Antiterbitan fungsi ialah punca x. Kalkulator dalam talian. Kira kamiran tak tentu (antiterbitan)

Dalam pelajaran sebelumnya, anda telah membiasakan diri dengan peraturan untuk mencari derivatif fungsi, belajar tentang penggunaan derivatif untuk mengkaji fungsi untuk monotonicity dan extremum; belajar mencari tangen kepada graf fungsi.

Mari kita ingat peraturan untuk mengira derivatif:

Terbitan sebarang nombor adalah sama dengan sifar.

Terbitan bagi x adalah sama dengan satu.

Terbitan ka x tambah em adalah sama dengan ka.

Terbitan satu dibahagikan dengan x adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.

Terbitan punca x adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca x.

Terbitan sinus x adalah sama dengan kosinus x.

Terbitan kosinus x adalah sama dengan tolak sinus x.

Terbitan x kepada kuasa en adalah sama dengan en darab x dengan kuasa en tolak satu.

Kadang-kadang anda perlu menyelesaikan masalah songsang, sebagai contoh, untuk memulihkan hukum gerakan dari kelajuan yang diketahui.

Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk memberikan nama khas untuk operasi songsang bersama.

Sebagai contoh, operasi songsang bagi pendaraban ialah bahagi.

Operasi mengekstrak punca kuasa dua ialah songsang bagi kuasa dua.

Proses mencari derivatif fungsi yang diberikan dipanggil pembezaan, dan operasi songsangnya dipanggil integrasi (proses mencari fungsi daripada terbitan tertentu).

Iaitu, fungsi yang bertindak sebagai sejenis nenek moyang untuk terbitan fungsi tertentu biasanya dipanggil antiderivatif.

Definisi: fungsi ygr sama ef besar daripada x dipanggil antiterbitan bagi fungsi ygr sama ef kecil daripada x pada selang tertentu x besar jika bagi mana-mana x kepunyaan selang tertentu kesamaan itu dipenuhi:

Selang kepunyaan x biasanya tidak ditunjukkan, tetapi tersirat.

Mari lihat contoh.

1. Fungsi ygr, sama dengan x kuasa dua, ialah antiterbitan bagi fungsi ygr, sama dengan dua x, kerana bagi mana-mana x kesamaan adalah benar: terbitan x kuasa dua adalah sama dengan dua x.

2. Fungsi ygr, sama dengan x kubus, ialah antiterbitan bagi fungsi ygr, sama dengan tiga x kuasa dua, kerana bagi mana-mana x kesamaan adalah benar: terbitan x kuasa dua adalah sama dengan tiga x kuasa dua.

3. Fungsi y, sama dengan sinus x, ialah antiterbitan bagi fungsi y, sama dengan kosinus x, kerana bagi mana-mana x kesamaan dipegang: terbitan sinus x adalah sama dengan kosinus x.

4. Fungsi ygrek, sama dengan punca x, ialah antiterbitan bagi fungsi ygrek, sama dengan satu, dibahagikan dengan dua, punca x, pada selang dari sifar hingga tak terhingga, kerana bagi mana-mana x lebih besar daripada sifar kesamaan memegang: terbitan punca x adalah sama dengan satu, punca x dibahagikan dengan dua.

Mengetahui formula untuk mencari derivatif, tidak sukar untuk membuat jadual antiderivatif:

1. Antiterbitan sifar adalah sama dengan pemalar.

2. Antiterbitan perpaduan adalah sama dengan x.

3. Antiterbitan bagi x adalah sama dengan x kuasa dua dibahagikan dengan dua.

4. Antiterbitan untuk fungsi x kepada kuasa en, en tergolong dalam set nombor asli, adalah sama dengan x dengan kuasa en tambah satu dibahagikan dengan en tambah satu.

5. Antiterbitan untuk fungsi satu dibahagikan dengan x kuasa dua adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x.

6. Antiterbitan untuk fungsi satu dibahagikan dengan punca x adalah sama dengan dua punca x, dan x lebih besar daripada sifar.

7. Antiterbitan untuk fungsi sinus x adalah sama dengan tolak kosinus x.

8. Antiterbitan bagi fungsi kosinus x adalah sama dengan sinus x.

9. Antiterbitan untuk fungsi satu dibahagikan dengan sinus x kuasa dua adalah sama dengan tolak kotangen x.

10. Antiterbitan untuk fungsi satu dibahagikan dengan kosinus x kuasa dua adalah sama dengan tan x.

Mari kita lihat contoh mencari antiderivatif pelbagai fungsi.

