Lezingsaantekeningen: Correlatie, autocorrelatie, kruiscorrelatie. Eigenschappen van autocorrelatie- en kruiscorrelatiefuncties. Spectrale en correlatie-eigenschappen van het signaal

Het punt van spectrale analyse van signalen is om te bestuderen hoe een signaal kan worden weergegeven als een som (of integraal) van eenvoudige harmonische oscillaties en hoe de vorm van het signaal de structuur van de frequentieverdeling van de amplitudes en fasen van deze oscillaties bepaalt. De taak van signaalcorrelatieanalyse is daarentegen het bepalen van de mate van gelijkenis en verschil tussen signalen of in de tijd verschoven kopieën van hetzelfde signaal. De introductie van een maatstaf opent de weg naar kwantitatieve metingen van de mate van gelijkenis van signalen. Er zal worden aangetoond dat er een bepaalde relatie bestaat tussen de spectrale en correlatiekarakteristieken van signalen.

3.1 Autocorrelatiefunctie (ACF)

De autocorrelatiefunctie van een signaal met eindige energie is de waarde van de integraal van het product van twee kopieën van dit signaal, ten opzichte van elkaar verschoven over een tijd τ, beschouwd als een functie van deze tijdverschuiving τ:

Als het signaal wordt gedefinieerd op een eindig tijdsinterval , dan wordt de ACF gevonden als:

Waar
- overlapinterval van verschoven kopieën van het signaal.

Er wordt aangenomen dat hoe groter de waarde van de autocorrelatiefunctie is
bij een gegeven waarde , hoe meer twee kopieën van het signaal met een tijdsperiode worden verschoven , vergelijkbaar met elkaar. Daarom de correlatiefunctie
en is een maatstaf voor de gelijkenis voor verschoven kopieën van het signaal.

De op deze wijze geïntroduceerde gelijkenismaat voor signalen die de vorm hebben van willekeurige oscillaties rond een nulwaarde heeft de volgende karakteristieke eigenschappen.

Als verschoven kopieën van het signaal ongeveer in de tijd met elkaar oscilleren, dan is dit een teken van hun gelijkenis en neemt de ACF grote positieve waarden aan (grote positieve correlatie). Als de kopieën bijna in tegenfase oscilleren, neemt de ACF grote negatieve waarden aan (anti-similariteit van signaalkopieën, grote negatieve correlatie).

De maximale ACF wordt bereikt wanneer de kopieën samenvallen, dat wil zeggen bij afwezigheid van een verschuiving. Nul ACF-waarden worden bereikt bij verschuivingen waarbij noch gelijkenis, noch anti-similariteit van signaalkopieën merkbaar is (nulcorrelatie, o geen correlatie).

Figuur 3.1 toont een fragment van de implementatie van een bepaald signaal over een tijdsinterval van 0 tot 1 s. Het signaal oscilleert willekeurig rond nul. Omdat het bestaansinterval van het signaal eindig is, is de energie ervan ook eindig. De ACF kan worden berekend volgens de vergelijking:

De autocorrelatiefunctie van het signaal, berekend in MathCad in overeenstemming met deze vergelijking, wordt weergegeven in Fig. 3.2. De correlatiefunctie laat niet alleen zien dat het signaal vergelijkbaar is met zichzelf (verschuiving τ=0), maar ook dat kopieën van het signaal, ten opzichte van elkaar verschoven met ongeveer 0,063 s, ook enige gelijkenis vertonen (lateraal maximum van de autocorrelatiefunctie) . Kopieën van het signaal dat met 0,032 s is verschoven, moeten daarentegen anti-similar zijn, dat wil zeggen in zekere zin tegengesteld aan elkaar.

Figuur 33 toont paren van deze twee exemplaren. Uit de figuur kun je zien wat wordt bedoeld met gelijkenis en anti-similariteit van signaalkopieën.

De correlatiefunctie heeft de volgende eigenschappen:

1. Bij τ = 0 autocorrelatie functie accepteert hoogste waarde, gelijk aan de signaalenergie

2. De autocorrelatiefunctie is een gelijkmatige functie van de tijdverschuiving
.

3. Naarmate τ toeneemt, neemt de autocorrelatiefunctie af tot nul

4. Als het signaal geen discontinuïteiten van het type δ-functies bevat, dan
- continue functie.

5. Als het signaal een elektrische spanning is, heeft de correlatiefunctie de dimensie
.

Voor periodieke signalen bij de definitie van de autocorrelatiefunctie wordt dezelfde integraal verder gedeeld door de signaalherhalingsperiode:

De geïntroduceerde correlatiefunctie heeft de volgende eigenschappen:

Laten we bijvoorbeeld de correlatiefunctie van een harmonische oscillatie berekenen:

Met behulp van een reeks trigonometrische transformaties verkrijgen we uiteindelijk:

De autocorrelatiefunctie van een harmonische oscillatie is dus een cosinusgolf met dezelfde veranderingsperiode als het signaal zelf. Bij verschuivingen die een veelvoud zijn van de oscillatieperiode, wordt de harmonische in zichzelf omgezet en neemt de ACF de grootste waarden aan, gelijk aan de helft van het kwadraat van de amplitude. Tijdverschuivingen die veelvouden zijn van de helft van de oscillatieperiode zijn equivalent aan een faseverschuiving over een hoek
In dit geval verandert het teken van de oscillaties en neemt de ACF een minimumwaarde aan, negatief en gelijk aan de helft van het kwadraat van de amplitude. Verschuivingen die veelvouden zijn van een kwart periode transformeren bijvoorbeeld een sinusoïdale oscillatie in een cosinus-oscillatie en omgekeerd. In dit geval gaat de ACF naar nul. Dergelijke signalen, die in kwadratuur ten opzichte van elkaar staan, blijken vanuit het oogpunt van de autocorrelatiefunctie totaal verschillend van elkaar te zijn.

Het is belangrijk dat de uitdrukking voor de correlatiefunctie van het signaal niet de initiële fase ervan omvat. Fase-informatie gaat verloren. Dit betekent dat het signaal zelf niet kan worden gereconstrueerd uit de correlatiefunctie van het signaal. Weergave
in tegenstelling tot weergeven
is niet één op één.

Als we met een signaalgeneratiemechanisme een bepaalde demiurg bedoelen die een signaal creëert volgens de door hem gekozen correlatiefunctie, dan zou hij een hele reeks signalen kunnen creëren (een geheel van signalen) die feitelijk dezelfde correlatiefunctie hebben, maar van elkaar verschillen in faserelaties.

de handeling van een signaal dat zijn vrije wil manifesteert, onafhankelijk van de wil van de schepper (de opkomst van individuele implementaties van een willekeurig proces),

het resultaat van extern geweld tegen het signaal (introductie in het signaal van meetinformatie verkregen tijdens metingen van welke fysieke grootheid dan ook).

De situatie is vergelijkbaar met elk periodiek signaal. Als een periodiek signaal met een hoofdperiode T een amplitudespectrum heeft
en fasespectrum
, dan heeft de correlatiefunctie van het signaal de volgende vorm:

Reeds in deze voorbeelden is er enig verband tussen de correlatiefunctie en de spectrale eigenschappen van het signaal. Deze relaties zullen later in meer detail worden besproken.

2.6. Correlatie-spectrale analyse deterministische signalen. Radiotechnische circuits en signalen. Deel I

2.6. Correlatie-spectrale analyse van deterministische signalen

Bij veel radiotechnische problemen is het vaak nodig om een signaal en de kopie ervan, die enige tijd verschoven zijn, te vergelijken. Deze situatie doet zich met name voor bij radar, waar de door het doel gereflecteerde puls met een tijdvertraging bij de ontvangeringang aankomt. Vergelijking van deze signalen met elkaar, d.w.z. Door hun relatie tijdens de verwerking vast te stellen, kan men de parameters van de doelbeweging bepalen.

Om de relatie tussen een signaal en zijn in de tijd verschoven kopie te kwantificeren, wordt een kenmerk geïntroduceerd

, (2.57)

Welke wordt genoemd autocorrelatie functie(AKF).

Om de fysieke betekenis van de ACF uit te leggen, geven we een voorbeeld waarbij het signaal een rechthoekige puls is met duur en amplitude. In afb. 2.9 toont een puls, waarvan de kopie met een tijdsinterval is verschoven, en het product . Het is duidelijk dat de integratie van het product de waarde geeft van het gebied van de puls, dat is het product . Deze waarde kan, indien vastgelegd, worden weergegeven door een punt in coördinaten. Bij het wijzigen krijgen we een grafiek van de autocorrelatiefunctie.

Laten we een analytische uitdrukking vinden. Omdat

Als we deze uitdrukking vervolgens vervangen door (2.57), krijgen we

. (2.58)

Als je het signaal naar links verschuift, kun je dat met soortgelijke berekeningen eenvoudig aantonen

. (2.59)

Als we (2,58) en (2,59) combineren, krijgen we

. (2.60)

Uit het beschouwde voorbeeld kunnen de volgende belangrijke conclusies worden getrokken die van toepassing zijn op signalen: vrije vorm:

1. De autocorrelatiefunctie is dat niet periodiek signaal neemt af met de groei (niet noodzakelijkerwijs monotoon voor andere soorten signalen). Het is duidelijk dat de ACF ook naar nul neigt.

