Katakan anda mempunyai beberapa jenis imej (lukisan, gambar, gambar), dan anda ingin mencari yang sama (pendua) atau serupa di Internet. Ini boleh dilakukan menggunakan alat khas daripada enjin carian Google dan Yandex, perkhidmatan TinEye, serta sambungan pelayar PhotoTracker Lite yang menakjubkan, yang menggabungkan semua kaedah ini. Mari lihat setiap daripada mereka.

Cari mengikut foto dalam Google

1. Berikan pautan kepada imej di Internet
2. Memuat naik fail dari komputer

Hasilnya, kami mendapat senarai lengkap gambar yang serupa daripada imej yang dipilih sebagai sampel:

Terdapat satu lagi cara yang baik yang berfungsi dalam penyemak imbas Chrome. Semasa berada di halaman dengan imej yang anda minati, gerakkan kursor tetikus kepadanya, klik kanan dan dalam petua alat yang terbuka, pilih "Cari imej (Google)":

Anda akan segera dibawa ke halaman hasil carian!

Cari mengikut imej dalam Yandex

Dengan Yandex, semuanya tidak kurang mudah berbanding dengan Google :) Ikuti pautan https://yandex.by/images/ dan klik ikon kamera di penjuru kanan sebelah atas:

Masukkan alamat imej di Internet atau muat naik dari komputer anda (anda boleh menyeretnya ke kawasan khas di bahagian atas tetingkap penyemak imbas):

Hasil carian kelihatan seperti ini:

Anda serta-merta mempunyai akses kepada maklumat berikut:

• Apakah dimensi dalam talian bagi imej yang anda muat naik sebagai sampel untuk carian?
• Senarai tapak di mana ia muncul
• Gambar yang serupa (diubah suai berdasarkan yang asal atau berdasarkan yang algoritma memutuskan persamaan semantiknya)

Mungkin ramai yang sudah mendengar tentang perkhidmatan dalam talian TinEye, yang sering dipanggil Tinai oleh pengguna berbahasa Rusia. Ia dibangunkan oleh pakar dalam bidang pembelajaran mesin dan pengecaman objek. Akibat semua ini, Tinay hebat bukan sahaja untuk mencari gambar dan gambar yang serupa, tetapi komponennya.

Pangkalan data imej terindeks TinEye mengandungi lebih daripada 10 bilion item, dan merupakan yang terbesar di seluruh Internet. "Semuanya boleh didapati di sini" - frasa ini mencirikan perkhidmatan dengan sempurna.

Terdapat cara lain untuk mencari dalam satu klik. Secara lalai, item "Tunjukkan ikon carian pantas" diaktifkan dalam tetapan aplikasi. Apabila anda menunjuk pada foto atau gambar, ikon hijau bulat muncul, mengklik pada yang memulakan carian untuk imej yang serupa - hasil carian untuk Google, Yandex, Tinay dan Bing akan dibuka secara automatik dalam tab baharu.

Sambungan itu dibuat oleh rakan senegara kita, yang hobinya berkait rapat dengan fotografi. Dia pada asalnya mencipta alat ini untuk mencari fotonya dengan cepat di tapak orang lain.

Apabila anda mungkin memerlukannya

• Anda seorang jurugambar, anda menyiarkan foto anda di Internet dan ingin melihat di tapak mana ia digunakan dan tempat hak cipta anda mungkin dilanggar.
• Anda seorang blogger atau penulis salinan, menulis artikel dan ingin memilih imej "tidak digodam" untuk bahan anda.
• Bagaimana jika seseorang menggunakan foto anda dari profil VKontakte atau Facebook anda sebagai avatar di forum atau akaun palsu di beberapa rangkaian sosial? Tetapi ini lebih daripada mungkin!
• Anda menemui foto seorang pelakon yang anda kenali dan ingin mengingati namanya.

Malah, terdapat sejumlah besar kes apabila carian melalui foto boleh berguna. Anda boleh berikan contoh lain...

