“Jika anda ingin belajar berenang, maka beranilah masuk ke dalam air, dan jika anda ingin belajar untuk menyelesaikan masalah, Itu menyelesaikannya.»
D. Polya (1887-1985)

(Ahli matematik. Memberi sumbangan yang besar untuk mempopularkan matematik. Menulis beberapa buku tentang cara menyelesaikan masalah dan cara mengajar menyelesaikan masalah.)

Pertimbangkan matriks

Mari kita serlahkan di dalamnya k-baris Dan k-lajur (k≤(min(m,n))). Daripada elemen yang terletak di persimpangan baris dan lajur yang dipilih, kami akan mengarang penentu kth pesanan. Semua penentu sedemikian dipanggil bawah umur matriks ini.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan minor matriks A, berbeza daripada sifar.

Kedudukan matriks A ialah susunan terbesar bukan sifar minor matriks ini.

Jika semua elemen matriks adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks ini diambil sama dengan sifar.

Seorang bawah umur yang susunannya menentukan pangkat matriks dipanggil asas.

Sesuatu matriks boleh mempunyai beberapa asas minor.

Kedudukan matriks A dilambangkan dengan r(A). Jika r(A)=r(B), kemudian matriks A Dan DALAM dipanggil bersamaan. Mereka menulis A̴∼B.

Sifat kedudukan matriks:

1. Apabila matriks ditukar, kedudukannya tidak berubah.
2. Jika anda memadamkan baris sifar (lajur) daripada matriks, pangkat matriks tidak akan berubah.
3. Kedudukan matriks tidak berubah semasa transformasi matriks asas.

Dengan transformasi asas yang kami maksudkan:

• Menyusun semula baris matriks;
• Mendarab rentetan dengan nombor selain sifar;
• Menambah pada elemen satu baris elemen yang sepadan dengan baris lain, didarab dengan nombor arbitrari.

Apabila mengira pangkat matriks, transformasi asas, kaedah mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat, dan kaedah menyempadankan kanak-kanak bawah umur boleh digunakan.

Kaedah untuk mengurangkan matriks kepada satu langkah Ideanya ialah dengan bantuan transformasi asas matriks ini dikurangkan kepada matriks langkah.

Matriks dipanggil melangkah , jika dalam setiap barisnya unsur bukan sifar pertama berada di sebelah kanan daripada yang sebelumnya (iaitu, langkah diperoleh, ketinggian setiap langkah mestilah sama dengan satu).

Contoh matriks langkah:

Contoh matriks bukan eselon:

CONTOH: Cari pangkat matriks:

PENYELESAIAN:

Mari kita kurangkan matriks ini kepada matriks langkah menggunakan transformasi asas.

1. Tukar baris pertama dan ketiga.

2. Kami mendapat sifar di bawah satu dalam lajur pertama.

Dengan menambah baris pertama didarab dengan (-3) ke baris kedua, baris pertama didarab dengan (-5) ke baris ketiga, dan baris pertama didarab dengan (-3) ke baris keempat, kita dapat

Untuk menjadikannya lebih jelas di mana lagi anda perlu mendapatkan sifar, mari kita lukis langkah dalam matriks. (Matriks akan dipijak jika terdapat sifar di mana-mana di bawah tangga)

3. Dengan menambah baris kedua didarab dengan (-1) ke baris ketiga, dan baris kedua didarab dengan (-1) ke baris keempat, kita mendapat sifar di bawah langkah dalam lajur kedua.

Jika kita melukis langkah sekali lagi, kita akan melihat bahawa matriks itu dipijak.

pangkat dia r=3(bilangan baris matriks langkah, dalam setiap satunya sekurang-kurangnya satu elemen berbeza daripada sifar). Oleh itu, pangkat matriks ini r=3.

Penyelesaiannya boleh ditulis seperti ini:

(Angka Rom menunjukkan nombor baris)

Jawapan: r=3.

Pesanan kecil k+1, mengandungi perintah kecil k dipanggil bersempadan dengan anak bawah umur.

Kaedah kecil bersempadan adalah berdasarkan fakta bahawa pangkat matriks yang diberikan adalah sama dengan susunan minor matriks ini yang bukan sifar, dan semua minor yang bersempadan dengannya adalah sama dengan sifar.

Biarkan beberapa matriks diberikan:

.

Mari kita pilih dalam matriks ini rentetan sewenang-wenangnya dan lajur sewenang-wenangnya
. Kemudian penentu tertib ke-, terdiri daripada unsur matriks
, terletak di persimpangan baris dan lajur yang dipilih, dipanggil minor matriks pesanan ke-
.

