Tot nu toe hebben we de eenvoudigste overwogen functioneel model, waarin functie hangt van het enige af argument. Maar bij het bestuderen van verschillende verschijnselen van de omringende wereld komen we vaak gelijktijdige veranderingen tegen in meer dan twee grootheden, en veel processen kunnen effectief worden geformaliseerd. functie van meerdere variabelen, Waar - argumenten of onafhankelijke variabelen. Laten we beginnen met het ontwikkelen van het onderwerp met het meest voorkomende onderwerp in de praktijk. functies van twee variabelen .

Functie van twee variabelen genaamd wet, volgens welke elk paar waarden onafhankelijke variabelen(argumenten) van domein van definitie komt overeen met de waarde van de afhankelijke variabele (functie).

Deze functie als volgt aangegeven:

Het een of het ander standaard brief:

Omdat het geordende paar waarden "x" en "y" bepaalt punt op een vlak, dan wordt ook de functie doorgeschreven, waar zich een punt op het vlak bevindt met coördinaten. Deze notatie wordt veel gebruikt bij sommige praktische taken.

Geometrische betekenis van een functie van twee variabelen erg makkelijk. Als een functie van één variabele overeenkomt met een bepaalde lijn in een vlak (bijvoorbeeld de bekende schoolparabool), dan bevindt de grafiek van een functie van twee variabelen zich in de driedimensionale ruimte. In de praktijk hebben we er meestal mee te maken oppervlak, maar soms kan de grafiek van een functie bijvoorbeeld een ruimtelijke lijn(en) of zelfs een enkel punt zijn.

Het elementaire voorbeeld van een oppervlak uit de cursus kennen we goed analytische geometrie- Dit vliegtuig. Ervan uitgaande dat , kan de vergelijking gemakkelijk worden herschreven als functionele vorm:

Het belangrijkste attribuut van een functie van 2 variabelen is het reeds genoemde domein.

Domein van een functie van twee variabelen een setje genoemd iedereen paren waarvoor de waarde bestaat.

Grafisch gezien is het domein van definitie dat wel het hele vliegtuig of een deel ervan. Dus het domein van de definitie van de functie is het gehele coördinatenvlak - om de reden dat voor enige punt bestaat waarde.

Maar zo’n nutteloze regeling gebeurt natuurlijk niet altijd:

Zoals twee variabelen?

Overwegende diverse concepten functies van verschillende variabelen, is het nuttig om analogieën te trekken met de overeenkomstige concepten van functies van één variabele. Vooral bij het uitzoeken domein van definitie we hebben betaald Speciale aandacht voor die functies die breuken, zelfs wortels, logaritmen, enz. bevatten. Alles is hier precies hetzelfde!

De taak om het domein van de definitie van een functie van twee variabelen met een waarschijnlijkheid van bijna 100% te vinden, zal je tegenkomen in je thematische werk, dus ik zal een behoorlijk aantal voorbeelden analyseren:

voorbeeld 1

Zoek het domein van een functie

Oplossing: aangezien de noemer niet naar nul kan gaan, geldt:

Antwoord: het gehele coördinatenvlak behalve de punten die tot de lijn behoren

Ja, ja, het is beter om het antwoord in deze stijl te schrijven. Het domein van de definitie van een functie van twee variabelen wordt zelden met enig symbool aangegeven; het wordt veel vaker gebruikt verbale beschrijving en/of tekening.

Indien op voorwaarde vereist maak een tekening, dan zou het nodig zijn om het coördinatenvlak weer te geven en stippellijn maak een rechte lijn. De stippellijn geeft aan dat de lijn Uitgesloten naar het domein van de definitie.

Zoals we later zullen zien, kun je bij moeilijkere voorbeelden helemaal niet zonder een tekening.

Voorbeeld 2

Zoek het domein van een functie

Oplossing: de radicale uitdrukking moet niet-negatief zijn:

Antwoord: halfvlak

Ook hier is de grafische weergave primitief: we tekenen een cartesiaans coördinatensysteem, stevig teken een rechte lijn en verduister de bovenkant halfvlak. De ononderbroken lijn geeft aan dat dit het geval is inbegrepen naar het domein van de definitie.

Aandacht! Als u IETS uit het tweede voorbeeld niet begrijpt, bestudeer/herhaal dan de les in detail Lineaire ongelijkheden– zonder hem zal het heel moeilijk zijn!

Miniatuur voor onafhankelijke beslissing:

Voorbeeld 3

Zoek het domein van een functie

Oplossing in twee regels en antwoord aan het einde van de les.

Laten we doorgaan met opwarmen:

Voorbeeld 4

En geef het weer op de tekening

Oplossing: het is gemakkelijk te begrijpen dat dit de formulering van het probleem is vereist uitvoering van de tekening (zelfs als het domein van de definitie heel eenvoudig is). Maar eerst de analyse: de radicaal van de uitdrukking moet niet-negatief zijn: en aangezien de noemer niet naar nul kan gaan, wordt de ongelijkheid strikt:

Hoe bepaal je het gebied dat de ongelijkheid definieert? Ik raad hetzelfde algoritme van acties aan als in de oplossing lineaire ongelijkheden.

Eerst tekenen we lijn, die is ingesteld overeenkomstige gelijkheid. De vergelijking bepaalt cirkel gecentreerd op de oorsprong van een straal die het coördinatenvlak verdeelt twee delen - "binnen" en "buitenkant" van de cirkel. Omdat we ongelijkheid hebben streng, dan valt de cirkel zelf zeker niet onder het domein van de definitie en moet hij daarom getekend worden stippellijn.