Bagaimana untuk mencari asal imej yang diberikan

Sebagai contoh, anda mempunyai beberapa jenis gambar, mungkin dipangkas atau di-photoshop, dan anda ingin mencari versi asal atau kualiti yang lebih baik. Bagaimana hendak melakukannya? Jalankan carian dalam Yandex dan Google, seperti yang diterangkan di atas, atau gunakan PhotoTracker Lite dan dapatkan senarai semua imej yang ditemui. Seterusnya, ikuti perkara berikut:

1. Imej asal biasanya lebih besar dan berkualiti lebih baik daripada salinan yang diubah hasil daripada pemangkasan. Sudah tentu, anda boleh menetapkan gambar kepada sebarang saiz dalam Photoshop, tetapi apabila anda membesarkannya berbanding dengan yang asal, artifak akan sentiasa diperhatikan. Mereka boleh dilihat dengan mudah walaupun dengan pemeriksaan visual sepintas lalu.
2. Gambar asal selalunya mempunyai tera air yang menunjukkan pengarang foto (nama keluarga, alamat tapak web, nama syarikat, dll.). Sudah tentu, sesiapa sahaja boleh menambah tera air pada mana-mana imej, tetapi dalam kes ini, anda boleh mencari contoh foto di tapak web atau dengan nama keluarga pengarang, dia mungkin menyiarkan portfolionya dalam talian di suatu tempat.
3. Dan akhirnya, tanda yang sangat mudah. Jika foto sampel anda adalah hitam dan putih (sepia, dsb.), dan anda mendapati foto yang sama, tetapi berwarna penuh, maka anda jelas tidak mempunyai foto asal. jauh lebih sukar daripada menukar foto berwarna kepada hitam dan putih :)

Cara Menyelesaikan Persamaan Pembezaan
kaedah kalkulus operasi?

Dalam pelajaran ini, tugas biasa dan meluas analisis kompleks akan dibincangkan secara terperinci - mencari penyelesaian tertentu kepada DE tertib ke-2 dengan pekali malar menggunakan kaedah kalkulus operasi. Berkali-kali saya menyingkirkan anda daripada prasangka bahawa bahan itu tidak dapat dibayangkan rumit dan tidak boleh diakses. Ia lucu, tetapi untuk menguasai contoh, anda mungkin tidak dapat membezakan, menyepadukan, malah tidak tahu apa itu nombor kompleks. Kemahiran aplikasi diperlukan kaedah pekali tidak pasti, yang dibincangkan secara terperinci dalam artikel Penyepaduan Fungsi Pecahan-Rasional. Malah, asas tugasan adalah operasi algebra yang mudah, dan saya yakin bahan itu boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah menengah.

Pertama, maklumat teori yang ringkas tentang bahagian analisis matematik yang sedang dipertimbangkan. Perkara utama kalkulus operasi adalah seperti berikut: fungsi sah pembolehubah menggunakan apa yang dipanggil Transformasi Laplace dipaparkan dalam fungsi menyeluruh pembolehubah :

Terminologi dan sebutan:
fungsi itu dipanggil asal;
fungsi itu dipanggil gambar;
huruf besar menandakan Transformasi Laplace.

Secara ringkasnya, fungsi sebenar (asal) mengikut peraturan tertentu mesti ditukar kepada fungsi kompleks (imej). Anak panah menunjukkan dengan tepat transformasi ini. Dan "peraturan tertentu" itu sendiri Transformasi Laplace, yang akan kami pertimbangkan hanya secara formal, yang akan cukup untuk menyelesaikan masalah.

Transformasi Laplace songsang juga boleh dilaksanakan, apabila imej diubah menjadi yang asal:

Mengapa semua ini diperlukan? Dalam beberapa masalah matematik yang lebih tinggi, ia boleh menjadi sangat berfaedah untuk menukar daripada asal kepada imej, kerana dalam kes ini penyelesaian kepada masalah itu dipermudahkan dengan ketara (hanya bergurau). Dan kami akan mempertimbangkan hanya satu daripada masalah ini. Jika anda telah hidup untuk melihat kalkulus operasi, maka rumusan itu sepatutnya sangat biasa kepada anda:

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen tertib kedua dengan pekali malar untuk keadaan awal yang diberikan.

Catatan: kadangkala persamaan pembezaan boleh menjadi homogen: , untuknya dalam rumusan di atas kaedah kalkulus operasi juga terpakai. Walau bagaimanapun, dalam contoh praktikal DE homogen tertib ke-2 adalah sangat jarang berlaku, dan selanjutnya kita akan bercakap tentang persamaan tidak homogen.

