Determinant van de n-de orde. Eigenschappen van determinanten. Minoren en algebraïsche complementen. De stelling van Laplace en het uitvloeisel daarvan. Determinant van de n-de orde. Permutaties en vervangingen. Methoden voor het berekenen van determinanten van de n-de orde

Gezien de uitgebreide uitdrukking voor determinanten

we merken op dat elke term als factoren één element uit elke rij en één uit elke kolom van de determinant omvat, en dat alle mogelijke producten van dit type in de determinant zijn opgenomen met een plus- of minteken. Deze eigenschap wordt gebruikt als basis voor het generaliseren van het concept van een determinant naar vierkante matrices van elke orde. Namelijk: de determinant van een vierkante matrix van orde, of, kort gezegd, de determinant van orde, is de algebraïsche som van alle mogelijke producten van matrixelementen, één uit elke rij en één uit elke kolom, en de resulterende producten zijn uitgerust met plus- en mintekens volgens een welomschreven regel. Deze regel wordt geïntroduceerd

op een nogal complexe manier, en we zullen niet stilstaan bij de formulering ervan. Het is belangrijk op te merken dat het zo tot stand komt dat de volgende belangrijkste basiseigenschap van de determinant verzekerd is:

1. Wanneer twee rijen opnieuw worden gerangschikt, verandert de determinant van teken naar het tegenovergestelde.

Voor een determinant van de tweede en derde orde kan deze eigenschap eenvoudig worden geverifieerd door directe berekening. In het algemene geval wordt het bewezen op basis van de tekenregel die we hier niet hebben geformuleerd.

Determinanten hebben nog een aantal andere opmerkelijke eigenschappen die het mogelijk maken om determinanten met succes te gebruiken in een verscheidenheid aan theoretische en numerieke berekeningen, ondanks de extreme omslachtigheid van de determinant: de determinant van de n-de orde bevat immers, zoals gemakkelijk in te zien, termen, elke term bestaat uit factoren en de termen zijn voorzien van tekens volgens een complexe regel.

We gaan verder met het opsommen van de belangrijkste eigenschappen van determinanten, zonder stil te staan bij hun gedetailleerde bewijzen.

De eerste van deze eigenschappen is hierboven al geformuleerd.

2. De determinant verandert niet wanneer zijn matrix wordt getransponeerd, dat wil zeggen wanneer rijen worden vervangen door kolommen terwijl de volgorde behouden blijft.

Het bewijs is gebaseerd op een gedetailleerde studie van de regels voor het plaatsen van tekens in de termen van de determinant. Deze eigenschap maakt het mogelijk om elke uitspraak over de rijen van de determinant naar de kolommen over te brengen.

3. De determinant is een lineaire functie van de elementen van een van zijn rijen (of kolommen). Meer details

waarbij uitdrukkingen vertegenwoordigen die niet afhankelijk zijn van de elementen van de tekenreeks.

Deze eigenschap volgt duidelijk uit het feit dat elke term slechts één factor uit elke specifieke rij bevat.

Gelijkheid (5) wordt de uitbreiding van de determinant naar de elementen van de string genoemd, en de coëfficiënten worden de algebraïsche complementen van de elementen in de determinant genoemd.

4. Het algebraïsche complement van een element is tot aan het teken gelijk aan de zogenaamde mineur van de determinant, d.w.z. de determinant

het deel van de volgorde dat wordt verkregen uit een gegeven door een rij en een kolom te verwijderen. Om het algebraïsche complement te verkrijgen, moet de minor met het teken worden genomen. Eigenschappen 3 en 4 reduceren de berekening van de ordedeterminant tot de berekening van de ordedeterminanten

Uit de genoemde basiseigenschappen volgt een aantal interessante eigenschappen van determinanten. Laten we er een paar opsommen.

5. Een determinant met twee identieke lijnen is gelijk aan een kogel.

Als de determinant twee identieke rijen heeft, verandert de determinant niet wanneer ze opnieuw worden gerangschikt, omdat de rijen identiek zijn, maar verandert hij tegelijkertijd, vanwege de eerste eigenschap, zijn teken naar het tegenovergestelde. Daarom is het gelijk aan nul.

De som van de producten van de elementen van een rij en de algebraïsche complementen van een andere rij is nul.

Een dergelijke som is inderdaad het resultaat van de uitbreiding van een determinant met twee identieke rijen in één ervan.

De gemeenschappelijke factor van de elementen van elke rij kan uit het determinantteken worden gehaald.

Dit volgt uit eigenschap 3.

8. Een determinant met twee proportionele rijen is gelijk aan nul.

Het is voldoende om de evenredigheidsfactor te verwijderen, en we krijgen een determinant met twee gelijke lijnen.

9. De determinant verandert niet als getallen die evenredig zijn aan de elementen van een andere rij, worden opgeteld bij de elementen van een rij.

Op grond van eigenschap 3 is de getransformeerde determinant namelijk gelijk aan de som van de oorspronkelijke determinant van de determinant met twee proportionele rijen, die gelijk is aan nul.

De laatste eigenschap biedt een goed middel om determinanten te berekenen. Met deze eigenschap kunt u, zonder de waarde van de determinant te wijzigen, de matrix ervan transformeren zodat in elke rij (of kolom) alle elementen behalve één gelijk zijn aan nul. Vervolgens, nadat we de determinant hebben uitgebreid naar de elementen van deze rij (kolom), reduceren we de berekening van de determinant van de orde tot de berekening van één determinant van de orde, namelijk het algebraïsche complement van het enige niet-nul element van de geselecteerde rij. .

Voor een preciezere en complexere definitie en om te praten over determinanten van orde groter dan de derde, zul je iets anders moeten onthouden. Wij zijn geïnteresseerd in de term substitutie, niet zozeer in de definitie als wel in de berekeningswijze ervan.

Ter vervanging wordt de volgende inschrijving geaccepteerd:
, d.w.z. paren getallen geschreven in een kolom, zodat de bovenste getallen opeenvolgend zijn (over het algemeen kunnen de kolommen worden verwisseld).

Vervangingen kunnen even of oneven zijn. Om erachter te komen of een bepaalde vervanging even of oneven is, moet je letten op de tweede regel, of preciezer gezegd, op de volgorde van de getallen daarin. Het is noodzakelijk om het aantal getallenparen op de tweede regel zo te tellen dat het getal aan de linkerkant groter is dan het getal aan de rechterkant (). Als het aantal van dergelijke paren oneven is, wordt de vervanging oneven genoemd, en dienovereenkomstig, als het aantal van dergelijke paren even is, wordt de vervanging even genoemd.

Voorbeeld:
1)

4 is links van 3, links van 1, links van 2 - dit zijn al drie "verkeerde" paren.
3 staat links van 1 en 2 – nog twee paren.
Totaal 5 paar, d.w.z. Dit is een vreemde vervanging.
2)

Merk op dat de cijfers op de eerste regel niet in de juiste volgorde staan. Laten we de kolommen herschikken.

Laten we eens kijken naar de cijfers in de tweede rij.
3 staat links van 2 en 1 – twee paren,
2 staat links van 1 – één paar,
5 staat links van 4 en 1 – twee paren,
4 staat links van 1 – één paar.
Totaal 6 paren – zelfs wissel.