Definisi 1.13. Kedudukan matriks
ialah susunan terbesar bukan sifar minor matriks ini.

Untuk mengira pangkat sesuatu matriks, seseorang itu harus mempertimbangkan semua bawahan tertib terendah dan, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berbeza daripada sifar, teruskan mempertimbangkan bawah bawah susunan tertinggi. Pendekatan untuk menentukan pangkat matriks ini dipanggil kaedah bersempadan (atau kaedah bersempadan di bawah umur).

Masalah 1.4. Menggunakan kaedah sempadan bawah umur, tentukan pangkat matriks
.

.

Pertimbangkan tepi tertib pertama, sebagai contoh,
. Kemudian kita teruskan untuk mempertimbangkan beberapa tepi tertib kedua.

Sebagai contoh,
.

Akhir sekali, mari kita analisa sempadan tertib ketiga.

.

Jadi susunan tertinggi bukan sifar minor ialah 2, oleh itu
.

Apabila menyelesaikan Masalah 1.4, anda boleh melihat bahawa sebilangan kanak-kanak bawah umur sempadan urutan kedua adalah bukan sifar. Dalam hal ini, konsep berikut digunakan.

Definisi 1.14. Asas minor bagi matriks ialah mana-mana bukan sifar minor yang susunannya sama dengan pangkat matriks.

Teorem 1.2.(Asas teorem kecil). Baris asas (lajur asas) adalah bebas secara linear.

Ambil perhatian bahawa baris (lajur) matriks adalah bergantung secara linear jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya boleh diwakili sebagai gabungan linear yang lain.

Teorem 1.3. Bilangan baris matriks bebas linear adalah sama dengan bilangan lajur matriks bebas linear dan sama dengan pangkat matriks.

Teorem 1.4.(Syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk penentu sama dengan sifar). Agar penentu -perintah ke- adalah sama dengan sifar, adalah perlu dan mencukupi bahawa barisnya (lajur) bergantung secara linear.

Mengira pangkat matriks berdasarkan definisinya adalah terlalu menyusahkan. Ini menjadi penting terutamanya untuk matriks tertib tinggi. Dalam hal ini, dalam amalan, pangkat matriks dikira berdasarkan aplikasi Teorem 10.2 - 10.4, serta penggunaan konsep kesetaraan matriks dan transformasi asas.

Definisi 1.15. Dua matriks
Dan dipanggil setara jika pangkat mereka sama, i.e.
.

Jika matriks
Dan adalah setara, maka perhatikan
 .

Teorem 1.5. Kedudukan matriks tidak berubah disebabkan oleh transformasi asas.

Kami akan memanggil transformasi matriks asas
mana-mana operasi berikut pada matriks:

Menggantikan baris dengan lajur dan lajur dengan baris yang sepadan;

Menyusun semula baris matriks;

Memotong garis yang semua elemennya adalah sifar;

Mendarab rentetan dengan nombor selain sifar;

Menambah kepada unsur-unsur satu baris unsur-unsur yang sepadan dengan baris lain yang didarab dengan nombor yang sama
.

Akibat Teorem 1.5. Jika matriks
diperoleh daripada matriks menggunakan bilangan terhingga penjelmaan asas, kemudian matriks
Dan adalah setara.

Apabila mengira pangkat matriks, ia harus dikurangkan kepada bentuk trapezoid menggunakan nombor terhingga penjelmaan asas.

Definisi 1.16. Kami akan memanggil trapezoid sebagai bentuk perwakilan matriks apabila, dalam minor sempadan tertib tertinggi selain sifar, semua elemen di bawah pepenjuru lenyap. Sebagai contoh:

.

Di sini
, unsur matriks
pergi ke sifar. Kemudian bentuk perwakilan matriks sedemikian akan menjadi trapezoid.

Sebagai peraturan, matriks dikurangkan kepada bentuk trapezoid menggunakan algoritma Gaussian. Idea algoritma Gauss ialah, dengan mendarabkan elemen baris pertama matriks dengan faktor yang sepadan, dicapai bahawa semua elemen lajur pertama terletak di bawah elemen.
, akan bertukar kepada sifar. Kemudian, mendarabkan elemen lajur kedua dengan faktor yang sepadan, kami memastikan semua elemen lajur kedua terletak di bawah elemen
, akan bertukar kepada sifar. Kemudian teruskan dengan cara yang sama.

Masalah 1.5. Tentukan pangkat sesuatu matriks dengan mengurangkannya kepada bentuk trapezoid.

.

Untuk memudahkan penggunaan algoritma Gaussian, anda boleh menukar baris pertama dan ketiga.








