Cabaran Melampau
Ingat bahawa perkataan Latin melampau bermaksud "melampau". Ia mempunyai dua makna khusus dalam matematik: maksimum(disingkatkan maks) - yang terbesar dan minimum(disingkatkan min) - paling kurang. Dalam pemahaman ini melampau mempunyai lebih makna sempit, bagaimana optimum, diterjemahkan daripada bahasa Latin sebagai "terbaik."Masalah mencari nilai maksimum atau minimum fungsi yang diberikan pada set tertentu dipanggil masalah melampau.
Terdapat dua jenis masalah ekstrem - masalah maksimum dan masalah minimum. Secara simbolik mereka ditulis seperti ini:
Fungsi f(x) dipanggil fungsi sasaran, dan X - set penyelesaian yang boleh dilaksanakan. Penyelesaian yang optimum masalah dipanggil pasangan (x*,f(x*)), di mana x* ialah titik maksimum (minimum), dan f(x*) ialah nilai fungsi f pada titik ini, iaitu maksimumnya ( nilai minimum) pada set X.
Menyelesaikan masalah bermaksud: sama ada mencari penyelesaian yang optimum; atau pastikan bahawa penyelesaian yang optimum tidak wujud.
Menyelesaikan masalah memerlukan penyelesaian tiga masalah: 1) masalah kewujudan penyelesaian yang optimum; 2) masalah mewujudkan tanda-tanda optimum yang diperlukan dan mencukupi (iaitu, sifat ciri yang wujud dalam mata maksimum dan minimum); 3) masalah pengiraan berangka penyelesaian optimum.
Contoh No. 1. bina model matematik tugas seterusnya aktiviti ekonomi. Untuk ini:
- Kenal pasti masalah dan rumuskan tujuan penyelidikan.
- Menjalankan penerangan tentang pembolehubah proses atau objek ekonomi.
- Tuliskan rumusan matematik bagi fungsi matlamat.
- Rumuskan sekatan yang dikenakan oleh syarat masalah dan tuliskan sistem sekatan.
- Cadangkan kaedah penyelesaian.
Pereka kereta ditugaskan untuk mereka bentuk badan paling murah yang mungkin digunakan bahan lembaran, kaca dan plastik. Ciri-ciri utama bahan dibentangkan dalam jadual.
| Ciri-ciri | Bahan | ||
| logam | kaca | plastik | |
| Kos (ribu rubel/m2) | 25 | 20 | 40 |
| Berat (kg/m2) | 10 | 15 | 3 |
Jumlah permukaan badan (termasuk pintu dan tingkap) mestilah 14 m2: daripada ini, sekurang-kurangnya 3.5 m2 dan tidak lebih daripada 5 m2 harus diperuntukkan di bawah kaca. Berat badan tidak boleh melebihi 150 kg, dan berat plastik tidak boleh melebihi 20% daripada berat badan. Komponen logam permukaan badan mesti melebihi permukaan kaca tidak kurang daripada dua kali. Berapa banyak logam, kaca dan plastik yang harus digunakan oleh reka bentuk terbaik.
Masalahnya ialah sumber yang terhad untuk hasil yang optimum.
Penerangan pembolehubah.
x 1 - jumlah logam, m 2
x 2 - jumlah kaca, m 2
x 3 - jumlah plastik, m 2
Fungsi matlamat.
Sekatan:
- Keseluruhan permukaan badan
x 1 + x 2 + x 3 ≥ 14 - Keperluan kaca
x 2 ≥ 3.5
x 2 ≤ 5 - Sekatan berat badan
10x 1 + 15x 2 + 3x 3 ≤ 150 - Keperluan berat plastik
3x 3 ≤ (10x 1 + 15x 2 + 3x 3)*20% - Sekatan permukaan
x 1 ≥ 2x 2
Sistem sekatan.
x 1 + x 2 + x 3 ≥ 14
10x 1 + 15x 2 + 3x 3 ≤ 150
2x 1 + 3x 2 - 2.4x 3 ≥ 0
x 1 - 2x 2 ≥ 0
x 2 ≥ 3.5
x 2 ≤ 5
x 1 , x 2 , x 2 ≥ 0
F(x) = 25x 1 + 20x 2 + 40x 3 → min
Contoh No. 2. Kilang itu menghasilkan fabrik dua artikel. Setiap tisu ini berlalu pemprosesan berurutan pada mesin tiga jenis. Di bawah ditunjukkan: produktiviti setiap jenis mesin dalam pengeluaran fabrik artikel 1 dan 2; jumlah kapasiti tempat letak mesin kilang setiap satu minggu bekerja; kos buruh untuk menservis mesin dalam minit waktu bekerja setiap 1 jam operasi mesin; harga satu meter kain untuk setiap artikel. Ia juga diketahui bahawa sumber buruh mingguan untuk menservis mesin ialah 14,800 jam.
| Jenis mesin | Kuasa (ribu jam) | Kos buruh (min/j) | Produktiviti, m/j | |
| Perkara 1 | Artikel2 | |||
| 1 | 22 | 10 | 20 | 15 |
| 2 | 40 | 6 | 12 | 6 |
| 3 | 75 | 6 | 6 | 4 |
| Harga 1 m kain (ribu rubel) | 18 | 25 | ||
Ia dikehendaki merangka rancangan mingguan untuk pengeluaran fabrik untuk memaksimumkan keuntungan produk perkilangan, jika 1 jam dibayar dalam jumlah 5400 rubel, dan 1 jam masa henti mesin jenis pertama ialah 1800 rubel, daripada jenis ke-2 ialah 2000 rubel, daripada jenis ke-3 ialah 1400 rubel . Kos bahan mentah tidak diambil kira. Apabila menyelesaikan masalah, perlu diambil kira bahawa output fabrik artikel 1 mestilah sekurang-kurangnya 2 kali lebih tinggi daripada output fabrik artikel 2.