Dan kini kaedah ketiga akan dibincangkan - menyelesaikan persamaan pembezaan menggunakan kalkulus operasi. Sekali lagi saya menekankan hakikat bahawa kita bercakap tentang mencari penyelesaian tertentu, Selain itu, syarat awal benar-benar mempunyai bentuk(“X” sama dengan sifar).

Ngomong-ngomong, mengenai "X". Persamaan boleh ditulis semula seperti berikut:
, dengan "x" ialah pembolehubah bebas, dan "y" ialah fungsi. Bukan kebetulan bahawa saya bercakap tentang ini, kerana dalam masalah yang sedang dipertimbangkan surat lain paling kerap digunakan:

Iaitu, peranan pembolehubah bebas dimainkan oleh pembolehubah "te" (bukannya "x"), dan peranan fungsi dimainkan oleh pembolehubah "x" (bukannya "y")

Saya faham bahawa ia menyusahkan, sudah tentu, tetapi lebih baik untuk berpegang pada notasi yang terdapat dalam kebanyakan buku masalah dan manual latihan.

Jadi, masalah kita dengan surat lain ditulis seperti berikut:

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen tertib kedua dengan pekali malar untuk keadaan awal yang diberikan .

Maksud tugas itu tidak berubah sama sekali, hanya huruf yang berubah.

Bagaimanakah cara untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah kalkulus operasi?

Pertama sekali, anda perlu jadual asal dan imej. Ini adalah alat penyelesaian utama, dan anda tidak boleh melakukannya tanpanya. Oleh itu, jika boleh, cuba cetak bahan rujukan yang disediakan. Izinkan saya segera menerangkan maksud huruf "pe": pembolehubah kompleks (bukannya "z" biasa). Walaupun fakta ini tidak begitu penting untuk menyelesaikan masalah, "pe" ialah "pe".

Menggunakan jadual, yang asal perlu ditukar kepada beberapa imej. Yang berikut ialah satu siri tindakan biasa, dan transformasi Laplace songsang digunakan (juga dalam jadual). Oleh itu, penyelesaian tertentu yang dikehendaki akan ditemui.

Semua masalah, yang bagus, diselesaikan mengikut algoritma yang agak ketat.

Contoh 1

, ,

Penyelesaian: Dalam langkah pertama, kami akan beralih daripada yang asal kepada imej yang sepadan. Kami menggunakan bahagian kiri.

Mula-mula, mari kita lihat sebelah kiri persamaan asal. Untuk transformasi Laplace yang kami ada peraturan lineariti, oleh itu kita mengabaikan semua pemalar dan bekerja secara berasingan dengan fungsi dan derivatifnya.

Menggunakan formula jadual No. 1, kami mengubah fungsi:

Mengikut formula No. 2 , dengan mengambil kira keadaan awal, kami mengubah derivatif:

Menggunakan formula No. 3, dengan mengambil kira keadaan awal, kami mengubah derivatif kedua:

Jangan keliru dengan tanda-tanda!

Saya akui, lebih tepat untuk mengatakan bukan "formula", tetapi "transformasi", tetapi untuk kesederhanaan, dari semasa ke semasa saya akan memanggil kandungan formula jadual.

Sekarang mari kita lihat di sebelah kanan, yang mengandungi polinomial. Disebabkan sama peraturan lineariti Transformasi Laplace, kami bekerja dengan setiap istilah secara berasingan.

Mari kita lihat sebutan pertama: - ini ialah pembolehubah bebas “te” didarab dengan pemalar. Kami mengabaikan pemalar dan, menggunakan titik No. 4 jadual, melakukan transformasi:

Mari kita lihat penggal kedua: –5. Apabila pemalar ditemui bersendirian, ia tidak lagi boleh dilangkau. Dengan pemalar tunggal, mereka melakukan ini: untuk kejelasan, ia boleh diwakili sebagai produk: , dan transformasi boleh digunakan untuk perpaduan:

Oleh itu, untuk semua elemen (asal) persamaan pembezaan, imej yang sepadan ditemui menggunakan jadual:

Mari kita gantikan imej yang ditemui ke dalam persamaan asal:

Tugas seterusnya ialah menyatakan penyelesaian pengendali melalui segala-galanya, iaitu melalui satu pecahan. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk mematuhi prosedur berikut:

Mula-mula, buka kurungan di sebelah kiri:

Kami membentangkan istilah yang serupa di sebelah kiri (jika wujud). Dalam kes ini, kami menambah nombor –2 dan –3. Saya amat mengesyorkan agar teko tidak melangkau langkah ini:

Di sebelah kiri kita tinggalkan istilah yang mengandungi , dan gerakkan baki istilah ke kanan dengan perubahan tanda:

Di sebelah kiri kami meletakkan penyelesaian operator daripada kurungan, di sebelah kanan kami mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa:

Polinomial di sebelah kiri hendaklah difaktorkan (jika boleh). Menyelesaikan persamaan kuadratik:

Oleh itu:

Kami menetapkan semula kepada penyebut sebelah kanan:

Matlamat telah dicapai - penyelesaian operator dinyatakan dalam sebutan satu pecahan.

Bertindak dua. menggunakan kaedah pekali tidak pasti, penyelesaian pengendali persamaan harus dikembangkan menjadi jumlah pecahan asas:

Mari kita samakan pekali pada kuasa yang sepadan dan selesaikan sistem:

Jika anda mempunyai sebarang masalah dengan sila kejar artikel Mengintegrasikan Fungsi Pecahan-Rasional Dan Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan? Ini sangat penting kerana pecahan pada dasarnya adalah bahagian paling penting dalam masalah.

Jadi, pekali ditemui: , dan penyelesaian pengendali muncul di hadapan kita dalam bentuk terurai:

Sila ambil perhatian bahawa pemalar tidak ditulis dalam pengangka pecahan. Bentuk rakaman ini lebih menguntungkan daripada . Dan ia lebih menguntungkan, kerana tindakan terakhir akan berlaku tanpa kekeliruan dan kesilapan:

Peringkat akhir masalah adalah menggunakan transformasi Laplace songsang untuk beralih daripada imej kepada asal yang sepadan. Menggunakan lajur kanan jadual asal dan imej.

Mungkin tidak semua orang memahami penukaran itu. Formula titik No. 5 jadual digunakan di sini: . Lebih terperinci: . Sebenarnya, untuk kes yang serupa, formula boleh diubah suai: . Dan semua formula jadual titik No. 5 sangat mudah untuk ditulis semula dengan cara yang sama.

Selepas peralihan terbalik, penyelesaian separa DE yang dikehendaki diperoleh pada pinggan perak:

Adakah:

menjadi:

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Jika anda mempunyai masa, anda dinasihatkan untuk melakukan pemeriksaan. Ujian dilakukan mengikut skema standard, yang telah dibincangkan di dalam kelas. Persamaan pembezaan tak homogen bagi susunan ke-2. Mari ulangi:

Mari kita semak pemenuhan syarat awal:
- selesai.

Mari cari derivatif pertama:

Mari kita semak pemenuhan syarat awal kedua:
- selesai.

Mari cari derivatif kedua:

Mari kita ganti , dan ke sebelah kiri persamaan asal:

Bahagian kanan persamaan asal diperolehi.

Kesimpulan: tugasan telah disiapkan dengan betul.

Contoh kecil untuk penyelesaian anda sendiri:

Contoh 2

Menggunakan kalkulus operasi, cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan di bawah keadaan awal yang diberikan.

Contoh anggaran tugasan akhir pada akhir pelajaran.

Tetamu yang paling biasa dalam persamaan pembezaan, seperti yang telah lama diperhatikan oleh ramai, adalah eksponen, jadi mari kita pertimbangkan beberapa contoh dengan mereka, saudara mereka:

Contoh 3

, ,

Penyelesaian: Menggunakan jadual transformasi Laplace (sebelah kiri jadual), kami beralih daripada yang asal kepada imej yang sepadan.

Mari kita lihat bahagian kiri persamaan terlebih dahulu. Tiada terbitan pertama di sana. Jadi apa? Hebat. Kurang kerja. Dengan mengambil kira syarat awal, menggunakan formula jadual No. 1, 3 kita dapati imej:

Sekarang lihat sebelah kanan: – hasil darab dua fungsi. Untuk mengambil kesempatan sifat lineariti Laplace transform, anda perlu membuka kurungan: . Oleh kerana pemalar berada dalam produk, kita melupakannya, dan menggunakan kumpulan No. 5 formula jadual, kita dapati imej:

Mari kita gantikan imej yang ditemui ke dalam persamaan asal:

Biar saya ingatkan anda bahawa tugas seterusnya adalah untuk menyatakan penyelesaian operator dari segi pecahan tunggal.

