Простейшие логические операции относятся к двузначной логике. Их 4 штуки: “НЕ”, “И”, “ИЛИ”, “XOR”. Также для обозначения этих операций используют разные значки (“~”, “&” и т.п.).
При записи логических формул вместо слов “истина” и “ложь” обычно используют стандартные международные обозначения:
Вместо “истина” пишут: true, T, t, 1.
Вместо “ложь” пишут: false, F, f, 0.
“НЕ”
Операция “НЕ” преобразует истину в ложь, а ложь в истину:
НЕ true = false
НЕ false = true
У этой операции бывают разные другие названия: “логическое НЕ”, “отрицание”, “логическое отрицание”, “инверсия”, “логическая инверсия”. Для международных обозначений вместо “НЕ” пишут “NOT”.
В естественном языке этой операции соответствует добавление слов “неправда, что...” в начале высказывания. Например:
Применение операции “НЕ” к высказыванию (1):
“Неправда, что Сурков должен мне денег”. (2)
Если высказывание (1) ложно, то высказывание (2) истинно. Если высказывание (2) ложно, то высказывание (1) истинно.
Нетрудно понять, что двойное применение “НЕ” возвращает нас к прежней истинности.
“Неправда, что неправда, что Сурков должен мне денег”. (3)
Истинность высказывания (3) всегда совпадает с истинностью высказывания (1).
“И”
Операция “И” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, только если оба высказывания истинны (а иначе “ложь”):
false И false = false
false И true = false
true И false = false
true И true = true
У этой операции бывают разные другие названия: “логическое И”, “конъюнкция”, “логическое умножение”. Для международных обозначений вместо “И” пишут “AND”.
В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “и” между высказываниями. Например:
“Сурков должен мне денег”. (1)
“Петров должен мне денег”. (2)
Применение операции “И” к высказываниям (1) и (2):
“Сурков должен мне денег, и Петров должен мне денег”. (3)
Эту фразу можно сократить, сохранив прежний смысл:
“Сурков и Петров должны мне денег”. (3)
Высказывание (3) истинно только тогда, когда истинны оба высказывания: (1) и (2). Если хотя бы одно из них ложно, то результат тоже ложен. Если оба ложны – тоже.
То есть, если Петров мне денег не задолжал, а задолжал только Сурков, тогда высказывание (3) не будет “полуправдой” или “полуложью”, а будет просто ложью.
“ИЛИ”
Операция “ИЛИ” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, если хотя бы одно высказывание истинно (а иначе “ложь”):
false ИЛИ false = false
false ИЛИ true = true
true ИЛИ false = true
true ИЛИ true = true
У этой операции бывают разные другие названия: “логическое ИЛИ”, “включающее ИЛИ”, “дизъюнкция”, “логическое сложение”. Для международных обозначений вместо “ИЛИ” пишут “OR”.
В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “или” между высказываниями, но... не всегда (см. ниже об операции “XOR”). Например:
“Я хочу попить”. (1)
“Я хочу поесть”. (2)
Применение операции “ИЛИ” к высказываниям (1) и (2):
“Я хочу попить, или я хочу поесть”. (3)
По-русски звучит правильно, но коряво, и эту фразу можно сократить, сохранив прежний смысл:
“Я хочу попить или поесть ”. (3)
Высказывание (3) истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний (1) и (2), а можно оба. Если оба высказывания ложны, то результат тоже ложен.
То есть, если я хочу есть, но не пить, тогда высказывание (3) истинно. Если я не прочь и поесть, и попить, выказывание (3) тоже истинно. Ложно оно тогда, когдя я не хочу ни того, ни другого.
“XOR”
Операция “XOR” применяется к двум высказываниям. Ее результат “истина”, если ровно одно из высказываний истинно (а иначе “ложь”):
false XOR false = false
false XOR true = true
true XOR false = true
true XOR true = false
У этой операции бывают разные другие названия: “исключающее ИЛИ”, “сложение по модулю 2”, “логическое сложение по модулю 2”. “XOR” – это международное обозначение, общепринятого “русского” аналога нет.