Penerangan pembolehubah.
x 1 - pengeluaran fabrik artikel 1, m
x 2 - pengeluaran fabrik artikel 2, m
y 1 - masa operasi mesin pertama, jam.
y 2 - masa operasi mesin ke-2, jam.
y 3 - masa operasi mesin ke-3, jam.
y 1 = x 1/20 + x 2/15
y 2 =x 1 /12 + x 2 /6
y 3 =x 1 /6 + x 2 /4
x 1, x 2, y 1, y 2, y 3 ≥ 0
Sekatan:
- oleh struktur keluaran
x 1 ≥ 2x 2 - dengan kos buruh
10/60t 1 + 6/60t 2 +6/60t 3 ≤ 14800
atau
1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3 ≤ 14800 - mengikut kapasiti yang ada:
y 1 ≤ 22000
y 2 ≤ 40000
y 3 ≤ 75000
Fungsi matlamat.
Keuntungan = Hasil - Kos = Harga*Kuantiti - Kos masa henti mesin - Kos buruh
Hasil = 18x 1 + 25x 2
Kos masa henti mesin =1.8y 1 + 2y 1 + 1.4y 3
Kos buruh = 5.4(1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3)
F(x) = 18x 1 + 25x 2 - 1.8y 1 - 2y 2 - 1.4y 3 - 5.4(1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3)→ maks
atau
F(x) = 1/50 (900x 1 +1250x 2 -135y 1 -127y 2 -97y 3) → maks
Mengambil kira
y 1 = x 1/20 + x 2/15
y 2 =x 1 /12 + x 2 /6
y 3 =x 1 /6 + x 2 /4
kami ada:
Sistem sekatan.
x 1 ≥ 2x 2
1/6(x 1/20 + x 2/15) + 1/10(x 1/12 + x 2/6) +1/10(x 1/6 + x 2/4) ≤ 14800
x 1 /20 + x 2 /15≤ 22000
x 1 /12 + x 2 /6 ≤ 40000
x 1 /6 + x 2 /4 ≤ 75000
x 1 ≥ 2x 2
x 1 /30+19x 2 /360 ≤ 14800
x 1 /20 + x 2 /15≤ 22000
x 1 /12 + x 2 /6 ≤ 40000
x 1 /6 + x 2 /4 ≤ 75000
F(x) = 17.33x 1 +23.91x 2 → maks
Contoh No. 3. Perusahaan ini mempunyai dua bengkel. Bengkel pertama menggaji 50 pekerja, di mana 20 daripadanya mempunyai kategori ke-6 dan 30 mempunyai kategori ketiga. Dalam bengkel kedua, daripada 100 pekerja, 50 orang mempunyai kategori ke-6 dan selebihnya mempunyai yang ketiga. Ia dikehendaki melengkapkan tempahan untuk pengeluaran 2 jenis bahagian. Seorang pekerja dari kategori ke-6 menghabiskan 10 minit untuk pembuatan satu bahagian dari jenis pertama, dan seorang pekerja dari kategori ke-3 menghabiskan 15 minit. Seorang pekerja kategori ke-6 menghabiskan 25 minit untuk pembuatan satu bahagian jenis kedua, dan pekerja kategori ketiga menghabiskan 30 minit.
13) sediakan rancangan pengeluaran untuk setiap bengkel selama seminggu, berdasarkan tempoh standard minggu bekerja, memaksimumkan jumlah pengeluaran, dengan mengambil kira hakikat bahawa keperluan untuk bahagian jenis kedua adalah separuh daripada sama seperti keperluan untuk bahagian jenis pertama.
14) Tentukan rancangan pengeluaran untuk setiap bengkel selama seminggu, berdasarkan tempoh standard minggu bekerja, memaksimumkan keuntungan, dengan mengambil kira fakta bahawa pekerja kategori ke-6 menerima 300 rubel/bulan, dan pekerja kategori ke-3 menerima 200 rubel/bulan. , walaupun pada hakikatnya harga jualan sebahagian daripada jenis pertama ialah 20 rubel/keping, dan jenis kedua ialah 34 rubel/keping.
Penyelesaian.
x 11 - bilangan bahagian jenis 1 yang dihasilkan oleh pekerja kategori ke-6 setiap minggu,
x 12 - bilangan bahagian jenis 2 yang dihasilkan oleh pekerja kategori ke-6 setiap minggu,
x 21 - bilangan bahagian jenis 1 yang dihasilkan oleh pekerja kategori 3 setiap minggu,
x 22 - bilangan bahagian jenis 2 yang dihasilkan oleh pekerja kategori 3 setiap minggu,
13) Fungsi objektif
20x 11 + 50x 21 + 30x 12 + 50x 22 = maks
Sekatan:
2(x 12 +x 22) ≤ x 11 +x 21
14) Fungsi objektif: Untung = Pendapatan - Kos = Bilangan bahagian * Harga jualan - Gaji pekerja
Kami akan mengurangkan kos gaji kepada pekerja kepada kos mingguan, iaitu membahagikan pendapatan bulanan sebanyak 4.
F(x) = 20(20x 11 + 50x 21) + 23(30x 12 + 50x 22) - [(20+50)*300 + (30+50)*200]/4 = maks
Sekatan:
2(x 12 +x 22) ≤ x 11 +x 21
10/60x 11 + 15/60x 21 + 25/60x 11 + 30/60x 21 ≤ N
N - dana masa mingguan dalam jam.