Latihan 1

Buktikan bahawa suatu fungsi ialah antiterbitan bagi suatu fungsi jika antiterbitan suatu fungsi adalah sama dengan x kepada kuasa keenam, fungsi itu sendiri adalah sama dengan enam x kepada kuasa kelima.

Penyelesaian:

1. Dengan takrif antiterbitan, fungsi ygr, sama dengan ef besar x, dipanggil antiterbitan untuk fungsi ygr, sama dengan ef kecil x, pada selang tertentu x adalah besar, jika bagi mana-mana x kepunyaan selang tertentu kesamaan dipenuhi: .

2. Mari cari eff derivatif besar menggunakan formula untuk mencari derivatif fungsi kuasa, ia bersamaan dengan enam x kepada kuasa kelima.

Kami telah memperoleh kesamaan dua ungkapan, yang bermaksud, mengikut takrifan antiterbitan, fungsi ef besar, sama dengan x kepada kuasa keenam, ialah antiterbitan untuk fungsi ef kecil, sama dengan enam x kepada kuasa kelima.

Tugasan 2

Untuk suatu fungsi (y, sama dengan ef bagi x adalah kecil), cari antiterbitan jika

(ef bagi x adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x kiub).

Penyelesaian:

1. Mengikut definisi ijazah dengan integer penunjuk negatif Mari kita bayangkan ungkapan tolak satu dibahagikan dengan x kiub sebagai: tolak x kepada kuasa ketiga tolak.

2. Menggunakan formula untuk mencari antiterbitan bagi fungsi kuasa, kita mencari antiterbitan untuk fungsi ef bagi x, sama dengan tolak x kepada tolak kuasa ketiga.

Kami mendapat tolak x kepada kuasa tolak tiga tambah satu dibahagikan dengan tolak tiga tambah satu.

Memudahkan ungkapan, kita mempunyai tolak x kepada kuasa tolak dua, dibahagikan dengan tolak dua, mengurangkan tolak, kita dapat: x kepada kuasa tolak dua, dibahagikan dengan dua.

Dengan takrif kuasa dengan eksponen integer negatif, kami membentangkan ungkapan sebagai: satu dibahagikan dengan dua x kuasa dua.

Oleh itu, antiterbitan untuk fungsi ef bagi x kecil, sama dengan tolak satu, dibahagikan dengan x kubus, ialah fungsi ef besar, sama dengan satu, dibahagikan dengan dua x kuasa dua.

Sebelum ini, diberikan fungsi yang diberikan, dipandu oleh pelbagai formula dan peraturan, kami mendapati terbitannya. Derivatif mempunyai banyak kegunaan: ia ialah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); pekali sudut tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; ia membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Tetapi seiring dengan masalah mencari kelajuan mengikut undang-undang gerakan yang diketahui, ada juga masalah songsang- masalah memulihkan hukum gerakan dari kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini.

Contoh 1. Titik bahan bergerak dalam garis lurus, kelajuannya pada masa t diberikan oleh formula v=gt. Cari hukum gerakan.
Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah hukum gerakan yang dikehendaki. Diketahui bahawa s"(t) = v(t). Ini bermakna untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), terbitan yang sama dengan gt. Tidak sukar untuk meneka bahawa $s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $.Malah
$s"(t) = \kiri(\frac(gt^2)(2) \kanan)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Jawapan: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Mari kita segera ambil perhatian bahawa contoh diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapat $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi dalam bentuk $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, di mana C ialah pemalar arbitrari, boleh berfungsi sebagai undang-undang gerakan, sejak $\kiri (\frac(gt^2)(2) +C \kanan)" = gt $

Untuk menjadikan masalah lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu ketika, contohnya pada t = 0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka dari kesamaan s(t) = (gt 2)/2 + C kita dapat: s(0) = 0 + C, iaitu C = s 0. Kini hukum gerakan ditakrifkan secara unik: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Dalam matematik, operasi timbal balik diberikan nama yang berbeza, datang dengan sebutan khas, contohnya: kuasa dua (x 2) dan mengambil punca kuasa dua ($\sqrt(x)$), sinus (sin x) dan lengkok (arcsin x), dsb. Proses mencari terbitan bagi fungsi tertentu dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, iaitu proses mencari fungsi daripada terbitan tertentu, ialah integrasi.

Istilah "derivatif" itu sendiri boleh dibenarkan "dalam kehidupan seharian": fungsi y = f(x) "menghasilkan" ciri baharu y" = f"(x). Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "ibu bapa", tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya sebagai "ibu bapa" atau "pengeluar"; mereka mengatakan bahawa ia adalah, berhubung dengan fungsi y" = f"( x), imej utama atau primitif.

Definisi. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X jika kesamaan F"(x) = f(x) berlaku untuk $x \dalam X$

Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).