Laten we het nu nemen willekeurig vlak punt, niet behorend tot cirkel, en vervang de coördinaten door de ongelijkheid. De eenvoudigste manier is natuurlijk om de oorsprong te kiezen:

Ontvangen valse ongelijkheid dus punt bevredigt niet ongelijkheid Bovendien wordt aan deze ongelijkheid niet voldaan door enig punt dat binnen de cirkel ligt, en daarom is het gewenste definitiedomein het buitenste deel ervan. Het definitiegebied is traditioneel gearceerd:

Iedereen kan elk punt dat tot het gearceerde gebied behoort, nemen en ervoor zorgen dat de coördinaten ervan aan de ongelijkheid voldoen. Trouwens, de tegenovergestelde ongelijkheid geeft cirkel gecentreerd op de oorsprong, straal.

Antwoord: buitenste deel van de cirkel

Laten we terugkeren naar de geometrische betekenis van het probleem: we hebben het domein van de definitie gevonden en gearceerd, wat betekent dit? Dit betekent dat er op elk punt van het gearceerde gebied een waarde “zet” staat en grafisch de functie is de volgende oppervlak:

Uit de schematische tekening blijkt duidelijk dat dit oppervlak zich op bepaalde plaatsen bevindt boven vliegtuig (dichtbij en veraf octanten van ons), in sommige plaatsen - onder vliegtuig (linker en rechter octanten ten opzichte van ons). Het oppervlak loopt ook door de assen. Maar het gedrag van de functie als zodanig is voor ons nu niet erg interessant - wat belangrijk is, is dat dit alles gebeurt uitsluitend op het gebied van de definitie. Als we een punt nemen dat tot de cirkel behoort, dan zal daar geen oppervlak zijn (aangezien er geen "zet" is), zoals blijkt uit de ronde ruimte in het midden van de foto.

Begrijp het geanalyseerde voorbeeld alstublieft grondig, omdat ik daarin de essentie van het probleem in detail heb uitgelegd.

De volgende opgave dient u zelf op te lossen:

Voorbeeld 5

Een korte oplossing en tekening aan het einde van de les. Over het algemeen is er in het onderwerp dat wordt overwogen onder 2e orde lijnen de meest populaire is de cirkel, maar als optie kunnen ze het probleem 'doordringen' Ovaal, hyperbool of parabool.

Laten we naar boven gaan:

Voorbeeld 6

Zoek het domein van een functie

Oplossing: de worteluitdrukking moet niet-negatief zijn: en de noemer kan niet gelijk zijn aan nul: . Het definitiedomein wordt dus door het systeem gespecificeerd.

We behandelen de eerste voorwaarde met behulp van het standaardschema dat in de les is besproken. Lineaire ongelijkheden: teken een rechte lijn en bepaal het halfvlak dat overeenkomt met de ongelijkheid. Omdat ongelijkheid niet-streng, dan is de rechte lijn zelf ook een oplossing.

Met de tweede voorwaarde van het systeem is alles ook eenvoudig: de vergelijking specificeert de ordinaat-as, en aangezien , moet deze worden uitgesloten van het domein van de definitie.

Laten we de tekening tekenen en niet vergeten dat de ononderbroken lijn de binnenkomst in het definitiegebied aangeeft, en de stippellijn de uitsluiting ervan uit dit gebied aangeeft:

Opgemerkt moet worden dat we hier al zijn gedwongen Maak een tekening. En deze situatie is typisch: bij veel taken is een verbale beschrijving van het gebied moeilijk, en zelfs als je het beschrijft, zul je hoogstwaarschijnlijk slecht begrepen worden en gedwongen worden om het gebied weer te geven.

Antwoord: domein:

Overigens ziet zo'n antwoord zonder tekening er echt vochtig uit.

Laten we nogmaals de geometrische betekenis van het verkregen resultaat herhalen: in het gearceerde gebied staat een grafiek van de functie , die representeert oppervlak van de driedimensionale ruimte. Dit oppervlak kan zich boven/onder het vlak bevinden, kan het vlak snijden - in in dit geval We hebben dit allemaal parallel. Juist het bestaan ​​van het oppervlak is belangrijk, en het is belangrijk om de regio waarin het bestaat correct te vinden.

Voorbeeld 7

Zoek het domein van een functie

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Een benaderend voorbeeld van een eindtaak aan het einde van de les.

Het is niet ongebruikelijk dat ogenschijnlijk eenvoudige functies een langetermijnoplossing opleveren:

Voorbeeld 8

Zoek het domein van een functie

Oplossing: gebruik makend van formule voor kwadratenverschil, laten we de radicale uitdrukking in factoren ontbinden: .

Het product van twee factoren is niet-negatief , Wanneer beide vermenigvuldigers zijn niet-negatief: OF Wanneer beide niet-positief: . Dit is een typisch kenmerk. We moeten er dus twee oplossen systemen van lineaire ongelijkheden En COMBINEREN ontvangen gebieden. In een vergelijkbare situatie, in plaats van standaard algoritme De methode van wetenschappelijk, of beter gezegd, praktisch porren werkt veel sneller =)

We tekenen rechte lijnen die het coördinatenvlak in 4 “hoeken” verdelen. We nemen een punt dat tot de bovenste “hoek” behoort, bijvoorbeeld een punt, en vervangen de coördinaten ervan in de vergelijkingen van het eerste systeem: . De juiste ongelijkheden worden verkregen, wat betekent dat de oplossing voor het systeem is alle bovenste "hoek". Schaduw.