HURAIAN MATEMATIK MODEL PENGATURCARAAN LINEAR
MODEL PENGATURCARAAN LINEAR
1 Penerangan matematik model pengaturcaraan linear
2 Kaedah untuk melaksanakan model pengaturcaraan linear
3 Masalah pengaturcaraan dwi linear
Model pengaturcaraan linear(LP) berlaku sekiranya dalam sistem (objek) yang dikaji terdapat sekatan ke atas pembolehubah dan fungsi objektif linear.
Model LP digunakan untuk menyelesaikan dua jenis utama masalah yang digunakan:
1) perancangan optimum dalam mana-mana bidang aktiviti manusia - sosial, ekonomi, saintifik, teknikal dan ketenteraan. Contohnya, dengan perancangan pengeluaran yang optimum: pengagihan kewangan, buruh dan sumber lain, bekalan bahan mentah, pengurusan inventori, dsb.
2) masalah pengangkutan (mencari pelan optimum untuk pelbagai jenis pengangkutan, pelan pengedaran optimum cara yang berbeza oleh objek untuk pelbagai tujuan dan sebagainya.)
HURAIAN MATEMATIK MODEL PENGATURCARAAN LINEAR
Anda perlu mencari nilai pembolehubah bukan negatif
memuaskan sekatan linear dalam bentuk persamaan dan ketaksamaan
,
di mana 
– nombor yang diberi,
dan menyediakan extremum linear Fungsi objektif
,
di manakah nombor yang diberikan, yang ditulis dalam bentuk
Penyelesaian yang sah sebarang koleksi dipanggil 
, memenuhi syarat.
Julat penyelesaian yang boleh dilaksanakan– set semua penyelesaian yang boleh dilaksanakan.
Penyelesaian yang optimum 
, untuk yang mana 
.
Nota
1. Model LP yang diberikan ialah umum. Terdapat juga standard Dan berkanun bentuk model LP.
2. Syarat kewujudan pelaksanaan model LP:
– set penyelesaian yang boleh dilaksanakan tidak kosong;
- Fungsi objektif 
dihadkan oleh (sekurang-kurangnya dari atas apabila mencari maksimum dan dari bawah apabila mencari minimum).
3.LP adalah berdasarkan dua teorem
Teorem 1. Sekumpulan G, ditakrifkan oleh sistem sekatan bentuk, ialah set tertutup cembung ( polihedron cembung dengan mata sudut - puncak.)
Teorem 2.
Bentuk linear 
, ditakrifkan pada polihedron cembung
j=1,2,…,s
i=s+1,s+2,…, m,
mencapai ekstrem pada salah satu bucu polihedron ini.
Teorem ini dipanggil teorem pada ekstrem bentuk linear.
Selaras dengan teorem Weierstrass, penyelesaian optimum adalah unik dan merupakan ekstrem global.
Terdapat pendekatan analitikal umum kepada pelaksanaan model LP - kaedah simpleks. Apabila menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear, selalunya tiada penyelesaian. Ini berlaku atas sebab-sebab berikut.
Mari kita jelaskan sebab pertama dengan contoh
Atas sebab ini mereka mengatakan bahawa sekatan itu tidak serasi. Kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan ialah set kosong.
Alasan kedua digambarkan oleh contoh berikut:
DALAM dalam kes ini, julat penyelesaian yang boleh dilaksanakan tidak terhad dari atas. Julat penyelesaian yang boleh dilaksanakan tidak terhad.
Mengikuti tradisi pengaturcaraan linear, kami akan memberikan masalah LP tafsiran ekonomi. Biarkan kami ada di pelupusan kami m jenis sumber. Kuantiti jenis sumber j sama . Sumber-sumber ini diperlukan untuk pengeluaran n jenis barang. Mari kita nyatakan kuantiti barangan ini dengan simbol 
masing-masing. Jenis unit i kos . Pengeluaran jenis barangan i mesti dibatasi oleh nilai 
masing-masing. Untuk pengeluaran unit jenis produk i jenis sumber digunakan j. Adalah perlu untuk menentukan rancangan sedemikian untuk pengeluaran barang ( 
) supaya jumlah kos mereka adalah minimum.
Masalah pengaturcaraan linear yang digunakan untuk mengoptimumkan fungsi objek sebenar mengandungi sejumlah besar pembolehubah dan kekangan. Ini menjadikannya mustahil untuk menyelesaikannya menggunakan kaedah grafik. Apabila terdapat sejumlah besar pembolehubah dan sekatan, kaedah algebra digunakan, yang berdasarkan prosedur pengiraan berulang. Dalam pengaturcaraan linear, banyak kaedah algebra telah dibangunkan, berbeza dalam kaedah membina penyelesaian awal yang boleh dilaksanakan dan syarat untuk peralihan dari satu lelaran ke yang lain. Walau bagaimanapun, semua kaedah ini adalah berdasarkan prinsip teori umum.
Kesamaan prinsip teori asas membawa kepada fakta bahawa kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear sebahagian besarnya serupa antara satu sama lain. Khususnya, hampir mana-mana daripada mereka memerlukan pengurangan awal masalah pengaturcaraan linear kepada bentuk standard (kanonik).
Kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah LP bermula dengan mengurangkannya kepada bentuk piawai (kanonik).:
,
,
i=1,..,n;j=1,..,m.
Sebarang masalah pengaturcaraan linear boleh dikurangkan kepada bentuk standard. Perbandingan model umum dengan model kanonik membolehkan kita menyimpulkan bahawa untuk membawa masalah LP ke bentuk piawai adalah perlu, pertama, untuk beralih daripada sistem ketaksamaan kepada kesamaan, dan kedua, untuk mengubah semua pembolehubah supaya ia tidak negatif .