Mari beri contoh.
1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar
2) Fungsi y = x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 3x 2, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar
3) Fungsi y = sin(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = cos(x), kerana bagi mana-mana x kesamaan (sin(x))" = cos(x) adalah benar

Apabila mencari antiderivatif, serta derivatif, bukan sahaja formula digunakan, tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.

Kita tahu bahawa terbitan suatu jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.

Kita tahu bahawa faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 2. Jika F(x) ialah antiterbitan bagi f(x), maka kF(x) ialah antiterbitan untuk kf(x).

Teorem 1. Jika y = F(x) ialah antiterbitan bagi fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y = f(kx + m) ialah fungsi $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorem 2. Jika y = F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X, maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x) + C.

Kaedah integrasi

Kaedah penggantian boleh ubah (kaedah penggantian)

Kaedah pengamiran melalui penggantian melibatkan memperkenalkan pembolehubah pengamiran baharu (iaitu penggantian). Dalam kes ini, kamiran yang diberikan dikurangkan kepada kamiran baharu, yang berbentuk jadual atau boleh dikurangkan kepadanya. Kaedah biasa tiada pemilihan pengganti. Keupayaan untuk menentukan penggantian dengan betul diperoleh melalui latihan.
Biarkan perlu untuk mengira kamiran $\textstyle \int F(x)dx $. Mari kita buat penggantian $x= \varphi(t) $ dengan $\varphi(t) $ ialah fungsi yang mempunyai terbitan berterusan.
Kemudian $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ dan berdasarkan sifat invarian formula kamiran untuk kamiran tak tentu, kami memperoleh formula kamiran dengan penggantian:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Penyepaduan ungkapan bentuk $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Jika m ganjil, m > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian sin x = t.
Jika n ganjil, n > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian cos x = t.
Jika n dan m genap, maka lebih mudah untuk membuat penggantian tg x = t.

Integrasi mengikut bahagian

Penyepaduan mengikut bahagian - menggunakan formula berikut untuk penyepaduan:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
atau:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Jadual kamiran tak tentu (antiterbitan) bagi beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Kaedah utama penyepaduan diberikan fungsi tidak rasional(akar). Ia termasuk: penyepaduan ketidakrasionalan pecahan linear, binomial pembezaan, kamiran dengan punca kuasa dua trinomial kuasa dua. Penggantian trigonometri dan penggantian Euler diberikan. Beberapa kamiran eliptik yang dinyatakan melalui fungsi asas dipertimbangkan.

Ir fungsi rasional pembolehubah ialah fungsi yang terbentuk daripada pembolehubah dan pemalar arbitrari menggunakan bilangan terhingga operasi penambahan, penolakan, pendaraban (menaikkan kepada kuasa integer), bahagi dan mengambil punca. Fungsi tidak rasional berbeza daripada fungsi rasional kerana fungsi tidak rasional mengandungi operasi untuk mengekstrak akar.

Terdapat tiga jenis utama fungsi tak rasional, kamiran tak tentu yang dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional. Ini adalah kamiran yang mengandungi punca kuasa integer arbitrari daripada fungsi pecahan linear (akar boleh mempunyai kuasa yang berbeza, tetapi daripada fungsi pecahan linear yang sama); kamiran binomial pembezaan dan kamiran dengan punca kuasa dua trinomial kuasa dua.

Nota PENTING. Akar mempunyai pelbagai makna!

Apabila mengira kamiran yang mengandungi punca, ungkapan bentuk sering ditemui, di mana terdapat beberapa fungsi pembolehubah penyepaduan. Perlu diingat bahawa. Iaitu, pada t > 0 , |t| = t. Pada t< 0 , |t| = - t . Oleh itu, apabila mengira kamiran tersebut, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan kes t > 0 dan t< 0 . Ini boleh dilakukan dengan menulis tanda atau di mana sahaja yang perlu. Dengan mengandaikan bahawa tanda atas merujuk kepada kes t > 0 , dan yang lebih rendah - untuk kes t< 0 . Dengan transformasi selanjutnya, tanda-tanda ini, sebagai peraturan, membatalkan satu sama lain.

Pendekatan kedua juga mungkin, di mana integrand dan hasil integrasi boleh dianggap sebagai fungsi menyeluruh daripada pembolehubah kompleks. Kemudian anda tidak perlu memberi perhatian kepada tanda-tanda dalam ungkapan radikal. Pendekatan ini boleh digunakan jika integrand adalah analitik, iaitu, fungsi boleh dibezakan bagi pembolehubah kompleks. Dalam kes ini, kedua-dua kamiran dan kamirannya ialah fungsi berbilang nilai. Oleh itu, selepas penyepaduan, apabila menggantikan nilai berangka, adalah perlu untuk memilih cawangan bernilai tunggal (permukaan Riemann) bagi penyepaduan, dan untuk itu pilih cawangan yang sepadan dengan hasil penyepaduan.