Definitie 2(voor studenten van wiskundige specialiteiten, waarbij de hele essentie van het gedefinieerde concept wordt onthuld):

De nde-ordedeterminant die overeenkomt met de matrix
,
is een algebraïsche som van termen die als volgt is samengesteld: de termen zijn allemaal mogelijke producten van matrixelementen, één uit elke rij en elke kolom, en de term wordt genomen met een plusteken als de indices een gelijkmatige substitutie vormen, en met een minteken teken in het tegenovergestelde geval.
Opmerking: Laten we deze definitie toelichten aan de hand van het voorbeeld van een determinant van de derde orde, waarvan de rekenformule al bekend is.
.
1) "algebraïsche som van termen" - . En ja, inderdaad, er zijn hier zes termen.
2) "de termen zijn allemaal mogelijke producten van matrixelementen, één uit elke rij en elke kolom" - denk bijvoorbeeld aan de term . De eerste factor is afkomstig van de tweede regel, de tweede van de eerste en de derde van de derde. Hetzelfde geldt voor de kolommen: de eerste factor komt uit de eerste kolom, de tweede komt uit de derde en de laatste komt uit de tweede.
3) "en de term wordt genomen met een plusteken als de indices een gelijkmatige vervanging vormen, en met een minteken in het tegenovergestelde geval" - denk bijvoorbeeld aan de termen (met een plusteken) en (met een minteken ).

Laten we de permutaties zo rangschikken dat de eerste regel de rijnummers van de factoren bevat, en de tweede regel de kolomnummers.
Voor de term: (de eerste kolom is de index van de eerste factor, etc.)
Voor de looptijd: .
Laten we de pariteit van deze permutaties bepalen:
a) - de elementen in de eerste regel zijn in volgorde. De tweede regel bevat de paren in de verkeerde volgorde:
2 links van 1 – één paar,
3 links van 1 – één paar.
Totaal twee paren, d.w.z. het aantal paren is even, wat betekent dat de permutatie even is, wat betekent dat de term met een plusteken in de som moet worden opgenomen (zoals het in werkelijkheid is).
b) - de elementen in de eerste regel zijn in volgorde. De tweede regel bevat de paren in de verkeerde volgorde:
2 links van 1 – één paar.
In totaal is het aantal paren getallen dat zo is geplaatst dat de grotere zich links van de kleinere bevindt, 1, d.w.z. oneven, wat betekent dat de permutatie oneven wordt genoemd en dat de overeenkomstige term met een minteken in de som moet worden opgenomen (ja, dat is waar).
Voorbeeld(“Verzameling van problemen in de algebra” onder redactie van A.I. Kostrikin, nr. 1001):

Ontdek welke van de volgende producten zijn opgenomen in de uitgebreide uitdrukking van de determinanten van de overeenkomstige orders en met welke tekens.
A)
Laten we aandacht besteden aan het gedeelte 'één uit elke rij en elke kolom' van de definitie. Alle eerste indices van de factoren verschillen van 1 tot 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Alle tweede indices van de factoren zijn verschillend van 1 tot 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Conclusie - dit product is opgenomen in de uitgebreide expressie van de determinant van de 6e orde.

3 links van 2, 1 – twee paar,
2 links van 1 – één paar,
6 links van 5, 4 – twee paren,
5 links van 4 – één paar.
Totaal 6 paar, d.w.z. de permutatie is even en de term is opgenomen in de uitgebreide notatie van de determinant met een plusteken.

B)
Alle eerste indices van de factoren verschillen van 1 tot 5 (3, 1, 5, 4, 2). Alle tweede indices van de factoren verschillen van 1 tot 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Conclusie - dit product is opgenomen in de uitgebreide expressie van de determinant van de 5e orde.
Laten we het teken van deze term bepalen; om dit te doen, zullen we een permutatie maken van de indices van de factoren:

Laten we de kolommen opnieuw rangschikken, zodat de getallen op de eerste regel in volgorde staan van klein naar groot.

3 links van 1, 2 – twee paar.
4 links van 1, 2 – twee paar,
5 links van 2 – één paar.
Totaal 5 paar, d.w.z. de permutatie is oneven en de term is opgenomen in de uitgebreide notatie van de determinant met een minteken.
V) — let op de eerste en zesde factor: en . Ze zijn beide afkomstig uit de 4e kolom, wat betekent dat dit product niet kan worden opgenomen in de uitgebreide uitdrukking van de determinant van de 7e orde.