Peralihan kepada kesamaan dijalankan dengan menambahkan pembolehubah baki bukan negatif ke sebelah kiri sekatan untuk ketaksamaan jenis , dan menolak dari sebelah kiri pembolehubah lewah bukan negatif untuk ketaksamaan jenis . Contohnya, ketidaksamaan 
apabila beralih kepada bentuk standard, ia ditukar kepada kesamaan 
, ketidaksamaan 
- ke dalam persamaan 
. Dalam kes ini, kedua-dua pembolehubah baki dan pembolehubah berlebihan adalah bukan negatif.
Diandaikan bahawa bahagian kanan ketidaksamaan adalah bukan negatif. Jika tidak, ini boleh dicapai dengan mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan "-1" dan menukar tandanya kepada yang bertentangan.
Jika dalam masalah pengaturcaraan linear asal pembolehubah tidak terhad dalam tanda, ia boleh diwakili sebagai perbezaan dua pembolehubah bukan negatif 
, Di mana 
.
Ciri penting pembolehubah 
ialah untuk mana-mana penyelesaian yang boleh dilaksanakan hanya satu daripadanya boleh mengambil nilai positif. Ini bermakna jika 
, Itu 
dan begitu juga sebaliknya. Oleh itu, ia boleh dianggap sebagai baki dan - sebagai pembolehubah berlebihan.
Contoh Biarkan masalah pengaturcaraan linear diberikan:
,
.
Ia perlu dibawa ke bentuk standard. Ambil perhatian bahawa ketaksamaan pertama masalah asal mempunyai tanda , oleh itu, adalah perlu untuk memperkenalkan pembolehubah baki ke dalamnya. Hasilnya kita dapat .
Ketaksamaan kedua mempunyai tanda dan, untuk menukar kepada bentuk piawai, memerlukan pengenalan pembolehubah berlebihan; selepas melakukan operasi ini, kami memperoleh .
Di samping itu, pembolehubah tidak terhad dalam tanda. Oleh itu, kedua-dua dalam fungsi objektif dan dalam kedua-dua kekangan ia mesti digantikan dengan perbezaan 
. Selepas melakukan penggantian, kami memperoleh masalah pengaturcaraan linear dalam bentuk standard, bersamaan dengan masalah asal:
.
Masalah pengaturcaraan linear, ditulis dalam bentuk piawai, ialah masalah mencari ekstrem fungsi objektif pada set vektor yang merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan linear mengambil kira syarat bukan negatif. Seperti yang diketahui, sistem persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal, atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Pengoptimuman fungsi objektif hanya mungkin jika sistem mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian. Sistem persamaan linear mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika ia konsisten (kedudukan matriks utama sama dengan pangkat dilanjutkan) dan jika pangkat matriks utama adalah kurang daripada bilangan yang tidak diketahui.
Biarkan pangkat matriks sistem kekangan sama dengan m. Ini bermakna bahawa matriks mempunyai sekurang-kurangnya satu minor m tertib tidak sama dengan sifar. Tanpa kehilangan sifat umum, kita boleh mengandaikan bahawa kanak-kanak itu terletak di sebelah kiri bucu atas matriks. Ini sentiasa boleh dicapai dengan menukar penomboran pembolehubah. Ini bukan sifar bawah pangkat m biasanya dipanggil asas. Mari buat sistem dari yang pertama m persamaan sistem, menulisnya seperti berikut:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Model yang dibincangkan di atas boleh diklasifikasikan sebagai model pengaturcaraan linear statik, kerana di dalamnya selang masa telah ditetapkan. Jika terdapat keperluan untuk mencari penyelesaian untuk selang masa yang berbeza, maka anda perlu memasukkan semula data ke dalam model dan menghasilkan pengoptimuman baharu. Dalam erti kata lain, dalam pendekatan yang dibincangkan di atas, diandaikan bahawa semua selang masa adalah bebas dan bagi setiap selang masa masalah pengoptimumannya sendiri mesti diselesaikan.
DALAM model dinamik Tingkah laku sistem dipertimbangkan pada beberapa selang masa, dan carian untuk penyelesaian dijalankan sekali, mengoptimumkan kelakuan model pada semua selang masa sekaligus.
Model dinamik adalah lebih realistik dan menggambarkan dengan lebih tepat banyak situasi pengeluaran. Kebergantungan membuat keputusan pada tingkah laku sistem dari masa ke masa menjadikan model dinamik kaedah analisis ekonomi yang sangat berguna, tetapi ia ternyata jauh lebih kompleks daripada model statik dalam perumusannya dan, sebagai peraturan, mengandungi nombor besar pembolehubah memerlukan kemahiran tertentu semasa merangka model jadual.
Sebagai contoh, pertimbangkan model pengurusan inventori yang boleh dikatakan signifikan (nama lain untuk model ini ialah model pengurusan inventori berbilang fasa). Demi keluasan keputusan, kami tidak akan menetapkan parameter nilai angka. Selepas membina model, adalah mungkin untuk menentukan nilai eksplisit parameter dan mendapatkan penyelesaian berangka.
Contoh 3.10
Pertimbangkan sebuah syarikat kimia yang menghasilkan poliuretana. Pengilang mempunyai pesanan untuk membekalkan poliuretana dalam jumlah d i tan sebulan untuk empat bulan akan datang (i=1,2,…,4). Biarkan kos menghasilkan satu tan poliuretana menjadi C i ribu rubel, dan jumlah maksimum pengeluaran poliuretana mengikut bulan adalah terhad dan bersamaan dengan K i tan sebulan. Sebuah syarikat pembuatan mempunyai peluang untuk menyimpan produk di gudang, dan kos menyimpan satu tan produk sebulan ialah n i ribu rubel. Pada tempoh awal masa, stok poliuretana di gudang adalah L 0 tan. Pengurus syarikat perlu merangka pelan pengeluaran poliuretana bulanan yang akan memastikan pemenuhan pesanan pada kos minimum pengeluaran dan penyimpanan produk.
