Tukarkan daripada perlapanan kepada perpuluhan. Nombor binari, digit dan sistem nombor binari. Menukar nombor kepada perduaan daripada perpuluhan

Mari kita lihat salah satu topik yang paling penting dalam sains komputer -. Dalam kurikulum sekolah, ia didedahkan agak "sederhana," kemungkinan besar disebabkan oleh kekurangan waktu yang diperuntukkan kepadanya. Pengetahuan mengenai topik ini, terutamanya mengenai terjemahan sistem nombor, adalah prasyarat untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dan kemasukan ke universiti di fakulti yang berkaitan. Di bawah ini kita membincangkan secara terperinci konsep seperti sistem nombor kedudukan dan bukan kedudukan, contoh sistem nombor ini diberikan, peraturan dibentangkan untuk menukar nombor perpuluhan penuh, pecahan perpuluhan wajar dan nombor perpuluhan bercampur ke dalam mana-mana sistem nombor lain, menukar nombor daripada sebarang sistem nombor kepada perpuluhan, menukar daripada sistem nombor perlapanan dan heksadesimal kepada nombor perduaan. sistem. Terdapat banyak masalah mengenai topik ini dalam peperiksaan. Keupayaan untuk menyelesaikannya adalah salah satu keperluan untuk pemohon. Akan datang: Untuk setiap topik bahagian, sebagai tambahan kepada bahan teori yang terperinci, hampir semua pilihan yang mungkin akan dibentangkan tugasan untuk belajar sendiri. Di samping itu, anda akan berpeluang memuat turun sepenuhnya secara percuma daripada perkhidmatan pengehosan fail penyelesaian terperinci siap sedia untuk masalah ini, menggambarkan pelbagai cara untuk mendapatkan jawapan yang betul.

sistem nombor kedudukan.

Sistem nombor bukan kedudukan- sistem nombor di mana nilai kuantitatif digit tidak bergantung pada lokasinya dalam nombor.

Sistem nombor bukan kedudukan termasuk, contohnya, Roman, di mana bukannya nombor terdapat huruf Latin.

saya	1 (satu)
V	5 (lima)
X	10 (sepuluh)
L	50 (lima puluh)
C	100 (seratus)
D	500 (lima ratus)
M	1000 (ribu)

Di sini huruf V bermaksud 5 tanpa mengira lokasinya. Walau bagaimanapun, perlu dinyatakan bahawa walaupun sistem nombor Rom adalah contoh klasik sistem nombor bukan kedudukan, ia bukan bukan kedudukan sepenuhnya, kerana Nombor yang lebih kecil di hadapan yang lebih besar ditolak daripadanya:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

sistem nombor kedudukan.

Sistem nombor kedudukan- sistem nombor di mana nilai kuantitatif digit bergantung pada lokasinya dalam nombor.

Sebagai contoh, jika kita bercakap tentang sistem nombor perpuluhan, maka dalam nombor 700 nombor 7 bermaksud "tujuh ratus", tetapi nombor yang sama dalam nombor 71 bermaksud "tujuh puluh", dan dalam nombor 7020 - "tujuh ribu" .

setiap satu sistem nombor kedudukan mempunyai sendiri asas. Nombor asli lebih besar daripada atau sama dengan dua dipilih sebagai asas. Ia sama dengan bilangan digit yang digunakan dalam sistem nombor tertentu.

binari- sistem nombor kedudukan dengan asas 2.
Kuarter- sistem nombor kedudukan dengan asas 4.
Lima kali ganda- sistem nombor kedudukan dengan asas 5.
Oktal- sistem nombor kedudukan dengan asas 8.
Heksadesimal- sistem nombor kedudukan dengan asas 16.

Untuk berjaya menyelesaikan masalah mengenai topik "Sistem nombor", pelajar mesti mengetahui dengan teliti korespondensi nombor perduaan, perpuluhan, perlapanan dan perenambelasan hingga 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana nombor diperoleh dalam sistem nombor ini. Anda boleh meneka bahawa dalam oktal, perenambelasan, ternary dan lain-lain sistem nombor kedudukan semuanya berlaku dengan cara yang sama seperti sistem perpuluhan yang kita gunakan untuk:

Satu ditambah pada nombor dan nombor baru diperolehi. Jika tempat unit menjadi sama dengan asas sistem nombor, kita menambah bilangan puluh dengan 1, dsb.

"Peralihan satu" inilah yang menakutkan kebanyakan pelajar. Malah, semuanya agak mudah. Peralihan berlaku jika digit unit menjadi sama dengan asas nombor, kita menambah bilangan puluh sebanyak 1. Ramai, mengingati sistem perpuluhan lama yang baik, serta-merta keliru tentang digit dalam peralihan ini, kerana perpuluhan dan, sebagai contoh, sepuluh perduaan adalah perkara yang berbeza.

Oleh itu, pelajar yang bijak membangunkan "kaedah mereka sendiri" (mengejutkan... berfungsi) apabila mengisi, sebagai contoh, jadual kebenaran, lajur pertama (nilai pembolehubah) yang sebenarnya, diisi dengan nombor perduaan dalam tertib menaik.

Sebagai contoh, mari kita lihat untuk memasukkan nombor sistem oktal: Kita tambah 1 pada nombor pertama (0), kita dapat 1. Kemudian kita tambah 1 kepada 1, kita dapat 2, dsb. kepada 7. Jika kita menambah satu kepada 7, kita mendapat nombor yang sama dengan asas sistem nombor, i.e. 8. Kemudian anda perlu menambah tempat puluhan dengan satu (kami mendapat sepuluh perlapanan - 10). Seterusnya, jelas sekali, ialah nombor 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Peraturan untuk menukar dari satu sistem nombor kepada yang lain.

1 Menukar nombor perpuluhan integer kepada mana-mana sistem nombor lain.

Nombor mesti dibahagikan dengan asas sistem nombor baharu. Baki pertama bahagian ialah digit kecil pertama nombor baharu. Jika hasil bagi bahagian kurang daripada atau sama dengan asas baru, maka ia (hasil bahagi) mesti dibahagikan semula dengan asas baru. Pembahagian mesti diteruskan sehingga kita mendapat hasil bagi kurang daripada asas baru. Ini adalah digit tertinggi nombor baharu (anda perlu ingat bahawa, sebagai contoh, dalam sistem perenambelasan, selepas 9 terdapat huruf, iaitu jika bakinya ialah 11, anda perlu menulisnya sebagai B).

Contoh ("bahagi dengan sudut"): Mari tukar nombor 173 10 kepada sistem nombor perlapanan.

Oleh itu, 173 10 =255 8

2 Menukar pecahan perpuluhan biasa kepada mana-mana sistem nombor lain.

Nombor mesti didarab dengan asas sistem nombor baharu. Digit yang telah menjadi bahagian integer ialah digit tertinggi bagi bahagian pecahan nombor baharu. untuk mendapatkan digit seterusnya, bahagian pecahan hasil darab mesti sekali lagi didarab dengan asas baharu sistem nombor sehingga peralihan kepada keseluruhan bahagian berlaku. Kami meneruskan pendaraban sehingga bahagian pecahan sama dengan sifar, atau sehingga kami mencapai ketepatan yang dinyatakan dalam masalah (“... hitung dengan ketepatan, sebagai contoh, dua tempat perpuluhan”).

Contoh: Mari kita tukar nombor 0.65625 10 kepada sistem nombor perlapanan.

Kaedah untuk menukar nombor daripada satu sistem nombor ke sistem nombor yang lain.

Menukar nombor daripada satu sistem nombor kedudukan kepada yang lain: menukar integer.

Untuk menukar integer daripada satu sistem nombor dengan asas d1 kepada satu lagi dengan asas d2, anda mesti membahagikan nombor ini secara berurutan dan hasil bahagi yang terhasil dengan asas d2 sistem baharu sehingga anda mendapat hasil bahagi kurang daripada asas d2. Hasil bagi terakhir ialah digit paling ketara bagi suatu nombor dalam sistem nombor baharu dengan asas d2, dan digit yang mengikutinya adalah baki daripada pembahagian, yang ditulis dalam susunan terbalik penerimaannya. Lakukan operasi aritmetik dalam sistem nombor di mana nombor yang diterjemahkan itu ditulis.

Contoh 1. Tukarkan nombor 11(10) kepada sistem nombor binari.

Jawapan: 11(10)=1011(2).

Contoh 2. Tukarkan nombor 122(10) kepada sistem nombor perlapanan.

Jawapan: 122(10)=172(8).

Contoh 3. Tukarkan nombor 500(10) kepada sistem nombor perenambelasan.

Jawapan: 500(10)=1F4(16).

Menukar nombor daripada satu sistem nombor kedudukan kepada yang lain: menukar pecahan wajar.

Untuk menukar pecahan wajar daripada sistem nombor dengan asas d1 kepada sistem dengan asas d2, adalah perlu untuk mendarabkan pecahan asal dan bahagian pecahan hasil darab yang terhasil secara berurutan dengan asas sistem nombor baru d2. Pecahan nombor yang betul dalam sistem nombor baharu dengan asas d2 dibentuk dalam bentuk bahagian integer daripada hasil darab yang terhasil, bermula dari yang pertama.
Jika terjemahan menghasilkan pecahan dalam bentuk siri tak terhingga atau mencapah, proses itu boleh diselesaikan apabila ketepatan yang diperlukan tercapai.

Apabila menterjemah nombor bercampur, adalah perlu untuk menterjemah secara berasingan bahagian integer dan pecahan ke dalam sistem baharu mengikut peraturan untuk menterjemah integer dan pecahan wajar, dan kemudian menggabungkan kedua-dua keputusan menjadi satu nombor bercampur dalam sistem nombor baharu.

Contoh 1. Tukarkan nombor 0.625(10) kepada sistem nombor binari.

Jawapan: 0.625(10)=0.101(2).

Contoh 2. Tukarkan nombor 0.6(10) kepada sistem nombor perlapanan.

Jawapan: 0.6(10)=0.463(8).

Contoh 2. Tukarkan nombor 0.7(10) kepada sistem nombor perenambelasan.

Jawapan: 0.7(10)=0.B333(16).

Menukar nombor perduaan, perlapanan dan heksadesimal kepada sistem nombor perpuluhan.

Untuk menukar nombor daripada sistem P-ary kepada satu perpuluhan, anda mesti menggunakan formula pengembangan berikut:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Contoh 1. Tukarkan nombor 101.11(2) kepada sistem nombor perpuluhan.

Jawapan: 101.11(2)= 5.75(10) .

Contoh 2. Tukarkan nombor 57.24(8) kepada sistem nombor perpuluhan.

Jawapan: 57.24(8) = 47.3125(10) .

Contoh 3. Tukarkan nombor 7A,84(16) kepada sistem nombor perpuluhan.

Jawapan: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Menukar nombor perlapanan dan perenambelasan kepada sistem nombor perduaan dan begitu juga sebaliknya.

Untuk menukar nombor daripada sistem nombor perlapanan kepada perduaan, setiap digit nombor ini mesti ditulis sebagai nombor perduaan tiga digit (triad).

Contoh: tulis nombor 16.24(8) dalam sistem nombor binari.

Jawapan: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

Untuk menukar nombor perduaan kembali ke dalam sistem nombor perlapanan, anda perlu membahagikan nombor asal kepada triad di sebelah kiri dan kanan titik perpuluhan dan mewakili setiap kumpulan dengan digit dalam sistem nombor perlapanan. Triad tidak lengkap yang melampau ditambah dengan sifar.

Contoh: tulis nombor 1110.0101(2) dalam sistem nombor perlapanan.

Jawapan: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Untuk menukar nombor daripada sistem nombor heksadesimal kepada sistem perduaan, anda perlu menulis setiap digit nombor ini sebagai nombor perduaan empat digit (tetrad).

Contoh: tulis nombor 7A,7E(16) dalam sistem nombor binari.

Jawapan: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Nota: sifar pendahuluan di sebelah kiri untuk integer dan di sebelah kanan untuk pecahan tidak ditulis.

Untuk menukar nombor perduaan kembali ke dalam sistem nombor perenambelasan, anda perlu membahagikan nombor asal kepada tetrad di sebelah kiri dan kanan titik perpuluhan dan mewakili setiap kumpulan dengan digit dalam sistem nombor perenambelasan. Triad tidak lengkap yang melampau ditambah dengan sifar.

Contoh: tulis nombor 1111010.0111111(2) dalam sistem nombor perenambelasan.

Untuk menukar nombor daripada perpuluhan s/s kepada yang lain, anda perlu membahagikan nombor perpuluhan dengan asas sistem yang anda tukar, sambil mengekalkan baki daripada setiap bahagian. Hasilnya dijana dari kanan ke kiri. Pembahagian diteruskan sehingga keputusan pembahagian kurang daripada pembahagi.

Kalkulator menukar nombor daripada satu sistem nombor kepada yang lain. Ia boleh menukar nombor daripada perduaan kepada perpuluhan atau perpuluhan kepada perenambelasan, menunjukkan kemajuan penyelesaian terperinci. Anda boleh dengan mudah menukar nombor daripada ternary kepada kui atau bahkan dari septenary kepada tujuh belas. Kalkulator boleh menukar nombor dari mana-mana sistem nombor kepada mana-mana yang lain.

Kalkulator dalam talian: Menukar nombor daripada satu sistem nombor kepada mana-mana dalam talian yang lain

Input data

Masukkan nombor:

Kaedah untuk menukar nombor daripada satu sistem nombor ke sistem nombor yang lain

Kepada program tersebut Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Sains Komputer termasuk beberapa tugas yang berkaitan dengan menukar nombor dari satu sistem ke sistem yang lain. Biasanya, ini adalah penukaran antara sistem perlapanan dan perenambelasan dan perduaan. Ini adalah bahagian-bahagian A1, PADA 11. Tetapi terdapat juga masalah dengan sistem nombor lain, seperti dalam bahagian B7.

Sebagai permulaan, mari kita ingat dua jadual yang bagus untuk diketahui oleh mereka yang memilih sains komputer sebagai profesion masa depan mereka.

Jadual kuasa nombor 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Ia mudah diperolehi dengan mendarabkan nombor sebelumnya dengan 2. Oleh itu, jika anda tidak mengingati semua nombor ini, tidak sukar untuk memasukkan selebihnya dalam fikiran anda daripada nombor yang anda ingat.

Jadual nombor binari dari 0 hingga 15 dengan perwakilan perenambelasan:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Nilai yang hilang juga mudah dikira dengan menambah 1 pada nilai yang diketahui.

Operasi aritmetik dalam sistem nombor binari

Apabila dua nombor bersamaan dengan 1 ditambah, keputusan dalam digit ini ialah 0, dan 1 dipindahkan ke digit tertinggi.

Penukaran integer

Jadi, mari kita mulakan dengan menukar terus kepada sistem binari. Mari kita ambil nombor yang sama 810 10. Kita perlu menguraikan nombor ini kepada sebutan yang sama dengan kuasa dua.

Kami sedang mencari kuasa dua yang paling hampir dengan 810 dan tidak melebihinya. Ini ialah 2 9 = 512.
Tolak 512 daripada 810, kita dapat 298.
Ulang langkah 1 dan 2 sehingga tiada 1 atau 0 yang tinggal.
Kami mendapatnya seperti ini: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Kemudian terdapat dua kaedah, anda boleh menggunakan mana-mana daripada mereka. Betapa mudahnya untuk melihat bahawa dalam mana-mana sistem nombor asasnya sentiasa 10. Kuadrat tapak akan sentiasa 100, kubus 1000. Iaitu, darjah asas sistem nombor adalah 1 (satu), dan di belakangnya terdapat sifar sebanyak darjah.

Kaedah 1: Susun 1 mengikut jajaran penunjuk istilah. Dalam contoh kami, ini ialah 9, 8, 5, 3 dan 1. Tempat yang selebihnya akan mengandungi sifar. Jadi, kami mendapat perwakilan binari nombor 810 10 = 1100101010 2. Unit diletakkan di tempat ke-9, ke-8, ke-5, ke-3 dan ke-1, mengira dari kanan ke kiri dari sifar.

Kaedah 2: Mari kita tulis istilah sebagai kuasa dua di bawah satu sama lain, bermula dengan yang terbesar.

810 =

Sekarang mari tambahkan langkah ini bersama-sama, seperti melipat kipas: 1100101010.

Itu sahaja. Pada masa yang sama, masalah "berapa banyak unit dalam notasi binari nombor 810?" juga diselesaikan dengan mudah.

Jawapannya adalah sebanyak mana terdapat istilah (kuasa dua) dalam perwakilan ini. 810 mempunyai 5 daripadanya.

Sekarang contoh lebih mudah.

Mari kita tukarkan nombor 63 kepada sistem nombor 5-ary. Kuasa terdekat 5 hingga 63 ialah 25 (persegi 5). Kubus (125) sudah menjadi banyak. Iaitu, 63 terletak di antara kuasa dua 5 dan kubus. Kemudian kita akan memilih pekali untuk 5 2. Ini adalah 2.

Kami mendapat 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Dan, akhirnya, terjemahan yang sangat mudah antara 8 dan sistem heksadesimal. Oleh kerana asas mereka adalah kuasa dua, terjemahan dilakukan secara automatik, hanya dengan menggantikan nombor dengan perwakilan binari mereka. Untuk sistem perlapanan, setiap digit digantikan dengan tiga digit binari, dan untuk sistem perenambelasan, empat. Dalam kes ini, semua sifar pendahuluan diperlukan, kecuali digit yang paling ketara.

Mari tukar nombor 547 8 kepada binari.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Satu lagi, contohnya 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Mari kita tukar nombor 7368 kepada sistem perenambelasan. Mula-mula, tulis nombor dalam tiga kali ganda, dan kemudian bahagikannya kepada empat kali ganda dari hujung: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Mari kita tukarkan nombor C25 16 kepada sistem perlapanan. Mula-mula, kami menulis nombor dalam empat, dan kemudian membahagikannya kepada tiga dari hujung: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Sekarang mari kita lihat menukar kembali kepada perpuluhan. Ia tidak sukar, perkara utama adalah tidak membuat kesilapan dalam pengiraan. Kami mengembangkan nombor menjadi polinomial dengan kuasa asas dan pekali untuknya. Kemudian kita mendarab dan menambah segala-galanya. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Menukar Nombor Negatif

Di sini anda perlu mengambil kira bahawa nombor itu akan dibentangkan dalam kod pelengkap dua. Untuk menukar nombor kepada kod tambahan, anda perlu mengetahui saiz akhir nombor, iaitu, apa yang kita mahu muatkan - dalam bait, dalam dua bait, dalam empat. Digit nombor yang paling ketara bermaksud tanda. Sekiranya terdapat 0, maka nombor itu positif, jika 1, maka ia negatif. Di sebelah kiri, nombor itu ditambah dengan digit tanda. Tidak ditandatangani ( tidak ditandatangani ) kami tidak menganggap nombor, ia sentiasa positif, dan digit paling ketara di dalamnya digunakan sebagai maklumat.

Untuk menukar nombor negatif kepada pelengkap binari, anda perlu menukar nombor positif kepada binari, kemudian tukar sifar kepada satu dan satu kepada sifar. Kemudian tambah 1 pada hasilnya.

Jadi, mari kita tukar nombor -79 kepada sistem binari. Nombor itu akan membawa kita satu bait.

Menukarkan 79 kepada binari, 79 = 1001111. Mari tambah sifar di sebelah kiri kepada saiz bait 8 bit, kita mendapat 01001111. Kami menukar 1 kepada 0 dan 0 kepada 1. Kami mendapat 10110000. Kami menambah 1 pada keputusan, kami mendapat jawapan 10110001.

Sepanjang perjalanan, kami menjawab soalan Peperiksaan Negeri Bersepadu “ berapa banyak unit yang terdapat dalam perwakilan binari nombor -79?».

Jawapannya ialah 4.

Menambah 1 pada songsangan nombor menghapuskan perbezaan antara perwakilan +0 = 00000000 dan -0 = 11111111. Dalam kod tambahan mereka akan ditulis dengan cara yang sama: 00000000.

Menukar nombor pecahan

Nombor pecahan ditukar dengan cara terbalik membahagi nombor bulat dengan asas, yang kita lihat pada mulanya. Iaitu, menggunakan pendaraban berurutan dengan asas baru dengan pengumpulan bahagian keseluruhan. Bahagian integer yang diperoleh semasa pendaraban dikumpul, tetapi tidak mengambil bahagian dalam operasi berikut. Hanya pecahan yang didarab. Jika nombor asal lebih besar daripada 1, maka bahagian integer dan pecahan diterjemahkan secara berasingan dan kemudian dilekatkan bersama.

Mari tukar nombor 0.6752 kepada sistem binari.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Proses ini boleh diteruskan untuk masa yang lama sehingga kita mendapat semua sifar dalam bahagian pecahan atau ketepatan yang diperlukan tercapai. Mari berhenti di tanda ke-6 buat masa ini.

Ternyata 0.6752 = 0.101011.

Jika nombornya ialah 5.6752, maka dalam binari ia akan menjadi 101.101011.

Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!