2. De ACF bereikt zijn maximale waarde bij . In dit geval is deze gelijk aan de signaalenergie. ACF is dat dus wel energie karakteristiek voor het signaal. Zoals je zou verwachten, zijn het signaal en de kopie ervan volledig gecorreleerd (met elkaar verbonden).

3. Uit een vergelijking van (2,58) en (2,59) volgt dat de ACF dat is zelfs functioneren betoog, d.w.z.

Een belangrijk kenmerk van het signaal is correlatie-interval. Onder het correlatie-interval wordt verstaan het tijdsinterval waarmee het signaal en zijn kopie, wanneer het wordt verschoven, niet meer gecorreleerd raken.

Wiskundig gezien wordt het correlatie-interval bepaald door de volgende uitdrukking

of sinds is een even functie

. (2.61)

In afb. Figuur 2.10 toont de ACF van een willekeurige golfvorm. Als je een rechthoek bouwt met een oppervlakte gelijk aan de oppervlakte onder de curve voor positieve waarden (de rechtertak van de curve), waarvan één zijde gelijk is aan , dan komt de tweede zijde overeen met .

Laten we het correlatie-interval voor een rechthoekige puls vinden. Als we (2.58) vervangen door (2.60) na eenvoudige transformaties, verkrijgen we:

als volgt uit afb. 2.9.

Naar analogie met de autocorrelatiefunctie wordt de mate van relatie tussen twee signalen geschat kruiscorrelatiefunctie(VKF)

. (2.62)

Laten we de kruiscorrelatiefunctie van twee signalen vinden: een rechthoekige puls met amplitude en duur

en een driehoekige puls met dezelfde amplitude en duur

Door gebruik te maken van (2.61) en de integralen afzonderlijk te berekenen voor en , verkrijgen we:

Grafische grafieken die de berekeningen van de VCF illustreren, worden getoond in Fig. 2.11

Hier stippellijnen de initiële (bij) positie van de driehoekige puls wordt weergegeven.

Bij uitdrukking (2.61) wordt omgezet in (2.57). Hieruit volgt dat de ACF een speciaal geval van de CCF is met volledig overeenkomende signalen.

Laten we de belangrijkste eigenschappen van de VKF noteren.

1. Net als de autocorrelatiefunctie is de VCF een afnemende functie van het argument. Wanneer VKF naar nul neigt.

2. De waarden van de kruiscorrelatiefunctie zijn willekeurig de waarden wederzijdse energie(interactie-energie) signalen en .

3. Wanneer de kruiscorrelatiefunctie (in tegenstelling tot de autocorrelatiefunctie) niet altijd een maximum bereikt.

4. Als de signalen worden beschreven door even functies van tijd, dan is de CCF ook even. Als ten minste één van de signalen wordt beschreven door een oneven functie, dan is de CCF ook oneven. De eerste bewering is eenvoudig te bewijzen als je de CCF berekent van twee rechthoekige pulsen met tegengestelde polariteit

Kruiscorrelatiefunctie van dergelijke signalen

, (2.63)

is een even functie van het argument.

Wat de tweede verklaring betreft, bewijst het beschouwde voorbeeld van het berekenen van de CCF van rechthoekige en driehoekige pulsen dit.

Bij sommige toegepaste problemen gebruiken radio-ingenieurs genormaliseerde ACF

, (2.64)

en genormaliseerde VKF

, (2.65)

waar en zijn de intrinsieke energieën van de signalen en . Wanneer de waarde van de genormaliseerde VKF genaamd kruiscorrelatiecoëfficiënt. Als , dan de kruiscorrelatiecoëfficiënt

Uiteraard variëren de waarden van -1 tot +1. Als we (2.65) vergelijken met (1.32), kunnen we verifiëren dat de kruiscorrelatiecoëfficiënt overeenkomt met de waarde van de cosinus van de hoek tussen de vectoren en in de geometrische weergave van de signalen.

Laten we de kruiscorrelatiecoëfficiënt berekenen voor de hierboven besproken voorbeelden. Omdat de energie van het rechthoekige pulssignaal is

en een driehoekige puls

dan zal de kruiscorrelatiecoëfficiënt overeenkomstig (2,62) en (2,65) gelijk zijn aan . Wat betreft het tweede voorbeeld, voor twee rechthoekige pulsen met dezelfde amplitude en duur, maar tegengestelde polariteit, .

Experimenteel kunnen ACF en VCF worden verkregen met behulp van een apparaat, waarvan het structurele diagram wordt getoond in Fig.

2.12 Bij het verwijderen van de ACF wordt een signaal ontvangen op een van de vermenigvuldigeringangen, en hetzelfde signaal wordt ontvangen op de tweede, maar enige tijd vertraagd. Productproportioneel signaal

Om experimenteel een VCF te construeren, wordt het signaal naar een van de vermenigvuldigeringangen gevoerd, en het signaal naar het vertragingsapparaat (de binnenkomende circuits worden met stippellijnen weergegeven). Anders werkt het apparaat op dezelfde manier. Merk op dat het beschreven apparaat wordt genoemd correlator en wordt veel gebruikt in verschillende radiosystemen voor het ontvangen en verwerken van signalen.

Tot nu toe hebben we correlatieanalyse uitgevoerd van niet-periodieke signalen met eindige energie. Tegelijkertijd ontstaat vaak de behoefte aan een dergelijke analyse voor periodieke signalen, die theoretisch oneindig veel energie hebben, maar een eindig gemiddeld vermogen. In dit geval worden de ACF en CCF berekend door het gemiddelde te nemen over de periode en hebben ze de betekenis van het gemiddelde vermogen (respectievelijk eigen of wederzijds). De ACF van een periodiek signaal is dus:

, (2.66)

en de kruiscorrelatiefunctie van twee periodieke signalen met meerdere perioden:

, (2.67)

waar is de grootste waarde van de periode.

Laten we de autocorrelatiefunctie van het harmonische signaal vinden

waar is de cirkelvormige frequentie en is de beginfase.

Deze uitdrukking vervangen door (2.66) en de integraal berekenen met behulp van de bekende trigonometrische relatie:

Uit het beschouwde voorbeeld kunnen we de volgende conclusies trekken, die geldig zijn voor elk periodiek signaal.

1. De ACF van een periodiek signaal is een periodieke functie met dezelfde periode.

2. De ACF van een periodiek signaal is een even functie van het argument.

3. Wanneer de waarde het gemiddelde vermogen vertegenwoordigt dat vrijkomt bij een weerstand van 1 ohm en een afmeting heeft.

4. De ACF van een periodiek signaal bevat geen informatie over de beginfase van het signaal.

Er moet ook worden opgemerkt dat het correlatie-interval van een periodiek signaal.

Laten we nu de kruiscorrelatiefunctie berekenen van twee harmonische signalen met dezelfde frequentie, maar verschillend in amplitude en initiële fasen

En .

SIGNALEN En LINEAIR SYSTEMEN

Signalen en lineaire systemen. Correlatie van signalen

Onderwerp 6. SIGNAALCORRELATIE

Zowel extreme angst als extreme moed verstoren de maag en veroorzaken diarree.

Michel Montaigne. Franse jurist-denker, 16e eeuw.

Dit is het nummer! De twee functies hebben een 100% correlatie met de derde en zijn orthogonaal ten opzichte van elkaar. Welnu, de Almachtige maakte grappen tijdens de schepping van de wereld.

Anatoly Pysjmintsev. Geofysicus uit Novosibirsk van de Oeralschool, 20e eeuw.

1. Autocorrelatiefuncties van signalen. Het concept van autocorrelatiefuncties (ACF's). ACF van in de tijd beperkte signalen. ACF van periodieke signalen. Autocovariantiefuncties (ACF). ACF van discrete signalen. ACF van luidruchtige signalen. ACF van codesignalen.

2. Signaalkruiscorrelatiefuncties (CSF's). Kruiscorrelatiefunctie (CCF). Kruiscorrelatie van luidruchtige signalen. VCF van discrete signalen. Schatting van periodieke signalen in ruis. Functie van onderlinge correlatiecoëfficiënten.

3. Spectrale dichtheden van correlatiefuncties. Spectrale dichtheid van ACF. Signaalcorrelatie-interval. Spectrale dichtheid van VKF. Berekening van correlatiefuncties met behulp van FFT.

invoering

Correlatie, en het speciale geval voor gecentreerde signalen - covariantie, is een methode voor signaalanalyse. We presenteren een van de opties voor het gebruik van de methode. Laten we aannemen dat er een signaal s(t) is, dat wel (of niet) een reeks x(t) met eindige lengte T kan bevatten, waarvan de temporele positie ons interesseert. Om deze reeks te zoeken in een tijdvenster met lengte T dat langs het signaal s(t) glijdt, worden de scalaire producten van de signalen s(t) en x(t) berekend. We passen dus het gewenste signaal x(t) toe op het signaal s(t), glijdend langs zijn argument, en op basis van de waarde van het scalaire product schatten we de mate van gelijkenis van de signalen op de vergelijkingspunten.