Di sebelah kiri kita tinggalkan istilah yang mengandungi , dan alihkan istilah yang tinggal ke sebelah kanan. Pada masa yang sama, di sebelah kanan kita mula perlahan-lahan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa:

Di sebelah kiri kami mengeluarkannya daripada kurungan, di sebelah kanan kami membawa ungkapan kepada penyebut biasa:

Di sebelah kiri kita memperoleh polinomial yang tidak boleh difaktorkan. Sekiranya polinomial tidak boleh difaktorkan, maka orang miskin itu mesti segera dibuang ke bahagian bawah sebelah kanan, kakinya dikonkritkan di dalam besen. Dan dalam pengangka kami membuka kurungan dan mengemukakan istilah yang serupa:

Tahap yang paling teliti telah tiba: kaedah pekali yang tidak ditentukan Mari kita kembangkan penyelesaian pengendali persamaan menjadi jumlah pecahan asas:


Oleh itu:

Perhatikan bagaimana pecahan itu terurai: , saya akan menerangkan mengapa ini berlaku.

Selesai: mari kita beralih daripada imej kepada asal yang sepadan, gunakan lajur kanan jadual:

Dalam dua penjelmaan yang lebih rendah, formula No. 6 dan 7 jadual telah digunakan, dan pecahan itu telah dikembangkan terlebih dahulu untuk "memastikan" ia dengan penjelmaan jadual.

Akibatnya, penyelesaian tertentu:

Jawapan: penyelesaian khusus yang diperlukan:

Contoh yang sama untuk penyelesaian DIY:

Contoh 4

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan menggunakan kaedah kalkulus operasi.

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dalam Contoh 4, salah satu syarat awal ialah sifar. Ini sudah tentu memudahkan penyelesaian, dan pilihan yang paling ideal ialah apabila kedua-dua keadaan awal adalah sifar: . Dalam kes ini, derivatif ditukar kepada imej tanpa ekor:

Seperti yang telah dinyatakan, aspek teknikal yang paling sukar dalam masalah ialah pengembangan pecahan kaedah pekali yang tidak ditentukan, dan saya mempunyai contoh yang agak intensif buruh yang boleh saya gunakan. Walau bagaimanapun, saya tidak akan menakut-nakutkan sesiapa yang mempunyai raksasa, mari kita pertimbangkan beberapa variasi persamaan yang lebih tipikal:

Contoh 5

Dengan menggunakan kaedah kalkulus operasi, cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal yang diberikan.
, ,

Penyelesaian: Menggunakan jadual transformasi Laplace, kami beralih daripada imej asal kepada imej yang sepadan. Memandangkan syarat awal :

Tiada masalah dengan bahagian kanan sama ada:

(Ingat bahawa pemalar pengganda diabaikan)

Mari kita gantikan imej yang terhasil ke dalam persamaan asal dan lakukan tindakan standard, yang, saya harap, anda telah bekerja dengan baik:

Kami mengambil pemalar dalam penyebut di luar pecahan, perkara utama adalah tidak melupakannya kemudian:

Saya sedang memikirkan sama ada untuk mengeluarkan dua tambahan daripada pengangka, bagaimanapun, selepas mengambil stok, saya membuat kesimpulan bahawa langkah ini secara praktikal tidak akan memudahkan keputusan selanjutnya.

Keanehan tugas adalah pecahan yang terhasil. Nampaknya penguraiannya akan panjang dan sukar, tetapi penampilan adalah menipu. Sememangnya, terdapat perkara yang sukar, tetapi dalam apa jua keadaan - ke hadapan, tanpa rasa takut dan keraguan:

Fakta bahawa beberapa kemungkinan menjadi pecahan tidak sepatutnya mengelirukan. Sekiranya teknologi pengkomputeran tidak gagal. Di samping itu, sentiasa ada peluang untuk menyemak jawapan.