Ketidakrasionalan linear pecahan

Ini adalah kamiran dengan akar daripada fungsi linear pecahan yang sama:
,
di mana R ialah fungsi rasional, ialah nombor rasional, m 1, n 1, ..., m s, n s ialah integer, α, β, γ, δ ialah nombor nyata.
Kamiran sedemikian dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dengan penggantian:
, dengan n ialah penyebut sepunya bagi nombor r 1, ..., r s.

Akar mungkin tidak semestinya berasal dari fungsi pecahan linear, tetapi juga dari fungsi linear (γ = 0 , δ = 1), atau pada pembolehubah penyepaduan x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Berikut adalah contoh kamiran tersebut:
, .

Kamiran daripada binomial pembezaan

Kamiran daripada binomial pembezaan mempunyai bentuk:
,
di mana m, n, p ialah nombor rasional, a, b ialah nombor nyata.
Kamiran sedemikian dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dalam tiga kes.

1) Jika p ialah integer. Penggantian x = t N, dengan N ialah penyebut sepunya bagi pecahan m dan n.
2) Jika - integer. Penggantian a x n + b = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.
3) Jika - integer. Penggantian a + b x - n = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.

Dalam kes lain, kamiran tersebut tidak dinyatakan melalui fungsi asas.

Kadangkala kamiran tersebut boleh dipermudahkan menggunakan formula pengurangan:
;
.

Kamiran yang mengandungi punca kuasa dua bagi trinomial kuasa dua

Kamiran tersebut mempunyai bentuk:
,
di mana R ialah fungsi rasional. Bagi setiap kamiran tersebut terdapat beberapa kaedah untuk menyelesaikannya.
1) Menggunakan penjelmaan membawa kepada kamiran yang lebih mudah.
2) Gunakan penggantian trigonometri atau hiperbolik.
3) Gunakan penggantian Euler.

Mari lihat kaedah ini dengan lebih terperinci.

1) Transformasi fungsi integrand

Menggunakan formula dan melakukan transformasi algebra, kami mengurangkan fungsi integrand kepada bentuk:
,
dengan φ(x), ω(x) ialah fungsi rasional.

Jenis I

Integral dalam bentuk:
,
di mana P n (x) ialah polinomial bagi darjah n.

Kamiran tersebut ditemui dengan kaedah pekali tak tentu menggunakan identiti:

.
Membezakan persamaan ini dan menyamakan sisi kiri dan kanan, kita dapati pekali A i.

Jenis II

Integral dalam bentuk:
,
di mana P m (x) ialah polinomial darjah m.

Penggantian t = (x - α) -1 kamiran ini dikurangkan kepada jenis sebelumnya. Jika m ≥ n, maka pecahan itu hendaklah mempunyai bahagian integer.

jenis III

Di sini kita melakukan penggantian:
.
Selepas itu kamiran akan mengambil bentuk:
.
Seterusnya, pemalar α, β mesti dipilih supaya pekali t dalam penyebut menjadi sifar:
B = 0, B 1 = 0.
Kemudian kamiran terurai menjadi jumlah kamiran dua jenis:
,
,
yang disepadukan dengan penggantian:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Penggantian trigonometri dan hiperbolik

Untuk kamiran bentuk , a > 0 ,
kami mempunyai tiga penggantian utama:
;
;
;

Untuk kamiran, a > 0 ,
kami mempunyai penggantian berikut:
;
;
;

Dan akhirnya, untuk kamiran, a > 0 ,
penggantian adalah seperti berikut:
;
;
;

3) Penggantian Euler

Juga, kamiran boleh dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional satu daripada tiga penggantian Euler:
, untuk a > 0;
, untuk c > 0 ;
, dengan x 1 ialah punca bagi persamaan a x 2 + b x + c = 0. Jika persamaan ini mempunyai punca sebenar.

Kamiran eliptik

Sebagai kesimpulan, pertimbangkan kamiran bentuk:
,
di mana R ialah fungsi rasional, . Kamiran sedemikian dipanggil elips. DALAM Pandangan umum ia tidak dinyatakan melalui fungsi asas. Walau bagaimanapun, terdapat kes apabila terdapat hubungan antara pekali A, B, C, D, E, di mana kamiran tersebut dinyatakan melalui fungsi asas.

Di bawah ialah contoh yang berkaitan dengan polinomial refleksif. Pengiraan kamiran tersebut dilakukan menggunakan penggantian:
.