Determinanten van de n-de orde

De determinant van de n-de orde bestaat uit n 2 elementen, geschreven in n rijen en n kolommen, en heeft de vorm:

Bepalend element en ik j staat in rijnummer i en kolomnummer j. De indices i en j kunnen elke natuurlijke waarde van 1 tot n aannemen. Dus, opgeschreven A i3 (i=1,2,…,n), we vermelden alle elementen in kolom nummer 3: A 13 , A 23 , A 33 ,…,A n3. Elementen A ij (voor i=j) vormen de hoofddiagonaal van de determinant.

De berekening van de determinant van de n-de orde komt neer op de berekening van de determinanten van de derde en tweede orde met behulp van de volgende eigenschappen.

Eigenschappen van determinanten:

1. De determinant zal niet veranderen als de rijen ervan worden vervangen door kolommen (zonder de volgorde van hun getallen te veranderen). Daarom zullen we het verder hebben over rijen, ervan uitgaande dat wat er is gezegd ook geldt voor kolommen.

2. Als je twee regels van de determinant verwisselt, verandert het teken.

3. Een determinant met twee identieke (of proportionele) rijen is gelijk aan nul.

4. De gemeenschappelijke factor van alle elementen van een van de rijen kan uit het determinantenteken worden gehaald.

5. Als alle elementen van een willekeurige rij van een determinant gelijk zijn aan nul, dan is zo'n determinant gelijk aan nul.

6. De determinant zal niet veranderen als we aan alle elementen van een van zijn rijen de overeenkomstige elementen van een andere rij toevoegen, vermenigvuldigd met hetzelfde getal.

Voorbeelden.

Nee. 6. Bereken de determinanten:

Hier zijn de elementen van de derde kolom toegevoegd aan de elementen van de eerste kolom.

De elementen van de derde regel zijn toegevoegd aan de elementen van de eerste regel.

Het is handiger om deze determinant te berekenen met de Sarrus-regel, omdat vier van de zes termen zijn nul.

Laten we terugkeren naar de eigenschappen van determinanten. Maar laten we eerst de concepten van mineur en algebraïsch complement introduceren.

Als we van een gegeven determinant van de n-de orde de rij en kolom verwijderen op het snijpunt waarvan zich een element bevindt A ij , dan verkrijgen we een determinant van de (n-1) orde, die wordt genoemd element klein A ij en wordt aangegeven met Mij. Bijvoorbeeld in de determinant van de derde orde vind de kleine M van 21 elementen A 21. Om dit te doen, streept u de tweede regel en de eerste kolom door:

In een determinant van de vierde orde kun je 4x4 = 16 minoren schrijven, die elk een determinant van de derde orde zullen zijn.

Laten we de minoren van de elementen opschrijven A 32 en A 44, bijvoorbeeld een determinant van de vierde orde:

Algebraïsche optelling van een element A ij wordt de mineur genoemd, genomen met het teken (–1) i+ j, en wordt aangeduid met A ij. Dus А ij =(–1) i+ j ×М ij.

Laten we bijvoorbeeld de algebraïsche complementen van de elementen van de determinant vinden .

Laten we het eindelijk eens overwegen eigenschap over de uitbreiding van de determinant per rij of kolom.

7. De determinant is gelijk aan de som van de producten van de elementen van een rij (of kolom) volgens hun algebraïsche complementen.

Zo kan een determinant van de derde orde bijvoorbeeld worden berekend met behulp van drie determinanten van de tweede orde:

- uitbreiding naar elementen van de eerste rij.

Gevolg. Als alle elementen van een rij (kolom), behalve één, gelijk zijn aan nul, dan is de determinant gelijk aan het product van het niet-nul element en zijn algebraïsche complement.

