het slechts één oplossing heeft en onbepaald als het er meer dan één heeft.

Definitie. Voor een systeem van lineaire vergelijkingen de matrix

A = wordt de matrix van het systeem genoemd, en de matrix

A*= wordt de uitgebreide matrix van het systeem genoemd

Definitie. Als b1, b2, …,bm = 0, dan wordt het systeem homogeen genoemd. een homogeen systeem is altijd consistent, omdat heeft altijd een nuloplossing.

Elementaire systeemtransformaties

Elementaire transformaties zijn onder meer:

1) Aan beide zijden van de ene vergelijking de overeenkomstige delen van de andere optellen, vermenigvuldigd met hetzelfde getal, niet gelijk aan nul.

2) Herschikken van de vergelijkingen.

3) Het verwijderen uit het systeem van vergelijkingen die identiteiten zijn voor alle x.

Stelling van Kronecker-Kapeli (consistentievoorwaarde voor het systeem).

(Leopold Kronecker (1823-1891) Duitse wiskundige)

Stelling: Een systeem is consistent (heeft ten minste één oplossing) dan en slechts dan als de rang van de systeemmatrix gelijk is aan de rang van de uitgebreide matrix.

Uiteraard kan systeem (1) in de vorm worden geschreven.

Ons directe doel is om te bewijzen dat elke matrix kan worden teruggebracht tot een aantal standaardvormen met behulp van elementaire transformaties. De taal van equivalente matrices is op dit pad nuttig.

Laat het zo zijn. We zullen zeggen dat een matrix l_equivalent (p_equivalent of equivalent) is met een matrix en geven (of) aan of de matrix kan worden verkregen uit een matrix met behulp van een eindig aantal rijen (respectievelijk kolom of rij en kolom) elementaire transformaties. Het is duidelijk dat l_equivalente en n_equivalente matrices equivalent zijn.

Eerst zullen we laten zien dat elke matrix kan worden gereduceerd tot een speciale vorm, genaamd gereduceerd door alleen rijtransformaties.

Laat het zo zijn. Er wordt gezegd dat een rij die niet nul is in deze matrix een gereduceerde vorm heeft als deze een element bevat dat gelijk is aan 1, zodat alle elementen van de kolom anders dan gelijk zijn aan nul. We zullen het gemarkeerde enkele element van de lijn het leidende element van deze lijn noemen en het in een cirkel omsluiten. Met andere woorden, een rij van een matrix heeft de gereduceerde vorm als deze matrix een kolom van de vorm bevat

Bijvoorbeeld in de volgende matrix

de lijn heeft de volgende vorm, sinds. Laten we er op letten dat in dit voorbeeld een element zich ook voordoet als leidend element van de lijn. Als een lijn van het gegeven type in de toekomst meerdere elementen bevat die leidende eigenschappen hebben, zullen we er op willekeurige wijze slechts één selecteren.

Er wordt gezegd dat een matrix een gereduceerde vorm heeft als elk van de rijen die niet nul zijn, een gereduceerde vorm heeft. Bijvoorbeeld matrix

heeft de volgende vorm.

Stelling 1.3 Voor elke matrix is ​​er een equivalente matrix in de gereduceerde vorm.

Inderdaad, als de matrix de vorm (1.1) heeft en dan nadat er elementaire transformaties in zijn uitgevoerd

we krijgen de matrix

waarin de string de volgende vorm heeft.

Ten tweede, als de rij in de matrix is ​​verkleind, zal na het uitvoeren van elementaire transformaties (1.20) de rij van de matrix worden verkleind. Sinds gegeven is er inderdaad een kolom zodanig dat

maar dan en dus na het uitvoeren van transformaties (1.20) verandert de kolom niet, d.w.z. . Daarom heeft de lijn de volgende vorm.

Nu is het duidelijk dat door elke niet-nul rij van de matrix op zijn beurt op de bovenstaande manier te transformeren, we na een eindig aantal stappen een matrix van de gereduceerde vorm zullen verkrijgen. Omdat alleen rij-elementaire transformaties werden gebruikt om de matrix te verkrijgen, is deze gelijk aan een matrix. >

Voorbeeld 7. Construeer een matrix met een gereduceerde vorm, gelijk aan de matrix

De concepten gelijkheid en gelijkwaardigheid van matrices komen vaak voor.