Penyelesaian
Ambil perhatian bahawa jika tidak mungkin untuk menyimpan produk dalam gudang, maka tugas itu akan dibahagikan kepada empat tugas statik bebas dan akan kehilangan semua makna bagi kita.
Mari kita cipta persamaan baki bahan yang membolehkan kita mengira jumlah produk yang disimpan di gudang pada bulan ke-i. Katakan x i ialah jumlah poliuretana yang dihasilkan dalam kali ke-i tempoh. Kemudian pada bulan pertama inventori di gudang akan sama dengan L 1 =L 0 +x 1 -d 1. Inventori bulan kedua
Dengan meneruskan proses ini, ia mudah diperolehi formula am inventori untuk sebarang selang masa:
. (3.24)
Selepas kita telah memperoleh persamaan (3.24), yang menerangkan tingkah laku inventori, adalah mudah untuk menulis model matematik masalah:
(3.25)
Masalah yang dinyatakan (3.25) adalah masalah pengaturcaraan linear biasa dan boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan atur cara Mencari penyelesaian. Menggunakan nilai berangka kos pengeluaran unit
dan jumlah bekalan dan kapasiti pengeluaran yang diperlukan mengikut bulan
Ia dikehendaki merangka pelan pengeluaran poliuretana yang optimum jika, pada 1 Januari, stok poliuretana di gudang adalah 15 tan.
Model jadual tugas pengurusan inventori
Model jadual masalah selepas mencari penyelesaian optimum ditunjukkan dalam Rajah. 21.
nasi. 21. Model jadual masalah pengaturcaraan dinamik
Beberapa perkataan harus dikatakan mengenai laporan kestabilan untuk model ini, ditunjukkan dalam Rajah. 22.
nasi. 22. Laporan kestabilan untuk model dinamik
Jika kekangan mudah pada nilai pembolehubah yang dioptimumkan digunakan (x i ≤K i dalam kes kami), maka dalam laporan kemampanan harga bayangan untuk sekatan ini diletakkan dalam lajur kos normal, dan maklumat tentang julat bayang yang boleh diterima harga untuk sekatan ini tidak dipaparkan. Oleh itu, jika anda meningkatkan kapasiti pengeluaran sebanyak satu tan pada bulan Januari, maka jumlah kos akan berkurangan sebanyak 1.7 ribu rubel.
Memerlukan penjelasan dan lajur tambahan Nisbah sasaran laporan kemampanan. Diberi di sini Nilai Excel mengira sendiri. Maksud pekali sasaran bagi pembolehubah ialah ia menunjukkan berapa banyak nilai fungsi sasaran akan meningkat dengan peningkatan nilai optimum pembolehubah per unit.
Ini mudah untuk disahkan dalam amalan. Nilai optimum untuk pengeluaran poliuretana pada bulan Januari ialah 60 tan, dan jumlah kos ialah 4,776.45 ribu rubel. Jika kita menggantikan nombor 61 sebagai nilai optimum untuk Januari dan mengira semula jumlah kos, kita akan mendapat nilai baharu - 4,805.50. Perbezaan antara nombor ini betul-betul sama dengan 29.05 – pekali sasaran untuk pembolehubah volum pengeluaran pada bulan Januari.
Rumusan lain masalah pengaturcaraan dinamik juga diketahui secara meluas. Sebahagian daripadanya (model penggantian peralatan dan model pelaburan) akan dibincangkan dalam kelas praktikal.
Pengaturcaraan matematik(“perancangan”) ialah satu cabang matematik yang memperkatakan pembangunan kaedah untuk mencari nilai ekstrem fungsi yang hujahnya tertakluk kepada sekatan. Idea pengaturcaraan linear timbul pada tahun 1939, apabila brosur Leonid Vitalievich Kantorovich " Kaedah matematik organisasi dan perancangan pengeluaran." Ahli matematik Amerika A. Danzig pada tahun 1947 telah membangunkan yang sangat berkesan kaedah tertentu penyelesaian berangka masalah pengaturcaraan linear (ia dipanggil kaedah simplex ).
Penyampaian bahan selanjutnya mengandaikan bahawa pelajar mempelajari teori pengaturcaraan linear dalam kursus matematik. Oleh itu, adalah disyorkan agar anda menggabungkan membaca bab ini dengan melihat pembentangan. Versi elektronik persembahan terletak dalam folder "Pengaturcaraan Linear". Pada masa yang sama, sebahagian daripada bahan itu bertujuan untuk memulihkan pengetahuan yang diperolehi dalam kursus matematik, dan sebahagian daripadanya adalah untuk mengembangkan dan mendalaminya dengan penekanan pada keupayaan diterapkan model teori.
Teori pengaturcaraan linear
Pernyataan umum masalah
Idea pengaturcaraan linear dibentangkan dalam format persembahan, versi elektronik yang terdapat dalam fail "Idea - Pengaturcaraan Linear".
Tafsiran geometri dan kaedah grafik penyelesaian
Adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah grafik untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear:
1. Untuk menyelesaikan masalah dengan dua pembolehubah, apabila kekangan dinyatakan oleh ketaksamaan.
2. Penyelesaian kepada masalah dengan banyak pembolehubah, dengan syarat dalam mereka notasi kanonik mengandungi tidak lebih daripada dua pembolehubah bebas.