Correlatieanalyse maakt het mogelijk om in signalen (of in reeksen digitale gegevens van signalen) de aanwezigheid vast te stellen van een bepaald verband tussen veranderingen in signaalwaarden op een onafhankelijke variabele, dat wil zeggen wanneer grote waarden van één signaal (relatief aan de gemiddelde signaalwaarden) worden geassocieerd met grote waarden van een ander signaal (positieve correlatie), of, omgekeerd, kleine waarden van het ene signaal worden geassocieerd met grote waarden van een ander signaal (negatieve correlatie), of de gegevens van twee signalen zijn op geen enkele manier gerelateerd (nulcorrelatie).

In de functionele ruimte van signalen kan deze mate van verbinding worden uitgedrukt in genormaliseerde eenheden van de correlatiecoëfficiënt, d.w.z. in de cosinus van de hoek tussen de signaalvectoren, en zal dienovereenkomstig waarden aannemen van 1 (volledige samenvallen van signalen) tot -1 (helemaal het tegenovergestelde) en is niet afhankelijk van de waarde (schaal) van meeteenheden.

In de autocorrelatieversie wordt een soortgelijke techniek gebruikt om het scalaire product van het signaal s(t) te bepalen, waarbij zijn eigen kopie langs het argument schuift. Met autocorrelatie kunt u de gemiddelde statistische afhankelijkheid van huidige signaalmonsters op hun vorige en volgende waarden schatten (de zogenaamde correlatieradius van signaalwaarden), en ook de aanwezigheid van periodiek herhalende elementen in het signaal identificeren.

Correlatiemethoden zijn van bijzonder belang bij de analyse van willekeurige processen om niet-willekeurige componenten te identificeren en de niet-willekeurige parameters van deze processen te evalueren.

Merk op dat er enige verwarring bestaat over de termen "correlatie" en "covariantie". In de wiskundige literatuur wordt de term 'covariantie' toegepast op gecentreerde functies, en 'correlatie' op willekeurige functies. In de technische literatuur, en vooral in de literatuur over signalen en methoden voor de verwerking ervan, wordt vaak precies de tegenovergestelde terminologie gebruikt. Dit is niet van fundamenteel belang, maar als u vertrouwd raakt met literaire bronnen, is het de moeite waard aandacht te besteden aan het geaccepteerde doel van deze termen.

6.1. Autocorrelatiefuncties van signalen.

Het concept van autocorrelatiefuncties van signalen . De autocorrelatiefunctie (CF - correlatiefunctie) van een signaal s(t), eindig in energie, is een kwantitatief integraal kenmerk van de signaalvorm en identificeert in het signaal de aard en parameters van de onderlinge temporele relatie van monsters, die altijd voorkomt voor periodieke signalen, evenals het interval en de mate van afhankelijkheid van de leeswaarden op huidige tijdstippen van de voorgeschiedenis van het huidige moment. De ACF wordt bepaald door de integraal van het product van twee kopieën van het signaal s(t), ten opzichte van elkaar verschoven op tijdstip t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cosj(t). (6.1.1)

Zoals uit deze uitdrukking volgt, is de ACF het scalaire product van het signaal en de kopie ervan functionele afhankelijkheid van de variabele verschuivingswaarde t. Dienovereenkomstig heeft de ACF de fysieke dimensie van energie, en op t = 0 is de waarde van de ACF direct gelijk aan de signaalenergie en is deze het maximaal mogelijke (de cosinus van de interactiehoek van het signaal met zichzelf is gelijk aan 1 ):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

ACF verwijst naar even functies, wat eenvoudig te verifiëren is door de variabele t = t-t in uitdrukking (6.1.1) te vervangen:

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

De maximale ACF, gelijk aan de signaalenergie op t=0, is altijd positief, en de ACF-module overschrijdt bij geen enkele waarde van de tijdverschuiving de signaalenergie. Dit laatste volgt rechtstreeks uit de eigenschappen van het scalaire product (net als de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 bij t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

omdat j(t)< 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

Als voorbeeld in afb. 6.1.1 toont twee signalen - een rechthoekige puls en een radiopuls van dezelfde duur T, en de vormen van hun ACF die overeenkomen met deze signalen. De amplitude van de radiopulsoscillaties wordt gelijkgesteld aan de amplitude van de rechthoekige puls, terwijl de signaalenergieën ook hetzelfde zullen zijn, wat wordt bevestigd door de gelijke waarden van de centrale maxima van de ACF. Voor eindige pulsduur zijn de ACF-duur ook eindig, en gelijk aan het dubbele van de pulsduur (wanneer een kopie van een eindige puls wordt verschoven met een interval van de duur ervan, zowel naar links als naar rechts, is het product van de puls met zijn kopie wordt gelijk aan nul). De frequentie van de oscillaties van de ACF van een radiopuls is gelijk aan de frequentie van de oscillaties van de vulling van de radiopuls (laterale minima en maxima van de ACF treden elke keer op met opeenvolgende verschuivingen van een kopie van de radiopuls met de helft van de periode van trillingen van de vulling).

Gegeven pariteit wordt een grafische weergave van de ACF meestal alleen uitgevoerd voor positieve waarden van t. In de praktijk worden signalen meestal gespecificeerd in het interval van positieve argumentwaarden van 0-T. Het +t-teken in uitdrukking (6.1.1) betekent dat naarmate de waarden van t toenemen, een kopie van het signaal s(t+t) naar links verschuift langs de t-as en verder gaat dan 0. Voor digitale signalen geldt dit vereist een overeenkomstige uitbreiding van de gegevens naar het gebied met negatieve argumentwaarden. En aangezien bij berekeningen het interval voor het specificeren van t doorgaans veel kleiner is dan het interval voor het specificeren van het signaal, is het praktischer om de kopie van het signaal naar links te verschuiven langs de argumentas, d.w.z. in plaats daarvan de functie s(t-t) te gebruiken. van s(t+t) in uitdrukking (6.1.1) ).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Voor eindige signalen neemt de tijdelijke overlap van het signaal met zijn kopie af naarmate de waarde van de verschuiving t toeneemt, en dienovereenkomstig neigt de cosinus van de interactiehoek en het scalaire product als geheel naar nul:

De ACF berekend uit de gecentreerde signaalwaarde s(t) is autocovariantie signaalfunctie:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

waarbij ms de gemiddelde signaalwaarde is. Covariantiefuncties zijn gerelateerd aan correlatiefuncties via een vrij eenvoudige relatie:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

ACF van in de tijd beperkte signalen. In de praktijk worden signalen die over een bepaald interval worden gegeven meestal bestudeerd en geanalyseerd. Om de ACF van signalen die op verschillende tijdsintervallen zijn gespecificeerd te vergelijken, praktische toepassing vindt een wijziging van de ACF, genormaliseerd op basis van de lengte van het interval. Dus bijvoorbeeld bij het specificeren van een signaal op het interval:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

De ACF kan ook worden berekend voor zwak gedempte signalen met oneindige energie, als de gemiddelde waarde van het scalaire product van het signaal en de kopie ervan wanneer het signaalinstelinterval naar oneindig neigt:

Bs(t) = . (6.1.4)

ACF heeft volgens deze uitdrukkingen een fysieke vermogensdimensie en is gelijk aan het gemiddelde wederzijdse vermogen van het signaal en zijn kopie, functioneel afhankelijk van de verschuiving van de kopie.

ACF van periodieke signalen. De energie van periodieke signalen is oneindig, daarom wordt de ACF van periodieke signalen berekend over één periode T, waarbij het scalaire product van het signaal en zijn verschoven kopie binnen de periode wordt gemiddeld:

Bs(t) = (1/T)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Een wiskundig strengere uitdrukking:

Bs(t) = .

Op t=0 is de waarde van de ACF, genormaliseerd naar de periode, gelijk aan het gemiddelde vermogen van de signalen binnen de periode. In dit geval is de ACF van periodieke signalen een periodieke functie met dezelfde periode T. Voor het signaal s(t) = A cos(w0t+j0) bij T=2p/w0 geldt dus:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Het verkregen resultaat is niet afhankelijk van de beginfase van het harmonische signaal, wat typisch is voor periodieke signalen en een van de eigenschappen van de ACF is. Met behulp van autocorrelatiefuncties kunt u in elk bestand controleren op periodieke eigenschappen willekeurige signalen. Een voorbeeld van de autocorrelatiefunctie van een periodiek signaal wordt getoond in Fig. 6.1.2.