В естественном языке этой операции соответствует вставка союза “или” между высказываниями – так же, как в случае с операцией “ИЛИ”. Например:
“Я собираюсь просить прибавки к зарплате”. (1)
“Я попытаюсь сэкономить ”. (2)
Применение операции “XOR” к высказываниям (1) и (2):
“Я собираюсь просить прибавки к зарплате или я попытаюсь сэкономить”. (3)
Сокращенно:
“Я собираюсь просить прибавки к зарплате или попытаюсь сэкономить”. (3)
Высказывание (3) истинно тогда, когда истинно ровно одно из высказываний (1) и (2). Если я не собираюсь ни просить прибавки, ни экономить, тогда фраза ложна. Также, я имел в виду, что не собираюсь делать и то, и другое одновременно.
Обратите внимание на разницу между операциями “ИЛИ” и “XOR”. Она заключается только в последнем правиле:
true ИЛИ true = true
true XOR true = false
В естественном языке обе операции изображаются одним и тем же союзом “или”. Это – пример неоднозначности естественного языка. Если помните, омонимы и многозначные слова могут иметь больше одного значения. Союз “или” именно такой: он имеет два возможных значения. Первое выражается логической операцией “ИЛИ”, второе – логической операцией “XOR”.
В английском языке существуют те же проблемы: союз “or” имеет те же два значения. А вот древним римлянам было проще, так как в латыни есть два разных слова: “vel” (операция “ИЛИ”) и “aut” (операция “XOR”).
Поскольку разница между операциями “ИЛИ” и “XOR” невелика (всего одно последнее правило), то иногда эта разница не имеет значения. Иногда о том, что имеется в виду, можно догадаться по интонации, или по контексту. Иногда определить точный смысл так и не удается.
В этой статье мы поговорим о некоторых битовых операциях. Рассмотрим основные из них: XOR (исключающее ИЛИ), AND (И), NOT (НЕ) а также OR (ИЛИ).
Как известно, минимальной единицей измерения информации является бит , который хранит одно из 2-х значений: 0 (False , ложь) либо 1 (True , истина). Таким образом, битовая ячейка может одновременно находиться лишь в одном из двух возможных состояний.
Для манипуляций с битами используют определённые операции - логические или булевые . Они могут применяться к любому биту, вне зависимости от того, какое у него значение - ноль или единица. Что же, давайте посмотрим на примеры использования трёх основных логических операций.
Логическая операция AND (и)
AND обозначается знаком & .
Оператор AND выполняется с 2-мя битами, возьмём, к примеру, a и b. Результат выполнения операции AND равен 1, если a и b равняются 1. В остальных случаях результат равен 0. Например, с помощью AND вы можете узнать, чётное число или нет.
Посмотрите на таблицу истинности операции AND:
Логическая операция OR (ИЛИ)
Обозначается знаком | .
Оператор OR также выполняется с 2-мя битами (a и b). Результат равен 0, если a и b равны 0, иначе он равен 1. Смотрим таблицу истинности.
Логическая операция XOR (исключающее ИЛИ)
Оператор XOR обозначается ^ .
XOR выполняется с 2-мя битами (a и b). Результат выполнения операции XOR (исключающее ИЛИ ) равен 1, когда один из битов b или a равен 1. В остальных ситуациях результат применения оператора XOR равен 0.
Таблица истинности логической операции для XOR (исключающее ИЛИ) выглядит так:
Используя XOR (исключающее ИЛИ), вы можете поменять значения 2-х переменных одинакового типа данных, не используя временную переменную. А ещё, посредством XOR можно зашифровать текст, например:
String msg = "This is a message"; char message = msg.toCharArray(); String key = ".*)"; String encryptedString = new String(); for(int i = 0; i< message.length; i++){ encryptedString += message[i]^key.toCharArray(); }
Согласен, XOR - далеко не самый надёжный метод шифрования, но это не значит, что его нельзя сделать частью какого-либо шифровального алгоритма.