Kaedah geometri penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan linear dibentangkan dalam format persembahan - fail "Kaedah LP Geometrik"
2.2. kaedah simplex, ciri umum, kriteria optimum untuk pelan garis dasar yang boleh diterima
Kaedah grafik menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menunjukkan bahawa penyelesaian optimum untuk masalah ini sentiasa dikaitkan dengan titik sudut ruang penyelesaian (dalam matematik ia juga dipanggil titik melampau set ). Ini adalah idea utama dalam membangunkan kaedah algebra simplex am untuk menyelesaikan sebarang masalah pengaturcaraan linear.
Peralihan daripada kaedah geometri untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear kepada kaedah simpleks terletak melalui penerangan algebra bagi titik ekstrem ruang penyelesaian. Untuk melaksanakan peralihan ini, anda perlu terlebih dahulu membawa masalah pengaturcaraan linear ke bentuk standard (kanonik):
· mengubah ketaksamaan sekatan kepada kesamaan dengan memperkenalkan pembolehubah tambahan;
· menukar pembolehubah bebas kepada bukan negatif;
· mengubah masalah pemaksimuman kepada masalah pengecilan.
Borang piawai Masalah pengaturcaraan linear adalah perlu kerana ia membolehkan seseorang memperoleh penyelesaian asas (menggunakan sistem persamaan yang dijana oleh kekangan). Penyelesaian asas (algebra) ini menentukan sepenuhnya semua titik ekstrem (geometrik) ruang penyelesaian. Kaedah simplex membolehkan anda mencari penyelesaian optimum dengan berkesan di antara semua yang asas.
Anda boleh memulihkan pengetahuan anda untuk menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks menggunakan pembentangan "Kaedah Simplex".
Masalah berganda
Sebarang masalah pengaturcaraan linear mempunyai sifat dwi. Peraturan pembinaan dua masalah:
Jika masalah asal pada maks, kemudian dwi pada min dan sebaliknya.
Dalam masalah dwi terdapat banyak pembolehubah seperti terdapat kekangan dalam rumusan asal. Dalam kes ini, pembolehubah sepadan dengan sekatan dan sebaliknya.
Pekali bagi fungsi objektif masalah dwi adalah bahagian kanan bagi kekangan masalah asal.
Matriks pekali kekangan bagi masalah dwi diperoleh dengan menukarkan matriks pekali kekangan masalah asal.
Bahagian kanan kekangan masalah dwi adalah pekali fungsi objektif yang asal.
Kekangan ketidaksamaan masalah asal sepadan dengan pembolehubah bukan negatif bagi masalah dwi, dan kekangan kesamaan sepadan dengan pembolehubah sebarang tanda dan sebaliknya.
Teorem 1: Jika masalah asal mempunyai rancangan optimum x*, maka masalah dwi juga mempunyai pelan optimum y*, dan nilai fungsi pada pelan ini adalah sama: f(x*)=g(y* ).
Teorem 2: Jika masalah asal dan dua mempunyai rancangan, maka ia juga mempunyai rancangan optimum, dan f(x*)=g(y*).
Kriteria optimum untuk dua masalah:
Tanda 1: Jika masalah asal dan dua mempunyai rancangan X dan Y, dan f(X)=g(Y), maka rancangan ini adalah optimum.
Definisi: Kekangan yang terletak pada baris yang sama dalam rajah sepasang masalah dwi dipanggil konjugat.
Tanda 2: Agar rancangan X dan Y bagi masalah asal dan dua menjadi optimum, adalah perlu dan memadai bahawa pada pelan ini sekurang-kurangnya satu daripada setiap pasangan kekangan konjugat ialah kesamaan.
Ciri kedua membolehkan, mengetahui pelan optimum salah satu tugas, untuk mencari rancangan optimum tugas lain.
Prinsip utama masalah dwi dibentangkan dalam pembentangan "Teori Dwibahasa" dan "Masalah Dwi".
Tugas pengangkutan
Masalah pengangkutan adalah salah satu masalah pengaturcaraan linear khas yang paling biasa. Perumusan ketat pertama masalah pengangkutan adalah milik F. Hitchcock, dan kaedah penyelesaian tepat pertama telah dibangunkan oleh L. V. Kantorovich dan M. K. Gavurin.
bertajuk " masalah pengangkutan” menggabungkan pelbagai masalah dengan model matematik tunggal. Masalah ini tergolong dalam masalah pengaturcaraan linear dan boleh diselesaikan menggunakan kaedah simplex. Walau bagaimanapun, matriks sistem kekangan masalah pengangkutan adalah sangat unik sehingga kaedah khas telah dibangunkan untuk menyelesaikannya. Kaedah ini, seperti kaedah simplex, memungkinkan untuk mencari penyelesaian rujukan awal, dan kemudian, memperbaikinya, untuk mendapatkan penyelesaian yang optimum.
Istilah "tugas pengangkutan" merujuk kepada pelbagai tugas bukan sahaja bersifat pengangkutan. Apa yang mereka ada adalah, sebagai peraturan, pengagihan sumber yang dipegang oleh m pengilang (pembekal), mengikut n pengguna sumber ini. Terdapat dua jenis masalah pengangkutan: mengikut kriteria kos(pelan pengangkutan adalah optimum jika kos minimum untuk pelaksanaannya tercapai) dan mengikut kriteria masa(sesuatu rancangan adalah optimum jika masa minimum dibelanjakan untuk pelaksanaannya).
Tugas yang paling biasa berkaitan dengan pengangkutan ialah:
· Melampirkan pengguna sumber kepada pengeluar;
· menghubungkan tempat berlepas ke tempat destinasi;
· hubungan saling aliran kargo langsung dan langsung arah terbalik;
· tugas individu memuatkan peralatan industri yang optimum;
· pengagihan optimum volum keluaran perindustrian antara kilang pembuatan, dsb.
Pernyataan masalah jenis pengangkutan, algoritma untuk menyelesaikannya dan contoh kegunaan praktikal dibentangkan dalam tiga pembentangan:
1. "Masalah pengangkutan umum (λ-masalah)."