Autocovariantiefuncties (ACF) worden op dezelfde manier berekend, met behulp van gecentreerde signaalwaarden. Een opmerkelijk kenmerk van deze functies is hun eenvoudige relatie met de spreiding ss2 van signalen (het kwadraat van de standaard - de standaardafwijking van de signaalwaarden van de gemiddelde waarde). Zoals bekend is de spreidingswaarde gelijk aan het gemiddelde signaalvermogen, dat volgt:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

FAC-waarden genormaliseerd naar de variantiewaarde zijn een functie van autocorrelatiecoëfficiënten:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Deze functie wordt ook wel de "echte" autocorrelatiefunctie genoemd. Vanwege normalisatie zijn de waarden ervan niet afhankelijk van de eenheden (schaal) van representatie van signaalwaarden s(t) en karakteriseren ze de mate van lineaire relatie tussen signaalwaarden, afhankelijk van de grootte van de verschuiving t tussen signaal monsters. De waarden van rs(t) º cos j(t) kunnen variëren van 1 (volledige directe correlatie van metingen) tot -1 (inverse correlatie).

In afb. 6.1.3 toont een voorbeeld van signalen s(k) en s1(k) = s(k)+ruis met de FAK-coëfficiënten die overeenkomen met deze signalen - rs en rs1. Zoals te zien is in de grafieken, onthulde FAK vol vertrouwen de aanwezigheid van periodieke oscillaties in de signalen. De ruis in het signaal s1(k) verminderde de amplitude van de periodieke oscillaties zonder de periode te veranderen. Dit wordt bevestigd door de grafiek van de Cs/ss1-curve, d.w.z. de FAC van het signaal s(k) met normalisatie (ter vergelijking) naar de waarde van de signaalspreiding s1(k), waar duidelijk te zien is dat ruispulsen , met volledige statistische onafhankelijkheid van hun metingen, veroorzaakte een toename van de waarde Cs1(0) in verhouding tot de waarde van Cs(0) en enigszins “vervaagde” de functie van de autocovariantiecoëfficiënten. Dit komt door het feit dat de waarde van rs(t) van ruissignalen neigt naar 1 bij t ® 0 en rond nul schommelt bij t ≠ 0, terwijl de fluctuatieamplitudes statistisch onafhankelijk zijn en afhankelijk zijn van het aantal signaalmonsters (ze neigen naar nul naarmate het aantal monsters toeneemt).

ACF van discrete signalen. Wanneer het gegevensbemonsteringsinterval Dt = const is, wordt de ACF-berekening uitgevoerd over de intervallen Dt = Dt en wordt deze gewoonlijk geschreven als een discrete functie van de getallen n van de bemonsteringsverschuiving nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Discrete signalen worden meestal gespecificeerd in het formulier numerieke arrays van een bepaalde lengte met nummering van monsters k = 0,1,...K bij Dt=1, en de berekening van discrete ACF in energie-eenheden wordt uitgevoerd in een eenzijdige versie, rekening houdend met de lengte van de arrays. Als de gehele signaalarray wordt gebruikt en het aantal ACF-samples gelijk is aan het aantal array-samples, wordt de berekening uitgevoerd volgens de formule:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

De K/(K-n)-vermenigvuldiger in deze functie is een correctiefactor voor geleidelijke afname het aantal vermenigvuldigde en opgetelde waarden naarmate de verschuiving n toeneemt. Zonder deze correctie voor niet-gecentreerde signalen verschijnt er een trend van optelling van gemiddelde waarden in de ACF-waarden. Bij metingen in eenheden van signaalvermogen wordt de vermenigvuldiger K/(K-n) vervangen door de vermenigvuldiger 1/(K-n).

Formule (6.1.10) wordt vrij zelden gebruikt, voornamelijk voor deterministische signalen met een klein aantal monsters. Voor willekeurige signalen en signalen met ruis leidt een afname van de noemer (K-n) en het aantal vermenigvuldigde monsters naarmate de verschuiving toeneemt, tot een toename van statistische fluctuaties in de ACF-berekening. Een grotere betrouwbaarheid onder deze omstandigheden wordt verkregen door de ACF in eenheden signaalvermogen te berekenen met behulp van de formule:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 bij k-n< 0, (6.1.11)

d.w.z. met normalisatie naar een constante factor 1/K en met het signaal uitgebreid met nulwaarden (in linkerkant bij verschuivingen k-n of binnen rechterkant bij gebruik van k+n-verschuivingen). Deze schatting is vertekend en heeft een iets kleinere spreiding dan volgens formule (6.1.10). Het verschil tussen normalisaties volgens formules (6.1.10) en (6.1.11) is duidelijk te zien in Fig. 6.1.4.

Formule (6.1.11) kan worden beschouwd als het middelen van de som van producten, dat wil zeggen als een schatting van de wiskundige verwachting:

Bs(n) = M(sk sk-n) @ . (6.1.12)

In de praktijk heeft discrete ACF dezelfde eigenschappen als continue ACF. Het is ook even, en de waarde ervan bij n = 0 is gelijk aan de energie of het vermogen van het discrete signaal, afhankelijk van de normalisatie.

ACF van luidruchtige signalen . Het signaal met ruis wordt geschreven als de som v(k) = s(k)+q(k). Over het algemeen hoeft ruis geen gemiddelde waarde van nul te hebben, en de vermogensgenormaliseerde autocorrelatiefunctie digitaal signaal, met N – monsters, wordt in de volgende vorm geschreven:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ ] =

Bs(n) + M(sk qk-n) + M(qk sk-n) + M(qk qk-n).

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

Met statistische onafhankelijkheid van het bruikbare signaal s(k) en ruis q(k), rekening houdend met de uitbreiding van de wiskundige verwachting

M(sk qk-n) = M(sk) M(qk-n) =

de volgende formule kan worden gebruikt:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Een voorbeeld van een signaal met ruis en zijn ACF in vergelijking met een signaal zonder ruis wordt getoond in Fig. 6.1.5.

Uit formules (6.1.13) volgt dat de ACF van een signaal met ruis bestaat uit de ACF van de signaalcomponent van het nuttige signaal met een gesuperponeerde ruisfunctie die vervalt naar een waarde van 2+. Voor grote waarden van K, wanneer → 0, Bv(n) »Bs(n). Dit maakt het niet alleen mogelijk om periodieke signalen van de ACF te identificeren die vrijwel volledig verborgen zijn in de ruis (het ruisvermogen is veel groter dan het signaalvermogen), maar ook hoge nauwkeurigheid bepaal hun periode en vorm binnen de periode, en voor harmonische signalen met één frequentie - hun amplitude met behulp van uitdrukking (6.1.6).

	Barker-signaal	ACF van signaal





	1, 1, 1, -1, -1, 1, -1	7, 0, -1, 0, -1, 0, -1
	1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1	11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1
	1,1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1	13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1

Codeer signalen zijn een soort discrete signalen. Op een bepaald codewoordinterval M×Dt kunnen ze er slechts twee hebben amplitude waarden: 0 en 1 of 1 en –1. Bij het identificeren van codes bij een aanzienlijk ruisniveau is de vorm van de ACF van het codewoord van bijzonder belang. Vanuit dit oogpunt zijn de beste codes de codes waarvan de ACF-zijlobwaarden minimaal zijn over de gehele lengte van het codewoordinterval bij maximale waarde centrale piek. Dergelijke codes omvatten de Barker-code die wordt weergegeven in Tabel 6.1. Zoals uit de tabel blijkt, is de amplitude van de centrale piek van de code numeriek gelijk aan de waarde van M, terwijl de amplitude van de laterale oscillaties bij n ¹ 0 niet groter is dan 1.

6.2. Kruiscorrelatiefuncties van signalen.

Kruiscorrelatiefunctie (CCF) van verschillende signalen (kruiscorrelatiefunctie, CCF) beschrijft zowel de mate van gelijkenis in de vorm van twee signalen als hun relatieve positie ten opzichte van elkaar langs de coördinaat (onafhankelijke variabele). Generaliseren van formule (6.1.1) van de autocorrelatiefunctie in twee ander signaal s(t) en u(t), verkrijgen we het volgende scalaire product van de signalen:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Kruiscorrelatie van signalen karakteriseert een bepaalde correlatie van verschijnselen en fysieke processen die door deze signalen worden weerspiegeld, en kan dienen als maatstaf voor de “stabiliteit” van deze relatie wanneer signalen afzonderlijk in verschillende apparaten worden verwerkt. Voor signalen met eindige energie is de VCF ook eindig, en:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

die volgt uit de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid en de onafhankelijkheid van de signaalnormen van de coördinatenverschuiving.

Wanneer we de variabele t = t-t in formule (6.2.1) vervangen, verkrijgen we:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Hieruit volgt dat aan de pariteitsvoorwaarde, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), niet is voldaan voor de CCF, en dat de CCF-waarden geen maximum hoeven te hebben op t = 0.

Dit is duidelijk te zien in Fig. 6.2.1, waar twee identieke signalen worden gegeven met middelpunten op de punten 0,5 en 1,5. Berekening met formule (6.2.1) met een geleidelijke toename van t-waarden betekent opeenvolgende verschuivingen van het signaal s2(t) naar links langs de tijdas (voor elke waarde van s1(t), de waarden s2( t+t) worden genomen voor integrandvermenigvuldiging). Op t=0 zijn de signalen orthogonaal en de waarde van B12(t)=0. Het maximum B12(t) wordt waargenomen wanneer het signaal s2(t) met de waarde t=1 naar links wordt verschoven, waarbij de signalen s1(t) en s2(t+t) volledig worden gecombineerd.

Dezelfde waarden van de CCF volgens formules (6.2.1) en (6.2.1") worden waargenomen op dezelfde relatieve positie van de signalen: wanneer het signaal u(t) wordt verschoven met een interval t ten opzichte van s (t) naar rechts langs de ordinaat en signaal s(t) ten opzichte van signaal u(t) naar links, d.w.z. Bsu(t) = Bus(-t).

In afb. 6.2.2 toont voorbeelden van CCF voor een rechthoekig signaal s(t) en twee identieke driehoekige signalen u(t) en v(t). Alle signalen hebben dezelfde duur T, terwijl het signaal v(t) over het interval T/2 naar voren wordt geschoven.

De signalen s(t) en u(t) zijn qua tijdslocatie identiek en het “overlap”-gebied van de signalen is maximaal op t=0, wat wordt vastgelegd door de Bsu-functie. Tegelijkertijd is de Bsu-functie sterk asymmetrisch, omdat bij een asymmetrische signaalvorm u(t) voor een symmetrische vorm s(t) (ten opzichte van het midden van de signalen) het “overlap”-gebied van de signalen verandert anders afhankelijk van de richting van de verschuiving (het teken van t naarmate de waarde van t toeneemt vanaf nul). Wanneer gecompenseerd uitgangspositie signaal u(t) naar links langs de ordinaat (vóór signaal s(t) - signaal v(t)), de vorm van de CCF blijft ongewijzigd en verschuift naar rechts met dezelfde verschuivingswaarde - functie Bsv in afb. 6.2.2. Als we de functie-expressies in (6.2.1) omwisselen, dan nieuwe functie Bvs zal een functie Bsv zijn, gespiegeld ten opzichte van t=0.

Rekening houdend met deze kenmerken wordt de totale CCF in de regel afzonderlijk berekend voor positieve en negatieve vertragingen:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6,2,1")

Kruiscorrelatie van luidruchtige signalen . Voor twee signalen met ruis u(t) = s1(t)+q1(t) en v(t) = s2(t)+q2(t), met behulp van de techniek van het afleiden van formules (6.1.13) met vervanging van de kopie van het signaal s(t ) met het signaal s2(t), is het eenvoudig om de kruiscorrelatieformule in de volgende vorm af te leiden:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

De laatste drie termen aan de rechterkant van (6.2.2) vervallen naar nul naarmate t toeneemt. Voor grote signaalinstelintervallen kan de uitdrukking in de volgende vorm worden geschreven:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

Bij nulgemiddelde ruiswaarden en statistische onafhankelijkheid van signalen gebeurt het volgende:

Buv(t) → Bs1s2(t).

VCF van discrete signalen. Alle eigendommen van VKF analoge signalen zijn ook geldig voor de CCF van discrete signalen, terwijl de kenmerken van discrete signalen die hierboven zijn beschreven voor discrete ACF ook daarvoor gelden (formules 6.1.9-6.1.12). In het bijzonder, met Dt = const =1 voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

Wanneer genormaliseerd in krachteenheden:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Schatting van periodieke signalen in ruis . Een signaal met ruis kan worden geschat door kruiscorrelatie met het “referentie”-signaal met behulp van vallen en opstaan, waarbij de kruiscorrelatiefunctie op de maximale waarde wordt aangepast.

Voor een signaal u(k)=s(k)+q(k) met statistische onafhankelijkheid van ruis en → 0, de kruiscorrelatiefunctie (6.2.2) met het signaalpatroon p(k) met q2(k)= 0 heeft de vorm:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

En aangezien → 0 naarmate N toeneemt, dan Bup(k) → Bsp(k). Het is duidelijk dat de functie Bup(k) een maximum zal hebben als p(k) = s(k). Door de vorm van het sjabloon p(k) te veranderen en de functie Bup(k) te maximaliseren, kunnen we een schatting van s(k) verkrijgen in de vorm van de optimale vorm p(k).

Kruiscorrelatiecoëfficiëntfunctie (VKF) is een kwantitatieve indicator van de mate van gelijkenis van de signalen s(t) en u(t). Vergelijkbaar met de functie van autocorrelatiecoëfficiënten, wordt deze berekend via de gecentreerde waarden van de functies (om de kruiscovariantie te berekenen is het voldoende om slechts één van de functies te centreren), en wordt deze genormaliseerd naar het product van de waarden van de standaardfuncties s(t) en v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Het interval voor het wijzigen van de waarden van correlatiecoëfficiënten met verschuivingen t kan variëren van –1 (volledige omgekeerde correlatie) tot 1 (volledige gelijkenis of honderd procent correlatie). Bij verschuivingen t waarbij nulwaarden van rsu(t) worden waargenomen, zijn de signalen onafhankelijk van elkaar (ongecorreleerd). Met de kruiscorrelatiecoëfficiënt kunt u de aanwezigheid van een verband tussen signalen vaststellen, ongeacht de fysieke eigenschappen van de signalen en hun grootte.

Bij het berekenen van de CCF van discrete signalen met ruis van beperkte lengte met behulp van formule (6.2.4), is er een kans op het optreden van waarden |rsu(n)| > 1.

Voor periodieke signalen wordt het concept van CCF meestal niet toegepast, behalve voor signalen met dezelfde periode, bijvoorbeeld ingangs- en uitgangssignalen bij het bestuderen van de kenmerken van systemen.

6.3. Spectrale dichtheden van correlatiefuncties.

ACF spectrale dichtheid kan worden bepaald op basis van de volgende eenvoudige overwegingen.

In overeenstemming met uitdrukking (6.1.1) is de ACF een functie van het scalaire product van het signaal en zijn kopie, verschoven over het interval t, op -¥< t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Het puntproduct kan worden gedefinieerd in termen van de spectrale dichtheden van het signaal en zijn kopieën, waarvan het product de wederzijdse spectrale vermogensdichtheid is:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

De verplaatsing van het signaal langs de abscis-as over interval t wordt in de spectrale weergave weergegeven door het signaalspectrum te vermenigvuldigen met exp(-jwt), en voor het geconjugeerde spectrum met de factor exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

Hiermee rekening houdend krijgen we:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Maar de laatste uitdrukking is omgekeerde conversie Fourier-energiespectrum van het signaal (spectrale energiedichtheid). Bijgevolg zijn het energiespectrum van het signaal en zijn autocorrelatiefunctie gerelateerd door de Fourier-transformatie:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

De spectrale dichtheid van de ACF is dus niets meer dan de spectrale vermogensdichtheid van het signaal, die op zijn beurt kan worden bepaald door de directe Fourier-transformatie via de ACF:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Deze laatste uitdrukking legt bepaalde beperkingen op aan de vorm van ACF en de methode om de duur ervan te beperken.

Rijst. 6.3.1. Spectrum van een niet-bestaande ACF

Het energiespectrum van signalen is altijd positief; het signaalvermogen kan niet negatief zijn. Bijgevolg kan de ACF niet de vorm hebben van een rechthoekige puls, aangezien de Fourier-transformatie van een rechthoekige puls een wisselende integrale sinus is. Er mogen geen discontinuïteiten van de eerste soort (sprongen) op de ACF voorkomen, aangezien, rekening houdend met de pariteit van de ACF, elke symmetrische sprong langs de ±t-coördinaat een "scheiding" van de ACF in de som van een bepaalde continue functie genereert. en een rechthoekige puls met een duur van 2t met de overeenkomstige verschijning van negatieve waarden in het energiespectrum Een voorbeeld van dit laatste is te zien in Fig. 6.3.1 (grafieken van functies worden, zoals gebruikelijk voor even functies, alleen met hun rechterkant weergegeven).

ACF's met voldoende uitgebreide signalen zijn doorgaans beperkt in omvang (beperkte datacorrelatie-intervallen van –T/2 tot T/2 worden bestudeerd). Afknotting van de ACF is echter de vermenigvuldiging van de ACF met een rechthoekige selectiepuls met duur T, die in het frequentiedomein wordt gereflecteerd door convolutie van het feitelijke vermogensspectrum met een alternerende integrale sinusfunctie sinc(wT/2). Enerzijds zorgt dit voor een zekere afvlakking van het vermogensspectrum, wat bijvoorbeeld vaak handig is bij het bestuderen van signalen met een aanzienlijk ruisniveau. Maar aan de andere kant kan een aanzienlijke onderschatting van de omvang van energiepieken optreden als het signaal harmonische componenten bevat, evenals het optreden van negatieve vermogenswaarden aan de rand van pieken en sprongen. Een voorbeeld van de manifestatie van deze factoren wordt getoond in Fig. 6.3.2.

Rijst. 6.3.2. Berekening van het energiespectrum van een signaal met behulp van ACF's van verschillende lengtes.

Zoals bekend hebben signaalvermogenspectra geen fasekarakteristiek en is het onmogelijk om hieruit signalen te reconstrueren. Bijgevolg heeft de ACF van signalen, als tijdelijke representatie van vermogensspectra, ook geen informatie over de fasekarakteristieken van de signalen en is reconstructie van signalen met behulp van de ACF onmogelijk. Signalen met dezelfde vorm, verschoven in de tijd, hebben dezelfde ACF. Bovendien kunnen signalen met verschillende vormen vergelijkbare ACF's hebben als ze vergelijkbare vermogensspectra hebben.

Laten we vergelijking (6.3.1) in de volgende vorm herschrijven

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

en vervang de waarde t=0 in deze uitdrukking. De resulterende gelijkheid is bekend en wordt genoemd Parsevals gelijkheid

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Hiermee kunt u de signaalenergie berekenen, zowel in het tijd- als in het frequentiedomein van de signaalbeschrijving.

Signaalcorrelatie-interval is een numerieke parameter voor het beoordelen van de breedte van de ACF en de mate van significante correlatie van signaalwaarden per argument.

Als we aannemen dat het signaal s(t) een ongeveer uniform energiespectrum heeft met een waarde van W0 en met een bovengrensfrequentie tot wв (de vorm van een gecentreerde rechthoekige puls, zoals signaal 1 in figuur 6.3.3 met fв = 50 Hz in eenzijdige weergave), dan wordt de ACF van het signaal bepaald door de uitdrukking:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

Het signaalcorrelatie-interval tk wordt beschouwd als de breedte van de centrale piek van de ACF vanaf het maximum tot het eerste snijpunt van de nullijn. IN in dit geval voor een rechthoekig spectrum met een bovengrensfrequentie wв komt de eerste nuldoorgang overeen met sinc(wвt) = 0 bij wвt = p, waaruit:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Hoe hoger de bovengrensfrequentie van het signaalspectrum, hoe kleiner het correlatie-interval. Voor signalen met een vloeiende afsnijding bij de bovengrensfrequentie wordt de rol van de parameter wв gespeeld door de gemiddelde spectrumbreedte (signaal 2 in figuur 6.3.3).

De spectrale vermogensdichtheid van statistische ruis bij een enkele meting is een willekeurige functie Wq(w) met gemiddelde waarde Wq(w) Þ sq2, waarbij sq2 de ruisvariantie is. In de limiet, met een uniforme spectrale verdeling van ruis van 0 tot ¥, neigt de ruis ACF naar de waarde Bq(t) Þ sq2 op t Þ 0, Bq(t) Þ 0 op t ¹ 0, d.w.z. statistische ruis is dat niet. gecorreleerd (tk Þ 0).

Praktische berekeningen van de ACF van eindige signalen zijn meestal beperkt tot het schuifinterval t = (0, (3-5)tk), waarin in de regel de belangrijkste informatie over de autocorrelatie van signalen geconcentreerd is.

Spectrale dichtheid VKF kan worden verkregen op basis van dezelfde overwegingen als voor AFC, of rechtstreeks uit formule (6.3.1) door de spectrale dichtheid van het signaal S(w) te vervangen door de spectrale dichtheid van het tweede signaal U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Of, bij het wijzigen van de volgorde van de signalen:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6,3,5")

Het product S*(w)U(w) representeert het onderlinge energiespectrum Wsu(w) van de signalen s(t) en u(t). Dienovereenkomstig is U*(w)S(w) = Wus(w). Daarom zijn, net als de ACF, de kruiscorrelatiefunctie en de spectrale dichtheid van het wederzijdse vermogen van de signalen aan elkaar gerelateerd door Fourier-transformaties:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6,3,6")

In het algemene geval, met uitzondering van de spectra van even functies, volgt uit de voorwaarde van niet-naleving van de pariteit voor de CCF-functies dat de wederzijdse energiespectra complexe functies zijn:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

In afb. 6.3.4 Je kunt duidelijk de kenmerken van de vorming van de CCF zien aan de hand van het voorbeeld van twee signalen met dezelfde vorm, verschoven ten opzichte van elkaar.

Rijst. 6.3.4. Oprichting van de VKF.

De vorm van de signalen en hun relatieve positie worden weergegeven in formulier A. De module en argumentatie van het spectrum van het signaal s(t) worden weergegeven in formulier B. De spectrummodule u(t) is identiek aan de module S(w ). Hetzelfde aanzicht toont de modulus van het wederzijdse signaalvermogensspectrum S(w)U*(w). Zoals bekend wordt, worden bij het vermenigvuldigen van complexe spectra de moduli van de spectra vermenigvuldigd en worden de fasehoeken opgeteld, terwijl voor het geconjugeerde spectrum U*(w) de fasehoek van teken verandert. Als het eerste signaal in de formule voor het berekenen van de CCF (6.2.1) het signaal s(t) is, en het signaal u(t-t) op de ordinaat vóór s(t) ligt, dan zijn de fasehoeken S(w ) stijgen naar negatieve waarden naarmate de frequentie de hoeken vergroot (zonder rekening te houden met de periodieke reset van waarden met 2p), en de fasehoeken U*(w) in absolute waarden kleiner zijn dan de fasehoeken s( t) en toenemen (als gevolg van conjugatie) naar positieve waarden. Het resultaat van het vermenigvuldigen van de spectra (zoals te zien is in figuur 6.3.4, aanzicht C) is het aftrekken van de hoekwaarden U*(w) van de fasehoeken S(w), terwijl de fasehoeken van de spectrum S(w)U*(w) blijft in het gebied van negatieve waarden, wat zorgt voor een verschuiving van de gehele CCF-functie (en de piekwaarden ervan) naar rechts vanaf nul langs de t-as met een bepaalde hoeveelheid (voor identieke signalen - door de hoeveelheid verschil tussen de signalen langs de ordinaat). Wanneer gecompenseerd initiële positie signaal u(t) richting het signaal s(t), nemen de fasehoeken S(w)U*(w) af, in de limiet tot nulwaarden met volledige uitlijning van de signalen, terwijl de functie Bsu(t) verschuift richting nul waarden t, in de limiet vóór conversie naar ACF (voor identieke signalen s(t) en u(t)).

Zoals bekend is voor deterministische signalen, zijn dergelijke signalen orthogonaal ten opzichte van elkaar als de spectra van twee signalen elkaar niet overlappen en dienovereenkomstig de wederzijdse energie van de signalen nul is. Het verband tussen energiespectra en correlatiefuncties van signalen laat een andere kant van de interactie van signalen zien. Als de spectra van de signalen elkaar niet overlappen en hun wederzijdse energiespectrum bij alle frequenties nul is, dan is voor elke tijdsverschuiving t ten opzichte van elkaar hun CCF ook nul. Dit betekent dat dergelijke signalen niet gecorreleerd zijn. Dit geldt voor zowel deterministische als willekeurige signalen en processen.

Correlatiefuncties berekenen met FFT is, vooral voor lang nummerreeks, tientallen en honderden keren meer snelle methode dan door opeenvolgende verschuivingen in het tijdsdomein met grote correlatie-intervallen. De essentie van de methode volgt uit formules (6.3.2) voor de ACF en (6.3.6) voor de VCF. Gezien het feit dat de ACF kan worden beschouwd als een speciaal geval van de CCF voor hetzelfde signaal, zullen we het berekeningsproces overwegen met behulp van het voorbeeld van de CCF voor signalen x(k) en y(k) met het aantal monsters K. omvat:

1. Berekening van de FFT-spectra van de signalen x(k) → X(k) en y(k) → Y(k). Bij verschillende aantallen monsters wordt de kortere rij opgevuld met nullen ter grootte van de grotere rij.

2. Berekening van vermogensdichtheidsspectra Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Inverse FFT Wxy(k) → Bxy(k).

Laten we enkele kenmerken van de methode noteren.

Inverse FFT berekent, zoals bekend, de cyclische convolutie van functies x(k) ③ y(k). Als het aantal functiemonsters gelijk is aan K, is het aantal complexe monsters van functiespectra ook gelijk aan K, evenals het aantal monsters van hun product Wxy(k). Dienovereenkomstig is het aantal monsters Bxy(k) tijdens de inverse FFT ook gelijk aan K en wordt het cyclisch herhaald met een periode gelijk aan K. Ondertussen, met lineaire convolutie van volledige reeksen signalen volgens formule (6.2.5), wordt de De grootte van slechts de helft van de ICF is K punten, en de volledige dubbelzijdige grootte is 2K punten. Bijgevolg zullen bij de inverse FFT, rekening houdend met de cycliciteit van de convolutie, de zijperioden ervan over de hoofdperiode van de CCF worden gesuperponeerd, zoals bij de gebruikelijke cyclische convolutie van twee functies.

In afb. 6.3.5 toont een voorbeeld van twee signalen en de VCF-waarden berekend door lineaire convolutie (B1xy) en cyclische convolutie via FFT (B2xy). Om het effect van overlappende zijperioden te elimineren, is het noodzakelijk om de signalen binnen de limiet aan te vullen met nullen, tot een verdubbeling van het aantal samples, terwijl het FFT-resultaat (B3xy-grafiek in figuur 6.3.5) het resultaat van lineaire metingen volledig herhaalt. convolutie (rekening houdend met normalisatie voor een toename van het aantal monsters).

In de praktijk hangt het aantal signaaluitbreidingsnullen af van de aard van de correlatiefunctie. Er wordt gewoonlijk aangenomen dat het minimum aantal nullen gelijk is aan het significante informatiegedeelte van de functies, dat wil zeggen ongeveer (3-5) correlatie-intervallen.

literatuur

1. Baskakov-circuits en signalen: leerboek voor universiteiten. - M.: Hogere school, 1988.

19. Otnes R., Enokson L. Toegepaste tijdreeksanalyse. – M.: Mir, 1982. – 428 p.

25. Sergienko-signaalverwerking. / Leerboek voor universiteiten. – Sint-Petersburg: Peter, 203. – 608 p.

33. Ayficher E., Jervis B. Digitale signaalverwerking. Praktische aanpak. / M., "Williams", 2004, 992 p.

Over opgemerkte typefouten, fouten en suggesties voor aanvullingen: *****@***ru.

In de vroege stadia van de ontwikkeling van radiotechniek was de kwestie van kiezen een kwestie van kiezen beste signalen voor bepaalde specifieke toepassingen was niet erg scherp. Dit was enerzijds te danken aan de relatief eenvoudige structuur van de verzonden berichten (telegraafpakketten, radio-uitzendingen); anderzijds, praktische uitvoering signalen van complexe vormen in combinatie met apparatuur om deze te coderen, moduleren en weer om te zetten in een boodschap bleken lastig te implementeren.

Momenteel is de situatie radicaal veranderd. In moderne radio-elektronische systemen wordt de keuze van signalen in de eerste plaats niet bepaald door het technische gemak van het genereren, converteren en ontvangen ervan, maar door de mogelijkheid optimale oplossing taken die zijn voorzien bij het ontwerpen van het systeem. Om te begrijpen hoe de behoefte aan signalen met speciaal geselecteerde eigenschappen ontstaat, kunt u het volgende voorbeeld overwegen.

Vergelijking van tijdverschoven signalen.

Laten we eens kijken naar het vereenvoudigde idee van de werking van een pulsradar, ontworpen om de afstand tot een nummer te meten. Hier is informatie over het meetobject vervat in de waarde: de tijdsvertraging tussen het sonderen en ontvangen signalen. De vormen van de indringende en ontvangen signalen zijn voor elke vertraging hetzelfde.

Het blokschema van een radarsignaalverwerkingsapparaat bedoeld voor afstandsmeting kan er uitzien zoals weergegeven in figuur 2. 3.3.

Het systeem bestaat uit een reeks elementen die de ‘referentie’ vertragen verzonden signaal voor een aantal vaste perioden

Rijst. 3.3. Apparaat voor het meten van de signaalvertragingstijd

De vertraagde signalen worden samen met het ontvangen signaal naar vergelijkingsapparaten gevoerd, die volgens het principe werken: het uitgangssignaal verschijnt alleen als beide ingangsoscillaties “kopieën” van elkaar zijn. Als u het nummer kent van het kanaal waarin de gespecificeerde gebeurtenis plaatsvindt, kunt u de vertraging meten, en daarmee het bereik tot het doel.

Zo'n apparaat zal des te nauwkeuriger werken, hoe meer het signaal en de "kopie", verschoven in de tijd, van elkaar verschillen.

Zo hebben we een kwalitatief ‘idee’ gekregen van welke signalen als ‘goed’ kunnen worden beschouwd voor een bepaalde toepassing.

Laten we verder gaan met de exacte wiskundige formulering van het gestelde probleem en laten zien dat deze reeks problemen rechtstreeks verband houdt met de theorie van de energiespectra van signalen.

Autocorrelatiefunctie van het signaal.

Om de mate van verschil tussen een signaal en zijn in de tijd verschoven kopie te kwantificeren, is het gebruikelijk om een autocorrelatiefunctie (ACF) van het signaal te introduceren die gelijk is aan het scalaire product van het signaal en de kopie:

In wat volgt zullen we aannemen dat het onderzochte signaal een gepulseerd karakter heeft, gelokaliseerd in de tijd, zodat er zeker een integraal van de vorm (3.15) bestaat.

Het is meteen duidelijk dat wanneer de autocorrelatiefunctie gelijk wordt aan de signaalenergie:

Een van de eenvoudigste eigenschappen van een ACF is de pariteit:

Als we variabelen in de integraal (3.15) veranderen, dan

Tenslotte is een belangrijke eigenschap van de autocorrelatiefunctie de volgende: voor elke waarde van de tijdverschuiving overschrijdt de ACF-modulus de signaalenergie niet:

Dit feit volgt rechtstreeks uit de Cauchy-Bunyakovsky-ongelijkheid (zie hoofdstuk 1):

De ACF wordt dus weergegeven door een symmetrische curve met een centraal maximum, dat altijd positief is. Bovendien kan de autocorrelatiefunctie, afhankelijk van het type signaal, een monotoon afnemend of oscillerend karakter hebben.

Voorbeeld 3.3. Zoek de ACF van een rechthoekige videopuls.

In afb. 3.4a toont een rechthoekige videopuls met amplitude U en duur. De “kopie” ervan wordt hier ook weergegeven, in de tijd verschoven in de richting van de vertraging met . Integraal (3.15) wordt in dit geval eenvoudigweg berekend op basis van een grafische constructie. Het product en en is alleen niet nul binnen het tijdsinterval waarin signalen elkaar overlappen. Vanaf afb. 3.4 is duidelijk dat dit tijdsinterval gelijk is als de verschuiving de pulsduur niet overschrijdt. Dus voor het signaal in kwestie

De grafiek van een dergelijke functie is de driehoek in figuur 1. 3.4, b. De breedte van de basis van de driehoek is tweemaal de duur van de puls.

Rijst. 3.4. Het vinden van de ACF van een rechthoekige videopuls

Voorbeeld 3.4. Zoek de ACF van een rechthoekige radiopuls.

We zullen een radiosignaal van de vorm overwegen

Omdat we van tevoren weten dat de ACF even is, berekenen we de integraal (3,15), instelling . Tegelijkertijd

waar we makkelijk komen

Uiteraard wanneer de waarde gelijk wordt aan de energie van deze puls (zie voorbeeld 1.9). Formule (3.21) beschrijft de ACF van een rechthoekige radiopuls voor alle diensten die binnen If liggen absolute waarde Als de verschuiving de pulsduur overschrijdt, verdwijnt de autocorrelatiefunctie op dezelfde manier.

Voorbeeld 3.5. Bepaal de ACF van een reeks rechthoekige videopulsen.

Bij radar worden op grote schaal signalen gebruikt, dit zijn pakketten pulsen van dezelfde vorm die elkaar met hetzelfde tijdsinterval volgen. Om een dergelijke burst te detecteren en om de parameters ervan te meten, bijvoorbeeld de positie in de tijd, worden apparaten gemaakt die hardware-algoritmen implementeren voor het berekenen van de ACF.

Rijst. 3.5. ACF van een pakket van drie identieke videopulsen: a - pakket pulsen; b - ACF-grafiek

In afb. 3.5c toont een pakket bestaande uit drie identieke rechthoekige videopulsen. De autocorrelatiefunctie ervan, berekend met formule (3.15), wordt hier ook weergegeven (Fig. 3.5, b).

Het is duidelijk te zien dat de maximale ACF wordt bereikt bij. Als de vertraging echter een veelvoud is van de sequentieperiode (in ons geval), worden zijlobben van de ACF waargenomen, vergelijkbaar in hoogte met de hoofdlob. Daarom kunnen we praten over een zekere imperfectie van de correlatiestructuur van dit signaal.

Autocorrelatiefunctie van een oneindig uitgebreid signaal.

Als het nodig is om periodieke reeksen van onbeperkte tijdsduur te overwegen, moet de benadering voor het bestuderen van de correlatie-eigenschappen van signalen enigszins worden aangepast.

We zullen aannemen dat een dergelijke reeks wordt verkregen uit een tijdgelokaliseerd, dat wil zeggen gepulseerd signaal, wanneer de duur van dit laatste naar oneindig neigt. Om divergentie van de resulterende uitdrukkingen te voorkomen, definiëren we de ionische ACF als de gemiddelde waarde van het scalaire product van het signaal en zijn kopie:

Met deze benadering wordt de autocorrelatiefunctie gelijk aan het gemiddelde wederzijdse vermogen van deze twee signalen.

Als u bijvoorbeeld de ACF wilt vinden voor een cosinusgolf met een onbeperkte tijdsduur, kunt u formule (3.21) gebruiken die is verkregen voor een radiopuls met een duur en vervolgens naar de limiet gaan wanneer u rekening houdt met definitie (3.22). Als resultaat krijgen we

Deze ACF is zelf een periodieke functie; de waarde ervan is gelijk aan

Relatie tussen het energiespectrum van een signaal en zijn autocorrelatiefunctie.

Bij het bestuderen van het materiaal in dit hoofdstuk zou de lezer kunnen denken dat de methoden voor correlatieanalyse fungeren als speciale technieken die geen verband houden met de principes van spectrale decomposities. Dit is echter niet waar. Het is gemakkelijk aan te tonen dat er een nauw verband bestaat tussen de ACF en het energiespectrum van het signaal.

In overeenstemming met formule (3.15) is de ACF inderdaad een scalair product: hier geeft het symbool een in de tijd verschoven kopie van het signaal aan, en

Als we ons wenden tot de gegeneraliseerde Rayleigh-formule (2.42), kunnen we de gelijkheid schrijven

Spectrale dichtheid van in de tijd verschoven signaal

Zo komen we tot het resultaat:

Het kwadraat van de spectrale dichtheidsmodulus vertegenwoordigt, zoals bekend, het energiespectrum van het signaal. Het energiespectrum en de autocorrelatiefunctie zijn dus gerelateerd door de Fourier-transformatie:

Het is duidelijk dat er ook een omgekeerd verband bestaat:

Deze resultaten zijn om twee redenen van fundamenteel belang. Ten eerste blijkt het mogelijk om de correlatie-eigenschappen van signalen te evalueren op basis van de verdeling van hun energie over het spectrum. Hoe breder de signaalfrequentieband, hoe smaller de hoofdlob van de autocorrelatiefunctie en hoe perfecter het signaal qua mogelijkheden nauwkeurige meting het moment dat het begon.

Ten tweede geven formules (3.24) en (3.26) de manier aan om experimenteel het energiespectrum te bepalen. Het is vaak handiger om eerst de autocorrelatiefunctie te verkrijgen en vervolgens, met behulp van de Fourier-transformatie, het energiespectrum van het signaal te vinden. Deze techniek is wijdverbreid geworden bij het bestuderen van de eigenschappen van signalen met behulp van snelle computers in realtime.

Hieruit volgt dat het correlatie-interval

kleiner blijkt te zijn, hoe hoger de bovengrensfrequentie van het signaalspectrum.

Beperkingen opgelegd aan de vorm van de autocorrelatiefunctie van het signaal.

Het gevonden verband tussen de autocorrelatiefunctie en het energiespectrum maakt het mogelijk een interessant en op het eerste gezicht niet voor de hand liggend criterium vast te stellen voor het bestaan van een signaal met gegeven correlatie-eigenschappen. Het feit is dat het energiespectrum van elk signaal per definitie positief moet zijn [zie. formule (3.25)]. Deze voorwaarde zal bij geen enkele ACF-keuze worden vervuld. Als we bijvoorbeeld nemen

en bereken vervolgens de overeenkomstige Fourier-transformatie

Deze afwisselende functie kan niet het energiespectrum van welk signaal dan ook vertegenwoordigen.

Literatuur: [L.1], pp. 77-83

[L.2], blz. 22-26

[L.3], blz. 39-43

Bij veel radiotechnische taken is het vaak nodig om een signaal en de kopie ervan, die enige tijd is verschoven, te vergelijken

Bij het verwijderen van de ACF wordt een signaal ontvangen op een van de vermenigvuldigeringangen, en hetzelfde signaal wordt ontvangen op de tweede, maar enige tijd vertraagd. Productproportioneel signaal , ondergaat de werking van integratie. Aan de uitgang van de integrator wordt een spanning gegenereerd die evenredig is met de ACF-waarde op een vaste waarde. Door de vertragingstijd te wijzigen, kunt u de ACF van het signaal opbouwen.

Om experimenteel een VCF te construeren, wordt het signaal naar een van de vermenigvuldigeringangen gevoerd en het signaal naar het vertragingsapparaat (inkomende circuits worden met stippellijnen weergegeven). Anders werkt het apparaat op dezelfde manier. Merk op dat het beschreven apparaat wordt genoemd correlator en wordt veel gebruikt in verschillende radiosystemen voor het ontvangen en verwerken van signalen.

Tot nu toe hebben we uitgevoerd correlatie analyse niet-periodieke signalen met eindige energie. Tegelijkertijd ontstaat vaak de behoefte aan een dergelijke analyse voor periodieke signalen, die theoretisch oneindig veel energie hebben, maar een eindig gemiddeld vermogen. In dit geval worden de ACF en CCF berekend door het gemiddelde te nemen over de periode en hebben ze de betekenis van het gemiddelde vermogen (respectievelijk eigen of wederzijds). De ACF van een periodiek signaal is dus:

, (2.66)

en de kruiscorrelatiefunctie van twee periodieke signalen met meerdere perioden:

, (2.67)

waar is de grootste waarde van de periode.

Laten we de autocorrelatiefunctie van het harmonische signaal vinden

waar is de cirkelvormige frequentie en is de beginfase.

Deze uitdrukking vervangen door (2.66) en de integraal berekenen met behulp van de bekende trigonometrische relatie:

Uit het beschouwde voorbeeld kunnen de volgende conclusies worden getrokken, die geldig zijn voor elk periodiek signaal.

1. De ACF van een periodiek signaal is een periodieke functie met dezelfde periode.

2. De ACF van een periodiek signaal is een even functie van het argument.

3. Wanneer de waarde het gemiddelde vermogen vertegenwoordigt dat vrijkomt bij een weerstand van 1 ohm en een afmeting heeft.

4. De ACF van een periodiek signaal bevat geen informatie over de beginfase van het signaal.

Er moet ook worden opgemerkt dat het correlatie-interval van een periodiek signaal.

Laten we nu de kruiscorrelatiefunctie berekenen van twee harmonische signalen met dezelfde frequentie, maar verschillend in amplitude en initiële fasen

En .

Door gebruik te maken van (2.67) en eenvoudige berekeningen uit te voeren, verkrijgen we

Waar is het verschil tussen de beginfasen van de signalen en .

De kruiscorrelatiefunctie van de twee beschouwde signalen bevat dus informatie over het verschil in de beginfasen. Deze belangrijke eigenschap wordt veel gebruikt bij de constructie van verschillende radiotechnische apparaten, in het bijzonder synchronisatieapparaten voor sommige radioautomatiseringssystemen en andere.

Laten we tot slot een verband leggen tussen de ACF van een niet-periodiek signaal en zijn energiespectrum, waarvan de definitie [zie (2.51)] werd hierboven gegeven. Om dit te doen, zullen we (2.49) gebruiken voor . Dan krijgen we de relatie

waar is het functiecomplex geconjugeerd met .

Laten we nu stellen En . In overeenstemming met (2.45) heeft de Fouriertransformatie de vorm

Aan de andere kant

Als we deze uitdrukkingen in (2.68) vervangen, verkrijgen we

Maar in overeenstemming met (2.51) is er een energiespectrum. Dan eindelijk

. (2.69)

Solliciteren op directe conversie Fourier, we komen bij de relatie

. (2.70)

De ACF en het energiespectrum van het signaal zijn dus met elkaar verbonden door een paar Fourier-transformaties.

Omdat en reële en zelfs functies zijn, kunnen de uitdrukkingen (2.69) en (2.70) respectievelijk in de vorm worden geschreven

, (2.71)

. (2.72)

De weloverwogen correlatie-spectrale analyse stelt ons in staat een andere interpretatie van de effectieve spectrale breedte te geven. Als het energiespectrum bekend is, wordt de effectieve spectrumbreedte als volgt bepaald:

. (2.73)

Met andere woorden, het vertegenwoordigt de zijde van een rechthoek met een oppervlakte gelijk aan het gebied onder de curve van een eenzijdig spectrum, waarvan de tweede zijde gelijk is aan (Fig. 2.13). Het is duidelijk dat het product van de effectieve breedte van het energiespectrum en de waarde van het correlatie-interval een constante waarde is

Dus ook in dit geval worden we geconfronteerd met een manifestatie van het onzekerheidsprincipe: wat langer interval correlatie, hoe kleiner de breedte van het energiespectrum, en omgekeerd.

Testvragen voor hoofdstuk 2

1. Wat is een systeem van trigonometrische basisfuncties?

2. Hoe kan ik het opschrijven? trigonometrische reeks Fourier?

3. Definieer het amplitude- en fasespectrum van een periodiek signaal.

4. Wat is de aard van het spectrum van een reeks rechthoekige pulsen?

5. Hoe verschilt het spectrum van een enkele puls van het spectrum van een periodieke reeks pulsen?

6. Schrijf de voorwaartse en inverse Fourier-transformaties op.

7. Hoe vind ik de effectieve duur en effectieve spectrale breedte van een rechthoekig signaal?

8. Wat is het spectrum van een signaal in de vorm van een deltafunctie?

9. Definieer de autocorrelatiefunctie van een deterministisch signaal.

10. Wat is de kruiscorrelatiefunctie van twee signalen?

11. Hoe vind ik de kruiscorrelatiecoëfficiënt?