Nu nemen we het punt dat bij de rechter “hoek” hoort. Het tweede systeem blijft bestaan, waarin we de coördinaten van dit punt vervangen: . De tweede ongelijkheid is dus niet waar, en alles de juiste "hoek" is geen oplossing voor het systeem.

Een soortgelijk verhaal doet zich voor bij de linker “hoek”, die ook niet onder de reikwijdte van de definitie valt.

En ten slotte vervangen we de coördinaten van het experimentele punt van de onderste “hoek” in het tweede systeem: . Beide ongelijkheden zijn waar, wat betekent dat de oplossing voor het systeem dat is en alles de onderste “hoek”, die ook gearceerd moet zijn.

In werkelijkheid is het natuurlijk niet nodig om het zo gedetailleerd te beschrijven: alle becommentarieerde acties kunnen eenvoudig mondeling worden uitgevoerd!

Antwoord: het domein van definitie is Unie systeem oplossingen .

Zoals je misschien wel vermoedt, is het onwaarschijnlijk dat zo'n antwoord zonder tekening zal werken, en deze omstandigheid dwingt je om een ​​liniaal en een potlood op te pakken, ook al vereiste de toestand dit niet.

En dit is jouw noot:

Voorbeeld 9

Zoek het domein van een functie

Een goede leerling mist altijd logaritmes:

Voorbeeld 10

Zoek het domein van een functie

Oplossing: het argument van de logaritme is strikt positief, dus het definitiedomein wordt door het systeem gegeven.

De ongelijkheid geeft het rechter halfvlak aan en sluit de as uit.

Met de tweede voorwaarde is de situatie ingewikkelder, maar ook transparant. Laat ons herdenken sinusoïde. Het argument is “Igrek”, maar dit mag mij niet in verwarring brengen – Igrek, dus Igrek, Zyu, dus Zyu. Waar is de sinus groter dan nul? Sinus is bijvoorbeeld groter dan nul op het interval. Omdat de functie periodiek is, zijn er oneindig veel van dergelijke intervallen en in ingeklapte vorm zal de oplossing voor de ongelijkheid als volgt worden geschreven:
, waarbij een willekeurig geheel getal is.

Een oneindig aantal intervallen is uiteraard niet weer te geven, dus beperken we ons tot het interval en zijn buren:

Laten we de tekening voltooien en niet vergeten dat ons werkterrein volgens de eerste voorwaarde strikt beperkt is tot het rechter halfvlak:

hmm...het bleek een soort spooktekening te zijn...een goede representatie van hogere wiskunde...

Antwoord:

De volgende logaritme is van jou:

Voorbeeld 11

Zoek het domein van een functie

Tijdens de oplossing zul je moeten bouwen parabool, die het vlak in twee delen verdeelt: de "binnenkant" tussen de takken, en buitenste deel. De methode om het benodigde onderdeel te vinden is herhaaldelijk in het artikel verschenen Lineaire ongelijkheden en eerdere voorbeelden in deze les.

Oplossing, tekening en antwoord aan het einde van de les.

De laatste noten van de paragraaf zijn gewijd aan “bogen”:

Voorbeeld 12

Zoek het domein van een functie

Oplossing: Het arcsine-argument moet binnen de volgende limieten liggen:

Dan zijn het er twee technische mogelijkheden: beter voorbereide lezers vergelijkbaar met de laatste voorbeelden van de les Domein van een functie van één variabele ze kunnen de dubbele ongelijkheid ‘rollen’ en de ‘Y’ in het midden laten. Voor dummies raad ik aan om de “locomotief” om te bouwen naar een equivalent systeem van ongelijkheid:

Het systeem wordt zoals gewoonlijk opgelost: we construeren rechte lijnen en vinden de nodige halfvlakken. Als gevolg:

Houd er rekening mee dat hier de grenzen in het definitiegebied zijn opgenomen en dat rechte lijnen als ononderbroken lijnen zijn getekend. Dit moet altijd zorgvuldig worden gecontroleerd om een ​​ernstige fout te voorkomen.

Antwoord: het domein van de definitie vertegenwoordigt de oplossing van het systeem

Voorbeeld 13

Zoek het domein van een functie

De voorbeeldoplossing maakt gebruik van een geavanceerde techniek: het omzetten van dubbele ongelijkheden.

In de praktijk komen we soms ook problemen tegen bij het vinden van het definitiedomein van een functie van drie variabelen. Het domein van de definitie van een functie van drie variabelen kan zijn Alle driedimensionale ruimte, of een deel daarvan. In het eerste geval wordt de functie gedefinieerd voor enige punten in de ruimte, in de tweede - alleen voor die punten die meestal tot een ruimtelijk object behoren - lichaam. Het kan een rechthoekig parallellepipedum zijn, ellipsoïde, "binnen" parabolische cilinder enz. De taak om het definitiedomein van een functie van drie variabelen te vinden bestaat meestal uit het vinden van dit lichaam en het maken van een driedimensionale tekening. Dergelijke voorbeelden zijn echter vrij zeldzaam. (Ik heb maar een paar stukjes gevonden), en daarom zal ik mij beperken tot alleen deze overzichtsparagraaf.

Niveau lijnen

Om deze term beter te begrijpen, zullen we de as vergelijken met hoogte: hoe hoger de “Z”-waarde, hoe hoger de hoogte, de minder waarde“Z” – hoe lager de hoogte. De hoogte kan ook negatief zijn.

Een functie in zijn definitiedomein is een ruimtelijke grafiek; voor de duidelijkheid en duidelijkheid nemen we aan dat dit een triviaal oppervlak is. Wat zijn niveaulijnen? Figuurlijk gesproken zijn niveaulijnen horizontale ‘plakken’ van het oppervlak op verschillende hoogtes. Deze ‘plakken’, of beter gezegd, secties uitgevoerd door vliegtuigen, waarna ze op het vlak worden geprojecteerd .