Логическая операция NOT (НЕ)
Это побитовое отрицание, поэтому выполняется с одним битом и обозначается ~ .
Результат зависит от состояния бита. Если он в нулевом состоянии, то итог операции - единица и наоборот. Всё предельно просто.
Эти 4 логические операции следует запомнить в первую очередь, т. к. с их помощью можно получить практически любой возможный результат. Также существуют такие операции, как << (побитовый сдвиг влево) и >> (побитовый сдвиг вправо).
| Оператор | Синтаксис | Описание |
| AND | A AND B | Конъюнкция: Если А и В имеют значение True, то - True. Иначе - False |
| OR | A OR B | Дизъюнкция: Если любой из операндов имеет значение True, то - True. Иначе - False |
| NOT | NOT A | Отрицание: Если А имеет значение False, то - True. Иначе - False |
| XOR | A XOR B | Исключение: Если А имеет значение True или В имеет значение True, то - True. Иначе - False |
| EQV | A EQV B | Эквивалентность: Если А имеет такое же значение что и В, то - True. Иначе - False |
| IMP | A IMP B | Импликация: Если А имеет значение True и В имеет значение False, то - False. Иначе - True |
В качестве операнда для логического оператора можно использовать любое действительное выражение, имеющее результат типа Boolean, а также число, которое может быть преобразовано в значение типа Boolean.
Результатом логической операции является значение типа Boolean (или Null, если хотя бы один из операндов имеет значение Null).
Логический оператор AND
Синтаксис:
Операнд_1 AND Операнд_2
Оператор AND выполняет логическую конъюнкцию .
Результатом данной операции является значение True, только когда оба операнда имеют значение True, иначе - False.
Таблица истинности
Оператор AND можно использовать для нескольких операндов:
(5 3) AND (5=6) результатом будет False
Независимо от количества операндов результатом логической операции AND будет True только в том случае, когда все операнды выражения будут иметь значение True. В любом другом случае результатом будет False. Обратите внимание, что операнды заключаются в круглые скобки. VBA сначала вычисляет значение каждого операнда внутри скобок, а затем уже все выражение полностью.
Логический оператор OR
Синтаксис:
Операнд_1 OR Операнд_2
Оператор OR выполняет логическую дизъюнкцию .
Результатом данной операции является значение True, если хотя бы один из операндов имеет значение True, иначе - False.
Таблица истинности
Оператор OR можно использовать для нескольких операндов:
(5 3) OR (5=6) результатом будет True
Независимо от количества операндов результатом логической операции OR будет всегда True в том случае, если хотя бы один из операндов выражения будет иметь значение True. Иначе результатом будет False.
Операторы AND и OR можно комбинировать:
((5 3)) OR (5=6) результатом будет True
Логический оператор NOT
Синтаксис:
NOT Операнд
Оператор NOT выполняет логическое отрицание .
Оператор NOT использует только один операнд.
Таблица истинности
Операторы AND OR NOT можно комбинировать:
((5 3)) OR NOT (5=6) результатом будет True
Логический оператор XOR
Синтаксис:
Операнд_1 XOR Операнд_2
Оператор XOR выполняет логическое исключение .
Результатом данной операции является значение True, если операнды имеют разные значения, иначе - False.
Таблица истинности
((5 3)) OR NOT (5=6) XOR (5=5) результатом будет False
Логический оператор EQV
Синтаксис:
Операнд_1 EQV Операнд_2
Оператор EQV - это оператор логической эквивалентности .
Результатом данной операции является значение True, если операнды имеют одинаковые значения, иначе - False.
Таблица истинности
((5 3)) OR NOT (5=6) EQV (5=5) результатом будет True
Логический оператор IMP
Синтаксис:
Операнд_1 IMP Операнд_2
Оператор IMP выполняет логическую операцию импликации .