.

Ia jelas bahawa di sini
. Walau bagaimanapun, untuk membawa hasil kepada bentuk yang lebih elegan, anda boleh terus mengubah lajur.










.

Nombor r dipanggil pangkat matriks A jika:
1) dalam matriks A terdapat minor bagi susunan r, berbeza daripada sifar;
2) semua bawah perintah (r+1) dan lebih tinggi, jika wujud, adalah sama dengan sifar.
Jika tidak, pangkat sesuatu matriks ialah susunan kecil tertinggi selain sifar.
Jawatan: rangA, r A atau r.
Daripada takrifan ia mengikuti bahawa r ialah integer positif. Untuk matriks nol, pangkat dianggap sebagai sifar.

Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian direka untuk mencari pangkat matriks. Dalam kes ini, penyelesaian disimpan dalam format Word dan Excel. lihat contoh penyelesaian.

Arahan. Pilih dimensi matriks, klik Seterusnya.

Pilih dimensi matriks 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Definisi . Biarkan matriks pangkat r diberikan. Mana-mana minor matriks yang berbeza daripada sifar dan mempunyai susunan r dipanggil asas, dan baris dan lajur komponennya dipanggil baris dan lajur asas.
Mengikut definisi ini, matriks A boleh mempunyai beberapa asas minor.

Kedudukan matriks identiti E ialah n (bilangan baris).

Contoh 1. Diberi dua matriks, dan anak di bawah umur mereka , . Manakah antara mereka yang boleh diambil sebagai asas?
Penyelesaian. Minor M 1 =0, jadi ia tidak boleh menjadi asas untuk mana-mana matriks. Minor M 2 =-9≠0 dan mempunyai urutan 2, yang bermaksud ia boleh diambil sebagai asas matriks A atau / dan B, dengan syarat mereka mempunyai pangkat sama dengan 2. Oleh kerana detB=0 (sebagai penentu dengan dua lajur berkadar), maka rangB=2 dan M 2 boleh diambil sebagai asas minor bagi matriks B. Kedudukan matriks A ialah 3, disebabkan fakta bahawa detA=-27≠ 0 dan, oleh itu, susunan asas minor bagi matriks ini mestilah sama dengan 3, iaitu, M 2 bukan asas untuk matriks A. Perhatikan bahawa matriks A mempunyai asas minor tunggal, sama dengan penentu matriks A.

Teorem (tentang asas minor). Mana-mana baris (lajur) matriks ialah gabungan linear baris asasnya (lajur).
Akibat daripada teorem.

1. Setiap (r+1) lajur (baris) matriks pangkat r adalah bersandar secara linear.
2. Jika pangkat sesuatu matriks kurang daripada bilangan barisnya (lajur), maka barisnya (lajur) adalah bergantung secara linear. Jika rangA adalah sama dengan bilangan barisnya (lajur), maka baris (lajur) adalah bebas secara linear.
3. Penentu bagi matriks A adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika barisnya (lajur) bersandar secara linear.
4. Jika anda menambah satu lagi baris (lajur) pada baris (lajur) matriks, didarab dengan sebarang nombor selain sifar, maka pangkat matriks itu tidak akan berubah.
5. Jika anda memotong baris (lajur) dalam matriks, yang merupakan gabungan linear baris lain (lajur), maka pangkat matriks tidak akan berubah.
6. Kedudukan matriks adalah sama dengan bilangan maksimum baris bebas linearnya (lajur).
7. Bilangan maksimum baris bebas linear adalah sama dengan bilangan maksimum lajur bebas linear.

Contoh 2. Cari pangkat matriks .
Penyelesaian. Berdasarkan definisi kedudukan matriks, kita akan mencari minor susunan tertinggi, berbeza daripada sifar. Mula-mula, mari tukar matriks kepada bentuk yang lebih mudah. Untuk melakukan ini, darabkan baris pertama matriks dengan (-2) dan tambahkannya pada yang kedua, kemudian darabkannya dengan (-1) dan tambahkannya kepada yang ketiga.

Definisi. Kedudukan matriks ialah bilangan maksimum baris bebas linear yang dianggap sebagai vektor.

Teorem 1 pada pangkat matriks. Kedudukan matriks dipanggil tertib maksimum bukan sifar minor matriks.

Kami telah membincangkan konsep minor dalam pelajaran tentang penentu, dan kini kami akan generalisasikannya. Mari kita ambil bilangan baris dan bilangan lajur tertentu dalam matriks, dan "berapa banyak" ini sepatutnya kurang daripada bilangan baris dan lajur matriks, dan untuk baris dan lajur ini "berapa banyak" sepatutnya menjadi nombor yang sama. Kemudian di persimpangan berapa banyak baris dan berapa banyak lajur akan terdapat matriks yang lebih rendah daripada matriks asal kita. Penentu ialah matriks dan akan menjadi minor daripada susunan ke-k jika "beberapa" yang disebut (bilangan baris dan lajur) dilambangkan dengan k.

Definisi. kecil ( r+1) tertib ke-, di mana anak bawah umur yang dipilih terletak r-perintah ke-dipanggil bersempadan untuk kanak-kanak bawah umur tertentu.

Dua kaedah yang paling biasa digunakan ialah mencari pangkat matriks. ini cara bersempadan dengan kanak-kanak bawah umur Dan kaedah transformasi asas(kaedah Gauss).

Apabila menggunakan kaedah sempadan bawah umur, teorem berikut digunakan.

Teorem 2 pada pangkat matriks. Jika minor boleh terdiri daripada elemen matriks r urutan ke-, tidak sama dengan sifar, maka pangkat matriks adalah sama dengan r.

Apabila menggunakan kaedah transformasi asas, sifat berikut digunakan:

Jika, melalui transformasi asas, matriks trapezoid diperolehi yang setara dengan yang asal, maka pangkat matriks ini ialah bilangan baris di dalamnya selain daripada garisan yang terdiri sepenuhnya daripada sifar.

Mencari pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur

Anak bawah umur yang disertakan ialah anak bawah umur yang lebih tinggi berbanding dengan yang diberikan jika bawah umur yang lebih tinggi ini mengandungi anak bawah umur yang diberikan.

Sebagai contoh, diberikan matriks

Jom ambil budak bawah umur

Kanak-kanak bawah umur yang bersempadan ialah:

Algoritma untuk mencari pangkat matriks seterusnya.

1. Cari anak bawah umur bagi susunan kedua yang tidak sama dengan sifar. Jika semua bawah umur urutan kedua adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks akan sama dengan satu ( r =1 ).

2. Jika terdapat sekurang-kurangnya satu bawahan bagi susunan kedua yang tidak bersamaan dengan sifar, maka kami membentuk bawahan yang bersempadan bagi susunan ketiga. Jika semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan ketiga adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks adalah sama dengan dua ( r =2 ).

3. Jika sekurang-kurangnya satu daripada kanak-kanak di bawah umur yang bersempadan bagi susunan ketiga tidak sama dengan sifar, maka kami mengarang kanak-kanak di bawah umur yang bersempadan. Jika semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan keempat adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks adalah sama dengan tiga ( r =2 ).

4. Teruskan cara ini selagi saiz matriks mengizinkan.

Contoh 1. Cari pangkat matriks

.

Penyelesaian. Kecil daripada perintah kedua .

Mari kita sempadaninya. Akan ada empat kanak-kanak bawah umur yang bersempadan:

,

,

Oleh itu, semua kanak-kanak bawah umur yang bersempadan dari urutan ketiga adalah sama dengan sifar, oleh itu, pangkat matriks ini adalah sama dengan dua ( r =2 ).

Contoh 2. Cari pangkat matriks

Penyelesaian. Kedudukan matriks ini adalah sama dengan 1, kerana semua minor orde kedua bagi matriks ini adalah sama dengan sifar (dalam hal ini, seperti dalam kes kanak-kanak yang bersempadan dalam dua contoh berikut, pelajar yang dihormati dijemput untuk mengesahkan mereka sendiri, mungkin menggunakan peraturan untuk mengira penentu), dan di kalangan minor order pertama , iaitu, antara elemen matriks, terdapat bukan sifar.

Contoh 3. Cari pangkat matriks

Penyelesaian. Tertib kedua kecil matriks ini ialah, dan semua tertib ketiga terkecil matriks ini adalah sama dengan sifar. Oleh itu, pangkat matriks ini adalah dua.

Contoh 4. Cari pangkat matriks

Penyelesaian. Kedudukan matriks ini ialah 3, kerana satu-satunya minor urutan ketiga matriks ini ialah 3.

Mencari pangkat matriks menggunakan kaedah penjelmaan asas (kaedah Gauss)

Sudah dalam contoh 1 jelas bahawa tugas menentukan pangkat matriks menggunakan kaedah sempadan bawah umur memerlukan pengiraan sejumlah besar penentu. Walau bagaimanapun, terdapat cara untuk mengurangkan jumlah pengiraan kepada minimum. Kaedah ini berdasarkan penggunaan transformasi matriks asas dan juga dipanggil kaedah Gauss.

Operasi berikut difahami sebagai transformasi matriks asas:

1) mendarab mana-mana baris atau lajur matriks dengan nombor selain sifar;

2) menambah elemen pada mana-mana baris atau lajur matriks unsur-unsur yang sepadan bagi baris atau lajur lain, didarab dengan nombor yang sama;

3) menukar dua baris atau lajur matriks;

4) mengalih keluar baris "null", iaitu, yang unsur-unsurnya semuanya sama dengan sifar;

5) memadam semua garis berkadar kecuali satu.

Teorem. Semasa transformasi asas, pangkat matriks tidak berubah. Dalam erti kata lain, jika kita menggunakan transformasi asas daripada matriks A pergi ke matriks B, Itu .

Biarkan A ialah matriks bersaiz m\kali n dan k ialah nombor asli yang tidak melebihi m dan n: k\leqslant\min\(m;n\). Pesanan kth kecil matriks A ialah penentu bagi matriks tertib ke-k yang dibentuk oleh unsur-unsur pada persilangan baris k dan k lajur yang dipilih secara sewenang-wenangnya bagi matriks A. Apabila menandakan bawah umur, kami akan menunjukkan nombor baris yang dipilih sebagai indeks atas, dan nombor lajur yang dipilih sebagai indeks bawah, menyusunnya dalam tertib menaik.

Contoh 3.4. Tulis minor daripada susunan matriks yang berbeza

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Penyelesaian. Matriks A mempunyai dimensi 3\times4 . Ia mempunyai: 12 kanak-kanak bawah umur daripada urutan pertama, sebagai contoh, bawah umur M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 bawah umur perintah kedua, contohnya, M_(()_(23))^(()^(12))=\mulakan(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 bawah umur perintah ketiga, contohnya,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Dalam matriks A berdimensi m\kali n, tertib ke-r kecil dipanggil asas, jika ia bukan sifar dan semua tertib bawah (r+1)-ro adalah sama dengan sifar atau tidak wujud sama sekali.

Kedudukan matriks dipanggil susunan asas minor. Tiada asas minor dalam matriks sifar. Oleh itu, kedudukan matriks sifar adalah, mengikut definisi, sama dengan sifar. Kedudukan matriks A dilambangkan dengan \nama pengendali(rg)A.

Contoh 3.5. Cari semua asas bawah dan pangkat matriks

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Penyelesaian. Semua minor urutan ketiga matriks ini adalah sama dengan sifar, kerana penentu ini mempunyai baris ketiga sifar. Oleh itu, hanya minor urutan kedua yang terletak di dua baris pertama matriks boleh menjadi asas. Melalui 6 kemungkinan kanak-kanak bawah umur, kami memilih bukan sifar

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Setiap daripada lima kanak-kanak bawah umur ini adalah yang asas. Oleh itu, pangkat matriks ialah 2.

Nota 3.2

1. Jika semua minor order ke-k dalam matriks adalah sama dengan sifar, maka minor order lebih tinggi juga sama dengan sifar. Sesungguhnya, mengembangkan tertib kecil (k+1)-ro ke atas mana-mana baris, kami memperoleh jumlah hasil darab unsur baris ini dengan tertib ke-k, dan ia adalah sama dengan sifar.

2. Kedudukan matriks adalah sama dengan susunan tertinggi bukan sifar minor matriks ini.

3. Jika matriks segi empat sama bukan tunggal, maka pangkatnya adalah sama dengan susunannya. Jika matriks segi empat sama adalah tunggal, maka pangkatnya kurang daripada susunannya.

4. Jawatan juga digunakan untuk pangkat \nama pengendali(Rg)A,~ \nama pengendali(rang)A,~ \nama pengendali(pangkat)A.

5. Kedudukan matriks blok ditakrifkan sebagai pangkat matriks biasa (numerik), i.e. tanpa mengira struktur bloknya. Dalam kes ini, pangkat matriks blok tidak kurang daripada pangkat bloknya: \nama pengendali(rg)(A\pertengahan B)\geqslant\nama pengendali(rg)A Dan \nama pengendali(rg)(A\pertengahan B)\geqslant\nama pengendali(rg)B, kerana semua minor matriks A (atau B ) juga minor matriks blok (A\mid B) .

Teorem berdasarkan minor dan pangkat matriks

Mari kita pertimbangkan teorem utama yang menyatakan sifat pergantungan linear dan kebebasan linear lajur (baris) matriks.

Teorem 3.1 berdasarkan asas kecil. Dalam matriks A sewenang-wenangnya, setiap lajur (baris) ialah gabungan linear lajur (baris) di mana asas minor terletak.

Sesungguhnya, tanpa kehilangan keluasan, kami menganggap bahawa dalam matriks A bersaiz m\kali n asas minor terletak di baris r pertama dan lajur r pertama. Pertimbangkan penentu

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

yang diperoleh dengan memberikan elemen sepadan baris ke-1 dan lajur ke-k kepada minor asas matriks A. Ambil perhatian bahawa untuk mana-mana 1\leqslant s\leqslant m dan penentu ini sama dengan sifar. Jika s\leqslant r atau k\leqslant r , maka penentu D mengandungi dua baris yang sama atau dua lajur yang sama. Jika s>r dan k>r, maka penentu D adalah sama dengan sifar, kerana ia adalah tertib kecil (r+l)-ro. Mengembangkan penentu di sepanjang baris terakhir, kita dapat

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

dengan D_(r+1\,j) ialah pelengkap algebra bagi unsur-unsur baris terakhir. Ambil perhatian bahawa D_(r+1\,r+1)\ne0 kerana ini adalah asas minor. sebab tu

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Di mana \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Menulis kesamaan terakhir untuk s=1,2,\ldots,m, kita dapat

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

mereka. lajur kth (untuk mana-mana 1\leqslant k\leqslant n) ialah gabungan linear lajur asas minor, yang perlu kami buktikan.

Teorem minor asas berfungsi untuk membuktikan teorem penting berikut.

Syarat untuk penentu menjadi sifar

Teorem 3.2 (syarat yang perlu dan mencukupi untuk penentu menjadi sifar). Agar penentu sama dengan sifar, adalah perlu dan memadai bahawa salah satu lajurnya (salah satu barisnya) menjadi gabungan linear bagi lajur yang tinggal (baris).

Sesungguhnya, keperluan mengikut teorem kecil asas. Jika penentu bagi matriks segi empat sama tertib n adalah sama dengan sifar, maka pangkatnya kurang daripada n, i.e. sekurang-kurangnya satu lajur tidak termasuk dalam minor asas. Kemudian lajur yang dipilih ini, oleh Teorem 3.1, ialah gabungan linear lajur di mana asas minor terletak. Dengan menambah, jika perlu, kepada gabungan lajur lain dengan pekali sifar ini, kami memperoleh bahawa lajur yang dipilih ialah gabungan linear bagi lajur selebihnya matriks. Kecukupan mengikuti dari sifat-sifat penentu. Jika, sebagai contoh, lajur terakhir A_n penentu \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) dinyatakan secara linear melalui selebihnya

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

kemudian tambah pada A_n lajur A_1 darab dengan (-\lambda_1), kemudian lajur A_2 darab dengan (-\lambda_2), dsb. lajur A_(n-1) didarab dengan (-\lambda_(n-1)) kita mendapat penentu \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) dengan lajur nol yang sama dengan sifar (sifat 2 penentu).

Invarian kedudukan matriks di bawah penjelmaan asas

Teorem 3.3 (mengenai invarian pangkat di bawah penjelmaan asas). Semasa transformasi asas lajur (baris) matriks, kedudukannya tidak berubah.

Memang biarlah. Mari kita andaikan bahawa hasil daripada satu penjelmaan asas lajur matriks A kita memperoleh matriks A". Jika penjelmaan jenis I dilakukan (permutasi dua lajur), maka mana-mana minor (r+l)-ro bagi susunan itu. matriks A" sama ada sama dengan minor sepadan (r+l )-ro bagi susunan matriks A, atau berbeza daripadanya dalam tanda (sifat 3 penentu). Jika penjelmaan jenis II telah dilakukan (mendarab lajur dengan nombor \lambda\ne0 ), maka mana-mana minor (r+l)-ro bagi susunan matriks A" sama ada sama dengan minor sepadan (r+l) -ro susunan matriks A atau berbeza daripadanya faktor \lambda\ne0 (sifat 6 penentu). Jika penjelmaan jenis III dilakukan (menambah pada satu lajur lajur lain didarab dengan nombor \Lambda), maka sebarang minor bagi (r+1) tertib matriks A" sama ada sama dengan tertib minor (r+1)-th yang sepadan bagi matriks A (sifat 9 penentu), atau sama dengan hasil tambah dua minor (r+l)-ro daripada susunan matriks A (sifat 8 penentu). Oleh itu, di bawah transformasi asas apa-apa jenis, semua minor (r+l)-ro bagi susunan matriks A" adalah sama dengan sifar, kerana semua minor (r+l)-ro bagi susunan matriks A adalah sama dengan sifar. Oleh itu, telah terbukti bahawa di bawah transformasi asas lajur matriks pangkat tidak boleh meningkat. Memandangkan transformasi songsang kepada asas adalah asas, pangkat matriks tidak boleh menurun di bawah transformasi asas lajur, iaitu tidak berubah. Begitu juga, terbukti bahawa pangkat matriks tidak berubah di bawah transformasi asas baris.

Akibat 1. Jika satu baris (lajur) matriks adalah gabungan linear dari baris lain (lajur), maka baris (lajur) ini boleh dipadamkan daripada matriks tanpa mengubah kedudukannya.

Sesungguhnya, rentetan sedemikian boleh dibuat sifar menggunakan transformasi asas, dan rentetan sifar tidak boleh dimasukkan dalam minor asas.

Akibat 2. Jika matriks diturunkan kepada bentuk termudah (1.7), maka

\nama pengendali(rg)A=\nama pengendali(rg)\Lambda=r\,.

Malah, matriks dalam bentuk termudah (1.7) mempunyai asas minor bagi urutan ke-3.

Akibat 3. Mana-mana matriks persegi bukan tunggal adalah asas, dalam erti kata lain, mana-mana matriks persegi bukan tunggal adalah bersamaan dengan matriks identiti dengan susunan yang sama.

Sesungguhnya, jika A ialah matriks persegi bukan tunggal tertib ke-n, maka \nama pengendali(rg)A=n(lihat perenggan 3 ulasan 3.2). Oleh itu, membawa matriks A kepada bentuk termudah (1.7) dengan transformasi asas, kita memperoleh matriks identiti \Lambda=E_n , kerana \nama pengendali(rg)A=\nama pengendali(rg)\Lambda=n(lihat Akibat 2). Oleh itu, matriks A adalah bersamaan dengan matriks identiti E_n dan boleh diperoleh daripadanya hasil daripada bilangan transformasi asas yang terhingga. Ini bermakna matriks A adalah asas.

Teorem 3.4 (tentang pangkat matriks). Kedudukan matriks adalah sama dengan bilangan maksimum baris bebas linear bagi matriks ini.

Malah, biarkan \nama operator(rg)A=r. Kemudian matriks A mempunyai r baris bebas linear. Ini ialah garisan di mana minor asas terletak. Jika mereka bersandar secara linear, maka minor ini akan sama dengan sifar oleh Teorem 3.2, dan pangkat matriks A tidak akan sama dengan r. Mari kita tunjukkan bahawa r ialah bilangan maksimum baris bebas linear, i.e. mana-mana baris p adalah bergantung secara linear untuk p>r. Sesungguhnya, kita membentuk matriks B daripada baris p ini. Oleh kerana matriks B ialah sebahagian daripada matriks A, maka \nama pengendali(rg)B\leqslant \nama pengendali(rg)A=r

Ini bermakna sekurang-kurangnya satu baris matriks B tidak termasuk dalam minor asas matriks ini. Kemudian, dengan teorem minor asas, ia adalah sama dengan gabungan linear baris di mana minor asas terletak. Oleh itu, baris matriks B adalah bersandar secara linear. Oleh itu, matriks A mempunyai paling banyak r baris bebas linear.

Akibat 1. Bilangan maksimum baris bebas linear dalam matriks adalah sama dengan bilangan maksimum lajur bebas linear:

\nama pengendali(rg)A=\nama pengendali(rg)A^T.

Pernyataan ini menyusuli daripada Teorem 3.4 jika kita menggunakannya pada baris matriks terpindah dan mengambil kira bahawa minor tidak berubah semasa transposisi (sifat 1 penentu).

Akibat 2. Semasa transformasi asas bagi baris matriks, pergantungan linear (atau kebebasan linear) mana-mana sistem lajur matriks ini dikekalkan.

Malah, marilah kita memilih mana-mana lajur k bagi matriks A yang diberikan dan menyusun matriks B daripadanya. Biarkan matriks A" diperolehi hasil daripada penjelmaan asas bagi baris matriks A, dan matriks B" diperoleh hasil daripada penjelmaan yang sama bagi baris matriks B. Mengikut Teorem 3.3 \nama pengendali(rg)B"=\nama pengendali(rg)B. Oleh itu, jika lajur matriks B adalah bebas linear, i.e. k=\nama pengendali(rg)B(lihat Corollary 1), maka lajur matriks B" juga bebas secara linear, kerana k=\nama pengendali(rg)B". Jika lajur matriks B adalah bersandar secara linear (k>\nama pengendali(rg)B), maka lajur matriks B" juga bergantung secara linear (k>\nama pengendali(rg)B"). Akibatnya, untuk mana-mana lajur matriks A, kebergantungan linear atau kebebasan linear dikekalkan di bawah transformasi baris asas.

Nota 3.3

1. Berdasarkan Corollary 1 Teorem 3.4, sifat lajur yang ditunjukkan dalam Corollary 2 juga benar untuk mana-mana sistem baris matriks jika transformasi asas dilakukan hanya pada lajurnya.

2. Akibat 3 Teorem 3.3 boleh diperhalusi seperti berikut: mana-mana matriks segi empat sama bukan tunggal, menggunakan transformasi asas bagi barisnya sahaja (atau hanya lajurnya), boleh dikurangkan kepada matriks identiti dengan susunan yang sama.

Malah, dengan hanya menggunakan penjelmaan baris asas, sebarang matriks A boleh dikurangkan kepada bentuk yang dipermudahkan \Lambda (Rajah 1.5) (lihat Teorem 1.1). Memandangkan matriks A bukan tunggal (\det(A)\ne0), lajurnya tidak bersandar secara linear. Ini bermakna lajur matriks \Lambda juga tidak bersandar secara linear (Corollary 2 of Theorem 3.4). Oleh itu, bentuk termudah \Lambda bagi matriks bukan tunggal A bertepatan dengan bentuk termudahnya (Rajah 1.6) dan merupakan matriks identiti \Lambda=E (lihat Corollary 3 Teorem 3.3). Oleh itu, dengan menukar hanya baris matriks bukan tunggal, ia boleh dikurangkan kepada matriks identiti. Penaakulan yang serupa adalah sah untuk transformasi asas lajur bagi matriks bukan tunggal.

Kedudukan hasil darab dan jumlah matriks

Teorem 3.5 (pada pangkat hasil darab matriks). Kedudukan hasil darab matriks tidak melebihi pangkat faktor:

\nama pengendali(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\nama pengendali(rg)A,\nama pengendali(rg)B\).

Sesungguhnya, biarkan matriks A dan B mempunyai saiz m\kali p dan p\kali n . Mari kita berikan kepada matriks A matriks C=AB\kolon\,(A\pertengahan C). Sudah tentu itu \nama pengendali(rg)C\leqslant\nama pengendali(rg)(A\pertengahan C), memandangkan C ialah sebahagian daripada matriks (A\pertengahan C) (lihat perenggan 5 kenyataan 3.2). Ambil perhatian bahawa setiap lajur C_j, mengikut operasi pendaraban matriks, ialah gabungan linear lajur A_1,A_2,\ldots,A_p matriks A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Lajur sedemikian boleh dipadamkan daripada matriks (A\mid C) tanpa mengubah kedudukannya (Corollary 1 of Theorem 3.3). Memotong semua lajur matriks C, kita dapat: \nama pengendali(rg)(A\pertengahan C)=\nama pengendali(rg)A. Dari sini, \nama pengendali(rg)C\leqslant\nama pengendali(rg)(A\pertengahan C)=\nama pengendali(rg)A. Begitu juga, kita boleh membuktikan bahawa syarat itu pada masa yang sama dipenuhi \nama pengendali(rg)C\leqslant\nama pengendali(rg)B, dan buat kesimpulan tentang kesahan teorem tersebut.

Akibat. Jika A ialah matriks persegi bukan tunggal, maka \nama pengendali(rg)(AB)= \nama pengendali(rg)B Dan \nama pengendali(rg)(CA)=\nama pengendali(rg)C, iaitu pangkat matriks tidak berubah apabila ia didarab dari kiri atau kanan dengan matriks persegi bukan tunggal.

Teorem 3.6 tentang pangkat jumlah matriks. Kedudukan jumlah matriks tidak melebihi jumlah pangkat istilah:

\nama pengendali(rg)(A+B)\leqslant \nama pengendali(rg)A+\nama pengendali(rg)B.

Memang, mari kita buat matriks (A+B\pertengahan A\pertengahan B). Ambil perhatian bahawa setiap lajur matriks A+B ialah gabungan linear lajur matriks A dan B. sebab tu \nama pengendali(rg)(A+B\pertengahan A\pertengahan B)= \nama pengendali(rg)(A\pertengahan B). Memandangkan bilangan lajur bebas linear dalam matriks (A\pertengahan B) tidak melebihi \nama pengendali(rg)A+\nama pengendali(rg)B, a \nama pengendali(rg)(A+B)\leqslant \nama pengendali(rg)(A+B\pertengahan A\pertengahan B)(lihat bahagian 5 Catatan 3.2), kami memperoleh ketaksamaan yang dibuktikan.