Definitie: een functieniveaulijn is een lijn op het vlak op elk punt waarvan de functie een constante waarde behoudt: .

Niveaulijnen helpen dus om erachter te komen hoe een bepaald oppervlak eruit ziet - en ze helpen zonder een driedimensionale tekening te maken! Laat ons nadenken specifieke taak:

Voorbeeld 14

Zoek en teken verschillende niveaulijnen van een functiegrafiek

Oplossing: We onderzoeken de vorm van een bepaald oppervlak met behulp van vlakke lijnen. Laten we voor het gemak de vermelding "van achteren naar voren" uitbreiden:

Het is duidelijk dat in dit geval “zet” (hoogte) uiteraard geen negatieve waarden kan aannemen (aangezien de som van de kwadraten niet-negatief is). Het oppervlak bevindt zich dus in de bovenste halve ruimte (boven het vlak).

Omdat de voorwaarde niet zegt op welke specifieke hoogte de niveaulijnen moeten worden ‘afgesneden’, zijn we vrij om naar eigen goeddunken verschillende ‘Z’-waarden te kiezen.

We onderzoeken het oppervlak op nulhoogte, hiervoor plaatsen we de waarde in de gelijkheid :

De oplossing van deze vergelijking is het punt. Dat is wanneer de niveaulijn vertegenwoordigt een punt.

We stijgen tot een eenheidshoogte en "snijden" ons oppervlak vliegtuig (vervangen in de oppervlaktevergelijking):

Dus, voor hoogte is de niveaulijn een cirkel, gecentreerd op een punt met straaleenheid.

Ik herinner je eraan alle “slices” worden op het vlak geprojecteerd, en daarom noteer ik twee, en niet drie, coördinaten voor punten!

Nu nemen we bijvoorbeeld een vlak en 'snijden' daarmee het te bestuderen oppervlak (vervangingin de oppervlaktevergelijking):

Dus, voor hoogtede niveaulijn is een cirkel met het middelpunt op het straalpunt.

En laten we nog een niveaulijn bouwen, bijvoorbeeld voor :

–cirkel met het middelpunt op een punt met straal 3.

De niveaulijnen bevinden zich, zoals ik al heb benadrukt, in het vlak, maar elke lijn is ondertekend - met welke hoogte deze overeenkomt:

Het is niet moeilijk te begrijpen dat andere vlakke lijnen van het beschouwde oppervlak ook cirkels zijn, en hoe hoger we omhoog gaan (we verhogen de "Z" -waarde), hoe groter de straal wordt. Dus, het oppervlak zelf Het is een eindeloze kom met een eivormige bodem, waarvan de bovenkant in een vlak ligt. Deze "kom", samen met de as, "komt regelrecht naar je toe" vanaf het beeldscherm, dat wil zeggen, je kijkt naar de onderkant =) En dit is niet zonder reden! Alleen ik giet het zo dodelijk op de weg =) =)

Antwoord: de vlakke lijnen van een bepaald oppervlak zijn concentrische cirkels van de vorm

Opmerking : wanneer een gedegenereerde cirkel met een straal nul (punt) wordt verkregen

Het concept van een vlakke lijn komt uit de cartografie. Om de gevestigde wiskundige uitdrukking te parafraseren, kunnen we dat zeggen de niveaulijn is geografische locatie punten van dezelfde hoogte. Beschouw een bepaalde berg met niveaulijnen van 1000, 3000 en 5000 meter:

De figuur laat duidelijk zien dat de helling linksboven van de berg veel steiler is dan de helling rechtsonder. Met vlakke lijnen kunt u het terrein dus op een “platte” kaart weergeven. Overigens krijgen negatieve hoogtewaarden hier ook een heel specifieke betekenis: sommige delen van het aardoppervlak bevinden zich immers onder het nulniveau van de oceanen in de wereld.

Naar

meerdere functies

grafiek downloaden

Een functie online grafisch weergeven

onmiddellijk.

Online dienst tekent onmiddellijk een grafiek

Absoluut ondersteund Alle wiskundige functies

Trigonometrische functies
				Cosecant	Cotangens	boogsinus	boogcosinus	Boogtangens	Boogsecant	Arccosecant	Boogcotangent
Hyperbolische functies
Ander
Natuurlijke logaritme		Logaritme		Vierkantswortel				Beneden afronden		Naar boven afronden
Minimum						Maximaal
min(expressie1,expressie2,…)						max(expressie1,expressie2,…)

Grafiek de functie

Constructie van een 3D-oppervlak

Voer de vergelijking in

Laten we een oppervlak construeren dat wordt gedefinieerd door de vergelijking f(x, y, z) = 0, waarbij a< x < b, c < y < d, m < z < n.

Andere voorbeelden:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0,3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = zonde((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5,0*(x^2+y^2+z^2)+11,8=0

Canonieke weergave van curve en oppervlak

Het type bocht en 2e orde oppervlak kunt u online bepalen met een gedetailleerde oplossing:

Regels voor het invoeren van uitdrukkingen en functies

Expressies kunnen uit functies bestaan ​​(notaties worden in alfabetische volgorde gegeven):

absoluut(x) Absolute waarde X
(module X of |x|) arccos(x) Functie - boogcosinus van Xarccosh(x) Boogcosinus hyperbolisch uit Xboogsin(x) Arcsine uit Xboogsinh(x) Arcsine hyperbolisch uit Xarctan(x) Functie - boogtangens van Xboogtgh(x) Boogtangens hyperbolisch uit Xee een getal dat ongeveer gelijk is aan 2,7 exp(x) Functie - exponent van X(als e^X) logboek(x) of ln(x) Natuurlijke logaritme van X
(Verkrijgen log7(x), moet u log(x)/log(7) invoeren (of bijvoorbeeld for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Het getal is "Pi", wat ongeveer gelijk is aan 3,14 zonde(x) Functie - Sinus van Xcos(x) Functie - Cosinus van Xzonde(x) Functie - Hyperbolische sinus van Xcosh(x) Functie — Hyperbolische cosinus van Xsqrt(x) Functie - Vierkantswortel van Xsqr(x) of x^2 Functie - Vierkant Xbruin(x) Functie - Raaklijn van Xtgh(x) Functie - Raaklijn hyperbolisch van Xcbrt(x) Functie - kubus wortel van Xverdieping(x) Functie - afronding X naar beneden (voorbeeldvloer(4.5)==4.0) teken(x) Functie - Teken Xerf(x) Foutfunctie (Laplace of waarschijnlijkheidsintegraal)

De volgende bewerkingen kunnen in expressies worden gebruikt:

Echte getallen invoeren als 7.5 , Niet 7,5 2*x- vermenigvuldiging 3/x- divisie x^3- machtsverheffen x+7- toevoeging x-6- aftrekken

Hoe kan ik een functie online op deze site grafisch weergeven?

Naar plot een functie online, hoeft u alleen maar uw functie in een speciaal veld in te voeren en ergens daarbuiten te klikken. Hierna wordt automatisch de grafiek van de ingevoerde functie getekend. Stel dat u een klassieke grafiek wilt maken van de functie ‘x kwadraat’. Daarom moet u “x^2” in het veld invoeren.

Als je moet plotten meerdere functies tegelijkertijd en klik vervolgens op blauwe knop"Voeg meer toe". Hierna wordt een ander veld geopend waarin u de tweede functie moet invoeren. Het schema wordt ook automatisch opgebouwd.

U kunt de kleur van de grafieklijnen aanpassen door op het vierkantje rechts van het functie-invoerveld te klikken. De overige instellingen bevinden zich direct boven het grafiekgebied. Met hun hulp kunt u de achtergrondkleur, de aanwezigheid en kleur van het raster, de aanwezigheid en kleur van de assen, de aanwezigheid van markeringen, evenals de aanwezigheid en kleur van de nummering van grafieksegmenten instellen. Indien nodig kunt u de functiegrafiek schalen met het muiswiel of speciale pictogrammen in de rechter benedenhoek van het tekengebied.

Nadat u de grafiek heeft getekend en de nodige wijzigingen in de instellingen heeft aangebracht, kunt u dat doen grafiek downloaden via de grote groene knop 'Downloaden' helemaal onderaan. U wordt gevraagd de functiegrafiek op te slaan als een PNG-afbeelding.

Waarom moet je een functie grafisch weergeven?

Op deze pagina kun je bouwen interactieve grafiek online-functies.

Grafiek een functie online

Door een functiegrafiek te plotten, kunt u het geometrische beeld van een bepaalde wiskundige functie zien. Om het u gemakkelijker te maken zo'n grafiek te maken, hebben we een speciale versie gemaakt online app. Het is volledig gratis, vereist geen registratie en kan zonder problemen rechtstreeks in uw browser worden gebruikt. aanvullende instellingen en manipulatie. Het construeren van grafieken voor een verscheidenheid aan functies is meestal nodig voor middelbare scholieren die algebra en meetkunde studeren, en voor eerste- en tweedejaarsstudenten die hogere wiskundecursussen volgen. Gebruikelijk, dit proces kost veel tijd en vereist veel kantoorbenodigdheden om de grafiekassen op papier te tekenen, de coördinaatpunten vast te leggen en ze te combineren rechte lijn enz. Dit gebruiken online dienst je kunt berekenen en creëren grafisch beeld functies onmiddellijk.

Hoe werkt een grafische rekenmachine voor grafische functies?

Online dienst Het werkt heel eenvoudig. De functie (d.w.z. de vergelijking zelf, waarvan de grafiek moet worden geplot) wordt helemaal bovenaan in het veld ingevoerd. Direct na binnenkomst van de aanvraag tekent onmiddellijk een grafiek in het gebied onder dit veld. Alles gebeurt zonder de pagina te vernieuwen. Vervolgens kunt u er verschillende invoeren kleur instellingen, evenals enkele elementen van de functiegrafiek verbergen/tonen. Hierna kan het voltooide diagram worden gedownload door op de juiste knop helemaal onderaan de applicatie te klikken. De tekening wordt in PNG-indeling naar uw computer gedownload, zodat u deze kunt afdrukken of naar een papieren notitieblok kunt overbrengen.

Welke functies ondersteunt de grafiekbouwer?

Absoluut ondersteund alle wiskundige functies, wat handig kan zijn bij het plotten van grafieken. Het is belangrijk om hier te benadrukken dat, in tegenstelling tot de klassieke taal van de wiskunde die op scholen en universiteiten wordt gebruikt, het gradenteken in de applicatie wordt aangegeven door het internationale teken “^”. Dit komt door het ontbreken van de mogelijkheid om een ​​diploma in het gebruikelijke formaat op een computertoetsenbord te schrijven. Hieronder staat een tabel met volle lijst ondersteunde functies.