Akibatnya, penyelesaian pengendali:

Mari kita beralih daripada imej kepada asal yang sepadan:

Oleh itu, penyelesaian tertentu:

Kalkulus operasi adalah salah satu daripada bab analisis matematik moden. Transformasi Laplace integral dan kalkulus operasi yang dibina berdasarkan asasnya adalah radas yang berkesan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan (kedua-dua derivatif biasa dan separa), perbezaan perbezaan dan persamaan kamiran, yang mana masalah dalam kejuruteraan elektrik, kejuruteraan radio, elektronik, teori kawalan automatik, kejuruteraan haba, dan mekanik dikurangkan dan bidang sains dan teknologi yang lain. Ambil perhatian bahawa kalkulus operasi juga berdasarkan transformasi lain, contohnya, Fourier, Hankel, Mellin, dsb.

Idea menggunakan kaedah operasi adalah seperti berikut. Katakan kita perlu mencari fungsi daripada beberapa persamaan yang mengandungi fungsi ini di bawah tanda terbitan dan kamiran. Daripada fungsi yang diperlukan (ia dipanggil asal) beralih ke fungsi lain (ia dipanggil imej), yang merupakan hasil daripada transformasi. Selaras dengan peraturan kalkulus operasi, operasi pada asal digantikan dengan operasi sepadan pada imej, yang lebih mudah; contohnya pembezaan sepadan dengan pendaraban pada , integrasi–pembahagian oleh R dan lain-lain. Ini membolehkan kita beralih daripada persamaan kompleks berkenaan dengan kepada persamaan yang lebih mudah mengenai , dipanggil pengendali; contohnya, daripada persamaan pembezaan–kepada algebra. Setelah menyelesaikan persamaan operator, daripada imej pergi ke asal - fungsi yang dikehendaki. Penyelesaian masalah menggunakan kaedah operasi dikaitkan dengan dua peringkat; dengan mencari imej penyelesaian yang diingini dan kembali kepada asal.

Penggunaan kaedah operasi boleh dibandingkan dengan logaritma, yang membolehkan operasi kompleks pada nombor digantikan dengan operasi yang lebih mudah pada logaritma mereka, selepas itu ia sekali lagi meneruskan dari logaritma yang ditemui ke nombor yang dikehendaki. Di sini peranan asal dimainkan oleh nombor, dan peranan imej ialah logaritmanya.

1.1. Asal dan imej

biarlah ialah fungsi sebenar bagi hujah sebenar, ditakrifkan untuk mana-mana .

Definisi. Kami akan memanggil fungsi asal , jika ia memenuhi syarat berikut.

1. – fungsi berterusan sekeping untuk ; ini bermakna ia adalah sama ada berterusan atau mempunyai titik ketakselanjaran jenis pertama, yang bilangannya adalah terhingga pada sebarang selang terhingga;

2. pada ;

3. mungkin meningkat dengan peningkatan, tetapi tidak lebih cepat daripada beberapa fungsi eksponen. Ini bermakna terdapat nombor sedemikian dan untuk kesemuanya ia ada , nombor itu dipanggil eksponen pertumbuhan fungsi . (Untuk fungsi terhad boleh diterima).

Mari kita lihat syarat-syarat ini dengan lebih terperinci. Syarat 1 dan 3 dipenuhi untuk kebanyakan fungsi yang sepadan dengan proses fizikal di mana t difahami sebagai masa. Syarat 2 dibenarkan oleh fakta bahawa apabila mengkaji proses, tidak kira bagaimana fungsi yang sedang dipertimbangkan berkelakuan sehingga momen awal tertentu dalam masa, yang, sudah tentu, boleh dianggap sebagai momen .

Sehubungan dengan syarat 2, dalam pembentangan seterusnya, di mana ini diperlukan, kami akan menulis untuk ringkas sahaja ungkapan , yang dia miliki untuk , membayangkan bahawa untuk . Sebagai contoh, rekod harus difahami seperti berikut: .

Begitu juga, jika ungkapan diberikan, di mana , maka ia hanya berlaku untuk , manakala untuk fungsi .

Perhatikan bahawa jika fungsi tidak memenuhi sekurang-kurangnya satu daripada tiga syarat ini, maka ia bukan yang asli. Oleh itu, keadaan 1 dilanggar untuk fungsi (pada satu ketika ia mengalami ketakselanjaran jenis kedua), keadaan 3 tidak berpuas hati untuk fungsi (ia berkembang lebih cepat daripada fungsi eksponen); oleh itu fungsi ini tidak boleh menjadi asal.