Daarom is bijvoorbeeld

№.7

In de determinant van de derde orde hebben we aan de elementen van de eerste kolom de overeenkomstige elementen van de derde toegevoegd, vermenigvuldigd met 2.

Met behulp van de eigenschappen van de determinant kunt u dus de determinant van elke volgorde uitbreiden naar een rij of kolom. Door de volgorde consequent te verlagen, berekenen we de determinant rechtstreeks, waarbij we de regel toepassen voor het berekenen van de determinant van de derde of tweede orde.

Laten we determinanten van een speciaal type bekijken: diagonaal en driehoekig.

Diagonaal Een determinant is een determinant waarvan de diagonale elementen niet nul zijn en alle andere elementen gelijk zijn aan nul.

Driehoekig Een determinant is een determinant waarvan de elementen onder (of boven) de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul.

Nr. 8 Bereken de diagonale determinant van de n-de orde

De determinant uitbreiden naar elementen 1 e kolom, we hebben het product Maar de determinant van (n–1) orde A 11 kan op dezelfde manier als een product worden weergegeven enz.

De diagonale determinant is dus gelijk aan het product van de elementen van de hoofddiagonaal.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat de driehoekige determinant gelijk is aan het product van de elementen van zijn hoofddiagonaal:

Nr. 9 Bereken de determinanten:

nde orde determinant

De determinant of determinant van de n-de orde is een getal geschreven in de vorm

En berekend op basis van deze cijfers(reëel of complex) - elementen van de determinant

Schema's voor het berekenen van determinanten van de 2e en 3e orde

De stelling van Cramer.

Laat (delta) de determinant zijn van de matrix van systeem A, en laat (delta)i de determinant zijn van de matrix, verkregen uit matrix A door de j-de kolom van de kolommen met vrije getallen te vervangen ) niet gelijk is aan 0, dan heeft het systeem een unieke oplossing, bepaald in de formule:

1. De determinant van de tweede orde wordt berekend met behulp van de formule

2. De determinant van de derde orde wordt berekend met behulp van de formule

Er is een handig schema voor het berekenen van de determinant van de derde orde (zie figuur 1 en figuur 2).

Eigenschap van determinanten

1. Als een rij (kolom) van de matrix alleen uit nullen bestaat, dan is de determinant ervan 0.

2. Als alle elementen van een rij (kolom) van een matrix worden vermenigvuldigd met een getal (lambda), dan wordt de determinant ervan vermenigvuldigd met dit getal (lambda).

3. Wanneer een matrix wordt getransponeerd, verandert de determinant ervan niet.

Transponeren-in de wiskunde is dit een transformatie van een vierkante matrix, waarbij kolommen worden vervangen door rijen of omgekeerd.

4. Wanneer twee rijen (kolommen) van een matrix opnieuw worden gerangschikt, verandert de determinant van teken naar het tegenovergestelde.

5. Als een vierkante matrix twee identieke rijen (kolommen) bevat, dan is de determinant ervan 0

6. Als de elementen van twee rijen (kolommen) van een matrix proportioneel zijn, dan is de determinant ervan 0

7. De som van de producten van de elementen van een rij (kolom) van een matrix met de algebraïsche complementen van de elementen van een andere rij (kolom) van deze matrix is gelijk aan 0

8. De determinant van een matrix verandert niet als elementen uit een andere rij (kolom), eerder vermenigvuldigd met hetzelfde getal, worden opgeteld bij de elementen van een willekeurige rij (kolom) van de matrix.

9. De som van de producten van de getallen b1,b2,...,bn door het algebraïsche complement van de elementen van een willekeurige rij (kolom) is gelijk aan de determinant van de matrix die wordt verkregen door deze vervanging van de elementen van deze rij (kolom) b1,b2,...bn.

10. De determinant van het product van twee vierkante matrices is gelijk aan het product van hun determinanten |C|=|A|*|B|, waarbij C=A*B;A en B-matrices van de nde orde.