De applicatie ondersteunt de volgende functies:

Trigonometrische functies
				Cosecant	Cotangens	boogsinus	boogcosinus	Boogtangens	Boogsecant	Arccosecant	Boogcotangent
Hyperbolische functies
Ander
Natuurlijke logaritme		Logaritme		Vierkantswortel				Beneden afronden		Naar boven afronden
Minimum						Maximaal
min(expressie1,expressie2,…)						max(expressie1,expressie2,…)

Voorbeelden. Construeer functieniveaulijnen die overeenkomen met de waarden

Construeer functieniveaulijnen die overeenkomen met de waarden .

Ervan uitgaande dat we de vergelijkingen van de overeenkomstige niveaulijnen verkrijgen:

Door deze lijnen in te bouwen Cartesisch systeem coördinaten xOy, verkrijgen we rechte lijnen evenwijdig aan de bissectrice van de tweede en vierde coördinaathoeken (Fig. 1)

Laten we de vergelijkingen van de niveaulijnen schrijven:

, , , En .

Door ze in het xOy-vlak te construeren, verkrijgen we concentrische cirkels met het middelpunt op de oorsprong van de coördinaten (Fig. 2)

De niveaulijnen van deze functie , , , en zijn parabolen die symmetrisch zijn ten opzichte van Oy met een gemeenschappelijk hoekpunt in de oorsprong (Fig. 3).

2. Directionele afgeleide

Een belangrijk kenmerk van een scalair veld is de snelheid waarmee het veld in een bepaalde richting verandert.

Om de snelheid waarmee het veld in de richting van de vector verandert te karakteriseren, wordt het concept van de afgeleide van het veld in de richting geïntroduceerd.

Denk aan de functie op punt en punt.

Laten we de punten en de vector doornemen. De hellingshoeken van deze vector ten opzichte van de richting van de coördinaatassen x, y, z laten we respectievelijk a, b, g aanduiden. De cosinussen van deze hoeken worden genoemd richting cosinussen vector

∙ gaat door één punt op een vlak evenwijdig aan een lijn evenwijdig aan dat vlak.

Een voorbeeld van het construeren van een rechte lijn op een vlak (Fig. 3.12):
Rijst. 3.12 Taak: construeer een rechte lijn op het vlak ABC, gegeven
		frontale projectie

3.4 Hoofdvlaklijnen

Om veel problemen van de beschrijvende meetkunde op te lossen, worden lijnen met een bepaalde positie gebruikt: vlakke lijnen.

Niveaulijnen zijn lijnen op een vlak evenwijdig aan de PP. Een lijn evenwijdig aan de horizontale PP is horizontaal, Frontaal is frontaal, Profiel PP is een profiellijn.

Omdat de waterpaslijnen evenwijdig zijn aan hun projectievlakken, zullen hun projecties op andere PP's evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De frontale projectie van de horizontaal is bijvoorbeeld evenwijdig aan de x-as 12.

Voorbeelden van het construeren van waterpaslijnen: ∙ Horizontaal h (Fig. 3.13);

u 11 1

Rijst. 3.13 Horizontaal op een vlak

Als het vlak wordt gedefinieerd door sporen, zullen de niveaulijnen h en f evenwijdig zijn aan de sporen op hun projectievlakken: horizontale naar horizontale sporen, frontale naar frontale sporen, enz. (Afb. 3.14). In wezen is het vlakke spoor een niveaulijn die oneindig dicht bij het projectievlak ligt.

			f 1≡ h 2

Rijst. 3.14 Niveaulijnen van een vlak gedefinieerd door sporen

3.5 Wijs op een vlak

Een punt ligt op een vlak als het tot een lijn in dit vlak behoort. Om een ​​punt op een vlak te construeren, is het dus noodzakelijk om eerst een hulplijn op het vlak te construeren, zodanig dat deze door een gegeven projectie van het gewenste punt gaat, en vervolgens een punt op de geconstrueerde hulplijn langs de verbindingslijn te vinden. .

Voorbeelden van het construeren van een punt op een vlak (Fig. 3.15):

		D1 - ?
	D1 - ?

Rijst. 3.15 Punt op een vlak

Een punt construeren op een vlak dat wordt gedefinieerd door sporen.

Als het vlak wordt gespecificeerd door sporen, worden niveaulijnen gebruikt als lijnen die tot het vlak behoren, met behulp waarvan wordt gecontroleerd of een punt bij het vlak hoort, die gemakkelijk te construeren zijn door evenwijdig aan de gegeven sporen te tekenen (Fig. 3.16). Er moet aan worden herinnerd dat de projectie van een punt dat behoort tot het spoor van het vlak op een ander projectievlak zich zal bevinden op de as die de projectievlakken scheidt (zie (.)1).

				f 1≡ h 2

Rijst. 3.16 Niveaulijnen gebruiken om glazen te construeren op een vlak dat wordt gedefinieerd door sporen

Onderwerp 4 De relatieve positie van geometrische figuren: een rechte lijn en een vlak, twee vlakken.

Een rechte lijn en een vlak, evenals twee vlakken, kunnen zijn:

∙ parallel aan elkaar

∙ kruisen,

∙ loodrecht op elkaar.

4.1 Parallelle figuren

4.1.1 Rechte lijn evenwijdig aan het vlak

Voorbeeld 1 (Fig. 4.1). Er is een vlak Σ(a Ç b).

Gegeven (.)A en frontale projectie 2 recht. Trek een lijn door (.)A evenwijdig aan het vlak Σ

Een 2l 2

Rijst. 4.1 Constructie van een rechte lijn evenwijdig aan het vlak

Voorbeeld 2. Trek door (.)A een horizontale lijn evenwijdig aan het vlak

Σ(ABC) (Fig. 4.2).