2. “Masalah pengangkutan tertutup. Kaedah potensi".
3. "Rumusan rumit masalah pengangkutan."
Aplikasi Ekonomi
Kepelbagaian aplikasi ekonomi pemodelan matematik Mari kita pertimbangkan kaedah pengaturcaraan linear menggunakan contoh rumusan rumusan khusus masalah yang digunakan (dipinjam daripada kursus kuliah oleh A.P. Diyazitdinova).
Masalah 1
Untuk mengekalkan fungsi kehidupan yang normal, seseorang mesti mengambil sekurang-kurangnya 120 unit konvensional protein (arb. unit), lemak - sekurang-kurangnya 70 dan vitamin - sekurang-kurangnya 10 unit konvensional setiap hari. unit Kandungan mereka dalam setiap unit produk P 1 dan P 2 adalah sama, masing-masing, dengan (0.2; 0.075; 0) dan (0.1; 0.1; 0.1) arb. unit
Kos 1 unit. produk P 1 - 2 gosok., P 2–3 gosok.
Bina model matematik masalah yang membolehkan anda mengatur pemakanan dengan cara yang kosnya minimum dan badan menerima jumlah nutrien yang diperlukan.
Masalah 2
Kereta api penumpang dan laju bertolak dari titik A ke titik B setiap hari. Data mengenai organisasi pengangkutan adalah seperti berikut:
Berapa banyak kereta api laju dan penumpang mesti dibentuk untuk mengangkut nombor terhebat penumpang?
Masalah 3
Empat gudang sayur membekalkan tiga kedai dengan kentang setiap hari. Kedai mengemukakan bidaan masing-masing untuk 17, 12 dan 32 tan. Kemudahan penyimpanan sayur mempunyai kapasiti masing-masing 20, 20, 15 dan 25 tan. Tarif (dalam unit setiap 1 tan) ditunjukkan dalam jadual berikut:
Masalah 4
Terdapat dua gudang untuk produk siap: A 1 dan A 2 dengan stok kargo homogen sebanyak 200 dan 300 tan. Kargo ini mesti dihantar kepada tiga pengguna DALAM 1 , DALAM 2 dan DALAM 3 dalam kuantiti 100, 150 dan 250 tan, masing-masing. Kos pengangkutan 1 tan kargo dari gudang A 1 pengguna DALAM 1 , DALAM 2 dan DALAM 3 adalah sama dengan 5, 3,6 unit, dan dari gudang A 2 kepada pengguna yang sama – 3, 4, 2 unit. masing-masing.
Buat rancangan pengangkutan yang meminimumkan jumlah kos pengangkutan.
Masalah 5
Apabila menggemukkan, setiap haiwan perlu menerima sekurang-kurangnya 9 unit. protein, 8 unit. karbohidrat dan 11 unit. protein. Untuk menyusun diet, dua jenis makanan digunakan, dibentangkan dalam jadual berikut.
Kos 1 kg makanan jenis pertama ialah 4.00, yang kedua - 6.00.
Buat pelan pemakanan harian yang mempunyai kos yang minimum.
Masalah 6
Ladang ini mempunyai sumber berikut: kawasan - 100 unit, buruh - 120 unit, daya tarikan - 80 unit. Ladang ini menghasilkan empat jenis produk: P 1 , P 2 , P 3 dan P 4 . Organisasi pengeluaran dicirikan oleh jadual berikut:
Buat rancangan pengeluaran yang akan memberikan ladang keuntungan maksimum.
Tugasan 7.
Bengkel ini menghasilkan dua jenis transformer. Besi dan wayar digunakan untuk membuat kedua-dua jenis transformer. Jumlah bekalan besi ialah 3 tan, wayar - 18 tan. Satu pengubah jenis pertama menggunakan 5 kg besi dan 3 kg wayar, dan satu pengubah jenis kedua menggunakan 3 kg besi dan 2 kg wayar. Bagi setiap pengubah yang dijual jenis pertama, loji menerima keuntungan sebanyak 3 unit, yang kedua - 4 unit.
Buat rancangan untuk pengeluaran transformer yang akan memastikan keuntungan maksimum untuk loji.
Masalah 8
Ladang negeri memperuntukkan tiga kawasan tanah seluas 5000, 8000 dan 9000 hektar untuk menanam rai, gandum dan jagung. Purata hasil dalam sen per 1 hektar untuk tatasusunan ditunjukkan dalam jadual berikut:
| Tanaman | Tatasusunan | ||
| saya | II | III | |
| rai | |||
| gandum | |||
| jagung |
Untuk 1 kuintal rai, ladang negeri menerima 2 CU, untuk 1 kuintal gandum - 2.8 CU, untuk 1 kuintal jagung - 1.4 CU. Berapa hektar dan di kawasan apa ladang negeri harus menumpukan kepada setiap tanaman untuk menerima hasil maksimum, jika mengikut rancangan ia diwajibkan untuk menghantar sekurang-kurangnya 1,900 tan rai, 158,000 tan gandum dan 30,000 tan jagung?
Masalah 9
Campuran diperbuat daripada tiga produk - I, II, III. Campuran mesti mengandungi sekurang-kurangnya 6 unit. bahan kimia A, 8 unit. – bahan B dan sekurang-kurangnya 12 unit. bahan C. Struktur bahan kimia diberikan dalam jadual berikut:
| produk | Kandungan kimia dalam 1 unit. produk | Kos 1 unit. produk | ||
| A | DALAM | DENGAN | ||
| saya | ||||
| II | ||||
| III | 1,5 | 2,5 |
Buat campuran yang paling murah.