Definitie 1

Er wordt gezegd dat de matrix $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ gelijk is aan de matrix $B=\left(b_(ij) \right)_(k\times l ) $ als hun afmetingen $(m=k,n=l)$ samenvallen en de overeenkomstige elementen van de vergeleken matrices gelijk zijn aan elkaar.

Voor matrices van de tweede orde die in algemene vorm zijn geschreven, kan de gelijkheid van matrices als volgt worden geschreven:

Voorbeeld 1

Gegeven matrices:

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$;

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$;

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$.

Bepaal of de matrices gelijk zijn.

1) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

Matrices A en B hebben dezelfde volgorde, gelijk aan 2$\maal $2. De overeenkomstige elementen van de matrices die worden vergeleken zijn gelijk, en daarom zijn de matrices gelijk.

2) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(c) (-3) \\ (2) \end(array)\right)$

Matrices A en B hebben verschillende orden, respectievelijk gelijk aan 2$\maal $2 en 2$\maal $1.

3) $A=\left(\begin(array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

Matrices A en B hebben dezelfde volgorde, gelijk aan 2$\maal $2. Niet alle overeenkomstige elementen van de matrices die worden vergeleken zijn echter gelijk; daarom zijn de matrices niet gelijk.

Definitie 2

Een elementaire matrixtransformatie is een transformatie die de gelijkwaardigheid van de matrices behoudt. Met andere woorden: een elementaire transformatie verandert niets aan de reeks oplossingen van het systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE) dat deze matrix vertegenwoordigt.

Elementaire transformaties van matrixrijen omvatten:

• het vermenigvuldigen van een rij van een matrix met een getal $k$ dat niet gelijk is aan nul (de determinant van de matrix neemt $k$ maal toe);
• het verwisselen van twee willekeurige rijen van een matrix;
• het toevoegen aan de elementen van een rij van een matrix van de elementen van een andere rij.

Hetzelfde geldt voor matrixkolommen en wordt elementaire kolomtransformaties genoemd.

Definitie 3

Als we van matrix A overgaan met behulp van een elementaire transformatie naar matrix B, worden de oorspronkelijke en de resulterende matrices equivalent genoemd. Om de gelijkwaardigheid van matrices aan te duiden, gebruikt u het teken “$ \sim$”, bijvoorbeeld $A\sim B$.

Voorbeeld 2

Gegeven de matrix: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$.

Voer elementaire transformaties van matrixrijen één voor één uit.

Laten we de eerste rij en de tweede rij van matrix A verwisselen:

Laten we de eerste rij van matrix B vermenigvuldigen met het getal 2:

Laten we de eerste rij toevoegen aan de tweede rij van de matrix:

Definitie 4

Een stappenmatrix is ​​een matrix die aan de volgende voorwaarden voldoet:

• als er een nulrij in een matrix is, zijn alle rijen daaronder ook nul;
• Het eerste niet-nul element van elke niet-nul lijn moet zich strikt rechts van het leidende element in de lijn bevinden die zich daarboven bevindt.

Voorbeeld 3

Matrices $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ en $B=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right)$ zijn echelonmatrices.

Opmerking

U kunt een matrix reduceren tot een echelonvorm met behulp van gelijkwaardige transformaties.

Voorbeeld 4

Gegeven de matrix: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \end(array)\right)$. Reduceer de matrix tot een stapsgewijze vorm.

Laten we de eerste en tweede rij van matrix A verwisselen:

Laten we de eerste rij van matrix B vermenigvuldigen met het getal 2 en dit optellen bij de tweede rij:

Laten we de eerste rij van matrix C vermenigvuldigen met het getal -1 en dit optellen bij de derde rij:

Laten we de tweede rij van matrix D vermenigvuldigen met het getal -2 en dit optellen bij de derde rij:

$K=\left(\begin(matrix)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(array)\right)$ is een matrix van het echelontype.