Rijst. 4.2 Horizontaal evenwijdig aan het vlak

4.1.2 Onderling evenwijdige vlakken

Twee vlakken zijn onderling evenwijdig als twee snijdende lijnen van het ene vlak evenwijdig zijn aan twee snijdende lijnen van een ander vlak (Fig. 4.3).

				advertentie
							ý Þ een // d
				a 2//d 2þ
				b // c				Þ b// c
				b 2// c 2þ
				pl .Q (a Ç b ) //pl .D (c //v )

Rijst. 4.3 Onderling evenwijdige vlakken

Lijnen kunnen worden geselecteerd als kruisende lijnen
privé situatie. Vanaf hier:
Als de sporen met dezelfde naam van twee vlakken evenwijdig zijn. Dat
de vlakken zelf zijn evenwijdig.
				pl.S (fÇh) //pl.T (f "Çh")
			H'
Rijst. 4.4 Parallelle vlakken,
	gegeven door sporen
Voorbeeld 4.3: Teken door (.)A een vlak Θ evenwijdig aan het vlak
Γ gedefinieerd door twee parallelle lijnen (Fig. 4.5).
	Rijst. 4.5 Parallelle vlakken

Bouwtechniek:

1. Op het vlak Г wordt met behulp van een rechte lijn een willekeurig hulppunt1 geselecteerd.

2. Teken door (.) 1 twee willekeurige rechte lijnen l en k zodat ze een andere rechte lijn snijden die het vlak definieert: lijn b.

3. Via een bepaald punt En teken twee lijnen m en n, parallel aan respectievelijk de hulplijnen l en k. Deze twee

de snijdende lijnen l en k zullen het gewenste vlak Q definiëren, evenwijdig aan het gegeven vlak Г.

Voorbeeld 4.4: Teken door (.)A

vliegtuig

parallel

frontaal projecterend vlakΣ (m ||n) (Fig. 4.6).

≡ l 2

Rijst. 4.6 Parallelle vlakken

Bouwtechniek:

1. Op de frontale PP door de frontale projectie En 2 gegeven punt A wordt een rechte lijn getrokken A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Deze rechte lijn zal het frontale spoor zijn van het gewenste vlak D. Het vlak evenwijdig aan het frontale projectievlak moet het frontale projectievlak zelf zijn!

2. Op een horizontale PP worden willekeurig twee punten geselecteerd Bij 1 en

C1.

3. Frontale projecties In 2 en C worden de punten B en C gezocht langs communicatielijnen op het geconstrueerde spoor van het gewenste vlak D.

Let op! Ondanks het feit dat de punten B en C willekeurig zijn gekozen op de horizontale PP, zal het vlak dat wordt gedefinieerd door de punten АВС evenwijdig zijn aan het gegeven frontaal uitstekende vlak, omdat op de frontale PP de punten АВС zich op dezelfde lijn bevinden, evenwijdig aan de frontaal spoor van het gegeven vlakΣ.

4.2 Het snijpunt van een lijn en een vlak. Kruispunt

Laat ons nadenken speciaal geval, wanneer het nodig is om (.)K snijpunten van een lijn te vinden algemeen standpunt l en horizontaal projecterend vlakΣ.

Voorbeeld 4.9: Construeer het snijpunt van de rechte lijn l met het horizontale projectievlak Σ (Fig. 4.7):

	å ^ P1

Rijst. 4.7 Snijpunt van een rechte lijn met een uitstekend vlak

De constructie is heel eenvoudig. Omdat het projecterende vlak Σ een collectieve eigenschap heeft, het snijpunt met de lijn

bevindt zich als het snijpunt van het horizontale spoor Σ 1 van het vlak en de horizontale projectie van lijn 1. De frontale projectie van het snijpunt bevindt zich langs de communicatielijn.

Om het snijpunt van een willekeurige rechte lijn met een algemeen vlak te construeren, moeten uitstekende hulpvlakken als hulpelement worden gebruikt.

Voorbeeld 4.10: Construeer het snijpunt van lijn m met het vlak

(a Ç b) (Fig. 4.8).

å ^ P2; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Rijst. 4.8 Snijpunten van een lijn en een vlak

Voor de constructie werd een frontaal uitstekend hulpvlak Σ gebruikt, dat door de lijn m ging.

De snijlijn l van de vlakken Σ Ç ligt in hetzelfde vlak als de rechte lijn m, aangezien het hulpvlak speciaal door de rechte lijn is getrokken. Omdat ze zich in hetzelfde vlak bevinden, zullen rechte lijnen l en m, als ze elkaar kruisen, een punt opleveren dat het gewenste snijpunt zal zijn van de gegeven rechte lijn m en het vlak

Als de lijnen l en m evenwijdig blijken te zijn, betekent dit dat de gegeven lijn m en het vlak evenwijdig zijn.

	Het snijpunt van twee vlakken.
Het is voldoende om de snijlijn van twee vlakken te construeren
zoek twee willekeurige punten op deze lijn, of één punt en richting
snijlijnen.
Als u op zoek bent naar een snijlijn van twee vlakken, waarvan er één
projecterend, wordt de snijlijn bepaald door de eenvoudigste
constructies.
Voorbeeld 4.5: Construeer een vlakke snijlijn				gegeven
twee rechte lijnen l ||m en een horizontaal vlak Σ (fig.
			S2≡S2
	Rijst. 4.9 Snijpunt van vlakken

Let op! De snijlijn behoort tot het horizontale vlak van niveau Σ en is daarom horizontaal.

De eenvoud van het construeren van de snijlijn van algemene vlakken met specifieke vlakken geeft handig hulpmiddel het construeren van de snijlijn van twee vlakken in algemene positie.