Masalah 10
Pihak sekolah mengadakan pertandingan akhbar dinding terbaik. Seorang pelajar diberi tugasan berikut:
beli cat cat air pada harga 30 rubel. sekotak, pensel warna berharga 20.00. setiap kotak, pembaris untuk 12 rubel, pad nota untuk 10 rubel;
Anda perlu membeli sekurang-kurangnya tiga kotak cat, seberapa banyak buku nota kerana terdapat kotak pensel dan cat bersama-sama, tidak lebih daripada lima pembaris. Sekurang-kurangnya 300 rubel diperuntukkan untuk pembelian.
Dalam kuantiti berapakah pelajar harus membeli item yang dinyatakan supaya jumlah item adalah minimum?
Masalah 11
Terdapat tiga kedai pembaikan enjin khusus. Kapasiti pengeluaran mereka adalah sama dengan 100, 700, 980 pembaikan setiap tahun, masing-masing. Dalam lima kawasan yang dilayan oleh bengkel ini, keperluan untuk pembaikan masing-masing adalah 90, 180, 150, 120, 80 enjin setahun. Kos pengangkutan satu enjin dari daerah ke bengkel adalah seperti berikut:
| Daerah | Bengkel | ||
| 4,5 | 3,7 | 8,3 | |
| 2,1 | 4,3 | 2,4 | |
| 7,5 | 7,1 | 4,2 | |
| 5,3 | 1,2 | 6,2 | |
| 4,1 | 6,7 | 3,1 |
Rancang bilangan pembaikan bagi setiap bengkel bagi setiap kawasan yang meminimumkan jumlah kos pengangkutan.
Masalah 12
Kilang penapis minyak menerima empat produk separuh siap: 400 ribu liter alkilat, 250 ribu liter petrol retak, 350 ribu liter petrol penyulingan lurus dan 100 ribu liter isopentone. Hasil daripada mencampurkan empat komponen ini dalam perkadaran yang berbeza, tiga gred petrol penerbangan terbentuk: petrol A-2:3:5:2, petrol B-3:1:2:1, petrol C-2:2:1 :3. Kos 1 ribu liter jenis petrol ini dicirikan oleh nombor 120 rubel, 100 rubel, 150 rubel.
Buat rancangan untuk pengeluaran petrol penerbangan gred berbeza berdasarkan syarat mendapatkan kos maksimum semua produk.
Masalah 13
Untuk menyertai pertandingan, kelab sukan perlu menurunkan pasukan yang terdiri daripada atlet kategori I dan II. Pertandingan diadakan dalam Bug, gancu tinggi dan lompat jauh. 5 atlet mesti mengambil bahagian dalam larian, 8 atlet dalam lompat jauh, dan tidak lebih daripada 10 dalam lompat tinggi. Bilangan mata yang dijamin kepada atlet setiap kategori untuk setiap acara ditunjukkan dalam jadual:
Mengagihkan atlet kepada pasukan supaya jumlah mata pasukan adalah yang terbesar, jika diketahui hanya 10 orang atlet dalam pasukan yang mempunyai kategori pertama.
Masalah 14
Ladang bulu menternak musang hitam dan coklat serta musang Arktik. Terdapat 10,000 sangkar di ladang bulu. Boleh ada sama ada 2 musang atau 1 musang Arktik dalam satu sangkar. Mengikut rancangan itu, sepatutnya terdapat sekurang-kurangnya 3,000 musang dan 6,000 musang Arktik di ladang itu. Dalam satu hari, adalah perlu untuk memberi setiap musang 4 unit makanan, dan setiap musang kutub – 5 unit. Sebuah ladang boleh mempunyai tidak lebih daripada 200,000 unit makanan setiap hari. Daripada penjualan satu kulit musang, ladang menerima keuntungan sebanyak 10.00, dan daripada penjualan satu kulit musang artik - 5.00.
Berapakah bilangan musang dan musang kutub yang perlu disimpan di ladang untuk mendapatkan keuntungan yang paling banyak?
Masalah 15
Terdapat dua lif, yang masing-masing menyimpan 4,200 dan 1,200 tan bijirin. Bijirin perlu diangkut ke tiga kedai roti dalam kuantiti 1000, 2000 dan 1600 tan setiap satu. Jarak dari lif ke kedai roti ditunjukkan dalam jadual berikut:
Kos mengangkut 1 tan produk setiap 1 km ialah CU 25. Rancang pengangkutan bijirin anda untuk meminimumkan kos pengangkutan.
Masalah 16
Daripada dua gred petrol, dua campuran terbentuk - A dan B. Campuran A mengandungi 60% petrol gred pertama dan 40% gred ke-2; campuran B – 80% gred 1 dan 20% gred 2. Harga 1 kg campuran A ialah 10 euro, dan campuran B ialah 12 euro.
Buat rancangan untuk pembentukan campuran yang akan terhasil pendapatan maksimum, jika 50 tan petrol gred 1 dan 30 tan petrol gred kedua tersedia.
Masalah 17
Terdapat dua zon iklim tanah, keluasannya masing-masing 0.8 dan 0.6 juta hektar. Data tentang hasil bijirin diberikan dalam jadual:
Tentukan saiz kawasan yang disemai untuk tanaman musim sejuk dan musim bunga yang diperlukan untuk mencapai hasil pengeluaran maksimum dari segi nilai.
Masalah 18
Kilang itu menghasilkan empat jenis produk. Daripada jualan 1 unit. Bagi setiap produk, kilang menerima keuntungan masing-masing 2, 1, 3, 5. Tiga jenis sumber dibelanjakan untuk pembuatan produk: tenaga, bahan, dan buruh.
Data tentang proses teknologi diberikan dalam jadual berikut:
Rancang pengeluaran supaya keuntungan daripada jualan mereka adalah paling besar.