Perhatikan juga bahawa tidak perlu mempertimbangkan yang asal fungsi sebenar. Fungsi juga boleh bernilai kompleks, i.e. seperti . Dalam kes ini, bahagian sebenar dan khayalan mestilah asli, i.e. memenuhi syarat 1, 2, 3.

Definisi. Imej fungsi - yang asal–dipanggil fungsi pembolehubah kompleks yang ditakrifkan oleh kamiran

. (1.1)

Kamiran tak wajar di sebelah kanan kesamaan (1.1), dipanggil kamiran Laplace, bergantung pada parameter .

Jadi fungsi pembolehubah sebenar dikaitkan dengan fungsi pembolehubah kompleks.

Perhubungan (1.1) mengubah satu fungsi kepada fungsi yang lain. Operasi peralihan daripada yang asal kepada imej mengikut formula (1.1) dipanggil Transformasi Laplace, atau transformasi Laplace langsung.

Hakikat bahawa terdapat imej (mereka juga mengatakan, imej mengikut Laplace) ditulis secara simbolik seperti berikut:

.

Mencari yang asli dinamakan sempena imej dengan menyongsangkan penjelmaan Laplace, atau penjelmaan Laplace songsang; ia dilambangkan dengan simbol .

Kami bersetuju untuk menetapkan asal dalam huruf kecil dan imej mereka adalah dalam huruf besar yang sesuai atau huruf yang sama seperti yang asal, tetapi dengan sempang di atas: .

1.2. Contoh pengiraan imej

Mari kita berikan contoh pengiraan imej mengikut Laplace, berdasarkan definisinya.

1.2.1. Fungsi heaviside dan imejnya.

Mari kita cari imej fungsi Heaviside menggunakan formula (1.1), meletakkan di dalamnya:

Kesimpulan terakhir hanya boleh dibuat jika . Mari kita tunjukkan bahawa ini adalah benar. Menurut formula Euler kita mempunyai:

Kemudian

dan sebagainya. . Oleh itu, yang asli. Menggunakan formula (1.1) kita dapati

Ini adalah kes jika sahaja . Yang terakhir dijalankan, seperti yang ditunjukkan dalam contoh sebelumnya, apabila , jika tidak . Oleh itu,

. (1.3)

Masalahnya dikemukakan seperti berikut: diberikan fungsi F(p), kita perlu mencari fungsi /(<)>yang imejnya ialah F(p). Mari kita rumuskan keadaan yang mencukupi untuk fungsi F(p) pembolehubah kompleks p berfungsi sebagai imej. Teorem 12. Jika fungsi F(p) analitik dalam separuh satah 1) cenderung kepada sifar untuk mana-mana separuh satah Rep = a > s0 secara seragam berkenaan dengan arg Mencari asal daripada imej 2) kamiran a-xu menumpu sama sekali, maka F(p) ialah imej beberapa fungsi asal f(t). Tugas*. Bolehkah fungsi F(p) = ^ berfungsi sebagai imej bagi beberapa fungsi asal? Kami akan menunjukkan beberapa cara untuk mencari yang asal daripada imej. 3.1. Mencari asal menggunakan jadual imej Pertama sekali, adalah berbaloi untuk membawa fungsi F(p) kepada bentuk "jadual" yang lebih mudah. Sebagai contoh, dalam kes apabila F(p) ialah fungsi rasional pecahan bagi hujah p, ia diuraikan kepada pecahan asas dan sifat yang sesuai bagi transformasi Laplace digunakan. Contoh 1. Cari yang asal untuk Kami menulis fungsi F(p) dalam bentuk Menggunakan teorem sesaran dan sifat kelinearan transformasi Laplace, kami memperoleh Contoh 2. Cari yang asal untuk fungsi M Kami menulis F(p) dalam bentuk Oleh itu / 3.2. Menggunakan teorem penyongsangan dan akibatnya Teorem 13 (penyongsangan). /Gauche function fit) ialah fungsi asal dengan eksponen pertumbuhan s0 dan F(p) ialah imejnya, maka pada mana-mana titik kesinambungan fungsi f(t) hubungan itu berpuas hati di mana kamiran diambil sepanjang mana-mana garis lurus dan adalah difahami dalam erti kata nilai utama, iaitu sebagai Formula (1) dipanggil formula penyongsangan transformasi Laplace, atau formula Mellin. Sesungguhnya, biarkan, sebagai contoh, f(t) licin sekeping pada setiap segmen terhingga)