Rijst. 4.10 Hulpsnijvlakken

Zo'n gereedschap zijn hulpsnijvlakken van een bepaalde positie, bijvoorbeeld vlakke vlakken (Fig. 4.10).

Om de snijlijn van de vlakken Φ en Θ te construeren, werden twee horizontale vlakken Г" en Г"" gebruikt. Snijpunten M en N

paren lijnen a"

S "X lX m

Rijst. 4.11 Constructie van de snijlijn van vlakken

Voor de constructie werden horizontale vlakken Σ" en Σ"" gebruikt.

Voorbeeld 4.7: Construeer de snijlijn van het vlak Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Rijst. 4.12 Constructie van de snijlijn van vlakken

Voor de constructie worden frontaal uitstekende hulpvlakken "en" gebruikt, die op de frontale PP langs de frontale projecties van evenwijdige rechte lijnen l en m lopen, waardoor het vlak T wordt gedefinieerd. Het hulpvlak "snijdt het gegeven vlak Φ (ABC) langs de lijn 12. De horizontale projectie van deze lijn snijdt de horizontale projectie van de lijn in punt E 1. Dit punt wordt gezocht op de frontale PP langs de communicatielijn. Punt E is gemeenschappelijk voor het vlak Φ(ABC) en Τ(l ||m). Dit punt is dus een van de punten op de snijlijn van de vlakken Φ(ABC) en Τ(l ||m). Het punt F van het snijpunt van het vlak "" met de lijn m werd ook gevonden. Punt F is tevens het snijpunt van de vlakken Φ(ABC) en Τ(l ||m). De verkregen punten E verbinden en

u"1 M 1 u 1

Rijst. 4.13 Constructie van de snijlijn van vlakken

De punten van de snijlijn zijn (.)M snijpunten van horizontale sporenh en h" van gegeven vlakken en (.)N snijpunten van frontale sporenf en f" . Door deze punten op de overeenkomstige projectievlakken te verbinden, ontstaat de projectie van de snijlijn van de gegeven vlakken.

Om een ​​niveaulijnenkaart te maken:

• Definieer een matrix met waarden die u grafisch wilt weergeven. Mathcad gaat ervan uit dat de rijen en kolommen de waarden vertegenwoordigen van de argumenten van een bepaalde functie, gelijkmatig verdeeld langs de coördinaatassen. Mathcad interpoleert vervolgens lineair de waarden van deze matrix om lijnen van gelijk niveau te vormen. Dergelijke isolijnen kunnen isothermen, isobaren, equipotentiaallijnen, stroomlijnen vertegenwoordigen of een andere fysieke betekenis hebben.
• Selecteer Niveaulijnkaart vanuit het opdrachtmenu Contourplot maken Grafische kunst. Mathcad geeft een rechthoek weer met één invoerveld, zoals in Figuur 1.
• Typ de naam van de matrix in het invoerveld. Net als bij een uitdrukking maakt Mathcad pas een kaart met niveaulijnen als u klikt , of binnen automatische modus, klik niet buiten het grafiekgebied.

Figuur 1: Er is een leeg invoerveld beschikbaar voor de matrixnaam.

De geconstrueerde grafiek toont lijnen waarlangs de functie, waarvan de waarden worden weergegeven door de elementen van de matrix, constante waarden aanneemt. Omdat verschillende lijnen overeenkomen verschillende betekenissen, dan kruisen ze elkaar niet. Bij het construeren van een grafiek is de matrix zo georiënteerd dat het (0,0) element ervan overeenkomt met de linkerbenedenhoek van de grafiek, de rijen van de matrix overeenkomen met constante waarden langs de ordinaatas en de kolommen komen overeen met constante waarden langs de abscis-as.

Door de tekening op te maken, kunt u bepalen of functiewaarden op de overeenkomstige niveaulijnen moeten verschijnen, hoe vaak ze moeten voorkomen en welke labels en rasterlijnen op de assen verschijnen. Dit alles wordt hieronder beschreven in de sectie “ Een niveaulijnkaart opmaken ”.

Niveaulijnen van een functie van twee variabelen

Hieronder staan standaard stappen bij het maken van de niveaulijnkaart van een functie van twee variabelen, weergegeven in figuur 2:

• Definieer een functie van twee variabelen.
• Bepaal hoeveel punten langs de coördinaatassen moeten worden uitgezet. Voer discrete argumenten in i En J om deze punten te indexeren. Als u bijvoorbeeld 10 punten in elke richting wilt gebruiken, voert u het volgende in:

ik:= 0 ..9 j:= 0 ..9

• Definiëren X ik en j j als gelijkmatig verdeelde punten op de assen X En j.
• Vul de matrix in M waarden f( X i, j J).
• Weergave M in de vorm van een kaart met niveaulijnen.

Figuur 2: Niveaulijnkaart van een functie van twee variabelen.

Houd er rekening mee dat in dit geval de as X de grafische weergave gaat naar rechts en naar de as j naar boven gericht. Omdat de niveaulijnkaart wordt gemaakt door de functiewaarden in een matrix te plaatsen, kent Mathcad de werkelijke waarden niet X En j. Om deze reden zijn de assen in de waterpaskaart standaard genormaliseerd, zodat de coördinaten variëren van -1 tot 1. U kunt de grenzen op de assen handmatig instellen in plaats van deze standaardwaarden door te selecteren 3D grafisch formaat uit het menu Grafische kunst met een geselecteerde niveaulijnkaart, of Dubbelklik op de kaart. Stel vervolgens de vereiste waarden in de velden “Min” en “Max” op de pagina “As” in.