Таблица истинности
((5 3)) OR NOT (5=6) IMP (5=5) результатом будет True
Логический оператор IMP наименее интуитивно понятный из всех логических операторов. К счастью, необходимость в его применении возникает довольно редко.
Операция исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два) обозначается символом и отличается от логического ИЛИ только приA=1 и B=1.
Таким образом, неравнозначность двух высказываний Х1 и Х2 называют такое высказывание Y, которое истинно тогда и только тогда, когда одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.
Определение данной операции может быть записано в виде таблицы истинности (таблица 6):
Таблица 6 – Таблица истинности операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»
Как видно из таблицы 6, логика работы элемента соответствует его названию.
Это тот же элемент «ИЛИ» с одним небольшим отличием. Если значение на обоих входах равно логической единице, то на выходе элемента «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ», в отличие от элемента «ИЛИ», не единица, а ноль.
Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение (таблица 7).
Таблица 7 – Основные логические операции
|
Обозначение операции |
Читается |
Название операции |
Альтернативные обозначения |
|
Отрицание (инверсия) |
Черта сверху |
||
|
Конъюнкция (логическое умножение) | |||
|
Дизъюнкция (логическое сложение) | |||
|
Если … то |
Импликация |
|
|
|
Тогда и только тогда |
Эквиваленция | ||
|
Либо … либо |
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (сложение по модулю 2) |
|
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
Система логических операций инверсии, конъюнкции, дизъюнкции позволяет построить сколь угодно сложное логическое выражение.
При вычислении значения логического выражения принят определённый порядок выполнения логических операций.
1. Инверсия.
2. Конъюнкция.
3. Дизъюнкция.
4. Импликация.
5. Эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.
Логические выражения и таблицы истинности
Логические выражения
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.
Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2·2=5 или 2∙2=4) и (2∙2≠5 или 2∙2 ≠4)».
Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:
А = «2 2=5»-ложно (0),
В = «2 2=4»-истинно (1).
Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:
«(А или В ) и (Ā или В )».
Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:
F = (A v В ) & (Ā v В ).
Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.
Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:
F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.
Таблицы истинности
Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.
Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:
необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:
количество строк = 2 n .
В
нашем случае логическая функция
имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;
необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций - пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;
необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;
необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.
Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
Таблица 8 – Таблица истинности логической функции
Обозначается оборотом речи «либо…, либо…» Составное утверждение «либо A, либо B» считается истинным, когда истинно либо A, либо B, но не оба сразу; в противном случае составное утверждение ложно.
Т.е. результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B).
Эту операцию нередко сравнивают с дизъюнкцией потому, что они очень похожи по свойствам, и обе имеют сходство с союзом «или» в повседневной речи. Сравните правила для этих операций:
1. истинно, если истинно или , или оба сразу.
2. истинно, если истинно или , но не оба сразу.
Операция исключает последний вариант («оба сразу») и по этой причине называется исключающим «ИЛИ». Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» может применяться в обоих случаях.
5. Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то ….».
Запись: А®В
Составное высказывание, образованное с помощью операции импликации, ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Т.е. если из 1 следует 0, то результат – 0, в остальных случаях – 1.
Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, т.к. истинны и первое и второе высказывание.
Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, т.к. из истинной предпосылки делается ложный вывод.
"Данный четырёхугольник - квадрат" (А ) и "Около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В ). Тогда составное высказывание , читается как "Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность".
В обычной речи связка "если..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин".
6. Эквивалентность (логическое равенство, ~ º Û) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи « …тогда и только тогда, когда...»
Составное высказывание, образованное операцией эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Например, высказывание «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда он включен» и «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда он не включен» - истинны, поскольку оба простых высказывания одновременно истинны.
Таблицы истинности
Для каждого составного высказывания (логической функции) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.
Таблица истинности это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.
Отразим выше рассмотренные логические операции в таблице истинности:
В алгебре высказываний все логические функции путем логических преобразований могут быть сведены к трем базовым: логическому сложению, логическому умножению и логическому отрицанию.
Докажем, что операция импликация А®В равносильна логическому выражению:
